高三数学总复习《计数原理》课件
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高中数学第1章计数原理章末复习课课件b选修23b高二选修23数学课件
12/8/2021
第二十四页，共四十二页。
(3)令 x＝1， 得 a6＋a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝26＝64. 令 x＝－1，得 a6－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－4)6＝4 096. 两式相加，得 2(a6＋a4＋a2＋a0)＝4 160， 所以 a6＋a4＋a2＋a0＝2 080.
12/8/2021
第二十九页，共四十二页。
【例 4】 按下列要求分配 6 本不同的书，各有多少种不同的分配方 式？
(1)分成三份，1 份 1 本，1 份 2 本，1 份 3 本； (2)甲、乙、丙三人中，一人得 1 本，一人得 2 本，一人得 3 本； (3)平均分成三份，每份 2 本； (4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人 2 本； (5)分成三份，1 份 4 本，另外两份每份 1 本； (6)甲、乙、丙三人中，一人得 4 本，另外两人每人得 1 本； (7)甲得 1 本，乙得 1 本，丙得 4 本．
(2)完成的事情是带 3 本不同学科的参考书，只有从外语、数学、物理 书中各选 1 本后，才能完成这件事，因此应用分步乘法计数原理，结果为 5×4×3＝60(种)．
(3)选 1 本外语书和选 1 本数学书应用分步乘法计数原理，有 5×4＝ 20 种选法；同样，选外语书、物理书各 1 本，有 5×3＝15 种选法；选数 学书、物理书各 1 本，有 4×3＝12 种选法．即有三类情况，应用分类加 法计数原理，结果为 20＋15＋12＝47(种)．
12/8/2021
第十六页，共四十二页。
10．构造模型的策略． 简单记成： 合理分类，准确分步； 特殊优先，一般在后； 先取后排，间接排除； 集团捆绑，间隔插空； 抽象问题，构造模型； 均分除序，定序除序．
2025届高中数学一轮复习课件《计数原理》ppt
高考一轮总复习•数学
第20页
解析：(1)因为学生只能从东门或西门进入校园， 所以 3 名学生进入校园的方式共 23＝ 8(种)．因为教师只可以从南门或北门进入校园， 所以 2 名教师进入校园的方式共有 22＝ 4(种)．所以 2 名教师和 3 名学生进入校园的方式共有 8×4＝32(种)．故选 D．
A．12 种 B．24 种 C．72 种 D．216 种
高考一轮总复习•数学
第15页
(2)设 I＝{1,2,3,4}，A 与 B 是 I 的子集，若 A∩B＝{1,2}，则称(A，B)为一个“理想配集”．若
将(A，B)与(B，A)看成不同的“理想配集”，
按其中一个子集中元素个数分类23个个；； 4个.
即十位数字最小． 称该数为“驼峰数”．比如 102,546 为“驼峰数”，由数字 1,2,3,4 构成的无重复数字 的“驼峰数”有________个．
高考一轮总复习•数学
第22页
解析：(1)由分步乘法计数原理知，用 0,1，…，9 十个数字组成三位数(可有重复数字) 的个数为 9×10×10＝900，组成没有重复数字的三位数的个数为 9×9×8＝648，则组成有 重复数字的三位数的个数为 900－648＝252.故选 B．
(2)根据题意知，a，b，c 的取值范围都是区间[7,14]中的 8 个整数，故公差 d 的范围是区 间[－3,3]中的整数．①当公差 d＝0 时，有 C18＝8(种)；②当公差 d＝±1 时，b 不取 7 和 14， 有 2×C16＝12(种)；③当公差 d＝±2 时，b 不取 7,8,13,14，有 2×C14＝8(种)；④当公差 d＝±3 时，b 只能取 10 或 11，有 2×C12＝4(种)．综上，共有 8＋12＋8＋4＝32(种)不同的分珠计数 法．
计数原理_1-课件
• [点评] 本题求的是“选垄方法”，而不是 “种植方法”，若求不同种植方法，则A种 第1垄，B种第8垄与A种第8垄，B种第1垄为 不同方法，应有不同种植方法2×6＝12 种．
