2021年安徽中考数学题型专项复习训练：题型一 选择压轴题之函数图象问题
2021年安徽省中考数学真题试卷(附答案解析)
2021年安徽省中考数学真题试卷（附答案解析）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A ，B ，C ，D 四个选项，其中只有一个是符合题目要求的。
1．（4分）（2021•安徽）9-的绝对值是( )A ．9B ．9-C ．19D ．19- 2．（4分）（2021•安徽）《2020年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年我国共资助8990万人参加基本医疗保险．其中8990万用科学记数法表示为( )A ．689.910⨯B ．78.9910⨯C ．88.9910⨯D ．90.89910⨯3．（4分）（2021•安徽）计算23()x x ⋅-的结果是( )A ．6xB ．6x -C ．5xD ．5x -4．（4分）（2021•安徽）几何体的三视图如图所示，这个几何体是( )A ．B ．C ．D ．5．（4分）（2021•安徽）两个直角三角板如图摆放，其中90BAC EDF ∠=∠=︒，45E ∠=︒，30C ∠=︒，AB 与DF 交于点M ．若//BC EF ，则BMD ∠的大小为( )A ．60︒B ．67.5︒C ．75︒D ．82.5︒6．（4分）（2021•安徽）某品牌鞋子的长度y cm 与鞋子的“码”数x 之间满足一次函数关系．若22码鞋子的长度为16cm ，44码鞋子的长度为27cm ，则38码鞋子的长度为( )A ．23cmB ．24cmC ．25cmD ．26cm7．（4分）（2021•安徽）设a ，b ，c 为互不相等的实数，且4155b a c =+，则下列结论正确的是( ) A ．a b c >> B ．c b a >> C ．4()a b b c -=- D ．5()a c a b -=-8．（4分）（2021•安徽）如图，在菱形ABCD 中，2AB =，120A ∠=︒，过菱形ABCD 的对称中心O 分别作边AB ，BC 的垂线，交各边于点E ，F ，G ，H ，则四边形EFGH 的周长为( )A ．33+B ．223+C ．23+D ．123+9．（4分）（2021•安徽）如图在三条横线和三条竖线组成的图形中，任选两条横线和两条竖线都可以图成一个矩形，从这些矩形中任选一个，则所选矩形含点A 的概率是( )A ．14B ．13C ．38D ．4910．（4分）（2021•安徽）在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，分别过点B ，C 作BAC ∠平分线的垂线，垂足分别为点D ，E ，BC 的中点是M ，连接CD ，MD ，ME ．则下列结论错误的是( )A ．2CD ME =B ．//ME ABC ．BD CD = D ．ME M D =二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．（5分）（2021•安徽）计算：04(1)+-= ．12．（5分）（2021•安徽）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形．底面正方形的边长与侧面等腰三角形底边上的高的比值是51-，它介于整数n 和1n +之间，则n 的值是 ．13．（5分）（2021•安徽）如图，圆O 的半径为1，ABC ∆内接于圆O ．若60A ∠=︒，75B ∠=︒，则AB = ．14．（5分）（2021•安徽）设抛物线2(1)y x a x a =+++，其中a 为实数．（1）若抛物线经过点(1,)m -，则m = ；（2）将抛物线2(1)y x a x a =+++向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是 ．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．（8分）（2021•安徽）解不等式：1103x -->． 16．（8分）（2021•安徽）如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，ABC ∆的顶点均在格点（网格线的交点）上．（1）将ABC ∆向右平移5个单位得到△111A B C ，画出△111A B C ；（2）将（1）中的△111A B C 绕点1C 逆时针旋转90︒得到△221A B C ，画出△221A B C ．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．