§3.3 卷积和
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信号与系统3-3 序列的分解与卷积和
3-3-2 序列的卷积和
2．令x(n)= h(n)=anu(n)，a<1，故有x(k)= aku(k)和h(n-k)=an-ku(n-k)。因为
k<0时，u(k)=0，所以卷积和的下限可简化为k=0；又因为k>n时，u(n-k)=0， 所以卷积和的上限可简化为k=n。因此有：
n
y(n) ak anku(k)u(n k) ak ank
x(0) x(1) x(2) x(3)
y(2) y(1) y(0)
上、下行样本起始点对齐相乘 z(0) x(0) y(0) ；
y(2)
x(0) y(1)
x(1) y(0)
x(2)
x(3)
下行样本右移一位两行
对齐相乘求和
z(1) x(0) y(1) x(1) y(0) ；
x(0) x(1) x(2) x(3)
国家“十二五”规划教材——《信号与系统》
§3-3 序列的分Po解we与rTe卷Tmhe积mpeGlaa和ltleery
重点 序列的分解及卷积和性质 难点 卷积和的运算
内容安排
3-3-1 序列的分解 3-3-2 序列的卷积和
前言
本讲首先讨论将一个任意序列表示为移 位单位样值序列（或叫移位冲激序列）的加 权叠加，然后给出卷积和的概念。
式（3-3-1）又被称之为离散时间单位样值序列的筛选（或抽样）性质。
这是因为移位单位样值序列 (n k)仅当k=n时为非零，因此式（3-3-1）
等式右边的和式就对序列x(n)进行了筛除，仅仅保留对应于k=n时的序 列样本值x(k)。
3-3-1 序列的分解
x(n)
图3-3-1序列分解
…
…
第三章(3)卷积和的性质
f (k) f (k)
h1(k)
h2 (k)
y(k)
Q yf (k) = [ f (k) ∗ h1(k)] ∗ h2(k) = f (k) ∗[h1(k) ∗ h2(k)]
h2(k)
(b)级联 级联
h1(k)
y(k) ∴h(k) = h1(k) ∗ h2(k)
*两子系统级联组成的复合系统，其单位序列响应 两子系统级联组成的复合系统， 两子系统级联组成的复合系统 等于两子系统单位序列响应的卷积和。 等于两子系统单位序列响应的卷积和。
yh(k) = (0.5) ε (k)
k
yp (k) = 2ε (k)
解(2) f (k) = y(k) − 0.5y(k −1)
Qy(k) − 0.5y(k −1) = ε (k)
= (0.5) + 2 − 0.5 (0.5) = ε (k)
k
[
]
[
k−1
+2
]
∴y(0) − 0.5y(−1) = 1
+ ∑ +
y(k)
= f (k) ∗[h1(k) + h2(k)]
h(k ) = h1 (k ) + h2 (k )
*两子系统并联组成的复合系统，其单位序列响 两子系统并联组成的复合系统， 两子系统并联组成的复合系统 等于两子系统的单位序列响应之和。 应 等于两子系统的单位序列响应之和。
由卷积的结合律得： 由卷积的结合律得：
f1 (k ) ∗ [ f 2 (k ) + f 3 ( k )] = f1 (k ) ∗ f 2 (k ) + f1 (k ) ∗ f 3 (k )
由卷积的分配律得： 由卷积的分配律得：
卷积和相关 ppt课件
参与卷积的两个函数发生平移，卷积的结果也仅仅 发生平移，卷积结果的幅值和形式不变。
平移量等于两者的平移量之和。
ppt课件
12
8、函数 f (x, y) 与 d 函数的卷积
根据 1. d-函数是偶函数, 2. d-函数的筛选性质,
有:
f (x) d (x) f ( )d (x )d f (x)
ppt课件
16
六.卷积运算举例(难点)
例1：设有二函数，分别为:
f
x
xstep x, h x
rect
x 1 2
求: g x f xhx
