2015年杨浦区一模数学试卷(理)含答案
上海市杨浦区2015届高三一模数学文含答案
上海市杨浦区2015届高三一模数学文含答案XXX年度第一学期高三年级学业质量调研数学学科试卷（文科）考生注意：1.答卷前，务必在答题纸上写上姓名、考号，并将核对后的条形码贴在指定位置上。
2.本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟。
一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1.已知sinα=1/2，α∈(0,π)，则α=π/6.2.设A={x|1≤x≤3}，B={xm+1≤x≤2m+4,m∈R}，A⊆B，则m的取值范围是[-1,3)。
3.已知等差数列{an}中，a3=7，a7=3，则通项公式为an=-2n+11.4.已知直线l经过点A(1,-2)、B(-3,2)，则直线l的方程是y=-x-1.5.函数f(x)=x^2-1(x<0)的反函数f^-1(x)=√(x+1)(x≥1)。
6.二项式(x-1/2)^4的展开式中的第4项是6x^2-12x+5/16.7.不等式log2(x-3)+x>2的解是(3,∞)。
8.已知条件p:x+1≤2；条件q:x≤a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是(-∞,1]。
9.向量a=(2,3)，b=(-1,2)，若ma+b与a-2b平行，则实数m=1/2.10.一家5口春节回老家探亲，买到了如下图的一排5张车票：6排A座 | 6排B座 | 6排C座 | 走廊 | 6排D座 | 6排E座| 窗口 | 窗口 |其中爷爷行动不便要坐靠近走廊的座位，小孙女喜欢看风景要坐靠窗的座位，则座位的安排方式一共有60种。
11.已知一个铁球的体积为36π，则该铁球的表面积为54π。
12.已知集合A={z|z=1+i+i^2+。
+in,n∈N*}，则集合A的子集个数为2^n-1.13.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c。
若(a+b-c)(a+b+c)=ab，则角C=π/3.14.如图所示，已知函数y=log2(4x)图像上的两点A，B和函数y=log2(x)上的点C，线段AC平行于y轴，三角形ABC 为正三角形时，点B的坐标为(-1,2)，则实数p=-1/4.值为_______________。
2015年杨浦区一模数学试卷(理)含答案
杨浦区2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学学科试卷（理科） 2015.1.考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上．2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．已知() , 0,1sin 2∈=απα，则α=________________. 2．设{}13A x x =≤≤，{}124,B x m x m m R =+≤≤+∈，A B ⊆，则m 的取值范围是________. 3．已知等差数列{}n a 中，377,3a a ==，则通项公式为n a =________________. 4．已知直线l 经过点()()1,2,3,2A B --，则直线l 的方程是___________________. 5. 函数()()012<-=x x x f 的反函数()=-x f1．6. 二项式91x x -⎛⎫⎪⎝⎭的展开式（按x 的降幂排列）中的第４项是_________________.7． 已知条件:12p x +≤；条件:q x a ≤，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是 ．8．向量()()2,3,1,2a b ==-，若ma b +与2a b -平行，则实数m =_________. 9．一家5口春节回老家探亲，买到了如下图的一排5张车票：窗口6排A 座6排B 座6排C 座走廊6排D 座 6排E 座窗口其中爷爷行动不便要坐靠近走廊的位置，小孙女喜欢热闹要坐在左侧三个连在一起的座位之一，则座位的安排方式一共有__________种。
10．在底面直径为6的圆柱形容器中，放入一个半径为2的冰球，当冰球全部溶化后，容器中液面的高度为_______________.（相同质量的冰与水的体积比为10：9）11．不等式()2log 431xx ->+的解集是_______________________.1,0i s ==开始1i i =+否 输出s结束 是第15题图2s s i =+12．设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边长分别为a ,b ,c ，若30a b c a ba b c++=+-，则角C =_________. 13．已知1322i ω=-+，集合{}2*1,n A z z n N ωωω==++++∈，集合1212{|,}B x x z z z z A ==⋅∈、（1z 可以等于2z )，则集合B 的子集个数为__________.14．如图所示，已知函数 2log 4y x =图像上的两 点 A 、 B 和函数 2log y x =上的点 C ，线段 AC 平行于 y 轴， 三角形 ABC 为正三角形时， 点 B 的坐标为 (),p q , 则22q p ⨯的值为________.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 15．程序框图如图所示，若其输出结果是140，则判断框中填写的是（ ） A ． 7i < B ．8i <C ． 7i >D ．8i > 16．下列命题中正确的是（ ） A ．若x C ∈，则方程32x =只有一个根 B ．若12,z C z C ∈∈且120z z ->，则12z z > C ．若z R ∈，则2z z z ⋅=不成立D ．若z C ∈，且20z <，那么z 一定是纯虚数17．圆心在抛物线x y 22=上，且与x 轴和抛物线的准线都相切的一个 圆的方程是（ ）A ．01222=+--+y x y xB ．041222=---+y x y x第14题图A1A C1CB1BD1D OCDC ．01222=+-++y x y xD ． 041222=+--+y x y x 18．对数列{}{},n n a b ，若区间[],n n a b 满足下列条件：①[]11,n n a b ++≠⊂[]()*,n n a b n N ∈；②()lim 0n n n b a →∞-=，则称{},n n a b ⎡⎤⎣⎦为区间套。
2015上海数学各区一模试题归类
2015 上海数学各区一模试题归类第一部分 选择题一、 二次函数1. （徐汇）将抛物线22y x =-向右平移一个单位，再向上平移2个单位后，抛物线的表达式为（ ）A. 22(1)2y x =--+；B. 22(1)2y x =---；C. 22(1)2y x =-++；D. 22(1)2y x =-+-；2. （徐汇）已知二次函数222y ax x =-+（0a >），那么它的图像一定不经过（ ）A. 第一象限；B. 第二象限；C. 第三象限；D. 第四象限；3. （六区）将抛物线2(1)y x =-向左平移2个单位，所得抛物线的表达式为（ ）A. 2(1)y x =+；B. 2(3)y x =-；C. 2(1)2y x =-+；D. 2(1)2y x =--；4. （六区）一个小球被抛出后，如果距离地面的高度h （米）和运行时间t （秒）的函数解析式为25101h t t =-++，那么小球到达最高点时距离地面的高度是（ ）A. 1米；B. 3米；C. 5米；D. 6米；5. （崇明）如果二次函数2y ax bx c =++的图像如图1-1-1，那么下列判断中，不正确的是（ ）A. 0a >B. 0b >C. 0c <D. 240b ac ->6. （崇明）将二次函数2x y =的图像向下平移1个单位，再向右平移1个单位后所得图像的函数 表达式为（ ）A. 2(1)1y x =++B. 2(1)1y x =+-C. 2(1)1y x =-+D. 2(1)1y x =--7. （长宁）抛物线22212,2,2y x y x y x ==-=共有的性质是（ ） A. 开口向下; B. 对称轴是y 轴 C. 都有最低点 D. y 的值随x 的增大而减小8. （嘉定）对于抛物线2)2(-=x y ，下列说法正确的是（ ）A. 顶点坐标是)0,2(；B. 顶点坐标是)2,0(；C. 顶点坐标是)0,2(-；D. 顶点坐标是)2,0(-．9. （嘉定）已知二次函数bx ax y +=2的图像如图1-1-2所示，那么a 、b 的符号为（ ）A. 0>a ，0>b ；B. 0<a ，0>b ；C. 0>a ，0<b ；D. 0<a ，0<b ．1-1-1 y x O O xy 1-1-2O x yO x y O x y O x y 10.（奉贤）抛物线221x y -=的图象向右平移2个单位长度后所得新的抛物线的顶点坐标为（ ） A ．(0，－2) ； B ． (0，2)； C ．(－2，0)； D ．(2，0)．11.（虹口）已知点，均在抛物线上，下列说法中，正确的是（ ）A ．若，则；B ．若，则；C ．若，则；D ．若，则．12.（虹口）二次函数（a 为常数）的图像如图1-1-3所示，则的取值范围为（ ）A ． ；B ．；C ． ；D ．．13.（金山）抛物线122+=x y 的顶点坐标是（ ）A. )1,2(；B. )1,0(；C. )0,1(；D. )2,1(． 14.（金山）已知反比例函数)0(≠=a xa y ，当0 x 时，它的图像y 随x 的增大而减小，那么二次函数 ax ax y -=2 的图像只可能是（ ）A. B. C. D.15.（闸北）在下列y 关于x 的函数中，一定是二次函数的是 （ ） A. 2x y =； B. 21xy =； C. 2kx y =； D. x k y 2=． 16.（普陀）如果二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图像如图1-1-4，那么（） A. 0a <，0b >，0c >； B. 0a >，0b <，0c >；C. 0a >，0b <，0c <；D. 0a >，0b >，0c <；二、 比例线段1.（徐汇） 如图1-2-1，平行四边形ABCD 中，E 是边BC 上的点，AE 交BD 于点F ，如果:BE BC =2:3，那么下列各式错误的是（ ）A. 2BE EC =；B. 13EC AD =；C. 23EF AE =；D. 23BF DF =； 2. （六区）如图1-2-2，已知AB ∥CD ∥EF ，:3:5AD AF =，12BE =，那么CE 的长等于（ ） A. 2； B. 4； C. 24； D. 365；FA CB E1-2-1 1-2-3B C D E y x O 1-1-4yx O3. （崇明）已知52a b =，那么下列等式中，不一定正确的是 （ ） A. 25a b = B. 52a b = C. 7a b += D. 72a b b += 4. （宝山）如图1-2-3，△ABC 中，D 、E 分别为边AB 、AC 上的点，且DE ∥BC ，下列判断错误 的是（ ）A. AD AE DB EC =；B. AD DE DB BC =；C. AD AE AB AC =；D. AD DE AB BC=； 5. （嘉定）如图1-2-4，已知AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点O ， 2:1:=DO AO ，那么下列式子正确的是（ ）A. 2:1:=BC BO ；B. 1:2:=AB CD ；C. 2:1:=BC CO ；D. 1:3:=DO AD ．6. （奉贤）已知y x 23=，那么下列等式一定成立的是（ ）A ．3,2==y x ；B ．23=y x ；C ．32=y x ； D ．023=+y x ． 7. （闸北）如果点G 是△ABC 的重心，联结AG 并延长，交对边BC 于点D ，那么AG ︰AD 是（ ）A. 2︰3 ；B. 1︰2；C. 1︰3 ；D. 3︰4． 8. （闸北）已知点D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上，下列给出的条件中，不能判定DE ∥B C 的是（ ）A. BD ︰AB ＝ CE ︰AC ；B. DE ︰BC ＝ AB ︰AD ；C. AB ︰AC ＝ AD ︰A E ；D. AD ︰DB ＝ AE ︰EC ．9. （普陀）如图1-2-5，直线1l ∥2l ∥3l ，两直线AC 和DF 与1l ，2l ，3l 分别相交于点A 、B 、C 和 点D 、 E 、F ，下列各式中，不一定成立的是（ ）A. AB DE BC EF =；B. AB DE AC DF =；C. AD BE BE CF =；D. EF BC FD CA=；三、 相似三角形1. （徐汇）如图1-3-1，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，如果添加下列条件，不能使得△ABC ∽△DCA 成立的是（ ）A B C D O 1-2-4 1-2-5 F E D C B A l 1l lA. BAC ADC ∠=∠；B. B ACD ∠=∠；C. 2AC AD BC =⋅；D. DC AB AC BC =； 2. （徐汇）如图1-3-2，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，且DE ∥BC ， 如果:1:4AE EC =，那么:ADE BEC S S ∆∆=（ ）A. 1:24；B. 1:20；C. 1:18；D. 1:16；3. （六区）如图1-3-3，已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，2BC AD =，如果对角线AC 与BD 相交 于点O ，△AOB 、△BOC 、△COD 、△DOA 的面积分别记作1S 、2S 、3S 、4S ，那么下列结论 中，不正确的是（ ）A. 13S S =；B. 242S S =；C. 212S S =；D. 1324S S S S ⋅=⋅；4. （崇明）如图1-3-4 ，点D 、E 、F 、G 为ABC ∆两边上的点，且DE FG BC ∥∥，若DE 、FG 将ABC∆的面积三等分，那么下列结论正确的是（ ）A. 14DE FG =B. 1DF EG FB GC ==C. 32AD FB =+D. 22AD DB = 5. （长宁）如果两个相似三角形的面积比是1:6，那么它们的相似比是（ ）A ．1:36 B.1:6 C. 1:3 D. 1: 66. （长宁）如图1-3-5，点A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、K 都是7×8方格纸中的格点，为使△DE M ∽△ABC （点D 和点A 对应，点B 和E 对应），则点M 对应是F 、G 、H 、K 四点中的（ ）A. FB. GC. KD. H7. （虹口）如图1-3-6，∠BAD =∠CAE ，添加下列一个条件后，仍不能确定△ABC ∽△ADE 的是（ ）A ．∠B =∠D ； B ．∠C =∠AED ； C ．； D ．．8. （虹口）如图1-3-7，在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、BC 上的点，且DE ∥AC ，若，则的值为（ ）A ．；B ．；C ．；D ．．9. （金山）已知ABC ∆∽DEF ∆，点A 、B 、C 对应点分别是D 、E 、F ，4:9:=DE AB ，那么1-3-1 A C B D A B C D E 1-3-2 1-3-3 S 3S 4S 2S 1O A C B D 1-3-4 A B C D E F G 1-3-5 A B C E D 1-3-6 AB C E D 1-3-7 ODEF ABC S S ∆∆:等于（ ）A. 3:2；B. 9:4；C. 16:81；D. 81:16．10.（闸北）如图1-3-8，小明晚上由路灯A 下的点B 处走到点C 处时，测得自身影子CD 的长为1米． 他继续往前走3米到达点E 处（即CE ＝3米），测得自己影子EF 的长为2米．已知小明的身高是1.5米，那么路灯A 的高度AB 是（ ）A. 4.5米；B. 6米；C. 7.2米；D. 8米．11.