（8分）（2021•安徽）学生到工厂劳动实践，学习制作机械零件．零件的截面如图阴影部分所示，已知四边形AEFD为矩形，点B、C分别在EF、DF上，90∠=︒，ABCBC cm=，6︒≈，=．求零件的截面面积．参考数据：sin530.80 AB cmBAD53∠=︒，10︒≈．cos530.6018．（8分）（2021•安徽）某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列．[观察思考]当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块（如图2)；当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有8块（如图3)；以此类推．[规律总结]（1）若人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加块；（2）若一条这样的人行道一共有(n n为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为（用含n的代数式表示）．[问题解决]（3）现有2021块等腰直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，要求等腰直角三角形地砖剩余最少，则需要正方形地砖多少块？五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．（10分）（2021•安徽）已知正比例函数(0)y kx k=≠与反比例函数6yx=的图象都经过点(,2)A m．（1）求k，m的值；（2）在图中画出正比例函数y kx=的图象，并根据图象，写出正比例函数值大于反比例函数值时x的取值范围．20．（10分）（2021•安徽）如图，圆O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E．（1）M是CD的中点，3OM=，12CD=，求圆O的半径长；（2）点F在CD上，且CE EF=，求证：AF BD⊥．六、（本题满分12分）21．（12分）（2021•安徽）为了解全市居民用户用电情况，某部门从居民用户中随机抽取100户进行月用电量（单位：)kW h ⋅调查，按月用电量50~100，100~150，150~200，200~250，250~300，300~350进行分组，绘制频数分布直方图如图．（1）求频数分布直方图中x 的值；（2）判断这100户居民用户月用电量数据的中位数在哪一组（直接写出结果）；（3）设各组居民用户月平均用电量如表： 组别50~100 100~150 150~200 200~250 250~300 300~350 月平均用电量（单位：)kW h ⋅ 75 125 175 225 275 325根据上述信息，估计该市居民用户月用电量的平均数．七、（本题满分12分）22．（12分）（2021•安徽）已知抛物线221(0)y ax x a =-+≠的对称轴为直线1x =．（1）求a 的值；（2）若点1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y 都在此抛物线上，且110x -<<，212x <<．比较1y 与2y 的大小，并说明理由；（3）设直线(0)y m m =>与抛物线221y ax x =-+交于点A 、B ，与抛物线23(1)y x =-交于点C ，D ，求线段AB 与线段CD 的长度之比．八、（本题满分14分）23．（14分）（2021•安徽）如图1，在四边形ABCD 中，ABC BCD ∠=∠，点E 在边BC 上，且//AE CD ，//DE AB ，作//CF AD 交线段AE 于点F ，连接BF ．（1）求证：ABF EAD ∆≅∆；（2）如图2．若9AB=，5CD=，ECF AED∠=∠，求BE的长；（3）如图3，若BF的延长线经过AD的中点M，求BEEC的值．2021年安徽省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A ，B ，C ，D 四个选项，其中只有一个是符合题目要求的。
安徽省2021年数学中考真题(含答案解析)