图1-3-3 例1中的二函数图形
ppt课件
17
图1-3-4 例1 一维卷积过程
ppt课件
18
分段计算结果：
(1)x≤0，
gx f xhx 0
(图a,b)
rect(t) 1
rect(t) 1
1.用哑元t画出 二个 rect(t)
t
-1/2 0 1/2
-1/2 0 1/2
2.将rect(t)折叠后不变;
1 rect(t)
3.将一个rect(-t)移位至给定的
x0, rect[-(t -x0)]= rect(x0 - t);
4.二者相乘;乘积曲线下
-1/2 0 1/2
f
x,
y
h
x,
y
f
,
h
x
,
y
d
d
h , f x , y d ppt课件 d h x, y f x, y 10
5、卷积符合结合律
f (x, y)h1(x, y)h2(x, y) f (x, y)h1(x, y)h2(x, y)
平移量等于两者的平移量之和。
ppt课件
12
8、函数 f (x, y) 与 d 函数的卷积
根据 1. d-函数是偶函数, 2. d-函数的筛选性质,
有:
f (x) d (x) f ( )d (x )d f (x)
ppt课件
16
六.卷积运算举例(难点)
例1：设有二函数，分别为:
f
x
xstep x, h x
rect
x 1 2
求: g x f xhx
图1-3-3 例1中的二函数图形
ppt课件
17
图1-3-4 例1 一维卷积过程
ppt课件
18
分段计算结果：
(1)x≤0，
gx f xhx 0
(图a,b)
rect(t) 1
rect(t) 1
1.用哑元t画出 二个 rect(t)
t
-1/2 0 1/2
-1/2 0 1/2
2.将rect(t)折叠后不变;
1 rect(t)
3.将一个rect(-t)移位至给定的
x0, rect[-(t -x0)]= rect(x0 - t);
4.二者相乘;乘积曲线下
-1/2 0 1/2
f
x,
y
h
x,
y
f
,
h
x
,
y
d
d
h , f x , y d ppt课件 d h x, y f x, y 10
5、卷积符合结合律
f (x, y)h1(x, y)h2(x, y) f (x, y)h1(x, y)h2(x, y)
卷积PPT课件
• 卷积定理指出，函数卷积的傅里叶变换是函数傅里叶 变换的乘积。即，一个域中的卷积相当于另一个域中 的乘积，例如时域中的卷积就对应于频域中的乘积。
•
F(g(x)*f(x)) = F(g(x))F(f(x))
• 其中F表示的是傅里叶变换。
• 这一定理对拉普拉斯变换、双边拉普拉斯变换、Z变 换、Mellin变换和Hartley变换等各种傅里叶变换的 变体同样成立。
16
• 傅氏变换用算符F表示、含自变量x的复变函数g(x)的傅氏
变换由下式定义
F[g(x)] g(x) exp 2iuxdx
• 由此定义的变换G(u)本身也是自变量u的复变函数。如x有 空间坐标含义，u一般称为空间频率。相仿地，函数G(u)的 逆傅氏变换可用F-1[G(u)]表示
4
• 如果卷积的变量是函数x(t)和h(t)，则卷积的计
算变为
yt
x
pht
pdp
xt
ht
• 其中p是积分变量，积分也是求和，t是使函数 h(-p)位移的量，星号*表示卷积。
5
• 性质
• 各种卷积算子都满足下列性质： • 交换律 结合律 分配律 数乘结合律
6
卷积定理
外一个或两个条件。例如，经常用函数表示一个理想的物点
。它有一个无穷大的间断点，不满足条件（3）。又如，
g(x)=1和g(x)＝cos(2ux)都不满足条件（1）。但对于那些
不严格满足存在条件的函数，往往也能够发现它们有一个有意 义的变换式，只有这些函数可以定义为由可变换函数所组成的 级数的极限。
卷积的变量是序列x(n)和h(n)，则卷积的结果
33卷积和
不进位乘法适用有限长序列卷积
yzs(k)的元素个数?
