随机模拟方法(PPT)5-3
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第六讲 蒙特卡洛方法ppt课件
蒙特卡罗方法的特点
优点 能够比较逼真地描述具有随机 性质的事物的特点及物理实验 过程。 受几何条件限制小。 收敛速度与问题的维数无关。 具有同时计算多个方案与多个 未知量的能力。 误差容易确定。 程序结构简单，易于实现。 缺点 收敛速度慢。 误差具有概率性。 在粒子输运问题中， 计算结果与系统大小 有关。
2 2 t / 2 P X E ( X ) e dt 1 N 0 N 2
f(X)是X的分布密度函数。则
0 ( x E ( X )) f ( x ) dx
2 2
平均值
当N充分大时，有如下的近似式
X N
MC方法随机理论的基础
MC方法的随机理论基础
g(u)均匀分布
N 1 x 2 t/ 2 P X E ( X ) x e dt N lim x N 2
MC方法随机理论的基础
• 大数法则
MC方法随机理论的基础
中心极限定理
该定理指出，如果随机变量序列 X1 ，X2，…， XN独立 同分布，且具有有限非零的方差σ2 ，即
MC方法概述
• 为了得到具有一定精确度的近似解，所需随机试 验的次数是很多的，通过人工方法作大量的试验 相当困难，甚至是不可能的。因此，蒙特卡罗方 法的基本思想虽然早已被人们提出，却很少被使 用。本世纪四十年代以来，由于电子计算机的出 现，使得人们可以通过电子计算机来模拟随机试 验过程，把巨大数目的随机试验交由计算机完成， 使得蒙特卡罗方法得以广泛地应用，在现代化的 科学技术中发挥应有的作用。
• 目前，已经广泛的应用于社会科学，材料， 物理，系统工程，科学管理，生物遗传等 领域。可以说，有随机工程事件的领域， 就可以应用Monte Carlo模拟。
《蒙特卡罗方法》PPT课件
1.引言
MC的基础 – 随机过程
1 定义，X＝X (x,t) 随时间变化的随机变量，或时间随机变量序列
2 按分布函数，分类 a) 平稳随机过程 b) Markov 过程 c) 独立增量随机过程 d) 独立随机过程
14 完整版ppt
1.引言
MC的基础 - 平稳随机过程
1 定义：X(t) , 如果它的n维（n个状态）概率密度与初始分布无关，即对任何 n 和 t’满足fx(x1,x2,…,xn; t1,t2,..,tn)=fx(x1,..,tn +t’) 含义：平稳随机过程的统计特性与所选择的时间起点无关，不随时间的 推移而变化，即是“时间平稳的”。
Monte Carlo名字的由来： • 是由Metropolis在二次世界大战期间提出的：Manhattan 计划，研究与原子弹有关的中子输运过程；
• Monte Carlo是摩纳哥（monaco)的首都，该城以赌博闻名
Nicholas Metropolis (1915-1999)
完整版ppt
Monte-Carlo, Monaco
2 统计特性 1）一维概率密度与时间无关 2）二维概率密度，只与两个状态对应的时间间隔Δt有关，其时间自相关 仅是Δt的函数
3 应用： 电阻的热噪声，电子信号，…
15 完整版ppt
1.引言
MC的基础 - Markov 链
1 定义：在可列个离散状态x1,x2,..xN 和离散时间t1,t2,..tn, 若随 机过程在tm+k时刻变成任一状态xi的概率，只与tm时刻的 状态有关(无后效)，而与此前状态无关，称离散随机序列
(2) 确定性模拟方法。它是通过数值求解一个个的粒子运动方程 来模拟整个系统的行为。在统计物理中称为分子动力学 （Molecular Dynamics）方法。此外, 近年来还发展了神经元 网络方法和原胞自动机方法。
蒙特卡罗方法
c3
c4 e3
c5 e4 b5 t
b1
b2 ci=ci-1+ xi ei=bi+yi bi=max(ci,ei-1)
b3
b4
[3] 模拟框图
初始化： =1， =0， 初始化：令i=1，ei-1=0，w=0