2021年安徽省初中学业水平考试数 学一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A 、B 、C 、D 四个选项，其中只有一个是正确的.1．（2021安徽中考，1，4分，★☆☆）﹣9的绝对值是（ ） A ．9B ．﹣9C ．91 D ．﹣91 2．（2021安徽中考，2，4分，★☆☆）《2020年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年我国共资助8990万人参加基本医疗保险．其中8990万用科学记数法表示为（ ） A ．89.9×106B ．8.99×107C ．8.99×108D ．0.899×1093．（2021安徽中考，3，4分，★☆☆）计算x 2•（﹣x ）3的结果是（ ） A ．x 6B ．﹣x 6C ．x 5D ．﹣x 54．（2021安徽中考，4，4分，★☆☆）几何体的三视图如图所示，这个几何体是（ ）第4题图A BC D5．（2021安徽中考，5，4分，★☆☆）两个直角三角板如图摆放，其中∠BAC ＝∠EDF ＝90°，∠E ＝45°，∠C ＝30°，AB 与DF 交于点M ．若BC ∥EF ，则∠BMD 的大小为（ ）A ．60°B ．67.5°C ．75°D ．82.5°6．（2021安徽中考，6，4分，★☆☆）某品牌鞋子的长度ycm 与鞋子的“码”数x 之间满足一次函数关系．若22码鞋子的长度为16cm ，44码鞋子的长度为27cm ，则38码鞋子的长度为（ ） A ．23cmB ．24cmC ．25cmD ．26cm7．（2021安徽中考，7，4分，★★☆）设a ，b ，c 为互不相等的实数，且b ＝54a +51c ，则下列结论正确的是（ ）A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．a ﹣b ＝4（b ﹣c ）D ．a ﹣c ＝5（a ﹣b ）8．（2021安徽中考，8，4分，★★☆）如图，在菱形ABCD 中，AB ＝2，∠A ＝120°，过菱形ABCD 的对称中心O 分别作边AB ，BC 的垂线，交各边于点E ，F ，G ，H ，则四边形EFGH 的周长为（ ）A ．3+3B ．2+23C ．2+3D ．1+239．（2021安徽中考，9，4分，★★☆）如图在三条横线和三条竖线组成的图形中，任选两条横线和两条竖线都可以围成一个矩形，从这些矩形中任选一个，则所选矩形含点A 的概率是（ ）A ．41 B ．31 C ．83 D ．94 10．（2021安徽中考，10，4分，★★☆）在△ABC 中，∠ACB ＝90°，分别过点B ，C 作∠BAC 平分线的垂线，垂足分别为点D ，E ，BC 的中点是M ，连接CD ，MD ，ME ．则下列结论错误的是（ ） A ．CD ＝2MEB ．ME ∥ABC ．BD ＝CDD ．ME ＝MD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．（2021安徽中考，11，5分，★☆☆）计算：4+（﹣1）0＝．12．（2021安徽中考，12，5分，★☆☆）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形．底面正方形的边长与侧面等腰三角形底边上的高的比值是5﹣1，它介于整数n和n+1之间，则n的值是．13．（2021安徽中考，13，5分，★☆☆）如图，圆O的半径为1，△ABC内接于圆O．若∠A＝60°，∠B ＝75°，则AB＝．14．（2021安徽中考，14，5分，★★☆）设抛物线y＝x2+（a+1）x+a，其中a为实数．（1）若抛物线经过点（﹣1，m），则m＝；（2）将抛物线y＝x2+（a+1）x+a向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．（2021安徽中考，15，8分，★☆☆）解不等式：13x﹣1＞0．16．（2021安徽中考，16，7分，★☆☆）如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，△ABC的顶点均在格点（网格线的交点）上．（1）将△ABC向右平移5个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；（2）将（1）中的△A1B1C1绕点C1逆时针旋转90°得到△A2B2C1，画出△A2B2C1．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．（2021安徽中考，17，8分，★☆☆）学生到工厂劳动实践，学习制作机械零件．零件的截面如图阴影部分所示，已知四边形AEFD为矩形，点B、C分别在EF、DF上，∠ABC＝90°，∠BAD＝53°，AB ＝10cm，BC＝6cm．求零件的截面面积．参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60．