极坐标方程练习题
极坐标方程大题练习题
极坐标方程大题练习题一、基本概念与性质1. 将直角坐标系下的点 (3, 4) 转换为极坐标系下的坐标。
2. 已知极坐标方程ρ = 4sinθ，求对应的直角坐标方程。
3. 判断下列极坐标方程是否表示圆：(1) ρ = 6cosθ(2) ρ = 3 + 2sinθ4. 已知极坐标方程ρ = 2cosθ，求极点与极轴之间的夹角。
二、极坐标方程的求解5. 求极坐标方程ρ = 4cosθ 与ρ = 2sinθ 的交点坐标。
6. 已知极坐标方程ρ = 3sinθ，求当θ =π/3 时的点坐标。
7. 解极坐标方程ρ = 5 3cosθ，求出所有可能的ρ 值。
8. 已知极坐标方程ρ = 4 2sinθ，求该曲线与极轴的交点坐标。
三、极坐标方程的应用9. 在极坐标系中，求直线ρcosθ = 3 与圆ρ = 4sinθ 的交点坐标。
10. 已知点 A 在极坐标方程ρ = 6sinθ 上，点 B 在极坐标方程ρ = 4cosθ 上，求线段 AB 的长度。
11. 在极坐标系中，求曲线ρ = 2 + 3sinθ 与极轴围成的面积。
12. 已知极坐标方程ρ = 5cosθ，求该曲线所围成的图形的面积。
四、综合题13. 在极坐标系中，求曲线ρ = 4sinθ 与直线θ = π/4 所围成的图形的面积。
14. 已知极坐标方程ρ = 2cosθ，求该曲线关于极轴的对称曲线方程。
15. 在极坐标系中，求曲线ρ = 3 + 2sinθ 与极轴之间的夹角。
16. 已知极坐标方程ρ = 4cosθ，求该曲线关于原点的对称曲线方程。
17. 在极坐标系中，求曲线ρ = 6sinθ 与直线ρcosθ = 3的交点坐标，并判断这些交点是否在第一象限。
18. 已知极坐标方程ρ = 5 4sinθ，求该曲线与极轴的交点坐标，并计算这些交点与极点之间的距离。
五、极坐标方程的变换与简化19. 将极坐标方程ρ = 8cosθ 转换为直角坐标系下的方程，并简化。
极坐标方程练习题
极坐标方程练习题极坐标方程练习题极坐标方程是一种用极径和极角来表示平面上点的坐标的方法。
它在数学中具有广泛的应用，尤其在物理学和工程学中常常被使用。
为了更好地理解和掌握极坐标方程，下面将介绍一些极坐标方程的练习题，并逐步解答。
1. 练习题一：给定一个极坐标方程r = 2cosθ，求解该方程的图形。
首先，我们可以通过观察方程，发现当极角θ为0时，极径r为2；当极角θ为π/2时，极径r为0；当极角θ为π时，极径r为-2。
根据这些点的坐标，我们可以绘制出一个图形。
此时，我们可以发现该图形是一个以原点为中心的圆形，半径为2。
2. 练习题二：给定一个极坐标方程r = 3sin2θ，求解该方程的图形。
同样地，我们可以观察方程，当极角θ为0时，极径r为0；当极角θ为π/4时，极径r为3；当极角θ为π/2时，极径r为0；当极角θ为3π/4时，极径r 为-3。
根据这些点的坐标，我们可以绘制出一个图形。
此时，我们可以发现该图形是一个以原点为中心的叶状曲线。
3. 练习题三：给定一个极坐标方程r = 4cos3θ，求解该方程的图形。
观察方程，当极角θ为0时，极径r为4；当极角θ为π/6时，极径r为2；当极角θ为π/3时，极径r为0；当极角θ为π/2时，极径r为-4。
根据这些点的坐标，我们可以绘制出一个图形。
此时，我们可以发现该图形是一个以原点为中心的心形曲线。
通过以上三个练习题，我们可以看到极坐标方程的图形多样且有趣。
通过观察方程中的极径和极角的变化，我们可以更好地理解和描述这些图形。
在实际应用中，极坐标方程也有很多用途。
例如，在天文学中，我们可以利用极坐标方程来描述行星的轨道；在物理学中，我们可以利用极坐标方程来描述电场的分布。
因此，掌握极坐标方程的技巧对于理解和解决实际问题具有重要意义。
除了上述的练习题外，还有许多其他类型的极坐标方程可以进行练习和探索。
通过不断地练习和思考，我们可以进一步加深对极坐标方程的理解和应用能力。
极坐标练习题(含详细答案)
极坐标练习题(含详细答案)1．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧ x ′＝5x ，y ′＝3y后，曲线C 变为曲线x ′2＋y ′2＝1，则曲线C 的方程为( )A ．25x 2＋9y 2＝1 B ．9x 2＋25y 2＝1 C ．25x ＋9y ＝1 D.x 225＋y 29＝12．极坐标方程ρ＝cos θ化为直角坐标方程为( ) A ．(x ＋12)2＋y 2＝14B ．x 2＋(y ＋12)2＝14C ．x 2＋(y －12)2＝14D ．(x －12)2＋y 2＝14答案 D解析 由ρ＝cos θ，得ρ2＝ρcos θ，∴x 2＋y 2＝x .选D. 3．极坐标方程ρcos θ＝2sin2θ表示的曲线为( ) A ．一条射线和一个圆 B ．两条直线 C ．一条直线和一个圆 D ．一个圆 答案 C4．在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( ) A ．(1，π2)B ．(1，－π2)C ．(1,0)D ．(1，π) 答案 B解析 由ρ＝－2sin θ，得ρ2＝－2ρsin θ，化为普通方程x 2＋(y ＋1)2＝1，其圆心坐标为(0，－1)，所以其极坐标为(1，－π2)，故应选B.5．设点M 的直角坐标为(－1，－3，3)，则它的柱坐标为( ) A ．(2，π3，3)B ．(2，2π3，3) C ．(2，4π3，3) D ．(2，5π3，3) 答案 C6．(2013·安徽)在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为()A．θ＝0(ρ∈R)和ρcosθ＝2B．θ＝π2(ρ∈R)和ρcosθ＝2C．θ＝π2(ρ∈R)和ρcosθ＝1D．θ＝0(ρ∈R)和ρcosθ＝1答案 B解析由题意可知，圆ρ＝2cosθ可化为普通方程为(x－1)2＋y2＝1.所以圆的垂直于x轴的两条切线方程分别为x＝0和x＝2，再将两条切线方程化为极坐标方程分别为θ＝π2(ρ∈R)和ρcosθ＝2，故选B.7．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是()A．ρ＝cosθB．ρ＝sinθC．ρcosθ＝1 D．ρsinθ＝1答案 C解析过点(1,0)且与极轴垂直的直线，在直角坐标系中的方程为x＝1，所以其极坐标方程为ρcosθ＝1，故选C.8．(2013·天津)已知圆的极坐标方程为ρ＝4cosθ，圆心为C，点P的极坐标为(4，π3)，则|CP|＝________.