高一数学必修五正弦定理
高中数学必修五第一章1.1 正弦定理第一节正弦定理
1.1.1正弦定理
学习目标：
1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理 的内容及其证明方法； 2.会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基 本问题.
新课ห้องสมุดไป่ตู้入：
思考：角C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量 关系？
显然，边AB的长度随着其对角 C 的增大而增大.
能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？
等，即
注意： (1)正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦 之间的一个关系式.由正弦函数在区间上的单调性可知， 正弦定理非常好地描述了任意三角形中边与角的一种数 量关系.
探究三 正弦定理的基本作用是什么？
二.解三角形 1.一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b， c叫做三角形的元素.
a bc sin A sinb sinc
a csin A 20sin60 sinC sin75
20 2
2 20 3 1
6 2
4
C 75
20 3
2 30 2 10 6
6 2
a 30 2 10 6
b 20 3 1
4
课堂小结 一：正弦定理：
二：可以用正弦定理解决的三角问题： ※题型一：知两角及一边，求其它的边和角
2.已知三角形的几个元素，求其他元素的过程叫做解三角 形.
例1：在△ABC中，已知A=45°，B=75°，
a=30cm，解三角形.
解:C=180°-45°-75°=60°
c
a sin C
30sin 60
a bc sin A sinb sinc
sin A
30 3
sin 45
b asin B 30sin75
高中数学正弦定理教案5篇
高中数学正弦定理教案5篇高中数学正弦定理教案篇1一、教材分析《正弦定理》是人教版教材必修五第一章《解三角形》的第一节内容，也是三角形理论中的一个重要内容，与初中学习的三角形的边和角的基本关系有密切的联系。
在此之前，学生已经学习过了正弦函数和余弦函数，知识储备已足够。
它是后续课程中解三角形的理论依据，也是解决实际生活中许多测量问题的工具。
因此熟练掌握正弦定理能为接下来学习解三角形打下坚实基础，并能在实际应用中灵活变通。
二、教学目标根据上述教材内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征及原有知识水平，制定如下教学目标：知识目标：理解并掌握正弦定理的证明，运用正弦定理解三角形。
能力目标：探索正弦定理的证明过程，用归纳法得出结论，并能掌握多种证明方法。
情感目标：通过推导得出正弦定理，让学生感受数学公式的整洁对称美和数学的实际应用价值。
三、教学重难点教学重点：正弦定理的内容，正弦定理的证明及基本应用。
教学难点：正弦定理的探索及证明，已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
四、教法分析依据本节课内容的特点，学生的认识规律，本节知识遵循以教师为主导，以学生为主体的指导思想，采用与学生共同探索的教学方法，命题教学的发生型模式，以问题实际为参照对象，激发学生学习数学的好奇心和求知欲，让学生的思维由问题开始，到猜想的得出，猜想的探究，定理的推导，并逐步得到深化，并且运用例题和习题来强化内容的掌握，突破重难点。
即指导学生掌握“观察——猜想——证明——应用”这一思维方法。
学生采用自主式、合作式、探讨式的学习方法，这样能使学生积极参与数学学习活动，培养学生的合作意识和探究精神。
五、教学过程本节知识教学采用发生型模式：1、问题情境有一个旅游景点，为了吸引更多的游客，想在风景区两座相邻的山之间搭建一条观光索道。
已知一座山A到山脚C的上面斜距离是1500米，在山脚测得两座山顶之间的夹角是450，在另一座山顶B测得山脚与A山顶之间的夹角是300。
高中数学必修五公式整理
高中数学必修五公式声明：本文非原创，由于界面阅读感不好而本人进行重新排版。
第一章 三角函数一．正弦定理：2(sin sin sin a b cR R A B C===为三角形外接圆半径） 变形：2sin (sin )22sin (sin )22sin (sin )2a a R A A R b b R B B R c c R C C R ⎧==⎪⎪⎪==⎨⎪⎪==⎪⎩推论：::sin :sin :sin a b c A B C =二．余弦定理：三．三角形面积公式：111sin sin sin ,222ABC S bc A ac B ab C ∆===第二章 数列一．等差数列： 1.定义：a n+1-a n =d (常数)2.通项公式：()d n a a n ∙-+=11或()d m n a a m n ∙-+=3.求和公式:()()d n n n n a a a S n n 21211-+=+=4.重要性质(1)a a a a q p n m q p n m +=+⇒+=+(2) m,2m,32m m m S S S S S --仍成等差数列二．等比数列：1.定义：)0(1≠=+q q a a nn 2.通项公式：q a a n n 11-∙=或q a a mn m n -∙=3.