若： f (k)序列
h(k )序列
则yzs (k )序列
n1 k n2，
n3 k n4
n1 n3 k n2 n4
例如： f (k)： 0 k 3 4个元素
h(k)： 0 k 4 5个元素
yzs(k)： 0 k 7 8 个元素
例 f1(k) ={0， f1(1) ， f1(2) ， f1(3)，0} f2(k) ={0， f2(0) ， f2(1)，0}
不进位乘法
排成乘法
f1(1) ， f1(2) ， f1(3)
×—————————f2(—0) —，———f2—(1)———
f1(1)f2(1) ，f1(2) f2(1) ，f1(3) f2(1)
f (k k1) (k k2 ) f (k k1 k2 )
若：f1(k) f2(k) f (k) 例1、2 例3 则：f1(k k1 ) f2(k k2 ) f (k k1 k2 )
f1(1) f2(0) ，f1(2) f2(0) ，f1(3) f2(0)
+ —————————————————————
f1(1)f2(1)+ f1(2)f2(0)
f1(3) f2(1)
f1(1) f2(0)
f1(2)f2(1)+ f1(3)f2(0)
f(k)={ 0， f1(1) f2(0)， f1(1)f2(1)+ f1(2)f2(0) f1(2)f2(1)+ f1(3)f2(0) ， f1(3) f2(1) ，0 }
f (i) (k i) i
2 .任意序列作用下的零状态响应
f (k) LTI系统 yzs(k)
3.3-周期序列的离散傅立叶级数
X 1 ( k ) = DFS [ x 1 ( n )]
X 2 ( k ) = DFS [ x 2 ( n )]
线性
~ ~ ~ ~ DFS [ a x 1 ( n ) + b x 2 ( n )] = a X 1 ( k ) + bX 2 ( k )
移位
~ − DFS [ x ( n + m )] = W N mk X ( k ) = e
-N
0 1 ~ x 2 (1 − m ) 2 1
0 1
N-1 N
m
-N
N-1 N
——电子信息工程 电子信息工程 表格法求周期卷积 x1(m) 1 x (n-m) n
2
1 0 0 1 2 1 0
1 0 0 0 1 2 1
1 1 0 0 0 1 2
0 2 1 0 0 0 1
0 1 2 1 0 0 0
y(n) 1 1 3 4 4 3
则
∑ x(n)z
n=0
N −1
k=0
Re[z]
X ( k ) = X ( z ) | Z =W − k
N
~
为Z变换在单位圆上的抽样 变换在单位圆上的抽样
比较
X ( z) X (e ) X (k )
jω
在整个Z平面上的取值 在整个 平面上的取值 在Z平面单位圆上的取值 平面单位圆上的取值 在Z平面单位圆上离散点的取值 平面单位圆上离散点的取值
m=0 N− 1 N− 1
——电子信息工程 电子信息工程 计算周期卷积的方法
~ y(n) =
m =0
∑
N −1
~ (m ) x (n − m ) = x (n) ∗ x (n) ~ ~ ~ x1 2 1 2
X 2 ( k ) = DFS [ x 2 ( n )]
线性
~ ~ ~ ~ DFS [ a x 1 ( n ) + b x 2 ( n )] = a X 1 ( k ) + bX 2 ( k )
移位
~ − DFS [ x ( n + m )] = W N mk X ( k ) = e
-N
0 1 ~ x 2 (1 − m ) 2 1
0 1
N-1 N
m
-N
N-1 N
——电子信息工程 电子信息工程 表格法求周期卷积 x1(m) 1 x (n-m) n
2
1 0 0 1 2 1 0
1 0 0 0 1 2 1
1 1 0 0 0 1 2
0 2 1 0 0 0 1
0 1 2 1 0 0 0
y(n) 1 1 3 4 4 3
则
∑ x(n)z
n=0
N −1
k=0
Re[z]
X ( k ) = X ( z ) | Z =W − k
N
~
为Z变换在单位圆上的抽样 变换在单位圆上的抽样
比较
X ( z) X (e ) X (k )
jω
在整个Z平面上的取值 在整个 平面上的取值 在Z平面单位圆上的取值 平面单位圆上的取值 在Z平面单位圆上离散点的取值 平面单位圆上离散点的取值
m=0 N− 1 N− 1
——电子信息工程 电子信息工程 计算周期卷积的方法
~ y(n) =
m =0
∑
N −1
~ (m ) x (n − m ) = x (n) ∗ x (n) ~ ~ ~ x1 2 1 2
卷积和的性质
解：先求h[n]
n
1 y[n] y[n 1] x[n] 2 x[n 1] 3 x[n 2] 5 1 1
9 1 n h( n) 1 66( 5 ) 5 n 2 n 0
稳定系统
第3章 离散时间系统的时域分析
3.8 反卷积及其应用(自学)
h1[n]
h[n]
h[n] k [n]
可逆性：由y[n]可确定x[n].
