沪科版-数学-九年级上册- 二次函数 知识点解读
沪科版九年级上第21章21.1二次函数的概念典型例题及练习(无答案)
二次函数一、知识点复习1.二次函数的定义：形如c+y+=2（c b a,,为常数，且0≠a）的函数叫做x的二次函数。
axbx注意事项：二次函数必须满足三个条件①函数表达式为整式；②函数表达式有唯一的自变量；③表达式自变量的最高次数是2且二次项系数不等于0.2.二次函数的一般形式：任何一个二次函数的关系式都可以化成c+=2（c b a,,为常数，且0≠a）y+bxax的形式，我们把c=2（c b a,,为常数，且0≠a）叫做二次函数的一般形式，+bxaxy+其中c,2分别是二次项、一次项、常数项，b a,分别是二次项系数和一次项系数。
ax,bx3.二次函数两个变量的值:（1）函数值：求函数的值就是求代数式的值。
当给定自变量x的一个值后，就有唯一的y的值与之对应，这时y的值就是函数值。
（2）自变量的值：已知函数值求自变量的值实质就是解关于自变量的一元二次方程。
当给定一个y的值，对应x的值有1个或2个或没有值与之对应。
3.列二次函数的表达式（1）列函数表达式:在实际问题中，表示两个变量的关系，需要找到问题中的等量关系，列出含有这两个变量的二元方程，在按要求化成用含一个变量的代数式表示另一个变量的形式。
（2）实际问题列表达式的步骤：①确定自变量与因变量的实际意义①找到自变量与因变量之间的等量关系，根据等量关系列出方程或等式；①将方程或等式整理成二次函数的一般形式。
（3）自变量的取值范围：①一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数；②但实际问题中的自变量的取值范围必须使实际问题有意义。
二．考点讲解知识点1.二次函数的定义：形如c+=2（c b a,,为常数，且0≠a）的函数叫做x的二次函数。
y+bxax注意事项：二次函数必须满足三个条件①函数表达式为整式；②函数表达式有唯一的自变量；③表达式自变量的最高次数是2且二次项系数不等于0.考点1：利用二次函数的定义识别二次函数例题1：下列函数哪些是二次函数？①25x y -=；①112-=x y ；①)31(2x x y -=；④22)1(x x y +-=；⑤p nx mx y ++=2（p n m ,,均为常数）变式练习（2019奉贤区一模）下列函数中是二次函数的是（ ）A.)1(2-=x yB.22)1(x x y --=C.2)1(-=x a yD.122-=x y考点2：二次函数的一般形式中的系数问题例题2：二次函数)3(2-=x x y 的二次项系数与一次项系数的和为（ ）A.2B.-2C.-1D.-4变式练习 二次函数3)2(212--=x y 中，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 。
21.2 二次函数的图像和性质
新课标沪科版·数学 九年级上
第21章 二次函数与 反比例函数
21.2 二次函数的图像和性质
知识点 二次函数y=ax²的图象和性质
投篮命中率是衡量一名篮球运动员得分能力 的重要标志,要提高投篮命中率,应该将球的运动路 线想象成抛物线,在心中建立如图所示的抛物线模 型,这种类型的抛物线表达式为y=ax²(a≠0),尽量向 高处抛出篮球,落点就是篮筐,这样投篮命中率会高 一些,同学们不妨多尝试几次,效果会不错的呦!
精度最高的望远镜,用来探测来自太空的无线电波.根
据有关资料显示,该望远镜的轴截面呈抛物线状,口径
AB为500米,最低点C到口径面AB的距离是100米,若按
图(2)中方式建立平面直角坐标系,则抛物线的表达式
就是y=
1 625
x²-100.
知识点 二次函数y=a(x+ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ)²的图象和性质
太阳镜,也称遮阳镜,作遮阳之用.人在阳光下 通常要靠调节瞳孔大小来调节光通量,当光线强 度超过人眼调节能力时,就会对人眼造成伤害.所 以在户外活动场所,特别是在夏天,需要采用遮阳 镜来遮挡阳光,以减轻眼睛调节造成的疲劳或强 光刺激造成的伤害.如图所示的是一副太阳镜,
知识点 用待定系数法求二次函数表达式
跳台滑雪简称“跳雪”.就是运动员脚着特 制的滑雪板,沿着跳台的倾斜助滑道下滑.跳雪是 冬季奥运会比赛项目之一,运动员起跳后的飞行 路线可以看作是抛物线的一部分,运动员起跳后 的竖直高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)近似 满足函数关系y=ax²+bx+c(a≠0).下图记录了某 运动员起跳后的x与y的三组数据,根据上述函数 模型和数据,可推断出该运动员起跳后飞行到最 高点时的水平距离.
