初中常用数学方法

初中数学常用方法第1讲
一、配方法：
在数学上特指将代数式通过凑配等手段得到完全平方、完全立方等形式，从而再利用诸如完全平方项非负等性质，达到解决数学问题的目的。

配方法主要用在多元代数式求值、无理式的证明或化简求值等方面。

例1、当为何值时，方程
有实根。

例2、已知，求有理式的值。

例3、试确定方程组的所有实数解。

例4、化简
例5、若均为正数，且满足
，求证：以为边
的四边形是菱形。

作业：
1、求满足条件的实数；
2、已知为非零实数，且
，
求证；
3、解方程：
4、思考题：已知且求证：
初中数学常用方法第2讲
二、换元法：数学中的“元”是指未知数，用新的未知数去替换原条件中的未知数、数字、代数式从而使复杂的式子结构简化。

其实质是一种化繁为简、化难为易的
数学转化思想的具体体现。

例6、已知，试比较的大小；
例7、已知一个六位数，若将此数乘以，所得新数恰好为，求此数；
例8、若都是实数，且，求
的最小值；
例9、分解因式(1)；（2）
；
例10、解方程组
作业：
1、分解因式：；
2、解方程：；
3、设实数，求证：；
初中数学常用方法第3讲
三、待定系数法：
根据多项式恒等式性质，先判断所求结果的结构具有某种确定的形式，其中含有若干待确定的系数，而最后根据题设条件通过比较等式两边的对应项，列出若干关于待定系数的方程（组），最后解该方程（组），得到各
待定系数的值或找到他们之间的某种关系。

例11、已知能被整除，求。

方法1：=利用待定系数法得。

方法2：利用辗转相除法可得。

例12、已知方程有两根为1和2，解这个方程。

解：待定系数法
例13、若求、A、B的值。

例14、求满足及的不同的整数对的个数。

例15、已知直线经过点，与轴的负半轴和轴的正半轴分别交于点A、B，且直角的内切圆面积为，求直线的函数解析
式。

作业：
（1）、一根弹簧，不挂物体时长12CM,挂上物体弹簧会伸长，在弹性限度内，弹簧伸长的长度与所挂物体所受的重力成正比，若挂上30N物体后，弹簧总长为13.5CM，求弹簧总长CM,与所挂物体N之间的关系式。

（2）、已知二次函数的图像过原点O，顶点B的坐标为，开口向上，在图像上取一点A，使,求点A的坐标；
（3）、已知满足等式的正实数能使关与的多项式分解成两个一次因式的积，试求的值；
初中数学常用方法第4讲
四、分析与归纳：
所谓归纳法，是先从研究各个特殊的、个别的情形作出判断，再以这些判断为基础，从而总结出规律，得出一般或全体的结论，即
扩大到对一般事物的判断的一种推理方法，是一种由特殊到一般的推理方法。

与之对应的，从一般到特殊的推理方法称为演绎法。

例16、在平面上有条直线，其中每两条不平行，任三条不共点，问这条直线可以将平面分成几部分？
例17、4个小孩玩球时打碎了玻璃，老师问：“是谁把玻璃打碎了？”宝宝说：“是可可打碎的。

”可可说：“是毛毛打碎的。

”多多说：“我没打碎玻璃。

”毛毛说：“可可在说谎。

”如果他们4人中有只有一人在说谎，那么谁打碎了玻璃？
例18、设，求的最小值；
例19、已知实数互不相等，且，，，
求证：。

例20、证明：…的和的末尾数字不可能是2，4，7，9；
初中数学常用方法第5讲
五、数形结合思想：
数与形是数学中两个最古老的问题、也是最基本的研究对象，它们在一定的条件下可以相互转化，如某些代数问题、三角问题往往有几何背景，而借助其几何背景图形的性质，可以使那些抽象的概念、复杂的数量变得直观，以便于探求解题思路或找到问题的结论。

数形结合，不仅是一种重要的解题方法，而且也是一种重要的思维方法，因此它在中学数学中占有重要的地位。

例21、设为小于1的正数，求证：
例22、设为实数，且试比较和的大小。

例23、已知均为实数，且
求的最大值。

例24、若且，则方程有两个不相等的实根。

例25、两个同心圆的半径分别为与，矩形ABCD的边AB,CD分别为两圆的弦，则当矩形ABCD的面积最大时，矩形的周长为？
初中数学常用方法第6讲
六、分类讨论思想：
搞清下面四句话：
（1）为什么要分类；（2）以什么标准分类；（3）分类结果怎么处理；（4）可否避免讨论；
例26、设函数.
（1）若，求的取值范围；
（2）若求的取值范围
（3）若时，，求a 的值.
例27、已知在上的最大值是－5，求的值.
变式：已知在
上的最小值是－5，求的值.
例28、已知二次函数在区间[－3，2]上的最大值为4，则a的值。

变式：已知二次函数
在区间[－3，2]上的最大值为4，则a的值
例29、若不等式对一切实数恒成立，试确定的取值范围。

例30、已知是实数，且满足，，求证：必是两负一正；
例31、设是定义在上的减函数，有
（1）求
（2）若，解不等式。