【精准解析】江西省南昌市江西师范大学附属中学2020届高三第一次模拟测试数学(理)试题
2020年江西省第一次高考模拟考试文科数学试题与答案
2020年江西省第一次高考模拟考试文科数学试题与答案（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
|﹣1＜x＜5}，集合A＝{1，3}，则集合∁U A的子集的个数是（）1. 设全集U＝{x NA. 16B. 8C. 7D. 42. 下列各式的运算结果为纯虚数的是（）A. i（1+i）2B. i2（1﹣i）C. （1+i）2D. i（1+i）3. 为比较甲、以两名篮球运动员的近期竞技状态,选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图,有以下结论：①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；②甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定。
其中所有正确结论的编号为（）A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④4. 已知直线，直线为，若则( )A．或 B．C ．D ．或5. 已知,条件甲：；条件乙：,则甲是乙的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 轴截面为正方形的圆柱的外接球的体积与该圆柱的体积的比值为（ ） A ． B ．C ．D ．7. 在中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，，则角B=（ ）A.B. C.D.8. 执行如图所示的程序框图，输出的S=（ ）A. 25B. 9C. 17D. 209. 设直线1:210l x y -+=与直线A 的交点为A ；,P Q 分别为12,l l 上任意两点，点M 为,P Q 的中点，若12AM PQ =，则m 的值为（ ） A. 2B. 2-C. 3D. 3-10.在V ABC 中，sin B A =，BC =4C π=，则=AB （ ）B. 5C. D.11. 已知函数，若，且函数存在最小值，则实数的取值范围为（ ） A.B.C. D. 12.已知三棱锥的底面的顶点都在球的表面上，且，，，且三棱锥的体积为，则球的体积为（ ） A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年南昌市高三第一次模拟测试卷理科数学
R A { x | 4 ≤ x ≤ 2}, R A B { x | 0 x 2}
2. 在复平面内, 复数z i对应的点为Z, 将向量OZ绕原点
5.已知a, b, b (1, 3), 且a在b方向上的投影为 1 , 则a b 2
等于( B )
A. 2
B. 1
C. 1
D. 0
2
a在b方向上的投影为 a cos a b a b 1 , a b 1
b 22
a
b
6.
函数f
(x)
ln
x
1 x
,
x1 的图象大致是(
A)
ecos
B. 1
C. 1
D. 1
4
2
如图, F (1, 0), 设P(t 2 , 2t), 则Q(0, 2t),
Q
所以PQ PF (t 2 , 0) (1 t 2 , 2t)
t 2 (1
t2)
t4
t2
t2
1 2
2
1 4
≥1 4
O
P F
9. 已知双曲线C
:
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
D.四面体FA1C1B的体积不为定值 D1
设AC BD O, 连接EO,过点B1作
B1M BD1 , 垂足为M ,
A1
C1 B1
因为BD1 / / EO,所以B1M EO,
EM
又因为AC 平面BB1D1D,
所以AC B1M , 又AC EO O,
D
C
所以B1 M
2020届江西省南昌市第一次模拟测试数学(文)试题(解析版)
2020届江西省南昌市第一次模拟测试数学（文）试题一、单选题1．己知集合A ={0，1，2），B ={x ∈N A }，则B =（ ） A ．{0} B ．{0，2}C ．{0，12， 2} D ．{0， 2， 4}【答案】B【解析】12，，，根据x ∈N ，可得结果. 【详解】由题可知：A ={0，1，2），B ={x ∈N A }时，则0x N =∈，符合时，则12x N =∉，不符合时，则2x N =∈，符合 所以{}0,2B = 故选：B 【点睛】本题考查集合元素的求法，审清题意，细心计算，属基础题.2．在复平面内，复数1z =对应的点为Z ，将向量OZ uuu r绕原点O 按逆时针方向旋转23π，所得向量对应的复数是（ ）A ．122-+ B ．122i -+ C ．122-- D ．122i -- 【答案】A【解析】根据复数，可得点Z 坐标，进一步可得OZ uuu r以及OZ u u u r ，然后根据三角函数的定义，可得旋转后所求复数的终点坐标，最后可得结果. 【详解】由题可知：()1,0Z ，()1,0OZ =u u u r且1OZ =u u u r设旋转后的所求复数的终点(),P x y则21cos 32x OZ π==-u u u r ，2sin 32y OZ π==u u u r所以13,2P⎛⎫-⎪⎝⎭，则所求的复数为132i-+故选：A【点睛】本题考查复数的几何意义，掌握复数在复平面中点的表示以及向量的表示，同时识记三角函数的概念，审清题意，耐心计算，属基础题.3．一个正三棱柱的正（主）视图如图，则该正三棱柱的侧面积是（）A．16 B．12 C．8 D．6【答案】B【解析】根据正三棱柱的主视图，以及长度，可知该几何体的底面正三角形的边长，然后根据矩形的面积公式，可得结果.【详解】由题可知：该几何体的底面正三角形的边长为2所以该正三棱柱的三个侧面均为边长为2的正方形，所以该正三棱柱的侧面积为32212⨯⨯=故选：B【点睛】本题考查正三棱柱侧面积的计算以及三视图的认识，关键在于求得底面正三角形的边长，掌握一些常见的几何体的三视图，比如：三棱锥，圆锥，圆柱等，属基础题. 4．《聊斋志异》中有：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术”.在数学中，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：22334422,33,4,33881515===则按照以上规律，若m mmn n=“穿墙术”，则m，n满足的关系式为（）A．n =2m-1 B．n=2(m-1) C．n=(m-1)2D．n=m2 -1【答案】D【解析】根据不完全归纳法，以及根式中的分子和分母的关系，可得结果.【详解】由题可知：==，====则可归纳：==， 所以21n m =- 故选：D 【点睛】本题考查不完全归纳法的应用，仔细观察，发现特点，对选择题以及填空题，常可采用特殊值以及不完全归纳法解决问题，化繁为简，属基础题.5．己知{a n }是等差数列，且a 3+a 4=-4，a 7+a 8=-8，则这个数列的前10项和等于（ ） A ．-16 B ．-30C ．-32D ．-60【答案】B【解析】计算3478a a a a +++，然后根据等差数列的性质，可得56a a +，最后根据等差数列的前n 项公式，计算10S ，并结合11056a a a a +=+，可得结果. 【详解】 由题可知：数列{a n }是等差数列且34784,8a a a a +=-+=-则347812a a a a +++=-，又3754862,2a a a a a a +=+= 所以565622126a a a a +=-⇒+=- 由()11010102a a S +⨯=，且11056aa a a +=+所以()1101010302a a S +⨯==-故选：B 【点睛】本题主要考查等差数列的性质，在等差数列中，若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+，熟练使用性质，以及对基本公式的记忆，属基础题.6．己知抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，抛物线上一点的M 的纵坐标y 0，则y 0>2是|MF |>2A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】根据点M 的纵坐标的范围，可得其横坐标的范围，然后根据抛物线的定义，可知MF 的范围，然后根据充分、必要条件的概念，可得结果. 【详解】由题可知：()1,0F ，设()00,M x y 由点M 的纵坐标02y >，则其横坐标01x > 由01MF x =+，所以2MF > 可知02y >是2MF >的充分条件 若2MF >，则00121MF x x =+>⇒>则20042y y >⇒<-或02y >所以02y >不是2MF >的必要条件 故02y >是2MF >的充分不必要条件 故选：A 【点睛】本题考查抛物线的定义以及充分、必要条件的概念，对抛物线问题经常要联想到焦点和准线，简单计算，属基础题.7．2013年至201 9年我国二氧化硫的年排放量（单位：万吨）如下表，则以下结论中错误的是（ ）A ．二氧化硫排放量逐年下降B ．2018年二氧化硫减排效果最为显著C ．2017年至2018年二氧化硫减排量比2013年至2016年二氧化硫减排量的总和大D ．2019年二氧化硫减排量比2018年二氧化硫减排量有所增加 【答案】D【解析】采用逐一验证法，根据数据的简单分析，可得结果.A 正确根据数据可知，二氧化硫排放量逐年下降 B 正确从2017年到2018年，下降了756.24万吨， 是所有相邻年份二氧化硫减排量最大的， 所以2018年二氧化硫减排效果最为显著 C 正确2017年至2018年二氧化硫减排量为756.24万吨2013年至2016年二氧化硫减排量的总和为2217.9-1974.4=243.5万吨 所以243.5<756.24，故C 正确 D 错2017年至2018年二氧化硫减排量为756.24万吨2018年至2019年二氧化硫减排量为1102.86-1014.6=88.26万吨 故2019年二氧化硫减排量比2018年二氧化硫减排量有所减少. 故选：D. 【点睛】本题考查对数据的分析，审清题意，简单计算，属基础题.8．已知双曲线C ： 2222x y a b-=1(a >0，b >0)的右焦点为F ，过原点O 线交C 的右支于点A ，若|OA |=|OF |，则双曲线的离心率为（ ）A B C ．2D +l【答案】D【解析】假设已知直线的倾斜角为θ3πθ=，可得sin ,cos θθ，然后根据OF OA =，可得点A 坐标，最后代入双曲线方程化简并结合()1ce e a=>，可得结果. 【详解】设已知直线的倾斜角为θ由题可知：tan 3πθθ==，所以31sin ,cos 22θθ== 又OA OF c ==，所以cos ,sin 33A c c ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即3,2c c A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭所以2222222232321144c c c c a b a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=⇒-= 又222b c a =-，所以()222223144c c a c a -=-，又c e a= 所以()22231441e e e -=- 化简可得：42840e e -+=，所以()2228816423312e ±-==±=±所以31e =±，又1e >，所以31e =+ 故选：D 【点睛】本题考查双曲线的离心率，关键在于得到点A 坐标，考验计算能力，属中档题.9．函数cos 1ln(),1,(),1x x x f x xex π⎧->⎪=⎨⎪≤⎩的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据复合函数的单调性，同增异减以及采用排除法，可得结果.当1x >时，()1ln()f x x x=-，由1,y y x x =-=在()1,+∞递增， 所以1t x x=-在()1,+∞递增又ln y t =是增函数，所以()1ln()f x x x=-在()1,+∞递增，故排除B 、C 当1x ≤时()cos xf x eπ=，若()0,1x ∈，则()0,x ππ∈所以cos t x π=在()0,1递减，而ty e =是增函数所以()cos xf x e π=在()0,1递减，所以A 正确，D 错误故选：A 【点睛】本题考查具体函数的大致图象的判断，关键在于对复合函数单调性的理解，记住常用的结论：增+增=增，增-减=增，减+减=减，复合函数单调性同增异减，属中档题. 10．台球是一项国际上广泛流行的高雅室内体育运动，也叫桌球（中国粤港澳地区的叫法）、撞球（中国台湾地区的叫法）控制撞球点、球的旋转等控制母球走位是击球的一项重要技术，一次台球技术表演节目中，在台球桌上，画出如图正方形ABCD ，在点E ，F 处各放一个目标球，表演者先将母球放在点A 处，通过击打母球，使其依次撞击点E ，F 处的目标球，最后停在点C 处，若30,40,30,AE cm EF cm FC cm ===60AEF CFE ∠=∠=o 则该正方形的边长为（ ）A ．40cmB ．6cmC ．2cmD ．14cm【答案】D【解析】利用向量的方法，将AC u u u r 用,,AE EF FC u u ur u u u r u u u r 来进行表示，然后进行平方，可计算AC u u u r，最后可得结果.