新人教版高中数学必修五 第一章解直角三角形教案： 正弦定理和余弦定理
最新人教版高中数学必修五 正弦定理优质教案
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师是否可以用其他方法证明这一等式？
生可以作△ABC的外接圆，在△ABC中,令BC=A,AC=B,AB=C,根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等，来证明 这一关系．
师很好！这位同学能充分利用我们以前学过的知识来解决此问题，我们一起来看下面的证法.
变式二：在△ABC中,已知A＝28,B＝20,A＝120°,求B(精确到1°)和C(保留两个有效数字).
分析:此题属于A为钝角且A>B的情形,有一解,可应用正弦定理求解角B后,利用三角形内角和为180°排除角B为钝角的情形.
解：∵sinB= ≈0.618 6,
∴B≈38°或B≈142°(舍去).
∴C=180°-（A+B）=22°.
∴C1= ≈22.
当A2≈115°时，C2=180°-(B+A2)=180°-(30°+115°)=35°,
∴C2= ≈13.
(2)∵sinB= ≈0.505 1,
∴B1≈30°，B2≈150°.
由于A+B2=45°+150°＞180°,故B2≈150°应舍去(或者由B＜A知B＜A,故B应为锐角).
由分配律可得
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∴|j| Cos90°+|j| Cos(90°-C)=|j| Cos(90°-A).
∴AsinC=CsinA.
∴ .
另外,过点C作与 垂直的单位向量j,则j与 的夹角为90°+C,j与 的夹角为90°+B,可得 .
(此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提,防止误解为j与 的夹角为90°-C,j与 的夹角为90°-B)
1.1 正弦定理和余弦定理
高中数学必修5《正弦定理和余弦定理》教案
高中数学必修5《正弦定理和余弦定理》教案高中数学必修5《正弦定理和余弦定理》教案【一】教学准备教学目标进一步熟悉正、余弦定理内容，能熟练运用余弦定理、正弦定理解答有关问题，如判断三角形的形状，证明三角形中的三角恒等式.教学重难点教学重点：熟练运用定理.教学难点：应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化.教学过程一、复习准备：1. 写出正弦定理、余弦定理及推论等公式.2. 讨论各公式所求解的三角形类型.二、讲授新课：1. 教学三角形的解的讨论：① 出示例1：在△ABC中，已知下列条件，解三角形.分两组练习→ 讨论：解的个数情况为何会发生变化?②用如下图示分析解的情况. (A为锐角时)② 练习：在△ABC中，已知下列条件，判断三角形的解的情况.2. 教学正弦定理与余弦定理的活用：① 出示例2：在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC=6∶5∶4，求最大角的余弦.分析：已知条件可以如何转化?→ 引入参数k，设三边后利用余弦定理求角.② 出示例3：在ΔABC中，已知a=7，b=10，c=6，判断三角形的类型.分析：由三角形的什么知识可以判别? → 求最大角余弦，由符号进行判断③ 出示例4：已知△ABC中，，试判断△ABC的形状.分析：如何将边角关系中的边化为角? →再思考：又如何将角化为边?3. 小结：三角形解的情况的讨论;判断三角形类型;边角关系如何互化.三、巩固练习：3. 作业：教材P11 B组1、2题.高中数学必修5《正弦定理和余弦定理》教案【二】一)教材分析(1)地位和重要性：正、余弦定理是学生学习了平面向量之后要掌握的两个重要定理，运用这两个定理可以初步解决几何及工业测量等实际问题，是解决有关三角形问题的有力工具。
(2)重点、难点。
重点：正余弦定理的证明和应用难点：利用向量知识证明定理(二)教学目标(1)知识目标：①要学生掌握正余弦定理的推导过程和内容;②能够运用正余弦定理解三角形;③了解向量知识的应用。
人教版高三数学必修五《正弦定理和余弦定理》教案
教案【一】教學準備教學目標進一步熟悉正、余弦定理內容，能熟練運用余弦定理、正弦定理解答有關問題，如判斷三角形的形狀，證明三角形中的三角恒等式.教學重難點教學重點：熟練運用定理.教學難點：應用正、余弦定理進行邊角關係的相互轉化.教學過程一、復習準備：1.寫出正弦定理、余弦定理及推論等公式.2.討論各公式所求解的三角形類型.二、講授新課：1.教學三角形的解的討論：①出示例1：在△ABC中，已知下列條件，解三角形.分兩組練習→討論：解的個數情況為何會發生變化?②用如下圖示分析解的情況.(A為銳角時)②練習：在△ABC中，已知下列條件，判斷三角形的解的情況.2.教學正弦定理與余弦定理的活用：①出示例2：在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC=6∶5∶4，求角的余弦.分析：已知條件可以如何轉化?→引入參數k，設三邊後利用余弦定理求角.②出示例3：在ΔABC中，已知a=7，b=10，c=6，判斷三角形的類型.分析：由三角形的什麼知識可以判別?→求角余弦，由符號進行判斷③出示例4：已知△ABC中，，試判斷△ABC的形狀.分析：如何將邊角關係中的邊化為角?→再思考：又如何將角化為邊?3.小結：三角形解的情況的討論;判斷三角形類型;邊角關係如何互化.三、鞏固練習：3.作業：教材P11B組1、2題.教案【二】一)教材分析(1)地位和重要性：正、余弦定理是學生學習了平面向量之後要掌握的兩個重要定理，運用這兩個定理可以初步解決幾何及工業測量等實際問題，是解決有關三角形問題的有力工具。
(2)重點、難點。
重點：正余弦定理的證明和應用難點：利用向量知識證明定理(二)教學目標(1)知識目標：①要學生掌握正余弦定理的推導過程和內容;②能夠運用正余弦定理解三角形;③瞭解向量知識的應用。
(2)能力目標：提高學生分析問題、解決問題的能力。
(3)情感目標：使學生領悟到數學來源於實踐而又作用於實踐，培養學生的學習數學的興趣。
(三)教學過程教師的主要作用是調控課堂，適時引導，引導學生自主發現，自主探究。
高中数学必修5第一章解三角形教案学案 正弦和余弦定理设计
第一章解三角形本章概览三维目标1．掌握正、余弦定理，能初步利用这两个定理解斜三角形。
能利用计算器解决有关解斜三角形的计算问题，能够利用正、余弦定理等知识、方法解决一些与测量以及与几何计算的有关的实际问题。
2．通过对三角形的边角关系的探究学习，体验数学探究活动的过程，培养探索精神和创新意识；在运用正、余弦定理解决一些实际问题的过程中，逐步养成实事求是、扎实严谨的科学态度，学会用数学的思维方式解决问题、认识世界；通过实习作业，体会“解三角形在测量中的应用”，提高应用数学知识解决实际问题的能力和实际操作能力；通过学习和应用，进一步体会数学的科学价值、应用价值，进而领会数学的人文价值、美学价值，不断提高自身的文化素养，并且由正、余弦定理的形式能感受到数学的美。
3．通过对正、余弦定理的学习，要求对于三角形的的相关问题的解决能灵活地根据具体问题去恰当处理。
总之，有了正、余弦定理之后，又给解决三角形的问题提供了一种新的思路，对于具体问题的解决都要具体分析，灵活地运用所学知识去应对实际生活中的各种可能的问题。