沪科版数学九年级上册教学课件：21.1 二次函数(共27张PPT)
解：由题意可得 －10x2＋180x＋400＝1120，
整理得
x2－18x＋72＝0，
解得
x1＝6，x2＝12(舍去)．
所以，该产品的质量档次为第6档．
【解题归纳】解决此类问题的关键是要吃透题意， 确定变量，建立函数模型．
新课进行时
思考： 1.已知二次函数y＝－10x2＋180x＋400 ,自变量x的取 值范围是什么？ 2.在例3中，所得出y关于x的函数关系式y＝－10x2＋ 180x＋400，其自变量x的取值范围与1中相同吗？
【总结】二次函数自变量的取值范围一般是全体实数， 但是在实际问题中，自变量的取值范围应使实际问题 有意义.
新课进行时 核心知识点三 二次函数的值
例4 一个二次函数 y (k . 1)xk23k4 2x 1
（1）求k的值.
（2）当x=0.5时，y的值是多少？
解：（1）由题意，得
k
2
3k
4
2,函数Leabharlann 系；S 6a2 (a 0)
（2）写出圆的面积y(cm2)与它的周长x(cm)之间的函数关系；
y x2 (x 0)
4
（3）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S(cm2)与 一对角线长x(cm)之间的函数关系．
S 1 x(26 x) 1 x2 13x(0 x 26)
2
解：∵第一档次的产品一天能生产95件，每件利润6
元，每提高一个档次，每件利润加2元，但一天产量
减少5件，
∴第x档次，提高了(x－1)档，利润增加了2(x－1)元．
∴y＝[6＋2(x－1)][95－5(x－1)]，
即y＝－10x2＋180x＋400(其中x是正整数，且1≤x≤10)；
沪教版九年级上册-二次函数复习 讲义
教学内容—二次函数综合复习知识精要二次函数的概念：形如2(0)y ax bx c a =++≠的函数。
定义域是一切实数。
二次函数的图像函数 对称轴顶点 开口方向最值 ()20y ax a =≠ y 轴 （0，0）a>0,图像开口向上,顶点是最低点; a<0,图像开口向下,顶点是最高点.()20y ax c a =+≠ y 轴),0(cc()()20y a x m a =+≠m x -= ()0,m -)0()(2≠++=a k m x a y m x -=),(k m -k()02≠++=a c bx ax yabx 2-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,22 ab ac 442-)0)()((1≠--=a x x x x a y x221x x x +=一、选择题典型例题1）有关二次函数图像与系数关系1．如果0k <（k 为常数），那么二次函数22y kx x k =-+的图像大致为 （ ）．2. 已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图像如图所示， 以下关于实数c b a ,,的符号判断中，正确的是（ ） A.0,0,0>>>c b a B.0,0,0><>c b a C.0,0,0<>>c b a D.0,0,0<<>c b a第6题ABCDy O x y Ox yOxyOx2）二次函数性质的判断：对称轴，开口方向，顶点，增减性1． 已知点11()x y ，，22()x y ，均在抛物线21y x =-上，下列说法中正确的是 （ ） A. 若12y y =，则12x x = B. 若12x x =-，则12y y =- C. 若120x x <<，则12y y > D. 若120x x <<，则12y y > 2．关于抛物线4)1(32-+-=x y ，下列说法正确的是 （ ）A ．抛物线的对称轴是直线1=x ；B ．抛物线在y 轴上的截距是4-；C ．抛物线的顶点坐标是（41--，）； D ．抛物线的开口方向向上． 3．已知函数222y x x =--的图像如图所示，根据图像提供的信息，可得y ≤1时，x 的取值范围是 （ ）A ．3x -≥B ．31x -≤≤C ． 13x -≤≤D ．1x -≤或3x ≥4．对于抛物线23y x =-，下列说法中正确的是（ ）A ．抛物线的开口向下 ；B ．顶点（0，－3）是抛物线的最低点 ；C ．顶点（0，－3）是抛物线的最高点；D ．抛物线在直线0x =右侧的部分下降的．3）二次函数的平移问题1．把抛物线22y x =--平移后得到抛物线2y x =-,平移的方法可以是（ ）． A. 沿y 轴向上平移2个单位； B. 沿y 轴向下平移2个单位； C. 沿x 轴向右平移2个单位； D. 沿x 轴向左平移2个单位．2. 把抛物线()216+=x y 平移后得到抛物线26x y = ，平移的方法可以是 （ ）.A. 沿y 轴向上平移1个单位；B. 沿y 轴向下平移1个单位；C. 沿x 轴向左平移1个单位；D. 沿x 轴向右平移1个单位. 巩固练习1．