由题可知：60AEF CFE ∠=∠=o ，所以AE //FC 由E C EF FC A A +=+u u u r u u u u r u u r u u u r则2222222AE EF FC AE EF A AC E FC EF FC +++=⋅+⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u u u r u u u r u u u r u u u r r u u u rcos120600AE EF AE EF ⋅==-o u u u r u u u r u u u r u u u rcos0900AE FC AE FC ⋅==o u u u r u u u r u u u r u u u rcos120600EF FC EF FC ⋅==-o u u u r u u u r u u u r u u u r所以22223040301200180012002800AC =++-+-=u u u r则AC =u u u r，所以sin 45AB AC =⋅=o故选：D 【点睛】本题考查向量的线性表示以及数量积公式的应用，关键在于E C EF FC A A +=+u u u r u u u u r u u r u u u r，考验观察能力以及计算能力，属中档题. 11．己知x >y >0，x ≠1，y ≠1，则（ ） A ．x a> y a(a ∈R ，a ≠0）B ．yx e e y x> C ．x y > y xD ．1132x y -->【答案】B【解析】采用逐一验证法，对,,a x y 取特殊值，进行比较可得,,A C D 错，通过构造函数()mf m me =，利用函数单调性进行比较，可得结果.【详解】A 错误，当1a =-时，1111,x y x y--==， 由0x y >>，11x y< 所以A 错误 B 正确令()mf m me = ，则()'m m fm e me =+当0m >时，()'0fm >，所以函数()f m 在()0,∞+单调递增，且0x y >>，所以有()()f x f y >，即x yxye e xe ye y x>⇒>， C 错误当4,3x y ==时，34464,381==，3443<， 所以C 错误D 错误，当11,23x y ==时，21321111263611113,2327416--====由11662716>，所以1166112716<，故213232--<所以D 错误 故选B 【点睛】本题考查式子比较大小，选择题可使用对未知数取特殊值，化繁为简，熟练掌握比较式子大小的常用方法，比如：作差法，函数单调性等，属基础题.12．如图，点E 是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱DD 1的中点，点F ，M 分别在线段AC ，BD 1（不包含端点）上运动，则（ ）A ．在点F 的运动过程中，存在EF //BC 1B ．在点M 的运动过程中，不存在B 1M ⊥AEC ．四面体EMAC 的体积为定值D ．四面体FA 1C 1B 的体积不为定值 【答案】C【解析】采用逐一验证法，根据线线、线面之间的关系以及四面体的体积公式，可得结果. 【详解】 A 错误由EF ⊂平面AEC ，1BC //1AD 而1AD 与平面AEC 相交，故可知1BC 与平面AEC 相交，所以不存在EF //BC 1 B 错误，如图，作11B M BD ⊥由11,,AC BD AC BB BD BB B ⊥⊥⋂=又1,BD BB ⊂平面11BB D D ，所以AC ⊥平面11BB D D 又1B M ⊂平面11BB D D ，所以1B M AC ⊥ 由OE //1BD ，所以1B M OE ⊥AC OE O =I ，,AC OE ⊂平面AEC所以1B M ⊥平面AEC ，又AE ⊂平面AEC 所以1B M AE ⊥，所以存在 C 正确四面体EMAC 的体积为13M AEC AEC V S h -∆=⋅⋅ 其中h 为点M 到平面AEC 的距离，由OE //1BD ，OE ⊂平面AEC ，1BD ⊄平面AEC所以1BD //平面AEC ，则点M 到平面AEC 的距离即点B 到平面AEC 的距离， 所以h 为定值，故四面体EMAC 的体积为定值D 错误由AC //11A C ，11A C ⊂平面11A C B ，AC ⊄平面11A C B 所以AC //平面11A C B ，则点F 到平面11A C B 的距离1h 即为点A 到平面11A C B 的距离， 所以1h 为定值所以四面体F A 1C 1B 的体积1111113F A C B A C B V S h -∆=⋅⋅为定值 故选：C 【点睛】本题考查线面、线线之间的关系，考验分析能力以及逻辑推理能力，熟练线面垂直与平行的判定定理以及性质定理，中档题.二、填空题13．已知向量a r ，b r =(1)，且a r 在b r 方向上的投影为12，则a b ⋅r r 等于__________【答案】1【解析】利用向量的投影概念，计算出向量b r的模长，结合向量的数量积，可得结果. 【详解】a r 在b r 方向上的投影为12，所以有1cos 2a θ⋅=r，且2b =u u r ，所以1cos 212b a b a θ⋅=⋅⋅=⨯=uu r r r r故答案为：1 【点睛】本题考查向量的投影的概念，以及向量数量积公式的应用，属基础题. 14．已知函数31()f x x x=-，则''1(lg 2)(lg )2f f -=__【答案】0【解析】对函数求导后，利用对数的运算结合偶函数的性质可得结果. 【详解】由题可知：函数的定义域为()(),00,-∞⋃+∞ 由'221()3f x x x=+， 可知()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数， 且''''1(lg 2)(lg )(lg 2)(lg 2)2f f f f -=--， 又因为''(lg 2)(lg 2)f f =-， 则有''1(lg 2)(lg )02f f -= 故答案为：0. 【点睛】本题考查函数的求导运算，偶函数的性质和对数的运算，属基础题. 15．己知1sin()43x π+=，则5cos()4x π-=_____【答案】13-【解析】利用特殊角配凑出题中已知角，再结合诱导公式可得结果. 【详解】553cos()cos()cos 444424x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫-=--+=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 即51cos()sin .443x x ππ⎛⎫-=-+=- ⎪⎝⎭ 故答案为：1.3- 【点睛】本题考查诱导公式，角度的配凑法，属基础题.16．如图，一列圆C n ：x 2 +(y -a n )2=r n 2(a n >0，r n >0)逐个外切，且所有的圆均与直线y =±相切，若r 1=1，则a 1=___，r n =______【答案】3 12n -【解析】采用第n 个圆，并假设切点n A ，利用22221,n n nn A C n A C r k -==，可得3n n a r =，代值计算可得1a ，然后根据圆与圆相切，可得()122n n r r n -=≥，利用等比数列通项公式可得结果. 【详解】设第n 个圆心为()0,n n C a ，半径为n r ， 且与22y x =的切点为(),22n n n A x x 则直线n n A C 的斜率为22n n n nA C nx a k x -=所以22221922n nn n nx a x a x -⋅=-⇒=①又()222222n n n n nn A C x x a r =+-=②由①②可知：3n n a r =③， 所以当11r =时，则13a = 又113n n a r --=④由③-④可知：()113n n n n a a r r ---=- 又11n n n n a a r r ---=+， 所以()122n n r r n -=≥所以数列{}n r 是以1为首项，2为公比的等比数列所以12n n r -=故答案为：3，12n - 【点睛】本题考查直线与圆几何关系以及等比数列，本题难点在于找到3n n a r =，考验分析能力以及逻辑推理能力，属难题.三、解答题17．如图，D 是在△ABC 边AC 上的一点，△BCD 面积是△ABD 面积的2倍，∠CBD =2∠ABD =2θ．（Ⅰ）若θ=6π，求sin sin A C的值； （Ⅱ）若BC =4，AB 2，求边AC 的长． 【答案】（Ⅰ）sin 23sin 3A C =；（Ⅱ）210AC =【解析】（Ⅰ）利用三角形面积公式以及2BCD ABD S S ∆∆=并结合正弦定理sin sin AB BCC A=，可得结果.（Ⅱ）根据2BCD ABD S S ∆∆=，可得θ，然后使用余弦定理2222sin AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠，可得结果.【详解】（Ⅰ）23CBD ABD π∠=∠=，所以11sin 2sin 2326BC BD AB BD ππ⋅=⨯⋅ 所以sin 23sin 333BC A AB C =⇒==； （Ⅱ）11sin 22sin 22BC BD AB BD θθ⋅=⨯⋅， 所以242sin cos 222cos 2θθθθ⨯=⨯⇒=，所以4πθ=，334ABC πθ∠==， 所以22168242240AC ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以边210AC =． 【点睛】本题考查三角形面积公式，正弦定理以及余弦定理的应用，关键在于识记公式，属中档题.18．如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，A -BCB 1是棱长为2的正四面体.（Ⅰ）求证：AC ⊥CC 1； （Ⅱ）求三棱锥B -ACC 1的体积． 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ22 【解析】（Ⅰ）取1BB 的中点E ，根据正四面体特点，可知AO ⊥平面11BCC B ，1BCB ∆为正三角形，然后根据11,BB AO BB CE ⊥⊥，可得1BB ⊥平面AEC ，最后可得结果. （Ⅱ）计算1BCC S △以及AO ，使用等体积法11B ACC A BCC V V --=，并结合锥体体积公式，可得结果. 【详解】（Ⅰ）如图，取1BB 的中点E ，连接CE 交1BC 于点O ， 则点O 为1BCB △的重心，连接AO ，设1BC 交1B C 于点F ．依题意点A 在底面的投影为1BCB △的重心O ， 即AO ⊥平面11BCC B ，所以1AO BB ⊥． 因为1BCB △是正三角形，所以1CE BB ⊥，,,AO CE O AO CE ⋂=⊂平面AEC则1BB ⊥平面AEC ，又AC ⊂平面AEC ，则1BB AC ⊥，由1BB //1CC 所以1CC AC ⊥．（Ⅱ）由1A BCB -是棱长为2的正四面体， 所以2333CO CE ==，2AC =， 22263AO AC CO =-=因为12BC CC ==，1120BCC ∠=︒， 得111113sin 223222BCC S BC CC BCC =⋅⋅∠=⨯⨯⨯=△所以1112622333B ACC A BCC V V --===． 【点睛】本题考查线面、线线位置关系，还考查等体积法的使用，熟练掌握线面垂直的判定定理以及性质定理，考验推理论证能力，属中档题.19．某市2013年至2019年新能源汽车y （单位：百台）的数据如下表：（Ⅰ）求y 关于x 的线性回归方程，并预测该市2021年新能源汽车台数；（Ⅱ）该市某公司计划投资600台“双枪同充”（两把充电枪）、“一拖四群充”（四把充电枪）的两种型号的直流充电桩．按要求，充电枪的总把数不少于该市2021年新能源汽车预测台数，若双枪同充、一拖四群充的每把充电枪的日利润分别为25元，10元，问两种型号的充电桩各安装多少台时，才能使日利润最大，求出最大日利润.77211140,364i i i i i x x y ==⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为717221ˆ,i ii ii x y nxybxnx ==-=-∑∑ˆa y bx=- 【答案】（Ⅰ）ˆy =23x +,2100台；（Ⅱ）双枪同充安装150台，一拖四群充安装450台时，每天的利润最大，最大利润为25500元．【解析】（Ⅰ）计算,x y ，根据7172217ˆ7i ii ii x y xybxx ==-=-∑∑，可得ˆb，进一步可得a ，然后可得方程，最后代值计算，可得结果.（Ⅱ）假设一拖四群充，双枪同充分别安装m 台，600m -台，根据42(600)2100m m +-≥，可得m 的范围，然后计算日利润4050(600)z m m =+-，依据不等式可得结果. 【详解】（Ⅰ）依题意知123456747x ++++++==，58810141517117y ++++++==，77211140,364ii i i i xx y ====∑∑，71722173647411ˆ21407167i ii ii x yxybxx ==--⨯⨯===-⨯-∑∑，ˆ11243a y bx=-=-⨯=， 则y 关于x 的线性回归方程23y x =+．令9x =得：ˆ29321y=⨯+=， 故预测2021年该市新能源汽车大约有2100台．