4．本章中的有关三角形的一些实际问题，往往动笔计算比较复杂，象这样的问题的计算就要求大家能用计算器或电脑来帮助计算，能根据精确度的需要保留相应的位数。
尽管科学技术发展很快，但必要的计算能力对于一个现代人还是有必要的，所以平时大家还要注意训练自己的运算速度与准确性，时刻注意锻炼自己的意志力。
5．本章学习了正、余弦定理后，对于以后遇到相关三角形的问题时，应当时时注意考虑运用这两个定理去解决相关问题，但与此同时也不能忽视其它方面的知识的应用，否则可能问题不能顺利解决，时时注意前后知识的关联。
本章知识网络1.1 正弦定理和余弦定理第一版块三点剖析一、正弦定理及其证明正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin sin a b c A B C== 正弦定理揭示的是一般三角形中的重要边角关系，它们是解三角形的两个重要定理之一。
(新课标)高中数学 第一章 解三角形教学设计 新人教A版必修5
（新课标）2015-2016学年高中数学第一章解三角形教学设计新人教A版必修5从容说课本章主要学习了正弦定理和余弦定理、应用举例以及实习作业．正弦定理、余弦定理是反映三角形边、角关系的重要定理．利用正弦定理、余弦定理，可以将三角形中的边的关系与角的关系进行相互转化，许多几何问题也可以转化为解三角形的问题来研究．本节课是人教版数学必修五第一章解三角形的全章复习教学重点1.在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形2.三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用3.正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用．教学难点定理及有关性质的综合运用．教具准备多媒体投影仪三维目标一、知识与技能1.掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形确良；2.三角形各种类型的判定方法；3.三角形面积定理的应用二、过程与方法通过引导学生分析，解答典型例题，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题．三、情感态度与价值观通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系．教学过程导入新课师 本章我们共学习了哪些内容？ 生本章我们学习了正弦定理与余弦定理师你能讲出正弦定理、余弦定理的具体内容吗？生 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即R CcB b A a 2sin sin sin ===； 余弦定理: a 2=b 2+c 2-2bcco s A，b 2=a 2+c 2-2acco s B， c 2=b 2+a 2-2baco s Cabc b a C ac b c a cisB bc a c b A 2cos ,2,2cos 222222222-+=-+=-+=师很好！哪位同学来说说运用正弦定理、余弦定理可以解决哪些类型的问题？ 生 正弦定理可以解决以下两类问题：（1）已知两角和一边解三角形；（2）已知两边及其中一边的对角解三角形.余弦定理可以解决以下两类问题:(1)已知三边解三角形；（2）已知两边及其夹角解三角形生 老师，我来补充.利用正弦定理的解题的类型（1）在有解时只有一解，类型（2）可有解、一解和无解；利用余弦定理的解题的两种类型有解时只有一解师 very good！除了以上这些，我们还学习了什么？ 生 除了正弦定理、余弦定理我们还学习了三角形面积公式：C ab B ac A bc S sin 21sin 21sin 21===C ，利用它我们可以解决已知两边及其夹角求三角形的面积师 你说的非常完善，你是我们全班同学学习的榜样.希望我们全班同学都向他学习推进新课 多媒体投影生 老师，我也来补充.利用正弦定理、余弦定理我们还可以解决实际生活中的一些问题:有关测量距离、高度、角度的问题．师 看来同学们对解三角形这一章掌握得都不错．下面，我们来看一下例题与练习． ［例题剖析］【例１】在△ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A 与B 的大小关系为生 这个题目以前做过的，A 与B的大小关系不定． 师 对吗？生我认为不对．我以前做过的题目中没有“在△ABC 中”这个条件． （其他学生一致认可） 师 那本题应该怎么做呢？生 我觉得答案应该是A ＞B ，但是理由我说不上来． 生 我来说．因为在△ABC 中，由正弦定理得R CcB b A a 2s i n s i n s i n ===,所以 a =2Rsin A ,B =2Rsin B .又因为sin A ＞sin B ，所以A ＞B ． 又因为在三角形中，大边对大角，所以A ＞B ． 师 好，你解得非常正确．【例２】在△ABC 中，若△ABC 的面积为S ，且2S=(a +b )2-C 2，求t a n C 的值． 师 拿到题目你怎么考虑，从哪里下手？生 利用三角形的面积公式，代入已知条件2S=(A +B )2-C 2中，再化简师 用面积公式S=21 bc in A =21ac sin B =21ab sin C 中的哪一个呢？ 生 用哪一个都可以吧生 不对，应该先化简等式右边，得A +B 2-C 2=A 2+2AB +B 2-C 2，出现了A 与B 的乘积：AB ，而2abco s C =a 2+b 2-c 2，因此面积公式应该用S=21ab sin C ，代入等式得ab sin C =a 2+b 2+2ab -C 2=2ab -2abco s C .化简得tan2C=2． 从而有344142tan 12tan2tan 2-=-=-=C CC． 师 思路非常清晰，请同学们思考本题共涉及到了哪些知识点？ 生 正弦定理、余弦定理与三角形面积公式． 生还有余切的二倍角公式． 师 你能总结这类题目的解题思路吗？生拿到题目不能盲目下手，应该先找到解题切入口． 师 对，你讲得很好．生正弦定理、余弦定理都要试试．【例3】 将一块圆心角为120°，半径为20 c m 的扇形铁片裁成一块矩形，有如图（1）、（2）的两种裁法：让矩形一边在扇形的一条半径OA 上，或让矩形一边与弦AB 平行，请问哪种裁法能得到最大面积的矩形？并求出这个最大值师本题是应用题，怎么处理？生由实际问题抽象出数学模型，找到相应的数学知识来解决分析:这是一个如何下料的问题，从图形的特点来看，涉及到线段的长度和角度，将这些量放置在三角形中，通过解三角形求出矩形的边长，再计算出两种方案所得矩形的最大面积，加以比较，就可以得出问题的结论解：按图（1）的裁法：矩形的一边O P 在OA 上，顶点M 在圆弧上，设∠M OA =θ，则|MP|=20sin θ,|OP |=20co s θ, 从而S=400sin θco s θ=200sin2θ， 即当4πθ=时，S m a x按图（2）的裁法：矩形的一边PQ 与弦AB 平行，设∠M O Q=θ，在△M O Q 中，∠O QM=90°+30°=120°,由正弦定理，得|MQ|=θθsin 2340120sin sin 20=︒又因为|MN |=2|OM |sin(60°-θ)，=40sin(60°-θ),所以S=|MQ |·|MN |=331600sin θsin(60°-θ)=331600｛-21［co s60°-co s(2θ-60°)］｝=33800［cos(2θ-60°)-co s60°］所以当θ=30°时，S m a x =33400由于33400＞200，所以用第二种裁法可裁得面积最大的矩形，最大面积为33400c m 2评注:正弦定理、余弦定理在测量（角度、距离）、合理下料、设计规划等方面有广泛应用.