（普陀）用一个2倍放大镜照一个△ABC ，下面说法中错误的是（ ）A. △ABC 放大后，是原来的2倍；B. △ABC 放大后，各边长是原来的2倍；C. △ABC 放大后，周长是原来的2倍；D. △ABC 放大后，面积是原来的4倍；四、 直角三角形锐角比1. （徐汇）已知Rt △ABC 中，90C ∠=︒，CAB α∠=，7AC =，那么BC 为（ ） A. 7sin α； B. 7cos α； C. 7tan α； D. 7cot α；2. （六区）如果把Rt ABC ∆的三边长度都扩大2倍，那么锐角A 的四个三角比的值（ ）A. 都扩大到原来的2倍；B. 都缩小到原来的12； C. 都没有变化； D. 都不能确定；3. （六区）已知在△ABC 中，AB AC m ==，B α∠=，那么边BC 的长等于（ ）A. 2sin m α⋅；B. 2cos m α⋅；C. 2tan m α⋅；D. 2cot m α⋅； 4. （崇明）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，A ∠、B ∠、C ∠所对的边分别为a 、b 、c ，下列等式中不一定 成立的是（ ）A. tan b a B =B. cos a c B =C. sin ac A = D. cos a b A =5. （宝山）如图1-4-1，在直角△ABC 中，90C ∠=︒，1BC =，2AC =）A. 30A ∠=︒；B. 45A ∠=︒；C. 2cot 2A =；D. 2tan 2A =；1-4-11-3-8 AD6. （长宁）在Rt △ABC 中，已知∠C =90°，AC =3，BC =4，那么∠A 的余弦值等于（ ）A ．35 B. 45 C. 34 D. 437. （嘉定）在Rt △ABC 中，︒=∠90C ，a 、b 、c 分别是A ∠、B ∠、C ∠的对边，下列等式中正确的是（ ）A. c a A =cos ；B. b c B =sin ；C. b a B =tan ；D. ab A =cot ． 8. （奉贤）在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝1，AC ＝2，则下列结论正确的是（ ） A ．sin A ＝32； B ．tan A ＝12； C ．cos B ＝32； D ．tan B ＝3． 9. （奉贤）一斜坡长为10米，高度为1米，那么坡比为（ ）A ．1：3；B ．1：31； C ．1：10； D ．1：1010． 10.（虹口）在Rt △ABC 中，，AC=5，BC=13，那么的值是（ ）A ． ；B ．；C ．；D ．．11.（金山）在ABC Rt ∆中, ︒=∠90C ，3,5==BC AB ，那么A sin 的值等于（ ）A. 43；B. 34；C. 53；D. 54． 12.（闸北）在直角△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 与∠C 的对边分别是a 、b 和c ，那么下列关系中， 正确的是（ ）A. cos A ＝c a ；B. tan A ＝a b ；C. sin A ＝c a ；D. cot A ＝ba ． 13.（普陀）在Rt △ABC 中，已知90ACB ∠=︒，1BC =，2AB =，那么下列结论正确的是（ ）A. 3sin 2A =； B. 1tan 2A =； C. 3cos 2B =； D. 3cot 3B =；五、 平面向量1. （宝山）已知非零向量a 、b 、c ，下列命题中是假命题的是（ ）A. 如果2a b =，那么a ∥b ；B. 如果2a b =-，那么a ∥b ；C. 如果||||a b =，那么a ∥b ；D. 如果2a b =，2b c =，那么a ∥c ； 2. （嘉定）已知非零向量a 、b 和c ，下列条件中，不能判定a ∥b 的是（ ）A. a =b 2-；B. c a =，c b 3=；C. c b a =+2，c b a -=-；D. b a =．3. （虹口）如果，，且，那么与是（ ）A ．与是相等向量；B ．与是平行向量；C ．与方向相同，长度不同；D ．与方向相反，长度相同．4. （闸北）下列有关向量的等式中，不一定成立的是（ ）A. AB ＝－BA ；B. ︱AB ︱＝︱BA ︱；C. AB ＋BC ＝AC ；D. ︱AB ＋BC ︱＝︱AB ︱＋︱BC |．5. （普陀）下列判断错误的是（ ）A. 00a =；B. 如果12a b =（b 为非零向量），那么a ∥b ； C. 设e 为单位向量，那么||1e =； D. 如果||||a b =，那么a b =或a b =-；六、 圆1. （崇明）下列说法正确的是 （ ）A. 相切两圆的连心线经过切点B. 长度相等的两条弧是等弧C. 平分弦的直径垂直于弦D. 相等的圆心角所对的弦相等2. （宝山）如果在两个圆中有两条相等的弦，那么（ ）A. 这两条弦所对的圆心角相等；B. 这两条线弦所对的弧相等；C. 这两条弦都被与它垂直的半径平分；D. 这两条弦所对的弦心距相等；3. （宝山）已知圆O 半径为3，M 为直线AB 上一点，若3MO =，则直线AB 与圆O 的位置关系 为（ ）A. 相切；B. 相交；C. 相切或相离；D. 相切或相交；4. （长宁）已知两圆半径分别是3和4，若两圆内切，则两圆的圆心距为（ ）A. 1或7B. 1C. 7D. 25. （嘉定）在△ABC 中，︒=∠90C ，cm AC 3=，cm BC 4=．以点A 为圆心，半径为cm 3的圆记作 圆A ，以点B 为圆心，半径为cm 4的圆记作圆B ，则圆A 与圆B 的位置关系是（ ）A. 外离；B. 外切；C. 相交；D. 内切.6. （奉贤）在直角坐标平面中，M （2，0），圆M 的半径为4 ，点P （-2，3）与圆M 的位置关系是（ ）A ．点P 在圆内；B ．点P 在圆上；C ．点P 在圆外；D ．不能确定．7. （奉贤）在同圆或等圆中，下列说法错误的是（ ）A ．相等弦所对的弧相等；B ．相等弦所对的圆心角相等；C ．相等圆心角所对的弧相等；D ．相等圆心角所对的弦相等．8. （金山）正多边形的中心角是36º，那么这个正多边形的边数是（ ）A. 10；B. 8；C. 6；D. 5．9. （金山）已知⊙M 与⊙N 的半径分别为1和5，若两圆相切，那么这两圆的圆心距MN 的长等于（ ）A. 4；B. 6；C. 4或5；D. 4或610.（普陀）下列命题中，正确的个数是（ ）（1）三点确定一个圆； （2）平分弦的直径垂直于弦；（3）相等的圆心角所对的弧相等； （4）正五边形是轴对称图形；A. 1个；B. 2个；C. 3个；D. 4个；七、 综合1. （宝山）如图1-7-1边长为3的等边△ABC 中，D 为AB 的三等分点（12AD BD =），三角形边上的 动点E 从点A 出发，沿A C B →→的方向运动，到达点B 时停止，设点E 运动的路程为x ，2DE y =，则y 关于x 的函数图像大致为（ ）A. B. C. D. 2. （长宁）如图1-7-2，动点P 从点A 出发，沿线段AB 运动至点B 后，立即按原路返回，点P 在运动的 过程中速度不变，则以点B 为圆心，线段BP 长为半径的圆的面积S 与点P 的运动时间t 之间的函数图 象大致为图中的( )A. B. C. D.第二部分 填空题一、 二次函数1. （徐汇）抛物线2(1)2y x =-+的顶点坐标是 ；2. （徐汇）二次函数245y x x =--的图像的对称轴是直线 ；3. （徐汇）若点1(3,)A y -、2(0,)B y 是二次函数22(1)1y x =--图像上的两点，那么1y 与2y 的 大小关系是 （填12y y >，12y y =或12y y <）；4. （六区）二次函数2253y x x =--+的图像与y 轴的交点坐标为 ；5. （六区）如果抛物线2(3)5y a x =+-不经过第一象限，那么a 的取值范围是 ；6. （六区）已知二次函数的图像经过点(1,3)，对称轴为直线1x =-，由此可知这个二次函数的图像一 1-7-1A B C DE 1-7-2定经过除点(1,3)外的另一点，这点的坐标是 ； 7. （崇明）如果二次函数22(1)51y m x x m =-++-的图像经过原点，那么m = ；8. （崇明）抛物线221y x =-在y 轴右侧的部分是 （填“上升”或“下降”）；9. （崇明）如果将抛物线23y x =平移，使平移后的抛物线顶点坐标为(2,2)，那么平移后的抛物线的表达 式为 ；10.（崇明）已知抛物线2y x bx c =++经过点(0,5)A 、(4,5)B ，那么此抛物线的对称轴是 ；11.（宝山）抛物线2(3)4y x =--+的对称轴是 ；12.（宝山）不经过第二象限的抛物线2y ax bx c =++的开口方向向 ；13.（宝山）已知点11(,)A x y 、22(,)B x y 为函数22(1)3y x =--+的图像上的两点，若121x x >>， 则1y 2y ；14.（长宁）抛物线23(1)2y x =--+的顶点坐标是________；15.（长宁）抛物线223y x =-向左移动3个单位后所得抛物线解析式是________；16.（长宁）已知二次函数227y x x =+-的一个函数值是8，那么对应自变量x 的值是_________.17.（长宁）已知二次函数2(1)2y ax a x =-+-，当x >1时，y 的值随x 的增大而增大，当x <1时，y 的值 随x 的增大而减小，则实数a 的值为_________.18.（长宁）某企业今年第一月新产品的研发资金为100万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长 率都是x ，则该厂今年第三月新品研发资金y （元）关于x 的函数关系式为y =_________.19.（嘉定）如果函数2)1(x a y -=是二次函数，那么a 的取值范围是 ；20.（嘉定）在平面直角坐标系中，如果把抛物线22+=x y 向上平移2个单位，那么所得抛物线的 表达式为 ．21.（嘉定）已知抛物线122-+=x x y 的对称轴为l ，如果点)0,3(-M 与点N 关于这条对称轴l 对称， 那么点N 的坐标是 ．22.（嘉定）请写出一个经过点)1,0(，且在对称轴右侧部分是下降的抛物线的表达式，这条抛物线的 表达式可以是 ．23.（奉贤）一个矩形的周长为16，设其一边的长为x ，面积为S ，则S 关于x 的函数解析式是 ；24.（奉贤）如果抛物线12-+=mx x y 的顶点横坐标为1,那么m 的值为 ；25.（奉贤）已知抛物线经过点(5,-3),其对称轴为直线x =4，则抛物线一定经过另一点的坐标是 ；26.（奉贤）已知抛物线2)1(2++=x a y 过（0，y 1）、（3，y 2），若y 1> y 2,那么a 的取值范围是 ；27.（虹口）抛物线与y 轴交点的坐标为 ．28.（虹口）抛物线向左平移2个单位得到的抛物线表达式为 ．29.（虹口）若抛物线的对称轴是直线，则 .30.（虹口）请你写出一个．．b 的值，使得函数，在时，y 的值随着x 的值增大而增大，则b 可以是 ▲ .31.（金山）将抛物线11-22+=）（x y 向上平移3个单位，那么平移后得到的抛物线的解析式是 32.（闸北）如果抛物线2)1(x m y -=的开口向上，那么m 的取值范围是 ．33.（闸北）将抛物线5)3(2+--=x y 向下平移6个单位，所得到的抛物线的顶点坐标为 ．34.（闸北）已知抛物线经过A （0，－3）、B （2，－3）、C （4，5），判断点D （－2，5）是否在该抛物线 上．你的结论是： （填“是”或“否”）．35.（普陀）二次函数223y x x =--的图像与y 轴的交点坐标是 ；36.（普陀）如果将抛物线22y x =-平移，使顶点移到点(3,1)P -的位置，那么所得新抛物线的表达式 是 ；37.（普陀）用一根长50厘米的铁丝，把它弯成一个矩形框，设矩形框的一边长为x 厘米，面积为y 平 方厘米，写出y 关于x 的函数解析式： ；二、 比例线段1. （徐汇）如果53a b =，那么a b a b-+的值等于 ； 2. （徐汇）如图2-2-1，若1l ∥2l ∥3l ，如果6DE =，2EF =， 1.5BC =，那么AC = ；3. （徐汇）如图2-2-2，△ABC 中，90BAC ∠=︒，G 点是△ABC 的重心，如果4AG =，那么BC 的长为 ；4. （六区）已知4y =，那么22x y x y-=+； 5. （六区）已知线段4a cm =，9b cm =，那么线段a 、b 的比例中项等于cm ；6. （六区）如图2-2-3，已知,D E 分别是△ABC 的边BC 和AC 上的点，2AE =，3CE =， 2-2-2 2-2-3要使DE ∥AB ，那么:BC CD 应等于 ；7. （六区）已知点G 是面积为227cm 的△ABC 的重心，那么△AGC 的面积等于 ；8. （崇明）已知点P 是线段AB 的黄金分割点()AP PB >，如果2AB =cm ，那么线段AP = cm ； 9. （崇明）如图2-2-4，已知在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6AC =，点G 为重心，GH BC ⊥，垂足为点H ， 那么GH = 10.（宝山）线段b 是线段a 和c 的比例中项，若1a =，2b =，则c = ； 11.（长宁）已知线段a =2c m ，c =8c m ，则线段a 、c 的比例中项是_________c m ；12.（嘉定）已知线段b 是线段a 、c 的比例中项，且1=a ，4=c ，那么=b ． 13.（奉贤）△ABC 中,∠C =90°,G 为其重心,若CG =2,那么AB = ；14.（奉贤）相邻两边长的比值是黄金分割数的矩形,叫做黄金矩形,从外形上看，它最具美感，现在要制 作一张“黄金矩形”的贺年卡，如果较长的一条边长等于20厘米，那么相邻一条边长等于 厘米； 15.（虹口）若，则 .16.（虹口）如图2-2-5，已知AB ∥CD ∥EF ，它们依次交直线、于点A 、D 、F 和点B 、C 、E ，如果 AD =6，DF =3，BC =5，那么BE = ． 17.（金山）已知23x y =，那么=+-y x yx ； 18.（金山）如图2-2-6，已知ABC ∆中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∥BC ，若4=AD ,2=BD ，3=DE ，那么=BC19.（闸北）已知y x ＝25，则yyx -的值是 ． 20.（闸北）如果点P 是线段AB 的黄金分割点，且AP ＞PB ，那么APBP的比值是 ． 21.（闸北）如图2-2-7，在平行四边形ABC D 中，点E 在BC 边上，且CE ︰BC ＝2︰3，AC 与DE 相交于 点F ，若S △AFD ＝9，则S △EFC ＝ ．2-2-4 ABCH G·2-2-5B AC D EF2-2-6BCDE2-2-7A B CEF 2-2-822.（普陀）已知:5:2x y =，那么():x y y += ；23.（普陀）如图2-2-8，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 与边AB 相交于点D ，与边AC 相交于点E ， 如果3AD =，4BD =，2AE =，那么AC = ；24.（普陀）已知线段MN 的长为2厘米，点P 是线段MN 的黄金分割点，那么较长的线段MP 的长 是 厘米；三、 相似三角形1 . （徐汇）在某一时刻，测得一根高为1.8m 的竹竿的影长为3m ，同时测得一根旗杆的影长为25m ，那么这根旗杆的高度为 m ；2. （崇明）如果两个相似三角形的面积比为1:4，那么它们的周长比为 ；3. （宝山）两个相似三角形的相似比为2:3，则它们的面积比为 ；4. （宝山）已知△ABC 的三边之比为2:3:4，若△DEF 与△ABC 相似，且△DEF 的最大边长为20， 则△DEF 的周长为 ；5. （宝山）如图2-3-1，D 为等边△ABC 边BC 上一点，60ADE ∠=︒，交AC 于E ，若2BD =，3CD =， 则CE = ；6. （长宁）如图2-3-2，已知AD 是△ABC 的中线，G 是△ABC 的重心，联结BG 并延长交AC 于点E ，联 结DE ，则S △ABC ：S △GED 的值为_________.7. （嘉定）如果两个相似三角形的周长比为2:1，那么它们的对应中线的比为 ．8. （嘉定）如图2-3-3，已知在平行四边形ABCD 中，点E 在边BC 上，射线AE 交DC 的延长线于F ，2=AB ，EC BE 3=，那么DF 的长为 ．9. （奉贤）如图2-3-4,P 为平行四边形ABCD 边AD 上一点,E 、F 分别为PB 、PC 的中点,若△PEF 的 面积为3,那么△PDC 与△P AB 的面积和等于 ；10.