（Ⅱ）设一拖四群充，双枪同充分别安装m 台，600m -台， 每天的利润为z 元，则42(600)2100m m +-≥，即450m ≥4050(600)z m m =+-300001030000450025500z m =-≤-=所以当450m =时，z 取最大值25500．故当双枪同充安装150台，一拖四群充安装450台时， 每天的利润最大，最大利润为25500元． 【点睛】本题考查线性回归方程，本题关键在于识记公式，考验计算能力，属基础题.20．已知函数，f (x )=33x -mx 2-m +ln (1-m )，(m <1)．（Ⅰ）当m =12时，求f (x )的极值； （Ⅱ）证明：函数f (x )有且只有一个零点． 【答案】（Ⅰ）函数极大值为1ln 22--，极小值为 2ln 23--；（Ⅱ）见解析 【解析】（Ⅰ）利用导数，通过'()f x 的符号，判断出函数的单调性，找到极值点，可得结果.（Ⅱ）计算'(())2x f x x m =-，采用分类讨论的方法，0m =，0m <以及01m <<，判断函数的单调性，可得结果. 【详解】（Ⅰ）32111()ln 3222x f x x =--+'2()f x x x =-，则()f x 在(,0)-∞递增，在(0,1)递减，在(1,)+∞上递增， 所以函数极大值为1(0)ln 22f =--， 极小值为2(1)ln 23f =--． （Ⅱ）2'()2(2)x mx x x m f x =-=-①当0m =时，()'20fx x =≥，3()3x f x =只有一个零点0，符合题意；②当0m <时，()f x 在(,2)m -∞单调递增， 在(2,0)m 单调递减，在(0,)+∞单调递增，(0)ln(1)f m m =-+-，令()ln(1)g m m m =-+-，(0)m <，显然()g m 单调递减，有()(0)0g m g >=，即(0)0f >， 则()f x 只有一个零点，符合题意；③当01m <<时，()f x 在(,0)-∞单调递增， 在(0,2)m 单调递减，在(2,)m +∞单调递增，(0)ln(1)f m m =-+-，(01)m <<，由②构造的函数知， (0)ln(1)0f m m =-+-<，则()f x 只有一个零点，符合题意．综上所述，1m <时，函数()f x 有且只有一个零点． 【点睛】本题考查导数的应用，关键在于对含参数的函数单调性的判断，熟练使用分类讨论的思想以及学会构造函数，使问题化繁为简，属难题.21．定义：平面内两个分别以原点和两坐标轴为对称中心和对称轴的椭圆E 1，E 2，它们的长短半轴长分别为a 1，b 1和a 2，b 2，若满足a 2=a 1k ，b 2=b 1k （k ∈Z ，k ≥2），则称E 2为E 1的k 级相似椭圆，己知椭圆E 1:22214x y b +=1，E 2为E 1的2级相似椭圆，且焦点共轴，E 1与E 2的离心率之比为2． （Ⅰ）求E 2的方程；（Ⅱ）已知P 为E 2上任意一点，过点P 作E 1的两条切线，切点分别为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)．①证明：E 1在A (x 1，y 1)处的切线方程为11214x x y yb +=1； ②是否存在一定点到直线AB 的距离为定值，若存在，求出该定点和定值；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）222:1169x y E +=（Ⅱ）①见解析；②存在一定点()0,0C 到直线AB 的距离为定值1．【解析】（Ⅰ）根据相似椭圆的概念，可得12a =，24a =，221b b =，然后根据212247e e =，并结合离心率ce a=，简单计算，可得结果. （Ⅱ）①联立方程1122143143x x y yx y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，可得关于x 的一元二次方程，然后使用∆，并根据221134120x y +-=，可得结果.②根据①的结论，可得在点B 的切线方程22143x x y y +=，根据10102020143143x x y y x x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，可得直线AB 的方程，假设定点，使用点到线的距离公式，根据式子为定值，可得结果. 【详解】（Ⅰ）由题意知12a =，24a =，221b b =，则222211112144a b b e a --==，22222222221616a b b e a --==， 而()221124221144441647b e e b b -===-+，解得213b =，23b =， 故椭圆221:143x y E +=，椭圆222:1169x y E +=．（Ⅱ）①联立椭圆与直线方程，11221122143361240143x x y y x x x y x y ⎧+=⎪⎪⇒-+-=⎨⎪+=⎪⎩， 点A 在椭圆221:143x y E +=上，有221134120x y +-=， 所以()()2222111136121241234120x y x y ∆=--=+-=，即直线与椭圆相切．所以过点A 的切线方程为11143x x y y +=． ②由①知，过点B 的切线方程为22143x x y y +=， 设()00,P x y ，则22001169x y +=，即2200916144x y +=， 两条切线都经过点P ，则满足方程组10102020143143x x y y x x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩． 那么点A 和点B 都在直线00143x y x y +=上， 则直线AB 的方程为00143x y x y +=，即003412x x y y += 假设存在一定点(),C C C x y 到直线AB 的距离为定值，即00341212C C x x y y d ⋅+⋅-==为定值， 则0C C x y ==，1d =，故存在一定点()0,0C 到直线AB 的距离为定值1．【点睛】本题考查椭圆的综合应用，考验分析能力以及计算能力，属难题.22．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系；曲线C 1的普通方程为(x -1)2 +y 2=1，曲线C 2的参数方程为.x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）.（Ⅰ）求曲线C 1和C 2的极坐标方程：（Ⅱ）设射线θ=6π(ρ>0)分别与曲线C 1和C 2相交于A ，B 两点，求|AB |的值． 【答案】（Ⅰ）2cos 0ρθ-=，22222cos 3sin 60ρθρθ+-=;（Ⅱ）||AB = 【解析】（Ⅰ）根据222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，可得曲线C 1的极坐标方程，然后先计算曲线C 2的普通方程，最后根据极坐标与直角坐标的转化公式，可得结果. （Ⅱ）将射线θ=6π分别与曲线C 1和C 2极坐标方程联立，可得A ，B 的极坐标，然后简单计算，可得结果.【详解】（Ⅰ）()22221120x y x y x -+=⇒+-=由222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+== 所以曲线1C 的极坐标方程为2cos 0ρθ-=，曲线2C 的普通方程为232360x y +-=则曲线2C 的极坐标方程为22222cos 3sin 60ρθρθ+-=（Ⅱ）令(0)6πθρ=>，则1,6A πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,6B πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 则2222222cos 3sin 6066ππρρ+-=，即22924ρ=，所以2||3OB ρ==，1||2cos 6OA πρ===，故||||||3AB OA OB =-=-． 【点睛】本题考查极坐标方程和参数方程与直角坐标方程的转化，以及极坐标方程中ρ的几何意义，属基础题.23．已知a >0，b >0，a +b =2.（Ⅰ）求111a b ++的最小值； （Ⅱ）证明：2.a b b a ab+≥ 【答案】（Ⅰ）最小值为43；（Ⅱ）见解析 【解析】（1）根据题意构造平均值不等式，结合均值不等式可得结果； （2）利用分析法证明，结合常用不等式和均值不等式即可证明.【详解】（Ⅰ）11111[(1)]131a b a b a b ⎛⎫+=+++ ⎪++⎝⎭则1111421313b a a b a b +⎡⎤+=++≥⎢⎥++⎣⎦ 当且仅当21a b a b +=⎧⎨=+⎩，即32a =，12b =时， 所以111a b ++的最小值为43． （Ⅱ）要证明：2a b b a ab +≥， 只需证：20a b b a ab+-≥， 即证明：2220a b ab+-≥， 由0,0a b >>，也即证明：222a b +≥．因为2a b +≤，所以当且仅当a b =1≥， 即222a b +≥，当1a b ==时等号成立． 所以2.a b b a ab+≥ 【点睛】本题考查均值不等式，分析法证明不等式，审清题意，仔细计算，属中档题.。
2020年江西师大附中高考数学一模试卷(理科) (含答案解析)
2020年江西师大附中高考数学一模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若集合A ={x|x 2≤1}，则下列结论正确的是( )A. −2∉AB. −2∈AC. {−2}∈AD. {−2}⊆A2. 已知复数z 满足(2−i)z =｜3+4i ｜，则z =( )A. −2−iB. 2−iC. −2+iD. 2+i3. 已知p ：−2>−1，q ：a −1<a ，则下列判断正确的是( )A. “p ∧q ”为假，“￢p ”为假B. “p ∧q ”为真，“￢p ”为真C. “p ∨q ”为真，“￢q ”为假D. “p ∨q ”为假，“￢q ”为真4. 已知函数f(x)=ax 2+bx +2a −b 是定义在[a −3,2a]的偶函数，则f(a)+f(b)=( )A. 5B. −5C. 0D. 20195. 函数f(x)=xln x 的零点为( )A. 0或1B. 1C. (1,0)D. (0,0)或(1,0)6. 函数y =1−|x −x 2|的图象大致是( ) A. B. C. D.7. 一物体沿直线做运动，其速度v(t)和时间t 的关系为v(t)=2t −t 2，在t =1到t =3时间段内该物体行进的路程和位移分别是( )A. 2，−23B. 2，23C. 23，23D. 23，−23 8. 已知A =sin(kπ+α)cos(−π2+α)+cos(kπ+α)cos(−α)(k ∈Z)，则A 的值构成的集合是( )A. {2,−2}B. {−1,0，1}C. {2,0，−2}D. {1,−1,0，2，−2}9. 如图是某几何体的三视图，正视图是长为6厘米，宽为2厘米的矩形，俯视图为等边三角形，几何体表面上的点A ，B 在正视图上的对应点分别为点M ，N ，则在几何体表面上，从点A 出发沿着几何体的侧面绕行一周到达点B 的最短路线长为A. 6√2厘米B. 2√10匣米C. 4√13厘米D. √10厘米10. 如图，平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AC 与BD 交于点M ，设AB⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ，则B 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗( ) A. −12a ⃗ −⋅12b ⃗ −c ⃗ B. 12a⃗ +12b ⃗ −c ⃗ C. 12a⃗ −12b ⃗ −c ⃗ D. −12a ⃗ +12b ⃗ −c ⃗11. 已知点A(2,−1),B(4,2)，点P 在x 轴上，当PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 取最小值时，P 点的坐标是( ) A. (2,0) B. (4,0)C. (103,0)D. (3,0) 12. 已知函数f (x )=xe x −13ax 3−12ax 2+1,(x >0)，若f (x )有最小值，则实数a 的取值范围为( )A. [23e 32,+∞)B. (23e 32,+∞)C. (e,+∞)D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在一块正三角形铁板的三个角上分别剪去三个全等的四边形，然后折成一个正三棱柱，尺寸如图所示．当x 为_________时，正三棱柱的体积最大，最大值是__________．14. 已知数列{a n }满足a 1+3a 2+32a 3+⋯+3n−1a n =n+13，a n = ______ ．15.掷一个骰子的试验，事件A表示“出现小于5的偶数点”，事件B表示“出现小于5的点”，若B表示B的对立事件，则一次试验中，事件A⋃B发生的概率为________．16.已知圆锥的底面半径和高相等，侧面积为9√2π，过圆锥的两条母线作截面，截面为等边三角形，则圆锥底面中心到截面的距离为________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{b n}的前n项和为T n，且T n−2b n+3=0，n∈N∗．