自控原理练习题讲解
自动控制原理习题与答案解析
⾃动控制原理习题与答案解析精⼼整理课程名称: ⾃动控制理论（A/B卷闭卷）⼀、填空题（每空 1 分，共15分）1、反馈控制⼜称偏差控制，其控制作⽤是通过给定值与反馈量的差值进⾏的。
2、复合控制有两种基本形式：即按输⼊的前馈复合控制和按扰动的前馈复合控制。
为8、PI控制器的输⼊－输出关系的时域表达式是，其相应的传递函数为，由于积分环节的引⼊，可以改善系统的性能。
⼆、选择题（每题 2 分，共20分）1、采⽤负反馈形式连接后，则 ( )A 、⼀定能使闭环系统稳定；B 、系统动态性能⼀定会提⾼；C 、⼀定能使⼲扰引起的误差逐渐减⼩，最后完全消除；D 、需要调整系统的结构参数，才能改善系统性能。
2、下列哪种措施对提⾼系统的稳定性没有效果 ( )。
A 、增加开环极点；B 、在积分环节外加单位负反馈；C 、增加开环零点；D 、引⼊串联超前校正装置。
3、系统特征⽅程为 0632)(23=+++=s s s s D ，则系统 ( ) A 、稳定； B 、单位阶跃响应曲线为单调指数上升； C 、临界稳定； D 、右半平⾯闭环极点数2=Z 。
4、系统在2)(t t r =作⽤下的稳态误差∞=ss e ，说明 ( ) A 、型别2C 、输⼊幅值过⼤；D 、闭环传递函数中有⼀个积分环节。
5、对于以下情况应绘制0°根轨迹的是( )A 、主反馈⼝符号为“-” ；B 、除r K 外的其他参数变化时；C 、⾮单位反馈系统；D 、根轨迹⽅程（标准形式）为1)()(+=s H s G 。
6、开环频域性能指标中的相⾓裕度γ对应时域性能指标( ) 。
A 、超调%σB 、稳态误差ss eC 、调整时间s tD 、峰值时间p t 7 系统①系统②系统③图2A 、系统①B 、系统②C 、系统③D 、都不稳定8、若某最⼩相位系统的相⾓裕度0γ>o，则下列说法正确的是 ( )。
A 、不稳定；B 、只有当幅值裕度1g k >时才稳定；C 、稳定；D 、不能判⽤相⾓裕度判断系统的稳定性。
自动控制原理习题及解答
对于本例，系统的稳态误差为
本题给定的开环传递函数中只含一个积分环节，即系统为1型系统，所以
系统的稳态误差为
解毕。
例3-21控制系统的结构图如图3-37所示。假设输入信号为r(t)=at( 为任意常数)。
解劳斯表为
1 18
8 16
由于特征方程式中所有系数均为正值，且劳斯行列表左端第一列的所有项均具有正号，满足系统稳定的充分和必要条件，所以系统是稳定的。解毕。
例3-17已知系统特征方程为
试判断系统稳定性。
解本例是应用劳斯判据判断系统稳定性的一种特殊情况。如果在劳斯行列表中某一行的第一列项等于零，但其余各项不等于零或没有，这时可用一个很小的正数ε来代替为零的一项，从而可使劳斯行列表继续算下去。
（3）写中间变量关系式
式中，α为空气阻力系数 为运动线速度。
（4）消中间变量得运动方程式
（2-1)
此方程为二阶非线性齐次方程。
（5）线性化
由前可知，在＝0的附近，非线性函数sin≈，故代入式（2-1）可得线性化方程为
例2-3已知机械旋转系统如图2-3所示，试列出系统运动方程。
图2-3机械旋转系统
