随机模拟技术

顾 客 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
RNa AT 进入系 统时刻
RNb ST
服务时间 开始 结束
系统空 闲时间
— 902 321 211 021 198 383 107 799 439
— 14 2 2 2 2 2 2 10 6
0 14 16 18 20 22 24 26 36 42
612 484 048 605 583 773 054 853 313 200
fR
1
0 1
F R
x
1
0 1
x
2.产生方法 2.产生方法 (1)物理方法：一是放射性物质随机蜕变；二是电子管回路的 (1)物理方法：一是放射性物质随机蜕变；二是电子管回路的 热噪声。（如可将热噪声源装于计算机外部，按其噪声电 压的大小表示不同的随机数。此法产生的随机性最好，但 产生过程复杂。） (2)查随机数表----”Rand Table”（1955年由美国兰德公司编 (2)查随机数表----”Rand Table”（1955年由美国兰德公司编 制，有随机数100万个。）随机数表中的数字具有均匀的 制，有随机数100万个。）随机数表中的数字具有均匀的 随机性，没有周期性。使用时，可根据需要任取一段（横 或竖）。如需20个，便可从中取（顺次）20个，需要几位 或竖）。如需20个，便可从中取（顺次）20个，需要几位 取几位，随机数表无所谓位数，不能四舍五入。
由此例我们初步了解了系统模拟的方法。其中 的重要步骤是得到一串关于系统中随机规律的随 机数，用以模拟系统的真实情况（故模拟也称仿 真），从而求解。而此例中均匀分布的随机数是 采用人工方法得到的，即麻烦又不可靠，且局限 性很大。所以我们还要寻求产生任意分布随机数 的一般方法。
第二节 随机数的产生
一 [0 1区 上 匀 布 机 的 生 、， 间 均 分 随 数 产 ]
3 3 1 3 3 3 1 5 1 1
0 14 17 18 21 24 27 28 36 42
3 17 18 21 24 27 28 33 37 43
11
3 5
解：先求出到达间隔与服务时间的累积概率。 解：先求出到达间隔与服务时间的累积概率。 （见上表）。然后求出AT，ST及求解(2)，(3)所 （见上表）。然后求出AT，ST及求解(2)，(3)所 需的有关数据。 求解结果： (1)AT与ST见表 (1)AT与ST见表 (2)系统此阶段（10位顾客）共运行43分钟 (2)系统此阶段（10位顾客）共运行43分钟 (3)空闲率P0=（11+3+5）/43=19/43=0.44 (3)空闲率P 11+3+5）
0.4 0.7 0.9 1.0
0.0-0.4 0.4-0.7 0.7-0.9 0.9-1.0
பைடு நூலகம்
1 3 5
0.4 0.4 0.2
0.4 0.0-0.4 0.8 0.4-0.8 1.0 0.8-1.0
(1)今由随机数表任选两组随机数 (1)今由随机数表任选两组随机数 RNa： RNa：902,321,211,021,198,383,107,799,439 RNb： RNb：612,484,048,605,583,773,054,853,313,200 试根据这两组随机数分别产生表示开始十位顾客的到达 间隔时间的随机数AT和表示服务时间的随机数ST。 间隔时间的随机数AT和表示服务时间的随机数ST。 (2)模拟这个排队系统的运行情况，这一阶段共运行多少 (2)模拟这个排队系统的运行情况，这一阶段共运行多少 分钟？ (3)求系统空闲的概率P (3)求系统空闲的概率P0。
随机模拟技术 随机模拟技术
第一节 引言
一、模拟的定义 模拟是一种数量技术，它利用计算机化的数学模型来 表现在某些不确定的条件下所做出的实际决策，来评价一 些根据事实及假设所建立的可供选择的行动方案。 二、模拟的意义 1.复杂的实际问题难于用解析理论处理，需要模拟方法提供 1.复杂的实际问题难于用解析理论处理，需要模拟方法提供 数值解。 2.理论研究中的某些假设或结论需要经实际系统来检验，计 2.理论研究中的某些假设或结论需要经实际系统来检验，计 算机模拟可代替费用昂贵的试验。