从解题过程来看，关键是要找出或设出角度，实质是解斜三角形，将问题涉及的有关量集中在某一个或者几个三角形中，灵活地运用正弦定理、余弦定理来加以解决【例4】如果一个三角形的三边是连续的三个自然数，求所有这些三角形中的最大角的度数．（精确到0.1°） 师 已知什么，要求什么？生（齐答）已知三角形的三边，要求三角形中的角． 师 怎么处理呢？生用正弦定理或余弦定理实现三角形中边与角的转化，可是三条边的值不知道啊． 生条件中三角形的三边是连续的三个自然数，那么我们可以设这三个连续的自然数为n-1，n ，n+1，最大的角为θ，则)1(2321)1(24)1(2)1()1(cos 2222--=--=-+--+=n n n n n n n n n n θ师 接下来怎么做呢？生 因为co s θ是［0°,180°］内的减函数，所以要求θ的最大值即求co s θ的最小值．师cos θ的最小值怎么求呢？ 生 因为cos θ＞－１，从而有)1(2321--n ＞-1)1(23-⇒n ＜23n-1＞1⇒n ＞又因为n 为自然数，所以当n=3时，（cos θ）=-41，所以θ的最大值为104.5°．（教师用多媒体投影）解：设这三个连续的自然数为n-1，n ，n+1，最大的角为θ，则)1(2321)1(24)1(2)1()1(cos 2222--=--=-+--+=n n n n n n n n n n θ因为cos θ是［0°,180°］内的减函数，所以要求θ的最大值即求co s θ的最小值，且cos θ＞－１，从而有)1(2321--n ＞-1)1(23-⇒n ＜⇒23n-1＞1⇒n ＞2．因此，当n=3时，（cos θ）min =-41，所以θ的最大值为104.5°． 师 下面我们来看一组练习 多媒体投影1.在△ABC 中，若A =30°,B =45°,C =6，则A 等于（ ）A.26-B.26(2-C.)26(3-D.)26(4-2.在△ABC 中，若a =7,b =4,c =5, 则△ABC 的面积为（精确到0.１）（ ） A ．B ．C ．10.3D ．3.某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离D 1与第二辆车与第三辆车的距离D 2之间的关系为（ ） A.d 1＞d 2B.d 1=d 2C.d 1＜d 2D.大小确定不了4.在△ABC 中，若A ·co t A =bco t B ，则△ABC 是_______三角形．5.在异面直线A ,B 上有两点M 、N ，EF 是直线A ,B 的公垂线段，若EM ＝５，EF ＝３，FN ＝４，MN ＝６，则异面直线A ,B 所成的角为___________．（精确到1°） 练习题答案：4.等腰课堂小结同学们本节课你的收获是什么？生 正弦定理、余弦定理都是联系三角形边和角的关系式生 凡是可用正弦定理的时候，都可以用余弦定理；当关系式中有边的平方项时，可以考虑余弦定理生 已知两边一对角求解三角形时用余弦定理讨论二次方程，更容易判断是无解、一解还是两解的问题生 利用正弦定理和余弦定理解决几何问题的关键还是在于找出图形中的边角关系，然后假设有关的边和角，利用正弦定理和余弦定理建立边或角的关系式生 在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解.其基本步骤是（1）分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图（一个或几个三角形）；（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；（3）求解：利用正弦定理、余弦定理解这些三角形，求得数学模型的解； （4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解布置作业1.已知锐角三角形的三边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是__________． 2.在△ABC 中，已知t a n A =21,t a n B =31，试求最长边与最短边的比． 3.某人坐在火车上看风景，他看见远处有一座宝塔在与火车前进方向成30°角的直线上，1分钟后，他看见宝塔在与火车前进方向成45°角的直线上，设火车的速度是100 km/h ，求宝塔离开铁路线的垂直距离． 答案：1.(5,132.解：因为t a n A =21,t a n B =31，所以1312113121tan tan 1tan tan )tan(=∙-+=-+=+BA BA B A ．因为0°＜A ＜45°，0°＜B ＜45°，所以A +B = 45°． 所以3510103135sin sin sin =︒==B C b c ，所以最长边与最短边的比为35． ３.解：如图，设宝塔在C 点，先看时的位置为A ，再看时的位置为B ，由题意知∠BAC =45°-30°=15°,AB =3560100=（km ）， AC =)13(3513515sin 53sin sin +=︒︒=∠∙∠=ABC BCA AB AC所以C 点到直线AB 的距离为d =AC ·sin30°=65(3+1)（km ）．板书设计 例例3备课资料解三角形三角形的三条边和三个内角是三角形的六个基本元素．已知其中的三个基本元素(至少有一个是边)求其余的基本元素叫做解三角形． 1.直角三角形的解法因为直角三角形中有一个是直角，例如△ABC 中，C ＝90°，角A 、B 、C 的对边分别是A 、B 、C ．那么利用以下关系式：（1）A +B =90°；（2）A 2＋B 2=C 2；（3）A =c sin A =cco s B ＝B ·t a n A ；（4）B =cco s A =c sin B =acxtana ． 可分四种情况来解直角三角形． （1）已知斜边和一锐角； （2）已知一条直角边和一锐角；（3）已知一斜边和一直角边； （4）已知两条直角边． 2.斜三角形的解法在一个三角形中，如果没有一个角是直角，那么这个三角形叫做斜三角形．斜三角形的解法可分以下四种情况：（1）已知两角和一边；（2）已知两边和其中一边的对角；（3）已知两边和它们的夹角；（4）已知三边．解斜三角形常常利用以下基本关系式： 1．三角形内角和为180°，即A ＋B ＋C =180°； 2．正弦定理，即R CcB b A a 2sin sin sin ===3．余弦定理，即(1)⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=;cos cos ,cos cos ,cos cos B a A b c A c C a b C b B ca(2)⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=-+=C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2,cos 2222222222一般地说，在已知两边和其中一边的对角的情况下，解三角形时，问题不一定有解，如果有解也不一定有唯一解．对这类问题进行讨论，可得如下结论．A ＞B sin A A =B sin A A ＜B sin A两解 一解 无解。