(Ⅰ)求数列{b n}的通项公式；(Ⅱ)设C n={log2(b n3),n为奇数b n,n为偶数，求数列{c n}的前2n+1项和P2n+1．18.某餐厅销售一款饮料，定价为4元/瓶，20天的日销量数据按照[15,25]，(25,35],(35,45]，(45,55]分组，得到如下频率分布直方图．(Ⅰ)估计该餐厅这款饮料的日销量超过30瓶的概率；(Ⅱ)估计该餐厅这款饮料的平均日销售额(销量×定价)；(Ⅲ)若从这款饮料销量大于35瓶的数据中任取两天的数据，求这两天的饮料销量都大于45瓶的概率．19.如图所示，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E、F是AC、PC的中点．(1)求证：AC⊥平面DEF；(2)若PA=2，AB=1，求三棱锥F−PED的体积．20.已知点P为E：x24+y22=1上的动点，点Q满足OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13OP⃗⃗⃗⃗⃗ ．(1)求点Q的轨迹M的方程；(2)直线l：y=kx+n与M相切，且与圆x2+y2=49相交于A，B两点，求△ABO面积的最大值(其中O为坐标原点)．(a∈R)．21.已知函数f(x)=ln(x+1)−ax1−x(1)当a=1时，求函数f(x)的单调区间；(2)若−1<x<1时，均有f(x)≤0成立，求实数a的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，圆O的方程为x2+y2=4，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ2cos2θ=1．(1)求圆O的参数方程和曲线C的直角坐标方程；(2)已知M，N是曲线C与x轴的两个交点，点P为圆O上的任意一点，证明：|PM|2+|PN|2为定值．23.解不等式|x−1|+|x+2|<5．【答案与解析】1.答案：A解析：解：集合A={x|x2≤1}={x|−1≤x≤1}．所以−2∉A，{−2}⊄A．故选：A．根据元素与集合，集合与集合间的关系进行判断解答．本题主要考查元素与集合的关系，属于基础题．2.答案：D解析：本题主要考查了复数的四则运算及复数的模，考查了计算能力，属于基础题．利用复数的运算性质及复数的模即可得出结果．解：因为z=|3+4i|2−i =52−i=5(2+i)(2−i)·(2+i)=2+i．故选D．3.答案：C解析：解：∵命题p：−2>−1，命题q：a−1<a，∴命题p为假命题；命题q为真命题，∴“p∧q”为假，“p∨q”为真，“￢q”为假命题，故选：C．首先，得到命题p为假命题；命题q为真命题，然后，进一步结合复合命题的真假进行判断．本题重点考查了复合命题的真假判断等知识，属于中档题．4.答案：A解析：本题考查函数的奇偶性，考查推理能力和计算能力，属于基础题．利用定义域关于原点对称求出a，再利用偶函数的定义即可求b，从而求出f(a)+f(b)．解：由题意，得{a −3+2a =0f(−x)=f(x), ⇒{a −3+2a =0b =0⇒{a =1b =0所以f(x)=x 2+2f(a)+f(b)=f(1)+f(0)=5，故选A ．5.答案：B解析：本题考查函数的零点与方程的根的关系，属基础题，求方程xlnx =0的根即可，注意定义域． 函数f(x)=xln x 的定义域为(0,+∞)，且在定义域(0,+∞)上连续；当f(x)=0时，x =1;故函数f(x)=xln x 的零点为x =1；故选：B ．6.答案：C解析：本题考查函数图象的识别，属于基础题．取特殊点进行排除，即得结果．当x =−1时，y =1−|−1−1|=−1，所以排除A ，D ；当x =2时，y =1−|2−4|=−1，所以排除B ，故选C ．7.答案：A解析：本题主要考查定积分的几何性质，微积分基本定理，属于中档题．利用定积分的几何性质以及微积分基本定理求解．解：由定积分的几何性质可知，该物体的行进的路程为∫(2t −t 2)21dt −∫(2t −t 2)32dt =(t 2−13t 3)|12−(t 2−13t 3)|23=23+43=2； 该物体的行进的位移为∫(2t −t 2)21dt +∫(2t −t 2)32dt =(t 2−13t 3)|12+(t 2−13t 3)|23=23−43=−23． 故选A ．8.答案：A解析：本题考查了三角函数诱导公式的应用，属于基础题．只需分别求出当k 为奇数和偶数时A 的值，进而得到相关的集合．解：当k 为偶数时，；当k 为奇数时，A =−sinαsinα−cosαcosα=−2；∴A 的值构成的集合为{−2,2}．故选A ． 9.答案：A解析：本题考查空间几何体的三视图及侧面上的最短距离，考查空间想象能力和分析能力．由三视图可知，该几何体是底面边长为2的正三角形，高为6的正三棱柱，画出其侧面展开图，由两点之间线段最短即可求解．解：由三视图可知，该几何体是底面边长为2的正三角形，高为6的正三棱柱，其侧面展开图如下：根据两点之间线段最短，|MN |为最短路线．由勾股定理，|MN |=2+62=6√2，所以从点A 出发沿着几何体的侧面绕行一周到达点B 的最短路线长为6√2厘米．故选A ．10.答案：D解析：【试题解析】本题考查了向量的三角形法则、平行四边形法则、平行六面体的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．由于B 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 代入化简即可得出． 解：∵B 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴B 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ∴B 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =−c ⃗ −12a ⃗ +12b ⃗ ．故选D ．11.答案：D解析：依题可设P(x,0)，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−x,−1),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4−x,2)，所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−x,−1)⋅(4−x,2)=(2−x)(4−x)−2=x 2−6x+6=(x−3)2−3，当x =3时，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值−3...12.答案：B解析：本题考查导数在研究函数最值方面的应用，属于中档题． 解：f′(x)=(x +1)e x −ax 2−ax =(x +1)(e x −ax)，令g(x)=e x ，g′(x)=e x ，下面求g(x)的图象过原点的切线方程，设切点坐标为(x 0,e x 0)， 切线的斜率为e x 0，所以g(x)的图象过原点的切线方程为y −e x 0=e x 0(x −x 0)， 因其过原点，解得x 0=1，g(x)的图象过原点的切线方程为y =ex ，结合函数图象性质可知，当a ≤e 时，f′(x)≥0.f(x)在(0,+∞)上递增，f(x)无最小值， 当a >e 时，g(x)=e x 与y =ax 的图象有两个交点，设交点的横坐标分别为x 1,x 2(0<x 1<x 2)， 由函数图象可得，当x ∈(0,x 1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增， 当x ∈(x 1,x 2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 当x ∈(x 2,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增， 所以x 2是f(x)的极小值点， 由题意得f(0)>f(x 2)，1>x 2e x 2−13ax 23−12ax 22+1，(e x 2=ax 2,a >e)，12−13x 2<0,x 2>32， a =e x 2x 2，易证y =e x x在(1,+∞)上单调递增，所以a >23e 32．故选B ．13.答案：a 6,a 354解析：本题主要考查三棱柱的体积的计算，求出相应的体积，利用导数求出最值． 解：由题意可得，正三棱柱的底面边长为a −2x ，高为√33x ，则三棱柱的体积V =12(a −2x )2×√32×√33x =14x (a −2x )2，令V′=0，即14(a −2x )2+14x ·2(a −2x )(−2)=0，解得x =a6， 当x =a6时，V 取得最大值，且最大值为a 354．故答案为a 6,a 354．14.答案：{13n ,n ≥223,n=1解析：解：由a 1+3a 2+32a 3+⋯+3n−1a n =n+13，①得n ≥2时，a 1+3a 2+32a 3+⋯+3n−2a n−1=n3，② ①−②得：3n−1a n =n+13−n 3=13，∴a n =13n(n ≥2)．又由a 1+3a 2+32a 3+⋯+3n−1a n =n+13，得a 1=23不适合上式．∴a n ={13n,n ≥223,n=1．故答案为：{13n,n ≥223,n=1．由已知数列递推式可得n ≥2时，a 1+3a 2+32a 3+⋯+3n−2a n−1=n3，与原递推式作差可得a n =13n(n ≥2).再由原递推式求出首项，验证后得答案．本题考查数列递推式，训练了作差法求数列的通项公式，是中档题．15.答案：23解析：本题考查互斥事件和对立事件的概率，属于中档题．由题意知试验发生包含的所有事件是6，事件A 和事件B 是互斥事件，求出事件A 和事件B 包含的基本事件数，根据互斥事件和古典概型概率公式得到结果．解：掷一个骰子的试验有6种可能的结果．依题意知P(A)=26=13，P(B)=46=23，所以=1−P(B)=1−23=13．因为B表示“出现5点或6点”，因此事件A与B互斥，所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=13+13=23．故答案为23．16.答案：√3解析：本题考查圆锥的侧面积及体积的计算，考查学生的计算能力，正确运用等体积法是解题的关键．根据圆锥的底面半径和高相等，侧面积为9√2π，求出圆锥的底面半径，再根据等体积法求出圆锥底面中心到截面的距离．解：设圆锥的底面半径为r，则圆锥的高为r，母线长为√2r．∵圆锥的侧面积为9√2π，∴12×2πr×√2r=9√2π，解得r=3．∵过圆锥的两条母线作截面，截面为等边三角形，∴S截面=√34×(3√2)2=9√32．设圆锥底面中心到截面的距离为h，则由等体积法可得1 3×9√32×ℎ=13×12×3×3×3，解得ℎ=√3．故答案为√3．17.答案：解：(Ⅰ)∵T n−2b n+3=0，∴当n=1时，b1=3，当n≥2时，S n−1−2b n−1+3=0，两式相减，得b n=2b n−1，(n≥2)∴数列{b n}为等比数列，∴b n=3⋅2n−1.(Ⅱ)c n ={n −1, n 为奇数3⋅2n−1 , n 为偶数.令a n =n −1，故P 2n+1=(a 1+a 3+⋯+a 2n+1)+(b 2+b 4+⋯+b 2n )=(0+2n)⋅(n+1)2+6(1−4n )1−4，=22n+1+n 2+n −2．解析：(Ⅰ)当n ≥2时，S n−1−2b n−1+3=0，两式相减，得数列{b n }为等比数列，即可求数列{b n }的通项公式；(Ⅱ)确定数列{c n }的通项，利用分组求和的方法求数列{c n }的前2n +1项和P 2n+1． 本题考查数列递推式，考查数列的通项与求和，确定数列{b n }为等比数列是解题的关键．18.答案：解：(Ⅰ)由图中数据可知，该餐厅这款饮料的日销量超过30瓶的概率为0.03×10+0.04×5=0.5．(Ⅱ)各组频率依次为0.3，0.4，0.2，0.1，平均日销量为0.3×20+0.4×30+0.2×40+0.1×50=31(瓶)， 所以这款饮料的平均日销售额为4×31=124(元)；(Ⅲ)由题意，饮料销量大于35瓶的数据中任取两天的数据有4个在(35,45]内，设为A ，B ，C ，D ，有2个在(45,55]，设为E ，F ，从中任意选2个，所有情况有(A,B)，(A,C)，(A,D)，(A,E)，(A,F)，(B,C)，(B,D)，(B,E)，(B,F)，(C,D)，(C,E)，(C,F)，(D,E)，(D,F)，(E,F)，共15种， 符合条件的只有(E,F)， 故所求概率为P =115．解析：本题考查频率分布直方图，用频率估计概率，平均数的计算和古典概型的计算，属于基础题． (Ⅰ)由频率分布直方图的特点即可得出．(Ⅱ)利用每组的组中值乘频率得出平均日销量，进而求出平均日销售额； (Ⅲ)利用列举法列出所有情况，利用古典概型计算公式求解即可．19.答案：(1)证明：连接EF ．∵PA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥AC ，∵E ，F 分别是AC ，PC 的中点，∴EF//PA ， ∴EF ⊥AC ，∵四边形ABCD 是正方形，E 是AC 的中点，∴DE ⊥AC ，又EF ∩DE =E ，EF ⊂平面DEF ，DE ⊂平面DEF ， ∴AC ⊥平面DEF ．(2)解：∵E ，F 分别是AC ，PC 的中点， ∴EF//PA ，EF =12PA ． 