服从参数为0.1 0.1的指数分布 产生间隔时间随机数xi服从参数为0.1的指数分布 ci=xi , bi=xi 服从[4,15] [4,15]的均匀分布 产生服务时间随机数yi服从[4,15]的均匀分布 ei=bi+yi 累计等待时间： 累计等待时间：w=w+bi-ci 准备下一次服务： 准备下一次服务：i=i+1 产生间隔时间随机数xi服从参数为0.1的指数分布 服从参数为0.1 0.1的指数分布 ci=ci-1+ xi 确定开始服务时间： 确定开始服务时间：bi=max(ci,ei-1) Y bi＞480? N
unifrnd(a,b)
仿真与模拟的目的和原理
仿真和模拟可以说是针对同一内容的不同角 度的看法描述， 度的看法描述，当需要对某一问题观察研究而 相应的观察和实验时间和成本花费太高时， 相应的观察和实验时间和成本花费太高时，可 以考虑用一个模型代替原型， 以考虑用一个模型代替原型，用模型的研究达 到原型的研究的目的（以节约时间和成本）， 到原型的研究的目的（以节约时间和成本）， 这就是仿真， 这就是仿真，其在计算机上的实现过程也称为 模拟。 模拟。
i=i-1,t=w/i
输出结果：完成服务个数： 输出结果：完成服务个数：m=i 平均等待时间： 平均等待时间：t
停止
返回
To MATLAB(liti1)
停止
例2：蒙特卡罗法求π的（近似）值
随机模拟(仿真)-simulation.ppt
对于估计 4k 只有不断重复做实验，这种试验可以 n
具体去操作，(均匀投石块，然后数数，这样需要较高成本)。 也可以让计算机去重复试验，但是需要将数学模型转化为计算 机模拟模型(让计算机完成均匀投石块，自动计数，也需要成 本)。 用计算机模拟投石块过程和步骤如下：
1、自动生成随机点[0,1]x[0,1]，模拟石块在正方形内的任意 位置，用(xi,yi)表示，共n个点；
用随机模拟计算积分
例1
如下图所示，在正方形内有1/4单位圆。向正方形内投小 石头，假设每次都能够投进正方形内且可以落在正方形内任 何一点。问，小石头落在1/4单位圆内(包含边界)的概率多大？
y
分析：假设头入正方形内的 石头有n块，有k块落入了1/4
1
单位圆内。P为小石头落入
1/4单位圆内的概率。那么根
y1=x1(k)+x2(k)^2; y2=x3(k)+x4(k)^2; if y1>=3&y2<=9
n=n+1; else
n=n; end End p=n/N;
计算结果
p=fangzhenguji(10000)
p= 0.8415
例4 求使下式成立的最大f值
pr{X1
X
2 2
X
3 3
f}
0.8
其中，X1服从均匀分布U[1,3]，X2服从指数分布exp(1)， X3服从正态分布N(2,1)。
Y(k)=(1+X(k)^2)^(1/2); end I=L*sum(Y);
而该积分的准确值为：
>> a=2;b=3;n=30000; >> I=jifen1(a,b,n) I = 2.6912
应用随机过程第4章随机模拟
4.2 随机数的抽样
› 生成大量不重复的seed序列
产生随机数种 子的原理，是 要产生多少个 随机数种子， 就按一定步长 递增多少次， 然后得到一个 随机数作为种 子。 这个宏有个缺 点，就是当步 长*随机数种子 数量>2**31-1 时，可能得不 到要求得到的 随机数种子数 量。
4.2 随机数的抽样
4.2 随机数的抽样
› 标准分布随机数生成，利用SAS生成标准分布 随机数
› 生成大量不重复的seed序列
– 在实际的应用中，我们经常会遇到需要大量随机数 序列的情况，这时候我们就不能靠手工输入随机数 种子。 – 当SEED=0时，我们可以用这个随机种子产生大量的 随机数序列，但是这里产生的随机数序列并不一定 能保证这些随机数序列不重复。 – 这里介绍一个产生不重复的随机数种子的宏
4.2 随机数的抽样
› 标准分布随机数生成
– SAS随机数函数
4.2 随机数的抽样