•
9、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。2021/3/52021/3/5Fr iday, March 05, 2021
• 由分类加法计数原理知，可以组成的不同 的自然数为4＋16＋64＋256＝340(个)．
• [点评] (1)在同一题目中涉及到这两个定 理时，必须搞清是先“分类”，还是先 “分步”，“分类”和“分步”的标准又 是什么．
• (2)该题是先分类，后分步，按自然数的位 数“分类”，按组成数的过程“分步”．
• [点评] 解两个计数原理的综合应用题时， 最容易出现不知道应用哪个原理来解题的 情况，其思维障碍在于没有区分该问题是 “分类”还是“分步”，突破方法在于认 真审题，明确“完成一件事”的含义．具 体应用时灵活性很大，要在做题过程中不 断体会和思考，基本原则是“化繁为 简”．
• 一、选择题
• 1．一个礼堂有4个门，若从一个门进，从 任一门出，共有不同走法
• [答案] 13 42
• 5．在一块并排10垄的田地上，选择2垄分 别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄， 为有利于作物生长，要求A、B两种作物的 间隔不小于6垄，则不同的选垄方法有 ________种(结果用数字作答)．
• [答案] 6
• [解析] A种第1垄，B可种8、9、10垄有3 种方法，A种第2垄，B可种9、10垄有2种 方法，A种第3垄，B只能种第10垄，∴共 有选垄方法3＋2＋1＝6种．
• [解析] 第一类：“多面手”去参加英语 时，选出只会日语的一人即可，有2种选 法．
计数原理课件-2025届高三数学一轮复习
式共有A22 A33 C21 ＝24种，故选B.
答案 （1）B
目录
பைடு நூலகம்
｜解题技法｜
解排列、组合问题要遵循的2个原则
（1）按元素（位置）的性质进行分类；
（2）按事情发生的过程进行分步.
具体地说，解排列、组合问题常以元素（位置）为主体，即先满足特殊元素
（位置），再考虑其他元素（位置）.
目录
学习评测1
1.将3名教师，3名学生分成3个小组，分别安排到甲、乙、丙三地参加社会实践
目录
学习评测2
2022年4月22日是第53个世界地球日，某学校开展了主题为“珍爱地球，人与自
然和谐共生”的活动.该校5名学生到A，B，C三个社区做宣传，每个社区至少
分配一人，每人只能去一个社区宣传，则不同的安排方案共有 （
A.60种
B.90种
C.150种
D.300种
）
解析 （2）先将5名学生分为三组，分组情况为2，2，1或3，1，1，不同的分
m
（n－
n ＝n（n－1）·
公式
性质
!
2）…（n－m＋1）＝
(−)!
nn ＝n！，0！＝1
(−1)(−2)…(−+1)
m
n ＝ ＝
m!
m
n0 ＝1，nm ＝nn−m ，nm ＋nm−1 ＝n+1
目录
｜解题技法｜
1.利用两个计数原理解决问题的一般步骤
同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ m＋
n 种不同的方法；
（2）分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的
计数的基本原理ppt课件
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
例2、如图,要给地图A、B、C、D四个区域 分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种 颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色, 不同的涂色方案有多少种？
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想一想？
问题 2. 从甲地到乙地，可以乘火车，也可 以乘汽车，还可以乘轮船。一天中，火车 有2班, 汽车有3班，轮船有4班。那么一天 中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多 少种不同的走法?
