新版人教版八年级上册数学【角平分线的性质课件】
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人教版初中数学八年级上册精品教学课件 第12章 全等三角形 第2课时 角的平分线的性质(2)
互动课堂理解
证明在△DBE和△DCF中,
∠ = ∠ = 90°,
∠ = ∠,
= ,
所以△DBE≌△DCF(AAS).
所以DE=DF.因为DE⊥AB,DF⊥AC,
所以点D在∠BAC的平分线上.
快乐预习感知
1
2
3
4
1.关于三角形的角平分线的说法错误的是(
).
A.两内角平分线的交点一定在三角形内
第2课时 角的平分线的性质(2)
快乐预习感知
1.角的内部到角的两边的距离相等的点在 角的平分线
上.
2.三角形的三条角平分线 相交于一点 ,这点到三角形三边的
距离 相等
.
3.三角形中到三边的距离相等的点是( D ).
A.三条边上经过对应顶点的任意三条线段的交点
B.三条高的交点
C.三条中线的交点
D.三条角平分线的交点
B.两内角平分线的交点在第三个角的平分线上
C.两内角平分线的交点到三边的距离相等
D.两内角平分线的交点到三个顶点的距离相等
关闭
D
答案
快乐预习感知
1
2
3
4
2.如图,已知点P到AE,AD,BC的距离相等,则下列说法:①点P在
∠BAC的平分线上;②点P在∠CBE的平分线上;③点P在∠BCD的平
分线上;④点P是∠BAC,∠CBE,∠BCD的平分线的交点,其中正确的
证明:∵DE⊥AB,交 AB 的延长线于点 E,DF⊥AC 于点 F,
∴∠BED=∠CFD=90°,
= ,
在 Rt△BDE 和 Rt△CDF 中,
= ,
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).
∴DE=DF.
数学八年级上册课件15.4角平分线第2课时 角平分线的性质定理及逆定理
C
P
O
EB
∴ △ PDO ≌ △ PEO，（AAS）
∴ PD=PE。（全等三角形的对应边相等）
知识梳理
证明几何命题的一般步骤： 1、明确命题的已知和求证； 2、根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知 和求证； 3、经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出 证明过程。
你能用文字语言叙述一下发现的结论吗？
D
A
C P
E B
思考
我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离 相等。那么到角的两边的距离相等的点是否在角 的平分线上呢？请说说你的想法及证明。
利用三角形全等，可以得到角的内部到角的两边 的距离相等的点在角的平分线上。
练习
1、如图， ∵ AD平分∠BAC（已知）
∴ BD = CD ，
（在角的平分线上的点到这
直角三角形全等用
揭示概念
角平分线的概念：
一条射线 把一个角分成两个相等的角， 这条射线叫做这个角的平分线。
A
1
C
o
2
B
探究角平分线的性质
(1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使
第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成 的三条折痕，你能得出什么结论？
(2)结论:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
角平分线的性质定理 及逆定理
。。。。。。。。。。。。
学习目标
• 1、掌握角平分线定理及逆定理。 • 2、能利用角平分线定理及其逆定理解决几何图形中的
