高考高三数学总复习教案：抛物线

第九章平面解析几何第9课时抛物线错误!考情分析考点新知建立并掌握抛物线的标准方程，能根据已知条件求抛物线的标准方程；掌握抛物线的简单几何性质，能运用抛物线的几何性质处理一些简单的实际问题．１了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，了解它们的简单几何性质.２掌握抛物线的简单应用.１．已知抛物线的焦点坐标是（0，—３），则抛物线的标准方程是________．答案：x２＝—１２y解析：∵ 错误!＝３，∴p＝6，∴x２＝—１２y.２．抛物线y２＝—8x的准线方程是________．答案：x＝２解析：∵ ２p＝8，∴p＝４，故所求准线方程为x＝２．３．抛物线y＝ax２的准线方程是y＝２，则a的值是________．答案：—错误!解析：抛物线的标准方程为x２＝错误!y.则a＜0且２＝—错误!，得a＝—错误!.４．（选修１１P４４习题２改编）抛物线y２＝４x上一点M到焦点的距离为３，则点M的横坐标x ＝________．答案：２解析：∵ ２p＝４，∴p＝２，准线方程x＝—１．由抛物线定义可知，点M到准线的距离为３，则x＋１＝３，即x＝２．５．已知斜率为２的直线l过抛物线y２＝ax（a＞0）的焦点F，且与y轴相交于点A，若△OAF（O 为坐标原点）的面积为４，则抛物线方程为________．答案：y２＝8x解析：依题意得，OF＝错误!，又直线l的斜率为２，可知AO＝２OF＝错误!，△AOF的面积等于错误!·AO·OF＝错误!＝４，则a２＝6４．又a＞0，所以a＝8，该抛物线的方程是y２＝8x.１．抛物线的定义平面内到一个定点F和一条定直线l（F不在l上）距离相等_的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．２．抛物线的标准方程和几何性质（如下表所示）标准方程y２＝２px（p>0）y２＝—２px（p>0）图形性质范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R准线方程x＝—错误!x＝错误!焦点错误!错误!对称轴关于x轴对称顶点（0，0）离心率e＝１标准方程x２＝２py（p>0）x２＝—２py（p>0）图形性质范围y≥0，x∈R y≤0，x∈R 准线方程y＝—错误!y＝错误!焦点错误!错误!对称轴关于y轴对称顶点（0，0）离心率e＝１题型１求抛物线的基本量例１抛物线y２＝8x的焦点到准线的距离是________．答案：４解析：由y２＝２px＝8x知p＝４，又焦点到准线的距离就是p，所以焦点到准线的距离为４．错误!抛物线y２＝—8x的准线方程是________．答案：x＝２解析：∵２p＝8，∴p＝４，准线方程为x＝２．题型２求抛物线的方程例２（选修１１P４４习题５改编）已知抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线２x—y—４＝0上，求抛物线的标准方程．解：直线２x—y—４＝0与x轴的交点是（２，0），与y轴的交点是（0，—４）．由于抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，则１若抛物线焦点在x轴上，则抛物线的标准方程是y２＝8x；２若抛物线焦点在y轴上，则抛物线的标准方程是x２＝—１6y；故所求抛物线方程为y２＝8x或x２＝—１6y.错误!已知Rt△AOB的三个顶点都在抛物线y２＝２px上，其中直角顶点O为原点，OA所在直线的方程为y＝错误!x，△AOB的面积为6错误!，求该抛物线的方程．解：∵ OA⊥OB，且OA所在直线的方程为y＝错误!x，OB所在直线的方程为y＝—错误!x，由错误!得A点坐标为错误!，由错误!得B点坐标为（6p，—２错误!p），∴OA＝错误!|p|，OB＝４错误!|p|，又S△OAB＝错误!p２＝6错误!，∴p＝±错误!.∴该抛物线的方程为y２＝３x或y２＝—３x.题型３抛物线的几何性质探究例３在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点在原点，经过点A（２，２），其焦点F在x轴上．