2016年江苏省南京市玄武区中考数学一模试卷及参考答案

2016年江苏省南京市玄武区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）下列运算正确的是（）A．a3+a3=a6 B．2（a+1）=2a+1 C．（ab）2=a2b2D．a6÷a3=a22．（2分）下列各数中，是无理数的是（）A．cos30°B．（﹣π）0 C．﹣ D．3．（2分）计算2﹣1×8﹣|﹣5|的结果是（）A．﹣21 B．﹣1 C．9 D．114．（2分）体积为80的正方体的棱长在（）A．3到4之间B．4到5之间C．5到6之间D．6到7之间5．（2分）如图，将等边△ABC的边AC逐渐变成以B为圆心、BA为半径的，长度不变，AB、BC的长度也不变，则∠ABC的度数大小由60°变为（）A．（）°B．（）°C．（）°D．（）°6．（2分）如图，正方形OABC的边长为6，A，C分别位于x轴、y轴上，点P在AB上，CP交OB于点Q，函数y=的图象经过点Q，若S△BPQ =S△OQC，则k的值为（）A．﹣12 B．12 C．16 D．18二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．（2分）使式子1+有意义的x的取值范围是．8．（2分）计算：﹣=．9．（2分）有一组数据：1，3，3，4，4，这组数据的方差为．10．（2分）设x1，x2是方程x2+4x+3=0的两根，则x1+x2=．11．（2分）今年清明假期全国铁路发送旅客约41000000人次，将41000000用科学记数法表示为．12．（2分）如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是．13．（2分）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，OH=8，则菱形ABCD的周长等于．14．（2分）如图，正五边形ABCDE绕点A顺时针旋转后得到正五边形AB′C′D′E′，旋转角为α（0°≤α≤90°），若DE⊥B′C′，则∠α=°．15．（2分）如图，三个全等的小矩形沿“横﹣竖﹣横”排列在一个边长分别为5.7，4.5的大矩形中，图中一个小矩形的周长等于．16．（2分）若﹣2≤a＜2，则满足a（a+b）=b（a+1）+a的b的整数值有个．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）（1）解方程：3（x﹣1）=x（1﹣x）；（2）化简：﹣；（3）解不等式组：，并将解集在数轴上表示．18．（7分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE=CF．（1）求证：△BOE≌△DOF；（2）若BD=EF，连接DE、BF，判断四边形EBFD的形状，无需说明理由．19．（7分）从甲、乙、丙3名同学中随机抽取环保志愿者，求下列事件的概率；（1）抽取1名，恰好是甲；（2）抽取2名，甲在其中．20．（7分）元宵节那天，李老师给他的微信好友群发了一个小调查：“元宵节，你选择吃大汤圆，还是小元宵呢？”12小时内好友回复的相关数据如图：（1）回复时间为5小时～12小时的人数为；（2）既选择大汤圆，又选择小元宵的人数为；（3）12小时后，又有40个好友回复了，如果重新制作“好友回复时间扇形统计图”，加入“12小时后”这一项，求该项所在扇形的圆心角度数．21．（7分）如图，点P、M、Q在半径为1的⊙O上，根据已学知识和图中数据（0.97、0.26为近似数），解答下列问题：（1）sin60°=；cos75°=；（2）若MH⊥x轴，垂足为H，MH交OP于点N，求MN的长．（结果精确到0.01，参考数据：≈1.414，≈1.732）22．（8分）二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（0，3），（3，6），（﹣2，11）．（1）求该二次函数的关系式；（2）证明：无论x取何值，函数值y总不等于1；（3）如何平移该函数图象使得函数值y能等于1？23．（7分）如图，已知△ABC，△DCE是两个全等的等腰三角形，底边BC、CE 在同一直线上，且AB=，BC=1，BD与AC交于点P．