人教版高一必修五第一章正弦定理和余弦定理
CD a sinB
S ABC
1 1 AB CD ac sin B 2 2
C a
同理：S ABC S ABC
1 ab sinC； 2 1 bc sin A. 2
b
B
c D
A
正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦的比 相等.
A
C 且 B 180 ( A C ) 105
b c 解：∵ sin B sin C
c sin B 10 sin 105 b 19 sin C sin 30
例2：在
ABC中，已知a=20cm,b=28cm,A=40°，解三角形
（角度精确到1 ° ，边长精确到1cm）. b sin A 28 sin 40 解：根据正弦定理， sin B 0.899 a 20 因为0＜B＜180 ，所以B 64或 116 （1）当B≈64°时， C=180°-（A+B）≈180°-（40°+64°）=76°
例题1
2
4
正弦定理
(1)在ABC中，已知b 12, A 30 ，
3.定理的应用举例 例1 在ABC 已知 解三角形. 变式：若将a=2 改为c=2，结果如何？ 通过例题你发现了什么一般性结论吗?
A 300 , B 1350 , a 2
,
小结：知道三角形的两个内角和任何一边，利 用正弦定理可以求出三角形中的其它元素。
例 2、 已知a=16， b= 16 3， A=30° . 已知两边和其中一边 解三角形（2）将 A=30° 变为B= 30° 呢？ 的对角,求其他边和角 a b 解：由正弦定理 C
高中数学《正弦定理》教案4篇
高中数学《正弦定理》教案4篇高中数学《正弦定理》教案1教材地位与作用：本节学问是必修五第一章《解三角形》的第一节内容，与学校学习的三角形的边和角的基本关系有亲密的联系与判定三角形的全等也有亲密联系，在日常生活和工业生产中也时常有解三角形的问题，而且解三角形和三角函数联系在高考当中也时常考一些解答题。
因此，正弦定理的学问特别重要。
学情分析：作为高一同学，同学们已经把握了基本的三角函数，特殊是在一些特别三角形中，而同学们在解决任意三角形的边与角问题，就比较困难。
教学重点：正弦定理的内容，正弦定理的证明及基本应用。
教学难点：正弦定理的探究及证明，已知两边和其中一边的对角解三角形时推断解的个数。
(依据我的教学内容与学情分析以及教学重难点，我制定了如下几点教学目标)教学目标分析：学问目标：理解并把握正弦定理的证明，运用正弦定理解三角形。
力量目标：探究正弦定理的证明过程，用归纳法得出结论。
情感目标：通过推导得出正弦定理，让同学感受数学公式的干净对称美和数学的实际应用价值。
教法学法分析：教法：采纳探究式课堂教学模式，在老师的启发引导下，以同学自主和合作沟通为前提，以“正弦定理的发觉”为基本探究内容，以生活实际为参照对象，让同学的思维由问题开头，到猜测的得出，猜测的探究，定理的推导，并逐步得到深化。
学法：指导同学把握“观看——猜测——证明——应用”这一思维方法，实行个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学学问应用于对任意三角形性质的探究。
让同学在问题情景中学习，观看，类比，思索，探究，动手尝试相结合，增添同学由特别到一般的数学思维力量，锲而不舍的求学精神。
教学过程(一)创设情境，布疑激趣“爱好是最好的老师”，假如一节课有个好的开头，那就意味着胜利了一半，本节课由一个实际问题引入，“工人师傅的一个三角形的模型坏了，只剩下如右图所示的部分，∠a=47°,∠b=53°,ab 长为1m,想修好这个零件，但他不知道ac和bc的长度是多少好去截料，你能帮师傅这个忙吗?”激发同学关心别人的热忱和学习的爱好，从而进入今日的学习课题。
最新人教版高中数学必修5第一章《余弦定理》教案
《余弦定理》教案教学目标1．掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.2．利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.3．培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一.教学重点难点1．重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；2．难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用.教法与学法1．教法选择：“情境--问题”教学模式——“设置情境--提出问题--解决问题--反思应用”；2．学法指导：“自主——合作——探究”的学习方式，让学生自主探索学会分析问题和解决问题.教学过程一、设置情境，激发学生探索的兴趣c a b =-)()2222222cos :c a b a b ab cABC c a b ⋅-=+-=+- 即：△中三、思维拓展，课堂交流5,bc =四、归纳小结，课堂延展1．教材地位分析“余弦定理”是解决有关斜三角形问题的两个重要定理之一，也是初中“勾股定理”内容的直接延拓，它是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的具体运用，是解可转化为三角形计算问题的其它数学问题及生产、生活实际问题的重要工具具有广泛的应用价值，起到承上启下的作用.2．学生现实分析本课之前，学生已经学习了三角函数、向量基本知识和正弦定理有关内容，对于三角形中的边角关系有了较进一步的认识.在此基础上利用向量方法探求余弦定理，学生已有一定的学习基础和学习兴趣.总体上学生应用数学知识的意识不强，创造力较弱，看待与分析问题不深入，知识的系统性不完善，使得学生在余弦定理推导方法的探求上有一定的难度，在发掘出余弦定理的结构特征、表现形式的数学美时，能够激发学生热爱数学的思想感情；从具体问题中抽象出数学的本质，应用方程的思想去审视，解决问题是学生学习的一大难点.3．教学价值分析在本课的教学设计中抓住前后知识的联系，重视数学思想的教学，加深对数学概念本质的理解，认识数学与实际的联系，学会应用数学知识和方法解决一些实际问题.本课运用联系的观点，从多角度看待问题，在提出问题、思考分析问题、解决问题等多方面对学生进行示范引导，将旧知识与新知识进行重组拟合及提高，帮助学生建立自己的良好知识结构.。
高中数学 第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理复习课教案 新人教A版必修5-新人教A版高二必