又PA ⊥平面ABCD ， ∴EF ⊥平面ABCD ．∵PA =2，∴EF =12PA =1， ∵正方形ABCD 的边长为1， ∴S △CDE =12S △ACD =14．∴V P−CDE =13⋅S △CDE ⋅PA =13⋅14⋅2=16． V F−CDE =13⋅S △CDE ⋅EF =13⋅14⋅1=112， ∴V F−PDE =V P−CDE −V F−CDE =16−112=112．解析：本题考查了线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题． (1)根据PA//EF 可得AC ⊥EF ，结合AC ⊥DE 得出AC ⊥平面DEF ；(2)分别求出三棱锥P −CDE 和三棱锥F −CDE 的体积，相减即可得到答案．20.答案：解：(Ⅰ)设Q(x,y)，P(x 0,y 0)，由于OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则有(x,y)=13(x 0,y 0)， 则{x 0=3x y 0=3y ，又P(x 0,y 0)在椭圆E 上，故有(3x)24+(3y)22=1，即点Q 的轨迹M 的方程为x 249+y 229=1．(Ⅱ)直线l ：y =kx +n 与椭圆D ：x 249+y 229=1相切，故由{y =kx +n x 249+y 229=1，得：(18k 2+9)x 2+36knx +18n 2−4=0，因为△=(36kn)2−4(18k 2+9)(18n 2−4)=4×18(4k 2−9n 2+2)=0， 则有4k 2=9n 2−2(显然n ≠0)． 点O 到直线AB 的距离d =√k 2+1，则|AB|=2√49−d 2，因为4k 2=9n 2−2，则n 2≥29，所以d 2═n 21+k 2=49+2n 2∈[29,49) 则S △AOB =12⋅|AB|⋅d =12⋅2√49−d 2⋅d =√(49−d 2)⋅d 2≤29，当且仅当49−d 2=d 2时，即d 2=29时等号成立． 所以，面积的最大值为29．解析：(Ⅰ)设Q(x,y)，P(x 0,y 0)，由OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得{x 0=3x y 0=3y ，再由P(x 0,y 0)在椭圆E 上，能求出点Q 的轨迹M 的方程．(Ⅱ)由{y =kx +nx 249+y 229=1，得：(18k 2+9)x 2+36knx +18n 2−4=0，由直线l ：y =kx +n 与M 相切，利用根的判别式求出4k 2=9n 2−2，由点到直线的距离、弦长公式、三角形面积公式，结合已知条件能求出△ABO 面积的最大值．本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，函数与方程思想，是中档题．21.答案：解：(Ⅰ)当a =1时，f(x)的定义域为(−1,1)∪(1,+∞)，f′(x)=1x+1−1(1−x)2=x(x−3)(x−1)2(x+1)，当−1<x <0或>3时，f′(x)>0，当0<x <1或1<x <3，f′(x)<0， 所以函数f(x)的增区间为(−1,0)，(3,+∞)，减区间为(0,1)，(1,3) (Ⅱ)f′(x)=x 2−(a+2)x+1−a (x−1)2(x+1),−1<x <1，当a ≤0时，f′(x)>0恒成立，故0<x <1时，f(x)>f(0)=0，不符合题意．当a >0时，由f′(x)=0，得x 1=a+2−√a2+8a2，x 2=a+2+√a2+8a2．若0<a <1，此时0<x 1<1，对0<x <x 1，有f′(x)>0，f(x)>f(0)=0，不符合题意． 若a >1，此时−1<x 1<0，对x 1<x <0，有f′(x)<0，f(x)>f(0)=0，不符合题意． 若a =1，由(Ⅰ)知，函数f(x)在x =0处取得最大值0，符合题意， 综上实数a 的取值为1．解析：(Ⅰ)当a =1时，f(x)的定义域为(−1,1)∪(1,+∞)， 求出f′(x)=1x+1−1(1−x)2=x(x−3)(x−1)2(x+1)，即可求单调区间； (Ⅱ)f′(x)=x 2−(a+2)x+1−a (x−1)2(x+1),−1<x <1，分(1)a ≤0，(2)当a >0，讨论单调性及最值即可． 本题考查了导数的综合应用，属于难题，22.答案：解：(1)圆O 的参数方程为为参数)，由ρ2cos2θ=1，得：ρ2(cos 2θ−sin 2θ)=1， 即ρ2cos 2θ−ρ2sin 2θ=1，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2−y 2=1． (2)证明：由(1)知M(−1,0)，N(1,0)， 可设P(2cosα,2sinα)，所以|PM|2+|PN|2=(2cosα+1)2+(2sinα)2+(2cosα−1)2+(2sinα)2， =5+4cosα+5−4cosα=10， 所以|PM|2+|PN|2为定值10．解析：(1)首先利用转换关系把参数方程和极坐标方程和直角坐标方程进行转换． (2)利用三角函数关系式的恒等变换求出定值．本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，三角函数关系式的恒等变换．23.答案：解：法一：记A(1)，B(−2)，则AB 的中点为M (−12)，|x −1|+|x +2|<5⇔|x −(−12)|<52，即|x +12|<52，∴−52<x +12<52解得−3<x <2，故原不等式的解集为(−3,2)； 法二：原不等式等价于：{x ⩽−2−(x −1)−(x +2)<5或{−2<x <1−(x −1)+(x +2)<5或{x ⩾1(x −1)+(x +2)<5, 解得−3<x ≤−2或−2<x <1或1≤x <2， ∴−3<x <2，故原不等式的解集为(−3,2)．解析：本题考查绝对值不等式的解法，考查绝对值的几何意义、分类讨论思想的应用，属于基础题． 法一：记A(1)，B(−2)，则AB 的中点为M (−12)，根据绝对值的几何意义，不等式化为|x +12|<52，则−52<x +12<52，解得原不等式的解集；法二：由分类讨论去绝对值，原不等式等价于{x ⩽−2−(x −1)−(x +2)<5或{−2<x <1−(x −1)+(x +2)<5或{x ⩾1(x −1)+(x +2)<5，解得原不等式的解集．。
2020年江西省南昌市高考数学一模试卷(理科) (含答案解析)
2020年江西省南昌市高考数学一模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设全集为R ，集合A ={x|y =ln(9−x 2)}，B ={x|y =√4x −x 2}，则A ∩(∁R B)=( ) A. (−3,0] B. (0,3) C. (−3,0) D. [0,3)2. 在复平面内，复数2−3i3+2i 对应的点的坐标为( )A. (0,−1)B. (0,−139)C. (1213,−1) D. (129,−139)3. 有一个正三棱柱，其三视图如图所示，则其体积等于( )A. 3cm 3B. 4cm 3C. 3√32cm 3D. 1cm 34. 已知x ∈R ，则“x <1”是“x 2<1”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件5. 已知点A(−1,3)、B(3,2)、C(−4,5)、D(−3,4)，则向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为( )A. 5√22B. −5√22C. 5√1717D. −5√17176. 函数f(x)=x +|x|x 的图象为下图中的( )A. B.C. D.7.已知变量y与x的线性回归方程为ŷ=2x+5，其中x的所有可能取值为1，7，5，13，19，则y=()A. 25B. 23C. 32D. 228.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，抛物线上一点P到准线和y轴的距离之和为5，则|PF|=()A. 5B. 4C. 3D. 29.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为45∘的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是()A. [√2,+∞)B. (√2,+∞)C. (2,+∞)D. (1,+∞)10.如图所示，△ACD是边长为1的等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，BD交AC于点E．(1)BD2的值为；(2)线段AE的长为．A. 2−√3;√3−1B. 2+√3;√3+1C. 2+√3;√3−1D. 2−√3;√3+1E. 2;√3−1F. 2+√3;√311.如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，AA1=AC=BC=1，∠ACB=90∘，D是A1B1的中点，F是BB1上的点，AB1，DF相交于点E，且AB1⊥DF，则下列结论中不正确的是()A. CE与BC1异面且垂直B. AB1⊥C1FC. ΔC1DF是直角三角形D. DF的长为√6312.若函数f(x)=2sin(ωx+ϕ),x∈R(其中ω>0，|ϕ|<π2)的最小正周期是4π，且f(0)=√2，则()A. ω=12，ϕ=π6B. ω=12，ϕ=π4 C. ω=2，ϕ=π6D. ω=2，ϕ=π4 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 函数f(x)=x 2+lnx 在点(1,f(1))处的切线方程为______．14. 已知(1+x)10=a 0+a 1(1−x)+a 2(1−x)2+⋯+a 10(1−x)10，则a 8等于________．15. 若函数f(x)={(12)x ,0≤x <2f(x −1)+1,x ≥2，则f(log 212)=______．16. 在等差数列{a n }中，已知a 3=3，a 2+a 8=10，则a n = ______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 如图，在△ABC 中，M 是AC 的中点，∠C =π3,AM =2．(1)若∠A =5π12，求AB 的长；(2)若的面积．18. 如图，在梯形ABCD 中，AB//CD,∠BCD =2π3，四边形ACFE 为矩形，且CF ⊥平面ABCD ，AD =CD =BC =CF ．(Ⅰ)求证：EF⊥平面BCF ；(Ⅱ)点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值．19.已知函数f(x)=e x−ax2,a∈R,x∈(0,+∞).(1)若f(x)存在极小值，求实数a的取值范围；.(2)若f(x)的极大值为M，求证：1<M<e220.已知点P是圆F1：(x−1)2+y2=8上任意一点，点F2与点F1关于原点对称，线段PF2的垂直平分线分别与PF1，PF2交于M，N两点．(1)求点M的轨迹C的方程；(2)过点G(0,1)的动直线l与点M的轨迹C交于A，B两点，在y轴上是否存在定点Q，使以AB3为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．21.质检部门对某工厂甲、乙两个车间生产的12个零件质量进行检测．甲、乙两个车间的零件质量(单位：克)分布的茎叶图如图所示．零件质量不超过20克的为合格．(1)从甲、乙两车间分别随机抽取2个零件，求甲车间至少一个零件合格且乙车间至少一个零件合格的概率；(2)质检部门从甲车间8个零件中随机抽取3个零件进行检测，已知三件中有两件是合格品的条件下，另外一件是不合格品的概率．(3)若从甲、乙两车间12个零件中随机抽取2个零件，用X表示乙车间的零件个数，求X的分布列与数学期望．22.在平面直角坐标系xOy中，射线l：y=√3x(x≥0)，曲线C1的参数方程为为参数)，曲线C2的方程为x2+(y−2)2=4；以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为．(1)写出射线l的极坐标方程以及曲线C 1的普通方程；(2)已知射线l与C 2交于O，M，与C 3交于O，N，求|MN|的值．23.设a、b∈R+且a+b=3，用分析法证明：√1+a+√1+b≤√10【答案与解析】1.答案：C解析：解：A={x|−3<x<3}，B={x|0≤x≤4}；∴∁R B={x|x<0，或x>4}；∴A∩(∁R B)=(−3,0)．故选：C．可以求出集合A，B，然后进行补集、交集的运算即可．考查描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，以及交集、补集的运算．2.答案：A解析：本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题．解：复数2−3i3+2i =(2−3i)(3−2i)(3+2i)(3−2i)=−13i13=−i对应的点的坐标为(0,−1)，故选A．3.答案：B解析：解：由三视图和题意得，正三棱柱的高是√3cm，底面正三角形的边长为2sin60°=4√33cm，∴该正三棱柱的体积V=12×4√33×2×√3=4(cm3)，故选：B．由三视图和题意求出正三棱柱的高，由直角三角形的正弦函数求出底面边长，由柱体的体积公式求出答案．