› 标准分布随机数生成 › 利用SAS生成标准分布随机数一般有两种方法 – 由随机数函数产生随机数序列 其语法为：var = name(seed,<arg>) – CALL子程序产生随机数序列 其语法为：call name(seed,<arg>,var)。 ｰ 两种方法的主要区别在于： ｰ 随机数函数产生随机数序列时，其序列的值只由 第一个随机数种子的值决定，而用CALL子程序时， 每一次调用随机函数，都会重新产生新的随机数 种子。
4.2 随机数的抽样
› 标准分布随机数生成 – 伪随机数生成算法 – 在SAS系统中， – 常数a=397,204,094 – m = 2^31-1=2,147,483,647（是一个素数） – c=0 – 种子R(0)必须是一个整数并且其值介于1到m-1之 间。 – 这里c=0的数据生成器被称为multiplicative congruential generator，被广泛地应用。
Monte-Carlo模拟教程
举例
例1 在我方某前沿防守地域，敌人以一个炮排（含两门火炮） 为单位对我方进行干扰和破坏．为躲避我方打击，敌方对其阵地 进行了伪装并经常变换射击地点．
经过长期观察发现，我方指挥所对敌方目标的指示有50％是准 确的，而我方火力单位，在指示正确时，有1/3的射击效果能毁 伤敌人一门火炮，有1/6的射击效果能全部毁伤敌人火炮．
蒙特卡罗方法的关键步骤在于随机数的产生， 计算机产生的随机数都不是真正的随机数(由算 法确定的缘故)，如果伪随机数能够通过一系列 统计检验，我们也可以将其当作真正的随机数 使用。
rand('seed',0.1);
rand(1) ％每次运ra行nd程('s序tat产e',s生um的(1值00*是clo相ck同)*r的and);
E = P(A0) = P(j=0)P(A0∣j=0) + P(j=1)P(A0∣j=1)
= 1 0 1 1 0.25 2 22
P(A1) = P(j=0)P(A1∣j=0) + P(j=1)P(A1∣j=1)
= 10 11 1 2 23 6
P(A2) = P(j=0)P(A2∣j=0) + P(j=1)P(A2∣j=1)
非常见分布的随机数的产生
• 逆变换方法
由定理 1 ，要产生来自 F(x) 的随机数，只要先 产生来自U (0,1) 随机数 u ，然后计算 F 1(u) 即 可。具体步骤如下：
(1) 生成 (0,1)上 均匀分布的随机数U。
(2) 计算 X F -1(U ) ,则 X 为来自 F(x) 分布的随机数.
蒙特卡罗方法的基本思想很早以前就被人们所发现和 利用。早在17世纪，人们就知道用事件发生的“频率” 来决定事件的“概率”。19世纪人们用蒲丰投针的方法 来计算圆周率π，上世纪40年代电子计算机的出现，特别 是近年来高速电子计算机的出现，使得用数学方法在计算 机上大量、快速地模拟这样的试验成为可能。
高一数学备课课件：随机模拟
输人“＝RANDBETWEEN(1, 9)”, 按Enter键, 选中A1单元格, 将鼠标
指向右下角的黑点, 按住鼠标左键拖动到A100．数出A1 A100单元格
中1, 2, 3, 4出现的次数m, m 为白球出现的频率.据此估计“取出白球” 100
的概率约为 m . 100
3．（1）掷两枚质地均匀的骰子，计算点数和为7的概率； （2）利用随机模拟的方法，试验120次，计算出现点数和为7的频率； （3）所得频率与概率相差大吗？为什么会有这种差异？
表10.3-4是20次模拟试验的结果．事 件A发生了14次，事件A的概率估计 值为0.70，与事件A的概率(约0.78)相 差不大．
环节五：课堂练习，巩固运用
例4 在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛．假设 每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4．利用计算机模拟试验，估 计甲获得冠军的概率．
我们称利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛(Monte Carlo)方法．