求和公式: ）（1q ,1==na S n ）（1q 11)1(11≠--=--=qqa a q q a S n n n2222222222cos 2cos 2cos a b c bc Ab ac ac B c a b ab C =+-=+-=+-222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bca cb B aca b c C ab+-=+-=+-=4.重要性质（1）a a a a q p n m q p n m =⇒+=+(2)()m,2m,32q 1m m m m S S S S S --≠-仍成等比数列或为奇数三．数列求和方法总结：1.等差等比数列求和可采用求和公式(公式法).2.非等差等比数列可考虑(分组求和法) ,(错位相减法)等转化为等差或等比数列再求和, 若不能转化为等差或等比数列则采用(拆项相消法)求和.注意(1):若数列的通项可分成两项之和（或三项之和）则可用（分组求和法）。
新课标必修五1.1正弦定理
已知两边及一边的对角解三角形 已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时，
首先用正弦定理求出另一边对角的正弦值，再
利用三角形中大边对大角看能否判断所求这个
角是锐角．当已知的角为大边对的角时，则能 判断另一边所对的角为锐角，当已知小边对的 角时，则不能判断．
已知两边及一边的对角解三角形
4 3 ，b＝ 2 2 ，A＝45°， 变式：在△ABC中，已知a＝ 3 求B和c。
a b 解: sin A sin B b sin A sin B a 2 2 2 2 3 2 4 3 3
B 600 本考点需注意： 或1200
a sin C 3 4 C 75 或 15 c 进而可求其它的边和角( 可能有两解 ). sin A 2
2
数学应用：
例 5.某 登 山 队 在 山 脚 下 A处 测 得 山 顶 B的 仰 角为
0 35 ,沿 倾 斜 角 为 20 的 斜 坡 前 进 1000m 后 到 达 D处 , 又测得山顶的仰角为 56 ,求 山 的 高 度 BC(精 确 到
1m)
B
1000
D
65
E：过点D作DE//AC交BC于E,
角化边公式
3a : b : c sin A : sin B : sin C.
a b c 2R sin A sin B sin C
两个重要结论
2.对于任意ABC，其面积为： 1 1 1 S ab sin C bc sin A ac sin B 2 2 2
此为任意三角形的面积公式.即：三角形面积等 于三角形任意两边及其夹角正弦乘积的一半.
高中数学 必修5
正弦定理
在一个三角形中,各边和它所对角的 正弦的比相等.
(完整版)必修五;正弦定理与余弦定理
必修五：正弦定理和余弦定理一：正弦定理1：定理内容：在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即R Cc B b A a 2sin sin sin ===（R 是三角形外接圆半径） 2：公式变形（1）R Aa C B A cb a 2sin sin sin sin ==++++ （2）⎪⎩⎪⎨⎧C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2===或R c C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin === （3）⎪⎩⎪⎨⎧B c C b A c C a A b B a sin sin sin sin sin sin ===（4）Rabc A bc B ac C ab S ABC 4sin 21sin 21sin 21====∆ 以下是ABC ∆内的边角关系：熟记（5）B A B A b a >⇔>⇔>sin sin （大边对大角）（6）B A B A cos cos <⇔>（7）⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=)sin(sin )sin(sin )sin(sin B A C C A B C B A 思考A cos 与)cos(C B +的关系（8）2cos 2sin C B A += （9）若AD 是ABC ∆的角平分线，则AC DC AB DB = 思考题：1：若B A sin sin =，则B A ,有什么关系？2：若B A 2sin 2sin =，则B A ,有什么关系？3：若B A cos cos =，则B A ,有什么关系？4：若21sin >A ，则角A 的范围是什么？解三角形：已知三角形的几个元素，求其他元素的过程叫做解三角形.例1：已知ABC ∆，根据下列条件，解三角形.（1）10,45,60=︒=∠︒=∠a B A .（2）︒=∠==120,4,3A b a .（3）︒=∠==30,4,6A b a .（4）︒=∠==30,16,8A b a .（5）︒=∠==30,4,3A b a .思考：在已知“边边角”的情况下，如何判断三角形多解的情况判断方法:（1）用正弦定理：比较正弦值与1的关系（2）作图法：用已知角所对的高与已知角所对的边长比较.练习：（1）若︒=∠==45,12,6A b a ，则符合条件的ABC ∆有几个？（2）若︒=∠==30,12,6A b a ，则符合条件的ABC ∆有几个？（3）若︒=∠==45,12,9A b a ，则符合条件的ABC ∆有几个？例2：根据下列条件，判断三角形形状.（1）C B A 222sin sin sin =+.