《正弦定理和余弦定理》复习课〔四〕典例导航、知识拓展[例1]△ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c，如果a2=b〔b+c〕，求证：A=2B.剖析：研究三角形问题一般有两种思路.一是边化角，二是角化边.证明：用正弦定理，a=2R sin A，b=2R sin B，c=2R sin C，代入a2=b〔b+c〕中，得sin2A=sin B〔sin B+sin C〕sin2A－sin2B=sin B sin C因为A、B、C为三角形的三内角，所以sin〔A+B〕≠0.所以sin〔A－B〕=sin B.所以只能有A－B=B，即A=2B.评述：利用正弦定理，将命题中边的关系转化为角间关系，从而全部利用三角公式变换求解.思考讨论：该题假设用余弦定理如何解决?[例2]a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边，〔1〕假设△ABC的面积为，c=2,A=600,求边a,b的值；〔2〕假设a=ccosB,且b=csinA,试判断△ABC的形状。
〔五〕变式训练、归纳整理[例3]a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边，假设b cosC=(2a-c)cosB(1) 求角B(2) 设,求a+c的值。
剖析：同样知道三角形中边角关系，利用正余弦定理边化角或角化边，从而解决问题，此题所变化的是与向量相结合，利用向量的模与数量积反映三角形的边角关系，把本质看清了，问题与例2类似解决。
此题分析后由学生自己作答，利用实物投影集体评价，再做归纳整理。
〔解答略〕课时小结〔由学生归纳总结，教师补充〕1. 解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理2. 根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：①化边为角；②化角为边.并常用正余弦定理实施边角转化。
3. 用正余弦定理解三角形问题可适当应用向量的数量积求三角形内角与应用向量的模求三角形的边长。
sin ACB ∠45ACB ∠=︒，18060ABC ACB ACB ∴∠=-∠-∠=在Rt ABD ∆中，sin AD ABC AB∠=3002sin AD AB ∴=角形的问题，题后，对特殊问题一般化，得出一个猜测性的23，23，23，引导学生考察A a sin ，B bsin ，Ccsin 的关系。
人教版高中数学必修5-1.1《正弦定理和余弦定理(第2课时)》教学设计
名师示范课第一章 解三角形1.1.2 余弦定理（名师：王历权）一、教学目标1.核心素养通过学习余弦定理,初步形成基本的数学抽象和逻辑推理能力.2.学习目标（1）了解余弦定理能解决的求三角形问题的类型;（2）能证明余弦定理;（3）应用余弦定理解决三角形相应问题.3.学习重点理解余弦定理,会用余弦定理解三角形问题.4.学习难点余弦定理的证明.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务任务阅读教材P5－P7,思考:余弦定理的内容是什么?你还有哪些方法可以证明余弦定理?余弦定理有哪些应用?2.预习自测1.结论:2a =_________________;2b =___________________;2c =_______________. 变式:A cos =__________;B cos =________________;C cos =_________________. 解:A bc c b a cos 2222-+=,B ac a c b cos 2222-+=,C ab b a c cos 2222-+=.bc a c b A 2cos 222-+=,ca b a c B 2cos 222-+=,abc b a C 2cos 222-+=.2.已知3,4,a b ==a 和b 的夹角为60º,求c .解:13,1360cos 432169cos 2222==︒⨯⨯-+=-+=c C ab b a c .（二）课堂设计1.知识回顾（1）在三角形中大边对大角,大角对大边.（2）三角形的面积:C ab S sin 21=. （3）正弦定理:sin sin sin a b c A B C ==. 2.问题探究问题探究一 另一类解三角形问题●活动一 回顾旧知理论上正弦定理可解决两类问题:（1）已知两角和任意一边,求其它两边和一角;（2）两边和其中一边对角,求另一边的对角,进而可求其它的边和角.●活动二 整合旧知,探求边角新关系如果已知某个三角形的两条边和它们的夹角,则显然三角形的形状与大小唯一确定,能求出未知的边与角吗?应用正弦定理显然无法求解三角形.Rt ABC V 中,90C ∠=︒,,,A B C ∠∠∠的对边依次为a b c 、、,若已知边b c 、,显然很容易得到222=+c a b ,那么对于任意一个三角形ABC ,若已知两边及夹角,第三边与另外两边及夹角之间有怎样的数量关系呢?问题探究二 余弦定理的证明. ●活动一 集思广益,证明余弦定理在一般的三角形中若已知A c b 、、,你能证明A bc c b a cos 2222-+=这个结论吗? 在锐角△ABC 中,过点C 作CD AB ⊥,垂足为D ,则=AB AD DB +.因而,有2222222(sin )(cos )2cos a CD BD b A c b A b c bc A =+=+-=+-,同理,我们可以得到:2222222cos ,2cos b c a ac B c a b ab C =+-=+-,. 或者222222222cos ,cos ,cos 222b c a c a b a b c A B C bc ca ab+-+-+-===. 在钝角三角形中是否也能用类似方法证明呢?不妨设∠B 为钝角,如图,22222(sin )(cos )a CD BD b A b A c =+=+-A bc c b cos 222-+=, 若△ABC 中∠A 为直角呢?我们可以得到A bc c b c b a cos 222222-+=+=. 余弦定理:对于任意的一个三角形,都有2222222222cos ,2cos ,2cos a b c bc A b c a ac B c a b ab C =+-=+-=+-.公式还可以变形为:bc a c b A 2cos 222-+=,ca b a c B 2cos 222-+=,ab c b a C 2cos 222-+=. ●活动二 发现公式证明新方法,反思过程结合问题条件与结论涉及边长与角度,能否用向量的办法证明余弦定理?A B如图在ABC ∆中,AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b .∵AC AB BC =+u u u r u u u r u u u r ,∴()()AC AC AB BC AB BC ⋅=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 222AB AB BC BC =+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r222||||cos(180)AB AB BC B BC =+⋅-+o u u u r u u u r u u u r u u u r 22cos 2a B ac c +-=.即B ac a c b cos 2222-+=同理可证A bc c b a cos 2222-+=,C ab b a c cos 2222-+=.