环节四：辨析理解，深化概念
例3 从你所在班级任意选出6名同学，调查他们的出生月份，假设出生在 一月，二月……十二月是等可能的．设事件“至少有两人出生月份相同”， 设计一种试验方法，模拟20次，估计事件发生的概率．
解：方法1：根据假设，每个人的出生月份在12个月中是等可能的，而且 相互之间没有影响，所以观察6个人的出生月份可以看成可重复试验． 因此，可以构建如下有放回摸球试验进行模拟：在袋子中装入编号为1， 2，…，12的12个球，这些球除编号外没有什么差别．有放回地随机从袋 中摸6次球，得到6个数代表6个人的出生月份，这就完成了一次模拟试 验．如果这6个数中至少有2个相同，表示事件A发生了．重复以上模拟 试验20次，就可以统计出事件A发生的频率．
指向右下角的黑点, 按住鼠标左键拖动到A100．数出A1 A100单元格
中1, 2, 3, 4出现的次数m, m 为白球出现的频率.据此估计“取出白球” 100
的概率约为 m . 100
3．（1）掷两枚质地均匀的骰子，计算点数和为7的概率； （2）利用随机模拟的方法，试验120次，计算出现点数和为7的频率； （3）所得频率与概率相差大吗？为什么会有这种差异？
表10.3-4是20次模拟试验的结果．事 件A发生了14次，事件A的概率估计 值为0.70，与事件A的概率(约0.78)相 差不大．
环节五：课堂练习，巩固运用
例4 在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛．假设 每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4．利用计算机模拟试验，估 计甲获得冠军的概率．
我们称利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛(Monte Carlo)方法．
环节四：辨析理解，深化概念
例3 从你所在班级任意选出6名同学，调查他们的出生月份，假设出生在 一月，二月……十二月是等可能的．设事件“至少有两人出生月份相同”， 设计一种试验方法，模拟20次，估计事件发生的概率．
解：方法1：根据假设，每个人的出生月份在12个月中是等可能的，而且 相互之间没有影响，所以观察6个人的出生月份可以看成可重复试验． 因此，可以构建如下有放回摸球试验进行模拟：在袋子中装入编号为1， 2，…，12的12个球，这些球除编号外没有什么差别．有放回地随机从袋 中摸6次球，得到6个数代表6个人的出生月份，这就完成了一次模拟试 验．如果这6个数中至少有2个相同，表示事件A发生了．重复以上模拟 试验20次，就可以统计出事件A发生的频率．
几个典型随机过程的模拟及应用
2. 随机游动(Cont)
模拟方法： 产生随机数 ~ U [0，， 1] 若0 p1 , 左移一步； 若p1 p1 p2 , 右移一步； 若p1 p2 p1 p2 p3 , 上移一步； 若p1 p2 p3 p1 p2 p3 p4 1, 下移一步； 同样根据吸收壁位置，计算质点每次移动后的位置， 如果到达过吸收壁，则被吸收。
Y
P2 P1 P0
0
X
1. 随机面积的计算(Cont)
算法如下： 1.决定最左边的点P0； 2.求P 1，使得 P 0P 1与Y 轴的夹角最小； 3.求P2，使得 P 1P 2与 P 0P 1的夹角最小;求P 3 ,使得 P2 P3与P 1P 2的夹角最小； 直到Pk 与P0重合为止。在此过程中逐步求出P0 P 1P 2， P0 P2 P3 ...的面积，将其相加，即可得到这2m个点所 张成的凸边形的面积。 重复n次，可以得到这随机面积的统计规律。
几个典型随机过程的模拟及应用
Outline
1. 2. 3. 随机面积的计算 随机游动 单服务台排队服务系统
Y
1. 随机面积的计算
○
X