答案2 3解析由圆的极坐标方程为ρ＝4cosθ，得圆心C的直角坐标为(2,0)，点P 的直角坐标为(2,23)，所以|CP|＝2 3.9．(2014·唐山一中)在极坐标系中，点P(2，－π6)到直线l：ρsin(θ－π6)＝1的距离是________．答案3＋1解析依题意知，点P(3，－1)，直线l为x－3y＋2＝0，则点P到直线l 的距离为3＋1.10．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．答案 x 2＋y 2－4x －2y ＝0解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ⇒cos θ＝x ρ，sin θ＝yρ，ρ2＝x 2＋y 2，代入ρ＝2sin θ＋4cos θ，得ρ＝2y ρ＋4xρ⇒ρ2＝2y ＋4x ⇒x 2＋y 2－4x －2y ＝0.11．在极坐标系中，直线ρsin(θ＋π4)＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________．答案 4 3解析 直线ρsin(θ＋π4)＝2可化为x ＋y －22＝0，圆ρ＝4可化为x 2＋y 2＝16，由圆中的弦长公式，得2r 2－d 2＝242－(222)2＝4 3.12．在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的圆心的极坐标是________，它与方程θ＝π4(ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标是________． 答案 (1,0) (2，π4)解析 ρ＝2cos θ表示以点(1,0)为圆心，1为半径的圆，故圆心的极坐标为(1,0)．当θ＝π4时，ρ＝2，故交点的极坐标为(2，π4)．13．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1的交点的极坐标为________．答案 (2，3π4) 解析 ρ＝2sin θ的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，ρcos θ＝－1的直角坐标方程为x ＝－1.联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－2y ＝0，x ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，即两曲线的交点为(－1,1)．又0≤θ<2π，因此这两条曲线的交点的极坐标为(2，3π4)． 14．在极坐标系中，直线ρ(cos θ－sin θ)＋2＝0被曲线C ：ρ＝2所截得弦的中点的极坐标为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4解析 直线ρ(cos θ－sin θ)＋2＝0化为直角坐标方程为x －y ＋2＝0，曲线C ：ρ＝2化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝4.如图，直线被圆截得弦AB ，AB 中点为M ，则|OA |＝2，|OB |＝2，从而|OM |＝2，∠MOx ＝3π4. ∴点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4.15．已知点M 的极坐标为(6，11π6)，则点M 关于y 轴对称的点的直角坐标为________．答案 (－33，－3) 解析 ∵点M 的极坐标为(6，11π6)， ∴x ＝6cos11π6＝6cos π6＝6×32＝33， y ＝6sin 11π6＝6sin(－π6)＝－6×12＝－3.∴点M 的直角坐标为(33，－3)．∴点M 关于y 轴对称的点的直角坐标为(－33，－3)．16．在极坐标系中，点P (2，3π2)到直线l ：3ρcos θ－4ρsin θ＝3的距离为________．答案 1解析 在相应直角坐标系中，P (0，－2)，直线l 方程为3x －4y －3＝0，所以P 到l 的距离d ＝|3×0－4×(－2)－3|32＋42＝1.17．从极点O 作直线与另一直线l ：ρcos θ＝4相交于点M ，在OM 上取一点P ，使|OM |·|OP |＝12.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设R 为l 上的任意一点，试求|RP |的最小值． 答案 (1)ρ＝3cos θ (2)1解析 (1)设动点P 的坐标为(ρ，θ)， M 的坐标为(ρ0，θ)，则ρρ0＝12.∵ρ0cos θ＝4，∴ρ＝3cos θ即为所求的轨迹方程．(2)由(1)知P 的轨迹是以(32，0)为圆心，半径为32的圆，易得|RP |的最小值为1.18．在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin(θ－π4)＝22.(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的极坐标． 答案 (1)x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0 (2)(1，π2)解析 (1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝x ＋y ，即x 2＋y 2－x －y ＝0.直线l ：ρsin(θ－π4)＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为y －x ＝1，即x －y ＋1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1.故直线l 与圆O 公共点的极坐标为(1，π2)．。
典型极坐标参数方程练习题带标准答案