甲 为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能 地
乙 地
分析: 完成由甲地到乙地这件事有三类办法：
第一类办法乘火车，有2种不同走法，
第二类办法乘汽车，有3种不同走法 第三类办法乘轮船，有4种不同走法。
因此，在一天中，此人由甲地到乙地不同的走法共 有 2+3+4=9 种。
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
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例3:体育福利彩票的中奖号码有7位数码，每位数若是 0~9这十个数字中任一个，则产生中奖号码所有可能的 种数是多少？
变2： 0~9这十个数字可组成多少数字不重复的七位数？
两个计数原理的联系和区别：
计数原理-完整版课件
解析： ∵C06＋C16＋C26＋C36＋C46＋C56＋C66＝26＝64， ∴C16＋C26＋C36＋C46＋C56＝64－2＝62. 答案： 62
• 7．某校高中部，高一有6个班，高二有7个班，高三有8个班，学 校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动．
• 1．书架上有不同的语文书10本，不同的英语书7本，不同的数学 书5本，现从中任选一本阅读，不同的选法有( )
• A．22种 B．350种
• C．32种 D．20种
• 解析： 由分类加法计数原理得，不同的选法有10＋7＋5＝22 种．
• 答案： A
• 2．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的 坐法种数为( )
两通项相乘得：C6r x3r Ck10x－4k＝C6r C1k0x3r －4k，
令
r 3
－
k 4
＝0，得4r＝3k，这样一来，(r，k)只有三组：
(0,0)，(3,4)，(6,8)满足要求．
故常数项为：1＋C36C410＋C66C810＝4 246.
答案： 4 246
6．C16＋C26＋C36＋C46＋C56的值为________．
• A．3×3! B．3×(3！)3
• C．(3！)4 D．9!
• 解析： 把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，所以有 (3！)4种．
• 答案： C
• 3．(2013·山东卷)用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的 三位数的个数为( )
• A．243 B．252
• C．261 D．279
• 解析： 能够组成三位数的个数是9×10×10＝900，能够组成无 重复数字的三位数的个数是9×9×8＝648，故能够组成有重复数字的三 位数的个数是900－648＝252.
• 7．某校高中部，高一有6个班，高二有7个班，高三有8个班，学 校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动．
• 1．书架上有不同的语文书10本，不同的英语书7本，不同的数学 书5本，现从中任选一本阅读，不同的选法有( )
• A．22种 B．350种
• C．32种 D．20种
• 解析： 由分类加法计数原理得，不同的选法有10＋7＋5＝22 种．
• 答案： A
• 2．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的 坐法种数为( )
两通项相乘得：C6r x3r Ck10x－4k＝C6r C1k0x3r －4k，
令
r 3
－
k 4
＝0，得4r＝3k，这样一来，(r，k)只有三组：
(0,0)，(3,4)，(6,8)满足要求．
故常数项为：1＋C36C410＋C66C810＝4 246.
答案： 4 246
6．C16＋C26＋C36＋C46＋C56的值为________．
• A．3×3! B．3×(3！)3
• C．(3！)4 D．9!
• 解析： 把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，所以有 (3！)4种．
• 答案： C
• 3．(2013·山东卷)用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的 三位数的个数为( )
• A．243 B．252
• C．261 D．279
• 解析： 能够组成三位数的个数是9×10×10＝900，能够组成无 重复数字的三位数的个数是9×9×8＝648，故能够组成有重复数字的三 位数的个数是900－648＝252.
高三数学ppt课件 计数原理课件2
n
(2)通项
Cna b 第 k＋1 项为： Tk＋ 1＝ ____________ ．
k n－ k k
(3)二项式系数
Cn (k＝ 0， 1， 2，…， n) ． 二项展开式中各项的二项式系数为： ___________________
k
2．二项式系数的性质
1．辨明三个易误点
k n k k (1)通项 Tk＋1＝Cn a b 是展开式的第 k＋1 项， 不是第 k 项．
n－ 1
n－ 1
n
n－ 1
＋ 2n
＝ (n＋ 2)· 2
*
，
故 3 >(n＋ 2)· 2
C． 7
D．－ 7
3 1 1 3 4 － 解析：由 T4＝ C7x ＝5 得 x＝－ ，故选 B. x 7
10 2 10 3． 已知 (2－ x) ＝ a0＋ a1 x＋ a2 x ＋…＋ a10 x ， 则 a8 等于 ( A )
A． 180 C． 45
2 8 解析：由题意得 a8＝ C8 102 (－ 1) ＝ 180.
16－3r r 1 － Cr 4 x (r＝0，1，2，…，8)，为使 Tr＋1 为有理项，r 8 2
必须是 4 的倍数，所以 r＝0，4，8，故共有 3 个有理项，分
0 1 14 4 35 0 4 4 别是 T1＝－2 C8x ＝x ，T5＝－2 C8x＝ x，T9＝ 8 8 1 1 －2 － C8 2 8x ＝256x2.