18．（2021安徽中考，18，8分，★★☆）某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列．【观察思考】当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块（如图2）；当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有8块（如图3）；以此类推．【规律总结】（1）若人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加 块；（2）若一条这样的人行道一共有n （n 为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为 （用含n 的代数式表示）． 【问题解决】（3）现有2021块等腰直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，要求等腰直角三角形地砖剩余最少，则需要正方形地砖多少块？五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．（2021安徽中考，19，10分，★★☆）已知正比例函数y ＝kx （k ≠0）与反比例函数y ＝x6的图象都经过点A （m ，2）． （1）求k ，m 的值；（2）在图中画出正比例函数y ＝kx 的图象，并根据图象，写出正比例函数值大于反比例函数值时x 的取值范围．20．（2021安徽中考，20，10分，★★☆）如图，圆O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E．（1）M是CD的中点，OM＝3，CD＝12，求圆O的半径长；（2）点F在CD上，且CE＝EF，求证：AF⊥BD．六、（本题满分12分）21．（2021安徽中考，21，12分，★★☆）为了解全市居民用户用电情况，某部门从居民用户中随机抽取100户进行月用电量（单位：kW•h）调查，按月用电量50～100，100～150，150～200，200～250，250～300，300～350进行分组，绘制频数分布直方图如图．（1）求频数分布直方图中x的值；（2）判断这100户居民用户月用电量数据的中位数在哪一组（直接写出结果）；（3）设各组居民用户月平均用电量如表：组别50～100100～150150～200200～250250～300300～35075125175225275325月平均用电量（单位：kW•h）根据上述信息，估计该市居民用户月用电量的平均数．七、（本题满分12分）22．（2021安徽中考，22，12分，★★☆）已知抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0）的对称轴为直线x＝1．（1）求a 的值；（2）若点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）都在此抛物线上，且﹣1＜x 1＜0，1＜x 2＜2．比较y 1与y 2的大小，并说明理由；（3）设直线y ＝m （m ＞0）与抛物线y ＝ax 2﹣2x +1交于点A 、B ，与抛物线y ＝3（x ﹣1）2交于点C ，D ，求线段AB 与线段CD 的长度之比．八、（本题满分14分）23．（2021安徽中考，23，14分，★★★）如图1，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠BCD ，点E 在边BC 上，且AE ∥CD ，DE ∥AB ，作CF ∥AD 交线段AE 于点F ，连接BF ． （1）求证：△ABF ≌△EAD ；（2）如图2．若AB ＝9，CD ＝5，∠ECF ＝∠AED ，求BE 的长； （3）如图3，若BF 的延长线经过AD 的中点M ，求ECBE的值．2021年安徽省初中学业水平考试数学试题答案全解全析1．答案：A解析：根据绝对值的代数意义可知﹣9的绝对值是9．考查内容：绝对值的概念．命题意图：考查学生对绝对值意义的掌握，难度较小．关键点解读：绝对值要抓住以下如下两个关键点：（1）正数和0的绝对值是它本身；（2）负数的绝对值等于它的相反数．规律方法：（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．①互为相反数的两个数绝对值相等；②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．③有理数的绝对值都是非负数．