极坐标参数方程练习题１.在直角坐标系ｘＯy中,直线Ｃ1:x=－2，圆C2:(x－1)2＋(y－2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求Ｃ１,C２的极坐标方程;(2)若直线C３的极坐标方程为θ＝＼f(π,4）(ρ∈Ｒ),设C2与C３的交点为M,N,求△C2MN 的面积．解：（1)因为x=ρcｏｓθ，ｙ=ρsinθ,所以C1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C2的极坐标方程为ρ２-2ρｃos θ-4ρｓｉn θ＋4=0.(2）将θ＝＼f（π,4)代入ρ２-２ρcos θ-4ρsinθ+4＝0,得ρ2－3错误!ρ+４＝0,解得ρ1＝2＼r(2)，ρ2=2．故ρ１-ρ2=错误!,即｜ＭN|=错误!．由于C２的半径为1，所以△Ｃ２ＭN的面积为＼f(1,2)．4．(20１4·辽宁，２3，1０分,中)将圆x2＋y２=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.(1)写出C的参数方程;(2)设直线ｌ:2x＋y－２=0与C的交点为P１,Ｐ２，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1Ｐ2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.解：(１）设(x1，y1)为圆上的点,经变换为C上点(x，y），依题意,得错误!由x错误!＋y错误!＝1得x２＋错误!错误!=１．即曲线C的方程为x2+＼ｆ(ｙ2,4)＝1.故Ｃ的参数方程为错误!(t为参数)．(2)由错误!解得错误!或错误!不妨设P1(1,０）,P2（0，２），则线段P１P2的中点坐标为错误!,所求直线斜率为k＝错误!,于是所求直线方程为y-1＝＼f(1，2)错误!.化为极坐标方程，并整理得2ρcｏs θ－4ρsiｎθ＝－3,即ρ＝错误!．（２)(２015·吉林长春二模,23，１０分）在直角坐标系xＯy中，以Ｏ为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos错误!＝1,Ｍ,N分别为曲线C与x轴,y 轴的交点．①写出曲线Ｃ的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；②设Ｍ,N的中点为Ｐ,求直线OP的极坐标方程.【解析】(1)将2ρcｏs2θ=sin θ两边同乘以ρ，得2（ρcｏs θ)２=ρsinθ，化为直角坐标方程为2ｘ2=y,①C2：ρcｏsθ＝1化为直角坐标方程为x=1，②联立①②可解得错误!所以曲线C１与Ｃ２交点的直角坐标为(1,2）．（2)①∵ρcos错误!=1,∴ρcos θ·ｃｏs π3＋ρｓｉn θ·ｓｉｎ错误!=1.又错误!∴错误!ｘ+错误!y＝1，即曲线Ｃ的直角坐标方程为x+错误!ｙ-2＝０．令y=0，则ｘ＝2；令ｘ＝0，则ｙ=错误!.∴M(2,0),N错误!.∴Ｍ的极坐标为（2,０），N的极坐标为错误!.②M,N连线的中点Ｐ的直角坐标为错误!,P的极角为θ=π6.∴直线OＰ的极坐标方程为θ=π6（ρ∈R）.注：极坐标下点的坐标表示不唯一．【点拨】解答题（1)的关键是掌握直角坐标化为极坐标的方法;题(2)先转化为直角坐。
极坐标参数方程经典练习题带详细解答
1．极坐标系与直角坐标系xoy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴.已知直线l的参数方程为1222x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2sin 8cos ρθθ=.（Ⅰ）求C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求弦长||AB .2．已知直线l 经过点1(,1)2P ，倾斜角α＝6π，圆C的极坐标方程为)4πρθ=-.(1)写出直线l 的参数方程，并把圆C 的方程化为直角坐标方程；(2)设l 与圆C 相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积． 3．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程是)(242222是参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==，圆C 的极坐标方程为)4cos(2πθρ+=．（I ）求圆心C 的直角坐标；(Ⅱ)由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值． 4．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中x 轴的正半轴重合，且两坐标系有相同的长度单位，圆C 的参数方程为12cos 12sin x y αα=+⎧⎨=-+⎩（α为参数），点Q的极坐标为7)4π。
（1）化圆C 的参数方程为极坐标方程；（2）直线l 过点Q 且与圆C 交于M ，N 两点，求当弦MN 的长度为最小时，直线l 的直角坐标方程。
5．在极坐标系中，点M 坐标是)2,3(π，曲线C 的方程为)4sin(22πθρ+=；以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是1-的直线l 经过点M ． （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，并求||||MB MA ⋅的值． 6．（本小题满分10分） 选修4-4坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+==ααsin 22cos 2y x ，(α为参数)M 是曲线1C 上的动点，点P 满足OM OP 2=，（1）求点P 的轨迹方程2C ；（2）在以D 为极点，X 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与曲线1C ，2C 交于不同于原点的点A,B 求AB7．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐V 标方程为πcos =13ρθ⎛⎫-⎪⎝⎭，M ，N 分别为曲线C 与x 轴、y 轴的交点． （1）写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标；（2）求直线OM 的极坐标方程．8．在直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为：2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并取与直角坐标系相同的长度单位，建立极坐标系，曲线C 2是极坐标方程为：cos ρθ=， (1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2)若P ，Q 分别是曲线C 1和C 2上的任意一点，求PQ 的最小值.9．已知圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，直线l的参数方程为1221122x t x t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ （t 为参数），点A的极坐标为24π⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，设直线l 与圆C 交于点P 、Q .（1）写出圆C 的直角坐标方程；（2）求AP AQ ⋅的值.10．已知动点P ，Q 都在曲线C ：2cos 2sin x ty t=⎧⎨=⎩（β为参数）上，对应参数分别为t α=与2t α=（0＜α＜2π），M 为PQ 的中点。
