旋转综合题

旋转综合题1. ．如图13，在平面直角坐标系xOy 中，直线233+-=x y 分别交x 轴、y 轴于C 、A 两点.将射线AM 绕着点A 顺时针旋转45°得到射线AN.点D 为AM 上的动点，点B 为AN 上的动点，点C 在∠MAN 的内部. （1） 求线段AC 的长；（2） 当AM ∥x 轴，且四边形ABCD 为梯形时，求△BCD 的面积； （3） 求△BCD 周长的最小值；（4） 当△BCD 的周长取得最小值，且BD=52时,△BCD 的面积为 . （第（4）问只需填写结论，不要求书写过程）图13解:（1）∵直线 y = -33x +2与x 轴、y 轴分别交于C 、A 两点， ∴ 点C 的坐标为（23，0），点A 的坐标为（0，2）.----------------------1分 ∴ AC =4. -----------------------------2分 （2）如图1，当AD ∥BC 时， 依题意，可知∠DAB = 45°， ∴ ∠ABO = 45°. ∴ OB = OA = 2. ∵ OC = 23， ∴ BC = 23-2. ∴ S △BCD =21BC •OA = 23-2.---------------------------3分 如图2，当AB ∥DC 时. 可得S △BCD = S △ACD .设射线AN 交x 轴于点E . ∵ AD ∥x 轴，∴ 四边形AECD 为平行四边形. ∴ S △AEC = S △ACD .图3F EDCBA 图2F E D CBA图1N M P∴ S △BCD =S △AEC =21CE •OA= 23-2. 综上所述，当AM ∥x 轴，且四边形ABCD 为梯形时，S △BCD = 23-2. ----------4分 （3）如图3，作点C 关于射线AM 的对称点C 1，点C 关于射线AN 的对称点C 2. ---------------------------------5分 由轴对称的性质，可知CD=C 1D ，CB=C 2B . ∴ C 2B + BD + C 1D= CB + BD +CD. 连结AC 1、AC 2，可得∠C 1AD=∠CAD ，∠C 2AB=∠CAB ，AC 1=AC 2=AC=4. ∵ ∠DAB = 45°， ∴ ∠C 1AC 2 =90°. 连结C 1C 2.∵ 两点之间线段最短，∴ 当B 、D 两点与C 1、C 2在同一条直线上时，△BCD 的周长最小，最小值为线段C 1C 2的长.∴△BCD 的周长的最小值为42. ------------7分 （4）43. --------------------------------8分图1 图2 图32. 如图1，点P 是线段MN 的中点，请你利用该图形画一对以点P 为对称中心的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图2， 在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB >AC ，点D 是BC 边中点，过D 作射线交AB 于E ，交CA 延长线于F ，请猜想∠F 等于多少度时，BE =CF （直接写出结果，不必证明）.（2）如图3，在△ABC 中，如果∠BAC 不是直角，而（1）中的其他条件不变，若BE =CF的结论仍然成立，请写出△AEF 必须满足的条件，并加以证明．解：图略．画图正确得1分．（1）∠F =45°时，BE =CF ． ………………2分（2）答：若BE =CF 的结论仍然成立，则AE =AF ，△AEF 是等腰三角形．………………3分证明：延长FD 到点G ，使得FD =GD ，连结BG .………………4分∵ 点D 是BC 边中点， ∴ DC =DB .在△DCF 和△DBG 中,,,DC DB CDF BDG DF DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △DCF ≌△DBG . ………………5分 ∴ ∠F ＝∠G.，CF =BG .当△AEF 是等腰三角形，AE =AF 时，∠F ＝∠2 .∵∠1＝∠2 ，∴ ∠1＝∠G .. ………………6分∴ BE =BG . ∴ BE = CF . ………………7分3．已知：如图①，△ABC 是等边三角形，四边形BDEF 是菱形，其中DF=DB ，连接AF 、CD ．(1) 观察图形，猜想AF 与CD 之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不必证明；(2) 将菱形BDEF 绕点B 按顺时针方向旋转，使菱形BDEF 的一边落在等边△ABC 内部，在图②中画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，请问：（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；(3) 在上述旋转过程中，AF 、CD 所夹锐角的度数是否发生变化？若不变，请你求出它的度数，并说明你的理由；若改变，请说明它的度数是如何变化的．