高考数学140分必读之把关题解析30讲(12)

高考数学140分必读之把关题解析30讲（12）把关题解析30讲〔12〕1．江苏理(22)〔本小题总分值14分，第一小咨询总分值4分，第二小咨询总分值10分〕a R ∈，函数2()||f x x x a =-.(Ⅰ)当2a =时，求使()f x x =成立的x 的集合； (Ⅱ)求函数()y f x =在区间[12]，上的最小值.〔本小题要紧考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论的数学思想和分析推理能力.总分值14分.〕解：〔Ⅰ〕由题意，2()2f x x x =-.当2x <时，2()(2)f x x x x =-=，解得0x =或1x =；当2x ≥时，2()(2)f x x x x =-=，解得1x =综上，所求解集为{011，，. 〔Ⅱ〕设此最小值为m .①当1a ≤时，在区间[12]，上，32()f x x ax =-. 因为22()323()03f x x ax x x a '=-=->，(12)x ∈，，那么()f x 在区间[12]，上是增函数，因此(1)1m f a ==-.②当12a <≤时，在区间[12]，上，2()()0f x x x a =-≥，由()0f a =知 ()0m f a ==.③当2a >时，在区间[12]，上，23()f x ax x =-. 22()233()3f x ax x x a x '=-=-.假设3a ≥，在区间(12)，内()0f x '>，从而()f x 为区间[12]，上的增函数， 由此得(1)1m f a ==-.假设23a <<，那么2123a <<. 当213x a <<时，()0f x '>，从而()f x 为区间2[1]3a ，上的增函数； 当223a x <<时，()0f x '<，从而()f x 为区间2[2]3a ，上的减函数. 因此，当23a <<时，(1)1m f a ==-或(2)4(2)m f a ==-.当723a <≤时，4(2)1a a -≤-，故(2)4(2)m f a ==-； 当733a <<时，14(2)a a -<-，故(1)1m f a ==-. 综上所述，所求函数的最小值 111274(2)23713a a a m a a a a -≤⎧⎪<≤⎪⎪=⎨-<≤⎪⎪->⎪⎩，当时；0，当时；，当时；，当时．(23)〔本小题总分值14分，第一小咨询总分值2分，第二、第三小咨询总分值各6分〕设数列{}n a 的前n 项和为n S ，1231611a a a ===，，，且1(58)(52)123n n n S n S An B n +--+=+=，，，，， 其中A B ，为常数. (Ⅰ)求A 与B 的值；(Ⅱ)证明：数列{}n a 为等差数列；(Ⅲ)1对任何正整数m n ，都成立.〔23〕本小题要紧考查等差数列的有关知识、不等式的证明方法，考查思维能力、运算能力. 总分值14分.解：〔Ⅰ〕由，得111S a ==，2127S a a =+=，312318S a a a =++=. 由1(58)(52)n n n S n S An B +--+=+，知2132372122S S A B S S A B --=+⎧⎨-=+⎩，， 即 28248A B A B +=-⎧⎨+=-⎩，，解得 20A =-，8B =-. 〔Ⅱ〕方法1由〔Ⅰ〕，得 1(58)(52)208n n n S n S n +--+=--， ①因此 21(53)(57)2028n n n S n S n ++--+=--. ② ②-①，得 21(53)(101)(52)20n n n n S n S n S ++---++=-， ③ 因此 321(52)(109)(57)20n n n n S n S n S ++++-+++=-. ④ ④-③，得 321(52)(156)(156)(52)0n n n n n S n S n S n S ++++-+++-+=. 因为 11n n n a S S ++=-，因此 321(52)(104)(52)0n n n n a n a n a ++++-+++=. 又因为 520n +≠，因此 32120n n n a a a +++-+=， 即 3221n n n n a a a a ++++-=-，1n ≥. 因此数列{}n a 为等差数列. 方法2由，得111S a ==，又1(58)(52)208n n n S n S n +--+=--，且580n -≠， 因此数列{}n S 是唯独确定的，因而数列{}n a 是唯独确定的. 设54n b n =-，那么数列{}n b 为等差数列，前n 项和(53)2n n n T -=.因此 1(1)(52)(53)(58)(52)(58)(52)20822n n n n n n n T n T n n n +++---+=--+=--，由唯独性得 n n b a =，即数列{}n a 为等差数列. 