条件
x[n]
h[n] h1[n] [n]
y[n]
h1[n]
x[n]
第3章 离散时间系统的时域分析
•LTI离散系统的互联
对于级联系统：
x[n] h1[n] h2 [n] y[n]
h[n] h1[n] h2 [n]
1 x1[k ] n[n 1]u[n] 2 k
n
x2 (n) [u(n 6) u(n 1)] (n 6) (n 1)
y( n) x1[n] x2 [n]
k
x [k ] x [n]
1 2
n
1 n( n 1)u[n] { [n 6] [n 1]} 2
三.卷积和的性质
2.分配律:
第3章 离散时间系统的时域分析
1.交换律： x1[n]* x2 [n] x2 [n]* x1[n]
x1[n] x2[n]* x[n] x1[n] x[n] x2[n]* x[n]
3.结合 律： { x1[n] * x2 [n]}* x3 [n] x1[n] * { x2 [n] * x3 [n]}
第3章 离散时间系统的时域分析
例：试用系统模拟图来表示下列方程所描述的LTI系统
n
1 y[n] y[n 1] x[n] 2 x[n 1] 3 x[n 2] 5 1 1
9 1 n h( n) 1 66( 5 ) 5 n 2 n 0
稳定系统
第3章 离散时间系统的时域分析
3.8 反卷积及其应用(自学)
h1[n]
h[n]
h[n] k [n]
可逆性：由y[n]可确定x[n].
条件
x[n]
h[n] h1[n] [n]
y[n]
h1[n]
x[n]
第3章 离散时间系统的时域分析
•LTI离散系统的互联
对于级联系统：
x[n] h1[n] h2 [n] y[n]
h[n] h1[n] h2 [n]
1 x1[k ] n[n 1]u[n] 2 k
n
x2 (n) [u(n 6) u(n 1)] (n 6) (n 1)
y( n) x1[n] x2 [n]
k
x [k ] x [n]
1 2
n
1 n( n 1)u[n] { [n 6] [n 1]} 2
三.卷积和的性质
2.分配律:
第3章 离散时间系统的时域分析
1.交换律： x1[n]* x2 [n] x2 [n]* x1[n]
x1[n] x2[n]* x[n] x1[n] x[n] x2[n]* x[n]
3.结合 律： { x1[n] * x2 [n]}* x3 [n] x1[n] * { x2 [n] * x3 [n]}
第3章 离散时间系统的时域分析
例：试用系统模拟图来表示下列方程所描述的LTI系统
卷积和的概念
卷积和的概念卷积和的概念卷积和是一种在信号处理、图像处理、数值分析和控制理论等领域广泛应用的数学运算。
其主要用于处理具有周期性特征的数据，如正弦波、余弦波等。
一、卷积和的定义卷积和通常用符号"*" 表示，对于两个函数f(t) 和g(t)，其卷积和定义为：(f * g)(t) = ∫(-∞to ∞) f(τ) g(t - τ) dτ这表示将函数f(t) 向右平移，与函数g(t) 在每个位置上进行相乘，然后将所得的积分求和。
这个过程也被称为卷积积分。
二、卷积和的性质1. 交换律：f * g = g * f2. 结合律：f * (g * h) = (f * g) * h3. 单位元：e * f = f4. 反元素：f * (f^-1) = e三、卷积和的应用1. 在信号处理中，卷积和是描述信号的线性滤波和卷积的关键工具。
它能够揭示信号中的特定频率分量，对于提取信号中的关键信息具有不可替代的作用。
在数字信号处理中，通过将一个信号与一个滤波器函数进行卷积和，可以精确地调整信号的频率成分，从而提取出特定的频率分量。
这一过程不仅在通信、语音识别等领域有着广泛的应用，同时也是其他领域如图像处理、数值分析等的重要基础。
2. 在图像处理中，卷积和被用于实现图像的滤波和锐化，是图像处理的关键工具之一。
通过将图像与特定的滤波器函数进行卷积和，可以增强图像的特定特征，如边缘、纹理等。
这一技术在计算机视觉、图像分析等领域发挥着重要的作用，为机器视觉、人脸识别等复杂任务提供了可能。
3. 在数值分析中，卷积和是数值积分和微分方程求解的重要手段之一。
在科学研究和工程实践中，许多复杂的问题需要用数学模型进行描述和解决，而卷积和在这其中扮演着关键的角色。
例如，通过将一个函数与一个基函数（例如正弦函数或余弦函数）进行卷积和，可以获得该函数的离散化数值表示，为解决复杂的数学问题提供了有效的途径。