极坐标方程基础习题附答案
极坐标方程基础习题附答案Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】1.已知点P 的极坐标为，则点P 的直角坐标为（ ） A ．（1，） B ． （1，﹣） C ． （，1） D ． （，﹣1） 2.极坐标系中,B A ,分别是直线05sin 4cos 3=+-θρθρ和圆θρcos 2=上的动点,则B A ,两点之间距离的最小值是 .3.已知曲线C 的极坐标方程为2ρ=（0,02ρθπ>≤< ），曲线C 在点（2，4π）处的切线为l ，以极点为坐标原点，以极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则l 的直角坐标方程为 ▲ .4.在极坐标系中，已知直线把曲线所围成的区域分成面积相等的两部分，则常数a 的值是 ．5.在极坐标系中，圆2cos ρθ=的圆心到直线cos 2ρθ=的距离是____________．6.在极坐标系中，圆4sin ρθ=的圆心到直线()6R πθρ=∈的距离是______________．7.在极坐标系(),ρθ（0,02πρθ>≤<）中，曲线2sin ρθ=与2cos ρθ=的交点的极坐标为_____8.（坐标系与参数方程选做题）曲线2cos 4πρθθ==关于直线对称的曲线的极坐标方程为 。
试卷答案考点：点的极坐标和直角坐标的互化．专题：计算题． 分析： 利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，可求出点的直角坐标．解答： 解：x=ρcosθ=2×cos =1， y=ρsinθ=2×sin = ∴将极坐标（2，）化为直角坐标是（1，）． 故选A ．点评： 本题主要考查了点的极坐标和直角坐标的互化，同时考查了三角函数求值，属于基础题． 2.略3. 4.1a =-略5.曲线θρcos 2=即()2211x y -+=，表示圆心在（1，0），半径等于1的圆，直线cos 2ρθ=即直线2=x ，故圆心到直线的距离为1。
典型极坐标参数方程练习题带答案
极坐标参数方程练习题1在直角坐标系xOy 中，直线Ci ： x = — 2，圆C 2： (x -1)2 + (y — 2)2= 1,以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1) 求 C i , C 的极坐标方程；n(2) 若直线C 3的极坐标方程为 归~4(p€ R),设C 2与C 3的交点为M , ”，求厶C 2MN 的面 积.解：(1)因为x = pcos 0 ， y = pin 0，所以C i 的极坐标方程为pcos B= — 2，C 2 的极坐标方程为 p 2— 2 pcos 0 — 4 psin 0 + 4 = 0.n(2)将 0= ~4代入 p 2— 2 p cos 0 — 4 pin 0 + 4= 0，得 p 2 — 3 2 p + 4= 0，解得 p i = 2 2，p 2= 2故 p — p= 2,即 |MN| = 2.1由于C 2的半径为1,所以△ C 2MN 的面积为4. (2014辽宁，23, 10分，中)将圆x 2 + y 2= 1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标 变为原来的2倍，得曲线C.(1) 写出C 的参数方程；(2) 设直线I : 2x + y — 2 = 0与C 的交点为P 1,巨，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段 P 1P 2的中点且与I 垂直的直线的极坐标方程.x = X 1,解：(1)设(X 1, y 1)为圆上的点，经变换为C 上点(x , y),依题意，得c y = 2y 1,由 X 1 + y 2= 1 得 x 2+ 2y 2= 1. 即曲线C 的方程为x 2+y4 = 1.x = cos t ,故C 的参数方程为 (t 为参数).y =2sin t不妨设P 1(1, 0), P 2(0, 2),则线段P 1P 2的中点坐标为 2 1，所求直线斜率为k =?,⑵由 y 2x 2+4 = 1, 4解得2x + y — 2 = 0x = 1, y = 0x = 0, y = 2.1 1于是所求直线方程为y — 1 = 2 x —2 •化为极坐标方程，并整理得2 p cos 9 — 4 psin 9 = — 3,即 P =3 .4sin 9 — 2cos 9⑵（2015吉林长春二模，23, 10分）在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为n极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为pcos 9—㊁=1, M ，N 分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点.① 写出曲线C 的直角坐标方程，并求 M ，N 的极坐标； ② 设M ，N 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程.【解析】 ⑴将2 pcos 2 9 = sin 9两边同乘以p,得2（ pcos 9 ）2= pin 9，化为直角 坐标方程为2x 2= y ，①C 2： pcos 9 = 1化为直角坐标方程为x = 1，②x = 1，联立①②可解得y = 2，所以曲线C 与C 2交点的直角坐标为（1，2）.x= pcos 9 , 1 又 二 Zx + y= psin 9 , 2即曲线C 的直角坐标方程为x+，3y — 2= 0. 令 y = 0,则 x = 2;令 x = 0,则 y = 2^3.••• M(2, 0), N 0,穿.n⑵①••• pos 9 —-3- =1,n p cos 9 - cosy + psin 9 n・ siny =1.1,••• M的极坐标为(2, 0), N的极坐标为^^3,专.