问题。 • 重点：角平分线的性质定理及其逆定理。
旧知回顾
三角形 全等的条件：
（1）定义（重合）法；
（2）解题 中常用的4 种方法
（3）HL
人教版初中数学《角的平分线的性质》_完美课件
交OA于点M，交OB于点N
尺规法画角平分线
A M
C
O
NB
分别以点M，N为圆心，大于½MN的长度为半径画
弧，两弧在∠AOB的内部交于点C
尺规法画角平分线
A M
C
O
NB
画射线OC，即为∠AOB的角平分线
思考和交流
• 在你刚才画好的角平分线OC 上任意取一点P，过点P画出 OA和OB的垂线段，分别记 垂足为D，E。PD和PE的长 度有什么关系？
• 在OC上再取几个点试一下， 并和你的伙伴交流结论，你 们发现角平分线有什么性质？
思考和交流
• 经过测量，PD=PE总成立。 • 经过讨论，我们猜想： • 角分线上的点到角两边的距
离相等。
你能用全等三角 形证明吗？
怎样证明几何命题？
• 证明几何命题，先明确已知和求证。
– 已知：一个点在一个角的平分线上。 – 求证：这个点到这个角两边的距离相等。
角分线上的点到角两边的距离相等
A D
∵OC平分∠AOB，
O
P C PD⊥OA，PE⊥OB
∴PD=PE
EB
动脑想一想
• 如图，要在S区建一个 集贸中心，使它到铁路、 公路的距离相等，并且 离公路与铁路的交叉处 500m，这个集贸中心应 建在哪里？
动脑想一想
• 角分线上的点到角两边的距离相等。 • 到角的两边的距离相等的点是否也在角的
DC=BC（已知） ∴ △ADC≌△ABC (SSS) ∴∠DAC=∠BAC（对应角相等） 即 AE平分∠BAD
动脑想一想
• 通过刚才的启发，你能想到怎样画出下面 的角的平分线吗？
A
仅用尺规作图，
已知∠AOB，
求作∠AOB的
人教版八年级数学课件-角的平分线的性质
1 2
O
C P EB
∴ △OPD≌△OPE(AAS)
∴PD＝PE（全等三角形對應邊相等）
*
角平分線的性質
定理：角平分線上的點到角的兩邊的距離相等.
用符號語言表示為：
A D
∵∠1= ∠2 PD ⊥OA ，PE ⊥OB
∴PD=PE.
C
12
P
O
EB
*
如圖，要在S區建一個貿易市場，使它到鐵路和公路 距離相等， 離公路與鐵路交叉處500米，這個集貿市場 應建在何處？（比例尺為1︰20000）
s
*
【解析】 作夾角的角平分線OC，截取OD=2.5cm ,D即為所求. O
s
D C
*
反過來，到一個角的兩邊的距離相等的點是 否一定在這個角的平分線上呢？ 已知：如圖,QD⊥OA，QE⊥OB， 點D、E為垂足，QD＝QE． 求證：點Q在∠AOB的平分線上．
*
證明: ∵ QD⊥OA，QE⊥OB ∴ ∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直的定義） 在Rt△QDO和Rt△QEO中 QO＝QO（公共邊） QD=QE ∴ Rt△QDO≌Rt△QEO（HL） ∴ ∠ QOD＝∠QOE ∴點Q在∠AOB的平分線上
O ∵△OMC≌△ONC(SSS) ∴∠AOC=∠BOC 即OC 是∠ＡＯＢ的角平分線.
A M
N
C B
*
將∠AOB對折，再折出一個直角三角形（使第一條折 痕為斜邊），然後展開，觀察兩次折疊形成的三條折痕， 你能得出什麼結論？
猜想:角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.
*
已知：OC平分∠AOB，點P在OC上，PD⊥OA於D，
12.3 角的平分線的性質
*
1.在探究作角平分線的方法和角平分線性質的過程中，掌握 角平分線的作法和角平分線的性質，發展數學直覺. 2.提高綜合運用三角形全等的有關知識的解決能力；掌握簡 單的角平分線在生產、生活中的應用.