4. 在控制理论中，卷积和是描述系统的稳定性和响应特性的重要工具。
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h2(k)
h(k)= [δ(k)* h1(k) –δ(k)* h2(k) ]* h1(k) = [h1(k) – h2(k) ]* h1(k)
= h1(k) * h1(k) –h2(k) * h1(k) = ε(k)* ε(k) – ε(k – 5) *ε(k) = (k+1)ε(k) – (k+1 – 5)ε(k – 5) = (k+1)ε(k) – (k– 4)ε(k – 5)
f2(–i )
-2
ik -1 0 1 2 3
f2( ik )
1
f2(2–i)
-1 0 1 2 3 ik
f1( i )f2( k- i )
2 1.5 1
i -1 0 1 2 3
■
第7页
三、不进位乘法求卷积
f (k) f1(i) f2 (k i) i
=…+f1(-1)f2(k+1) + f1(0)f2(k) + f1(1)f2(k-1)+ f1(2)f2(k-2)
‖ i
‖ i
f (k)
yzs(k)
yzs(k) f (i)h(k i)
卷积和
i
▲
■
第3页
3 .卷积和的定义
已知定义在区间（ – ∞，∞）上的两个函数f1(k) 和f2(k)，则定义和
f (k) f1(i) f2 (k i) i
为f1(k)与f2(k)的卷积和，简称卷积；记为 f(k)= f1(k)*f2(k)
k
3. f(k)*ε(k) = f (i) i
4. f1(k – k1)* f2(k – k2) = f1(k – k1 – k2)* f2(k)
5. [f1(k)* f2(k)] = f1(k)* f2(k) = f1(k)* f2(k)
举例
▲
■
第 12 页
性质求卷积和例
例1 复合系统中
h1(k) = ε(k)， h2(k) =
▲
■
第9页
不进位乘法适用有限长序列卷积
yzs(k)的元素个数?
若： f (k)序列
h(k )序列
则yzs (k)序列
n1 k n2，
n3 k n4
n1 n3 k n2 n4
例如：
f (k)： 0 k 3 h(k)： 0 k 4 yzs (k)： 0 k 7
4 个元素 5 个元素 8 个元素
f (i)h(k i) ai (i)bki (k i)
i
i
当i < 0,ε(i) = 0；当i > k时，ε(k - i) = 0
yzs
(k
)
k i0
aibk
i
(k
)
bk
k i0
a b
i
(k
)
bk
1
a
k
b
1 a b
bk (k 1)
1
,a b ,a b
f (i) (k i) i
▲
■
第2页
2 .任意序列作用下的零状态响应
f (k) LTI系统 yzs(k)
零状态
根据h(k)的定义： δ(k)
h(k)
由时不变性： δ(k -i)
h(k -i)
由齐次性： f (i)δ(k-i)
f (i) h(k-i)
由叠加性： f (i) (k i)
f (i)h(k i)
f1(1)f2(1)+ f1(2)f2(0)
f1(3) f2(1)
f1(1) f2(0)
f1(2)f2(1)+ f1(3)f2(0)
f(k)={ 0， f1(1) f2(0)， f1(1)f2(1)+ f1(2)f2(0) f1(2)f2(1)+ f1(3)f2(0) ， f1(3) f2(1) ，0 }
ε(k)*ε(k) = (k+1)ε(k)
■
第5页
二、卷积的图解法
f(k)= f1(k)*f2(k) → f (k) f1(i) f2 (k i) i
卷积过程可分解为四步： （1）换元： k换为 i →得 f1(i)， f2(i) （2）反转平移：由f2(i)反转→ f2(–i)右移k → f2(k – i) （3）乘积： f1(i) f2(k – i) （4）求和： i 从 –∞到∞对乘积项求和。 注意：k 为参变量。
h1(k) y(k)
■ 第 14 页
15 ，20， 0， 30
↑k=1
3 ， 4， 0， 6
+ 6—，—8—，—0—，—12——————
6 ，11，19，32，6，30
■ 第 11 页
四、卷积和的性质
1. 满足乘法的三律：(1) 交换律, (2) 分配律,(3) 结合律.