（虹口）如图2-3-5，在Rt △ABC 中，∠C=90°，点G 是△ABC 的重心，如果AC=， AG =2， 那么AB= ．11.（虹口）如图2-3-6，如果△ABC 与△DEF 都是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上）， 那么 的值为 ．C 2-3-5D A B G 2-3-4 2-3-1 B DE 2-3-2 GED C B A A C DE 2-3-3C A B2-3-6E DF C A B D F G2-3-712.（闸北）如图2-3-7，正方形DEFG 内接于Rt △ABC ，∠C ＝90°，AE ＝4，BF ＝9 ，则tan A ＝ ． 13.（闸北）如图2-3-8，梯形ABCD 中，AD //BC ，AB =DC ，点P 是AD 边上一点，联结PB 、PC ，且PD AP AB ⋅=2，则图中有 对相似三角形．14.（普陀）我们定义：如果一个图形上的点A '、B '、...、P '和另一个图形上的点A 、B 、...、P 分别 对应，且满足：（1）直线AA '、BB '、...、PP '都经过同一点O ；（2）...OA OB OP k OA OB OP'''====， 那么这两个图形叫做位似图形，点O 叫做位似中心，k 叫做位似比，如图2-3-9，在平面直角坐标系中， △ABC 和△A B C '''是以坐标原点O 为位似中心的位似图形，且OB BB '=，如果点5(,3)2A ，那么点A '的坐标为 ；四、直角三角形锐角比1. （徐汇）计算：cot30sin60︒-︒= ；2. （徐汇）如图2-4-1是拦水坝的横断面，斜坡AB 的高度为6米，斜面的坡比为1:2， 则斜坡AB 的长为 米（保留根号）；3. （徐汇）如图2-4-2，已知4tan 3O =，点P 在边OA 上，5OP =，点M 、N 在边OB 上，PM PN =， 如果2MN =，那么PM = ；4. （六区）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，如果6AB =，2cos 3A =，那么AC = ； 5. （六区）如图2-4-3，当小杰沿着坡度1:5i =的坡面由B 到A 直行走了26米时，小杰实际上升的高度i = 1:2BDAEC2-4-1NPA M2-4-22-4-3ACB2-3-8ABDP2-3-9AC = 米（结论可保留根号）6. （六区）已知不等臂跷跷板AB 长为3米，当AB 的一端点A 碰到地面时（如图2-4-4），AB 与地面的夹角为30°；当AB 的另一端点B 碰到地面时（如图2），AB 与地面的夹角的正弦值为13，那么跷跷板AB 的支撑点O 到地面的距离OH = 米7. （崇明）某飞机的飞行高度为1500m ，从飞机上测得地面控制点的俯角为60°，此时飞机与这地面控制 点的距离为 m ．8. （崇明）如图2-4-5，水库大坝的横截面是梯形，坝顶AD 宽5米，坝高10米，斜坡CD 的坡角为45︒， 斜坡AB 的坡度1:1.5i =，那么坝底BC 的长度为 米．9. （宝山）在△ABC 中，3cot 3A =，3cos 2B =，那么C ∠= ； 10.（宝山）B 在A 北偏东30°方向（距A ）2千米处，C 在B 的正东方向（距B ）2千米处，则C 和A 之间的距离为 千米；11.（长宁）如图2-4-6所示，铁路的路基横断面都是等腰梯形，斜坡AB 的坡度为1:3，斜坡AB 的水平 宽度BE =33m ，则斜坡AB =_________m. 12.（嘉定）在△ABC 中，︒=∠90C ，1312sin =A ，12=BC ，那么=AC ． 13.（嘉定）小杰在楼上点A 处看到楼下点B 处的小丽的俯角是︒36，那么点B 处的小丽看点A 处的小杰 的仰角是 度． 14.（奉贤）若α为锐角,已知cos α=21,那么tan α= ； 15.（虹口）在以O 为坐标原点的直角坐标平面内有一点A （2，4），如果AO 与x 轴正半轴的夹角为， 那么= ．16.（虹口）如图2-4-7，在△ABC 中，AD ⊥BC ，sin B =，BC =13，AD =12，则tan C 的值 ． 17.（金山）在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，如果4:3:=BC AC ，那么A cos 的值为 18.（金山）如图2-4-8，斜坡AB 的坡度3:1=i ，该斜坡的水平距离=AC 6米，那么斜坡AB 的长2-4-4BAHO BAHO2-4-5DAB C2-4-6C2-4-7DBA等于 米19.（金山）如图2-4-9，在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ,CD ⊥AB ，CD =4,A cos =32,那么BC = 20.（闸北）如果α是锐角，且tanα ＝cot20°，那么α＝ 度． 21.（闸北）计算：2sin60°＋tan45°＝ ．22.（闸北）如果一段斜坡的坡角是30°，那么这段斜坡的坡度是 ．（请写成1︰m 的形式）． 23.（普陀）在地面上离旗杆20米处的地方用测角仪器测得旗杆顶端的仰角为α，如果测角仪的高为 1.5米，那么旗杆的高为 米（用含α的三角比表示）；五、 平面向量1. （徐汇）如图2-5-1，正方形ABCD 被分割成9个全等的小正方形， P 、Q 是其中两个小正方形的 顶点，设AB a =，AD b =，则向量PQ = （用向量a 、b 来表示）；2. （六区）计算：33()22a ab -+-= ； 3. （长宁）计算：3()3a b a --=_________；4. （奉贤）若→a 与→e 方向相反且长度为3,那么→a = →e ；5. （虹口）如图2-5-2，在△ABC 中，DE ∥BC ， BD=2AD ，设，，用向量、表示 向量DE = ．6. （金山）计算：()+-b a 22________313=⎪⎭⎫⎝⎛-b a ；7. （金山）如图2-5-3, 在ABC ∆中，BE AD 、分别是边AC BC 、上的中线，BE AD 、相交于点G .设=AB a →,=AD b → ,那么=BE (用 a →、b →的 式子表示) 8. （普陀）计算：523()3a ab --= ；2-5-1BA BCDE2-5-22-4-8C 2-4-9B2-5-3DB六、 综合题（第18题）1. （徐汇）如图2-6-1，在△ABC 中，90ABC ∠=︒，6AB =，8BC =，点M 、N 分别在边AB 、BC上，沿直线MN 将△ABC 折叠，点B 落在点P 处，如果AP ∥BC 且4AP =，那BN = ；2. （六区）把一个三角形绕其中一个顶点逆时针旋转并放大或缩小（这个顶点不变），我们把这样的三角形运动称为三角形的T-变换，这个顶点称为T-变换中心，旋转角称为T-变换角，三角形与原三角形的对应边之比称为T-变换比；已知△ABC 在直角坐标平面内，点(0,1)A -，(3,2)B -，(0,2)C ，将△ABC 进行T-变换，T-变换中心为点A ，T-变换角为60°，T-变换比为23，那么经过T-变换后点C 所对应的点的坐标为 ；3. （崇明）如图2-6-2，将边长为6cm 的正方形ABCD 折叠，使点D 落在AB 边的中点E 处，折痕为FH ， 点C 落在Q 处，EQ 与BC 交于点G ，那么EBG ∆的周长是 cm4. （宝山）如图2-6-3直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，2CD =，AB BC =，1AD =，动点M 、N 分 别在AB 边和BC 的延长线运动，而且AM CN =，联结AC 交MN 于E ，MH ⊥AC 于H ，则EH = ；5. （长宁）如图2-6-4，正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转，得到正方形'''AB C D .当两个正方形重叠部分 的面积是原正方形面积的14时，1sin '2B AD ∠ _________. 6. （嘉定）在△ABC 中，9=AB ，5=AC ，AD 是BAC ∠的平分线交BC 于点D （如图2-6-5）， △ABD 沿直线AD 翻折后，点B 落到点1B 处，如果BAC DC B ∠=∠211，那么=BD ． 7. （奉贤）已知在△ABC 中，∠C=90o ，AC=3，BC=4．在平面内将△ABC 绕B 点旋转，点A 落到A ’，2-6-1PBA CMN2-6-2ABCDFG H QE2-6-3EDBC MH2-6-4D 'C 'B 'DCBAABCD2-6-5C2-6-6ABFE点C 落到C ’，若旋转后点C 的对应点C ’和点A 、点B 正好在同一直线上，那么∠A ’AC ’的正切值 等于 ；8. （虹口）如图2-6-6，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，联结DE ，F 为线段DE 上一点，且∠AFE ＝∠B ．若AB ＝5，AD ＝8，AE ＝4，则AF 的长为 ．9. （金山）如图2-6-7，在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ,4=AC ，3=BC .将ABC ∆绕着点C 旋转︒90， 点A 、B 的对应点分别是D 、E ，那么ADE ∠tan 的值为10. （闸北）如图2-6-8，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，点D 在边AB 上，线段D C 绕点D 逆时针旋转， 端点C 恰巧落在边AC 上的点E 处．如果m DB AD =，n ECAE=．那么m 与n 满足的关系式是： m ＝ （用含n 的代数式表示m ）．11.（普陀）如图2-6-9，已知△ABC 中，AB AC =，tan 2B =，AD ⊥BC 于点D ，G 是△ABC 的 重心，将△ABC 绕着重心G 旋转，得到△111A B C ，并且点1B 在直线AD 上，联结1CC ，那么11tan CC B 的值等于 ；七、圆与正多边形1. （崇明）已知正六边形的半径为2cm ，那么这个正六边形的边心距为 cm ；2. （崇明）半径分别为8cm 与6cm 的1O 与2O 相交于A 、B 两点，圆心距O 1O 2的长为10cm ， 那么公共弦AB 的长为 cm ；3. （宝山）已知两圆半径分别为3和7，圆心距为d ，若两圆相离，则d 的取值范围是 ；4. （宝山）如图2-7-1，圆O 的直径AB 垂直弦CD 于M ，且M 是半径OB 的中点，6CD =径AB 的长为 ；2-7-1MOB CD N MO C BA2-7-22-7-3OAB2-6-7B C ABD E C2-6-82-7-42-6-95. （长宁）已知⊙P 在直角坐标平面内，它的半径是5，圆心P （-3,4），则坐标原点O 与⊙P 的位置位置 关系是_________.6. （长宁）如果圆心O 到直线l 的距离等于⊙O 的半径，那么直线l 和⊙O 的公共点有________个.7. （嘉定）正九边形的中心角等于 度；8. （嘉定）如图2-7-2，AB 、AC 都是圆O 的弦，AB OM ⊥，AC ON ⊥，垂足分别为点M 、N ， 如果6=BC ，那么=MN ．9. （奉贤）正n 边形的边长与半径的夹角为75°,那么n= ；10.（奉贤）已知圆A 与圆B 内切，AB =10，圆A 半径为4，那么圆B 的半径为 ； 11.（金山）已知⊙O 的半径为5，点A 在⊙O 外，那么线段OA 的的取值范围是 12.（金山）如图2-7-3，已知直线AB 与⊙O 相交于A 、B 两点， 30=∠OAB ，半径2=OA ， 那么弦AB =_________13.（金山）已知⊙A 与⊙B 的半径分别为3和2，若两圆相交，那么这两圆的圆心距AB 的取值 范围是14.（普陀）正八边形的中心角为 ；15.（普陀）如图2-7-4，已知圆O 的半径为5，圆O 的一条弦AB 长为8，那么以3为半径的同心圆与 弦AB 位置关系是 ；第三部分 基础解答题一、 二次函数1. （徐汇）已知二次函数2y ax bx c =++（a 、b 、c 为常数，且0a ≠）经过A 、B 、C 、D 四个点， 其中横坐标x 与纵坐标y 的对应值如下表： （1）求二次函数解析式； （2）求△ABD 的面积；2. （六区）已知在直角坐标平面内，抛物线26y x bx =++经过x 轴上两点,A B ，点B 的坐标为(3,0)， 与y 轴相交于点C ； （1）求抛物线的表达式；（2）求△ABC 的面积；3. （宝山）已知一个二次函数的图像经过点(1,0)A 和点(0,6)B ，(4,6)C ，求这个抛物线的表达式 以及该抛物线的顶点坐标；4. （嘉定）已知二次函数)0(22≠+-=m n x mx y 的图像经过点)1,2(-和)2,1(-，求这个二次函数的 解析式，并求出它的图像的顶点坐标和对称轴．5. （虹口）（1）求该二次函数的解析式；（2）用配方法求出该二次函数图像的顶点坐标和对称轴．6. （金山）抛物线2(0)y ax bx c a =++≠向右平移2个单位得到抛物线1)3(2--=x a y ，且平移后的抛物线经过点)12(，A ． （1）求平移后抛物线的解析式；（2）设原抛物线与y 轴的交点为B ，顶点为P ， 平移后抛物线的对称轴与x 轴交于点M ， 求BPM ∆的面积．xyO7. （闸北）已知二次函数c bx x y ++-=22的图像经过点A （0，4）和B （1，－2）．（1）求此函数的解析式；并运用配方法，将此抛物线解析式化为y ＝a （x ＋m ）2＋k 的形式； （2）写出该抛物线顶点C 的坐标，并求出△CAO 的面积．8. （普陀）如图，已知二次函数的图像与x 轴交于点(1,0)A 和点B ，与y 轴交于点(0,6)C ，对称轴为 直线2x =，求二次函数解析式并写出图像最低点坐标二、 比例线段1. （徐汇）MN 经过△ABC 的顶点A ，MN ∥BC ，AM AN =，MC 交AB 于D ，NB 交AC 于E ； （1）求证：DE ∥BC ；（2）联结DE ，如果1DE =，3BC =，求MN 的长；三、 相似三角形1. （徐汇）已知菱形ABCD 中，8AB =，点G 是对角线BD 上一点，CG 交BA 的延长线于点F ；（1）求证：2AG GE GF =⋅； （2）如果12DG GB =，且AG BF ⊥，求cos F ；2. （六区）已知如图，D 是△ABC 的边AB 上一点，DE ∥BC ，交边AC 于点E ，延长DE 至点F ， 使EF DE =，联结BF ，交边AC 于点G ，联结CF （1）求证：AE EGAC CG=； （2）如果2CF FG FB =⋅，求证：CG CE BC DE ⋅=⋅3. （崇明）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD AB =，2ABC C ∠=∠，E 与F 分别为边AD 与DC 上的两点，且有EBF C ∠=∠．（1）求证：::BE BF BD BC =；（2）当F 为DC 中点时，求:AE ED 的比值．4. （宝山）如图，D 为等边△ABC 边BC 上一点，DE ⊥AB 于E ，若:2:1BD CD =，DE =23AE ；DABCEF5. （宝山）如图，正方形ABCD 中，（1）E 为边BC 的中点，AE 的垂直平分线分别交AB 、AE 、CD 于G 、F 、H ，求GFFH； （2）E 的位置改动为边BC 上一点，且BE k EC =，其他条件不变，求GFFH的值；6. （长宁）如图，在△ABC 中，AD 是BC 上的高，点G 在AD 上，过点G 作BC 的平行线分别与AB 、 AC 交于P 、Q 两点，过点P 作PE ⊥BC 于点E ，过点Q 作QF ⊥BC 于点F . 设AD =80，BC =120，当四 边形PEFQ 为正方形时，试求正方形的边长.7. （嘉定）已知：如图，在△ABC 中，点D 在边BC 上，且DAG BAC ∠=∠，BAD CDG ∠=∠． （1）求证：ACAGAB AD =； （2）当BC GC ⊥时，求证：︒=∠90BAC ．8. （奉贤）如图，在四边形ABCD 中，∠B =∠ACD ，过D 作AC ∥DE 交BC 的延长线于点E ，且2CD AC DE =⋅FEDG C A E D BF1 2 G C A E FB（1）求证：∠DAC =∠DCE ；（2）若DE AC AD AB AD ⋅+⋅=2,求证：∠ACD =90o ．9. （虹口）如图，在△ABC 中，点D 在边AC 上，AE 分别交线段BD 、边BC 于点F 、G ，∠1=∠2， ．求证：．10.