本题考查由三视图求几何体的体积，直角三角形的正弦函数的应用，属于基础题．4.答案：B解析：本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． x 2<1，解得−1<x <1.即可判断出关系．解：x 2<1，解得−1<x <1．∴“x <1”是“x 2<1”的必要不充分条件．故选：B ．5.答案：A解析：本题主要考查向量坐标运算以及向量投影的应用，根据向量投影和向量数量积的关系进行转化是解决本题的关键．根据条件求出向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，再根据投影的定义即可得到答案． 解：∵A(−1,3)、B(3,2)、C(−4,5)、D(−3,4)，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,−1)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1)，则向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=5√22， 故选：A ．6.答案：C解析：本题考查分段函数图象问题，依题意，f(x)=x +|x|x ={x +1,x >0x −1,x <0，根据解析式即可求得结果． 解析：解：因为函数f(x)=x +|x|x ={x +1,x >0x −1,x <0， 根据分段函数解析式即可判断C 中图象正确，故选C ．7.答案：B解析：解：由题意，x=15(1+7+5+13+19)=9，代入ŷ=2x+5，可得：y=2×9+5=23．故选：B．求出x，代入ŷ=2x+5，可得y．本题解题的关键是回归直线方程一定过样本的中心点，本题是一个基础题．8.答案：C解析：本题考查了抛物线的定义和几何性质，属于基础题．设|PF|=m，根据抛物线的性质可得点P到准线和y轴的距离分别为m，m−1，根据题意可得2m−1=5，即可求出m=3．解：设|PF|=m，由抛物线C:y2=4x，得准线方程为x=−1，则点P到准线和y轴的距离分别为m，m−1，所以2m−1=5，解得m=3，即|PF|=3．故选C．9.答案：A解析：解：双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为45°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点．则：该直线的斜率的绝对值小于或等于渐近线的斜率ba所以ba≥1e2=c2a2=a2+b2a2≥2∴e≥√2故选：A．若过点F且倾斜角为45°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率．根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围．本题考查的知识点：双曲线的性质及应用及相关的运算问题．10.答案：C解析：本题考查余弦定理、正弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．(1)在△BCD中，CD=CB=1，∠DCB=150°，∠CDB=∠CBD=15°，利用余弦定理可求BD2；(2)在△ADE中，AD=1，∠DAE=60°，∠ADE=45°，则∠AED=75°，由正弦定理可得AE的值．解：(1)在△BCD中，CD=CB=1，∠DCB=150°，∠CDB=∠CBD=15°由余弦定理可得：BD2=1+1−2×1×1×cos150°=2+√3(2)在△ADE中，AD=1，∠DAE=60°，∠ADE=45°，则∠AED=75°由正弦定理可得：AEsin45°=1sin75°∴AE=√3−1故选C．11.答案：D解析：本题主要考查空间中，线线，线面间的位置关系，空间中的距离，属于较难题．利用空间中线线，线面间的位置关系，根据选项逐个分析判断即可．解：对于A，∵BC1⊂平面B1C1CB，CE⊄平面B1C1CB，且C∈平面B1C1CB，C∉BC1，∴CE与BC1是异面直线，∵AA1//CC1，AA1⊥平面ABC，∴CC1⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∴CC1⊥AC，又AC⊥BC，BC∩CC1=C，BC，CC1⊂平面B1C1CB，∴AC⊥平面B1C1CB，又BC1⊂平面B1C1CB，∴AC⊥BC1，又四边形B1C1CB是正方形，连接B1C，∴BC1⊥B1C，又B1C∩AC=C，B1C，AC⊂平面AB1C，∴BC1⊥平面AB1C，∵CE⊂平面AB1C，∴BC1⊥CE，故A正确；对于B，∵C1A1=C1B1，D是A1B1的中点，∴C1D⊥A1B1，由AA1⊥底面A1B1C1，C1D⊂底面A1B1C1，∴AA1⊥C1D，又A1B1∩AA1=A1，A1B1，AA1⊂平面ABB1A1，∴C1D⊥平面ABB1A1，AB1⊂平面ABB1A1，∴C1D⊥AB1，又DF⊥AB1，C1D∩DF=D，C1D，DF⊂平面C1DF，∴AB1⊥平面C1DF，C1F⊂平面C1DF，∴AB1⊥C1F，故B正确；对于C，由C1D⊥平面ABB1A1，DF⊂平面ABB1A1，可得C1D⊥DF，故△C1DF是直角三角形，故C正确；对于D，∵AC=BC=AA1=1，∠ACB=90°，∴A1B1=AB=√2，AB1=√3，∴DB1=√22，∵AB1⊥DF，∴∠FDB1=∠AB1F=∠A1AB1，∴cos∠FDB1=cos∠A1AB1，即DB1DF =AA1AB1，∴√22DF=√3，解得DF=√62，故D错误．故选D．12.答案：B解析：由T=2πω=4π得ω=12.由f(0)=√2，2sinω=√2∴sinϕ=√22.∵|ϕ|<π2，∴ϕ=π4.故选B.13.答案：3x−y−2=0解析：解：f′(x)=2x+1x；故f′(1)=2+1=3；故函数f(x)=x2+lnx的图象在点A(1,1)处的切线方程为：y−1=3(x−1)；即3x −y −2=0；故答案为：3x −y −2=0．由题意求导f′(x)=2x +1x ，从而可知切线的斜率，从而写出切线方程．本题考查了导数的综合应用及导数的几何意义的应用，属于基础题． 14.答案：180解析：本题考查利用二次展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．关键是将底数改写成右边的底数形式．将1+x 写成2−(1−x)；利用二项展开式的通项公式求出通项，令1−x 的指数为8，求出a 8． 解：∵(1+x)10=[2−(1−x)]10∴其展开式的通项为T r+1=C 10r 210−r [−(1−x )]r =(−1)r ·210−r ·C 10r (1−x )r ，令r =8得a 8=4C 108=180故答案为180．15.答案：73解析：解：∵函数f(x)={(12)x ,0≤x <2f(x −1)+1,x ≥2， ∴f(log 212)=f(log 212−2)+2=(12)log 212÷(12)2+2=112×4+2=73． 故答案为：73． 推导出f(log 212)=f(log 212−2)+2=(12)log 212÷(12)2+2，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 16.答案：n解析：本题考查等差数列的通项公式，考查了方程组的解法，是基础题．设出等差数列的首项和公差，由题意列方程组求出首项和公差，则答案可求．解：由a 3=3，a 2+a 8=10，得：{a 3=a 1+2d =3a 2+a 8=2a 1+8d =10， 解得：{a 1=1d =1， ∴a n =1+(n −1)=n ．故答案为：n ．17.答案：解：(1)∠ABC =π−π3−5π12=π4，在△ABC 中，由正弦定理得AC sin∠ABC =AB sin∠C ，．(2)在△BCM 中，由余弦定理得：BM 2=CM 2+BC 2−2CM ⋅BCcos π3=CM 2+BC 2−2CM ⋅BC ⋅12，∴12=4+BC 2−2BC ，解得BC =4(负值舍去)，∴S △ABC =12⋅BC ⋅CA ⋅sin π3=4√3，解析：本题主要考查解三角形的应用，结合正弦定理，余弦定理以及三角形的面积公式是解决本题的关键．(1)根据正弦定理进行求解即可．(2)根据余弦定理结合三角形的面积公式进行计算即可．18.答案：(1)证明：在梯形ABCD 中，∵AB//CD ，设AD =CD =BC =1，又∵∠BCD =2π3，∴AB =2，∴AC 2=AB 2+BC 2−2AB ⋅BC ⋅cos60°=3．∴AB 2=AC 2+BC 2.则BC ⊥AC ．∵CF ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴AC ⊥CF ，而CF ∩BC =C ，∴AC ⊥平面BCF ．∵EF//AC ，∴EF ⊥平面BCF ；(2)解：分别以直线CA ，CB ，CF 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设AD =CD =BC =CF =1，令FM =λ(0≤λ≤√3)，则C(0,0，0)，A(√3,0，0)，B(0,1，0)，M(λ,0，1)，∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,1，0)，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ,−1,1)， 设n⃗ =(x,y ，z)为平面MAB 的一个法向量， 由{n ⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0得{−√3x +y =0λx −y +z =0，取x =1，则n ⃗ =(1,√3,√3−λ)， ∵m ⃗⃗⃗ =(1,0，0)是平面FCB 的一个法向量，∴cos <n ⃗ ,m ⃗⃗⃗ >=n ⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |=√1+3+(√3−λ)2×1=√(λ−√3)2+4． ∵0≤λ≤√3，∴当λ=0时，cosθ有最小值为√77，∴点M 与点F 重合时，平面MAB 与平面FCB 所成二面角最大，此时二面角的余弦值为√77．解析：本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题．(1)在梯形ABCD中，设AD=CD=BC=1，由题意求得AB=2，再由余弦定理求得AC2=3，满足AB2=AC2+BC2，得则BC⊥AC.再由CF⊥平面ABCD得AC⊥CF，由线面垂直的判定可得AC⊥平面BCF.进一步得到EF⊥平面BCF；(2)分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AD=CD=BC= CF=1，令FM=λ(0≤λ≤√3)，得到C，A，B，M的坐标，求出平面MAB的一个法向量，由题意可得平面FCB的一个法向量，求出两法向量所成角的余弦值，可得当λ=0时，cosθ有最小值为√77，此时点M与点F重合．19.答案：解：(1)f(x)=e x−ax2，x∈(0,+∞)．∴f′(x)=e x−2ax=2x(e x2x−a)，设g(x)=e x2x，x∈(0,+∞)，则f′(x)=2x⋅[g(x)−a]，且g′(x)=e x(x−1)2x2，∵x∈(0,+∞)，e x>0，2x2>0，当x∈(1,+∞)时，且g′(x)>0，g(x)单调递增，当x∈(0,1)时，且g′(x)<0，g(x)单调递减，∴g(x)min=g(1)=12e，其大致图象如图所示，结合图象可知，①当a≤12e时，f′(x)≥0在(0,+∞)上单调递增，没有极值，不符合题意，②当a>12e时，直线y=a与y=g(x)有2个不同的交点，设其横坐标分别为x1，x2，且0<x1<1<x2，当0<x<x1或x>x2时，g(x)>a，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x1<x<x2时，g(x)<a，f′(x)<0，f(x)单调递减，故函数f(x)在x=x1处取得极大值，在x=x2处取得极小值，综上可得，a的范围(12e,+∞)，(2)结合(1)，若f(x)的极大值为M，则a>12e，M =f(x 1)=e x 1−ax 12， 因为a =e x 12x 1， 所以M =e x 1−x 1e x 12=e x 1(1−12x 1)， 令ℎ(x)=e x (1−12x)，x ∈(0,1)，则ℎ′(x)=12e x (1−x)<0在x ∈(0,1)时恒成立，即ℎ(x)在(0,1)上单调递减，又ℎ(0)=1，ℎ(1)=12e ，故ℎ(x)∈(1,12e)，即1<M <12e ．解析：(1)先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系讨论函数的单调性，进而可求出满足题意的a 的范围，(2)结合(1)的讨论可知M =f(x 1)=e x 1−ax 12，构造函数，结合函数的单调性可求M 的取值范围，即可证明．本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，研究极值及函数的值域的求解，属于中档试题． 20.答案：解：(1)由题意得|MF 1|+|MF 2|=|MF 1|+|MP|=|F 1P|=2√2>|F 1F 2|=2，所以点M 的轨迹C 为以F 1，F 2为焦点的椭圆，因为2a =2√2，2c =2，所以点M 的轨迹C 的方程为x 22+y 2=1．