（2）C B A cos sin 2sin =（3）B b A a cos cos =（4）A b B a tan tan 22=二：余弦定理1：定理内容：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.即A bc c b a cos 2222-+=B ac c a b cos 2222-+=C ab b a c cos 2222-+= 另一种形式：bca cb A 2cos 222-+=. 请写出另两个：例1：根据下列条件，解三角形.（1）在ABC ∆中，︒=∠==120,4,5C b a ，求边c .（2）在ABC ∆中，︒=∠==60,8,5C b a ，求边c .（3）在ABC ∆中，8,7,5===c b a ，求最大角与最小角的和.（4）在ABC ∆中，13:8:7sin :sin :sin =C B A ，求C cos .（5）在ABC ∆中，8,120,34=+︒=∠=b a C c ，求ABC ∆的面积.（6）在ABC ∆中，34,60,4=︒=∠=∆ABC S C c ，求ABC ∆的周长.（7）在ABC ∆中，1)(22=--bcc b a ，求A ∠. （8）在ABC ∆中，4,3,2===c b a ，判断ABC ∆的形状.（9）求证：在ABC ∆中，)cos cos cos (2222C ab B ac A bc c b a ++=++.（10）求证：平行四边形两对角线的平方和等于它各边的平方和.。
高中数学必修五1.1正弦定理和余弦定理 课件 (共34张PPT)
两种途径 根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径： (1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角 转换．
双基自测 1．(人教A版教材习题改编)在△ABC中，A＝60° ，B＝75° ，a ＝10，则c等于( A．5 2 10 6 C. 3 )． B．10 2 D．5 6
a 解析 由A＋B＋C＝180° ，知C＝45° ，由正弦定理得： sin A ＝ c 10 c 10 6 sin C，即 3＝ 2.∴c＝ 3 . 2 2 答案 C
sin A cos B 2．在△ABC 中，若 a ＝ b ，则 B 的值为( A．30° 解析 B．45° C．60° D．90°
4． 已知两边和其中一边的对角， 解三角形时， 注意解的情况． 如 已知 a，b，A，则 A 为锐角 图形 A 为钝角或直角
关系 式 解的 个数
a＜b sin A a＝bsin A
bsin A＜a＜ b 两解
a≥b a＞b a≤b
无解
一解
一解 一解 无解
一条规律 在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大， 正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A＞B⇔a＞b⇔sin A ＞sin B. 两类问题 在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一 边，求其它边或角； (2) 已知两边及一边的对角，求其它边或 角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余 弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两 角；(2)已知三边，求各角．
正弦定理和余弦定理
基础梳理 a b c 1．正弦定理：sin A＝sin B＝sin C＝2R，其中 R 是三角形外接 圆的半径．由正弦定理可以变形为： (1)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (2)a＝ 2Rsin A ，b＝ 2Rsin B ，c＝ 2Rsin C ； a b c (3)sin A＝2R，sin B＝2R，sin C＝2R等形式，以解决不同的三 角形问题．
人教版高中数学必修五正弦定理和余弦定理课件
解的情况
A为钝角或直角
a＞b a≤b
一解 无解
a＜bsinA
无解
A为锐角
a=bsinA bsinA＜a＜b
一解 两解
a≥b
一解
思考 : 在ABC中, a x, b 2, A 450,若这个三角形有
两解,则x的取值范围是 _____2_,_2____
正弦定理的推论： =2R (R为△ABC外接圆半径） （边换角）
在已知三边和一个角的情况下：求另一个角 ㈠用余弦定理推论，解唯一,可以免去判断舍取。 ㈡用正弦定理，计算相对简单，但解不唯一，要进行 判断舍取。
练习1：在△ABC中，已知
解：
=31+18 =49
∴b=7
练习2：
在△ABC中， a 7,b 4 3, c 13 ,求△ABC的最小角。
解：
72 （4 13）2 （ 13）2 274 3
二、可以用正弦定理解决的两类三角问题： （1）知两角及一边，求其它的边和角； （2）知三角形任意两边及其中一边的对角，求其它
的边和角（注意判断解的个数）
思考：你能用正弦定理来解释为什么在三角形中越大
的角所对的边就越大吗？
分析：设△ABC的三个角所对边长分别是a、b、c，
且∠A≥∠B≥∠C，
（1）若△ABC是锐角或直角三角形 ∵正弦函数y=sinx在 [0, ]上是增函数 2
2A 2k 2B 或 2A 2k 2B(k Z)
0 A,B ，∴k 0，则A B或A+B=
故△ABC为等腰三角形或直角三角形.