（1）求证：△BED∽△DEC；（2）求△DPC的周长．24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点D、E在⊙O上，连接AE、ED、DA，连接BD并延长至点C，使得∠DAC=∠AED．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若点E是的中点，AE与BC交于点F，①求证：CA=CF；②当BD=5，CD=4时，DF=．25．（7分）随着“互联网+”时代的到来，一种新型打车方式受到大众欢迎．该打车方式的计价规则如图①所示，若车辆以平均速度vkm/h行驶了skm，则打车费用为（ps+60q•）元（不足9元按9元计价）．小明某天用该打车方式出行，按上述计价规则，其打车费用y（元）与行驶里程x（km）的函数关系也可由如图②表示．（1）当x≥6时，求y与x的函数关系式．（2）若p=1，q=0.5，求该车行驶的平均速度．26．（8分）某日王老师佩戴运动手环进行快走锻炼，两次锻炼后数据如表．与第一次锻炼相比，王老师第二次锻炼步数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的3倍．设王老师第二次锻炼时平均步长减少的百分率为x（0＜x＜0.5）．项目第一次锻炼第二次锻炼步数（步）10000①平均步长（米/步）0.6②距离（米）60007020注：步数×平均步长=距离．（1）根据题意完成表格填空；（2）求x；（3）王老师发现好友中步数排名第一为24000步，因此在两次锻炼结束后又走了500米，使得总步数恰好为24000步，求王老师这500米的平均步长．27．（10分）如图①，现有长度分别为a、b、1的三条线段．【加、减】图②所示为长为a+b的线段，请用尺规作出长为a﹣b的线段．【乘】在图③中，OA=a，OC=b，点B在OA上，OB=1，AD∥BC，交射线OC于点D．求证：线段OD的长为ab．【除】请用尺规作出长度为的线段．【开方】任意两个有理数的和、差、积、商（除数不为0）仍然是有理数，而开方运算则打开了通向无理数的一扇门．请用两种不同的方法，画出长度为的线段．注：本题作（画）图不写作（画）法，需标明相应线段长度．2016年江苏省南京市玄武区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）下列运算正确的是（）A．a3+a3=a6 B．2（a+1）=2a+1 C．（ab）2=a2b2D．a6÷a3=a2【解答】解：A、a3+a3=2a3，故A选项错误；B、2（a+1）=2a+2≠2a+1，故B选项错误；C、（ab）2=a2b2，故C选项正确；D、a6÷a3=a3≠a2，故D选项错误．故选：C．2．（2分）下列各数中，是无理数的是（）A．cos30°B．（﹣π）0 C．﹣ D．【解答】解：A、cos30=是无理数，B、（﹣π）0=1是有理数，C、﹣是有理数，故C错误；D、=8是有理数，故D错误；故选：A．3．（2分）计算2﹣1×8﹣|﹣5|的结果是（）A．﹣21 B．﹣1 C．9 D．11【解答】解：原式=×8﹣5=4﹣5=﹣1．故选：B．4．（2分）体积为80的正方体的棱长在（）A．3到4之间B．4到5之间C．5到6之间D．6到7之间【解答】解：∵，∴4＜＜5，故选：B．5．（2分）如图，将等边△ABC的边AC逐渐变成以B为圆心、BA为半径的，长度不变，AB、BC的长度也不变，则∠ABC的度数大小由60°变为（）A．（）°B．（）°C．（）°D．（）°【解答】设∠ABC的度数大小由60变为n，则AC=，由AC=AB，解得n=，故选D．6．（2分）如图，正方形OABC的边长为6，A，C分别位于x轴、y轴上，点P在AB上，CP交OB于点Q，函数y=的图象经过点Q，若S△BPQ =S△OQC，则k的值为（）A．﹣12 B．12 C．16 D．18【解答】解：∵PB∥OC（四边形OABC为正方形），∴△PBQ∽△COQ，∴==，∴PB=PA=OC=3．∵正方形OABC的边长为6，∴点C（0，6），点P（6，3），直线OB的解析式为y=x①，∴设直线CP的解析式为y=ax+6，∵点P（6，3）在直线CP上，∴3=6a+6，解得：a=﹣，故直线CP的解析式为y=﹣x+6②．