人教版八年级上册数学课件12.3角平分线的性质3
OC，在OC 上任取一点P，过点P 画出OA，OB 的垂
线，分别记垂足为D，E，测量 PD，PE 并
作比较，你得到什么结论？
A
在OC 上再取几个点试一试． 通过以上测量，你发现了角
D
的平分线的什么性质？
C
P
O
E
B
求证经； 历实验过程，发现并证明角的平分线的性质
求证：PD =PE．
追问2 由角的平分线的性质的证明过程，你能概
经历实验过程，发现并证明角的平分线的性质
追问1 通过动手实验、观察比较，我们发现“角 经历实验过程，发现并证明角的平分线的性质
∴∠DＯP=∠BＯP（角平分线定义）
线．你能说明它的道理吗？
的平分线上的点到角的两边的距离相等”，你能通过严 求证：PD =PE．
受到哪些启发？如何利用直尺和圆规作一个角的平分线？
在△OPD和△OPE 中
格的逻辑推理证明这个结论吗？ 边放下，沿AC 画一条射线AE，AE 就是∠DAB 的平分
CA=CA（公共边）
追问2 由角的平分线的性质的证明过程，你能概
受到哪些启发？如何利用直尺和圆规作一个角的平分线？
追问3 角的平分线的性质的作用是什么？
已知：如图，ＯC平分∠ＡOＢ， 追问3 角的平分线的性质的作用是什么？
追问4 你能说明为什么射线OC 是∠AOB 的平分线吗？
如图，任意作一个角∠AOB，作出∠A的平分线
（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证 在△ACD和△ACB中
D
B
问题2 利用尺规我们可以作一个角的平分线，那
格的逻辑推理证明这个结论吗？
证明:∵ ＯC平分∠ＡＯＢ, P是OC上一点（已知）
E
人教八年级数学上册《角的平分线的判定》(共18张)
等于2 cm，则Q 在∠AOB 的平分线上．( ) √
A
M
Q
O
ห้องสมุดไป่ตู้
N
B
应用角平分线性质定理的逆定理
2．在问题1中，在S 区建一个集贸市场，使它到公路与 铁路的距离相等．
（1） 这个集贸市场 应建于何处？这样的集贸市场可建 多少个？
应用角平分线性质定理的逆定理
2．在问题1中，在S 区建一个集贸市场，使它到公路 与铁路的距离相等．
学习重点： 角平分线性质定理的逆定理．
引言
问题1 如图，要在S 区建一个集贸市场，使它到 公路，铁路的距离相等，并且距离公路与铁路的交叉处500m
，请你帮忙设计一下，这个集贸市场应建于何（在图上 标 出它的位置，比例尺为1：20 000）？
探索并证明角平分线的性质定理的逆定理
问题2 交换角的平分线的性质中的已知和结论， 你能得到什么结论，这个新结论正确吗？
（1） 这个集贸市场 应建于何处？这样的集贸市场可 建多少个？
（在图上标出它的位置，比例尺为1：20 000）
应用角平分线性质定理的逆定理
2．在问题1中，在S 区建一个集贸市场，使它到公路与铁 路的距离相等．
（3）如图，点P是△ABC的两条角平分线BM， CN 的交点， 点P 在∠BAC的平分线上吗？这说明三 角形的三条角平分线有什么关系？
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线 上．
探索并证明角平分线的性质定理的逆定理
追问1 你能证明这个结论的正确性吗？
探索并证明角平分线的性质定理的逆定理
追问2 这个结论与角的平分线的性质在应用上有 什么不同？
这个结论可以判定角的平分线，而角的平分线的性 质可用来证明线段相等．
A
M
Q
O
ห้องสมุดไป่ตู้
N
B
应用角平分线性质定理的逆定理
2．在问题1中，在S 区建一个集贸市场，使它到公路与 铁路的距离相等．
（1） 这个集贸市场 应建于何处？这样的集贸市场可建 多少个？
应用角平分线性质定理的逆定理
2．在问题1中，在S 区建一个集贸市场，使它到公路 与铁路的距离相等．
学习重点： 角平分线性质定理的逆定理．
引言
问题1 如图，要在S 区建一个集贸市场，使它到 公路，铁路的距离相等，并且距离公路与铁路的交叉处500m
，请你帮忙设计一下，这个集贸市场应建于何（在图上 标 出它的位置，比例尺为1：20 000）？
探索并证明角平分线的性质定理的逆定理
问题2 交换角的平分线的性质中的已知和结论， 你能得到什么结论，这个新结论正确吗？
（1） 这个集贸市场 应建于何处？这样的集贸市场可 建多少个？
（在图上标出它的位置，比例尺为1：20 000）
应用角平分线性质定理的逆定理
2．在问题1中，在S 区建一个集贸市场，使它到公路与铁 路的距离相等．
（3）如图，点P是△ABC的两条角平分线BM， CN 的交点， 点P 在∠BAC的平分线上吗？这说明三 角形的三条角平分线有什么关系？
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线 上．
探索并证明角平分线的性质定理的逆定理
追问1 你能证明这个结论的正确性吗？
探索并证明角平分线的性质定理的逆定理
追问2 这个结论与角的平分线的性质在应用上有 什么不同？
这个结论可以判定角的平分线，而角的平分线的性 质可用来证明线段相等．
课件角平分线的判定_人教版八年级数学上册
（2）若∠A=38°，求∠DBC 的度数. 证明：在Rt△PFD和Rt△PGE中，
在Rt△BDE和Rt△CDF中， 在△ABC和△DEC中， 在△ABC和△DEC中， 在Rt△BDE和Rt△CDF中， 证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
（1）证明：∵∠C＝90°， 证明：∵∠DCA＝∠DEA，
∴Rt△PFD≌Rt△PGE（HL）. DE⊥AB于E，DE＝DC，
得 DM×CG＝ ×EN×CF.
