2023年高考数学一轮复习精讲精练第29练 抛物线(解析版)

第29练 抛物线学校____________ 姓名____________ 班级____________一、单选题1．抛物线22y x =的焦点到其准线的距离是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】A 【详解】解：抛物线22y x =的焦点为1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为12x =-，所以焦点到准线的距离11122d ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭； 故选：A2．已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，点P 在抛物线上，6PF =，则点P 的横坐标为（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．2【答案】C 【详解】解：设点P 的横坐标为0x ，抛物线28y x =的准线方程为2x =-， 点P 在抛物线上，||6PF =，026x ∴+=，04x ∴=．故选：C ．3．过点()1,2-，且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程是（ ） A ．24y x = B ．24y x =-C ．212=-x yD ．212x y =【答案】C 【详解】解：依题意设抛物线方程为2x my =，因为抛物线过点()1,2-， 所以()212m =⨯-，解得12m =-，所以抛物线方程为212=-x y ；故选：C4．抛物线24y x =上A 点到焦点F 的距离为1716，则点A 的纵坐标为（ ）A ．1B ．1716C ．116D ．916【答案】A 【详解】解：由题得214x y =，所以抛物线的准线方程为116y =-. 设点A 纵坐标为A y ,则117()1616A y --=，所以1A y =. 故选：A5．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，点P 在C 上，直线PF 交y 轴于点Q ，若3PF FQ =，则点P 到准线l 的距离为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C 【详解】解：由抛物线2:4C y x =，可知(1,0)F ，准线l 的方程为1x =-， 过点P 作y 轴的垂线，垂足为N ， 因为OF PN ∥，所以||||1||||4OF FQ PN QP ==， 所以||4||4PN FO ==，所以点P 到准线l 的距离为415+=． 故选：C ．6．已知抛物线E :24x y =的准线交y 轴于点M ，过点M 作直线l 交E 于A ，B 两点，且0BM BA +=，则直线l 的斜率是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【详解】解：抛物线2:4E x y =的准线为1y =-，所以()0,1M -，由题意可知直线l 的斜率存在，故设直线l 为1y kx =-，()11,A x y ，()22,B x y ，则214y kx x y =-⎧⎨=⎩，即2440x kx -+=， 所以124x x k +=，124x x ⋅=，因为0BM BA +=，即()()()2212121212,1,2,12(0,0)x y x x y y x x y y -----=--+-=+， 所以122x x =，所以21x x ⎧=⎪⎨=⎪⎩21x x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩所以124x x k +==故选：B7．已知O 是坐标原点，F 是抛物线C ：()220y px p =>的焦点，()0,4P x 是C 上一点，且4=PF ，则POF 的面积为（ ）A ．8B ．6C ．4D ．2【答案】C 【详解】由题可知0042162p x px ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得024x p =⎧⎨=⎩，所以POF 的面积为12442⨯⨯=，故选：C8．已知抛物线2x my =焦点的坐标为(0,1)F ，P 为抛物线上的任意一点，(2,2)B ，则||||PB PF +的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．112【答案】A 【详解】因为抛物线2x my =焦点的坐标为()0,1，所以14m=，解得4m =． 记抛物线的准线为l ，作PN l ⊥于N ，作BAl 于A ，则由抛物线的定义得||||||||||3PB PF PB PN BA +=+=，当且仅当P 为BA 与抛物线的交点时，等号成立．故选：A.9．已知抛物线2:8W x y =-，点()11,A x y ，()22,B x y 是曲线W 上两点，若128y y +=-，则AB 的最大值为（ ）A ．10B ．14C ．12D ．16【答案】C 【详解】设抛物线2:8W x y =-的焦点为F ，则(0,2)F -,焦准距4p =,准线方程为2y =， 根据抛物线的定义得，()124AF BF y y +=-+． 又128y y +=-，所以12AF BF +=．因为AF BF AB +≥，当且仅当A ，F ，B 三点共线时等号成立，即12AB ≤， 所以AB 的最大值为12， 故选：C10．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为,F P 是C 上位于第一象限内的一点，若C 在点P 处的切线与x 轴交于M 点，与y 轴交于N 点，则与PF 相等的是（ ） A ．MN B ．FN C ．PM D ．ON【答案】B 【详解】解：如图，设2,(0)2a P a a p ⎛⎫> ⎪⎝⎭，由22x y p =，得x y p '=， 所以C 在点P 处的切线方程为()22a a y x a p p -=-，从而2,0,0,22a a M N p ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据抛物线的定义，得2;22a p PF p =+又(0,)2pF ，222222p a a p FN p p ⎛⎫=--=+ ⎪⎝⎭，所以;PF FN ON =>由2,,,022a a P a M p ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，20,2a N p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，得M 是PN 的中点，则MF PN ⊥，从而PF PM MN >=． 