解：（1）设输入量作用力矩Mf，输出为旋转角速度。
运动方程可直接用复阻抗写出：
整理成因果关系：
图2-15电气系统结构图
画结构图如图2-15所示：
求传递函数为：
对上述两个系统传递函数，结构图进行比较后可以看出。两个系统是相似的。机一电系统之间相似量的对应关系见表2-1。
表2-1相似量
机械系统
xi
x0
自动控制理论_习题集[含答案解析]
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⾃动控制理论_习题集[含答案解析]精品⽂档、单选题《⾃动控制理论》课程习题集1. 下列不属于⾃动控制基本⽅式的是（B ）。
A.开环控制B.随动控制C.复合控制D.闭环控制2. ⾃动控制系统的（ A ）是系统⼯作的必要条件。
A.稳定性B.动态特性C.稳态特性D.瞬态特性3.在（D ）的情况下应尽量采⽤开环控制系统。
A.系统的扰动量影响不⼤B.系统的扰动量⼤且⽆法预计C.闭环系统不稳定预计并能进⾏补偿4. 系统的其传递函数（B ）。
A.与输⼊信号有关和元件的参数C.闭环系统不稳定预计并能进⾏补偿5. 建⽴在传递函数概念基础上的是（A.经典理论C.经典控制理论6. 构成振荡环节的必要条件是当（A. Z1D.系统的扰动量可以B.只取决于系统结构D.系统的扰动量可以C ）。
B.控制理论D.现代控制理论C ）时。
A. Z=1C. 0< Z18.于A.C.9.有A.C.B. Z=0D. 0< ZW1若⼆阶系统的阶跃响应曲线⽆超调达到稳态值，则两个极点位于位（D ）°虚轴正半轴 B.实正半轴虚轴负半轴 D.实轴负半轴线性系统稳定的充分必要条件是闭环系统特征⽅程的所有根都具（B ）° 实部为正虚部为正10. 下列说法正确的是：系统的开环增益（A.越⼤系统的动态特性越好性越好C.越⼤系统的阻尼越⼩性越好11. 根轨迹是指开环系统某个参数由上移动的轨迹。
A.开环零点C.闭环零点12. 闭环极点若为实数，则位于［s］平⾯实轴; 所以根轨迹（AA.对称于实轴C.位于左半［s］平⾯B.D.BB.D.0变化到a.实部为负°越⼤系统的稳态特越⼩系统的稳态特（D ）在s平⾯B.开环极点D.闭环极点若为复数，则共轭出现。
B.对称于虚轴D.位于右半［s］平⾯精品⽂档13.系统的开环传递函数G0(s) K (s 1)(s 3)，则全根轨迹的分⽀s(s 2)(s 4)数是(C ) oA. 1C. 314. 已知控制系统的闭环传递函数是轨迹起始于(A )oA. G(s)H(s)的极点C. 1+ G(s)H(s)的极点15. 系统的闭环传递函数是G c(s)(B )oA. G(s)H(s)的极点C. 1+ G(s)H(s)的极点线16. 在设计系统时应使系统幅频特性(A )oA. -20dB/decC. -60dB/decD. -80dB/dec17. 当3从-ST + a 变化时惯性环节的极坐标图为⼀个 (B )A.位于第⼀象限的半圆B.位于第四象限的半圆C.整圆 D .不规则曲线18. 设系统的开环幅相频率特性下图所⽰( P为开环传递函数右半s 平⾯的极点数)，其中闭环系统稳定的是( A )o19.已知开环系统传递函数为G(s) H (s)为(C )oA. 10° B .C. 45°D.20. 某最⼩相位系统的开环对数幅频特性曲线如下图所⽰。