2
针对性练习 1、已知△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，且 b sinB=c sinC，则△ABC的形状是
必修5解三角形--正弦定理
正弦定理1正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即A a s i n =B b sin =Ccsin =2R （R 为△ABC 外接圆半径） 2正弦定理的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题： 1．两角和任意一边，求其它两边和一角；2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角a, b 和A, 用正弦定理求B 时的各种情况:⑴若A 为锐角时:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<=<)( b a ) ,( b a bsinA )( bsinAasin 锐角一解一钝一锐二解直角一解无解A b a已知边a,b 和∠A有两个解仅有一个解无解CH=bsinA<a<b a=CH=bsinA a<CH=bsinA⑵若A 为直角或钝角时:⎩⎨⎧>≤)( b a 锐角一解无解b a3．在Rt △ABC 中(若C=90︒)有：222b ac += 在斜三角形中一边的平方与其余两边平方和及其夹角还有什么关系呢？4.解题中利用ABC ∆中A B C π++=，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-5. 三角形面积公式：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=C ab B ac A bc S sin 21sin 21sin 216、正弦定理的变形形式：1、 2、 3、例题分析例1、（1）在ABC ∆中，45B =，60C =，1c =，求最短边的边长（2）在ABC ∆中，已知2=b ，︒=30B ，︒=135C ，求a 的长3、在△ABC 中，∠C=60°，c=22，周长为),321(2++则∠A= ．例2、1）在ABC ∆中，8b =，c =，ABCS =A ∠。
（2）在四边形ABCD 中，120A ∠=，90B D ∠=∠=，5,8BC CD ==，求四边形ABCD 的面积S 。
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变式训练
在ABC中，角A、B、C的对边分别 uuur uuur uuur uuur
为a、b、c,若 AB AC = BA BC = 1，c = 2 .
（1）判断ABC的形状； uuur uuur
（2）若 AB AC 6，求ABC的面积
2R
2R
2R
sin A : sin B : sin C a : b : c
例3、在ABC中，若
a2 b2
tan A , 试判断ABC的形状 tan B
解：由正弦定理，得
sin2 sin2
A B
tan tan
A B
sin2 sin2
A B
sin A cos A
cos B sin B
Q sin A 0，sin B 0,
讨论已知两边和一边对角的三角形的解：
（按角A分类）
A的范围
a,b关系
解的情况
A为钝角或直角
a＞b a≤b
一解 无解
a＜bsinA
无解
A为锐角
a=bsinA bsinA＜a＜b
一解 两解
a≥b
一解
思考 : 在ABC中, a x, b 2, A 450,若这个三角形有
两解,则x的取值范围是 _____2_,_2____
1.1.1 正弦定理
回顾上节课所学内容
目录
本节课主要知识点
针对性练习
课后作业
回顾上节课所学内容
一、正弦定理： a b c 2R sin A sin B sin C
二、可以用正弦定理解决的三角问题：
①知两角及一边，求其它的边和角 ②知三角形任意两边及其中一边的对角，求其它的边和角
例2、在△ABC中，b= 3 ，c=1，B=60o，解这个三角形.