本例 (2)变为：若(x＋ 2＋m )9 ＝ a0＋ a1 (x－ 1)＋ a2 (x－ 1) ＋…＋ a9(x－ 1) ， 且 (a0＋ a2＋…＋ a8 ) － (a1＋ a3＋… －1或－5 2 9 ＋ a9) ＝ 3 ，则实数 m 的值为_____________．
计数原理优秀ppt课件
解 从3幅画中选2幅 取分别挂在左、右 边墙,上 可以分两步: 完成 第1步 ,从 3幅画中 1幅选 挂在左 ,有 边 3种墙上 方;法 第2步,从剩下 2幅 的画中 1幅 选画挂在右 上,有2种方. 法
根据分步乘法,不 计同 数挂 原法 理种数是 N326.
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
用两个计数
原理解决计
数问题时
,最
重要的是
在
开始 计算 之
前要进 行仔
细分析
需
要分类还
是
需要分步
.
分 类 要"不 做重 到不 ".分漏 类后再分别 对 每 一 类 进,行 最计 后数 用 分 类 加 数 原 理 求 ,得和 到 总. 数
分 步 要"步 做骤 到完 ". 整完成了所有 步 骤,恰 好 完 成 任,当务然 步 与 步 之 间 要 相 互 独立.分 步 后 再 计 算 每 一方步法的 数,最 后 根 据 分 步 乘 法原计理,数把 完 成 每 一 步 方 法 数 相 ,得乘到 总 .数
新课
分类记数原理: 做一件事情，完成它可以有
n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在 第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第 n类办法中有mn种不同的方法。那么完成这件 事共有
N=m1+m2+…+mn 种不同的方法。
分步记数原理：做一件事情，完成它需要分
成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第 二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn 种不同的方法，那么完成这件事有
问题3：用前6个大写英文字母和1~9个阿拉伯
根据分步乘法,不 计同 数挂 原法 理种数是 N326.
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
用两个计数
原理解决计
数问题时
,最
重要的是
在
开始 计算 之
前要进 行仔
细分析
需
要分类还
是
需要分步
.
分 类 要"不 做重 到不 ".分漏 类后再分别 对 每 一 类 进,行 最计 后数 用 分 类 加 数 原 理 求 ,得和 到 总. 数
分 步 要"步 做骤 到完 ". 整完成了所有 步 骤,恰 好 完 成 任,当务然 步 与 步 之 间 要 相 互 独立.分 步 后 再 计 算 每 一方步法的 数,最 后 根 据 分 步 乘 法原计理,数把 完 成 每 一 步 方 法 数 相 ,得乘到 总 .数
新课
分类记数原理: 做一件事情，完成它可以有
n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在 第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第 n类办法中有mn种不同的方法。那么完成这件 事共有
N=m1+m2+…+mn 种不同的方法。
分步记数原理：做一件事情，完成它需要分
成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第 二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn 种不同的方法，那么完成这件事有
问题3：用前6个大写英文字母和1~9个阿拉伯
《计数原理》课件
探讨抽屉原理及其在计 数问题中的实际应用。
错排问题与公式推 导
讲解错排问题的概念， 并推导出错排公式。
具体应用
可重集排列组合问题
讨论可重集的排列组合问题，例如将不同颜色的积木 排列成不同的形状。
球与盒子问题
考虑将球放在盒子中的不同方式，包括球的数量和盒 子的数量。
字母重排列问题
通过重新排列字母来创建不同的单词或短语，并讨论
钞票找零问题
解决找零时的计数问题，包括使用不同面额的钞票和
拓展应用
1
Fibonacci数列及其应用
介绍Fibonacci数列的定义和它在自然界和科学中的应用。
2
卡特兰数与其特殊应用
探讨卡特兰数及其在计数问题中的特殊应用，如括号匹配问题。
总结与展望
重要性
总结计数原理在实际问题中的重要性和应用。
新方法探究
《计数原理》PPT课件
计数原理是一门关于计数和组合的数学学科，它在计算机科学、密码学和信 息论等领域中有着广泛的应用。