已知抛物线解析式为243y x x =--，若点P （2-，5）与点Q 关于该抛物线的对称轴对称，则点Q 的坐标是__________．2．二次函数322+=x y 图象的顶点坐标是 .3．如果二次函数()()21122+-++=x k x k y ，那么它的图象的开口向 .4. 如果)8,(x A ，),2(y B -是二次函数221x y =图像上的两个点，那么=+y x . 5．抛物线c bx x y ++=2经过点)3,0(和)0,1(-，那么抛物线的解析式是 ． 6．如果二次函数a x x y ++=2与x 轴有交点,那么实数a 的取值范围是 .7. 抛物线12-=ax y 上有一点)2,2(P ，平移该抛物线，使其顶点落在点)1,1(A 处，这时，点P 落在点Q 处，则点Q 的坐标为 ．二、 二次函数解答题典型例题例1.在直角坐标平面内，已知抛物线()()012>-=a x a y 顶点为A ,与y 轴交于点C ，点B 是抛物线上另一点，且横坐标为3，若⊿ABC 为直角三角形时，求a 的值.例2．如图，抛物线322++=ax ax y 与y 轴交于点C ，与x 轴交于A 、B 两点（点A 和点B 分别在x 轴的正、负半轴上），3cot =∠OCA ． （1）求抛物线的解析式；（2）平行于x 轴的直线l 与抛物线交于点E 、F （点F 在点E 的左边），如果四边形OBFE 是平行四边形，求点E 的坐标．巩固练习1. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于A 、B 两点，点A 在x 轴负半轴，点B 在x 轴正半轴，与y 轴交于点C ，且tan ∠ACO =12，CO =BO ，AB =3，求这条抛物线的函数解析式.CyO A BxCxy oA 11-4B三、二次函数与相似结合题例1. 抛物线2y ax bx c =++的图象如图所示，已知该抛物线与x 轴交于A 、B 两点，顶点为C ， （1）根据图象所给信息，求出抛物线的解析式； （2）求直线BC 与y 轴交点D 的坐标；（3）点P 是直线BC 上的一点，且APB ∆与DOB ∆相似，求点P 的坐标.例2．如图9，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，二次函数图像经过(1,2)A -、(3,2)B -和(0,1)C 三点，顶点为P ．（1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点P 的坐标； （2）联结PC 、BC ，求BCP ∠的正切值；（3）能否在第一象限内找到一点Q ,使得以Q 、C 、A 三点为顶点的三角形与以C 、P 、B 三点为顶点的三角形相似？若能，请确定符合条件的点Q 共有几个，并请直接写出它们的坐标；若不能，请说明理由．自我测试1．下列抛物线中，顶点在第一象限内的是 ( ) A.2)1(21-=x y B. 3212+=x y C. 3)1(212++=x y D. 3)1(212+-=x y . 2．若A （113,4y -），B （2,45y -），C （3,41y ）为二次函数245y x x =--的图像上的三点，则1,y 2,y 3y 的大小关系是 （ ）．A.123y y y <<B. 321y y y <<C. 312y y y <<D. 132y y y << 3．将抛物线y =2x 2向左平移1个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线，其解析式是( ) A. y=2(x+1)2 +3； B. y=2(x －1)2－3； C. y=2(x+1)2－3； D. y=2(x －1)2+3．4. 若二次函数k x x y +-=32的图像与x 轴有公共点,则实数k 的取值范围是 。
沪科版九年级数学上册21.2二次函数y=ax2的图象与性质说课稿
本节课的教学内容为沪科版九年级数学上册21.2二次函数y=ax^2的图象与性质。该章节位于初中数学课程中函数学习的重要部分，是在学习了二次函数的概念及其表达式的基础上，进一步研究二次函数的图象与性质。主要知识点包括：
（3）了解二次函数y=ax^2的图象与系数a的关系，能够根据系数a判断图象的开口方向、对称轴等。
2.过程与方法：
（1）通过观察和分析二次函数y=ax^2的图象，培养学生观察、归纳、总结的能力。
（2）运用数学方法，如数形结合、函数变换等，引导学生探究二次函数的性质。
（3）通过实例分析，使学生能够灵活运用二次函数的图象与性质解决实际问题。
1.数形结合法：通过将二次函数的代数表达式与图象相结合，帮助学生直观地理解函数的性质和变化规律。这种方法符合学生的认知特点，有助于抽象概念的形象化，提高学习效果。
2.探究式教学法：引导学生通过观察、猜想、验证、总结的过程来发现二次函数的性质。这种教学方法能够激发学生的好奇心和探究欲，培养他们的创新精神和实践能力。
（2）二次函数y=ax^2的性质，如单调性、最值等。