自动控制原理习题及答案
一、简答题1. 被控对象、被控量、干扰各是什么？答：对象：需进行控制的设备或装置的工作进程。
被控量：被控对此昂输出需按控制要求变化的物理量。
干扰：对生产过程产生扰动，使被控量偏离给定值的变量。
2. 按给定信号分类，控制系统可分为哪些类型？答：恒值控制系统、随动控制系统、程序控制系统。
3. 什么是系统的静态？答：被控量不随时间改变的平衡状态。
4. 什么是系统的动态？答：被控量随时间变化的不平衡状态。
5. 什么是系统的静态特性？答：系统再平衡状态下输出信号与输入信号的关系。
6. 什么是系统的动态特性？答：以时间为自变量，动态系统中各变量变化的大小、趋势以及相互依赖的关系。
7. 控制系统分析中，常用的输入信号有哪些？答：阶跃、斜坡、抛物线、脉冲。
8. （3次）传递函数是如何定义的？答：线性定常系统在零初始条件下输出响应量的拉氏变换与输入激励量的拉氏变换之比。
9. 系统稳定的基本条件是什么？答：系统的所有特征根必须具有负的实部的实部小于零。
10. 以过渡过程形式表示的质量指标有哪些？答：峰值时间t p 、超调量δ%、衰减比n d 、调节时间t s 、稳态误差e ss 。
11. 简述典型输入信号的选用原因。
答：①易于产生；②方便利用线性叠加原理；③形式简单。
12. 什么是系统的数学模型？答：系统的输出参数对输入参数的响应的数学表达式。
13. 信号流图中，支路、闭通路各是什么？答：支路：连接两节点的定向线段，其中的箭头表示信号的传送方向。
闭通路：通路的终点就是通路的起点，且与其他节点相交不多于一次。
14. 误差性能指标有哪些？答：IAE ，ITAE ，ISE ，ITSE二、填空题1. 反馈系统又称偏差控制，起控制作用是通过给定值与反馈量的差值进行的。
2. 复合控制有两种基本形式，即按参考输入的前馈复合控制和按扰动输入的前馈复合控制。
3. 某系统的单位脉冲响应为g(t)=10e -0.2t +5e -0.5t ，则该系统的传递函数G(s)为ss s s 5.052.010+++。
自控控制原理经典例题集PPT讲解
c(t)
s
0
s
0
1
图1
0
c(t) c(t)
1
图2(a)
1
0 t 0
图2(b)
t
图2(c)
t
at 2
图2(d)
t
例题17解答
系统闭环传递函数为：
系统阶跃响应的拉式变 换式为：
(s)
s2
0
K1 K 2
K
2
s
0
K1
K
2
C(s)
(s)
R(s)
s2
0
K1 K 2
K
2
s
0
K1
K
2
1 s
情况（a）：输出为等幅振荡
R+N1
G1
-
-
N2
N3 -
G2
G3
C
E(s) 1 G2 G2G3 R(s) 1 G2 G1G2G3 E(s) G1G2G3 G2G3 N1(s) 1 G2 G1G2G3 E(s) G3 G2G3 N2 (s) 1 G2 G1G2G3 E(s) 1 N3(s)
例6：
设系统特征方程如下： s4 2s3 3s2 4s 5 0
F(t) f
k M y(t)
位移定理应用举例
• 例3.