（虹口）如图，在Rt △CAB 与Rt △CEF 中，∠ACB=∠FCE=90°，∠CAB=∠CFE ，AC 与EF 相交于 点G ，BC =15，AC=20．（1）求证：∠CEF =∠CAF ； （2）若AE =7，求AF 的长．11.（金山）如图，ABC ∆中，PC 平分ACB ∠，PC PB = (1)求证：APC ∆∽ACB ∆；(2)若2=AP ，6=PC ，求AC 的长．ADE CBABCP12.（闸北）如图，已知等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝1，BC ＝3， AB ＝CD ＝2，点E 在BC 边上， AE 与BD 交于点F ，∠BAE ＝∠DBC ， （1）求证：△ABE ∽△BCD ；（2）求tan ∠DBC 的值； （3）求线段BF 的长．13.（普陀）如图，已知在△ABC 中，90ACB ︒∠=，点D 在边BC 上，CE AB ⊥，CF AD ⊥，E 、F 分别是垂足（1）求证：2AC AF AD =⋅（2）联结EF ，求证：AE DB AD EF ⋅=⋅四、 直角三角形锐角比1. （徐汇）如图，在电线杆上的C 处引拉线CE 、CF 固定电线杆，拉线CE 和地面成60°角，在离电线 杆6米处安置测角仪AB ，在A 处测得电线杆上C 处的仰角为23°，已知测角仪AB 的高为1.5米， 求拉线CE 的长； 【已知5sin 2313︒≈，12cos 2313︒≈，5tan 2312︒≈，结果保留根号】2. （六区）如图，某幢大楼的外墙边上竖直安装着一根旗杆CD ，小明在离旗杆下方大楼底部E 点24米 的点A 处放置一台测角仪，测角仪的高度AB 为1.5米，并在点B 处测得旗杆下端C 的仰角为40°， 上端D 的仰角为45°，求旗杆CD 的长度；（结果精确到0.1米，参考数据：sin 400.64︒≈，cos400.77︒≈，tan 400.84︒≈）图8A BCDF3. （崇明）计算：2014cos301(cot 45)sin 60︒-+-︒+︒4. （六区）用含30°、45°、60°这三个特殊角的四个三角比及其组合可以表示某些实数，如：12可表示为1sin 30cos60tan 45sin 302=︒=︒=︒⋅︒=…；仿照上述材料，完成下列问题： （1）用含30°、45°、60°这三个特殊角的三角比或其组合表示32，即填空：32= = = =…； （2）用含30°、45°、60°这三个特殊角的三角比，结合加、减、乘、除四种运算，设计一个等式，要求：等式中须含有这三个特殊角的三角比，上述四种运算都至少出现一次，且这个等式的结果等于1，即填空：1=5. （崇明）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，点D 是BC 边上的一点，6CD =，3cos 5ADC ∠=，2tan 3B =．（1）求AC 和AB 的长； （2）求sin BAD ∠的值．6. （崇明）如图，轮船从港口A 出发，沿着南偏西15︒的方向航行了100海里到达B 处，再从B 处沿着北 偏东75︒的方向航行200海里到达了C 处． （1）求证：AC AB ⊥；（2）轮船沿着BC 方向继续航行去往港口D 处，已知港口D 位于港口A 的正东方向，求轮 船还需航行多少海里．DA BC北AB C东。
上海市杨浦区2015届高三二模考试数学试卷理科
上海市杨浦区2015届高考数学二模试卷（理科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1．函数f（x）=的定义域是__________．2．若集合A=，则A∩B的元素个数为__________．3．若，则x的值是__________．4．（2x﹣）6展开式中常数项为__________（用数字作答）．5．某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9.7，9.9，10.1，10.2，10.1，则这组数据的方差为__________．6．对数不等式（1+log3x）（a﹣log3x）＞0的解集是，则实数a的值为__________．7．极坐标方程所表示的曲线围成的图形面积为__________．8．如图，根据该程序框图，若输出的y为2，则输入的x的值为__________．9．（1999•广东）若正数a，b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是__________．10．已知是不平行的向量，设，则与共线的充要条件是实数k等于__________．11．已知方程x2﹣px+1=0（p∈R）的两根为x1、x2，若|x1﹣x2|=1，则实数p的值为__________．12．已知从上海飞往拉萨的航班每天有5班，现有甲、乙、丙三人选在同一天从上海出发去拉萨，则他们之中正好有两个人选择同一航班的概率为__________．13．已知n∈N*，在坐标平面中有斜率为n的直线l n与圆x2+y2=n2相切，且l n交y轴的正半轴于点P n，交x轴于点Q n，则的值为__________．14．对于自然数N*的每一个非空子集，我们定义“交替和”如下：把子集中的元素从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如{1，2，4，6，9}的交替和是9﹣6+4﹣2+1=6；则集合{1，2，3，4，5，6，7}的所有非空子集的交替和的总和为__________．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15．“a≤﹣2”是“函数f（x）=x2+ax+1（x∈R）只有一个零点”的( )A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件16．在复平面中，满足等式|z+1|﹣|z﹣1|=2的z所对应点的轨迹是( )A．双曲线B．双曲线的一支C．一条射线D．两条射线17．设反比例函数f（x）=与二次函数g（x）=ax2+bx的图象有且仅有两个不同的公共点A （x1，y1），B（x2，y2），且x1＜x2，则=( )A．2或B．﹣2或C．2或D．﹣2或18．如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从A出发在圆上按逆时针方向转一周，点P 所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数d=f（l）的图象大致为( )A．B．C．D．三.解答题（本大题满分74）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．如图，一条东西走向的大江，其河岸A处有人要渡江到对岸B处，江面上有一座大桥AC，已知B在A的西南方向，C在A的南偏西15°，BC=10公里．现有两种渡江方案：方案一：开车从大桥AC渡江到C处，然后再到B处；方案二：直接坐船从A处渡江到对岸B处．若车速为每小时60公里，船速为每小时45公里（不考虑水流速度），为了尽快到达B处，应选择哪个方案？说明理由．20．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD 上的动点．（I）试确定点F的位置，使得D1E⊥平面AB1F；（II）当D1E⊥平面AB1F时，求二面角C1﹣EF﹣A的大小（结果用反三角函数值表示）．21．已知函数f（x）=是奇函数．（1）求t的值；（2）求f（x）的反函数f﹣1（x）；（3）对于任意的m＞0，解不等式：f﹣1（x）＞log3．22．数列{a n}满足a1=1，a2=r（r＞0），令b n=a n•a n+1，{b n}是公比为q（q≠0，q≠﹣1）的等比数列，设c n=a2n﹣1+a2n．（1）求证：c n=（1+r）•q n﹣1；（2）设{c n}的前n项和为S n，求的值；（3）设{c n}前n项积为T n，当q=﹣时，T n的最大值在n=8和n=9的时候取到，求n为何值时，T n取到最小值．23．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F，线段PQ为抛物线C的一条弦．（1）若弦PQ过焦点F，求证：为定值；（2）求证：x轴的正半轴上存在定点M，对过点M的任意弦PQ，都有为定值；（3）对于（2）中的点M及弦PQ，设，点N在x轴的负半轴上，且满足，求N点坐标．上海市杨浦区2015届高考数学二模试卷（理科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1．函数f（x）=的定义域是﹣2＜x≤1．考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：只需被开方数为非负数、分母不为零同时成立即可．解答：解：根据题意，只需，即，解得﹣2＜x≤1，故答案为：﹣2＜x≤1．点评：本题考查函数的定义域，属于基础题．2．若集合A=，则A∩B的元素个数为3．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：集合A表示长轴为，短轴为1的椭圆内部的点集，B表示整数集，画出相应的图形，如图所示，找出A∩B的元素个数即可．解答：解：如图所示，由图形得：A∩B={（0，0），（﹣1，0），（1，0）}，共3个元素．故答案为：3．点评：此题考查了交集及其运算，利用了数形结合的思想，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．若，则x的值是log23．考点：二阶矩阵；有理数指数幂的化简求值．专题：矩阵和变换．分析：根据矩阵的定义直接计算即可．解答：解：∵，∴4x﹣2×2x=3，化简得（2x）2﹣2×2x﹣3=0，解得2x=3或﹣1（舍），从而，解得x=log23，故答案为：log23．点评：本题考查矩阵的计算，解对数方程，弄清矩阵的涵义是解题的关键，属于基础题．4．（2x﹣）6展开式中常数项为60（用数字作答）．考点：二项式定理．分析：用二项展开式的通项公式得展开式的第r+1项，令x的指数为0得展开式的常数项．解答：解：（2x﹣）6展开式的通项为=令得r=4故展开式中的常数项．故答案为60点评：二项展开式的通项公式是解决二项展开式中特殊项问题的工具．5．某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9.7，9.9，10.1，10.2，10.1，则这组数据的方差为0.032．考点：极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：先计算数据的平均数后，再根据方差的公式计算．解答：解：数据9.7，9.9，10.1，10.2，10.1的平均数==10，方差=（0.09+0.01+0.01+0.04+0.01）=0.032．故答案为：0.032．点评：本题考查方差的定义．一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为，则方差S2=，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．6．对数不等式（1+log3x）（a﹣log3x）＞0的解集是，则实数a的值为2．考点：指、对数不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：先解出不等式，再结合已知解集，可得结果．解答：解：将对数不等式两边同时乘以﹣1，得（log3x+1）（log3x﹣a）＜0，即（log3x﹣）（log3x﹣）＜0，所以此不等式的解为：或，∵其解集为解集是，∴=2，故答案为：2．点评：本题考查对数不等式的解法，属于中档题．7．极坐标方程所表示的曲线围成的图形面积为．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：利用把极坐标方程化为直角坐标方程，利用圆的面积计算公式即可得出．解答：解：化为，∴，配方为+=．因此极坐标方程所表示的曲线为圆心为，半径r=的圆．其围成的图形面积S=πr2=．故答案为：．点评：本题考查了圆的极坐标方程化为直角坐标方程、圆的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．如图，根据该程序框图，若输出的y为2，则输入的x的值为4．考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，得其功能是求分段函数y=的值，由输出的y为2，分情况讨论即可得解．解答：解：模拟执行程序框图，可得其功能是求分段函数y=的值，若输出的y为2，则x＞0时，有=2，解得：x=4．当x≤0时，有2x=2，解得x=1（舍去）．故答案为：4．点评：本题考查了分支结构的程序框图，根据框图的流程分析得到程序的功能是解题的关键，属于基础题．9．（1999•广东）若正数a，b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是分析：根据所给的方程，当判别式不小于0时和小于0时，用求根公式表示出两个根的差，根据差的绝对值的值做出字母p的值．解答：解：当△=p2﹣4≥0，即p≥2或p≤﹣2，由求根公式得|x1﹣x2|==1，得p=±，当△=p2﹣4＜0，即﹣2＜p＜2，由求根公式得|x1﹣x2|==1，得p=±．综上所述，p=±或p=±．故答案为：±或±．点评：本题考查一元二次方程根与系数的关系，本题解题的关键是对于判别式与0的关系的讨论，方程有实根和没有实根时，两个根的表示形式不同，本题是一个易错题．12．已知从上海飞往拉萨的航班每天有5班，现有甲、乙、丙三人选在同一天从上海出发去拉萨，则他们之中正好有两个人选择同一航班的概率为．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：根据乘法原理得出甲、乙、丙三人选5班航班的总共事件为53，利用排列组合知识得出：他们之中正好有两个人选择同一航班”的有60个，再运用概率知识求解即可．解答：解：设“他们之中正好有两个人选择同一航班”的事件为B，根据题意得出甲、乙、丙三人选5班航班的总共事件为53，∵B事件的基本事件的个数为=60．∴P（B）==，故答案为：点评：本题考查了古典概率问题的事件的求解，关键是确定基本事件的个数，难度不大，属于容易题．13．已知n∈N*，在坐标平面中有斜率为n的直线l n与圆x2+y2=n2相切，且l n交y轴的正半轴于点P n，交x轴于点Q n，则的值为．考点：极限及其运算；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：设切线l n的方程为：y=nx+m，由于直线l n与圆x2+y2=n2相切，可得=n，取m=n．可得切线l n的方程为：y=nx+n，可得P n，Q n，可得|P n Q n|．再利用数列极限的运算法则即可得出．解答：解：设切线l n的方程为：y=nx+m，∵直线l n与圆x2+y2=n2相切，∴=n，取m=n．∴切线l n的方程为：y=nx+n，∴P n，Q n．∴|P n Q n|==1+n2．∴===．故答案为：．点评：本题考查了直线的方程、直线与圆的相切性质、点到直线的距离公式、两点之间的距离公式，数列极限的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．对于自然数N*的每一个非空子集，我们定义“交替和”如下：把子集中的元素从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如{1，2，4，6，9}的交替和是9﹣6+4﹣2+1=6；则集合{1，2，3，4，5，6，7}的所有非空子集的交替和的总和为448．考点：集合的表示法；进行简单的合情推理．专题：新定义；集合．分析：根据“交替和”的定义：求出S2、S3、S4，并根据其结果猜测集合N={1，2，3，…，n}的每一个非空子集的“交替和”的总和S n即可．解答：解：由题意，S2表示集合N={1，2}的所有非空子集的“交替和”的总和，又{1，2}的非空子集有{1}，{2}，{2，1}，∴S2=1+2+2﹣1=4；S3=1+2+3+（2﹣1）+（3﹣1）+（3﹣2）+（3﹣2+1）=12，S4=1+2+3+4+（2﹣1）+（3﹣1）+（4﹣1）+（3﹣2）+（4﹣2）+（4﹣3）+（3﹣2+1）+（4﹣2+1）+（4﹣3+1）+（4﹣3+2）+（4﹣3+2﹣1）=32，∴根据前4项猜测集合N={1，2，3，…，n}的每一个非空子集的“交替和”的总和S n=n•2n﹣1，所以S7=7×27﹣1=7×26=448，故答案为：448．