引言
定义与作用Байду номын сангаас
介绍计数原理的定义和它在问题求解中的作用。
应用场景
简述计数原理在实际生活和科学研究中的应用场景。
基本概念
1
排列组合
介绍排列组合的定义和它们之间的区别。
2
排列、重排列、循环排列
讲解排列、重排列和循环排列的概念及其应用。
3
组合、二项式系数、帕斯卡三角形
探讨组合、二项式系数和帕斯卡三角形在计数原理中的重要性。
基本定理与公式
乘法原理与加法原 理
解释乘法原理和加法原 理，并探讨它们在计数 问题中的应用。
容斥原理与推广
介绍容斥原理以及它在 解决重叠计数问题中的 应用。
错排问题与公式推 导
讲解错排问题的概念， 并推导出错排公式。
具体应用
可重集排列组合问题
讨论可重集的排列组合问题，例如将不同颜色的积木 排列成不同的形状。
球与盒子问题
考虑将球放在盒子中的不同方式，包括球的数量和盒 子的数量。
字母重排列问题
通过重新排列字母来创建不同的单词或短语，并讨论
钞票找零问题
解决找零时的计数问题，包括使用不同面额的钞票和
拓展应用
1
Fibonacci数列及其应用
介绍Fibonacci数列的定义和它在自然界和科学中的应用。
2
卡特兰数与其特殊应用
探讨卡特兰数及其在计数问题中的特殊应用，如括号匹配问题。
总结与展望
重要性
总结计数原理在实际问题中的重要性和应用。
新方法探究
《计数原理》PPT课件
计数原理是一门关于计数和组合的数学学科，它在计算机科学、密码学和信 息论等领域中有着广泛的应用。
引言
定义与作用Байду номын сангаас
介绍计数原理的定义和它在问题求解中的作用。
应用场景
简述计数原理在实际生活和科学研究中的应用场景。
基本概念
1
排列组合
介绍排列组合的定义和它们之间的区别。
2
排列、重排列、循环排列
讲解排列、重排列和循环排列的概念及其应用。
3
组合、二项式系数、帕斯卡三角形
探讨组合、二项式系数和帕斯卡三角形在计数原理中的重要性。
基本定理与公式
乘法原理与加法原 理
解释乘法原理和加法原 理，并探讨它们在计数 问题中的应用。
容斥原理与推广
介绍容斥原理以及它在 解决重叠计数问题中的 应用。
高考数学一轮总复习 专题11 计数原理 11.1 排列、组合
n!
A
m n
=③
(n m)!
.规定0!=1.
4.组合 (1)定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个不同 元素中取出m个元素的一个组合. (2)组合数定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合
的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用④ Cmn 表示.
.
解析 解法一: ∵a<b<c,2≤c-b≤6,∴c≥4. 当c=4时,a=1,b=2,则集合A的个数为 C22 =1; 当c=5时,a,b∈{1,2,3},则集合A的个数为 C32 =3; 当c=6时,a,b∈{1,2,3,4},则集合A的个数为 C24 =6; 当c=7时,a,b∈{1,2,3,4,5},则集合A的个数为 C52 =10; 当c=8时,a,b∈{1,2,3,4,5,6},则集合A的个数为 C62 =15; 当c=9时,a,b∈{1,2,3,4,5,6,7},且a=1,b=2时,不符合,则集合A的个数为 C72 1=20. 故总共有1+3+6+10+15+20=55. 解法二:从集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任取三个不同的数组成集合A,共有 C39 =84个.
考向三 排列组合综合问题
例3 (2018浙江嵊州第一学期期末质检,16)某学校要安排2位数学老
师、2位英语老师和1位化学老师分别担任高三年级中5个不同班级的
班主任,每个班级安排1个班主任.由于某种原因,数学老师不担任A班的
班主任,英语老师不担任B班的班主任,化学老师不担任C班和D班的班
主任,则共有
高考数学（浙江专用）
11.1 排列、组合
考点清单
考点 排列、组合
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答案:C
5.(2009·天津预测) 某书店有11种杂志,2元1本的8种,1元1本的3种,小张用10元 钱买杂志(每种至多买一本10元钱刚好用完),则不同买法的种 数是___2_6_6___.(用数字作答)
解析:根据题意，有以下两种情况: ①买2元1本的杂志5本,共有买法C58 56; ②买2元1本的4本和1元1本的2本,共有 C48C23 703210,故有买法56210266.