（3）二次函数y=ax^2的图象与系数a的关系。
2.教学难点：
（1）如何引导学生理解二次函数y=ax^2的图象特征与系数a的关系。
（2）如何让学生掌握二次函数y=ax^2的性质，并能运用这些性质解决实际问题。
（3）如何培养学生运用数形结合、函数变换等数学方法探究二次函数的性质。
3.展示一个有趣的数学问题，如“如何确定一个抛物线拱门的最高点？”通过问题引导学生思考，自然过渡到二次函数的性质。
（二）新知讲授
在新知讲授阶段，我将采取以下步骤引导学生深入理解二次函数的图象与性质：
沪教版 九年级(上)数学 秋季课程 第6讲 二次函数的概念及图像
二次函数是九年级上学期第三章的内容，包括二次函数的概念及其图像．基本要求是理解二次函数的概念，会用描点法画二次函数的图像，会用二次函数的解析式来表达相应的抛物线，并掌握二次函数2y ax=的图像平移得到二次函数2y ax c=+、()2y a x m=+和()2y a x m k=++的图像的规律．重点是二次函数的图像的特征及画法．1、二次函数一般地，解析式形如2y ax bx c=++（其中a、b、c是常数，且0a≠）的函数叫做二次函数．二次函数2y ax bx c=++的定义域为一切实数．而在具体问题中，函数的定义域根据实际意义来确定．二次函数的概念及图像内容分析知识结构模块一：二次函数的概念知识精讲2 / 18【例1】 下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ） A ．31y x =-B ．2y ax bx c =++C ．221s t =+D ．21y x x=+【例2】 二次函数23y x =--中，二次项系数为______，一次项系数为______，常数项为______．【例3】 二次函数2321y x x =--，当1x =-时，y = ______；当x = ______时，y = 0．【例4】 当m ______时，函数()()22423y m x m x =-+-+是二次函数．【例5】 用一根80 cm 的铁丝，把它弯成一个矩形框，求它的最大面积．请设变量，并列出函数解析式：______________________________________________________．【例6】 已知二次函数2y x bx c =++，当x = 0时，y = 1；当x = 2时，1y =-．求当3x =-时y 的值．例题解析ABCDE【例7】 二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图像经过点（1，1），则1a b ++的值是（ ） A ．3- B ．1-C ．2D ．3【例8】 如图，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB = AC = 2，D 是BC 上异于B 、C 的一个动点，过点D 作45ADE ∠=︒，DE 交AC 于点E ．设BD = x ，AE = y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．4 / 181、 2y x =的图像在平面直角坐标系xOy 中，按照下列步骤画二次函数2y x =的图像． （1）列表：取自变量x 的一些值，计算相应的函数值y ，如下表所示： x… -2 112- -1 12- 0 121 1122 … 2y x =…4124 114 014 11244…（2）描点：分别以所取的x 的值和相应的函数值y 作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐标所对应的各点，如图1所示．（3）连线：用光滑的曲线把所描出的这些点顺次联结起来，得到函数2y x =的图像，如图2所示．二次函数2y x =的图像是一条曲线，分别向左上方和右上方无限伸展．它属于一类特殊的曲线，这类曲线称为抛物线．二次函数2y x =的图像就称为抛物线2y x =． 2、 二次函数2y ax =的图像抛物线2y ax =（0a ≠）的对称轴是y 轴，即直线x = 0；顶点是原点．当0a >时，抛物线开口向上，顶点为最低点；当0a <时，抛物线开口向下，顶点为最高点．模块二：特殊二次函数的图像知识精讲12 3 4 12 3 4 xy xyOO1212-2 -1 -2 -1 图1图23、 二次函数2y ax c =+的图像一般地，二次函数2y ax c =+的图像是抛物线，称为抛物线2y ax c =+，它可以通过将抛物线2y ax =向上（0c >时）或向下（0c <时）平移c 个单位得到．抛物线2y ax c =+（其中a 、c 是常数，且0a ≠）的对称轴是y 轴，即直线x = 0；顶点坐标是（0，c ）．抛物线的开口方向由a 所取值的符号决定，当0a >时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当0a <时，开口向下，顶点是抛物线的最高点． 