2021-2022年高三考前得分训练(六) 数学(理) 含答案

2021年高三考前得分训练（六） 数学（理） 含答案
说明：本试卷分第Ⅰ卷（阅读题）和第Ⅱ卷（表达题）两部分，考生作答时，将答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在题目给出的四个选项中，只
有一个选项 是符合题目要求.
1．已知集合，，则（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 2．已知（），其中为虚数单位，则
A ．
B ．
C ．
D ．
3．在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他十个小长方形面积的和的，且样本容量是160，则中间一组的频数为（ ） A ．32 B ．0.2 C ．40 D ．0.25 4．设命题，命题函数2()9()f x x mx m R =++∈没有零点，则是的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必
要条件
5．为坐标平面内三点，为坐标原点，若与在方向上的投影相同，则满足的关系式为
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．执行如图的程序框图，输出的的值为（ ） A ． B ． C ． D ．
7．在直角坐标系中，点的坐标为，是第三象限内一点，且，则点的横坐标为（ ） A ． B ． C ． D ．
8．某几何体的三视图如图示，则此几何体的体积是（ ） A ． B ． C ． D ． 9．已知等比数列的各项都是正数，且，，成等差数列，则
A ．1
B ．3
C ．6
D ．9 10．已知a ，b 都是负实数，则的最小值是（ ） A ． B ．2（﹣1） C ． D ．2（+1）
11．经过双曲线的右焦点为作该双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线相较于两点，若为坐标原点，的面积是，则该双曲线的离心率是（ ） A ． B ． C ． D ．
12．已知函数，若，且对任意的恒成立，则的最大值为（ ） A ． B ． C ． D ．
13．设，则二项式展开式中的第4项为 ．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题: : 本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．设，则二项式展开式中的第4项为 ．
14．已知正方体的棱长为1，点是线段的中点，则三棱锥外接球体积为 ． 15.在中，的对边分别为，且cos 3cos cos b C a B c B =-，，则的面积为____________
16.已知P 为椭圆上一个动点，过P 作圆的两条切线，切点分别为A ﹑B ，则的取值范围是_____________
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （本小题满分12分）等比数列中，前n 项和前2n 项和分别为. (1)求首项和公比 (2)若，数列满足，（n 设.求数列的前n 项和
18. （本小题满分12分）每逢节假日，在微信好友群发红包逐渐成为一种时尚，还能增进彼此的感情．xx 中秋节期间，小鲁在自己的微信校友群，向在线的甲、乙、丙、丁四位校友随机发放红包，发放的规则为：每次发放1个，每个人抢到的概率相同． （1）若小鲁随机发放了3个红包，求甲至少得到1个红包的概率；
（2）若丁因有事暂时离线一段时间，而小鲁在这段时间内共发放了3个红包，其中2个红包中各有5元，
1个红包有10元，记这段时间内乙所得红包的总钱数为元，求的分布列和数学期望． 19．（本题满分12分）如图，在四棱锥中，底面，为直角，,，分别为的中点． （1）试证：平面；
（2）设，且二面角的平面角大于，求的取值范围． 20（本题满分12分）已知椭圆
()22
22:10x y C a b a b
+=>>的离心率为，
过点的直线交椭圆C 与，两点，，且当直线垂直于轴时，． （1）求椭圆C 的方程；（2）若，求弦长的取值范围．
21． （本题满分12分）设函数()(1)ln(1)f x ax x bx =-+-，其中，是实数．已知曲线与轴
相切于坐标原点． （1）求常数的值；