Байду номын сангаас
有4种不同的花供选种,要求在每块里种1种花,且相邻的2块
种不同的花,则不同的种法总数为
()
A.96
B.84
C.60
D.48
解析:A花坛可种4种,则B可种3种.当C与A种相同的花时,C有 1种,D有3种;当C与A种不同的花时,C有2种,D有2种. 综上可知,共有4×3×(1×3+2×2)=84(种).
第九模块 计数原理
考纲要求 1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理. 2.能用两个计数原理分析、解决一些简单的实际问题. 3.理解排列的概念,掌握排列数公式,能用排列知识解决有关 的实际问题. 4.理解组合的意义,掌握组合数公式和组合数的性质、能解决 一些简单的实际问题..
5.能区别排列与组合的异同,能综合应用排列、组合知识解决 一些简单的实际问题. 6.能用计数原理证明二项式定理,掌握二项式定理及其性质. 7.能用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题,特别是 求二项展开式中特定项及其系数.
点评: 应用分类计数原理时,首先要依据题的特点,确定恰当的分类 标准,分类应满足:完成一件事的任何一种方法,必须属于某一 类且仅属于这一类,即各类办法相互独立的,是互斥的.
变式1:已知集合A={x|x∈N,且x≤10},a,b∈A,方程
x2 y2 1
ab
,表示焦点在x轴上的椭圆,则这样的椭圆的共有________.
考点训练
1.(2009·全国Ⅰ)甲组有5名男同学、3名女同学;乙组有6名
男同学、2名女同学.若从甲、乙两组中各选出2名同学,则选
出的4个中恰有1名女同学的不同选法共有( )
A.150种
B.180种
C.300种
D.345种
解 析 :选 出 4人 恰 有 1名 女 同 学 的 选 法 共 有 C 1 5C 1 3C 6 2C 5 2C 1 6C 1 2345(种 ).
答案:B
4.(2008·安徽卷)12名同学合影,站成了前排4人后排8人,现 摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排,若其他人的相对顺 序不变.则不同调整方法的总数是( )
A . C 8 2 A 2 3 B . C 8 2 A 6 6 C . C 8 2 A 6 2 D . C 8 2 A 5 2
解析: 从后排8人中选2人有C82种选法, 这2人插入前排4人中且保证前排人的顺序不变, 则先从4人的空当中插入1人有5种插法; 余下1人在5人的空当中插入有6种插法, 因此共有A62种插法.由分步乘法计数原理, 共有C82A62种.
点评: (1)应用分步计数原理时,首先确定分步的标准,分布必须满足: 完成一件事必须而且只需连续完成这几步,即各个步骤是相 互依存的.只有各步骤都完成了,这件事才算完成.
(2)本例中最容易错解得到43和54,其原因没弄清“谁选择谁” 的问题.如第(1)小题中,先投第一封信有3种投法,再投第二封 信也有3种投法,投第三封、第四封仍有3种投法,应分四步完 成.由分步计数原理共有34种投法.
答案:D
2.(2009·北京卷)用0到9这10个数字,可以组成没有重复数字
的三位偶数的个数为( )
A.324
B.328
C.360
D.648
答案:B
解析:个位数字是0时,有9×8个,个位数字是2,4,6,8中的一个
时,有
C
1 4
×8×8个.
∴适合题意的三位偶数有9×8+4×8×8=328个.
3.(2008·全国Ⅰ)如图,一环形花坛分成A、B、C、D四块.现
命题走向 1.两个计数原理和排列、组合与概率联系十分密切,它是求古 典型概率、离散型随机变量分布列的基础,是高考的重点内 容,统计2009年全国及各省市命题,总有一小题是对排列、组 合应用的考查.对于概率的解答题中,用排列、组合知识作答 的占多数.