（１）求抛物线C的标准方程；（２）求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程；（３）设过点M（m，0）（m>0）的直线交抛物线C于D、E两点，ME＝２DM，记D和E两点间的距离为f（m），求f（m）关于m的表达式．解：（１）由题意，可设抛物线C的标准方程为y２＝２px.因为点A（２，２）在抛物线C上，所以p ＝１.因此抛物线C的标准方程为y２＝２x.（２）由（１）可得焦点F的坐标是错误!，又直线OA的斜率为错误!＝１，故与直线OA垂直的直线的斜率为—１，因此所求直线的方程是x＋y—错误!＝0．（３）（解法１）设点D和E的坐标分别为（x１，y１）和（x２，y２），直线DE的方程是y＝k（x—m），k≠0．将x＝错误!＋m代入y２＝２x，有ky２—２y—２km＝0，解得y１，２＝错误!.由ME＝２DM知１＋错误!＝２（错误!—１），化简得k２＝错误!.因此DE２＝（x１—x２）２＋（y１—y２）２＝错误!（y１—y２）２＝错误!错误!＝错误!（m２＋４m），所以f（m）＝错误!错误!（m>0）．（解法２）设D错误!，E错误!.由点M（m，0）及错误!＝２错误!，得错误!t２—m＝２错误!，t—0＝２（0—s）．因此t＝—２s，m＝s２.所以f（m）＝DE＝错误!＝错误!错误!（m>0）．错误!抛物线y２＝２px的准线方程为x＝—２，该抛物线上的每个点到准线x＝—２的距离都与到定点N 的距离相等，圆N是以N为圆心，同时与直线l１：y＝x和l２：y＝—x 相切的圆，（１）求定点N的坐标；（２）是否存在一条直线l同时满足下列条件：１l分别与直线l１和l２交于A、B两点，且AB中点为E（４，１）；２l被圆N截得的弦长为２．解：（１）因为抛物线y２＝２px的准线方程为x＝—２．所以p＝４，根据抛物线的定义可知点N 是抛物线的焦点，所以定点N的坐标为（２，0）．（２）假设存在直线l满足两个条件，显然l斜率存在，设l的方程为y—１＝k（x—４），k≠±１．以N为圆心，同时与直线l１：y＝x和l２：y＝—x 相切的圆N的半径为错误!.因为l被圆N截得的弦长为２，所以圆心到直线的距离等于１, 即d＝错误!＝１，解得k＝0或错误!，当k＝0时，显然不合AB中点为E （４，１）的条件，矛盾，当k＝错误!时，l的方程为４x—３y—１３＝0．由错误!，解得点A的坐标为（１３，１３）；由错误!，解得点B的坐标为错误!.显然AB中点不是E（４，１），矛盾，所以不存在满足条件的直线l.１．抛物线y＝—x２上的点到直线４x＋３y—8＝0的距离的最小值是________．答案：错误!解析：设抛物线y＝—x２上一点为（m，—m２），该点到直线４x＋３y—8＝0的距离为错误!，当m ＝错误!时，取得最小值错误!.２．已知双曲线C１：错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的离心率为２．若抛物线C２：x２＝２py（p>0）的焦点到双曲线C１的渐近线的距离为２，则抛物线C２的方程为________．答案：x２＝１6y解析：∵ 双曲线C１：错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的离心率为２，∴错误!＝错误!＝２，∴b ＝错误!a，∴双曲线的渐近线方程为错误!x±y＝0，∴抛物线C２：x２＝２py（p＞0）的焦点错误!到双曲线的渐近线的距离为错误!＝２，∴p＝8．∴ 所求的抛物线方程为x２＝１6y.３．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（２，y0）．若点M到该抛物线焦点的距离为３，则OM＝________．答案：２错误!解析：依题意，设抛物线方程是y２＝２px（p>0），则有２＋错误!＝３，得p＝２，故抛物线方程是y２＝４x，点M的坐标是（２，±２错误!），OM＝错误!＝２错误!.４．已知抛物线D的顶点是椭圆C：错误!＋错误!＝１的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合．（１）求抛物线D的方程；（２）过椭圆C右顶点A的直线l交抛物线D于M、N两点．１若直线l的斜率为１，求MN的长；２是否存在垂直于x轴的直线m被以MA为直径的圆E所截得的弦长为定值？如果存在，求出m 的方程；如果不存在，说明理由．解：（１）由题意，可设抛物线方程为y２＝２px（p>0）．