4、 二次函数()2y a x m =+的图像一般地，二次函数()2y a x m =+的图像是抛物线，称为抛物线()2y a x m =+，它可以通过将抛物线2y ax =向左（0m >时）或向右（0m <时）平移m 个单位得到．抛物线()2y a x m =+（其中a 、m 是常数，且0a ≠）的对称轴是过点（-m ，0）且平行（或重合）于y 轴的直线，即直线x = -m ；顶点坐标是（-m ，0）．当0a >时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当0a <时，开口向下，顶点是抛物线的最高点． 5、 二次函数()2y a x m k =++的图像二次函数()2y a x m k =++（其中a 、m 、k 是常数，且0a ≠）的图像即抛物线()2y a x m k =++，可以通过将抛物线2y ax =进行两次平移得到．这两次平移可以是：先向左（0m >时）或向右（0m <时）平移m 个单位，再向上（0k >时）或向下（0k <时）平移k 个单位．利用图形平移的性质，可知：抛物线()2y a x m k =++（其中a 、m 、k 是常数，且0a ≠）的对称轴是经过点（m -，0）且平行于y 轴的直线，即直线x =m -；抛物线的顶点坐标是（m -，k ）．抛物线的开口方向由a 所取值的符号决定，当0a >时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当0a <时，开口向下，顶点是抛物线的最高点．6 / 18【例9】 二次函数213y x =-的图像是______，开口方向______，顶点坐标为______．【例10】 抛物线2y ax c =+的顶点坐标为______，对称轴为______．【例11】 抛物线22y x =，22y x =-，221y x =+共有的性质是（ ） A ．开口向上 B ．对称轴都是y 轴 C ．都有最高点 D ．顶点都是原点【例12】 抛物线()21y a x =-有最高点，则a 的取值范围为______，最高点的坐标为______．【例13】 抛物线()2213y x =-++的顶点坐标是（ ） A ．（1，3） B ．（1，3-） C ．（1-，3） D ．（1-，3-）【例14】 抛物线()21y x =-+上有三点A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），C （3x ，3y ），且110x -<<，230x x <<，则比较1y ，2y ，3y 的大小为____________．例题解析【例15】 将抛物线2y ax =向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为2-，且新抛物线经过点（1，3），则a 的值为______．【例16】 将抛物线25y x =向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线是（ ） A ．()2523y x =++ B ．()2523y x =+- C ．()2523y x =-+D ．()2523y x =--【例17】 若直线3y x m =+经过第一、三、四象限，则抛物线()21y x m =-+的顶点必在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【例18】 抛物线上有两点（3，8-）和（5-，8-）则它的对称轴是（ ） A ．直线1x =- B ．直线1x = C ．直线2x = D ．直线3x =【例19】 把抛物线()22y x m =+向上平移n 个单位，使新得到的抛物线2y ax bx c =++通过点（2，5）与（1，1），求a ，b ，c ，m ，n 的值．【例20】 如图，抛物线2y ax =上的点B 、C 与x 轴上的两点A （6-，0）、D （2，0）构成A B CDO xyE平行四边形，BC与y轴相交于点E（0，6），求系数a的值．8/ 181、 二次函数2y ax bx c =++的图像二次函数2y ax bx c =++的图像称为抛物线2y ax bx c =++，这个函数的解析式就是这条抛物线的表达式．任意一个二次函数2y ax bx c =++（其中a 、b 、c 是常数，且0a ≠）都可以运用配方法，把它的解析式化为()2y a x m k =++的形式．对2y ax bx c =++配方得：22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭． 由此可知：抛物线2y ax bx c =++（其中a 、b 、c 是常数，且0a ≠）的对称轴是直线2bx a=-，顶点坐标是（2ba-，244ac b a -）．