(2)直线l 的方程可设为y =kx +13，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立{y =kx +13x 22+y 2=1，可得9(1+2k 2)x 2+12kx −16=0． 由求根公式化简整理得x 1+x 2=−4k 3(1+2k 2)，x 1x 2=−169(1+2k 2)，假设在y 轴上存在定点Q(0,m)，使以AB 为直径的圆恒过这个点，则，即AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0． 因为AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−x 1,m −y 1)，BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−x 2,m −y 2)，AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+(m −y 1)(m −y 2) =x 1x 2+(m −kx 1−13)(m −kx 2−13) =(1+k 2)x 1x 2+k(13−m)(x 1+x 2)+m 2−2m 3+19=−16(1+k 2)9(1+2k 2)−12k 2(13−m)9(1+2k 2)+m 2−2m 3+19=(18m 2−18)k 2+(9m 2−6m −15)9(1+2k 2)=0．所以{18m 2−18=09m 2−6m −15=0，求得m =−1． 因此，在y 轴上存在定点Q(0,−1)，使以AB 为直径的圆恒过这个点．解析：本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查计算能力以及转化思想的应用．(1)判断轨迹方程是椭圆，然后求解即可．(2)直线l 的方程可设为y =kx +13，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立直线与椭圆方程，通过韦达定理，假设在y 轴上是否存在定点Q(0,m)，使以AB 为直径的圆恒过这个点，利用AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，求得m =−1.推出结果即可． 21.答案：解：(1)质检部门对某工厂甲、乙两个车间生产的12个零件质量进行检测，由茎叶图得甲车间的合格零件数为4，乙车间的合格零件数为2，∴从甲、乙两车间分别随机抽取2个零件，甲车间至少一个零件合格且乙车间至少一个零件合格的概率：P =(1−C 42C 82)(1−C 22C 42)=5584． (2)质检部门从甲车间8个零件中随机抽取3个零件进行检测，已知三件中有两件是合格品的条件下，另外一件是不合格品的概率P =C 42C 41C 42C 41+C 43=67． (3)由题意可得X 的所有可能取值为0，1，2，P(X =0)=C 82C 122=1433， P(X =1)=C 41C 81C 122=1633，P(X=2)=C42C122=111，∴随机变量X的分布列为：P 0 1 2X14331633111∴E(X)=0×1433+1×1633+2×111=23．解析：(1)利用对立事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式能求出从甲、乙两车间分别随机抽取2个零件，甲车间至少一个零件合格且乙车间至少一个零件合格的概率．(2)质检部门从甲车间8个零件中随机抽取3个零件进行检测，利用古典概型、排列组合能求出三件中有两件是合格品的条件下，另外一件是不合格品的概率．(3)由题意可得X的所有可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和E(X)．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、对立事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．22.答案：解：(1)射线l：y= √3x(x≥0)，转换为极坐标方程为：θ= π 3(ρ≥0)．曲线C1的参数方程为为参数)，转换为直角坐标方程为x29 + y24 =1，所以曲线C1的普通方程为x29 + y24 =1；(2)曲线C2的方程为x2+(y−2)2=4，所以x2+y2−4y=0，因为x2+y2=ρ2，，所以，即ρ=4sinθ，所以曲线C2极坐标方程为：ρ=4sinθ，射线l与C2交于O，M，与C3交于O，N，所以．解析：本题考查的知识要点：参数方程，直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，极坐标方程的几何意义，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．(1)直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．(2)利用极坐标方程的几何意义列出．23.答案：证明：∵a、b∈R+且a+b=3，∴欲证√1+a+√1+b≤√10，只需证(√1+a+√1+b)2≤10，即证2+a+b+2√(1+a)⋅(1+b)≤10，即证2√(1+a)⋅(1+b)≤5，只需证4(1+a)⋅(1+b)≤25，即证4(1+a+b+ab)≤25，只需证4ab≤9，即证ab≤94，∵ab≤(a+b2)2=(32)2=94成立，∴√1+a+√1+b≤√10成立．解析：本题考查了利用分析法证明不等式，根据分析法的证明步骤证明即可，难度一般．根据已知及基本不等式，运用分析法证明．。
江西省南昌市江西师范大学附属中学2020届高三第一次模拟测试数学(理)试题含解析
为假命题，C错误；
为真命题，D错误．
故选：B
【点睛】本题考查了命题的逻辑连接词，考查了学生逻辑推理，分类讨论，数学运算的能力，属于中档题。
4.已知f（x）=ax2+bx是定义在［a–1，2a]上的偶函数，那么a+b的值是
A。 B。
C D.
【答案】B
【解析】
【分析】
依照偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f（﹣x）=f（x），且定义域关于原点对称,a﹣1=﹣2a，即可得解.
最高气温
[10，15）
[15，20)
[20,25）
［25，30）
[30,35）
［35，40）
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
（2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位:元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意容积 ,求导研究单调性，分析即得解。
【详解】由题意：容积 , ，
则 ，
由 得 或 (舍去），
令
则 为V在定义域内唯一的极大值点也是最大值点，此时 .
故答案为:
【点睛】本题考查了导数在实际问题中的应用，考查了学生数学建模，转化划归，数学运算的能力,属于中档题。
14.已知数列 满足 ，则 ________．
A. B。 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据空间向量的线性运算，用 作基底表示 即可得解。
江西省南昌市2020届高三第一次模拟测试文科数学试题(含答案)
3
2
32
6
所以 BC
2
sin A
2
2
3
；
BA 3 sin C 3 3
………5 分
（Ⅱ） 1 BC BD sin 2 2 1 BA BD sin ，
2
2
所以 4 2 sin cos 2 2 2 sin cos
2
，
2
所以 ， ABC 3 3 ，
4
4
………8 分 ………10 分
所以 AC2 16 8 2 4 2 2 ( 2 ) 40 ，所以边 AC 2 10 . 2
f (0) m ln(1 m) ，（ 0 m 1），由②构造的函数知， f (0) m ln(1 m) 0 ，
则 f (x) 只有一个零点，符合题意.
综上所述， m 1时，函数 f (x) 有且只有一个零点.
………12 分
21.【解析】（Ⅰ）由题意知 a1 2 ， a2 4 ， b2 b12 ，
增, f (0) m ln(1 m) ，令 g(m) m ln(1 m) ，（ m 0 ），
显然 g(m) 单调递减，有 g(m) g(0) 0 ，即 f (0) 0 ，
则 f (x) 只有一个零点，符合题意；
………9 分
③当 0 m 1 时， f (x) 在 (, 0) 单调递增，在 (0, 2m) 单调递减，在 (2m, ) 单调递增，
NCS20200607 项目第一次模拟测试卷
文科数学参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的．
题号1
2
3
4
5
6
2020届江西省南昌市高三第一次模拟测试试题 文数
2020届江西省南昌市高三第一次模拟测试试题文 数一、选择题1.已知集合{0,1,2}A =，{|}B x N A =∈，则B =（ ） A.{0} B.{0,2}C.1{0,,2}2D.{0,2,4} 答案： B解析：0=，则0x =；1=，则12x =（舍去）；2=，则2x =，故{0,2}B =.2.在复平面内，复数1z =对应的点为Z ，将向量OZ uuu r 绕原点O 按逆时针方向旋转23π，所得向量对应的复数是（ ）A.122i -+B.12i +C.12--D.12i 答案： A解答：∵在复平面内，复数1z =，∴(1,0)z .将向量OZ uuu r 绕原点O 按逆时针方向旋转23π后点的坐标为1(2-，∴对应复数为122-+. 3.一个正三棱柱的正视图如图，则该正三棱柱的侧面积是（ ）A.16B.12C.8D.6 答案： B解析：由题意可知，正三棱柱的底面边长为2，高为2，∴侧面积32212S =⨯⨯=.4.《聊斋志异》中有：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术”，在数学中，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：===规律，若=m ，n 满足的关系式为（ ） A.21n m =- B.2(1)n m =- C.2(1)n m =- D.21n m =- 答案：D解析：当2m =，2n =时，满足21n m =-；3m =，8n =时，满足21n m =-；当4m =，15n =时，也满足21n m =-.故选D5.已知{}n a 是等差数列，且344a a +=-，788a a +=-，则这个数列前10项和等于（ ） A.16-B.30-C.32-D.60- 答案： B 解答：∵344a a +=-，788a a +=-， ∴347812a a a a +++=-，∴由等差数列的性质可得386a a +=-， ∴110381*********a a a aS ++=⨯=⨯=-. 6.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，抛物线上一点的M 的纵坐标0y ，则02y >是||2MF >的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案： A解析：设00(,)M x y 由抛物线定义可得200114y MF x =+=+，当02y >时，20124y +>，满足充分性，当2124y +>时，解得02y >或02y <-，不满足必要性，∴是充分不必要条件. 7.2013年至2019年我国二氧化硫的排放量（单位：万吨）如下表，则以下结论中错误的是（ ）A.二氧化硫排放量逐年下降B.2018年二氧化硫减排效果最为显著C.2017年至2018年二氧化硫减排量比2013年至2016年二氧化硫减排量的总和大D.2019年二氧化硫减排量比2018年二氧化硫减排量有所增加 答案：D解析：2018年减排量为1859.11102.86756.24-=，2019减排量为1102.861014.688.26-=，故选D.8.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，过原点OC 的右支于点A ，若||||OA OF =，则双曲线的离心率为（ ）C.21 答案： D 解答：显然OAF ∆为等边三角形，设(0,0)O ，(2,0)F，则A ，2c =，代入曲线方程可解得2b =24a =-，∴1a =，∴1c e a ===. 9.函数cos 1ln(),1(),1x x x f x xe x π⎧->⎪=⎨⎪≤⎩的图象大致是（ ） A.B.C.D.答案： A解析：当1x >时，1()ln()f x x x =-，此时令1t x x =-，2110t x'=+>，∴()f x 在(1,)+∞上单调递增，故排除B ，C ，当1x ≤时，cos ()xf x eπ=，当(0,1)x ∈时，cos cos ()(cos )0x x f x e e πππ'=⋅=-<，∴()f x 在(0,1)上单调递减，且cos ()0x f x e π=>，故排除D ，综上所述，选A.10.台球是一项国际上广泛流行的高雅室内体育运动，也叫桌球（中国粤港澳地区的叫法），撞球（中国台湾地区的叫法），控制撞球点，球的旋转等控制母球走位是击球的一项重要技术，一次台球技术表演节目中，在台球桌上，画出如图正方形，在点E ，F 处各放一个目标球，表演者先将母球放在点A 处，通过击打母球，使其依次撞击点E ，F 处的目标球，最后停在点C 处，若30AE cm =，40EF cm =，30FC cm =，60AEF CFE ∠=∠=︒，则该正方形的边长为（ ）A.40cmB.C.D.