求 f ( t ) ( t ) 1( t )的拉氏变换。
提示：
F(t) 相当于t·1(t) 在时间上延迟了 一个值。
f (t)
t 1(t )
(t ) 1(t )
0
t
位移定理例题1解答
应用实域中的位移定理有：
F (s) L[(t ) 1(t )]
总的稳态误差ess。
自动控制原理+课后问题详解
自控原理课后习题精选2-5 试分别列写图2-3中各无源网络的微分方程（设电容C 上的电压为)(t u c ，电容1C 上的电压为)(1t u c ，以此类推）。
o(a)+－u c (t)(b)+－u c1(t)(c)+－u R1(t)图2-3 习题2-5 无源网络示意图解：（a ）设电容C 上电压为)(t u c ，由基尔霍夫定律可写出回路方程为21)()()()()()(R t u R t u dt t du Ct u t u t u o c c o i c =+-=整理得输入输出关系的微分方程为121)()()()11()(R t u dt t du C t u R R dt t du Ci i o o +=++ （b ）设电容1C 、2C 上电压为)(),(21t u t u c c ，由基尔霍夫定律可写出回路方程为dtt du RC t u t u dtt du C R t u t u R t u t u t u t u t u c c o c c o c i o i c )()()()()()()()()()()(11222221=-=-+--=整理得输入输出关系的微分方程为Rt u dt t du C dt t u d C RC R t u dt t du C C dt t u d C RC i i i o o o )()(2)()()()2()(12221212221++=+++ （c ）设电阻2R 上电压为2()R u t ，两电容上电压为)(),(21t u t u c c ，由基尔霍夫定律可写出回路方程为)()()(21t u t u t u R i c -= （1） )()()(22t u t u t u R o c -= （2）2221)()()(R t u dt t du C dt t du CR c c =+ （3）dtt du C R t u t u c o i )()()(21=- （4）（2）代入（4）并整理得CR t u t u dt t du dt t du o i o R 12)()()()(--= （5） （1）、（2）代入（3）并整理得222)()(2)()(R t u dt t du C dt t du C dt t du CR R o i =-+ 两端取微分，并将（5）代入，整理得输入输出关系的微分方程为CR t u dt t du C R dt t u d C R C R t u dt t du C R dt t u d C R i i i o o o 1122211222)()(1)()()()11()(++=+++2-6 求图2-4中各无源网络的传递函数。
自控原理考研真题及答案
自控原理考研真题及答案自控原理是自动控制领域的基础课程，对于考研学生而言，掌握自控原理的知识非常重要。
为了帮助考生更好地备考自控原理，以下将介绍一道经典的自控原理考研真题，并给出详细的答案解析。
题目及答案如下：1.某控制系统的传递函数为G(s) = (s+2)/(s^2+6s+10)，将其分解为部分分式后，若其阶数为n，则n等于多少？答案解析：根据题目给出的传递函数G(s)，可以得到其分母的根为s^2+6s+10=0，通过求根公式可求得其根为s1=-3+j，s2=-3-j。
由于这两个根均为复根，所以传递函数为二阶系统。
因此，答案为n=2。
2.某开环系统的传递函数为G(s) = K/(s^3+4s^2+10s)，若该系统为稳定系统，求参数K的范围。
答案解析：对于稳定系统来说，其特征多项式的所有根的实部都小于0。
根据题目给出的传递函数G(s)，可以得到其特征多项式为s^3+4s^2+10s=0，通过求根公式可求得其根为s1=-1.33，s2=-0.67+j1.11，s3=-0.67-j1.11。
由于这三个根的实部均小于0，所以该系统为稳定系统。
由于K为传递函数的比例因子，不影响传递函数的特征根，所以参数K的范围可以取任意实数。
3.某系统的开环传递函数为G(s) = 10/(s+4)，若该系统采用比例控制器，根据比例控制器的输出与输入的关系，求闭环传递函数。