2.二项式定理也是必考内容之一,以小题的形式出现,属于容 易题或中档题,主要考查求二项展开式的特定项或二项式系 数的性质.
解读高考第二关 热点关 题型一 分类计数原理
例1 三边长均为整数,且最大边长为11的三角形有多少个、 分析:在三角形中,两短边长的和大于最长的边,本题可按一边 长的取值分类求解.
解:三角形另两边的长分别用x,y表示,且不防设1≤x≤y≤11,要 构成三角形,必须x+y≥12,当y取值11时,x=1,2,…,11,可有11个 三角形. 当y取值10时,x=2,3,…,10,可有9个三角形. …… 当y取值6时,x也只能取6,这时只有一个三角形. 所以,由分类计数原理,共有三角形的个数为 11+9+7+5+3+1=36.
解析:由题意知,a,b只能取1,2,…,10,且a>b.因此可按a取 10,9,…,3,2分为9类,共有适合题意的椭圆 9+8+…+2+1=45(个).
答案:45个
题型二 分步计数原理 例2 (1)将4封信投入3个邮箱,有多少种投法? (2)5名运动员争夺4项冠军,有多少不同的结果?
解:(1)由于每封信都有3种不同的投法,4封信全部投入信箱中, 共有 3×3×3×3=81(种)不同的投法. (2)每项冠军都有5种不同的结果,因此5名运动员争夺4项冠军 共有 5×5×5×5=625种不同的结果.
第五十五讲 计数原理
走进高考第一关 考点关 回归教材
1.分类加法计数原理 完成一件事,可以有n类办法,在第一类办法中有m1种方法,在 第二类办法中有m2种方法,……,在第n类办法中有mn种方法. 那么,完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种方法.也称加法原 理.
2.分步乘法计数原理
完成一件事需要经过n个步骤,缺一不可,做第一步有m1种方 法,做第二步有m2种方法,……,做第n步有mn种方法.那么,完 成这一件事共有N=m1×m2×…×mn种方法.也称乘法原理.
5.(2009·天津预测) 某书店有11种杂志,2元1本的8种,1元1本的3种,小张用10元 钱买杂志(每种至多买一本10元钱刚好用完),则不同买法的种 数是___2_6_6___.(用数字作答)
解析:根据题意，有以下两种情况: ①买2元1本的杂志5本,共有买法C58 56; ②买2元1本的4本和1元1本的2本,共有 C48C23 703210,故有买法56210266.
Байду номын сангаас
有4种不同的花供选种,要求在每块里种1种花,且相邻的2块
种不同的花,则不同的种法总数为
()
A.96
B.84
C.60
D.48
解析:A花坛可种4种,则B可种3种.当C与A种相同的花时,C有 1种,D有3种;当C与A种不同的花时,C有2种,D有2种. 综上可知,共有4×3×(1×3+2×2)=84(种).
第九模块 计数原理
考纲要求 1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理. 2.能用两个计数原理分析、解决一些简单的实际问题. 3.理解排列的概念,掌握排列数公式,能用排列知识解决有关 的实际问题. 4.理解组合的意义,掌握组合数公式和组合数的性质、能解决 一些简单的实际问题..
5.能区别排列与组合的异同,能综合应用排列、组合知识解决 一些简单的实际问题. 6.能用计数原理证明二项式定理,掌握二项式定理及其性质. 7.能用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题,特别是 求二项展开式中特定项及其系数.
点评: 应用分类计数原理时,首先要依据题的特点,确定恰当的分类 标准,分类应满足:完成一件事的任何一种方法,必须属于某一 类且仅属于这一类,即各类办法相互独立的,是互斥的.
变式1:已知集合A={x|x∈N,且x≤10},a,b∈A,方程
x2 y2 1
ab
,表示焦点在x轴上的椭圆,则这样的椭圆的共有________.
考点训练
1.(2009·全国Ⅰ)甲组有5名男同学、3名女同学;乙组有6名
男同学、2名女同学.若从甲、乙两组中各选出2名同学,则选
出的4个中恰有1名女同学的不同选法共有( )
A.150种
B.180种
C.300种
D.345种
解 析 :选 出 4人 恰 有 1名 女 同 学 的 选 法 共 有 C 1 5C 1 3C 6 2C 5 2C 1 6C 1 2345(种 ).