(2012 辽宁，23, 10 分)在直角坐标系 xOy 中，圆 C i : x 2+ y 2 = 4,圆 C 2： (x — 2)2 + y 2系，解题的关键是将参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程求解.②M , N 连线的中点P 的直角坐标为1,身,n• ••直线0P 的极坐标方程为 归—(p€ R).注：极坐标下点的坐标表示不唯一.【点拨】解答题(1)的关键是掌握直角坐标化为极坐标的方法；题(2)先转化为直角坐 标问题求解，再转化为极坐标.x = 4+ 5cost ,(2013课标I, 23, 10分)已知曲线C 的参数方程为(t 为参数)，以坐y = 5+ 5si n t标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为p= 2sin 9 .(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；⑵求C 1与C 2交点的极坐标(p 》0 ow 9 V 2n ).x =4+ 5cos t ,【解析】 ⑴将 消去参数t ，化为普通方程为(x -4)2 + (y — 5)2 = 25,y = 5+ 5s in tx= pcos 9 ，小 c将 代入 x 2 + y 2— 8x — 10y + 16= 0，得p 2— 8 pcos 9 — 10 psin 9 + 16 = 0.所以C 1的极坐标方程为p 2— 8 pcos 9 — 10 psin 9 + 16= 0.⑵C 2的普通方程为x 2 + y 2 — 2y = 0.联立C 1，C 2的方程 x 2 + y 2 — 8x — 10y + 16=0,解得x = 1, y = 1x = 0,或 ’ y =2.所以C 1与C 2交点的极坐标分别为［2, n ， 2, n2 .【点拨】 本题主要考查圆的参数方程、 极坐标方程和标准方程以及圆与圆的位置关（1） 在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C i,C 2的极坐标方程,并求出圆C i ，C 2的交点坐标（用极坐标表示）；（2） 求圆G 与C 2的公共弦的参数方程.x= pos 0,解：（1 ）由y = pin 0 ,知圆G 的极坐标方程为2,圆C 2的极坐标方程为 尸4cos 0 . x 2 +y 2二 Pi i n n 故圆C 1与圆C 2的交点坐标为2, "3 , 2,——.注：极坐标系下点的表示不唯X= pos 0- -得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为（1,百），（1,—書）y= pin 0X =1, L L 故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为 （一3< t < 3）.y =tx — 1 , L厂或参数方程写成 —• 3平3y — y ,x — pcos 0 , 方法二：将x — 1代入 y — pin 0 ,1得如0—1从而尸cos ?.于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为x — 1, y — tan 05. （2015河北邯郸二模，23, 10分）已知圆C 的极坐标方程为 尸2cos 0，直线I 的1 套x —2 + 2 t ， 逼 n参数方程为（t 为参数），点A 的极坐标为-7,—，设直线l 与圆C 交于点P , 1 1 2 4 y —2+2t（2）方法一：由 p= 2,冗(2012 辽宁，23, 10 分)在直角坐标系 xOy 中，圆 C i : x 2+ y 2 = 4,圆 C 2： (x — 2)2 + y 2(1)写出圆C 的直角坐标方程；⑵求|AP| |・AQ 的值.解：(1)因为圆C 的极坐标方程为p= 2cos 9 , 所以 2 pcos 9 , 将其转化成直角坐标方程为x 2 + y 2 = 2x , 即(x — 1)2+ y 2= 1.⑵由点A 的极坐标专,n 得直角坐标为A 2，1._ 1丄盟X — 2 + 2 t ，将直线I 的参数方程(t 为参数)代入圆C 的直角坐标方程(x — 1)2+ y 2— 1,1 1 y —2+2t得t 2—设t 1, t 2为方程t 2— 32 11 —2 — 0的两个根，贝U t 1t 2— — 2，1所以 |AP| |・AQ| — | t 1t 2| — ^.x — tcos a ，2. (2015课标U ，23，10分，中)在直角坐标系xOy 中，曲线 0:(t 为y — tsin a ，参数，t 旳)，其中OWaVn .在以0为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 2: p—2sin 9， C 3: p — 2 3cos 9 .(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；⑵若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB|的最大值. 解：(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2+ y 2 — 2y — 0， 曲线C 3的直角坐标方程为x 2 + y 2 — 2 3x — 0.x 2+ y 2— 2y — 0， x 2+ y 2— 2 3x — 0，Q. 0.=0, x= 2，解得或y= 0 3所以C2与C3交点的直角坐标为(0, 0)和冷，2 .⑵曲线G的极坐标方程为0= a p€ R, pH 0,其中0Wx< n . 因此A的极坐标为(2sin a ,a ), B的极坐标为(2 3C0S a , a ).所以| AB| = |2sin a — 2 3cos a |n=4 sin a —.5 n当口=肓时，|AB|取得最大值，最大值为4.1 x= 3 +2上,3.(2015陕西，23, 10 分,易)在直角坐标系xOy中，直线I的参数方程为(t为参数),以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，O C的极坐标方程为p= 2 3 sin0 .(1)写出O C的直角坐标方程；(2)P为直线I上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标.