（2）当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）求证：． 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图所示，已知圆的半径长为4，两条弦相交于点，若，，为的中点，． （1）求证：平分；（2）求的度数． 23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 已知曲线的参数方程为（其中为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）分别写出曲线与曲线的普通方程； （2）若曲线与曲线交于两点，求线段的长． 24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数．
（1）求不等式；
（2）若函数的最小值为，且，求的最小值．
答案:
1．C ；2．A ；3．A ；4．B ；5．A ；6．B ；7．A ．；8．D ；9．D ；10．B ；11．B ；12．B ． 13．；14．；15．；16. 17.，。

18．（1）设“甲至少得1红包”为时间A ，由题意得：
12223
30333
13131337(A)C ()C ()C ()()44444464
P =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= （2）由题意知可能取值为． ；
1
22128(5)()3327P X C ==⨯⨯=
；
2212212
(10)()()33339
P X ==⨯+⨯=
；
1
22124(15)()3327
P X C ==⨯⨯=；
()051015202727927273
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯= 19、（1）证：由已知且为直角，故是矩形，从而，又底面，所以平面平面．因为，故平面，
所以．在内，分别是的中点，，所以，由此得平面． （2）以为原点，以为正向建立空间直角坐标系，设的长为1，则
()1,2,0
,0,1,
2k BD BE ⎛
⎫=-= ⎪⎝⎭
，设平面的法向量为，平面的法向量为，则22200,002
x y m BD kz
y m BE -+=⎧⎧⋅=⎪⎪∴⎨⎨+=⋅=⎪⎪⎩⎩，取，可得，设二面角的大小为，则122
cos |cos ,|2
m m θ=<>=
<
，化简得，则． 20．（1）由已知：，∴，又当直线垂直于轴时， ，∴椭圆过点，代入椭圆：，在椭圆中知：，
联立方程组可得：，，∴椭圆的方程为：；（2）当过点直线斜率为时，点，分别为椭圆长轴的端点，||213222||21PA PB λ+=
==+>-或||211
322||221
PA PB λ-===-<+，不合题意，∴直线的斜率不能为，可设直线方程为：，，，将直线方程代入椭圆得:，由韦达定理可得：
1221222(1)
21(2)
2m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨
⎪=-⎪+⎩
，
将（1）式平方除以（2）式可得：由已知可知，， ， ∴，又知，∴，∴
，解得：，
2
2
2
2
2
12
1212(1)(1)()4AB m y y m y y y y ⎡⎤=+-=++-⎣⎦222
22
118()8(1)22
m m m +==-++，∵，∴，∴．
21．（1）由题意，得1'()ln(1)1ax
f x a x b x
-=-++-+，因为与轴相切于坐标原点，故，即，故．
（2）1'()ln(1)11ax
f x a x x
-=-++
-+，，． ①当时，由于，有，于是在上单调递增，从而，因此在上单调递增，即，而且仅有，符合； ②当时，由于，有，于是在上单调递减，从而，因此在上单调递减，即不符； ③当时，令，当时，，于是在上单调递减，从而，因此在上单调递减，即，而且仅有，不符． 综上可知，所求实数的取值范围是．
（3）对要证明的不等式等价变形如下：对于任意的正整数，不等式恒成立，等价变形相当于（2）中，的情形，在上单调递减，即，而且仅有；取，得：对于任意正整数都有成立；令得证． 22．（1）连接，由点是弧的中点，则，设垂足为点，则点为弦的中点，，在中，利用锐角三角函数即可求得，因为，即求得的值． 试题解析：（1）由为的中点，得，又，∴∽ ∴，又，∴，故平分
（2）连接，由点是弧的中点，则，设垂足为点，则点为弦的中点，，连接，则22224(23)2OF OB BF =-=-=，∴，．∴． 23．（1）曲线，曲线．
（2）联立2210
143x y x y -+=⎧⎪
⎨+=⎪⎩，得，设，则，，于是
12121224
||11||2()47
AB x x x x x x =+-=+-=
．故线段的长为． 24．（1）由知，于是，解得，故不等式的解集为．
（2）由条件得()|21||23||21(23)|2g x x x x x =-+-≥---=，当且仅当时，其最小值，即．又
21121121
()()(3)(3222n m m n m n m n m n +=++=++≥+，
所以222121172(322
m n m n m n m n ++++=+++≥++=
， 故的最小值为，此时，．。