反思:对向量等式+=平方法即得B ac a c b cos 2222-+=,过程中哪些方法值得总结?另外向量等式BC AB AC +=有哪些丰富的内涵?等式中隐藏了哪些信息?问题探究三 利用余弦定理能解决哪些三角形的问题? ●活动一 初步运用,运用定理解三角形例1 在ΔABC 中,已知a ＝7,b ＝10,c ＝6,求A 、B 和C.【知识点:余弦定理,解三角形;数学思想:数形结合】详解:∵222cos 0.7252b c a A bc+-==,∴A≈44° ∵222cos 0.80712a b c C ab+-==,∴C≈36°, ∴B ＝180°－(A ＋C)≈100°.点拨:知道三边利用余弦定理可以求任意一个内角的余弦值.例2 在ΔABC 中,已知a ＝2.730,b ＝3.696,C ＝82°28′,解这个三角形.【知识点:余弦定理,解三角形;数学思想:数形结合】详解:由C ab b a c cos 2222-+=,得c ≈4.297∵222cos 0.77672b c a A bc+-=≈,∴A≈39°2′, ∴B ＝180°－(A ＋C)＝58°30′(∵sin sin 0.6299a C A c=≈,∴A=39°或141°(舍))点拨:在已知两边和夹角的条件下,用余弦定理求出另一边,再用余弦定理或正弦定理可以求解整个三角形.例3 在ABC ∆中,cos cos b A a B =,则三角形为（ ）A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形【知识点:余弦定理】详解:选C,由正弦定理有sin cos sin cos B A A B =,即sin()0A B -=,所以ABC ∆是等腰三角形.又解,由余弦定理知acb c a a bc a c b b 22222222-+=-+,整理得a b = 点拨:灵活使用正余弦定理是解题关键.●活动二 对比提升,判断三角形解的个数余弦定理非常对称美观,三角函数把几何中关于三角形的定性结果都变成了可定量计算的公式了,它可以求解如下两类解三角形的问题:（1）已知三边,求三个角;（2）已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角.利用余弦定理解三角形时会出现无解、一解或多解等多种情况吗?3.课堂总结【知识梳理】余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍,即2222222cos cos 2b c a a b c bc A A bc +-=+-⇔=, 2222222cos cos 2c a b b c a ac B B ca +-=+-⇔=, 2222222cos cos 2a b c c a b ab C C ab +-=+-⇔=. 【重难点突破】（1）余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例,它揭示的是三角形中边角之间的关系,是解三角形的重要工具之一.（2）在余弦定理中含三边和一边的对角这四个元素,利用方程的思想,知三可求一.（3）解三角形问题时,一般先画出示意图,根据题目的结构特征,灵活运用正弦定理或余弦定理及其变式,这不仅是解决有关问题的切入点,更是找到解题捷径所在.4.随堂检测1.已知在ABC ∆中,sin :sin :sin 3:2:4A B C =,那么cos C 的值为（ ）A.－41B.41C.－ 32D.32 【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】解:A2.在200米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°,则塔高为（ ） A.3400米33400米 C.2003米米【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】解:A3.在ABC ∆中,cos cos b A a B =,则三角形为（ ）A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】解:C4.三角形的两边分别为5和3,它们夹角的余弦是方程25760x x --=的根,则三角形的另一边长为（ ）A. 52B. 132C. 16D. 4 【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】解:B5. 在ABC ∆中,等式C b a B A b a s in )()s in ()2222-=-+（成立的充要条件是（ ）A.b a =B.090=∠CC.90a b C =∠=︒且D. 90a b C =∠=︒或【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】解:A（三）课后作业基础型 自主突破1.长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为 ( )A.90°B.120°C.135°D.150°【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】解:B2. 已知b a ,为ABC ∆的边,,A B 分别是b a ,的对角,且32sin sin =B A ,求a b b+的值. 【知识点:余弦定理;正弦定理】解:25 3.已知三角形的一个角为60°,面积为310,周长为20,求此三角形的各边长.【知识点:余弦定理,三角形面积;数学思想:数形结合】解:5,7,8 .4.已知锐角三角形三边分别为3,4,a ,则a 的取值范围为（ ）A.15a <<B.17a << 5a << 7a <<【知识点:余弦定理;数学思想:分类讨论、数形结合】解:C5.如图,在斜度一定的山坡上的一点A 测得山顶上一建筑物顶端C 对于山坡的斜度为15︒,向山顶前进100m 后,又从点B 测得斜度为45︒,假设建筑物高50m,求此山对于地平面的斜度θ.【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】解:θ = 4294︒6.在ABC ∆中,=53AB AC =，,D 为BC 中点,且4=AD ,求BC 边长.【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】解:2能力型 师生共研7. 如图,在四边形ABCD 中,已知A D C D ⊥, 10,14AD AB ==,60BDA ∠=︒, 135BCD ∠=︒,求BC 的长.【知识点:余弦定理】解:288.在ABC ∆中,求证: 0)sin (sin )sin (sin )sin (sin =-+-+-B A c A C b C B a .【知识点:正弦定理、余弦定理】解:左边=)sin (sin sin 2)sin (sin sin 2)sin (sin sin 2B A C R A C B R C B A R -+-+- =]sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin [sin 2B C A C A B C B C A B A R -+-+-=0=右边.9.在ABC ∆中,三边长为连续的自然数,且最大角是最小角的2倍,求此三角形的三边长.