5 内积空间与希尔伯特空间(讲稿)教学内容

||x+y||2=||x||2+||y||2成立，但反之不然。 事实上， ||x+y||2=||x||2+||y||2+2Re(x,y) 2）在实内积空间中，xy||x+y||2=||x||2+||y||2，即勾股定理成立
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其中的投影定理是一个理论和应用上都极其重要的定理，利用投影
定理可以将内积空间分解成两个字空间的正交和。这是内积看所特
有的性质，这个定理在一般的巴拿赫空间中并不成立（因为巴拿赫
空间中没有正交性的概念）。在实际应用中，投影定理还常被用来
判定最佳逼近的存在性和唯一性。
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（线性运算对内积的连续性） 证 xnx ||xn-x|| 0
yny ||yn-y|| 0 |<xn,yn> - < x,y> |<xn,yn> - <x,yn>| +|<x,yn> - <x,y>|
||xn-x|| ||yn|| + ||x|| ||yn-y||0 <xn,yn> <x,y> (n) 注：距离函数、范数、内积都是连续函数
x
它们的内积等于0，而向量x在空间中坐标平
x1
面上的正交投影向量x0是将向量的起点移到 坐标原点，过向量的终点做平面的垂线所得 的垂足与原点之间的有向线段而得到的。且
x0
有x=x0+x1, 其中x1该坐标平面。这时称 x=x0+x1为x关于做表面的正交分解。
下面将把正交分解和正交投影的概念与推广到一般的内积空间中。
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例2 l 2空间按照内积 x, y xkyk 是内积空间。 k1 (许瓦兹不等式)
l 2按照由内积导出的范数
x
x
2 k
k 1
是Banach空间，因而是Hilbert空间。
l 2中由内积导出的距离为
(x,y)xy,xy i 1xiyi2 12
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a
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例4
C[a,b]按照范数
x
max(t)是线性赋范空间， t[a,b]
但C[a,b]不是内积空间.
证 取x =1, y =(t-a)/(b-a)C[a,b] ||x||=1, ||y||=1 ||x+y||=max|1+(t-a)/(b-a)|=2, ||x-y||=max|1-(t-a)/(b-a)|=1 ||x+y||2+||x-y||2=54=2(||x||2+||y||2) C[a,b]中范数不满足平行四边形公式， 因而不是由内积导出的范数
定理3 设X是内积空间，则必存在一个Hilbert空间H，使X与H的稠 密子空间同构，而且在同构意义下，满足上述条件的Hilbert空间是 唯一的。
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二、内积空间中的正交分解与投影定理
在解析几何中，有向量正交和向量投影的
概念，而且两个向量正交的充分必要条件是
许瓦兹不等式 x,y x y. (2) 内积与由内积诱导的范数的等式关系：
x ,y 1 ( x y 2 x y 2 ix i2 y ix i2 y ) 4
(3) 由内积诱导的范数满足范数公理内积空间按照由内积导 出的范数,是线性赋范空间。但反之不然
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n
例1 n维欧氏空间Rn按照内积 x, y xkyk 是内积空间。 k1
Rn按照由内积导出的范数 x 因而是Hilbert空间。
n
x
2 k
来自百度文库
是Banach空间，
k 1
Rn中由内积导出的距离为
(x,y)xy,xy i n 1xiyi2 12
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例3 L2[a,b]空间按照内积 x,ybx(t)y(t)dt是内积空间。 a
L2[a,b]按照由内积导出的范数
x b x(t)2dt12
a
是Banach空间，因而是Hilbert空间。
L2[a,b]中由内积导出的距离为
(x ,y ) x y ,x y bx (t) y (t)2 1 2
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3 线性赋范空间成为内积空间（范数是由内积导出的范数）的 充分必要条件
定理1 线性赋范空间X是内积空间x,yX,有
||x+y||2 + ||x-y||2=2||x||2 + 2||y||2 (平行四边形公式或中线公式) 4 希尔伯特空间 定义3 设H是内积空间，若H按照由内积诱导的范数成为Banach 空间，则称H是希尔伯特空间。
C[a,b]不是内积空间
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5 内积空间中的极限 定义4 （极限）设X是内积空间，{xn}X, xX 及yX,
x n , x n l i m x n x ,y 0 n l i m x n ,y x ,y 定理2 设H是希尔伯特空间，则H中的内积<x,y>是x,y的连续函数, 即{xn}、{yn}H, x, yH, 若xnx, yny, 则<xn,yn><x,y>.
1 正交的概念 定义5 (正交) 设H是内积空间,x,yH, M,N H.
(1) xy <x,y>=0; (2) xM yM, 都有<x,y> =0;
(3) MNxM，yN,都有<x,y>=0. 定理4 (勾股定理)设H是内积空间,若x,yH, 且xy, 则
||x+y||2=||x||2+||y||2 注:1）在一般的内积空间中，若xy，则有勾股定理
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5 内积空间与希尔伯特空间(讲 稿)
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2 由内积诱导的范数及由内积诱导的距离 定义2 (1) 范数 x x,x 称为由内积诱导的范数。
(2) 距离函数 (x,y)xyxy,xy
称为由内积诱导的距离。 注: (1) 内积与由内积诱导的范数的三角不等式关系——
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6 内积空间的完备化 定义5 (内积空间的同构) 设X,Y是同一数域K上的内积空间，若存
在映射T: XY,保持线性运算和内积不变,即x,yX, , K,有 (1) T(x+y)=Tx+Ty, (2) <Tx,Ty>=<x,y>
则称内积空间X与Y同构,而称T为内积空间X到Y的同构映射。