当0a >时，抛物线2y ax bx c =++开口向上，顶点是抛物线的最低点，抛物线在对称轴（即直线2bx a=-）左侧的部分是下降的，在对称轴右侧的部分是上升的； 当0a <时，抛物线2y ax bx c =++开口向下，顶点是抛物线的最高点，抛物线在对称轴（即直线2bx a=-）左侧的部分是上升的，在对称轴右侧的部分是下降的． 2、 二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴的交点的个数判断二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴交点的个数，即为判断一元二次方程20ax bx c ++=的解的个数，这样就可以利用一元二次方程根的判别式24b ac ∆=-来进行解题．模块三：二次函数y = ax 2+ bx + c 的图像知识精讲10 / 18xyO1【例21】 说出函数2288y x x =-+-的图像的开口方向，对称轴，顶点坐标，这个函数有最大值还是最小值？是多少？【例22】 二次函数2y ax bx c =++的图像如上右图所示，则abc ，24b ac -，2a b +，a b c ++，a b c -+这五个式子中，值为正数的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【例23】 将抛物线213662y x x =-++先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式是__________________________．【例24】 已知二次函数25y x bx =-++，它的图像经过点（2，3-）． （1）求这个函数关系式及它的图像的顶点坐标；（2）当x 为何值是，函数y 随着x 的增大而增大？当x 为何值时，函数y 随着x 的增大而减小？【例25】 若直线y = x + 2与抛物线22y x x =+有交点，则它的坐标是______．【例26】 已知二次函数223y x x =--，当03x ≤≤时，y 的最大值是______，最小值是______．例题解析A BOxyy【例27】 已知抛物线22y x x a =-+的顶点A 在直线3y x =-+上，直线3y x =-+与x 轴的交点为B 点，点O 为直角坐标系的原点．（1）求点B 的坐标与a 的值； （2）求AOB ∆的面积．【例28】 已知抛物线()229y x a x =-++的顶点在坐标轴上，求a 的值．【例29】 若对于任何实数x ，二次函数()2123y m x mx m =-+++的图像全在x 轴上方，求m的取值范围为．【例30】 如图，抛物线24y x x =-与x 轴交于O 、A 两点，P 为抛物线上一点，过点P 的直线y x m =+与对称轴交于点Q ．（1）这条抛物线的对称轴是______，直线PQ 与x 轴所夹的锐角的度数是______；（2）若两个三角形的面积满足13POQ PAQ S S ∆∆=，求m 的值；（3）当点P 在x 轴下方的抛物线上时，过点C （2，2）的直线AC 与直线PQ 交于点D ，求：○1PD + DQ 的最大值；○2PD DQ 的最大值．12/ 18【习题1】 下列函数中，不是二次函数的是（ ） A ．212y x =- B ．()2214y x =+- C ．()()1142y x x =-+D ．()2221y x x =--+【习题2】 抛物线()223y x =-的顶点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．x 轴上 D ．y 轴上【习题3】 已知抛物线243y x x =++，请回答以下问题：（1）它的开口方向______，对称轴是直线_______，顶点坐标为______； （2）图像与x 轴的交点为______，与y 轴的交点为______．【习题4】 有下列4个函数关系式：○1正方形的面积S 与边长x 的关系；○2圆的面积S 与圆周长l 的关系；○3已知周长为l 的矩形中，面积S 与一边长x 的关系；○4已知面积为S 的矩形中，周长l 与一边长x 的关系．其中二次函数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【习题5】 抛物线22y ax bx =++经过点（2-，3），则36b a -=______．【习题6】 已知函数()()221mmy m x m x -=+++，（m 为常数）．随堂检测14 / 18xy（A ） B CDO （1）当m 为何值时，这个函数是二次函数？ （2）当m 为何值时，这个函数是一次函数？【习题7】 把抛物线()222y x =-+向左平移4个单位，再向下平移3个单位，求平移后抛物线的函数解析式，并指出它的开口方向，顶点坐标和对称轴．【习题8】 已知抛物线23y ax bx =++的对称轴是直线x = 1． （1）求证：2a + b =0；（2）若关于x 的方程280ax bx +-=的一个根为4，求方程的另一个根．