答案解析：比例控制器的输出与输入的关系为C(s) = KpR(s)，其中C(s)为比例控制器的输出，Kp为比例增益，R(s)为输入信号。
而闭环传递函数等于开环传递函数乘以比例控制器的传递函数，即T(s) = G(s)C(s)。
代入相应的数值，可得到T(s) = 10Kp/(s+4)。
4.某系统的开环传递函数为G(s) = 10/(s+5)，若该系统采用积分控制器，根据积分控制器的输出与输入的关系，求闭环传递函数。
答案解析：积分控制器的输出与输入的关系为C(s) = KI/s，其中C(s)为积分控制器的输出，KI为积分增益，s为Laplace变换变量。
(完整版)自动控制原理课后习题及答案
第一章 绪论1-1 试比较开环控制系统和闭环控制系统的优缺点.解答：1开环系统(1) 优点:结构简单，成本低，工作稳定。
用于系统输入信号及扰动作用能预先知道时，可得到满意的效果。
(2) 缺点：不能自动调节被控量的偏差。
因此系统元器件参数变化，外来未知扰动存在时，控制精度差。
2 闭环系统⑴优点：不管由于干扰或由于系统本身结构参数变化所引起的被控量偏离给定值，都会产生控制作用去清除此偏差，所以控制精度较高。
它是一种按偏差调节的控制系统。
在实际中应用广泛。
⑵缺点：主要缺点是被控量可能出现波动，严重时系统无法工作。
1-2 什么叫反馈？为什么闭环控制系统常采用负反馈？试举例说明之。
解答：将系统输出信号引回输入端并对系统产生控制作用的控制方式叫反馈。
闭环控制系统常采用负反馈。
由1-1中的描述的闭环系统的优点所证明。
例如，一个温度控制系统通过热电阻（或热电偶）检测出当前炉子的温度，再与温度值相比较，去控制加热系统，以达到设定值。
1-3 试判断下列微分方程所描述的系统属于何种类型（线性，非线性，定常，时变）？（1）22()()()234()56()d y t dy t du t y t u t dt dt dt ++=+（2）()2()y t u t =+（3）()()2()4()dy t du t ty t u t dt dt +=+ （4）()2()()sin dy t y t u t tdt ω+=（5）22()()()2()3()d y t dy t y t y t u t dt dt ++= （6）2()()2()dy t y t u t dt +=（7）()()2()35()du t y t u t u t dt dt =++⎰解答： （1）线性定常 （2）非线性定常 （3）线性时变 （4）线性时变 （5）非线性定常 （6）非线性定常 （7）线性定常1-4 如图1-4是水位自动控制系统的示意图，图中Q1，Q2分别为进水流量和出水流量。
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2.1系统结构图如图1所示，试确定传递函数C(s)/R(s)。
G1(s)G2(s)H2(s)H1(s)R(s)C(s)__G3(s)图12132112()()()1()G G G C s R s G H G H +=++2.2系统结构图如图1所示，试确定传递函数C(s)/R(s)和C(s)/N(s)。
1212121()()1G G C s R s G G G G H =++23112()()1(1)G G C s N s G H G =++例3-10 某系统在输入信号r (t )=(1+t )1(t )作用下，测得输出响应为：t e t t c 109.0)9.0()(--+= （t ≥0）已知初始条件为零，试求系统的传递函数)(s φ。
解 因为22111)(ss s s s R +=+=)10()1(10109.09.01)]([)(22++=+-+==s s s s s s t c L s C 故系统传递函数为 11.01)()()(+==s s R s C s φ 例 3-12 设二阶控制系统的单位阶跃响应曲线如图3-34所示。
试确定系统的传递函数。
解 首先明显看出，在单位阶跃作用下响应的稳态值为3，故此系统的增益不是1，而是3。
系统模型为2223()2nn ns s s ωϕζωω=++ 然后由响应的%p M 、p t 及相应公式，即可换算出ζ、n ω。
%33334)()()(%=-=∞∞-=c c t c M p p 1.0=p t （s ）由公式得 2/1%33%p M eπζζ--==20.11p n t ωζ==-4 30 0.1 t图3-34 二阶控制系统的单位阶跃响应h (t )换算求解得： 0.33ζ=、 2.33=n ω例3-18 已知系统特征方程为0161620128223456=++++++s s s s s s试求：（1）在s 右半平面的根的个数；（2）虚根。