某实际问题（譬如大楼的倒塌）可抽象为：试将一把 筷子先垂直放置于桌子上；放手后，筷子纷纷倒下， 求这些筷子倒下后所张成的面积的分布。 为解题的方便，先做如下几个假设： ①将筷子垂直放置于图中的格子点上。 ②所谓“随机倒下”是指筷子的底端不动，而顶端落下 后，筷子与X轴的夹角～U[0，2π]。 ③假设各筷子是相对独立地随机倒下，而这些筷子所张 成的面积是指包含这些筷子端点的最小凸多边形的面 积。
即第1个顾客在开门后21分离开(即T=21分离开)。第2个 顾客是T=23分=(10+13)分到达的，由于第一个顾客已被 服务完毕离开了，因此也不必等待,D2 =0分，服务时间 S2 13分，所以第2个顾客于C2 (23 13 0) 36分离开。 第3个顾客到达时间是X 3 31分 （ 10 13 8）分，由于 T 31分的时候，第2个顾客正在接受服务，鼓第3个顾 客先要排队，等待时间D3 (36 31) 5分。第2位离开 后第3位接受服务，服务时间S3 14分，第3位离开时刻 C3 (31 14 5) 50分；第4位到达时刻X 4 42分 (10 13 8 11）分；其等待时间D4 (50 42) 8分， 服务时间为S4 12分，离开时刻C4 62分 （42 12 8）分，....,模拟实验的部分结果见下表：
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小知识
用计算机或计算器模拟试验的方法称为 随机模拟方法,也称为蒙特卡罗方法.该方法 是在第二次世界大战期间兴起和发展起来的, 它的奠基人是冯.诺伊曼.
类而意思相对的词或词素的前面，表示“既不…也不…”。ɑ）表示适中，恰到好处：～多～少｜～大～小｜～肥～瘦。）表示尴尬的中间状态：～方～ 圆｜～明～暗｜～上～下｜～死～活。③用在同类而意思相对的词或词素的前面，表示“如果不…就不…”：～见～散｜～破～立｜～塞～流｜～止～行。 【不才】〈书〉①动没有才能（多用； 油猴脚本；来表示自谦）：弟子～｜～之士。②名“我”的谦称：其中道理，～愿洗耳聆 教。 【不测】①形属性词。不可测度的；不可预料的：天有～风云。②名指意外的不幸事件：险遭～｜提高警惕，以防～。 【不曾】副没有?（“曾经”的 否定）：我还～去过｜除此之外，～发现其他疑点。 【不差累黍】形容丝毫不差（累黍：指微小的数量）。 【不成】①动不行?。②形不行?。③助用在句末， 表示推测或反问的语气，前面常常有“难道、莫非”等词相呼应：难道就这样算了～？｜这么晚他还不来，莫非家里出了什么事～？ 【不成比例】指数量或 大小等方面差得很远，不能相比。 【不成话】不像话。 【不成体统】说话、做事不合体制，没有规矩。 【不成文】形属性词。没有用文字固定下来的：～ 的规矩｜多年的老传统～地沿袭了下来。 【不成文法】名不经立法程序而由国家承认其有效的法律，如判例、习惯法等（跟“成文法”相对）。 【不逞】动 不能实现意愿；不得志：～之徒（因失意而胡作非为的人）。 【不齿】〈书〉动不与同列（表示鄙视）：人所～。 【不耻下问】不以向地位比自己低、知识 比自己少的人请教为可耻。 【不啻】〈书〉动①不止；不只：工程所需，～万金。②如同：相去～天渊。 【不揣】动谦辞，不自量，用于向人提出自己的见 解或有所请求时：～浅陋｜～冒昧（不考虑自己的莽撞，言语、行动是否相宜）。 【不辞】动①不告别：～而别。②不推脱；不拒绝：～辛劳｜万死～。 【不错】形①对；正确：～，情况正是如此｜～，当初他就是这么说的。②不坏；好：人家待你可真～｜虽说年纪大了，身体却还～。 【不打自招】还没有 拷问就招供了。比喻无意中泄露真实情况和想法。 【不大离儿】〈方〉形①差不多；相近：两个孩子的身量～。②还算不错：这块地的麦子长得～。 【不带 音】ī发音时声带不振动。参看页〖带音〗。 【不待】副用不着；不必：自～言｜～细说，他就明白了。 【不单】①副不仅?：超额完成生产任务的，～是这 几个厂。②连不但：她～教孩子学习，还照顾他们的生活。 【不但】连用在表示递进的复句的上半句里，下半句里通常有连词“而且、并且”或副词“也、 还”
例3.在正方形内随机撒一把豆子,用随机模拟
方法估计圆周率的值.