解：⑴由p= 2.3sin 0，得p 2 = 2 寸3 p sin 0 ,从而有x2+2 . 3y,所以x2+ (y—3)2= 3.(2)设P3 +1, ，又C(0, 3),故当t = 0时，|pq取得最小值，此时，P点的直角坐标为(3, 0).则|PC = 3 + ；t 2+ 23t —；3 2= t2+ 12,5.(2014课标U, 23, 10分，中)在直线坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正n半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为p= 2cos 9，9 € 0,(1)求C的参数方程；⑵设点D在C上, C在D处的切线与直线I: y= 3x+ 2垂直，根据⑴中你得到的参数方程，确定D的坐标.解：⑴C的普通方程为(x—1)2+ y2= 1(0手w 1)x= 1 + cos t,可得C的参数方程为(t为参数，owt<n ).y= sin t(2)设D(1 + cos t, sin t)•由(1)知C是以G(1, 0)为圆心，1为半径的上半圆•因为 Cn 在点D处的切线与I垂直，所以直线GD与I的斜率相同，tan t =空，n n 3 1/3故D的直角坐标为1 + cos , sin~3，即2，.x= 2cost,7. (2013课标U, 23, 10分，中)已知动点P, Q都在曲线C: (t为参数)y= 2s in t上，对应参数分别为t =口与t = 2 o(0<a<2 n ), M为PQ的中点.(1)求M的轨迹的参数方程；⑵将M到坐标原点的距离d表示为a的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点.解：(1)依题意有P(2cos a , 2sin a ), Q(2cos 2a , 2sin 2a ),因此M(cos a + cos 2a , sin a + sin 2a ).M的轨迹的参数方程为X= cos a + cos 2a , . .c (a为参数，0<a <2n ).y= sin a + sin 2a(2)M点到坐标原点的距离d = i；：x2 + y2 =育 2 + 2cos a (0< a<2 n ).当a=n时，d= 0,故M的轨迹过坐标原点.x 2 y 2x = 2 +1,（2014课标I, 23, 10分）已知曲线C: 7 +专二1•直线I :» （t 为参数）•y = 2 — 2t（1）写出曲线C 的参数方程，直线I 的普通方程；⑵过曲线C 上任意一点P 作与I 夹角为30°的直线，交I 于点A ，求|PA 的最大值与最小值.【思路导引】 （1 ）由基本关系式可消参求出普通方程；（2）把|PA 用参数9来表示， 从而求其最值.x= 2cos 9，【解析】（1）曲线C 的参数方程为 门■（9为参数）.y= 3sin 9直线I 的普通方程为2x + y — 6 = 0.⑵曲线C 上任意一点P （2cos 9，3sin 9 ）到I 的距离为d= ~5|4cos 9 + 3sin 9 — 6|.（2013辽宁，23，10分）在直角坐标系xOy 中，以0为极点，x 轴正半轴为极轴建立极 坐标系.圆G ，直线C 2的极坐标方程分别为p= 4sin 9， p cos 9 —亍=2 2.（1）求Ci 与C 2交点的极坐标；⑵设P 为C 的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点，已知直线 PQ 的参数方程为 x =t 3+ a ，b 3 （t € R 为参数），求a ，b 的值. y =尹+1【解析】（1）圆G 的直角坐标方程为x 2+ （y — 2）2=4, 直线C 2的直角坐标方程为x + y — 4 = 0._d_sin2.55|5sin( 9+ M — 6|，其中 a 为锐角，且tan 43.当sin （9+ a ）=— 1时，I PA 取得最大值，最大值为22 5 5当 sin(9+1 时, |PA 取得最小值，最小值为2、55n t —n所以C i 与C 2交点的极坐标为4,㊁，2 2,4 .注：极坐标系下点的表示不唯一.(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0, 2)，(1, 3).故直线PQ 的直角坐标方 程为 x — y + 2= 0.由参数方程可得 y = b (x — a) + 1 = |x — ab+ 1,解得 a = — 1, b = 2.【点拨】 解答本题的关键是明确转化思想的运用，即把极坐标化为直角坐标，把参 数方程化为普通方程求解问题.x= 2COS a ,2011课标全国，23,10分)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为y = 2+2sin a (a 为参数),M是C 上的动点，P 点满足OP = 2OM , P 点的轨迹为曲线C 2.(1)求C 2的方程;n ,⑵在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线B=E 与C 1的异于极点的 交点为A ,与C 2的异于极点的交点为B ,求|AB|. 解:⑴设 P(x , y), 则由条件知M 2, 2 .2 = 2COS a ,2 = 2 + 2sin a ,x = 4COS a , 即 y=4 + 4sin a .X = 4C0S a ,从而Q 的参数方程为尸4+ 4sin a (a为参数)•(2)C i 化为普通方程为x 2 + (y —2)2 = 4,故曲线C i 的极坐标方程为p= 4sin B ,同理可 得曲线C 2的极坐标方程为 尸8sin 9 .nx 2+( y — 2) 2= 4, x +y —4=0x i = 0, y i =X 2= 2, y 2= 2.所以b = 2= 1,-ab +1=2,由于M 点在C 1上，所以射线与C i的交点A的极径为2 3,n射线0="3与C2的交点B的极径为8sin§ = 4 3.所以| AB| = | p —p i| = 2 3.』n5.(2014辽宁锦州一模，23, 10分)已知圆的极坐标方程为p2—4 2 pcos( 9— "4)+ 6 =0.(1)将极坐标方程化为普通方程；(2)若点P(x, y)在该圆上，求x+ y的最大值和最小值.解：(1)原方程变形为p2—4pcos 9 — 4 psin 9 + 6 = 0,化直角坐标方程为x2+ y2—4x —4y+ 6= 0,即(x—2)2+ (y—2)2= 2.X= 2+V^COS a ,(2)设圆的参数方程为- (a为参数)，点P(x, y)在圆上，y= 2+寸2s in a”n贝U x+ y= 4+ 2sin a + ~ .