答案:B
4.(2008·安徽卷)12名同学合影,站成了前排4人后排8人,现 摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排,若其他人的相对顺 序不变.则不同调整方法的总数是( )
A . C 8 2 A 2 3 B . C 8 2 A 6 6 C . C 8 2 A 6 2 D . C 8 2 A 5 2
解析: 从后排8人中选2人有C82种选法, 这2人插入前排4人中且保证前排人的顺序不变, 则先从4人的空当中插入1人有5种插法; 余下1人在5人的空当中插入有6种插法, 因此共有A62种插法.由分步乘法计数原理, 共有C82A62种.
点评: (1)应用分步计数原理时,首先确定分步的标准,分布必须满足: 完成一件事必须而且只需连续完成这几步,即各个步骤是相 互依存的.只有各步骤都完成了,这件事才算完成.
(2)本例中最容易错解得到43和54,其原因没弄清“谁选择谁” 的问题.如第(1)小题中,先投第一封信有3种投法,再投第二封 信也有3种投法,投第三封、第四封仍有3种投法,应分四步完 成.由分步计数原理共有34种投法.
答案:D
2.(2009·北京卷)用0到9这10个数字,可以组成没有重复数字
的三位偶数的个数为( )
A.324
B.328
C.360
D.648
答案:B
解析:个位数字是0时,有9×8个,个位数字是2,4,6,8中的一个
时,有
C
1 4
×8×8个.
∴适合题意的三位偶数有9×8+4×8×8=328个.
3.(2008·全国Ⅰ)如图,一环形花坛分成A、B、C、D四块.现
命题走向 1.两个计数原理和排列、组合与概率联系十分密切,它是求古 典型概率、离散型随机变量分布列的基础,是高考的重点内 容,统计2009年全国及各省市命题,总有一小题是对排列、组 合应用的考查.对于概率的解答题中,用排列、组合知识作答 的占多数.
2.二项式定理也是必考内容之一,以小题的形式出现,属于容 易题或中档题,主要考查求二项展开式的特定项或二项式系 数的性质.
解读高考第二关 热点关 题型一 分类计数原理
例1 三边长均为整数,且最大边长为11的三角形有多少个、 分析:在三角形中,两短边长的和大于最长的边,本题可按一边 长的取值分类求解.
解:三角形另两边的长分别用x,y表示,且不防设1≤x≤y≤11,要 构成三角形,必须x+y≥12,当y取值11时,x=1,2,…,11,可有11个 三角形. 当y取值10时,x=2,3,…,10,可有9个三角形. …… 当y取值6时,x也只能取6,这时只有一个三角形. 所以,由分类计数原理,共有三角形的个数为 11+9+7+5+3+1=36.
解析:由题意知,a,b只能取1,2,…,10,且a>b.因此可按a取 10,9,…,3,2分为9类,共有适合题意的椭圆 9+8+…+2+1=45(个).
答案:45个
题型二 分步计数原理 例2 (1)将4封信投入3个邮箱,有多少种投法? (2)5名运动员争夺4项冠军,有多少不同的结果?
解:(1)由于每封信都有3种不同的投法,4封信全部投入信箱中, 共有 3×3×3×3=81(种)不同的投法. (2)每项冠军都有5种不同的结果,因此5名运动员争夺4项冠军 共有 5×5×5×5=625种不同的结果.
第五十五讲 计数原理
走进高考第一关 考点关 回归教材
1.分类加法计数原理 完成一件事,可以有n类办法,在第一类办法中有m1种方法,在 第二类办法中有m2种方法,……,在第n类办法中有mn种方法. 那么,完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种方法.也称加法原 理.
2.分步乘法计数原理
完成一件事需要经过n个步骤,缺一不可,做第一步有m1种方 法,做第二步有m2种方法,……,做第n步有mn种方法.那么,完 成这一件事共有N=m1×m2×…×mn种方法.也称乘法原理.