解 如果劳斯行列表中某一行所有系数都等于零，则表明在根平面内存在对原点对称的实根，共轭虚根或（和）共轭复数根。
此时，可利用上一行的系数构成辅助多项式，并对辅助多项式求导，将导数的系数构成新行，以代替全部为零的一行，继续计算劳斯行列表。
对原点对称的根可由辅助方程（令辅助多项式等于零）求得。
劳斯行列表为6s 1 8 20 16 5s 2 12 16 4s 2 12 16 3s 0 0由于3s 行中各项系数全为零，于是可利用4s 行中的系数构成辅助多项式，即16122)(24++=s s s P求辅助多项式对s 的导数，得s s ss dP 248)(3+= 原劳斯行列表中s 3行各项，用上述方程式的系数，即8和24代替。
此时，劳斯行列表变为6s 1 8 20 5s 2 12 164s 2 12 16 3s 8 24 2s 6 16 1s 2.67 0s 16新劳斯行列表中第一列没有变号，所以没有根在右半平面。
对原点对称的根可解辅助方程求得。
令01612224=++s s得到 2j s ±=和2j s ±=例3-19 单位反馈控制系统的开环传递函数为)1)(1()(2+++=cs bs as s Ks G 试求： （1）位置误差系数，速度误差系数和加速度误差系数；（2）当参考输入为)(1t r ⨯，)(1t rt ⨯和)(12t rt ⨯时系统的稳态误差。
解 根据误差系数公式，有位置误差系数为 ∞=+++==→→)1)(1(lim)(lim 20cs bs as s Ks G K s s p速度误差系数为K cs bs as s Ks s sG K s s v =+++⋅==→→)1)(1(lim )(lim 2加速度误差系数为0)1)(1(lim )(lim 222=+++⋅==→→cs bs as s Ks s G s K s s a 对应于不同的参考输入信号，系统的稳态误差有所不同。
参考输入为)(1t r ⨯，即阶跃函数输入时系统的稳态误差为011=∞+=+=rK r e p ss参考输入为)(1t rt ⨯，即斜坡函数输入时系统的稳态误差为Kr K r e v ss ==参考输入为)(12t rt ⨯，即抛物线函数输入时系统的稳态误差为∞===22r K r e a ss 例3-20 单位反馈控制系统的开环传递函数为)1)(1(10)(21s T s T s s G ++=输入信号为r （t ）=A+ωt ，A 为常量，ω=0.5弧度/秒。
试求系统的稳态误差。
解 实际系统的输入信号，往往是阶跃函数、斜坡函数和抛物线函数等典型信号的组合。
此时，输入信号的一般形式可表示为221021)(t r t r r t r ++=系统的稳态误差，可应用叠加原理求出，即系统的稳态误差是各部分输入所引起的误差的总和。
所以，系统的稳态误差可按下式计算：av p ss K rK r K r e 2101+++=对于本例，系统的稳态误差为vp ss K K A e ω++=1本题给定的开环传递函数中只含一个积分环节，即系统为1型系统，所以∞=p K10)1)(1(10lim )(lim 210=++⋅==→→s T s T s s s sG K s s v系统的稳态误差为05.0105.0101011===+∞+=++=ωωωA K K A e v p ss例3-23 设复合控制系统如图3-38所示。
其中1221==K K ，s T 25.02= ，132=K K试求 )(1)2/1()(2t t t t r ++=时，系统的稳态误差。
解 闭环传递函数)1(22+s T s KK 1R (s )图3-38 复合控制系统24)5.0(41)(221222113+++=++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=s s s K K s s T K K s K K s φ 等效单位反馈开环传递函数2)12(2)(1)()(s s s s s G +=-=φφ表明系统为II 型系统，且2==K K a当)(1)2/1()(2t t t t r ++=时，稳态误差为5.0/1==a ss K e例4-1 设系统的开环传递函数为)2)(1(2)()(++=s s s Ks H s G试绘制系统的根轨迹。