解：Q b c sin C c sin B 1 sin 60o 1
sin B sin C
b
32
Q b c B C,故C为锐角
C 30o,故A 90o
a b2 c2 2
正弦定理可解决的第二类问题： 知三角形任意两边及其中一边的对角，求其它的边和角
例3、在ABC中，已知a 20cm, b 28cm, A 40 , 解三角形。 (角度精确到1，边长精确到1cm)
一解
A
B
a=bsinA 一解
思考：小强有一根长为40cm的木棒，若他打算以该木棒为边做一个
三角形的木架，形状如下图所示，则另外还要找两根多长的木棒？(精 确到0.1cm)
C
40cm
30o
A
45o
D
B
例4、在正弦定理中，设
a b c k sin A sin B sin C
证明k=2R（R为△ABC的外接圆的半径）
证明：若△ABC为直角三角形 如图，C=90o，c=2R
k
c sin C
2R sin 90o
2R
若△ABC不是直角三角形
如图，作直径AD，连结CD，则AD=2R
∠ACD=90o，B=D
k b b AD =2R sin B sin D sin ACD
k 2R
A O bC
B A
B
Ob C
D
正弦定理的推论：
a sin
A
b sin
B
c sin C
=2R
(R为△ABC外接圆半径）
a 2R sin A, b 2R sin B, c 2R sin C（边换角）
sin A a ,sin B b ,sin C c （角换边）
判断已知两边及其中一边对角的三角形解的个数 的基本步骤： （1）判断已知角A的类型；（钝、直、锐） （2）判断已知两边a、b的大小关系； （3）判断a与bsinA的大小关系.
练习：求分别满足下列条件的三角形的解的个数 （1）a=8，b=16，A=30o; 一解 （2）a=2，b=4，A=60o; 无解 （3）a=30，b=25，A=150o; 一解 （4）b=5，c=3，B=48o; 一解 （5）b=18，c=20，B=60o; 二解
答案：等腰三角形
3
2
小结：
一、正弦定理： a b c 2R sin A sin B sin C
其中，R是△ABC的外接圆的半径
二、可以用正弦定理解决的两类三角问题： （1）知两角及一边，求其它的边和角； （2）知三角形任意两边及其中一边的对角，求其它的边和角（注意判断 解的个数）
思考：你能用正弦定理来解释为什么在三角形中越大的角所对的边就越大 吗？
sin Acos A sin Bcos B，即sin2A sin2B
2A 2k 2B 或 2A 2k 2B(k Z )
Q 0 A,B ，∴k 0，则A B或A+B=
故△ABC为等腰三角形或直角三角形.
2
针对性练习 1、已知△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，且 b sinB=c sinC，则△ABC的形状是 等腰直角三角形
（3） b＝20，A＝60°，a＝15. 无解
思考：若ΔABC中 b＝20，A＝60°,当a为何值角B有1解、 2解、无解
设在△ABC中，已知a、b、A的值，则解该三角形 可能出现以下情况： 1.若A是锐角 （1）若a < bsinA，则此时无解； （2）若a = bsinA，则此时恰有一解，即角B为直角； （3）若bsinA< a <b，则此时有两解，即角B可取钝角，
也可取锐角； （4）若a≥b，则此时只有一解，即角B需取锐角.
C a
b a
A B B B′
B
设在△ABC中，已知a、b、A的值，则解该三角形 可能出现以下情况： 2.若A是钝角或直角 （1）若a > b，则此时只有一解，即角B需取锐角； （2）若a≤b，则此时无解.
C
a b
C a
b
A
B
A
B
解三角形
分析：设△ABC的三个角所对边长分别是a、b、c，
且∠A≥∠B≥∠C，
（1）若∵△正A弦B函C是数锐y=角sin或x在直[角0, 三2 ]角上形是增函数 ∴ sin A sin B sin C
故由正弦定理可得a≥b≥c
（2）若△ABC是钝角三角形，则∠A为钝角
∴-∠A<gt;∠B≥∠C
∴ sin( A) sin B sin C
即 sin A sin B sin C
∴由正弦定理可得a>b≥c
小结：正弦定理，两种应用 已知两边和其中一边对角解斜三角形有两解
或一解（见图示）
C ba
AB a=bsinA 一解
C b aa
C
C
b
a
a
b
A B2 B1 A
B
bsinA<a<b 两解
解：根据正弦定理，sin B bsin A 28sin 40 0.8999.
a
20
因为0 B 180,所以B 64,或B 116
（1）当B 64时，C 180 (A B) 180 (40 64 ) 76,
c
a sin C sin A
20sin 76 sin 40
30(cm).
（2）当B 116时，C 180 ( A B) 180 (40 116) 24, c a sin C 20sin 24 13(cm). sin A sin 40
练习：若ΔABC满足下列条件，求角B
（1） b＝20，A＝60°，a＝ 20 3 ; 30o （2） b＝20，A＝60°，a＝ 10 3 ; 90o