∴CG＝CF.又 CG⊥OA，CF⊥OB， ∴点 C 在∠AOB 的平分线上．
12. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°， ∠B=60°，AD，CE 是角平分线，AD 与 CE 相 交于点 F，FM⊥AB，FN⊥BC，垂足分别为 M， N. 求证：FE=FD.
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）.∴DE＝DF. 又DE⊥AB，DF⊥AC， ∴AD是△ABC的角平分线．
10. 如图，△ABC 的角平分线 BE,CF 相交于点 P.
求证：点 P 在∠A 的平分线上.
证明：如图，过点P作PD⊥AB，PM⊥BC， PN⊥AC，垂足分别为D，M，N. ∵BE平分∠ABC，点P在BE上， ∴PD＝PM. 同理，PM＝PN. ∴PD＝PN. ∴点P在∠A的平分线上．
的度数.
解：如图，过 M 作 MN⊥AD 于 N. ∵∠B＝∠C＝90°， ∴AB∥CD. ∴∠DAB＝180°-∠ADC＝50°.
∵DM 平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD， ∴MN＝MC. ∵M 是 BC 的中点， ∴MC＝MB.∴MN＝MB. 又 MN⊥AD，MB⊥AB， ∴AM 平分∠DAB，
DE⊥AB于E，DE＝DC， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）.
证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，
在Rt△BDE和Rt△CDF中， 在△ABC和△DEC中， 在△ABC和△DEC中， 在Rt△BDE和Rt△CDF中， 证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
（1）证明：∵∠C＝90°， 证明：∵∠DCA＝∠DEA，
∴Rt△PFD≌Rt△PGE（HL）. DE⊥AB于E，DE＝DC，
得 DM×CG＝ ×EN×CF.
∴CG＝CF.又 CG⊥OA，CF⊥OB， ∴点 C 在∠AOB 的平分线上．
12. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°， ∠B=60°，AD，CE 是角平分线，AD 与 CE 相 交于点 F，FM⊥AB，FN⊥BC，垂足分别为 M， N. 求证：FE=FD.
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）.∴DE＝DF. 又DE⊥AB，DF⊥AC， ∴AD是△ABC的角平分线．
10. 如图，△ABC 的角平分线 BE,CF 相交于点 P.
求证：点 P 在∠A 的平分线上.
证明：如图，过点P作PD⊥AB，PM⊥BC， PN⊥AC，垂足分别为D，M，N. ∵BE平分∠ABC，点P在BE上， ∴PD＝PM. 同理，PM＝PN. ∴PD＝PN. ∴点P在∠A的平分线上．
的度数.
解：如图，过 M 作 MN⊥AD 于 N. ∵∠B＝∠C＝90°， ∴AB∥CD. ∴∠DAB＝180°-∠ADC＝50°.