〔Ⅲ〕由〔Ⅱ〕可知，15(1)54n a n n =+-=-.要证1>，只要证 51mn m n a a a >++因为 54mn a mn =-，(54)(54)2520()16m n a a m n mn m n =--=-++，故只要证 5(54)12520()16mn mn m n ->+-+++即只要证 202037m n +->因为 558m n a a m n ≤+=+- 558(151529)m n m n <+-++-202037m n =+-，因此命题得证.2．辽宁理21．〔本小题总分值14分〕椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分不是F 1〔－c ，0〕、F 2〔c ，0〕，Q 是椭圆外的动点，满足.2||1a Q F =点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，同时满足.0||,022≠=⋅TF TF PT〔Ⅰ〕设x 为点P 的横坐标，证明x aca F +=||1； 〔Ⅱ〕求点T 的轨迹C 的方程；〔Ⅲ〕试咨询：在点T 的轨迹C 上，是否存在点M ， 使△F 1MF 2的面积S=.2b 假设存在，求∠F 1MF 2的正切值；假设不存在，请讲明理由.本小题要紧考查平面向量的概率，椭圆的定义、标准方程和有关性质，轨迹的求法和应 用，以及综合运用数学知识解决咨询题的能力.总分值14分. 〔Ⅰ〕证法一：设点P 的坐标为).,(y x由P ),(y x 在椭圆上，得.)()()(||222222221x aca xa b b c x y c x P F +=-++=++=由0,>+-≥+≥a c x a c a a x 知，因此 .||1x aca F +=………………………3分 证法二：设点P 的坐标为).,(y x 记,||,||2211r F r F ==那么.)(,)(222221y c x r y c x r ++=++=由.||,4,211222121x a ca r P F cx r r a r r +===-=+得 证法三：设点P 的坐标为).,(y x 椭圆的左准线方程为.0=+x aca由椭圆第二定义得a c ca x F =+||||21，即.||||||21x a c a c a x a c P F +=+=由0,>+-≥+-≥a c x a c a a x 知，因此.||1x aca F +=…………………………3分 〔Ⅱ〕解法一：设点T 的坐标为).,(y x当0||=时，点〔a ，0〕和点〔－a ，0〕在轨迹上.当|0||0|2≠≠TF PT 且时，由0||||2=⋅TF PT ，得2TF PT ⊥. 又||||2PF =，因此T 为线段F 2Q 的中点. 在△QF 1F 2中，a F ==||21||1，因此有.222a y x =+ 综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.222a y x =+…………………………7分 解法二：设点T 的坐标为).,(y x 当0||=时，点〔a ，0〕和点〔－a ，0〕在轨迹上. 当|0||0|2≠≠TF PT 且时，由02=⋅TF PT ，得2TF PT ⊥.又||||2PF =，因此T 为线段F 2Q 的中点.设点Q 的坐标为〔y x '',〕，那么⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'=+'=.2,2y y cx x因此⎩⎨⎧='-='.2,2y y c x x ①由a F 2||1=得.4)(222a y c x ='++' ② 将①代入②，可得.222a y x =+综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.222a y x =+……………………7分〔Ⅲ〕解法一：C 上存在点M 〔00,y x 〕使S=2b 的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+.||221,2022020b y c a y x 由③得a y ≤||0，由④得.||20c b y ≤ 因此，当cb a 2≥时，存在点M ，使S=2b ；当cb a 2<时，不存在满足条件的点M.………………………11分 ③ ④当cb a 2≥时，),(),,(002001y x c MF y x c MF --=---=，由2222022021b c a y c x MF =-=+-=⋅，212121cos ||||MF F MF MF MF MF ∠⋅=⋅，22121sin ||||21b MF F MF MF S =∠⋅=，得.2tan 21=∠MF F 解法二：C 上存在点M 〔00,y x 〕使S=2b 的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+.