【知识点:余弦定理】解:三边长为4,5,6.10.在ABC ∆中,证明下列各式:（1）0tan )(tan )(222222=+-+--B c b a A c b a .(2) 2222112cos 2cos ba b B a A -=-. 【知识点:正弦定理、余弦定理】证明:(1)左边＝)(222c b a --B B c b a A A cos sin )(cos sin 222+-+ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-++-+-+-=-+⋅⋅+-+-+⋅⋅--=222222222222222222222222)(2222)(22)(b c a b c a a c b a c b R a b c b c a ac R b c b a a c b bc R a c b a 右边==+-=0)11(Rabc 故原命题得证右边左边=-=+--=+--=---=22222222222222222211)2(2)2(211sin )2(sin 2sin )2(sin 2)11(sin 21sin 21)2(ba R Rb a B R B A R A b a b B a A 故原命题得证探究型 多维突破11.在ABC ∆中,30A ︒=,sin C2sin B B C =. (1) 求证:ABC ∆为等腰三角形;(2) 设D 为ABC ∆外接圆的直径BE 与AC 的交点,且2AB =,求:AD DC 的值.【知识点:正弦定理、余弦定理;数学思想:数形结合】解:（1）略 ;（2）3:112.ABC ∆中,若已知三边为连续正整数,最大角为钝角.（1）求最大角;（2）求以此最大角为内角,夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积.【知识点:余弦定理;数学思想:分类讨论】解:（1） 109,41cos ,4,3,2=-====C C c b a . （2）设夹C 角的两边为y x ,,4=+y x ,)4(415415)4(sin 2x x x x C xy S +-⋅=⋅-==, 当2=x 时15max =S .自助餐1. 在ABC ∆中,已知60A ︒=,1b =,,则sin sin sin a b c A B c ++++为( )A. B. C. D. 【知识点:正弦定理、余弦定理、三角形面积;数学思想:数形结合】 解:B.2. 在ABC ∆中,内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c .若c 2＝(a －b )2＋6,C ＝π3,则ABC ∆的面积是( )A.3B.9 32C.3 32D.3 3【知识点:余弦定理、三角形面积】解:C.3. 在ABC ∆中,π4B =,BC 边上的高等于13BC ,则cos A =（ ）C.-D.- 【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】解:C.4.设ABC ∆的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若cos cos sin b C c B a A +=,则ABC ∆的形状为（ ）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定【知识点:正弦定理、余弦定理;数学思想:数形结合】解:B.5.已知ABC ∆中,A b B a c cb ac b a cos cos 2222==-+-+且,试判断ABC ∆的形状. 【知识点:正弦定理、余弦定理;数学思想:数形结合】解:等边三角形.6.一货轮航行到M 处,测得灯塔S 在货轮的北偏东15°相距20里处,随后货轮按北偏西30°的方向航行,半小时后,又测得灯塔在货轮的北偏东45°,求货轮的速度.【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】解:7.设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,()()a b c a b c ac ++-+=.(1)求B ;(2)若sin sin A C =,求C . 【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】 解:（1）120︒;（2）15︒或45︒8. 在ABC ∆中,若22299190a b c +-=,试求tan tan (tan tan )tan A B A B C+的值. 【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】 解:59。
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1.1 正弦定理和余弦定理【知识要点】1. 正弦定理：在三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 是三 角形ABC 的外接圆的半径，则有===2sin sin sin a b cR A B C。
文字语言表述为：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。
2.余弦定理：在三角形ABC 中，有：222222222=+-2cos ;=a +-2cos ;=+-2cos a b c bc A b c ac B c a b ab C ；变形后：222222222+-+-+-cos =,cos =,cos =222b c a a c b a b c A B C bc ac ab。
3. 解三角形的基本类型及解法a. 一般的，把三角形的三个内角A 、B 、C 和它们的对边a 、b 、c 叫做三角 形的元素。
已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做解三角形。
b. 解三角形有一下几种类型：（1）已知一边和两角 （2）两边和夹角 （3）三边 （4）两边和其中一边对角4. 判断三角形的形状常见结论：（1）若222+=a b c ，则C=90︒（2）若222+a b c >，则C <90︒ （3）若222+a b c <，则C 90>︒ （4）sin 2sin 2,+=2A B π=若则A=B,或A B5. 三角形的综合问题【知识应用】1. 研究三角形问题的一般有两种思路：一是边化角，二是角化边。
在解题时要结合题设，发现题设结构，再结合正弦定理解决。
【J 】例1 （1）三角形ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 。
若c=2,6,120b B ==︒，则a=______。
（2）在三角形ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若(3)cos cos ,cos b c A a C A -=则=________。
【L 】例2 （1）在三角形ABC 中，已知45,30,c 10A B =︒=︒=，求b（2）在三角形ABC 中，已知45,2,2A a b =︒==，求B【C 】例3 （1）在三角形ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，设a+c=2b ，3A C π-=，求sin B 的值。