联立①②得：，解得：，∴点Q的坐标为（4，4）．将点Q（4，4）代入y=中，得：4=，解得：k=16．故选C．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．（2分）使式子1+有意义的x的取值范围是x≠1．【解答】解：由题意知，分母x﹣1≠0，即x≠1时，式子1+有意义．故答案为：x≠1．8．（2分）计算：﹣=．【解答】解：原式=﹣=．故答案为：．9．（2分）有一组数据：1，3，3，4，4，这组数据的方差为 1.2．【解答】解：这组数据的平均数是：（1+3+3+4+4）÷5=3，则这组数据的方差为：[（1﹣3）2+（3﹣3）2+（3﹣3）2+2（4﹣3）2]=1.2．故答案为：1.2．10．（2分）设x1，x2是方程x2+4x+3=0的两根，则x1+x2=﹣4．【解答】解：根据题意得x1+x2=﹣4．故答案为﹣4．11．（2分）今年清明假期全国铁路发送旅客约41000000人次，将41000000用科学记数法表示为 4.1×107．【解答】解：41 000 000=4.1×107，故答案为：4.1×107．12．（2分）如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是5．【解答】解：过O作OC⊥AB于C，∴AC=BC=AB=12，在Rt△AOC中，由勾股定理得：OC==5，故答案为：5．13．（2分）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，OH=8，则菱形ABCD的周长等于64．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，∴AC⊥BD，AB=AD=CD=BC．∵H为AD边中点，OH=8，∴AD=16，∴菱形ABCD的周长=4AD=64．故答案为：64．14．（2分）如图，正五边形ABCDE绕点A顺时针旋转后得到正五边形AB′C′D′E′，旋转角为α（0°≤α≤90°），若DE⊥B′C′，则∠α=54°．【解答】解：DE与B′C′相交于O点，如图，∵五边形ABCDE为正五边形，∴∠B=∠BAE=∠E==108°，∵正五边形ABCDE绕点A顺时针旋转后得到正五边形AB′C′D′E′，旋转角为α（0°≤α≤90°），∴∠BAB′=α，∠B′=∠B=108°，∵DE⊥B′C′，∴∠B′OE=90°，∴∠B′AE=360°﹣∠B′﹣∠E﹣∠B′OE=360°﹣108°﹣108°﹣90°=54°，∴∠BAB′=∠BAE﹣∠B′AE=108°﹣54°=54°，即∠α=54°．故答案为54．15．（2分）如图，三个全等的小矩形沿“横﹣竖﹣横”排列在一个边长分别为5.7，4.5的大矩形中，图中一个小矩形的周长等于 6.8．【解答】解：设小矩形的长为xm，宽为ym，由题意得：，解得：x+y=3.4．一个小矩形的周长为：3.4×2=6.8，故答案为：6.8．16．（2分）若﹣2≤a＜2，则满足a（a+b）=b（a+1）+a的b的整数值有7个．【解答】解：由a（a+b）=b（a+1）+a可得b=a2﹣a=（a﹣）2﹣，∵﹣2≤a＜2，∴﹣≤b≤6，则满足条件的b的整数值有0、1、2、3、4、5、6这7个，故答案为：7．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）（1）解方程：3（x﹣1）=x（1﹣x）；（2）化简：﹣；（3）解不等式组：，并将解集在数轴上表示．【解答】解：（1）3（x﹣1）=﹣x（x﹣1）3（x﹣1）+x（x﹣1）=0（x﹣1）（x+3）=0x1=1，x2=﹣3．（2）﹣=﹣===．（3）解不等式3x+1≤2，得x≤解不等式，得x＜﹣1，将解集表示在数轴上如下：故不等式组的解集为x＜﹣1．18．（7分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE=CF．（1）求证：△BOE≌△DOF；（2）若BD=EF，连接DE、BF，判断四边形EBFD的形状，无需说明理由．