点评：本题主要考查了数列的应用，同时考查了归纳推理的能力．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15．“a≤﹣2”是“函数f（x）=x2+ax+1（x∈R）只有一个零点”的( )A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：函数的性质及应用；简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义结合一元二次函数的性质进行判断即可．解答：解：若函数f（x）=x2+ax+1（x∈R）只有一个零点，则判别式△=a2﹣4=0，解得a=2或a=﹣2，则“a≤﹣2”是“函数f（x）=x2+ax+1（x∈R）只有一个零点”的既非充分又非必要条件，故选：D．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用一元二次函数的性质是解决本题的关键．16．在复平面中，满足等式|z+1|﹣|z﹣1|=2的z所对应点的轨迹是( )A．双曲线B．双曲线的一支C．一条射线D．两条射线考点：轨迹方程．专题：计算题；数系的扩充和复数．分析：利用复数的几何意义，即可判断出等式|z+1|﹣|z﹣1|=2的z所对应点的轨迹．解答：解：复数z满足|z+1|﹣|z﹣1|=2，则z对应的点在复平面内表示的是到两个定点F1（﹣1，0），F2（1，0）的距离之差为常数2，所以z对应的点在复平面内表示的图形为以F2（1，0）为起点，方向向右的一条射线．故选：C．点评：熟练掌握复数的几何意义是解题的关键．17．设反比例函数f（x）=与二次函数g（x）=ax2+bx的图象有且仅有两个不同的公共点A （x1，y1），B（x2，y2），且x1＜x2，则=( )A．2或B．﹣2或C．2或D．﹣2或考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据已知条件可以画出f（x），g（x）的图象，由图象可得到方程，即方程ax3+bx2﹣1=0有两个二重根，和一个一重根，所以可设二重根为c，另一根为d．所以上面方程又可表示成：a（x﹣c）2（x﹣d）=ax3﹣（ad+2ac）x2+（2acd+ac2）x﹣ac2d=0，所以便得到2acd+ac2=0，所以c=﹣2d．所以再根据图象可得．解答：解：根据题意可画出f（x），g（x）可能的图象：A，B两点的横坐标便是方程即ax3+bx2﹣1=0的解；由上面图象知道A，B两点中有一个点是f（x），g（x）图象的切点，反应在方程上是方程的二重根；所以可设二重根为c，另一根为d，则上面方程可变成：a（x﹣c）2（x﹣d）=0；将方程展开：ax3﹣（ad+2ac）x2+（2acd+ac2）x﹣ac2d=0；∴2acd+ac2=0；由图象知a，c≠0；∴由上面式子得：c=﹣2d；；∴；∴由图象知x1=c，x2=d，或x1=d，x2=c；∴．故选：B．点评：考查曲线的公共点和两曲线方程形成方程组的解的关系，以及方程二重根的概念，知道了方程的根会把方程表示成因式乘积的形式，两多项式相等时对应系数相等．18．如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从A出发在圆上按逆时针方向转一周，点P 所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数d=f（l）的图象大致为( )A．B．C．D．考点：正弦函数的图象．专题：压轴题；数形结合．分析：根据题意和图形取AP的中点为D，设∠DOA=θ，在直角三角形求出d的表达式，根据弧长公式求出l的表达式，再用l表示d，根据解析式选出答案．解答：解：如图：取AP的中点为D，设∠DOA=θ，则d=2|OA|sinθ=2sinθ，l=2θ|OA|=2θ，∴d=2sin，根据正弦函数的图象知，C中的图象符合解析式．故选：C．点评：本题考查了正弦函数的图象，需要根据题意和弧长公式，表示出弦长d和弧长l的解析式，考查了分析问题和解决问题以及读图能力．三.解答题（本大题满分74）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．如图，一条东西走向的大江，其河岸A处有人要渡江到对岸B处，江面上有一座大桥AC，已知B在A的西南方向，C在A的南偏西15°，BC=10公里．现有两种渡江方案：方案一：开车从大桥AC渡江到C处，然后再到B处；方案二：直接坐船从A处渡江到对岸B处．若车速为每小时60公里，船速为每小时45公里（不考虑水流速度），为了尽快到达B处，应选择哪个方案？说明理由．考点：向量的三角形法则．专题：计算题．分析：分别计算两种方案的时间即可．解答：解：如图，过A作AD垂直BC交于D，根据题意知∠CAD=15°，∠BAD=45°，设CD为x公里，则有AD=，由于tan15°=tan（45°﹣30°）====，故AD===（2）x，∵BC=10公里，∠BAD=45°，∴BD=AD，即（2）x=x+10，解得x=CD=，从而AD=（2）×（）=5+，AC===10≈14.14，AB==（5+）=≈19.32，下面分别计算两种方案所要花费的时间：方案一：≈≈0.4023（时）；方案二：≈0.4293（时）；显然选择方案一．点评：本题考查速度、路程、时间之间的关系，属于基础题．20．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD 上的动点．（I）试确定点F的位置，使得D1E⊥平面AB1F；（II）当D1E⊥平面AB1F时，求二面角C1﹣EF﹣A的大小（结果用反三角函数值表示）．考点：直线与平面垂直的性质；反三角函数的运用；与二面角有关的立体几何综合题．专题：证明题；综合题；压轴题；探究型；向量法．分析：（I）法一：几何法：要D1E⊥平面AB1F，先确定D1E⊥平面AB1F内的两条相交直线，由三垂线定理易证D1E⊥AB1，同理证明D1E⊥AF即可．法二：代数法：建立空间直接坐标系，运用空间向量的数量积等于0，来证垂直．（II）法一：求二面角C1﹣EF﹣A的大小，转化为求C1﹣EF﹣C的大小，利用三垂线定理方法：E、F都是所在线的中点，过C连接AC，设AC与EF交于点H，则CH⊥EF，连接C1H，则CH是C1H在底面ABCD 内的射影．∠C1HC是二面角C1﹣EF﹣C的平面角．求解即可．法二：找出两个平面的法向量，运用空间向量数量积公式求出二面角的余弦值，再求其角．解答：解法一：（I）连接A1B，则A1B是D1E在面ABB1A；内的射影∵AB1⊥A1B，∴D1E⊥AB1，于是D1E⊥平面AB1F⇔D1E⊥AF．连接DE，则DE是D1E在底面ABCD内的射影．∴D1E⊥AF⇔DE⊥AF．∵ABCD是正方形，E是BC的中点．∴当且仅当F是CD的中点时，DE⊥AF，即当点F是CD的中点时，D1E⊥平面AB1F．（II）当D1E⊥平面AB1F时，由（I）知点F是CD的中点．又已知点E是BC的中点，连接EF，则EF∥BD．连接AC，设AC与EF交于点H，则CH⊥EF，连接C1H，则CH是C1H在底面ABCD内的射影．C1H⊥EF，即∠C1HC是二面角C1﹣EF﹣C的平面角．在Rt△C1CH中，∵C1C=1，CH=AC=，∴tan∠C1HC=．∴∠C1HC=arctan，从而∠AHC1=π﹣arctan2．故二面角C1﹣EF﹣A的大小为．解法二：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系（1）设DF=x，则A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，1，0），A1（0，0，1），B（1，0，1），D1（0，1，1），E，F（x，1，0）∴∴=1﹣1=0，即D1E⊥AB1于是D1E⊥平面AB1F⇔D1E∪AF⇔即x=．故当点F是CD的中点时，D1E⊥平面AB1F（2）当D1E⊥平面AB1F时，F是CD的中点，又E是BC的中点，连接EF，则EF∥BD．连接AC，设AC与EF交于点H，则AH⊥EF．连接C1H，则CH是C1H在底面ABCD内的射影．∴C1H⊥EF，即∠AHC1是二面角C1﹣EF﹣A的平面角．∵，∵．∴，=，即．故二面角C1﹣EF﹣A的大小为π﹣arccos．点评：本小题主要考查线面关系和正方体等基础知识，考查空间想象能力和推理运算能力．空间向量计算法容易出错．21．已知函数f（x）=是奇函数．（1）求t的值；（2）求f（x）的反函数f﹣1（x）；（3）对于任意的m＞0，解不等式：f﹣1（x）＞log3．考点：反函数；函数奇偶性的性质；其他不等式的解法．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由函数f（x）=是奇函数，可得f（0）=0，解得t，并验证是否满足条件即可．（2）由（1）可得：y=f（x）==1﹣，可得y∈（﹣1，1）．化为3x=（y≠1），把x与y互换可得，两边取对数即可得出反函数．（3）对于任意的m＞0，解不等式：f﹣1（x）＞log3．（x∈（﹣1，1））．化为＞，又x∈（﹣1，1））．化为m＞1﹣x，对m分类讨论即可得出．解答：解：（1）∵函数f（x）=是奇函数，∴f（0）==0，解得t=1，经过验证满足条件，∴t=1．（2）由（1）可得：y=f（x）==1﹣，可得y∈（﹣1，1）．解得3x=（y≠1），把x与y互换可得，∴y=，（x∈（﹣1，1））．∴f（x）的反函数f﹣1（x）=，（x∈（﹣1，1））．（3）对于任意的m＞0，解不等式：f﹣1（x）＞log3．（x∈（﹣1，1））．即＞log3．∴＞，又∵x∈（﹣1，1））．∴m＞1﹣x，当0＜m≤2时，解得1＞x＞1﹣m．当m＞2时，解得1＞x＞﹣1．∴不等式：f﹣1（x）＞log3的解集为：当0＜m≤2时，解集为（1﹣m，1）；当m＞2时，解集为（﹣1，1）．点评：本题考查了反函数的求法、指数函数与对数函数的单调性、不等式的解法，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22．数列{a n}满足a1=1，a2=r（r＞0），令b n=a n•a n+1，{b n}是公比为q（q≠0，q≠﹣1）的等比数列，设c n=a2n﹣1+a2n．（1）求证：c n=（1+r）•q n﹣1；（2）设{c n}的前n项和为S n，求的值；（3）设{c n}前n项积为T n，当q=﹣时，T n的最大值在n=8和n=9的时候取到，求n为何值时，T n取到最小值．考点：等比数列的前n项和；极限及其运算；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）根据题意得出=q（n≥2），判断出奇数项，偶数项分别成等比数列，运用等比数列的通项公式求解即可．（2）运用等比数列的求和公式得出q=1时，S n=（1+r）n，=0，q≠1时，S n=，=，分类讨论求解即可（3）利用条件得出（1+r）8（﹣）28=（1+r）9（﹣）36，r=28﹣1=255，T n=（256）n•（﹣2）=（﹣1）•2，再根据函数性质得出最小项，注意符号即可．解答：解：（1）b n=a n•a n+1，{b n}是公比为q（q≠0，q≠﹣1）的等比数列，因为数列{a n a n+1}是一个以q（q≠0，q≠﹣1））为公比的等比数列因此=q，所以=q（n≥2），即=q（n≥2），∴奇数项，偶数项分别成等比数列∵设c n=a2n﹣1+a2n．∴c n=1•q n﹣1+r•q n﹣1=（1+r）•q n﹣1∴bn=（1+r）•qn﹣1（2）q=1时，S n=（1+r）n，=0q≠1时，S n=，=若0＜q＜1或﹣1＜q＜0时，=若q＞1或q＜﹣1时，=0∴=（3）设{c n}前n项积为T n，当q=﹣时，T n=（1+r）n∵T n的最大值在n=8和n=9的时候取到，∴（1+r）8（﹣）28=（1+r）9（﹣）36，r=28﹣1=255，∴T n=（256）n•（﹣2）=（﹣1）•2，根据数列的函数性质得出n=7，n=10时，T n的最小值为﹣235．点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等比数列求通项公式，等比数列求和公式的应用，数列极限的求解，要注意等比数列求和公式应用时对公比q的讨论，根据函数的性质解析式确定最值．23．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F，线段PQ为抛物线C的一条弦．（1）若弦PQ过焦点F，求证：为定值；（2）求证：x轴的正半轴上存在定点M，对过点M的任意弦PQ，都有为定值；（3）对于（2）中的点M及弦PQ，设，点N在x轴的负半轴上，且满足，求N点坐标．考点：抛物线的简单性质．专题：平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设出直线PQ的方程，与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理求得x1x2的值，由抛物线的定义分别表示出|FP|，|FQ|，代入整理得到定值，最后验证斜率不存在时的情况；（2）设出直线PQ的方程，联立抛物线方程，运用韦达定理和两点的距离公式，化简整理，即可求得定点M和定值；（3）运用向量共线的坐标表示和向量垂直的条件，化简整理即可求得定点N．解答：（1）证明：抛物线的焦点为F（，0），设直线PQ的方程为y=k（x﹣）（k≠0），代入抛物线方程，消去y，得k2x2﹣p（k2+2）x+=0，由根与系数的关系，得x1x2=，x1+x2=p+，由抛物线的定义，知|FP|=x1+，|FQ|=x2+．+=+===为定值．当PQ⊥x轴时，|FA|=|FB|=p，上式仍成立；（2）证明：设M（m，0），当PQ⊥x轴时，令x=m，可得y2=2pm，|MP|=|MQ|=，有+为定值．当PQ斜率存在时，设PQ：x=ty+m，代入抛物线方程可得，y2﹣2pty﹣2pm=0，设P （，y1），Q （，y2）则y1+y2=2pt，y1y2=﹣2pm．即有|MP|2=（m ﹣）2+y12=+y12=（1+t2）y12，同理|MQ|2=（m ﹣）2+y22=（1+t2）y22．即有+=•，存在m=p即有定点M（p，0）时，上式为•=为定值；（3）解：，可得=，，可得（+λ）•（﹣λ）=0，即为NP2=λ2NQ2，由P （，y1），Q （，y2），M（p，0），设，则y1=﹣λy2，①p ﹣=λ（﹣p），②又设N（n，0）（n＜0），则（n ﹣）2+y12=λ2，即为﹣n=λ（﹣n），③将①平方可得，y12=λ2y22，④，将④代入②③，化简可得n=﹣p．则N（﹣p，0）．点评：本题主要考查了抛物线的简单性质，直线与抛物线的关系．同时考查向量垂直的条件和向量共线的坐标表示，注意运用韦达定理和抛物线的定义是解题的关键，具有一定的运算量，属于中档题．- 21 - / 21。
2015学年杨浦区初二数学第一学期期终试卷
2015学年杨浦区初二数学第一学期 期末质量抽查试卷一、填空题（本大题共14题，每题2分，满分28分） 1．计算：b ab 4⋅ =_________.2．最简二次根式x 2与5是同类二次根式，则x =__________. 3．方程x x x =-)2(的根是__________.4．在实数范围内因式分解：122--x x =_________________.5．某区2006年的初中毕业生人数为6000人，如果后两年以同一百分率x 减少，那么2008年初中毕业生人数为__________人（用含x 的代数式表示）. 6．函数x y -=2的定义域是__________.7．如果y 与z 成正比例，z 与x 成反比例，那么y 与x 成______（填“正”或“反”）比例.8．面积为2cm 2的三角形一边长y 与这边上的高x 之间的函数关系式为_____. 9．命题“若a ＞0，b ＞0，则ab ＞0”的逆命题是：__________________. 10．平面上到点O 的距离为2cm 的点的轨迹是_____________________. 11．在△9025ABC ACB ABC ∠=∠= 中，，，CD AB D ACD ∠⊥于，则＝ 12．Rt △ABC 中，∠C =900，AB =6，AC =3，则∠A =__________度. 13．如果三角形的三边长分别为2cm ，cm cm 7,3，那么这个三角形的面积是 cm 2．14．Rt △ABC 中，如果AB =12，BC =5，那么斜边上的中线长为__________. 二、选择题（本大题共4题，每题2分，满分8分）15. 下列二次根式中，是最简二次根式的是…………………………（ ）（A ）24； （B ）22b a +； （C ）b a 2； （D ）ab 4． 16．已知函数kx y =中y 随x 的增大而减小，那么它和函数xk y =在同一直角坐标系内的大致图象可能是……………………………………（ ） x（A ）x （B ）x（C ） x（D ）—初二数学2—17． 小李家距学校2千米，中午12点他从家出发到学校，途中路过文具店买了些学习用品，12点50分到校。