21GFEDCBA解：（1）AF=CD ． …………………………………………………………… 1′ （2）变换后的菱形BDEF 如图，结论AF=CD 仍然成立． 理由：在等边△ABC 中，AB=BC ， 在菱形BDEF 中，BF=BD ． ∵ DF=DB ， ∴ DF=DB=BF ．∴ ∠FBD=∠ABC =60°． ∴ ∠FBD -∠1=∠ABC -∠1． 即 ∠2=∠3．∴ △ABF ≌△CBD ．∴ AF=CD ． …………………… 4′ （3）不变化；60°．设CD 与AF 交于点O ，与AB 交于点G ，由（2）知：∠BAF=∠BCD, 又 ∠AGO=∠CGB, ∴ ∠AOC=∠ABC=60°．即AF 与CD 所夹锐角始终为60°． ……………………………………………… 7′ 4．操作：在△ABC 中，AC =BC =2,∠C =90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边的中点P 处，将三角板绕点P 旋转，三角板的两直角边分别交射线AC 、CB 于D 、E 两点，图①②③是旋转三角板得到的图形中的其中三种. 探究：（1）三角板绕点P 旋转，观察线段PD 和PE 之间有什么大小关系？它们的关系为 ，不必写出证明过程.（本问1分） （2）三角板绕点P 旋转，△PBE 能否成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即求出△PBE 为等腰三角形时线段CE 的长）；若不能，请说明理由. （本问4分） （3）若将三角板顶点放在斜边上的M 处，且AM ∶MB =1∶n （n 为大于1的整数），和前面一样操作，试问线段MD 和ME 之间又有什么大小关系？仿照图①、图②、图③的情况，请选择一种，写出证明过程.（本问满分3分，仿照图①得1分、仿照图②得2分、仿照图③得3分；图④供操作、实验用）.（2）解：AM① P E P A B ③ ② E P A C B D（3）结论为： . 证明：4. 解：（1）PD=PE （或相等）；…………………………………………………………1分 （2）共有四种情况，①当点C 与点E 重合，即CE ＝0时，PE ＝PB②当CE=22-，此时PB=BE③当CE ＝1时，此时PE ＝BE④当E 在CB 的延长线上，且CE=22+时，此时PB=EB.……………………5分(注：每答出一种情况得1分) （3）结论：MD ∶ME ＝1∶n(ⅰ)如图⑤，选择样式①的方法： ∵AM ∶MB=1∶n ， ∴AM ∶AB=1∶(n+1). ∵MD ∥BC ，∴11+==n AB AM BC MD . 同理，ME ∥AC ，∴1+==n nBC BE AC ME . ∴MD ∶ME ＝1∶n ……………………………………………………………………6分（ⅱ）如图⑥，选择样式②的方法：过点M 作MF ⊥AC ，MG ⊥BC ，垂足分别是F 、G ， ∴MG//AC ，MF//BC ∴四边形CGMH 是平行四边形.∵∠C=90°， ∴四边形CGMH 为矩形. ∴∠FMG=90°，∴∠DMF+∠DMG=∠DMG+∠EMG=90°. ∴∠DMF =∠EMG .∵∠MFD=∠MGE=90°，∴△MFD ∽△MGE.⑤⑥∴MGMFME MD =. 由(ⅰ)已证nMG MF 1=，∴MD ∶ME ＝1∶n.……………………………………………………………………7分 （ⅲ）如图⑦，选择样式③的方法，证明过程仿（ⅱ）.…………………………8分5．已知正方形ABCD 和等腰Rt 0,,90,BEF EF BE BEF =∠=V 按图1放置，使点F 在BC 上，取DF 的中点G ，连EG 、CG .(1)探索EG 、CG 的数量关系，并说明理由；（2）将图1中BEF V 绕B 点顺时针旋转045得图2，连结DF, 取DF 的中点G ，问（1）中的结论是否成立，并说明理由；（3）将图1中BEF V 绕B 点转动任意角度（旋转角在0到090之间）得图3，连结DF ，取DF 的中点G ，问（1）中的结论是否成立，请说明理由；解： （1）EG=CG证明：∵∠DEF =∠DCF=900,DG=GF,∴12EG DF CG ==………………………2分 （２）EG=CG证明：过点F 作BC 的平行线交DC 的延长线于点M, 连结MG 。

∴EF=CM ，易证EFCM 为矩形∴∠EFG =∠GDM在直角三角形FMD 中，∴DG=GF,∴FG=GM=GD∴∠GMD =∠GDM. ∴∠EFG =∠GMD∴△EFG ≌△GCM. EG=CG.………………………5分(3)取BF 的中点H,连结EH ，GH,取BD 的中点O,连结OG,OC∵CB=CD,∠DCB=900,∴12CO BD =. ∵DG=GF,FCM图3C图1FB CF C图3C1//,.21//,.2GH BD GH BD OG BF OG BF ∴=∴=且且∴CO=GH.∵△BEF 为等腰直角三角形，∴1.2EH BF =∴EH=OG. ∵四边形OBHG 为平行四边形，∴∠BOG=∠BHG.∵∠BOC=∠BHE=900,∴∠GOC=∠EHG.∴△GOC ≌△EHG.∴EG=GC.。