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵AE=CF，∴OE=OF，在△BOE和△DOF中，，∴△BOE≌△DOF（SAS）；（2）解：四边形EBFD是矩形；理由如下：∵OB=OD，OE=OF，∴四边形EBFD是平行四边形，∵BD=EF，∴四边形EBFD是矩形．19．（7分）从甲、乙、丙3名同学中随机抽取环保志愿者，求下列事件的概率；（1）抽取1名，恰好是甲；（2）抽取2名，甲在其中．【解答】解：（1）∵从甲、乙、丙3名同学中随机抽取环保志愿者，∴抽取1名，恰好是甲的概率为：；（2）∵抽取2名，可得：甲乙，甲丙，乙丙，共3种等可能的结果，甲在其中的有2种情况，∴抽取2名，甲在其中的概率为：．20．（7分）元宵节那天，李老师给他的微信好友群发了一个小调查：“元宵节，你选择吃大汤圆，还是小元宵呢？”12小时内好友回复的相关数据如图：（1）回复时间为5小时～12小时的人数为10；（2）既选择大汤圆，又选择小元宵的人数为30；（3）12小时后，又有40个好友回复了，如果重新制作“好友回复时间扇形统计图”，加入“12小时后”这一项，求该项所在扇形的圆心角度数．【解答】解：（1）回复时间为5小时～12小时的人数为：200×（1﹣50%﹣30%﹣15%）=10（人）；故答案为：10；（2）既选择大汤圆，又选择小元宵的人数为：（150+80）﹣200=30（人）故答案为：30；（3）根据题意得：×360°=60°．答：“12小时后”这一项所在扇形的圆心角度数为60°．21．（7分）如图，点P、M、Q在半径为1的⊙O上，根据已学知识和图中数据（0.97、0.26为近似数），解答下列问题：（1）sin60°=；cos75°=0.26；（2）若MH⊥x轴，垂足为H，MH交OP于点N，求MN的长．（结果精确到0.01，参考数据：≈1.414，≈1.732）【解答】解：（1）由图可知，sin60°=，cos75°==0.26，故答案为：；0.26；（2）在Rt△MHO中，sin∠MOH=，即MH=MO•sin∠MOH=1×=．∴OH=，设PA⊥x轴，垂足为A，如右图所示，∵∠NHO=∠PAO=90°，∴NH∥PA，∴△ONH∽△OPA，∴=，即=，∴NH≈0.134．∴MN=MH﹣MN=≈0.73．22．（8分）二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（0，3），（3，6），（﹣2，11）．（1）求该二次函数的关系式；（2）证明：无论x取何值，函数值y总不等于1；（3）如何平移该函数图象使得函数值y能等于1？【解答】（1）解：由题意得：，解得：，∴该函数的函数关系式为：y=x2﹣2x+3．（2）证明：∵y=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2，∴当x=1时，y取最小值2，∴无论x取何值，函数值y总不等于1．（3）将该函数图象向下平移的距离大于等于1个单位长度．23．（7分）如图，已知△ABC，△DCE是两个全等的等腰三角形，底边BC、CE 在同一直线上，且AB=，BC=1，BD与AC交于点P．（1）求证：△BED∽△DEC；（2）求△DPC的周长．【解答】（1）证明：∵△ABC，△DCE是两个全等的等腰三角形，且底边BC、CE 在同一直线上，∴AB=AC=DC=DE=，BC=CE=1，∴BE=2BC=2，∵=，=，∴=．又∵∠BED=∠DEC，∴△BED∽△DEC；（2）解：∵△ABC，△DCE是两个全等的等腰三角形，且底边BC、CE在同一直线上，∴∠ACB=∠DEC，∴AC∥DE．∴==，∴PC=，PD=BD，过D作DM⊥CE于M，∵DC=DE，∴CM=ME=，在Rt△DMC中，由勾股定理得：DM==，在Rt△DMB中，由勾股定理得：BD==2，∴PD=BD=1，∴△DPC的周长=PC+PD+DC=+1+=+1．24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点D、E在⊙O上，连接AE、ED、DA，连接BD并延长至点C，使得∠DAC=∠AED．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若点E是的中点，AE与BC交于点F，①求证：CA=CF；②当BD=5，CD=4时，DF=2．