上海市杨浦区2015届高三第三次模拟考试数学理试题资料
2014学年度第二学期高三年级练习卷数学学科（理科） 2015.05.（满分150分，答题时间120分钟）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知集合{A x y =，集合{B y y =，则A B = .2．在复平面中，复数2(1)3i i ++（i 是虚数单位）对应的点在第_______象限.3．若函数()2x f x x =+的反函数是1()y f x -=，则11()3f -= .4．下面是一个算法的程序框图，当输入值x 为8时，则其输出的结果是 .5．若函数x y a =在[1,0]-上的最大值与最小值的和为3，则a = .6．在极坐标系中，O 是极点，设点(4,)3A π，5(5,)6B π-，则OAB △的面积是 .7．过点(1的直线l 将圆22(2)4x y -+=分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k = .8．将曲线cos ,sin x y =⎧⎨=⎩θθ（θ∈R ）上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标缩小到原来的12倍后，得到的曲线的焦点坐标为 .9．在数列{}n a 中，542n a n =-，212n a a a an bn +++=+（n ∈*N ），其中a 、b 为常数，则lim n nn nn a b a b →∞-+的值是 .10．在R 上定义运算“⊗”：(1)x y x y ⊗=-. 若不等式()()1x a x a -⊗+<对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 11．若存在正数x 使221x x mx<成立，则实数m 的取值范围是 ．12．关于平面向量a 、b 、c ，有下列三个命题：第4题图①若a b a c ⋅=⋅，则b c =；②若(1,)a k =，(2,6)b =-，//a b ，则3k =-； ③非零向量a 和b 满足||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为60︒； 其中真命题的序号为_________.（写出所有真命题的序号） 13．在平行四边形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，P 、Q 、M 、N 分别是线段OA 、OB 、OC 、OD 的中点，在A 、P 、M 、C 中任取一点记为E ，在B 、Q 、N 、D 中任取一点记为F ，设G 为满足向量OG OE OF =+的点，则在上述的点G 组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD 外（不含边界）的概率为 .14．已知二次函数2()2f x ax x a =++，对于满足12x x <且121x x a +=-的任意实数1x 与2x ，总有12()()f x f x <成立，则实数a 的取值范围为 .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15．等差数列{a n }中，若34a =-，424a a =+，则1a =………………………….（ ）.(A) 12-(B) 8- (C) 0 (D) 416．设p ：2200x x -->，q ：210||2x x -<-，则p 是q 的…………………………（ ）. (A) 充分但非必要条件 (B) 必要但非充分条件 (C) 充要条件(D) 既非充分也非必要条件17．已知两个不同的平面M 、N 与三条不同的直线a 、b 、c . 给出下列四个命题：①若c ⊥M 、c ⊥N ，则M ∥N ；②若c ∥M ，c ∥N ，则M ∥N ；③若a ⊥N ，b ⊥N ，则a ∥b ；④若M ⊥N ，b ⊥N ，则b ∥M . 那么上述命题正确的是 ……………………………………（ ）.(A) ①③(B) ①③④(C) ③④(D) ②④18．气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22（°C ）”. 现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）： ①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22； ②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8；则肯定进入夏季的地区有………………………………………………… ………（ ）.(A) 0个(B) 1个(C) 2个(D) 3个三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19．（本题满分12分）求函数2cos()cos()244y x x x ππ=+-+的值域和最小正周期.20．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ．如图，已知正三棱锥P -ABC 的侧棱长为2，侧棱与底面所成角大小为60°. （1）求此正三棱锥体积；（2）求异面直线PA 与BC 的距离.21．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ．已知二次函数()223f x mx x =--，若不等式()0f x <的解集为(1,)n -. （1）解关于x 的不等式：()22411x x n m x -+>+-；（2）是否存在实数()0,1,a ∈使得关于x 的函数()[]()141,2x x y f a a x +=-∈的最小值为4-? 若存在，求a 的值；若不存在，说明理由.22．（本题满分16分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6AB分.在复平面上，点(,)P x y 所对应的复数p x yi =+（i 为虚数单位），z a bi =+（a 、b ∈R ）是某给定复数，复数q p z =⋅所对应的点为(,)Q x y ''. 我们称点P 经过变换z 成为了点Q ，记作()Q z P =. （1）给出12z i =+，且()(8,1)z P Q =，求点P 的坐标；（2）给出34z i =+，若P 在椭圆22194x y +=上运动，()Q z P =，求||OQ 的取值范围；（3）已知P 在双曲线221x y -=上运动，试问是否存在z ，使得()Q z P =在双曲线1y x=上运动？若存在，请求出z ；若不存在，说明理由.23．（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知以a 为首项的数列{}n a 满足：13,3,2, 3.n n n n n a a a a a +->⎧=⎨≤⎩（1）若06n a <≤，求证：106n a +<≤；（2）若*,N a k ∈，求使n k n a a +=对任意正整数n 都成立的k 与a ； （3）若321ma =-（*N m ∈），试求数列{}n a 的前m 项的和m S .杨浦区2014学年度第二学期高三年级学业质量调研参考答案及评分标准2015.05一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．[0,2]；2．第一象限；3．1；4．2；5．12；6．5；7．2；8．(0)；9．1；10．13(,)22-；11．(1,)-+∞；12．②；13．34；14．(1,0)(0,2)-．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15．B ；16．A；17．A ；18．C三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（本题满分12分）解：2cos()cos()244y x x xππ=+-cos22x x=（4分）2sin(2)6xπ=+（3分）.所以，函数2cos()cos()244y x x xππ=+-的值域是[2,2]-，（3分）最小正周期是π（2分）.20．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．解：（1）取底面的中心G，联结AG，∵P-ABC是正三棱锥，∴P在底面的射影为G，∴∠P AG就是侧棱P A与底面所成角，∴∠P AG=30°，（2分）∵P A=2，∴AG=1，PG∴ABABCS=△，∴1334P ABC V -=. （4分）（2）过D 作DE ⊥P A 于E ，∵BC ⊥PD ，BC ⊥AD ，∴BC ⊥平面P AD ， ∵DE 在平面P AD 上，∴BC ⊥DE ，∴DE 是异面直线AB 与CD 的公垂线，（4分） 在△ABC 中，P A ·DE =PG ·AD，∴PG AD DE PA ⋅==∴异面直线P A 与BC（4分）21．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ．解：（1）由不等式2230mx x --≤的解集为(1,)n -知关于x 的方程2230mx x --=的两根为-1和n ，且m >0，21,1,33.1n m m n n m ⎧-+=⎪=⎧⎪∴⇒⎨⎨=⎩⎪-⨯=-⎪⎩（4分） 原不等式化为()()210x x -->，∴原不等式的解集为()(),12,-∞+∞；（2分）（2）设,x t a =由2(0,1),[1,2][,]x a x a a a ∈∈⇒∈. （2分）函数2(42)3y t a t =-+-对称轴21t a a =+>. （2分）2min (42)34y a a a =-+-=-（2分） 13a ⇒=或1a =-（舍去）.所以13a =即为所求. （2分）22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.解：（1）根据题意，有8(12)i i p +=+⋅， ∴8(8)(12)10152312(12)(12)5i i i ip i i i i ++--====-++-，∴点P 的坐标为(2,3)-. （4分） （2）∵P 在椭圆22194x y +=上运动，∴||||[2,3]p OP =∈，（3分） 又||5z =，∴||||||||||[10,15]OQ q p z p z ==⋅=⋅∈. （3分）（3）假设存在z a bi =+（a 、b ∈R ），使得得()Q z P =在双曲线1y x=上运动. 设(,)P x y ，∴(,)Q ax by bx ay -+，（2分） ∵Q 在双曲线1y x =上运动，∴1bx ay ax by+=-，（1分） ∴22221abx a xy b xy aby +--=，即P 在22221abx a xy b xy aby +--=曲线上运动.∴有2210ab a b =⎧⎨-=⎩，，解得11a b =⎧⎨=⎩，或11a b =-⎧⎨=-⎩，，所以存在复数z 满足题意，分别为1i +和1i --. （3分）23．（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.解：（1）当(0,3]n a ∈时，则12n n a a +=∈(0,6]， 当(3,6]n a ∈时，则13(0,3]n n a a +=-∈,故1(0,6]n a +∈，所以当06n a <≤时，总有106n a +<≤. （每种情况3分，总计6分） （2）①当1a =时，2342,4,1a a a ===，故满足题意的3,k t t =∈*N . 同理可得，当2a =或4时，满足题意的3,k t t =∈*N . 当3a =或6时，满足题意的2,k t t =∈*N .②当5a =时，2342,4,1a a a ===，故满足题意的k 不存在. ③当7a ≥时，由（1）知，满足题意的k 不存在.综上得：当1,2,4a =时，满足题意的3,k t t =∈*N ； 当3,6a =时，满足题意的2,k t t =∈*N .当7a ≥时，由（1）知，满足题意的k 不存在. （每种情况2分，共6分） （3）1m =时，3321a ==-，于是13m S S ==； 2m =时，23121a ==-，1211,22a a a ===于是2123m S S ==+=， 3m =时，3321a =-，21232323,23,2221a a a a a a a ⨯===<==- 于是3333(12)3123122112m a S S --===⨯=---，于是，猜测对任意m ，{}n a 是等比数列（其中n m ≤），3m S =恒成立. （2分） 要证等比数列，只需证明，当1k m <≤时，23k a ≤于是12k k a a +=. 以下证明：由m ∈N *，可得211m -≥，故3321ma =≤-,（2分） 当1k m <≤时，111111132323223212(21)2m m m k m m m m a -------⨯⨯⨯≤=<=-+- ∴12k k a a -=（1,2,k m =）（2分） ∴m S =12m a a a ++⋅+=（1+2+…+12)(21)3m m a a -=-=. （2分）。
2015年上海市杨浦区高考数学一模试卷(理科)及参考答案
2015年上海市杨浦区高考一模数学试卷（理科）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）若，则α＝．2．（4分）设A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|m+1≤x≤2m+4，m∈R}，A⊆B，则m的取值范围是．3．（4分）若在等差数列{a n}中，a3＝7，a7＝3，则通项公式a n＝．4．（4分）已知直线l经过点A（1，﹣2），B（﹣3，2），则直线l的方程是．5．（4分）函数f（x）＝x2﹣1（x＜0）的反函数f﹣1（x）＝．6．（4分）二项式的展开式（按x的降幂排列）中的第4项是．7．（4分）已知条件p：|x+1|≤2；条件q：x≤a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是．8．（4分）向量＝（2，3），＝（﹣1，2），若m+与﹣2平行，则m等于．9．（4分）一家5口春节回老家探亲，买到了如下图的一排5张车票：其中爷爷行动不便要坐靠近走廊的位置，小孙女喜欢热闹要坐在左侧三个连在一起的座位之一，则座位的安排方式一共有种．10．（4分）在底面直径为6的圆柱形容器中，放入一个半径为2的冰球，当冰球全部熔化后，容器中液面的高度为．（相同质量的冰与水的体积比为10：9）11．（4分）不等式log2（4x﹣3）＞x+1的解集是．12．（4分）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若，则角C＝．13．（4分）已知，集合A＝{z|z＝1+ω+ω2+…+ωn，n∈N*}，集合B ＝{x|x＝z1•z2，z1、z2∈A}（z1可以等于z2），则集合B的子集个数为．14．（4分）如图所示，已知函数y＝log24x图象上的两点A、B和函数y＝log2x上的点C，线段AC平行于y轴，三角形ABC为正三角形时，点B的坐标为（p，q），则p2×2q的值为．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）程序框图如图所示，若其输出结果是140，则判断框中填写的是（）A．i＜7B．i＜8C．i＞7D．i＞816．（5分）下列命题中正确的是（）A．若x∈C，则方程x3＝2只有一个根B．若z1∈C，z2∈C且z1﹣z2＞0，则z1＞z2C．若z∈R，则不成立D．若z∈C，且z2＜0，那么z一定是纯虚数17．（5分）圆心在抛物线y2＝2x上，且与x轴和抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（）A．x2+y2﹣x﹣2y+1＝0B．C．x2+y2+x﹣2y+1＝0D．18．（5分）对数列{a n}，{b n}，若区间[a n，b n]满足下列条件：①[a n+1，b n+1]⊊[a n，b n]（n∈N*）；②，则称{[a n，b n]}为区间套．