由a２—b２＝４—３＝１，得c＝１，∴抛物线的焦点为（１，0），∴p＝２．∴抛物线D的方程为y２＝４x.（２）设M（x１，y１），N（x２，y２）．１直线l的方程为y＝x—４，联立错误!整理得x２—１２x＋１6＝0，即M（6—２错误!，２—２错误!），N（6＋２错误!，２＋２错误!），∴MN＝错误!＝４错误!.２设存在直线m：x＝a满足题意，则圆心E错误!，过E作直线x＝a的垂线，垂足为E′，设直线m 与圆E的一个交点为G.可得|E′G|２＝|EG|２—|EE′|２，即|E′G|２＝|EA|２—|EE′|２＝错误!—错误!错误!＝错误! y错误!＋错误!＋a（x１＋４）—a２＝x１—４x１＋a（x１＋４）—a２＝（a—３）x１＋４a—a２.当a＝３时，|E′G|２＝３，此时直线m被以AM为直径的圆E所截得的弦长恒为定值２错误!，因此存在直线m：x＝３满足题意．５．如图，等边三角形OAB的边长为8错误!，且其三个顶点均在抛物线E：x２＝２py（p>0）上．（１）求抛物线E的方程；（２）设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y＝—１相交于点Q.证明：以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点．解：（１）依题意，OB＝8错误!，∠BOy＝３0°.设B（x，y），则x＝OBsin３0°＝４错误!，y＝OBcos ３0°＝１２．因为点B（４错误!，１２）在x２＝２py上，所以（４错误!）２＝２p×１２，解得p＝２．故抛物线E的方程为x２＝４y.（２）由（１）知y＝错误!x２，y′＝错误!x.设P（x0，y0），则x0≠0，y0＝错误!x错误!，且l的方程为y—y0＝错误!x0（x—x0），即y＝错误!x0x—错误!x错误!.由错误!得错误!所以Q为错误!.设M（0，y１），令错误!·错误!＝0对满足y0＝错误!x错误!（x0≠0）的x0，y0恒成立．由于错误!＝（x0，y0—y１），错误!＝错误!，由错误!·错误!＝0，得错误!—y0—y0y１＋y１＋y错误!＝0，即（y错误!＋y１—２）＋（１—y１）y0＝0．（*）由于（*）式对满足y0＝错误!x错误!（x0≠0）的y0恒成立，所以错误!解得y１＝１．故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M（0，１）．１．（文）已知抛物线y２＝２px，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是________．答案：相切解析：设抛物线焦点弦为AB，中点为M，准线为l，A１、B１分别为A、B在直线l上的射影，则|AA|＝|AF|，|BB１|＝|BF|，于是M到l的距离d＝错误!（|AA１|＋|BB１|）＝错误!（|AF|＋|BF|）＝错误!|AB|１＝半径，故相切．（理）下图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面２m，水面宽４m．水位下降１m后，水面宽________ m.答案：２错误!解析：设抛物线的方程为x２＝—２py，则点（２，—２）在抛物线上，代入可得p＝１，所以x２＝—２y.当y＝—３时，x２＝6，即x＝±错误!，所以水面宽为２错误!.２．（文）已知抛物线y２＝２px（p＞0）的焦点为F，P、Q是抛物线上的两个点，若△PQF是边长为２的正三角形，则p的值是________．答案：２±错误!解析：依题意得F错误!，设P错误!，Q错误!（y１≠y２）．由抛物线定义及PF＝QF，得错误!＋错误!＝错误!＋错误!，所以y错误!＝y错误!，所以y１＝—y２.又PQ＝２，因此|y１|＝|y２|＝１，点P错误!.又点P 位于该抛物线上，于是由抛物线的定义得PF＝错误!＋错误!＝２，由此解得p＝２±错误!.（理）拋物线顶点在原点，它的准线过双曲线错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知拋物线与双曲线的一个交点为错误!，求拋物线与双曲线方程．解：由题设知，拋物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，∴p＝２c，设拋物线方程为y２＝４c·x.∵拋物线过点错误!，∴6＝４c·错误!.