（2）如果用字母a表示有理数，则数a绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．即|a|＝0 000 a aaa a⎧⎪=⎨⎪-⎩（＞）（）（＜）.2．答案：B解析：8990万＝89 900 000＝8.99×107．考查内容：科学记数法．命题意图：考查了用科学记数法表示一个大数，难度较小．关键点解读：本题考查的关键点（1）是把大单位“万”转化为10的幂的形式；（2）正确确定a的值以及n 的值．规律方法总结：①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．3．答案：D解析：先化为同底数幂，再利用同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即可得x2•（﹣x）3＝﹣x2•x3＝﹣x5．考查内容：同底数幂的乘法．命题意图：本题考查了利用同底数幂的法则进行计算，难度较小．4．答案：C解析：主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．根据该组合体的三视图发现该几何体为：考查内容：由三视图判断几何体．命题意图：考查了由三视图判断几何体的知识，难度较小．归纳总结：常见物体的三视图【核心素养】本题是依据主视图、左视图和俯视图之间联系，准确判断几何体的形状特征为切入点，体现了对直观想象能力素养的考查．5．答案：C．解析：在△ABC和△DEF中，∠BAC＝∠EDF＝90°，∠E＝45°，∠C＝30°，∴∠B＝90°﹣∠C＝60°，∠F＝90°﹣∠E＝45°.∵BC∥EF，∴∠MDB＝∠F＝45°.在△BMD中，∠BMD＝180°﹣∠B﹣∠MDB＝75°．考查内容：平行线的性质；三角形内角和定理．命题意图：考查了利用平行线的性质；三角形内角和定理进行计算，难度较小．6．答案：B解析：∵鞋子的长度y cm与鞋子的“码”数x之间满足一次函数关系，∴设函数解析式为y ＝kx +b （k ≠0），由题意知，x ＝22时，y ＝16，x ＝44时，y ＝27，∴16222744k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得125k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩.∴函数解析式为y ＝12x +5. 当x ＝38时，y ＝12×38+5＝24（cm ），故选B ． 考查内容：利用待定系数法求一次函数的表达式．命题意图：本题考查一次函数的简单应用，用待定系数法求函数解析式是本题的关键．难度中等．【核心素养】本题是依据鞋子的长度ycm 与鞋子的“码”数x 之间联系，建立二元一次方程组模型，体现了对数学建模素养的考查． 7．答案：D解析：根据等式的基本性质，对已知等式进行变形．即b ＝4155a c ，∴5b ＝4a +c ，在等式的两边同时减去5a ，得到5（b ﹣a ）＝c ﹣a ，在等式的两边同时乘﹣1，则5（a ﹣b ）＝a ﹣c ． 考查内容：等式的基本性质．命题意图：本题考查了利用等式性质进行转化，难度中等关键点解读：结合已知条件及选项，对等式进行合适的变形是解题的关键． 8．答案：A解析：如图，连接BD ，AC ．∵四边形ABCD 是菱形，∠BAD ＝120°，∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝2，∠BAO ＝∠DAO ＝60°，BD ⊥AC ，∴∠ABO ＝∠CBO ＝30°， ∴OA ＝21AB ＝1，OB ＝3OA ＝3， ∵OE ⊥AB ，OF ⊥BC ，∴∠BEO ＝∠BFO ＝90°．在△BEO 和△BFO 中，BEO BFO EBO FBO BO BO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BEO ≌△BFO （AAS ），∴OE ＝OF ，BE ＝BF ． ∵∠EBF ＝60°，∴△BEF 是等边三角形，∴EF ＝BE ＝3×23＝23． 同法可证，△DGH ，△OEH ，△OFG 都是等边三角形， ∴EF ＝GH ＝23，EH ＝FG ＝23，∴四边形EFGH 的周长＝3+3．考查内容：等边三角形的判定与性质；菱形的性质；中心对称．命题意图：本题考查中心对称，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，难度中等．【核心素养】本题是依据有关几何图形的判定与性质，进行推理，体现了对逻辑推理素养的考查．9．