答案： D解析：∵60AEF CFE ∠=∠=︒，∴//AE CF ，又∵AE CF =，∴四边形AECF 为平行四边形，连接AC 交EF 于点O ，则O 为线段EF 和AC 的中点，在AOE ∆中，2222212cos 3020230202AO AE EO AE OE AEO =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯900400600700=+-=，∴AO =，AC =，∴边长为=. 11.已知0x y >>，1x ≠，1y ≠，则（ ） A.(,0)aax y a R a >∈≠B.x ye e y x> C.yxx y > D.1132x y -->答案： B解答：∵0x y >>，∴xye e >，∴x ye e y x>，故选项B 正确. 12.如图，点E 是正方体1111ABCD A B C D -的棱1DD 的中点，点F ，M 分别在线段AC ，1BD （不包含端点）上运动，则（ ）A.在点F 的运动过程中，存在1//EF BCB.在点M 的运动过程中，不存在1B M AE ⊥C.四面体EMAC 的体积为定值D.四面体11FA C B 的体积不为定值 答案：C解答：在长方体1111ABCD A B C D -中，平面11//A BC 平面1D AC ，又因为点F 在AC 上运动，则不存在1//EF BC ；当11B M BD ⊥时，1B M AE ⊥，其理由如下：设AC 与BD 相交于点O ，因为11B M BD ⊥，所以1B M OE ⊥，易证AC ⊥平面11BDD B ，所以1AC B M ⊥，故1B M ⊥平面EAC ，∴1B M AE ⊥；因为1//BD 平面EAC ，所以M EAC V -为定值；因为11//A C AC ，所以点F 到平面11A C B 的距离为定值，所以四面体11FA C B 的体积为定值. 二、填空题13.已知向量b =r ，向量a r 在b r 方向上的投影为12，则a b ⋅=r r .答案：1解答：∵b =r ，∴||2b ==r.又向量a r 在b r 方向上的投影为12，故1||cos ,2a ab 〈〉=r r r ，故1||||cos ,212a b a b a b ⋅=⋅〈〉=⨯=r r r r r r .14.已知函数31()f x x x =-，则1(lg 2)(lg )2f f ''-= .答案：解答：由题意可知，221()3f x x x'=+， 故1(lg 2)(lg )(lg 2)(lg 2)2f f f f ''''-=--2222113(lg 2)3(lg 2)(lg 2)(lg 2)=+---- 0=.15.已知1sin()43x π+=，则5cos()4x π-= . 答案：13- 解答： 由题意可知5cos()cos()cos[()]4424x x x ππππ-=--=--+ 1sin()43x π=-+=-.16.如图，一列圆222:()(0,0)n n n n n C x y a r a r +-=>>逐个外切，且所有的圆均与直线y =±相切，若11r =，则1a = ；n r = .答案： 312n -解答：由已知，11(0,)C a 到直线y =±的距离为1，故113a =，即13a =.111||n n n n n n C C a a r r +++=-=+，且n C 到直线y =±的距离为3n a，故3n n ar =，即3n n a r =，从而111332n n n n n n r r r r r r +++-=+⇒=，即{}n r 是以1为首项，2为公比的等比数列，从而12n n r -=.三、解答题17.如图，D 是在ABC ∆边AC 上的一点，BCD ∆与ABD ∆面积比为2， 22CBD ABD θ∠=∠=.（1）若6πθ=，求sin sin AC的值；（2）若4BC =，AB =AC 的长. 答案： 见解析. 解答：（1）23CBD ABD π∠=∠=，所以11sin 2sin 2326BC BD BA BD ππ⋅=⨯⋅，所以sinsin 3BC A BA C =⇒==. （2）11sin 22sin 22BC BD BA BD θθ⋅=⨯⋅，所以42sin cos 2cos θθθθ⨯=⨯⇒= 所以4πθ=，334ABC πθ∠==，所以216824(40AC =+-⨯⨯=，所以边AC =18.如图，三棱柱111ABC A B C -中， 1A BCB -是棱长为2的正四面体. （1）求证：1AC CC ⊥： （2）求三棱锥1B ACC -的体积.答案：（1）见解析；（2）3. 解答：（1）如图，取1BB 的中点E ，连接CE 交1BC 于点O ，则点O 为1BCB ∆的重心，连接AO ，设1BC 交1B C 于点F ，依题意点A 在底面的投影为1BCB ∆的重心，即AO ⊥平面11BCC B ，所以1AO BB ⊥，因为1BCB ∆是正三角形，所以1CE BB ⊥，则1BB ⊥平面AEC ，则1BB AC ⊥，所以1CC AC ⊥.（2）由1A BCB -是棱长为2的正四面体，所以22,3CO CE AC AO =====，所以112,120BC CC BCC ==∠=︒，得11111sin 2222BCC S BC CC BCC ∆=⋅⋅∠=⨯⨯=111333B ACC A BCC V V --===19.某市2013年至2019年新能源汽车y （单位：百台）的数据如下表：（1）求y 关于x 的线性回归方程，并预测该市2021年新能源汽车台数；（2）该市某公司计划投资600台“双枪同充”（两把充电枪）、“一拖四群充”（四把充电枪）的两种型号的直流充电桩，按要求，充电枪的总把数不少于该市2021年新能源汽车预测台数，若双同充、一拖四群充的每把充电枪的日利润分别为25元，10元，问两种型号的充电桩各安装多少台时，才能使日利润最大，求出最大利润.77211(140,364)i i i i i x x y ====∑∑.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为1221ˆˆˆ,ni ii nii x ynxybay bx xnx ==-==--∑∑ 答案： 见解析 解答：（1）依题意知123456747x ++++++==，58810141517117y ++++++==，77211140,364i i i i i x x y ====∑∑，71722173647411ˆ21407167i ii ii x y xybxx ==--⨯⨯===-⨯-∑∑，11243a y bx =-=-⨯=，则y 关于x 的线性回归方程23y x =+.令9x =得ˆ29321y=⨯+=， 故预测2021年该市新能源汽车大约有2100台.（2）设一拖四群充，双枪同充分别安装m 台，600m -台， 每天的利润为z 元，则42(600)2100m m +-≥，即450m ≥，4050(600)300001030000450025500z m m m =+-=-≤-=.所以当450m =时，z 取最大值25500.故当双枪同充安装150台，一拖四群充安装450台时， 每天的利润最大，最大利润为25500元.20.已知函数32()ln(1)()3x f x mx m m m R =--+-∈. （1）当12m =时，求()f x 的极值； （2）当1m <时，证明：函数()f x 有且只有一个零点. 答案： 见解析 解答：（1）当12m =时，32111()ln 3222x f x x =--+，∴2()f x x x '=-，则()f x 在(,0)-∞递增，在(0,1)递减，在(1,)+∞递增，所以1()(0)ln 22f x f ==--极大值，2()(1)ln 23f x f ==--极小值.（2）2()2(2)f x x mx x x m '=-=-.①当0m =时，2()0f x x '=≥，3()3x f x =只有一个零点0，符合题意；②当0m <时，()f x 在(,2)m -∞单调递增，在(2,0)m 单调递减，在(0,)+∞单调递增，极小值(0)ln(1)f m m =-+-，令()ln(1)g m m m =-+-，则()g m 单调递减， 有()(0)0g m g >=，即(0)0f >，则()f x 只有一个零点，符合题意；③当01m <<时，()f x 在(,0)-∞单调递增，在(0,2)m 单调递减，在(2,)m +∞单调递增，极大值(0)ln(1)f m m =-+-，令()ln(1)h m m m =-+-，则()h m 单调递减， 有()(0)0h m h <=，则()f x 只有一个零点，符合题意. 综上所述，1m <时，函数()f x 有且只有一个零点.21.定义：平面内两个分别以原点和两坐标轴为对称中心和对称轴的椭圆1E ，2E ，它们的长短半轴长分别为1a ，1b 和2a ，2b ，若满足21ka a =，21kb b =，则称2E 为1E 的k 级相似椭圆.已知椭圆1E ：222114x y b +=，2E 为1E 的2级相似椭圆，且焦点共轴，1E 与2E 的离心率之比为2. （1）求2E 的方程；（2）已知P 为2E 上任意一点，过点P 作1E 的两条切线，切点分别为A ，B ，是否存在一定点到直线AB 的距离为定值，若存在，求出该定点和定值；不存在，说明理由. 答案： 见解析 解答：（1）由题意知12a =，24a =，221b b =，则22211112144a b b e a --==，2222222221616a b b e a --==，而22112422114(4)4416447e b e b b -===-+，解得213b =，23b =， 故椭圆1E ：22143x y +=，椭圆2E ：221169x y +=.（2）（解法一）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则过点A 和点B 的切线方程为11143x x y y +=，22143x x y y+=，设00(,)P x y ，则22001169x y +=，即2200916144x y +=，两条切线都经过点P ，则满足方程组10102020143143x x y y x x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，那么点A 和点B 都在直线00143x y x y +=上，则直线AB 的方程为00143x yx y +=，即003412x x y y +=，假设存在一定点(,)C C C x y 到直线AB 的距离为定值，即距离00341212C C x x y y d ⋅+⋅-==为定值，则0C C x y ==，1d =，故存在一定点(0,0)C 到直线AB 的距离为定值1. （解法二）设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 则过点A 和点B 的切线方程为11143x x y y +=，22143x x y y+=，设00(,)P x y ，则22001169x y +=.两条切线都经过点P ，则满足方程组01102020143143x x y y x x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩.那么点A 和点B 都在直线00143x y x y +=上，则直线AB 的方程为00143x yx y +=. 设04cos x θ=，03sin y θ=，则直线AB 的方程为cos sin 1x y θθ⋅+⋅=.假设存在一定点(,)C C C x y 到直线AB的距离为定值，即距离d =cos sin 1)1C C x y θθθϕ=⋅+⋅-=+-为定值，即220C C x y +=，所以0C C x y ==，故存在一定点(0,0)C 到直线AB 的距离为定值1.四、选做题（2选1）22.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的普通方程为22(1)1x y -+=，曲线2C的参数方程为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）.（1）求曲线1C 和2C 的极坐标方程；（2）设射线(0)6πθρ=>分别与曲线1C 和2C 相交于A ，B 两点，求AB 的值.答案： 见解析 解答：（1）曲线1C 的极坐标方程为2cos 0ρθ-=，2C 的极坐标方程为22222cos 3sin 60ρθρθ+-=.（2）令(0)6πθρ=>，则1(,)6A πρ，2(,)6B πρ， 则2222222cos 3sin 6066ππρρ+-=，即22924ρ=，所以23OB ρ==，12cos 6OA πρ===，故3AB OA OB =-=. 23.已知0a >，0b >，2a b +=.（1）求111a b ++的最小值； （2）证明2a b b a ab+≥.答案： 见解析 解答： （1）11111114()[(1)]2131313b a a b ab a b a b ++=+++=++≥+++（），当且仅当21a b a b +=⎧⎨=+⎩，即32a =，12b =时，111a b ++的最小值为43. （2）要证明2a b b a ab+≥，由0a >，0b >，也即证222a b +≥.因为2a b +≤a b =1≥，即222a b +≥.。