∵DM 平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD， ∴MN＝MC. ∵M 是 BC 的中点， ∴MC＝MB.∴MN＝MB. 又 MN⊥AD，MB⊥AB， ∴AM 平分∠DAB，
DE⊥AB于E，DE＝DC， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）.
证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，
人教版数学八年级上册1.2角平分线的性质定理的逆定理(角平分线的判定)课件
O
定理的作用：判断点是否在角平分线上。
A D
P
EB
判断题： （1）如图，若QM =QN，则OQ 平分∠AOB；( ) （2）如图，若QM⊥OA 于M，QN⊥OB 于N，则OQ是
∠AOB 的平分线； ( ) （3）已知：Q 到OA 的距离等于2 cm， 且Q 到OB 距
离等于2cm，则Q 在∠AOB 的平分线上．( )
l1
l3
l2
P2
l1
P1
P3
P4
l3
l2
如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC 三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为( A )
A．110° B．120° C．130° D．140°
解析：由已知，O到三角形三边的距离 相等，所以O是内心，即三条角平分线 的交点，AO，BO，CO都是角平分线， 所以有∠CBO＝∠ABO＝1 ∠ABC， ∠BCO＝∠ACO＝1 ∠ACB2， ∠ABC＋∠ACB＝1280°－40°＝140°， ∠OBC＋∠OCB＝70°， ∠BOC＝180°－70°＝110°.
角平分线有什么关系？
点P在∠A的平分线上.
A
D
N
F
P
M
结论：
B
C
E
三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等。
如图，要在S 区建一个广告牌P，使它到两条公路和 一条铁路的距离都相等．这个广告牌P 应建在何处？
公路
公路
铁路 S
角的平分线的性质 角的平分线的判定
图形
C P
C P
已知 条件
三角形的内角平分线 活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？
定理的作用：判断点是否在角平分线上。
A D
P
EB
判断题： （1）如图，若QM =QN，则OQ 平分∠AOB；( ) （2）如图，若QM⊥OA 于M，QN⊥OB 于N，则OQ是
∠AOB 的平分线； ( ) （3）已知：Q 到OA 的距离等于2 cm， 且Q 到OB 距
离等于2cm，则Q 在∠AOB 的平分线上．( )
l1
l3
l2
P2
l1
P1
P3
P4
l3
l2
如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC 三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为( A )
A．110° B．120° C．130° D．140°
解析：由已知，O到三角形三边的距离 相等，所以O是内心，即三条角平分线 的交点，AO，BO，CO都是角平分线， 所以有∠CBO＝∠ABO＝1 ∠ABC， ∠BCO＝∠ACO＝1 ∠ACB2， ∠ABC＋∠ACB＝1280°－40°＝140°， ∠OBC＋∠OCB＝70°， ∠BOC＝180°－70°＝110°.
角平分线有什么关系？
点P在∠A的平分线上.
A
D
N
F
P
M
结论：
B
C
E
三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等。
如图，要在S 区建一个广告牌P，使它到两条公路和 一条铁路的距离都相等．这个广告牌P 应建在何处？
公路
公路
铁路 S
角的平分线的性质 角的平分线的判定
图形
C P
C P
已知 条件
三角形的内角平分线 活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？
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叫做这个角的平分线.
A
C
1
2
B
O
2.下图中能表示点P到直线l的距离的是 线段PC的长 . P
l A B CD
3是.下列图两1图.中线段Al1P能表示直线l1上一点PP到直线l2的l1 距离的 P
A
l2
图1
A 图2l2
讲授新课
一 角平分线的尺规作图
如图,是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角
×
B
A
D
C
典例精析
例 已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD,
DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E,F.
A
求证：EB=FC.
分析：先利用角平分线的性质定理得到
DE=DF，再利用“HL”证明Rt△BDE
E
F
≌ Rt△CDF.