答案：D解析：将从左到右的三条竖线分别记作a ，b ，c ，将从上到下的三条横线分别记作m ，n ，l ，利用表格列出任选两条横线和两条竖线所围成的矩形的所有等可能情况，再从中找到所选矩形含点A 的情况，继而利用概率公式可得答案．即列表如下，ab bc ac mn ab ，mn bc ，mn ac ，mn nl ab ，nl bc ，nl ac ，nl mlab ，mlbc ，mlac ，ml由表可知共有9种等可能结果，其中所选矩形含点A 的有bc ，mn ；bc ，ml ；ac ，mn ；ac ，ml 这4种结果，∴所选矩形含点A 的概率94． 考查内容：列表法与树状图法．命题意图：本题考查的利用列表法求随机事件发生的概率，难度中等． 10．答案：A解析：根据题意可作出图形，如图所示，并延长EM 交BD 于点F ，延长DM 交AB 于点N ，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别过点B，C作∠BAC平分线的垂线，垂足分别为点D，E，由此可得点A，C，D，B四点共圆，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠BAD，∴CD＝DB，（故选项C正确）∵点M是BC的中点，∴DM⊥BC，又∵∠ACB＝90°，∴AC∥DN，∴点N是线段AB的中点，∴AN＝DN，∴∠DAB＝∠ADN，∵CE⊥AD，BD⊥AD，∴CE∥BD，∴∠ECM＝∠FBM，∠CEM＝∠BFM，∵点M是BC的中点，∴CM＝BM，∴△CEM≌△BFM（AAS），∴EM＝FM，∴EM＝FM＝DM（故选项D正确），∴∠DEM＝∠MDE＝∠DAB，∴EM∥AB（故选项B正确），综上，可知选项A的结论不正确．故选A．考查内容：全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理．命题意图：本题主要考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，中位线定理，全等三角形的性质与判定等，根据题中条件，作出正确的辅助线是解题关键，难度中等以上．11．答案：3解析：直接利用零指数幂的性质以及算术平方根的性质分别化简得出答案，即原式＝2+1＝3．考查内容：实数的运算；零指数幂．命题意图：主要考查了主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．难度较小．12．答案：1．解析：先估算出5的大小，再估算5﹣1的大小，可得出整数n的值．即：∵4＜5＜9，∴2＜5＜3，∴1＜5﹣1＜2．又n＜5﹣1＜n+1，∴n＝1．考查内容：算术平方根；估算无理数的大小．命题意图：的大小．难度较小．13．答案解析：如图，连接OA，OB，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝45°，∴∠AOB＝90°，∵OA＝OB，∴△OAB是等腰直角三角形，∴AB OA．考查内容：圆周角定理；三角形的外接圆与外心．命题意图：本题主要考查三角形内角和定理，圆周角定理，等腰直角三角形的性质等内容，作出正确的辅助线是解题关键．难度适中．14．答案：(1) 0（2分）(2)2 ．（3分）解析：（1）点（﹣1，m）代入抛物线解析式y＝x2+（a+1）x+a，得（﹣1）2+（a+1）×（﹣1）+a＝m，解得m＝0．故填0．（2）y＝x2+（a+1）x+a向上平移2个单位可得，y＝x2+（a+1）x+a+2，∴y＝（x+12a）2﹣14（a﹣1）2+2，∴抛物线顶点的纵坐标n＝﹣14（a﹣1）2+2，∵﹣14＜0，∴n的最大值为2．故填2．考查内容：待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数图象的平移．命题意图：本题主要考查了二次函数的性质、二次函数的图象的平移等知识，熟练掌握待定系数法、二次函数图象的顶点公式等是解题的关键．难度较大．15．解析：去分母，得x﹣1﹣3＞0，移项及合并同类项，得x＞4．……8分考查内容：解一元一次不等式．命题意图：本题考查解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法，难度较小．关键点解读：严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．16．解析：（1）如图，△A1B1C1即为所求作．……5分（2）如图，△A2B2C1即为所求作．……8分考查内容：平移变换，旋转变换命题意图：本题考查作图﹣旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握平移变换或旋转变换的性质，属于中考常考题型．