3.3-9
3.3-10 3.3-11
2. f(k)*δ(k) = f(k) ， f(k)*δ(k– k0) = f(k – k0)
▲
■
第8页
不进位乘法
排成乘法
f1(1) ， f1(2) ， f1(3)
×—————————f2(—0) —，———f2—(1)———
f1(1)f2(1) ，f1(2) f2(1) ，f1(3) f2(1)
f1(1) f2(0) ，f1(2) f2(0) ，f1(3) f2(0)
+ —————————————————————
举例
▲
■
第6页
图解法求卷积和例
1.5
f1( ik ) 2
1.5
1
例：f1(k)、 f2(k)如图所示，已 知f(k) = f1(k)* f2(k)，求f(2) =？ -2
解： f (2) f1(i) f2 (2 i)
（1）换元 i
（2） f2(i)反转得f2(– i) （3） f2(–i)右移2得f2(2–i) （4） f1(i)乘f2(2–i) （5）求和，得f(2) = 4.5
注意：求和是在虚设的变量 i 下进行的， i 为求和变 量，k 为参变量。结果仍为k 的函数。
yzs(k) f (i)h(k i) f (k) * h(k)
i
举例
▲
■
第4页
用定义求卷积和例
例：f (k) = a kε(k), h(k) = b kε(k) ，求yzs(k)。
解： yzs(k) = f (k) * h(k)
+ … + f1(i) f2(k –i) + …
f(k)=所有两序列序号之和为k 的那些样本乘积之和。 如k=2时 f(2)= …+f1(-1)f2(3) + f1(0)f2(2) + f1(1)f2(1)+ f1(2)f2(0) + …
例 f1(k) ={0， f1(1) ， f1(2) ， f1(3)，0} f2(k) ={0， f2(0) ， f2(1)，0}
§3.3 卷积和
卷积和 卷积和图解法 不进位乘法求卷积 卷积和的性质
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一、卷积和
1 .序列的时域分解
任意序列f(k) 可表示为
f(-1) …
f(k)
f(2)
f(1)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱf(i)
f(0)
…
…
-1 0 1 2
i
k
f(k)=…+f(-1)δ(k+1) + f(0)δ(k) + f(1)δ(k-1)+ f(2)δ(k-2) + … + f(i)δ(k –i) + …
h1(k)
ε(k – 5)，求复合系统的 单位序列响应h (k) 。 f(k)
∑
h2(k)
h1(k) y(k)
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性质求卷积和例
例1 复合系统中
h1(k) = ε(k)， h2(k) =
h1(k)
ε(k – 5)，求复合系统的 单位序列响应h (k) 。 f(k)
∑
解 根据h(k)的定义，有
举例
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不进位乘法求卷积和例
例 f1(k) ={0， 2 ， 1 ， 5，0} ↑k=1
f2(k) ={0， 3 ， 4，0，6，0} ↑k=0
求f(k) = f1(k)* f2(k)
解
3 ， 4， 0， 6 f(k) =
×———2—，—1—，—5— {0，6 ，11，19，32，6，30}