大学物理课后习题答案第十二章

第12章 机械振动 习题及答案

1、什么是简谐振动？哪个或哪几个是表示质点作简谐振动时加速度和位移关系的？ （1）

a =8x ；（2）a =12x 2 ；(3) a =−24x ；(4)a =−2x 2 .

答：系统在线性回复力的作用下，作周期性往复运动，即为简谐振动。

对于简谐振动，有a =−ω02x ,故（3）表示简谐振动。

2、对于给定的弹簧振子，当其振幅减为原来的1/2时，下列哪些物理量发生了变化？变化为原来的多少倍？

（1）劲度系数；（2）频率；（3）总机械能；（4）最大速度；（5）最大加速度。 解：当 A ′=1

2A 时，

（1）劲度系数k 不变。 （2）频率不变。

（3）总机械能 E ′=1

2

kA ‘2=1

4

E

（4）最大速度 V ’=−A ′ω0sin(ω0t +φ)

∴ V m ′=−A ′

ω=1

2V m (5) 最大加速度 a′=−A′ω02

cos(ω0t +φ)

∴ a m ′=−A′ω02

=12

a m

3、劲度系数为1k 和2k 的两根弹簧，与质量为m 的小球按题图所示的两种方式连接，试证明它们的振动均为谐振动，并分别求出它们的振动周期．

解：(1)图(a)中为串联弹簧，对于轻弹簧在任一时刻应有21F F F ==，设串联弹簧的等效倔强系数为串K 等效位移为x ，则有

1

11x k F x k F -=-=串

222x k F -=

又有 21x x x +=

2

211k F k F k F

x +==

串 所以串联弹簧的等效倔强系数为

2

12

1k k k k k +=

串

即小球与串联弹簧构成了一个等效倔强系数为)/(2121k k k k k +=的弹簧振子系统，故小球作谐振动．其振动周期为

2

121)(222k k k k m k m

T +===

ππ

ω

π

串 (2)图(b)中可等效为并联弹簧，同上理，应有21F F F ==，即21x x x ==，设并联弹簧的倔强系数为并k ，则有 2211x k x k x k +=并 故 21k k k +=并 同上理，其振动周期为

2

12k k m

T +='π

4. 完全相同的弹簧振子，t =0 时刻的状态如图所示，其相位分别为多少？

解：对于弹簧振子，t =0时，x =A cos φ ,v =−Asinφ （a ） x =x max ,故 cos φ=1

v =0 ，故 sinφ=0 ∴ φ=0 （b ）x =0 ，故 cosφ=0

v <0 ，故 sinφ>0 ∴ φ=π

2

（c ）x =0 ，故 cosφ=0

k

m

x =x max

(a)

k

m v

x =0

(b)

k

m v

x =0

(c)

k

m

x =−x max (d)

v >0 ，故 sinφ<0 ∴ φ=3π2

（d ）x =−x max ,故 cos φ=−1

v =0 ，故 sinφ=0 ∴ φ=π

5、如图所示，物体的质量为m ，放在光滑斜面上，斜面与水平面的夹角为θ，弹簧的倔强系数为k ，滑轮的转动惯量为I ，半径为R 。先把物体托住，使弹簧维持原长，然后由静止释放，试证明物体作简谐振动，并求振动周期．

解：分别以物体m 和滑轮为对象，其受力如题图(b)所示，以重物在斜面上静平衡时位置为坐标原点，沿斜面向下为x 轴正向，则当重物偏离原点的坐标为x 时，有

221d d sin t x

m T mg =-θ ①

βI R T R T =-21 ②

βR t

x

=2

2d d )(02x x k T += ③ 式中k mg x /sin 0θ=，为静平衡时弹簧之伸长量，联立以上三式，有

kxR t

x

R I mR -=+22d d )(

令 I

mR kR +=22

2

ω

则有

0d d 222=+x t

x

ω 故知该系统是作简谐振动，其振动周期为

)/2(222

2

2K R I m kR

I mR T +=+==ππωπ

6、质量为kg 10103

-⨯的小球与轻弹簧组成的系统，按)SI ()3

28cos(1.0π

π+=x 的规

律作谐振动，求：

(1)振动的周期、振幅和初位相及速度与加速度的最大值； (2)最大的回复力、振动能量，在哪些位置上动能与势能相等? 解：(1)设谐振动的标准方程为)cos(0φω+=t A x ，则知：

3/2,s 4

1

2,8,m 1.00πφωπ

πω===

∴==T A 又 πω8.0==A v m 1

s m -⋅ 51.2=1

s m -⋅

2.632==A a m ω2s m -⋅

(2) N 63.0==m m ma F

J 1016.32

122

-⨯==

m mv E 当p k E E =时，有p E E 2=， 即

)2

1(212122kA kx ⋅= ∴ m 20

2

22±=±

=A x 7、一个沿x 轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为A ，周期为T ，其振动方程用余弦函数表示．如果0=t 时质点的状态分别是：

(1)A x -=0；

(2)过平衡位置向正向运动； (3)过2A

x =

处向负向运动； (4)过2

A x -

=处向正向运动．

试求出相应的初位相，并写出振动方程． 解：因为 ⎩⎨

⎧-==0

00

0sin cos φωφA v A x

将以上初值条件代入上式，使两式同时成立之值即为该条件下的初位相．故有

)2cos(1ππ

π

φ+==t T A x

)23

2cos(2

32πππφ+==t T A x

)3

2cos(3

3π

ππ

φ+==

t T A x