解 根据绘制根轨迹的法则，先确定根轨迹上的一些特殊点，然后绘制其根轨迹图。
（1）系统的开环极点为0，1-，2-是根轨迹各分支的起点。
由于系统没有有限开环零点，三条根轨迹分支均趋向于无穷远处。
（2）系统的根轨迹有3=-m n 条渐进线渐进线的倾斜角为3180)12()12(-︒⨯+=-+=K m n K a πϕ 取式中的K =0，1，2，得φa =π/3，π，5π/3。
渐进线与实轴的交点为13)210(111-=--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=∑∑==m i i nj j a z p m n σ 三条渐近线如图4-13中的虚线所示。
（3）实轴上的根轨迹位于原点与－1点之间以及－2点的左边，如图4-13中的粗实线所示。
（4）确定分离点 系统的特征方程式为022323=+++K s s s即)23(2123s s s K ++-=利用0/=ds dK ，则有0)26(2123=++-=s s ds dK 解得423.01-=s 和 577.12-=s由于在－1到－2之间的实轴上没有根轨迹，故s 2=－1.577显然不是所要求的分离点。
因此，两个极点之间的分离点应为s 1=－0.423。
（5）确定根轨迹与虚轴的交点 方法一 利用劳斯判据确定劳斯行列表为 3s 1 2 2s32K 1s326K-s2K由劳斯判据，系统稳定时K 的极限值为3。
相应于K =3的频率可由辅助方程0632322=+=+s K s确定。
解之得根轨迹与虚轴的交点为2j s ±=。
根轨迹与虚轴交点处的频率为41.12±=±=ω方法二 令ωj s =代入特征方程式，可得02)(2)(3)(23=+++K j j j ωωω即0)2()32(22=-+-ωωωj K令上述方程中的实部和虚部分别等于零，即0322=-ωK ，022=-ωω所以2±=ω 3=K（6）确定根轨迹各分支上每一点的K 值 根据绘制根轨迹的基本法则，当从开环极点0与－1出发的两条根轨迹分支向右运动时，从另一极点－2出发的根轨迹分支一定向左移动。
当前两条根轨迹分支和虚轴在K =3处相交时，可按式3)41.10()41.10(-=-+++j j x σ求出后一条根轨迹分支上K =3的点为οx =－3。
由（4）知，前两条根轨迹分支离开实轴时的相应根值为－0.423±j 0。
因此，后一条根轨迹分支的相应点为3)423.0()423.0(-=-+-+x σ所以 ，οx =－2.154。
因本系统特征方程式的三个根之和为－2K ，利用这一关系，可确定根轨迹各分支上每一点的K 值。
现在已知根轨迹的分离点分别为－0.423±j 0和－2.154，该点的K 值为)154.2()423.0(22--=-K即，K =0.195。
系统的根轨迹如图4-1所示。
例4-6 已知控制系统如图4-18所示图4-1 例4-1系统的根轨迹S 平面σωj 图4-6R (s )C (s )4)15.0(+s K（1） 试根据系统的根轨迹分析系统的稳定性。
（2） 估算%3.16%=p M 时的K 值。
解 44)2()2(16)(+=+=s K s Ks G g （1）系统有四个开环重极点：p 1=p 2=p 3=p 4=0。
没有零点。
实轴上除－2一点外，没有根轨迹段。
根轨迹有四条渐进线，与实轴的交点及夹角分别为248-=-=a σ 44)12(ππϕ±=+=K a ，π43±下面证明根轨迹和渐近线是完全重合的。
将根轨迹上任一点s =s 1代入幅角方程，有π)12()2(41+=+∠K s即 π)12(41)2(1+=+∠K s 和渐近线方位角a ϕ的表达式比较，两者相等，于是有a s ϕ=+∠)2(1由于s 1的任意性，因此根轨迹和渐近线完全重合。
系统的根轨迹如图4-7所示。
图知，随着K g 的增加，有两条根轨迹将与虚轴分别交于j 2和－j 2处。
将s =j 2代入幅值方程有1|)2(|4=+s K g解得开环根增益：K gc =64，开环增益：K c =K g /16=4．即当Ｋ＝４时，闭环系统有一对虚根±j ２，系统处于临界稳定的状态。
当K >4时，闭环系统将出现一对实部为正的复数根，系统不稳定。
所以，使系统稳定的开环增益范围为0<K <4。
（2）由超调量的计算公式及指标要求，有%3.16%21==--ξξπeM p解得，5.0=ξS 平面σ图4-7 例4-6系统的根轨迹j ω即，系统闭环极点的阻尼角为︒===--605.0cos cos 11ξβ。