【习题9】 如图，已知矩形ABCD 的宽CD = 1，点C 在y 轴右侧沿抛物线2610y x x =-+滑动，滑动过程中保持CD // x 轴．当点D 在y 轴上时，AB 正好在x 轴上．（1）求矩形的长BC ；（2）当矩形在滑动过程中被x 轴分成两部分的面积之比为1 : 4时，求点C 的坐标．【习题10】 如图，二次函数1L ：223y ax ax a =-++（a > 0）和二次函数2L ：()211y a x =-++xyAE F N MO （a > 0）的图像的顶点分别为M 、N ，与y 轴分别交于点E 、F ．（1）函数223y ax ax a =-++（a > 0）的最小值为______；当二次函数1L 、2L 的y 值同时随着x 的增大而减小时，x 的取值范围是_________________；（2）当EF = MN ，求a 的值，并判断四边形ENFM 的形状（直接写出，不必证明）； （3）若二次函数2L 的图像与x 轴的右交点为A （m ，0），当AMN ∆为等腰三角形时，求方程()2110a x -++=的解．16 / 18【作业1】 对于任意实数x ，二次函数2y ax =的值总是非正数，则a 的取值范围是（ ） A ．0a > B ．0a < C ．0a ≥ D ．0a ≤【作业2】 抛物线2243y x x =--，当x ______时，函数值y 随x 的增大而减小；当x ______时，函数值y 随x 的增大而增大；当x ______时，函数取最______值为______．【作业3】 抛物线234y x x =--+与坐标轴的交点个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【作业4】 给任意实数n ，得到不同的抛物线2y x n =+，当n = 0，1或1-时，关于这些抛物线有以下结论：○1开口方向不同；○2对称轴不同；○3都有最低点；○4可以通过一个抛物线平移得到另一个，其中判断正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【作业5】 已知函数()2113m y m x x +=-+，当m ______时，它是二次函数．【作业6】 抛物线()2612y x =+-可由抛物线262y x =-向______平移______个单位得到．课后作业xyxyOOA BA BCD Em n【作业7】 二次函数()22y x m =-+的图像顶点在______轴上，对称轴直线x = 1，则函数解析式为______．【作业8】 已知抛物线()()2y x m x m =---，其中m 是常数． （1）求证：不论m 为何值，该抛物线与x 轴一定有两个公共点；（2）若该抛物线的对称轴为直线52x =．○1求该抛物线的函数解析式； ○2该抛物线沿y 轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x 轴只有一个公共点？【作业9】 如图1，一次函数y kx b =+的图像与二次函数2y x =的图像相交于A 、B 两点，点A 、B 的横坐标分别为m 、n （m < 0，n > 0）．（1）当1m =-，n = 4时，k =______，b =______；当2m =-，n = 3时，k =______，b =______．（2）用含m 、n 的代数式分别表示k 与b ． （3）利用（2）的结论，解答下面问题：如图2，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点C 、D ，点A 关于y 的对称点为E ，连接AO 、OE 、ED ．○1当3m =-，n > 3时，求AOD AOEDS S ∆∆四边形的值（用含n 的代数式表示）○2当四边形AOED 为菱形时，m 与n 满足的关系为_________________；当四边形AOED 为正方形时，m =______，n =______．18 / 18ABCDO xy【作业10】 如图，两条抛物线的解析式分别是211y ax ax =--+，221y ax ax =---（其中a为常数）．（1）请写出三条与上述抛物线有关的不同类型的结论；（2）当12a =时，设211y ax ax =--+与x 轴分别交于M 、N 两点（M 在N 的左边），221y ax ax =---与x 轴分别交于E 、F 两点（E 在F 的左边），观察M 、N 、E 、F 四点坐标，请写出一个你所得到的正确的结论，并说明理由；（3）设上述两条抛物线相交于A 、B 两点，直线l 、1l 、2l 都垂直于x 轴，1l 、2l 分别经过A 、B 两点，l 在1l 、2l 之间，且l 与两条抛物线分别交于C 、D 两点，求线段CD 的最大值．。
沪科版九年级数学上第21章二次函数与反比例函数21
(2)若这个函数是二次函数， 则 m2－m≠0，即 m≠1 且 m≠0.