所以x+ y的最大值为6,最小值为2.6.(2015 山西太原联考，23, 10分)已知平面直角坐标系xOy,以0为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为2 3, nn，曲线C的极坐标方程为p+ 2 ,3 p sin 9 = 1.(1)写出点P的直角坐标及曲线C的直角坐标方程;x= 3+ It,⑵若Q为曲线C上的动点，求PQ中点M到直线I:」y= —I +1 小值.解：(1)点P的直角坐标为(3, 3).由p+1 3 p sin 9 = 1,得x I + y I +1 3y = 1,即x + (y+ 3)I•••曲线C的直角坐标方程为x2+ (y+ .3)2= 4.⑵曲线C的参数方程为x= Icos 9 ,(9为参数)，直线I的普通方程为x—Iy—7 = 0.y=— .3+ Isin 9设Q(2cos 9 , - .3 + 2sin 9 ),3则M |+ cos 9 , sin 9，那么点M到直线I的距离为|+ cos 9 - 2sin 9 - 7d = ；1I +I I11cos 9 - — Isin 9 -5,5sin( 9—©) +11511—5+3 111,,5 =10 —•••点M到直线I的最小距离为— 1.(t为参数)距离的最。
高考极坐标参数方程含答案(经典39题)
1．在极坐标系中，以点(2,)2C π为圆心，半径为3的圆C 与直线:()3l R πθρ=∈交于,A B 两点.〔1〕求圆C 及直线l 的普通方程.〔2〕求弦长AB .2．在极坐标系中，曲线2:sin 2cos L ρθθ=，过点A 〔5，α〕〔α为锐角且3tan 4α=〕作平行于()4R πθρ=∈的直线l ，且l 与曲线L 分别交于B ，C 两点.(Ⅰ)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直角坐标系，写出曲线L 和直线l 的普通方程；(Ⅱ)求|BC|的长.3．在极坐标系中，点M 坐标是)2,3(π，曲线C 的方程为)4sin(22πθρ+=；以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是1-的直线l 经过点M ． 〔1〕写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；〔2〕求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，并求||||MB MA ⋅的值． 4．已知直线l 的参数方程是)(242222是参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==，圆C 的极坐标方程为)4cos(2πθρ+=．〔1〕求圆心C 的直角坐标；〔2〕由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．5．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为()为参数t ty ta x ,3⎩⎨⎧=+=.在极坐标系〔与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴〕中，圆C 的方程为θρcos 4=. 〔Ⅰ〕求圆C 在直角坐标系中的方程； 〔Ⅱ〕假设圆C 与直线l 相切，求实数a 的值.6．在极坐标系中，O 为极点，已知圆Cr=1，P 在圆C 上运动。
〔I 〕求圆C 的极坐标方程；〔II 〕在直角坐标系〔与极坐标系取相同的长度单位，且以极点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴〕中，假设Q 为线段OP 的中点，求点Q 轨迹的直角坐标方程。
7．在极坐标系中，极点为坐标原点O ，已知圆C，直线l 的极坐标〔1〕求圆C 的极坐标方程；〔2〕假设圆C 和直线l 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.8．平面直角坐标系中，将曲线⎩⎨⎧==ααsin cos 4y x 〔α为参数〕上的每一点纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，然后整个图象向右平移1个单位，最后横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到曲线1C ．以坐标原点为极点，x 的非负半轴为极轴，建立的极坐标中的曲线2C 的方程为θρsin 4=，求1C 和2C 公共弦的长度． 9．在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是θρcos 4=，直线l 的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=.21, 233t y t x 〔t 为参数〕。
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1．（2012•新课标）选修4﹣4；坐标系与参数方程
已知曲线C
1
的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的
正半轴为极轴建立坐标系，曲线C
2
的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都
在C
2
上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．
（1）求点A，B，C，D的直角坐标；
（2）设P为C
1
上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值围．2．（2013•新课标Ⅱ）选修4﹣﹣4；坐标系与参数方程
已知动点P，Q都在曲线C：上，对应参数分别为β=α与β=2α（0＜α＜2π），M为PQ的中点．
（Ⅰ）求M的轨迹的参数方程
（Ⅱ）将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．
3．（2014•新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]
（Ⅰ）求C的参数方程；
（Ⅱ）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．