例1：设某商店顾客到达的时间间隔均匀分布在1到10分钟之 设某商店顾客到达的时间间隔均匀分布在1 10分钟之 间，而每一顾客所需要的服务时间均匀分布在1 间，而每一顾客所需要的服务时间均匀分布在1到6分钟之 间。求顾客在商店所花费的平均时间和售货员空闲时间占全 部工作时间的百分比。 分析：到达与服务皆为均匀分布，不能利用M/M/C或 分析：到达与服务皆为均匀分布，不能利用M/M/C或M/G/1 的公式。但由于问题的特性：
1定 ： R为 ， 均 分 的 机 量 . 义 设 [0 1]上 匀 布 随 变 ， 1 x ∈[0,1] 即 的 度 fR (x) = R 密 为 ， 他 0 其 0 x ≤ 0 R 分 函 为 R (x) = x 0 < x ≤1 的 布 数 F 1 x >1 则 的 本 ， 以 概 取 [0， R 样 值 即 等 率 自 1] 的 一 数 为 ， 均 分 的 机 。 串 称 [0 1]上 匀 布 随 数
a
b
x
三、系统模拟法（是用数字对含有随机变量的系统进行 模拟，可看作是蒙特卡洛法的应用。一般说来，蒙特卡 洛法用于静态计算，而系统模拟法用于动态模型计算。 我们主要讨论此法。） 我们在排队论中讨论了M/M/C、M/G/1等系统，并 我们在排队论中讨论了M/M/C、M/G/1等系统，并 用解析方法得出了精确解。但对于到达与服务均为任意 分布的排队系统的求解就不可能用那一套公式和方法。
模拟法分类 一、运筹对策法（主要用于军事对策和企业管理对策。如现 代化战争的军事演习、新式武器的试验等。最早于40年代末 代化战争的军事演习、新式武器的试验等。最早于40年代末 美国纽曼等人首先用运筹模拟法解决了核屏蔽实验问题。）
二 蒙 卡 法 这 一 特 的 值 、 特 洛 （ 是 种 殊 数 计 方 。 如 ∫ f(x)dx， 在 形 算 法 例 求 可 矩 内
达 隔 在 钟 均 分 1-10 等 能 值 到 间 ： 1-10分 间 匀 布⇔在 中 可 取 标 1-10 牌 任 取 ⇔在 有 的 中 抽 务 间 在 钟 均 分 1-6 等 能 值 服 时 ： 1-6分 间 匀 布⇔在 中 可 取 ⇔掷 匀 骰 均 的 子
可用人工方法模拟系统当时的真实情况从而求解。 （用标有1 10的扑克牌及骰子分别得出用于模拟20名顾客 （用标有1-10的扑克牌及骰子分别得出用于模拟20名顾客 到达间隔与服务时间的一串数称为随机数，从而推知相关 结果。具体怎样做? 结果。具体怎样做?） 经考察开门后的20名顾客的被服务情况可知，20名顾 经考察开门后的20名顾客的被服务情况可知，20名顾 客在系统中的全部时间是68分钟，售货员空闲时间是55分 客在系统中的全部时间是68分钟，售货员空闲时间是55分 钟，而售货员从8点至9 57分在班上共117分钟。于是可 钟，而售货员从8点至9点57分在班上共117分钟。于是可 得：W =68/20=3.4(分钟） 得：WS=68/20=3.4(分钟） P0=55/117=0.47 （空闲率过大，可加以调整）
(3)由递推公式（如同余数公式）在计算机内产生伪随机数。 (3)由递推公式（如同余数公式）在计算机内产生伪随机数。 由于第i+1个随机数是由第i 由于第i+1个随机数是由第i个按一定公式推算出来的，故 并非真正的随机数。但满足： a）有较好的随机、均匀性。 b）周期长、重复性差。 c）算法过程不退化（即不能反复出现某一常数。） d）算法可再现，速度快。 故这是目前最常用的方法。
a b
f (x)
均 选 机 ， 算 于 线 阴 部 匀 随 点 计 落 曲 下 影 分 点 n， 矩 内 点 N。 见 近 的 数 及 形 总 数 易 ，
b n ∫ f(x)dx n a 似 有 = 的 ,∴∫ f(x)dx = c(b − a) a N c(b − a) N b
c
此 主 用 f(x) 很 杂 多 量 分 法 要 于 复 及 变 积 ， 当 也 用 解 随 型 题 ） 然 可 于 决 机 问 。
第三节 系统的模拟
一、排队系统的模拟
例4：有一单服务台的排队系统，根据经验资料知道到达的 间隔时间和服务时间的概率分布如下表，其他条件符合 标准情形。 到达 间隔 概 累积 对应随 率 概率 机数(a) 机数(a) 服务 时间 概 率 累积 对应随 概率 机数(b) 机数(b)
2 6 10 14
0.4 0.3 0.2 0.1