下列选项中，可以构成区间套的数列是（）A．B．C．D．三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1，异面直线AD 与BC1所成角的大小为60°，求：（1）线段A1B1到底面ABCD的距离；（2）三棱椎B1﹣ABC1的体积．20．（14分）如图，有一块扇形草地OMN，已知半径为R，∠MON＝，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用，其中点A、B在弧上，且线段AB平行于线段MN．（1）若点A为弧的一个三等分点，求矩形ABCD的面积S；（2）设∠AOB＝θ，求A在上何处时，矩形ABCD的面积S最大？最大值为多少？21．（14分）已知函数是奇函数，a，b，c为常数（1）求实数c的值；（2）若a，b∈Z，且f（1）＝2，f（2）＜3，求f（x）的解析式；（3）对于（2）中的f（x），若f（x）≥m﹣2x对x∈（0，+∞）恒成立，求实数m的取值范围．22．（16分）如图，曲线Γ由曲线C1：和曲线C2：组成，其中点F1，F2为曲线C1所在圆锥曲线的焦点，点F3，F4为曲线C2所在圆锥曲线的焦点，（1）若F2（2，0），F3（﹣6，0），求曲线Γ的方程；（2）如图，作直线l平行于曲线C2的渐近线，交曲线C1于点A、B，求证：弦AB的中点M必在曲线C2的另一条渐近线上；（3）对于（1）中的曲线Γ，若直线l1过点F4交曲线C1于点C、D，求△CDF1面积的最大值．23．（18分）数列{a n}各项均不为0，前n项和为S n，b n＝a n3，b n的前n项和为T n，且T n＝S n2（1）若数列{a n}共3项，求所有满足要求的数列；（2）求证：a n＝n（n∈N*）是满足已知条件的一个数列；（3）请构造出一个满足已知条件的无穷数列{a n}，并使得a2015＝﹣2014；若还能构造其他符合要求的数列，请一并写出（不超过四个）．2015年上海市杨浦区高考一模数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）若，则α＝或．【解答】解：∵sinα＝，且α∈（0，π），∴α＝或．故答案为：或2．（4分）设A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|m+1≤x≤2m+4，m∈R}，A⊆B，则m的取值范围是[，0]．【解答】解：∵A⊆B；∴；∴；∴m的取值范围是[，0]．故答案为：．3．（4分）若在等差数列{a n}中，a3＝7，a7＝3，则通项公式a n＝﹣n+10．【解答】解：设数列的公差为d∵a3＝7，a7＝3，∴a1+2d＝7，a1+6d＝3，∴a1＝9，d＝﹣1，∴a n＝﹣n+10．故答案为：﹣n+10．4．（4分）已知直线l经过点A（1，﹣2），B（﹣3，2），则直线l的方程是x+y+1＝0．【解答】解：∵A（1，﹣2），B（﹣3，2），∴过A，B两点的直线方程为，整理得：x+y+1＝0．故答案为：x+y+1＝0．5．（4分）函数f（x）＝x2﹣1（x＜0）的反函数f﹣1（x）＝﹣（x＞﹣1）．【解答】解：∵函数f（x）＝x2﹣1（x＜0），∴值域为（﹣1，+∞），y＝x2﹣1，∴反函数f﹣1（x）＝﹣（x＞﹣1），故答案为：﹣（x＞﹣1）6．（4分）二项式的展开式（按x的降幂排列）中的第4项是﹣84x3．【解答】解：二项式的展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣1）r•x9﹣2r，故按x的降幂排列中的第4项为﹣•x3＝﹣84x3，故答案为：﹣84x3．7．（4分）已知条件p：|x+1|≤2；条件q：x≤a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是[1，+∞）．【解答】解：由|x+1|≤2得﹣2≤x+1≤2，即﹣3≤x≤1，又|x+1|≤2是x≤a成立的充分不必要条件，即﹣3≤x≤1是x≤a成立的充分不必要条件，所以a≥1．故答案为[1，+∞）．8．（4分）向量＝（2，3），＝（﹣1，2），若m+与﹣2平行，则m等于．【解答】解：∵＝（2，3），＝（﹣1，2），∴m+＝m（2，3）+（﹣1，2）＝（2m﹣1，3m+2），﹣2＝（2，3）﹣2（﹣1，2）＝（4，﹣1）．又m+与﹣2平行，∴（2m﹣1）•（﹣1）﹣4（3m+2）＝0，解得：m＝﹣．故答案为：．9．（4分）一家5口春节回老家探亲，买到了如下图的一排5张车票：其中爷爷行动不便要坐靠近走廊的位置，小孙女喜欢热闹要坐在左侧三个连在一起的座位之一，则座位的安排方式一共有30种．【解答】解：第一类，当爷爷在6排D座时，再排小孙女，最后排其他人，共有＝18种，第二类，当爷爷在6排C座时，再排小孙女，最后再排其他人，共有＝12种，根据分类计数原理共有18+12＝30种，故答案为：3010．（4分）在底面直径为6的圆柱形容器中，放入一个半径为2的冰球，当冰球全部熔化后，容器中液面的高度为．（相同质量的冰与水的体积比为10：9）【解答】解：半径为2的冰球的体积为＝，水的体积为，设冰球全部熔化后，容器中液面的高度为h，则π×32h＝，∴h＝．故答案为：．11．（4分）不等式log2（4x﹣3）＞x+1的解集是（log23，+∞）．【解答】解：∵4x﹣3＞0，∴，∵log2（4x﹣3）＞x+1，∴2x+1＜4x﹣3，∴（2x）2﹣2•2x﹣3＞0，解得2x＞3，或2x＜﹣1（舍），∴x＞log23．故答案为：（log23，+∞）．12．（4分）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若，则角C＝．【解答】解：已知等式变形得：（a+b+c）（a+b﹣c）﹣3ab＝0，整理得：（a+b）2﹣c2﹣3ab＝0，即a2+b2﹣c2＝ab，∴cos C＝＝，∵C为三角形内角，∴C＝，故答案为：13．（4分）已知，集合A＝{z|z＝1+ω+ω2+…+ωn，n∈N*}，集合B ＝{x|x＝z1•z2，z1、z2∈A}（z1可以等于z2），则集合B的子集个数为16．【解答】解：∵，∴ω2＝，ω3＝1，1+ω+ω2＝0，∴当n＝1时，z＝1+ω＝+，当n＝2，z＝1+ω+ω2＝0，当n＝3时，z＝1+ω+ω2+ω3＝1，当n＝4时，z＝1+ω+ω2+ω3+ω4＝+，则A＝{+，0，1}，则B＝{x|x＝z1•z2，z1、z2∈A}＝{+，0，1，﹣+}，则集合B的子集个数为24＝16，故答案为：1614．（4分）如图所示，已知函数y＝log24x图象上的两点A、B和函数y＝log2x 上的点C，线段AC平行于y轴，三角形ABC为正三角形时，点B的坐标为（p，q），则p2×2q的值为12．【解答】解：根据题意，设A（x0，2+log2x0），B（p，q），C（x0，log2x0），∵线段AC∥y轴，△ABC是等边三角形，∴AC＝2，2+log2p＝q，∴p＝2q﹣2，∴4p＝2q；又x0﹣p＝，∴p＝x0﹣，∴x0＝p+；又2+log2x0﹣q＝1，∴log2x0＝q﹣1，x0＝2q﹣1＝；∴p+＝，2p+2＝2q＝4p，∴p＝，2q＝4；∴p2•2q＝3×4＝12．故答案为：12．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）程序框图如图所示，若其输出结果是140，则判断框中填写的是（）A．i＜7B．i＜8C．i＞7D．i＞8【解答】解：当S＝0，i＝1时，应满足继续循环的条件，执行完循环体后，S＝1，i＝2，当S＝1，i＝2时，应满足继续循环的条件，执行完循环体后，S＝5，i＝3，当S＝5，i＝3时，应满足继续循环的条件，执行完循环体后，S＝14，i＝4，当S＝14，i＝4时，应满足继续循环的条件，执行完循环体后，S＝30，i＝5，当S＝30，i＝5时，应满足继续循环的条件，执行完循环体后，S＝55，i＝6，当S＝55，i＝6时，应满足继续循环的条件，执行完循环体后，S＝91，i＝7，当S＝91，i＝7时，应满足继续循环的条件，执行完循环体后，S＝140，i＝8，当S＝140，i＝8时，应不满足继续循环的条件，故循环条件应为：i＜8，故选：B．16．（5分）下列命题中正确的是（）A．若x∈C，则方程x3＝2只有一个根B．若z1∈C，z2∈C且z1﹣z2＞0，则z1＞z2C．若z∈R，则不成立D．若z∈C，且z2＜0，那么z一定是纯虚数【解答】解：对于A，若x∈C，则方程x3＝2有三个根，故错误；对于B，若z1∈C，z2∈C，则z1，z2无法比较大小，故错误；对于C，若z∈R，则成立，故错误；对于D，若z∈C，且z2＜0，那么z一定是纯虚数，故正确；故选：D．17．（5分）圆心在抛物线y2＝2x上，且与x轴和抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（）A．x2+y2﹣x﹣2y+1＝0B．C．x2+y2+x﹣2y+1＝0D．【解答】解：圆心在抛物线y2＝2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程，以及抛物线的定义可知，所求圆的圆心的横坐标x＝，即圆心（，1），半径是1，所以圆的方程是x2+y2﹣x﹣2y+＝0．故选：D．18．（5分）对数列{a n}，{b n}，若区间[a n，b n]满足下列条件：①[a n+1，b n+1]⊊[a n，b n]（n∈N*）；②，则称{[a n，b n]}为区间套．下列选项中，可以构成区间套的数列是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，对于A，，∵，∴[a n+1，b n+1]⊊[a n，b n]（n∈N*）不成立，所以A 不正确；对于B，，∵，∴[a n+1，b n+1]⊊[a n，b n]（n∈N*）不成立，所以B不正确；对于C，，∵，∴[a n+1，b n+1]⊊[a n，b n]（n∈N*）成立，并且，所以C正确；对于D，，∵，∴[a n+1，b n+1]⊊[a n，b n]（n∈N*）不成立，所以D不正确；故选：C．三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1，异面直线AD 与BC1所成角的大小为60°，求：（1）线段A1B1到底面ABCD的距离；（2）三棱椎B1﹣ABC1的体积．【解答】解：（1）∵AD∥BC，∴∠CBC1为异面直线AD与BC1所成角，∴CBC1＝60°，…（2分）∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1B1∥面ABCD，BB1⊥面ABCD，∴线段BB1的长为线段A1B1到底面ABCD的距离，…（4分）∵RT△BCC 1中，BC＝1，∠CBC1＝60°，∴，线段A1，B1到底面ABCD的距离为．…（6分）（2）＝…（8分）＝＝…（10分）＝．…（12分）20．（14分）如图，有一块扇形草地OMN，已知半径为R，∠MON＝，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用，其中点A、B在弧上，且线段AB平行于线段MN．（1）若点A为弧的一个三等分点，求矩形ABCD的面积S；（2）设∠AOB＝θ，求A在上何处时，矩形ABCD的面积S最大？最大值为多少？【解答】解：（1）如图，作OH⊥AB于点H，交线段CD于点E，连接OA、OB，∴∠AOB＝，∴AB＝2R sin，OH＝R cos，OE＝DE＝AB＝R sin，∴EH＝OH﹣OE＝R（cos﹣sin），S＝AB•EH＝2R2（sin cos﹣sin2）＝，（2）设∠AOB＝θ（0＜θ＜），则AB＝2R sin，OH＝R cos，oe＝AB＝R cos，OE＝AB＝R sin，∴EH＝OH﹣OE＝R（cos﹣sin），S＝AB•EH＝R2（2sin cos﹣2sin2）＝R2（sinθ+cosθ﹣1）＝R2[sin（θ+）﹣1]，∵0＜θ＜，∴＜θ+＜，∴θ+＝即θ＝时，S max＝（﹣1）R2，此时A在弧MN的四等分点处．答：当A在弧MN的四等分点处时，S max＝（﹣1）R2．21．（14分）已知函数是奇函数，a，b，c为常数（1）求实数c的值；（2）若a，b∈Z，且f（1）＝2，f（2）＜3，求f（x）的解析式；（3）对于（2）中的f（x），若f（x）≥m﹣2x对x∈（0，+∞）恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）是奇函数，∴f（x）＝﹣f（﹣x）∴＝﹣化简得bx+c＝bx﹣c，解得c＝0，（2）又f（1）＝2，所以a+1＝2b①，因为f（2）＜3，所以＜3②，将①代入②并整理得＜0，解得0＜b＜，因为b∈z，所以b＝1，从而a＝1，∴f（x）＝x+（3）∵f（x）＝x+，∴x+≥m﹣2x，∴m≤3x+，对x∈（0，+∞）恒成立∵3x+≥2，当且仅当x＝时等号成立即x＝时，（3x+）min＝2，∴m≤222．（16分）如图，曲线Γ由曲线C1：和曲线C2：组成，其中点F1，F2为曲线C1所在圆锥曲线的焦点，点F3，F4为曲线C2所在圆锥曲线的焦点，（1）若F2（2，0），F3（﹣6，0），求曲线Γ的方程；（2）如图，作直线l平行于曲线C2的渐近线，交曲线C1于点A、B，求证：弦AB的中点M必在曲线C 2的另一条渐近线上；（3）对于（1）中的曲线Γ，若直线l1过点F4交曲线C1于点C、D，求△CDF1面积的最大值．【解答】（1）解：∵F2（2，0），F3（﹣6，0），∴，解得，则曲线Γ的方程为和．（2）证明：曲线C2的渐近线为，如图，设直线l：y＝，则，化为2x2﹣2mx+（m2﹣a2）＝0，△＝4m2﹣8（m2﹣a2）＞0，解得．又由数形结合知．设点A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），则x1+x2＝m，x1x2＝，∴＝，．∴，即点M在直线y＝﹣上．（3）由（1）知，曲线C1：，点F4（6，0）．设直线l1的方程为x＝ny+6（n＞0）．，化为（5+4n2）y2+48ny+64＝0，△＝（48n）2﹣4×64×（5+4n2）＞0，化为n2＞1．设C（x3，y3），D（x4，y4），∴，．∴|y3﹣y4|＝＝，＝＝＝，令t＝＞0，∴n2＝t2+1，∴＝＝＝，当且仅当t＝，即n＝时等号成立．∴n＝时，＝．23．（18分）数列{a n}各项均不为0，前n项和为S n，b n＝a n3，b n的前n项和为T n，且T n＝S n2（1）若数列{a n}共3项，求所有满足要求的数列；（2）求证：a n＝n（n∈N*）是满足已知条件的一个数列；（3）请构造出一个满足已知条件的无穷数列{a n}，并使得a2015＝﹣2014；若还能构造其他符合要求的数列，请一并写出（不超过四个）．【解答】（本题（18分），第一小题（4分），第二小题（6分），第三小题8分）解：（1）n＝1时，T1＝S12⇒a13＝a12⇒a1＝1（a1＝0舍去）…（1分）n＝2时，T2＝S22⇒a13+a23＝（a1+a2）2⇒1+a23＝（1+a2）2⇒a2＝2或a2＝﹣1（a2＝0舍去）…（2分）n＝3时，，当a2＝2时，⇒a3＝3或a3＝﹣2（a3＝0舍去）当a2＝﹣1时，…（3分）所以符合要求的数列有：1，2，3；1，2，﹣2；1，﹣1，1…（4分）（2）∵a n＝n，即证13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2，…（5分）用数学归纳法证：当n＝1时，13＝12，等式成立；假设当n＝k时，13+23+33+…+k3＝（1+2+3+…+k）2＝，…（7分）则当n＝k+1时，13+23+33+…+k3+（k+1）3＝（1+2+3+…+k）2+（k+1）3＝+（k+1）3＝（）2（k2+4k+4）＝＝，即当n＝k+1时，等式也成立；综上所述，对任意n∈N*，13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2；…（10分）（3）＝++…+①＝++…++②②﹣①得：2S n+a n+1＝，∴2S n＝﹣a n+1；③…（11分）∴当n≥2时，2S n＝﹣a n，④…（12分）﹣1③﹣④得：2a n＝﹣a n+1﹣+a n，整理得：（a n+1+a n）（a n+1﹣a n﹣1）＝0，∴a n+1＝﹣a n，或a n+1＝a n+1（n≥2）…（14分）（i）a n＝；（ii）a n＝；（iii）a n＝；（v）a n＝百度文库——让每个人平等地提升自我本文部分内容来自网络，本人不为其真实性负责，如有异议请及时联系，本人将予以删除。
杨浦区数学卷定稿(理)：2016.