难度较小．17．解析：如图，∵四边形AEFD 为矩形，∠BAD ＝53°，∴AD ∥EF ，∠E ＝∠F ＝90°，∴∠BAD ＝∠EBA ＝53°． 在Rt △ABE 中，∠E ＝90°，AB ＝10cm ，∠EBA ＝53°， ∴sin ∠EBA ＝AB AE ≈0.80，cos ∠EBA ＝ABBE≈0.60，∴AE ＝8cm ，BE ＝6cm ． ∵∠ABC ＝90°，∴∠FBC ＝90°﹣∠EBA ＝37°，∴∠BCF ＝90°﹣∠FBC ＝53°． 在Rt △BCF 中，∠F ＝90°，BC ＝6cm ，∴sin ∠BCF ＝BC BF ≈0.80，cos ∠BCF ＝BC FC≈0.60， ∴BF ＝524cm ，FC ＝518cm ，∴EF ＝6+524＝554cm ，∴S 四边形EFDA ＝AE •EF ＝8×554＝5432（cm 2），S △ABE ＝21·AE ·BE ＝21×8×6＝24（cm 2），S △BCF ＝21•BF •CF ＝21×524×518＝25216（cm 2），∴截面的面积＝S 四边形EFDA ﹣S △ABE ﹣S △BCF ＝5432﹣24﹣25216＝532519（cm 2）．……8分考查内容：解直角三角形的应用．命题意图：本题主要考查解直角三角形，题目本身不难，但是计算比较复杂，清楚了解每一步如何计算是解题基础．难度中等．归纳总结：解直角三角形要用到的关系：①锐角、直角之间的关系：∠A +∠B ＝90°；②三边之间的关系：a 2+b 2＝c 2；③边角之间的关系：sin A ＝∠A 的对边斜边＝c a ，cos A ＝∠A 的邻边斜边＝cb ，tan A ＝∠A 的对边邻边＝ba．（a ，b ，c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边） 18．解析：（1）观察图1可知：中间的每个正方形都对应了两个等腰直角三角形，所以每增加一块正方形地砖，等腰直角三角形地砖就增加2块；故答案为：2；（2）观察图形2可知：中间一个正方形的左上、左边、左下共有3个等腰直角三角形，它右上和右下各对应了一个等腰直角三角形，右边还有1个等腰直角三角形，即6＝3+2×1+1＝4+2×1；图3和图1中间正方形右上和右下都对应了两个等腰直角三角形，均有图2一样的规律，图3：8＝3+2×2+1＝4+2×2；归纳得：4+2n （即2n +4）；∴若一条这样的人行道一共有n （n 为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为 2n +4块；故答案为：2n +4.（3）由规律知：等腰直角三角形地砖块数2n +4是偶数，∴用2021﹣1＝2020块，再由题意得：2n +4＝2020，解得：n ＝1008，∴等腰直角三角形地砖剩余最少为1块，则需要正方形地砖1008块．……8分 考查内容：图形规律问题．命题意图：本题以等腰直角三角形和正方形的拼图为背景，关键是考查规律性问题的解决方法，探究规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题，难度中等．19．解析：（1）将点A 坐标代入反比例函数得：2m ＝6．∴m ＝3．∴A （3，2）． 将点A 坐标代入正比例函数得：2＝3k ．∴k ＝32．……4分 （2）如图：∴正比例函数值大于反比例函数值时x 的取值范围：x ＞3或﹣3＜x ＜0．……10分 考查内容：反比例函数与一次函数的交点问题．命题意图：本题考查待定系数法求函数的待定系数，一次函数与反比例函数的交点知识，关键在于求出或者找到交点坐标．难度中等． 20．解析：（1）连接OD ，如图：∵M 是CD 的中点，CD ＝12，∴DM ＝21CD ＝6，OM ⊥CD ，∠OMD ＝90°．Rt △OMD 中，OD ，且OM ＝3，∴OD ＝2263+＝35，即圆O 的半径长为35；┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5分 （2）连接AC ，延长AF 交BD 于G ，如图：∵AB ⊥CD ，CE ＝EF ，∴AB 是CF 的垂直平分线，∴AF ＝AC ，即△ACF 是等腰三角形． ∵CE ＝EF ，∴∠F AE ＝∠CAE ．∵BC BC =，∴∠CAE ＝∠CDB ，∴∠F AE ＝∠CDB ． Rt △BDE 中，∠CDB +∠B ＝90°，∴∠F AE +∠B ＝90°，∴∠AGB ＝90°， ∴AG ⊥BD ，即AF ⊥BD ．