（2）三角形ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，如果2()a b b c =+， 求证：A=2B 。
2. a. 在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一。
b. 余弦定理也为求三角形的有关量（如面积、外接圆半径）提供了工具，它可以用来判定三角形的形状，证明三角形中的有关等式，在一定程度上，它比正弦定理的应用更加广泛。
【J 】例1 在三角形ABC 中，::2:6:(31)a b c =+，求三角形各内角度数。
【L 】例2 （1）在三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c,若222()a c b +-tanB =3ac,则角B 的值为______。
（2）如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为_______。
【C 】例3 （1）在三角形ABC 中，若222()sin :sin :sin 3:2:4,cos a c b A B C C +-=则=___ （2）在三角形ABC 中，角A=60,16,2203AC ︒=面积为，BC 的长度为_______。
3.已知条件 应用定理 一般解法一边和两角 （a 、B 、C ）正弦定理 有A+B+C=180︒，求角A ；由正弦定理求出b 与c ；在有 解时只有一解两边和夹角 （a 、b 、C ）余弦定理 正弦定理由余弦定理求出第三边c ；由正弦定理求出小边所对的角；再由A+B+C=180︒求出另一角；在有解时只有一解三边（a 、b 、c ）余弦定理 有余弦定理求出角A ，B ；在利用A+B+C=180︒求出C ；在有解时只有一解两边和其中一边的对角 （a 、b 、A ）正弦定理由正弦定理求出角B ；有A+B+C=180︒求出角C ；再利用正弦定理求出第三边c ；可有一解、两解或无解熟练掌握下列知识对解三角形有帮助：1sin()sin ,cos()cos ,tan()tan ,cossin 22C A BA B C A B C A B C ++=+=-+=-=（） （2）在三角形ABC 中，熟记并会证明：tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=∙∙（3）等边对等角，等角对等边，大边对大角，大角也对大边。
（4）三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
【J 】例1 在三角形ABC 中，已知26,623,43a b c ==+=，求角A ，B ，C【L 】例2 （1）在三角形ABC 中，已知60B =︒，最大边与最小边的比为312+，则三角形的最大角为_______。
（2）在三角形ABC 中，60,1,3,sin sin sin a b cA b AB C++=︒=++其面积为则=______。
【C 】例3 1. 在三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知1cos 24C =- （1）求sinC 的值 （2）当2,2sin sin a A C ==时，求b 及c 的长2. 在三角形ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，3cos ,215B AB BC →→=∙=-且（1）求三角形ABC 的面积 （2）若a=7，求C4. a. 判断三角形的形状特征，必须从研究三角形与边的关系，或角与角的关系入手，充分利用正弦定理与余弦定理进行边角转化，由三角形的边或角的代数运算或三角运算，暴露出边与边或角与角的关系，从而作出正确判断。
b. 对于给出条件是边角关系混合在一起的问题，一般的，应运用正弦定理和余弦定理，要么把它统一为边的关系，要么统一为角的关系。
在利用三角形的有关知识、三角恒等变形方法、代数恒等变形进行转化、化简，从而得出结论。
c. 在判断三角形的形状时，一般考虑从两个方向进行变形：一个方向是边，走的是代数变形途径，通常是正、余弦定理结合使用；另一个是角，走的是三角变形途径，通常运用正弦定理。
【J 】例1 在三角形ABC 中，2cosBsinA=sinC ，则三角形ABC 的形状是_______。
【L 】例2在三角形ABC 中，若2222b sin sin 2cos cos Cc B bc B C +=，判断三角形形状【C 】例3 在三角形ABC 中，()()3,2cos sin sin a b c a b c ab A B C +++-==，判断三角形ABC 的形状。
（分别用边和角的关系来判断）5. a. 利用正弦定理、余弦定理在解决三角形的综合问题时，要注意一下关系式的运用： sin()sin ;cos()cos A B C A B C +=+=-；sincos ;cos sin 2222A B C A B C++== b. 在解决三角形的综合问题时，要将正弦定理、余弦定理与三角恒等变换，代数恒等变换等变形方法结合起来，进行转化，化简，从而得到结论。
【J 】例1 在三角形ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且角A 为80︒， 2()a b b c =+，求角C 的度数。
【L 】例2 在三角形ABC 中，22,,,tan tan 6,4c a b C A B π=>=∙=且有求a 、b 及此时三角形的面积。
【L 】例3 在三角形ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，证明：222sin()sin a b A B c C--=【C 】例4 设三角形ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且3c o s -b c o s A =5a B c ， （1）求tan cot A B 的值 （2）求tan()A B -的最大值总结：1. 理解并掌握正弦定理的内容，能运用正弦定理解答两类三角形问题。
2. 理解并掌握余弦定理的内容，能用余弦定理解决一些简单的三角度量问题。
3. 通过实例，体会正弦定理、余弦定理的内容，使用正弦定理、余弦定理解三角形的过程和方法。
练习题：1. 已知三角形ABC 中，1,3,30a b A ===︒，则B=______。
2. 在三角形ABC 中，面积S=22(),cos a b c A --则=______。
3. 在三角形ABC 中，若32,30,2b ac B ABC =+=︒三角形的面积为,则b=-_______。
4. 三角形的三内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，设向量m=（c-a,b-a ）,n=(a+b,c), 若m//n （1）求角B 的大小 （2）求sinA+sinC 的范围5. 设三角形ABC 的内角A 、B 、C 的对边所对边分别为a 、b 、c,且A=60︒，c=3b ，求 （1）ac的值 （2）cot cot B C +的值。