||221,2022020b y c a y x由④得.||20c b y ≤ 上式代入③得.0))((2224220≥+-=-=c b a c b a cb a x 因此，当cb a 2≥时，存在点M ，使S=2b ；当cb a 2<时，不存在满足条件的点M.………………………11分当cb a 2≥时，记c x y k k c x y k k M F M F -==+==00200121,，由,2||21a F F <知︒<∠9021MF F ，因此.2|1|tan 212121=+-=∠k k k k MF F …………14分22．〔本小题总分值12分〕函数)(x f y =在区间〔0，+∞〕内可导，导函数)(x f '是减函数，且.0)(>'x f 设m kx y x +=+∞∈),,0(0是曲线)(x f y =在点〔)(,00x f x 〕得的切线方程，并设函数.)(m kx x g +=〔Ⅰ〕用0x 、)(0x f 、)(0x f '表示m ； 〔Ⅱ〕证明：当)()(,),0(0x f x g x ≥+∞∈时；〔Ⅲ〕假设关于x 的不等式),0[231322+∞≥+≥+在x b ax x 上恒成立，其中a 、b 为实数，求b 的取值范畴及a 与b 所满足的关系.本小题考查导数概念的几何意义，函数极值、最值的判定以及灵活运用数形结合的思想判定函数之间的大小关系.考查学生的学习能力、抽象思维能力及综合运用数学差不多关系解决③ ④咨询题的能力.总分值12分〔Ⅰ〕解：).()(000x f x x f m '-=…………………………………………2分 〔Ⅱ〕证明：令.0)(),()()(),()()(00=''-'='-=x h x f x f x h x f x g x h 则 因为)(x f '递减，因此)(x h '递增，因此，当0)(,0>'>x h x x 时；当0)(,0<'<x h x x 时.因此0x 是)(x h 唯独的极值点，且是极小值点，可知)(x h 的最小值为0，因此,0)(≥x h 即).()(x f x g ≥…………………………6分〔Ⅲ〕解法一：10≤≤b ，0>a 是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立. 0)1(,122≥-+-+≥+b ax x b ax x 即对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是 .)1(221b a -≤另一方面，由于3223)(x x f =满足前述题设中关于函数)(x f y =的条件，利用〔II 〕的结果可知，3223x b ax =+的充要条件是：过点〔0，b 〕与曲线3223x y =相切的直线的斜率大于a ，该切线的方程为.)2(21b x b y +=-因此3223x b ax ≥+的充要条件是.)2(21b a ≥…………………………10分综上，不等式322231x b ax x ≥+≥+对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是.)1(2)2(2121b a b -≤≤-①明显，存在a 、b 使①式成立的充要条件是：不等式.)1(2)2(2121b b -≤- ②有解、解不等式②得.422422+≤≤-b ③因此，③式即为b 的取值范畴，①式即为实数在a 与b 所满足的关系.…………12分〔Ⅲ〕解法二：0,10>≤≤a b 是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立. 0)1(,122≥-+-+≥+b ax x b ax x 即对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是 .)1(221b a -≤………………………………………………………………8分令3223)(x b ax x -+=φ，因此3223x b ax ≥+对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是.0)(≥x φ 由.0)(331--==-='a x xa x 得φ当30-<<a x 时;0)(<'x φ当3->a x 时，0)(>'x φ，因此，当3-=a x 时，)(x φ取最小值.因此0)(≥x φ成立的充要条件是0)(3≥-a φ，即.)2(21-≥b a ………………10分综上，不等式322231x b ax x ≥+≥+对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是.)1(2)2(2121b a b -≤≤-①明显，存在a 、b 使①式成立的充要条件是：不等式2121)1(2)2(b b -≤- ②有解、解不等式②得.422422+≤≤-b因此，③式即为b 的取值范畴，①式即为实数在a 与b 所满足的关系.…………12分。