4．（2015•新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy中，曲线C
1
：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线
C 2：ρ=2sinθ，C
3
：ρ=2cosθ．
（1）求C
2与C
3
交点的直角坐标；
（2）若C
1与C
2
相交于点A，C
1
与C
3
相交于点B，求|AB|的最大值．
5．（2016•新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交与A，B两点，|AB|=，求l的斜率．
6．在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知某圆的极坐标方程为：24cos 20ρρθ-+=．
（Ⅰ）将极坐标方程化为普通方程；
（Ⅱ）若点P(x ，y)在该圆上，求x ＋y 的最大值和最小值．
7．在极坐标系中，已知点P 为圆ρ2+2ρsinθ﹣7=0上任一点．求点P 到直线
ρcosθ+ρsinθ﹣7=0的距离的最小值与最大值．
8．在极坐标系中，已知圆=2cos ρθ与直线3cos 4sin 0a ρθρθ++=相切，数a 的值。
9
．在极坐标系中，求曲线与的交点的极坐标． 10．在直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为（t 为参数）.在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的（1）求圆C 的直角坐标方程；
（2）设圆C 与直线l 交于点,A B ，若点P 的坐标为11 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：（t 为参数，t ≠ 0），其中0 ≤ α < π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：，C 3：。
（1）求C 2与C 3交点的直角坐标；
（2）若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求的最大值。
() (02π)ρθθ<≤,
2sin ρθ=cos 1ρθ=Q cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩
2sin ρθ=ρθ=||AB
7、选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆()()222:121C x y -+-=，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（I ）求12,C C 的极坐标方程.
（II ）若直线3C 的极坐标方程为()πR 4θρ=
∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ∆ 的面积.
试题分析：（Ⅰ）用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得1C ，2C 的极坐标方程；（Ⅱ）将将=4
πθ代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=即可求出|MN|，利用三角形面积公式即可求出2C MN 的面积.
试题解析：（Ⅰ）因为cos ,sin x y ρθρθ==，
∴1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=.……5分
（Ⅱ）将
=4πθ代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得23240ρρ-+=，解得1ρ=22，2ρ=2，|MN|=1ρ－2ρ=2，
因为2C 的半径为1，则2C MN 的面积o 11sin 452⨯=12
. 考点:直角坐标方程与极坐标互化；直线与圆的位置关系
8、选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ,[0,
]2πρθθ=∈. （1）求C 得参数方程；
（2）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =
+垂直，根据（1）中你得到
的参数方程，确定D 的坐标. 解：（I ）C 的普通方程为22(1)1(01)x y y -+=≤≤.
可得C 的参数方程为1cos ,sin ,x t y t =+⎧⎨=⎩
（t 为参数，0t x ≤≤） （Ⅱ）设D (1cos ,sin )t t +.由（I ）知C 是以G （1,0）为圆心，1为半径的上半圆。
因为C 在点D 处的切线与t 垂直，所以直线GD 与t 的斜率相同，
tan 3t t π
==.
故D 的直角坐标为(1cos
,sin )33
ππ+，即3(2。
9、坐标系与参数方程 已知曲线的参数方程是（是参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴
为极轴建立极坐标系，曲线:的极坐标方程是=2，正方形ABCD 的顶点都在上，且
A,B,C,D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为（2，）. 1C 2cos 3sin x y ϕϕ
=⎧⎨
=⎩ϕx 2C ρ2C 3π
(Ⅰ)求点A,B,C,D 的直角坐标；
(Ⅱ)设P 为上任意一点，求的取值围.
【命题意图】本题考查了参数方程与极坐标，是容易题型. 【解析】(Ⅰ)由已知可得，， ，， 即A(1
，B
1），
C （―1，D
，－1），
(Ⅱ)设，令=，
则==，
∵，∴的取值围是[32,52].
10、坐标系与参数方程
已知动点都在曲线为参数上，对应参数分别为与，
为的中点． （Ⅰ）求的轨迹的参数方程； （Ⅱ）将到坐标原点的距离表示为的函数，并判断的轨迹是否过坐标原点． 1C 2222
||||||||PA PB PC PD +++(2cos
,2sin )33A π
π(2cos(),2sin())3232
B ππππ++(2cos(),2sin())
C ππππ++33(2cos(),2sin())22
D ππππ++(2cos ,3sin )P ϕϕS 2222||||||||PA PB PC PD +++S 2216cos 36sin 16ϕϕ++23220sin ϕ+20sin 1ϕ≤≤S。