B
D
C
证明： ∵AD是∠BAC的角平分线， DE⊥AB, DF⊥AC，
B
N
O
4.已知用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知∠AOB的两 边上，分别取OM=ON,再分别过点M,N作OA,OB的垂线，交点 为P，画射线OP,则OP平分∠AOB.为什么？
解：在△MOP和△NOP中，
OM=ON，
OP=OP，
∴△MOP≌△NOP（HL）.
O
∵△MOP≌△NOP，
∴∠MOP=∠NOP，即OP平分∠AOB.
第十二章
八年级数学上（RJ） 教学课件
全等三角形
12.3 角的平分线的性质
第1课时 角平分线的性质
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.通过操作、验证等方式，探究并掌握角平分线的性质定理. （难点） 2.能运用角的平分线性质解决简单的几何问题. （重点）
导入新课
复习引入
1.角平分线的概念 一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线
∠PDO= ∠PEO，
∠AOC= ∠BOC，
A
D C
P
E
B
OP= OP， ∴ △PDO ≌ △PEO(AAS). ∴PD=PE.
一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似 的步骤进行，即
1.明确命题中的已知和求证； 2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； 3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出 证明过程.
知识要点
性质定理： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. A
应用所具备的条件：
D
（1）角的平分线； （2）点在该平分线上；
O （3）垂直距离.
C P
定理的作用： 证明线段相等.
应用格式： ∵OP 是∠AOB的平分线， PD⊥OA,PE⊥OB，
E B
推理的理由有三个， 必须写完全，不能少
了任何一个.
的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE
就是角平分线.你能说明它的道理吗?
A
其依据是SSS，两全等三角形的对应角相等.
D
B
(E)C
已知:∠AOB.
求作：∠AOB的平分线.
动手画一画
仔细观察步骤 A
作法：
（1）以点O为圆心，适当长为
M
半径画弧，交OA于点M，交
C
OB于点N.
（2）分别以点MN为圆心，大
测量PD，PE并作比较，你得到什么结论？在OC上再取几个
点试一试. PD=PE
A D
C
P
O
E
B
验证结论
已知：如图， ∠AOC= ∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,
垂足分别为D,E.
求证：PD=PE. 证明： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB，
∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °. 在△PDO和△PEO中， O
A E
C D
2.△ABC中, ∠C=90°,AD平分∠CAB,且 BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是 3
F G
. C
D
A
EB
3.用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能
说明∠AOC=∠BOC的依据是（ A ）
A.SSS
B.ASA
C.AAS D.角平分线上的点到角两边的距离相等
A
M C
∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °.
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中， DE=DF， BD=CD，
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL). ∴ EB=FC.
A
E
F
B
D
C
当堂练习
1. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别
是E，F， DE =DF， ∠EDB= 60°，则
∠EBF= 60 度，BE= BF . B
A M
P
N
B
课堂小结
尺规 作图
角平分线
性质 定理
属于基本作图，必须熟练掌握
一个点：角平分线上的点； 二距离：点到角两边的距离； 两相等：两条垂线段相等
辅助线 添加
过角平分线上一点向两边作 垂线段
以下赠品教育通用模板
前言
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∴PD = PE （在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）.
判一判：（1）∵ 如图，AD平分∠BAC（已知），
∴ BD = CD ，
( 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 )
×
B
A
D
C
(2)∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）.
∴ BD = CD , ( 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 )
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于
1 2
MN的长为半径画弧，两
B
弧在∠AOB的内部相交于点C.
N
O
（3）画射线OC.射线OC即为 所求.
作角平分线是最基本的 尺规作图,大家一定要掌 握噢!
二 角平分线的性质
作图探究
如图，任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC.在OC
上任取一点P,过点P画出OA,OB的垂线，分别记垂足为D、E，
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A
C
1
2
B
O
2.下图中能表示点P到直线l的距离的是 线段PC的长 . P
l A B CD
3是.下列图两1图.中线段Al1P能表示直线l1上一点PP到直线l2的l1 距离的 P
A
l2
图1
A 图2l2
讲授新课
一 角平分线的尺规作图
如图,是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角
×
B
A
D
C
典例精析
例 已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD,
DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E,F.