∴c＝１，故拋物线方程为y２＝４x.又双曲线错误!—错误!＝１过点错误!，∴错误!—错误!＝１．又a２＋b２＝c２＝１，∴错误!—错误!＝１．∴a２＝错误!或a２＝9（舍）．∴b ２＝错误!，故双曲线方程为４x２—错误!＝１．３．（文）如图，过抛物线y２＝２px（p>0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点Ｃ．若|BC|＝２|BF|，且|AF|＝３，则此抛物线的方程为________．答案：y２＝３x解析：由抛物线定义，|BF|等于B到准线的距离．由|BC|＝２|BF|，得∠BCM＝３0°.又|AF|＝３，从而A错误!.由A在抛物线上，代入抛物线方程y２＝２px，解得p＝错误!.（理）如图所示，直线l１和l２相交于点M，l１⊥l２，点N∈l１，以A、B为端点的曲线段C上任一点到l２的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，|AM|＝错误!，|AN|＝３，且|NB|＝6，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程．解：以直线l１为x轴，线段MN的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，由条件可知，曲线段C是以点N为焦点，以l２为准线的抛物线的一段．其中A、B分别为曲线段C的端点．设曲线段C的方程为y２＝２px（p＞0）（x A≤x≤x B，y＞0），其中x A、x B为A、B的横坐标，p＝|MN|，∴M错误!、N错误!.由|AM|＝错误!，|AN|＝３，得错误!错误!＋２px A＝１7，１错误!错误!＋２px A＝9．２联立１２，解得x A＝错误!，代入１式，并由p＞0，解得错误!或错误!∵△AMN为锐角三角形，∴错误!＞x A.∴错误!由点B在曲线段C上，得x B＝|BN|—错误!＝４．综上，曲线C的方程为y２＝8x（１≤x≤４，y>0）．４．（文）求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程．（１）过点（—３，２）；（２）焦点在直线x—２y—４＝0上．解：（１）设所求抛物线的方程为y２＝—２px或x２＝２py（p＞0）．∵过点（—３，２），∴４＝—２p（—３）或9＝２p·２．∴p＝错误!或p＝错误!.∴所求抛物线的方程为y２＝—错误!x或x２＝错误!y，前者的准线方程是x＝错误!，后者的准线方程是y＝—错误!.（２）令x＝0得y＝—２，令y＝0得x＝４，∴抛物线的焦点为（４，0）或（0，—２）．当焦点为（４，0）时，错误!＝４，∴p＝8，此时抛物线的方程为y２＝１6x；焦点为（0，—２）时，错误!＝２，∴p＝４，此时抛物线的方程为x２＝—8y.∴所求抛物线的方程为y２＝１6x或x２＝—8y，对应的准线方程分别是x＝—４，y＝２．（理）已知定点F（0，１）和直线l１：y＝—１，过定点F与直线l１相切的动圆圆心为点Ｃ．（１）求动点C的轨迹方程；（２）过点F的直线l２交轨迹于两点P、Q，交直线l１于点R，求错误!·错误!的最小值．解：（１）由题设点C到点F的距离等于它到l１的距离，∴点C的轨迹是以F为焦点，l１为准线的抛物线．∴所求轨迹的方程为x２＝４y.（２）由题意直线l２的方程为y＝kx＋１，与抛物线方程联立消去y，得x２—４kx—４＝0．记P（x１，y１），Q（x２，y２），则x１＋x２＝４k，x１x２＝—４．由直线PQ的斜率k≠0，易得点R的坐标为错误!，错误!·错误!＝错误!·错误!＝错误!错误!＋（kx１＋２）（kx２＋２）＝（１＋k２）x１x２＋错误!（x１＋x２）＋错误!＋４＝—４（１＋k２）＋４k错误!＋错误!＋４＝４错误!＋8．∵k２＋错误!≥２，当且仅当k２＝１时取到等号．∴错误!·错误!≥４×２＋8＝１6，即错误!·错误!的最小值为１6．１．涉及抛物线上的点到焦点（准线）的距离问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线（焦点）的距离问题求解．２．求抛物线的方程一般是利用待定系数法，即求p，但要注意判断标准方程的形式．３．研究抛物线的几何性质时，一是注意定义转化应用；二是要结合图形分析，同时注意平面几何性质的应用．错误![备课札记]。