Y
分析:随机撒一把豆子,每个豆
子落在正方形内任一点是等可
能的,落在每个区域的豆子数
与这个区域的面积近似成正比,-1O1 NhomakorabeaX
用计算机或计算器模拟试验的方法称为 随机模拟方法,也称为蒙特卡罗方法.该方法 是在第二次世界大战期间兴起和发展起来的, 它的奠基人是冯.诺伊曼.
类而意思相对的词或词素的前面，表示“既不…也不…”。ɑ）表示适中，恰到好处：～多～少｜～大～小｜～肥～瘦。）表示尴尬的中间状态：～方～ 圆｜～明～暗｜～上～下｜～死～活。③用在同类而意思相对的词或词素的前面，表示“如果不…就不…”：～见～散｜～破～立｜～塞～流｜～止～行。 【不才】〈书〉①动没有才能（多用； 油猴脚本；来表示自谦）：弟子～｜～之士。②名“我”的谦称：其中道理，～愿洗耳聆 教。 【不测】①形属性词。不可测度的；不可预料的：天有～风云。②名指意外的不幸事件：险遭～｜提高警惕，以防～。 【不曾】副没有?（“曾经”的 否定）：我还～去过｜除此之外，～发现其他疑点。 【不差累黍】形容丝毫不差（累黍：指微小的数量）。 【不成】①动不行?。②形不行?。③助用在句末， 表示推测或反问的语气，前面常常有“难道、莫非”等词相呼应：难道就这样算了～？｜这么晚他还不来，莫非家里出了什么事～？ 【不成比例】指数量或 大小等方面差得很远，不能相比。 【不成话】不像话。 【不成体统】说话、做事不合体制，没有规矩。 【不成文】形属性词。没有用文字固定下来的：～ 的规矩｜多年的老传统～地沿袭了下来。 【不成文法】名不经立法程序而由国家承认其有效的法律，如判例、习惯法等（跟“成文法”相对）。 【不逞】动 不能实现意愿；不得志：～之徒（因失意而胡作非为的人）。 【不齿】〈书〉动不与同列（表示鄙视）：人所～。 【不耻下问】不以向地位比自己低、知识 比自己少的人请教为可耻。 【不啻】〈书〉动①不止；不只：工程所需，～万金。②如同：相去～天渊。 【不揣】动谦辞，不自量，用于向人提出自己的见 解或有所请求时：～浅陋｜～冒昧（不考虑自己的莽撞，言语、行动是否相宜）。 【不辞】动①不告别：～而别。②不推脱；不拒绝：～辛劳｜万死～。 【不错】形①对；正确：～，情况正是如此｜～，当初他就是这么说的。②不坏；好：人家待你可真～｜虽说年纪大了，身体却还～。 【不打自招】还没有 拷问就招供了。比喻无意中泄露真实情况和想法。 【不大离儿】〈方〉形①差不多；相近：两个孩子的身量～。②还算不错：这块地的麦子长得～。 【不带 音】ī发音时声带不振动。参看页〖带音〗。 【不待】副用不着；不必：自～言｜～细说，他就明白了。 【不单】①副不仅?：超额完成生产任务的，～是这 几个厂。②连不但：她～教孩子学习，还照顾他们的生活。 【不但】连用在表示递进的复句的上半句里，下半句里通常有连词“而且、并且”或副词“也、 还”
例3.在正方形内随机撒一把豆子,用随机模拟
方法估计圆周率的值.
Y
分析:随机撒一把豆子,每个豆
子落在正方形内任一点是等可
能的,落在每个区域的豆子数
与这个区域的面积近似成正比,-1O1 NhomakorabeaX