A
求证：EB=FC.
分析：先利用角平分线的性质定理得到
DE=DF，再利用“HL”证明Rt△BDE
E
F
≌ Rt△CDF.
B
D
C
证明： ∵AD是∠BAC的角平分线， DE⊥AB, DF⊥AC，
B
N
O
4.已知用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知∠AOB的两 边上，分别取OM=ON,再分别过点M,N作OA,OB的垂线，交点 为P，画射线OP,则OP平分∠AOB.为什么？
解：在△MOP和△NOP中，
OM=ON，
OP=OP，
∴△MOP≌△NOP（HL）.
O
∵△MOP≌△NOP，
∴∠MOP=∠NOP，即OP平分∠AOB.
第十二章
八年级数学上（RJ） 教学课件
全等三角形
12.3 角的平分线的性质
第1课时 角平分线的性质
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.通过操作、验证等方式，探究并掌握角平分线的性质定理. （难点） 2.能运用角的平分线性质解决简单的几何问题. （重点）
导入新课
复习引入
1.角平分线的概念 一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线
∠PDO= ∠PEO，
∠AOC= ∠BOC，
A
D C
P
E
B
OP= OP， ∴ △PDO ≌ △PEO(AAS). ∴PD=PE.
一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似 的步骤进行，即
1.明确命题中的已知和求证； 2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； 3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出 证明过程.
知识要点
性质定理： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. A
应用所具备的条件：
D
（1）角的平分线； （2）点在该平分线上；
O （3）垂直距离.
C P
定理的作用： 证明线段相等.
应用格式： ∵OP 是∠AOB的平分线， PD⊥OA,PE⊥OB，
E B
推理的理由有三个， 必须写完全，不能少
了任何一个.
的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE
就是角平分线.你能说明它的道理吗?
A
其依据是SSS，两全等三角形的对应角相等.
D
B
(E)C
已知:∠AOB.
求作：∠AOB的平分线.
动手画一画
仔细观察步骤 A
作法：
（1）以点O为圆心，适当长为
M
半径画弧，交OA于点M，交
C
OB于点N.
（2）分别以点MN为圆心，大
测量PD，PE并作比较，你得到什么结论？在OC上再取几个
点试一试. PD=PE
A D
C
P
O
E
B
验证结论
已知：如图， ∠AOC= ∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,
垂足分别为D,E.
求证：PD=PE. 证明： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB，
∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °. 在△PDO和△PEO中， O
A E
C D
2.△ABC中, ∠C=90°,AD平分∠CAB,且 BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是 3
F G
. C
D
A
EB
3.用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能
说明∠AOC=∠BOC的依据是（ A ）
A.SSS
B.ASA
C.AAS D.角平分线上的点到角两边的距离相等
A
M C
∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °.
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中， DE=DF， BD=CD，
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL). ∴ EB=FC.
A
E
F
B
D
C
当堂练习
1. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别
是E，F， DE =DF， ∠EDB= 60°，则
∠EBF= 60 度，BE= BF . B
A M
P
N
B
课堂小结
尺规 作图
角平分线
性质 定理
属于基本作图，必须熟练掌握
一个点：角平分线上的点； 二距离：点到角两边的距离； 两相等：两条垂线段相等
辅助线 添加
过角平分线上一点向两边作 垂线段
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∴PD = PE （在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）.
判一判：（1）∵ 如图，AD平分∠BAC（已知），
∴ BD = CD ，
( 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 )
×
B
A
D
C
(2)∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）.
∴ BD = CD , ( 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 )
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1 2
MN的长为半径画弧，两
B
弧在∠AOB的内部相交于点C.
N
O
（3）画射线OC.射线OC即为 所求.
作角平分线是最基本的 尺规作图,大家一定要掌 握噢!
二 角平分线的性质
作图探究
如图，任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC.在OC
上任取一点P,过点P画出OA,OB的垂线，分别记垂足为D、E，
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