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°．∴∠ABC+∠DAB=90°．∵∠DAC=∠AED，∠AED=∠ABC，∴∠DAC+∠DAB=90°，∴AC是⊙O的切线．（3分）（2）①证明：∵点E是的中点，∴=，∴∠BAE=∠DAE．∵∠DAC+∠DAB=90°，∠ABC+∠DAB=90°，∴∠DAC=∠ABC．∵∠CFA=∠ABC+∠BAE，∠CAF=∠DAC+∠DAE，∴∠CFA=∠CAF．∴CA=CF．②解：∵∠BAC=∠ADB=90°，∴∠ACD=∠BCA，∴△ADC∽△BAC．∴=．即AC2=BC×CD=（5+4）×4=36．解得AC=6．∴CA=CF=6，∴DF=CA﹣CD=2．故答案为2．25．（7分）随着“互联网+”时代的到来，一种新型打车方式受到大众欢迎．该打车方式的计价规则如图①所示，若车辆以平均速度vkm/h行驶了skm，则打车费用为（ps+60q•）元（不足9元按9元计价）．小明某天用该打车方式出行，按上述计价规则，其打车费用y（元）与行驶里程x（km）的函数关系也可由如图②表示．（1）当x≥6时，求y与x的函数关系式．（2）若p=1，q=0.5，求该车行驶的平均速度．【解答】解：（1）当x≥6时，设y与x之间的函数关系式为y=kx+b．根据题意，当x=6时，y=9；当x=8时，y=12．所以，解得，所以，y与x之间的函数关系式为y=1.5x．（2）根据图象可得，当x=8时，y=12，又因为p=1，q=0.5，可得12=1×8+60×0.5×，解得：v=60．经检验，v=60是原方程的根．所以该车行驶的平均速度为60km/h．26．（8分）某日王老师佩戴运动手环进行快走锻炼，两次锻炼后数据如表．与第一次锻炼相比，王老师第二次锻炼步数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的3倍．设王老师第二次锻炼时平均步长减少的百分率为x（0＜x＜0.5）．项目第一次锻炼第二次锻炼步数（步）10000①10000（1+3x）平均步长（米/步）0.6②0.6（1﹣x）距离（米）60007020注：步数×平均步长=距离．（1）根据题意完成表格填空；（2）求x；（3）王老师发现好友中步数排名第一为24000步，因此在两次锻炼结束后又走了500米，使得总步数恰好为24000步，求王老师这500米的平均步长．【解答】解：（1）①根据题意可得：10000（1+3x）；②第二次锻炼的平均步长（米/步）为：0.6（1﹣x）；故答案为：10000（1+3x）；0.6（1﹣x）；（2）由题意：10000（1+3x）×0.6（1﹣x）=7020解得：x1=＞0.5（舍去），x2=0.1．则x=0.1，答：x的值为0.1；（3）根据题意可得：10000+10000（1+0.1×3）=23000，500÷（24000﹣23000）=0.5（m）．答：王老师这500米的平均步幅为0.5米．27．（10分）如图①，现有长度分别为a、b、1的三条线段．【加、减】图②所示为长为a+b的线段，请用尺规作出长为a﹣b的线段．【乘】在图③中，OA=a，OC=b，点B在OA上，OB=1，AD∥BC，交射线OC于点D．求证：线段OD的长为ab．【除】请用尺规作出长度为的线段．【开方】任意两个有理数的和、差、积、商（除数不为0）仍然是有理数，而开方运算则打开了通向无理数的一扇门．请用两种不同的方法，画出长度为的线段．注：本题作（画）图不写作（画）法，需标明相应线段长度．【解答】解：【加、减】如图①，线段AB长为a﹣b．【乘】证明：∵AD∥BC，∴=，即=．∴OD=ab．【除】如图②，OA=a，OC=b，点B在OC上，OB=1，BD∥AC，交OA于点D．则OD=．证明：∵BD∥AC，∴=，∴=，∴OD=．【开方】图③和图④中的MN均为．理由：如图3中，BM是直径，BM=a+b，AM=1，AN⊥BM，∵∠M=∠M，∠MAN=∠MNB=90°，∴△MAN∽△MNB，∴=，∴MN2=a+b，∴MN=．如图4中，AB是直径，AB=a+b+1，BM=1，MN⊥AB，由△AMN∽△NMB，∴=，∴MN2=a+b，∴MN=．析，能在头脑里形成生动而清晰的物理情景，找到解决问题的简捷办法，才能顺利地、准确地完成解题的全过程。