杨浦区2015学年度第一学期期末高三年级3+1质量调研数学学科试卷（理科） 2016.1.考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上．2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1. 已知矩阵1012A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，2413B ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则=+B A _____________.2. 已知全集U=R ，集合102x A xx ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎭⎩，则集合UA =_____________.3. 已知函数()34log 2f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则方程()14f x -=的解x = _____________. 4. 某洗衣液广告需要用到一个直径为4用白布包裹，则至少需要白布_________平方米. 5. 无穷等比数列{}n a (*n N ∈)的前n 项的和是n S ， 且1lim 2n n S →∞=，则首项1a 的取值范围是_____________. 6. 已知虚数z 满足i 61z z 2+=-，则 =z __________. 7．执行如右图所示的流程图，则输出的S 的值为________.8．学校有两个食堂，现有3名学生前往就餐，则三个人 不在同一个食堂就餐的概率是_____________. 9. (1n-展开式的二项式系数之和为256，则展开式中x 的系数为______________.10. 若数12345,,,,a a a a a 的标准差为2，则数1234532,32,32,32,32a a a a a -----的 方差为____________.11. 如图，在矩形OABC 中，点E 、F 分别在线段AB 、BC 上，且满足AB=3AE ，BC=3CF ，若(,)OB OE OF R λμλμ=+∈,则=μ+λ____________.12. 已知()2243,023,0x x x f x x x x ⎧-+⎪=⎨--+>⎪⎩≤，当[]1a ,a x +∈时不等式()()2f x a f a x +-≥恒成立，则实数a 的最大值是____________.13. 抛物线C 的顶点为原点O ，焦点F 在x 轴正半轴，过焦点且倾斜角为4π的直线l 交抛物线于点,A B ，若AB 中点的横坐标为3，则抛物线C 的方程为_______________. 14.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当01x ≤≤时，()2f x x =，当0x >时，()()()11f x f x f +=+，若直线y kx =与函数()y f x =的图象恰有11个不同的公共点，则实数k 的取值范围为____________.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15. 下列四个命题中，为真命题的是 （ ）A. 若a b >，则22ac bc > B. 若a b >，c d >则a c b d ->-C. 若a b >，则22a b > D. 若a b >，则11a b< 16. 设,a b 是两个单位向量,其夹角为θ,则“36πθπ<<”是“1||<-”的 （ ） AB FSDCB AA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件17.对于两个平面,αβ和两条直线,m n , 下列命题中真命题是 ( )A.若m α⊥, m n ⊥, 则n α‖B.若m α‖, αβ⊥, 则m β⊥C. 若m α‖，n β‖，αβ⊥，则m n ⊥D. 若m α⊥，n β⊥，αβ⊥，则m n ⊥18. 下列函数中，既是偶函数，又在()π,0 上递增的函数的个数是 （ ）① x tan y = ② ()x cos y -= ③ ⎪⎭⎫ ⎝⎛π-=2x sin y ④2x cot y =A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题6分 ．如图，某人打算做一个正四棱锥形的金字塔模型，先用木料搭边框，再用其他材料填充。
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杨浦区2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学学科试卷（理科） 2015.1.考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上．2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．已知() , 0,1sin 2∈=απα，则α=________________. 2．设{}13A x x =≤≤，{}124,B x m x m m R =+≤≤+∈，A B ⊆，则m 的取值范围是________. 3．已知等差数列{}n a 中，377,3a a ==，则通项公式为n a =________________. 4．已知直线l 经过点()()1,2,3,2A B --，则直线l 的方程是___________________. 5. 函数()()012<-=x x x f 的反函数()=-x f1．6. 二项式91x x -⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式（按x 的降幂排列）中的第４项是_________________.7． 已知条件:12p x +≤；条件:q x a ≤，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是 ．8．向量()()2,3,1,2a b ==-，若ma b +与2a b -平行，则实数m =_________. 9．一家5口春节回老家探亲，买到了如下图的一排5张车票：窗口6排A 座6排B 座6排C 座走廊6排D 座 6排E 座窗口其中爷爷行动不便要坐靠近走廊的位置，小孙女喜欢热闹要坐在左侧三个连在一起的座位之一，则座位的安排方式一共有__________种。
10．在底面直径为6的圆柱形容器中，放入一个半径为2的冰球，当冰球全部溶化后，容器中液面的高度为_______________.（相同质量的冰与水的体积比为10：9）11．不等式()2log 431xx ->+的解集是_______________________.1,0i s ==开始1i i =+否 输出s结束 是第15题图2s s i =+12．设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边长分别为a ,b ,c ，若30a b c a ba b c++=+-，则角C =_________. 13．已知1322i ω=-+，集合{}2*1,n A z z n N ωωω==++++∈，集合1212{|,}B x x z z z z A ==⋅∈、（1z 可以等于2z )，则集合B 的子集个数为__________.14．如图所示，已知函数 2log 4y x =图像上的两 点 A 、 B 和函数 2log y x =上的点 C ，线段 AC 平行于 y 轴， 三角形 ABC 为正三角形时， 点 B 的坐标为 (),p q , 则22q p ⨯的值为________.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 15．程序框图如图所示，若其输出结果是140，则判断框中填写的是（ ） A ． 7i < B ．8i <C ． 7i >D ．8i > 16．下列命题中正确的是（ ） A ．若x C ∈，则方程32x =只有一个根 B ．若12,z C z C ∈∈且120z z ->，则12z z > C ．若z R ∈，则2z z z ⋅=不成立D ．若z C ∈，且20z <，那么z 一定是纯虚数17．圆心在抛物线x y 22=上，且与x 轴和抛物线的准线都相切的一个 圆的方程是（ ）A ．01222=+--+y x y xB ．041222=---+y x y x第14题图A1AC1CB1BD1DC ．01222=+-++y x y xD ． 041222=+--+y x y x 18．对数列{}{},n n a b ，若区间[],n n a b 满足下列条件：①[]11,n n a b ++≠⊂[]()*,n n a b n N ∈；②()lim 0n n n b a →∞-=，则称{},n n a b ⎡⎤⎣⎦为区间套。
下列选项中，可以构成区间套的数列是（ ）A12,23nnn n a b ==⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； B. 21,31nn n na b n ==+⎛⎫⎪⎝⎭C ．11,13nn n n a b n -==+⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．32,21n n n n a b n n ++==++ 三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分 ． 如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为1，异面直线AD 与1BC 所成角的大小为60︒，求：（1）线段1A 1B 到底面ABCD 的距离； （2）三棱椎11B ABC -的体积。
OABCD MN20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ． 如图，有一块扇形草地OMN ，已知半径为R ，2MON π∠=，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD 作为儿童乐园使用，其中点A 、B 在弧MN 上，且线段AB 平行于线段MN （1）若点A 为弧MN 的一个三等分点，求矩形ABCD 的面积S ； （2）当A 在何处时，矩形ABCD 的面积S 最大？最大值为多少？21．（本题满分14分）第一小题3分，第二小题5分，第三小题6分．已知函数()21ax f x bx c+=+是奇函数，,,a b c 为常数（1） 求实数c 的值；（2） 若,a b Z ∈，且()()12,23f f =<，求()f x 的解析式；（3） 对于（2）中的()f x ，若()2f x m x ≥-对()0,x ∈+∞恒成立，求实数m 的取值范围.xyOABF 2F 1F 3F 422．（本题满分16分）本题共有3个小题，第一小题3分，第二小题7分，第三小题6分 如图，曲线Γ由曲线()22122:10,0x y C a b y a b +=>>≤和曲线()22222:10x y C y a b -=>组成，其中点12,F F 为曲线1C 所在圆锥曲线的焦点，点34,F F 为曲线2C 所在圆锥曲线的焦点， （1）若()()232,0,6,0F F -，求曲线Γ的方程；（2）如图，作直线l 平行于曲线2C 的渐近线，交曲线1C 于点A 、B ，求证：弦AB 的中点 M 必在曲线2C 的另一条渐近线上；（3）对于（1）中的曲线Γ，若直线1l 过点4F 交曲线1C 于点C 、D ，求1CDF ∆面积的最 大值。
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.数列{}n a 各项均不为0，前n 项和为n S ，3n n b a =，n b 的前n 项和为n T ，且2n n T S =（1） 若数列{}n a 共3项，求所有满足要求的数列； （2） 求证：()*n a n n N =∈是满足已知条件的一个数列；（3） 请构造出一个满足已知条件的无穷数列{}n a ，并使得20152014a =-；若还能构造其他符合要求的数列，请一并写出（不超过四个）。
理科评分参考一、 填空题1.566ππ或2．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3．()*10n n N-∈4．10x y ++= 5. ()11x x -+>- 6．384x - 7．1a ≥8．12-9．3010．161511．()2log 3,+∞ 12．3π13．1614．123二、选择题 15．B 16．D 17．D 18．C三、解答题 19．（本题12分） 解：（1）//AD BC ，∴1CBC ∠为异面直线AD 与1BC 所成角，∴160CBC ∠=︒ …………2分正四棱柱1111ABCD A B C D -，111//A B ABCDBB ABCD ∴⊥面，面 1BB ∴线段的长为线段1A 1B 到底面ABCD 的距离， …………4分1RT BCC ∆中，1BC =，160CBC ∠=︒，113BB CC ∴==线段1A 1B 到底面ABCD 的距离为3 …………6分 （2）1111--=B ABC A BB C V V …………8分 1111332⎛⎫=⋅⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭ …………10分 36=…………12分 20．（本题14分，第一小题6分，第二小题8分）（1）解：如图，作OH AB ⊥于点H ，交线段CD 于点E ，连接OA 、OB ，6AOB π∴∠=， …………2分2sin,cos1212AB R OH R ππ∴==，1sin 212OE DE AB R π=== cos sin 1212EH OH OE R ππ⎛⎫∴=-=- ⎪⎝⎭…………4分222sincos sin 2sin cos 2sin 121212121212S AB EH R R R ππππππ⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2231sincos1662R R ππ-⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭ …………6分 HECDBNOMA（2）设02AOB πθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭…………7分 则2sin,cos22AB R OH R θθ∴==，1sin 22OE AB R θ== c o s s i n 22EH OH OE R θθ⎛⎫∴=-=- ⎪⎝⎭…………9分222sincos sin 2sin cos 2sin 222222S AB EH R R R θθθθθθ⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()22sin cos 12sin 14R R πθθθ⎡⎤⎛⎫=+-=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦…………11分0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3,444πππθ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭…………12分42ππθ∴+=即4πθ=时， …………13分()2m a x 21S R =-，此时A 在弧MN 的四等分点处答：当A 在弧MN 的四等分点处时，()2max 21S R =- …………14分21．（本题14分，第一小题3分，第二小题5分，第三小题6分）（1）()()f x f x -=-，2211ax ax bx c bx c++∴=--++ …………1分b xc b x c ∴-+=-- …………2分0c ∴= …………3分（2）()()12,23f f =<-， 124132a ba b+⎧=⎪⎪∴⎨+⎪<⎪⎩ …………4分124131241132a ba a a a b⎧⎪⎨⎪⎩∴+=+⇒<⇒-<<++< …………5分,01a Z a ∈∴=或 …………6分当0a =时，12b =（舍） …………7分 当1a =时，1b =，()21x f x x+∴= …………8分（3）()1f x x x=+1123x m x m x x x ∴+≥-⇒≤+对()0,x ∈+∞恒成立1323x x +≥，当且仅当33x =时等号成立 即33x =时，min 1323⎛⎫+= ⎪⎝⎭x x 23m ∴≤22．（本题16分，第一小题3分，第二小题7分，第三小题6分）（1）2222223620416a b a a b b ⎧⎧+==⎪⎪⇒⎨⎨-==⎪⎪⎩⎩…………2分 则曲线Γ的方程为()22102016x y y +=≤和()22102016x y y -=>。