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14．如图，一块草地是长 80 m，宽 60 m 的矩形，欲在中间修筑两条互相 垂直的宽为 x m 的小路，这时草坪的面积为 y m2.求 y 与 x 的函数表达式， 并写出自变量 x 的取值范围．
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解：(1)S＝12πr2＋8r(r＞0)．
(2)当 r＝2，π＝3.14 时， S＝12×3.14×22＋8×2 ＝22.28 ≈22.3(m2)．
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（A ）
C．y＝(1－x)2＋a D．y＝x2＋a
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6．已知正方形的周长是 x cm，面积为 y cm2，则 y 与 x 之间的函数表达
式为_y_＝y＝116x2(x＞x02)(x＞0)__．
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（C ）
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9．下列关系中，是二次函数关系的是
（C ）
A．当距离 s 一定时，汽车行驶的时间 t 与速度 v 之间的关系
B．在弹性限度内，弹簧的长度 y 与所挂物体的质量 x 之间的关系
C．圆的面积 S 与圆的半径 r 之间的关系
沪教版九年级二次函数知识点汇总
二次函数知识点汇总1.定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的一元二次函数.2.二次函数的性质(1)抛物线的顶点是原点，对称轴是轴.(2)函数的图像与的符号关系：①当时抛物线开口向上顶点为其最低点；②当时抛物线开口向下顶点为其最高点3.二次函数的图像是对称轴平行于(包括重合)轴的抛物线.4.二次函数用配方法可化成：的形式，其中.5.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；越小，抛物线的开口越大，越大，抛物线的开口越小。
②对称轴为平行于轴(或重合)的直线，记作.特别地，轴记作直线.③定点是抛物线的最值点[最大值(时)或最小值(时)]，坐标为(,)。
6.求抛物线的顶点、对称轴的方法(1)公式法：，∴顶点是，对称轴是直线.(2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是.(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线上纵坐标相等的两个点连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★7.抛物线中，的作用(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线,故：①时，对称轴为轴；②时,对称轴在轴左侧；③时,对称轴在轴右侧.(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：1，抛物线经过原点; ②,与轴交于正半轴；③,与轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则.8. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①；②；③；④；⑤.图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当时开口向上(轴)(0,0) ( (0,当时开口向下轴))(,0)(,)()9.用待定系数法求二次函数的解析式(1)一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.(2)顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(3)交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：.10.直线与抛物线的交点（或称二次函数与一次函数关系）(1)轴与抛物线得交点为()(2)与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,).(3)抛物线与轴的交点二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点抛物线与轴相交；②有一个交点(顶点在轴上)抛物线与轴相切；③没有交点抛物线与轴相离.(4)平行于轴的直线与抛物线的交点同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.而根的存在情况仍如(3)一样由根的判别式判定。
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《二次函数》知识点解读
知识点1 二次函数的概念
二次函数的概念：形如y=ax 2+bx+c （a≠0，a,b,c 为常数）的函数是二次函数。
若b=0，则y=ax 2+c ；
若c=0，则y=ax 2+bx ；
若b=c=0，则y=ax 2。
以上三种形式都是二次函数的特殊形式，
而y=ax 2+bx+c 是二次函数的一般式。
在二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0，a,b,c 为常数）中，其中ax 2叫做二次项，a 叫做二次项的系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项的系数；c 叫做常数项。
为什么要规定二次项的系数a≠0？当a=0时，函数为y=bx+c 是一次函数，由此可见，一次函数是二次函数的特例。
（1）a≠0是保证y 是x 的二次函数的重要条件，不能缺少。
b 、c 可以为0.
（2）因为解析式是整式，所以自变量x 的取值范围是全体实数。
（3）确定二次函数的解析式就是确定待定系数a ，b ，c ，一般需要三个条件。
（4）识别二次函数的条件：必须是整式，自变量的最高次数为2，即必须有二次项。
例1 下列函数中，哪些是二次函数？
（1）y=2+5x 2 （2）3
22+=x y （3）y=3x （x+5） （4）225x y = （5）y=x 2-4（4-x ）2
分析：二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0，a,b,c 为常数）是整式函数，二次函数不一定是一般式，通过化简变形可以化成一般式，注意隐含条件a≠0。
解：（1）（3）（4）（5）是二次函数；（2）不是。
例2 已知，函数
22)2(-+=k x k y 是关于x 的二次函数，你能确定k 的值吗？请说明
理由。
分析：要想确定k 的值，可由二次函数的定义来求解。
解：由题意，得{22022=-≠+k k
解得k=2。
所以，当k=2时，函数22)2(-+=k x k y 是关于x 的二次函数。
知识点2 二次函数在实际问题中的应用
例3 某商场第一个月销售额为50万元，第三个月的销售额y （万元）与月平均增长率x 之间的函数关系如何表示？
解析：函数关系式是y=50（1＋x ）2，即y=50x 2+100x+50。
点评 由上例，归纳出函数解析式均为整式（这表明这种函数与一次函数有共同的特征）。
自变量的最高次数是2（这与一次函数不同）。
例4 篱笆墙长30m ，靠墙围成一个矩形花坛，写出花坛面积y （m 2）与长x 之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围。
分析：由矩形面积公式，写出二次函数关系式。
解答：篱笆墙长30m ，一边长为x ，则另一边长为（30－x ），
面积y （m 2）与长x 之间的函数关系式：
Y=x （15-x ）=-x 2+15x 。
其自变量x 的取值范围：0＜x ＜15。