故选：B ．二、多选题11．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，P 为抛物线上一点，则下列结论正确的有（ ）A ．焦点F 到抛物线准线的距离为2B ．若2PF =，则点P 的坐标为()1,2C ．过焦点F 且垂直于x 轴的直线被抛物线所截得的弦长为2D ．若点M 的坐标为()1,4，则PM PF +的最小值为4 【答案】AD 【详解】由抛物线的解析式知2p =，所以抛物线的焦点()1,0F ，准线方程为1x =-，所以焦点F 到抛物线准线的距离为2，故选项A 正确；设抛物线上点(),P x y ，则12PF x =+=，解得1x =，故2y =±，则点P 的坐标有两个，故选项B 错误；过焦点F 且垂直于x 轴的直线被抛物线所截得的弦为通径，长为24p =，故选项C 错误； 由抛物线的图像及点M 的位置可知，当M ，P ，F 三点共线时，PM PF +取得最小值，即4MF ==，故选项D 正确，故选；AD ．12．已知抛物线2y x 的焦点为F ，()11,M x y ，()22,N x y 是抛物线上两点，则下列结论正确的是（ ）A ．点F 的坐标为10,4⎛⎫⎪⎝⎭B ．若直线MN 过点F ，则1214x x =-C ．若MF NF λ=，则MN 的最小值为12D ．若32MF NF +=，则线段MN 的中点P 到x 轴的距离为12 【答案】ABD 【详解】对A ：因为抛物线方程为2x y =，其焦点在y 轴上，故其焦点为10,4⎛⎫⎪⎝⎭，A 正确；对B ：显然过点F 的直线斜率存在，故可设经过焦点F 的直线方程为14y kx =+，联立抛物线方程可得：2104x kx --=，可得12x x k +=，1214x x =-，故B 正确；对C ：若MF NF λ=，则M ，N ，F 三点共线，则()12122MN y y p k x x p =++=++，由B 中所得可知：211MN k =+≥，故C 错误；对D ：32MF NF +=，即121+223y y +=，即121y y +=， ∴12122P y y y +==，故D 正确. 故选：ABD . 三、解答题13．已知抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点为F ，直线x n =与抛物线E 交于,A B 两点，当36n =时，(OAB O 为坐标原点）是等边三角形.(1)求抛物线E 的方程.(2)延长AF 交抛物线E 于点C ，试问直线BC 是否恒过点D ？若是，求出点D 的坐标；若不是，请说明理由.【答案】(1)212y x =(2)是，()3,0D - 【解析】(1)由题意可得A B y y ==则2236p ⨯=，解得6p . 故抛物线E 的方程为212y x =. (2)由（1）可知()3,0F ，设()()()112233,,,,,A x y B x y C x y . 因为,,A C F 三点共线，所以AF CF k k =，即311333y y x x =--，即312213331212y y y y =--， 整理得()()1313360y y y y -+=. 因为13y y ≠，所以1336y y =-.由题意可知直线BC 的斜率不为0，设直线BC 的方程为x my t =+.联立2,12,x my t y x =+⎧⎨=⎩整理得212120,y my t --=，则223Δ144480,12m t y y t =+>=-.因为,A B 关于x 轴对称，所以21y y =-，则131236y y t ==-，解得3t =-. 故直线BC 的方程为3x my =-，即直线BC 恒过点()3,0D -. 14．已知P (1，2)在抛物线C ：y 2＝2px 上． (1)求抛物线C 的方程；(2)A ，B 是抛物线C 上的两个动点，如果直线P A 的斜率与直线PB 的斜率之和为2，证明：直线AB 过定点．【答案】(1)y 2＝4x (2)证明见解析 【解析】(1)P 点坐标代入抛物线方程得4＝2p ， ∴p ＝2，∴抛物线方程为y 2＝4x ． (2)证明：设AB ：x ＝my +t ，将AB 的方程与y 2＝4x 联立得y 2﹣4my ﹣4t ＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1+y 2＝4m ，y 1y 2＝﹣4t ，所以Δ＞0⇒16m 2+16t ＞0⇒m 2+t ＞0，1121112241214PA y y k y x y --===-+-，同理：242PBk y =+， 由题意：1244222y y +=++， ∴4(y 1+y 2+4)＝2(y 1y 2+2y 1+2y 2+4)， ∴y 1y 2＝4， ∴﹣4t ＝4， ∴t ＝﹣1，故直线AB 恒过定点(﹣1，0)．15．已知抛物线()2:20C y px p =>上的点M 与焦点F 的距离为52，且点M的纵坐标为(1)求抛物线C 的方程和点M 的坐标；(2)若直线l 与抛物线C 相交于,A B 两点，且MA MB ⊥，证明直线l 过定点. 【解析】(1)设(0M x ，则0052224p x px p⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得：021x p =⎧⎨=⎩，∴抛物线2:2C y x =；()2,2M .(2)由题意知：直线l 斜率不为零，可设:l x my n =+，()11,A x y ，()22,B x y ，由22y xx my n ⎧=⎨=+⎩得：2220y my n，2480m n ∴∆=+>，即220m n +>；122y y m ∴+=，122y y n ；1121112224222MA y y k y x y --===--+，2222222224222MB y y k y x y --===--+，又MA MB ⊥，()()()12121244412224244MA MBk k y y y y y y n m ∴⋅====-+++++-++； 则24n m =+（此时()222248240m n m m m +=++=++>成立）， ∴直线():2424l x my m m y =++=++，当2y =-时，4x =，∴直线l 恒过定点()4,2-.。