……10分考查内容：勾股定理；垂径定理；圆周角定理．命题意图：本题考查垂径定理及推论，涉及勾股定理、等腰三角形的性质及判定，解题的关 键是证明∠F AE ＝∠CDB ，难度中等．方法点拨：（1）连接OD ，由垂径定理推论可得∠OMD ＝90°， 在Rt △OMD 中用勾股定理即可得半径；（2）连接AC ，延长AF 交BD 于G ，由已知可证△ACF 是等腰三角形，∠F AE ＝∠CAE ， 又弧BC ＝弧BC ，有∠CAE ＝∠CDB ，故∠F AE ＝∠CDB ， 即可由∠CDB +∠B ＝90°，得∠AGB ＝90°，从而得证AF ⊥BD ． 21．解析：（1）x ＝100﹣12﹣18﹣30﹣12﹣6＝22（户）， 答：x 的值为22；……4分（2）将这100户的用电量从小到大排列，处在中间位置的两个数都落在150～200这一组，所以这100户居民用户月用电量数据的中位数在150～200这一组；……8分 （3）估计该市居民用户月用电量的平均数为7512125181753022522275123256100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯＝186（kW •h ），答：估计该市居民用户月用电量的平均数为186kW •h ．┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈12分 考查内容：用样本估计总体；频数分布直方图；加权平均数；中位数．命题意图：本题考查频数分布直方图，加权平均数，理解频数分布直方图的意义，掌握加权平均数的计算方法是正确解答的关键．难度中等偏上．【核心素养】学生通过频数分布直方图中的数据信息进行解题，有效渗透了数据观念以及运算能力等核心素养．22．解析：（1）根据题意可知，抛物线y ＝ax 2﹣2x +1（a ≠0）的对称轴为直线：x ＝﹣a b 2＝a1＝1，∴a ＝1．……4分（2）由（1）可知，抛物线的解析式为：y ＝x 2﹣2x +1＝（x ﹣1）2．∵a ＝1＞0，∴当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，当x ＜1时，y 随x 的增大而减小．∵﹣1＜x 1＜0，1＜x 2＜2，∴1＜1﹣x 1＜2，0＜x 2﹣1＜1，结合函数图象可知，当抛物线开口向上时，距离对称轴越远，值越大，∴y 1＞y 2．……8分（3）联立y ＝m （m ＞0）与y ＝x 2﹣2x +1＝（x ﹣1）2，可得A （1+m ，m ），B （1﹣m ，m ），∴AB ＝2m ，联立y ＝m （m ＞0）与y ＝3（x ﹣1）2，可得C （1+3m ，m ），D （1﹣3m ，m ），∴CD ＝2×3m ＝m 332，∴CD AB3．……12分 考查内容：二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．命题意图：本题主要考查二次函数的性质，二次函数与一次函数交点问题等，题目难度适中，数形结合思想及求二次函数与一次函数交点需要联立方程是解题基础，难度较大． 方法点拨：（1）根据公式，对称轴为直线x ＝﹣ab2，代入数据即可；（2）结合函数的图象，根据二次函数的增减性可得结论；（3）分别联立直线y ＝m 与两抛物线的解析式，表示出A ，B ，C ，D 的坐标，再表示出线段AB 和线段CD 的长度，即可得出结论．23．解析：（1）如图1，∵AE ∥CD ，∴∠AEB ＝∠BCD ． ∵∠ABC ＝∠BCD ，∴∠ABC ＝∠AEB ，∴AB ＝AE ． ∵DE ∥AB ，∴∠DEC ＝∠ABC ，∠AED ＝∠BAF ． ∵∠ABC ＝∠BCD ，∴∠DEC ＝∠BCD ，∴DE ＝DC ．∵CF ∥AD ，AE ∥CD ，∴四边形ADCF 是平行四边形，∴AF ＝CD ，∴AF ＝DE ．在△ABF 和△EAD 中，AB AE BAF AED AF DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABF ≌△EAD （SAS ）┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分（2）∵CF ∥AD ，∴∠EAD ＝∠CFE ． ∵∠ECF ＝∠AED ，∴△EAD ∽△CFE ，∴AD DE AE EF CE CF． 由（1）知：四边形ADCF 是平行四边形，∴AD ＝CF ，AF ＝CD ． ∵AB ＝9，CD ＝5，∴AE ＝9，DE ＝5，∴EF ＝AE ﹣AF ＝9﹣5＝4，∴594CF CECF ，∴CF 2＝4×9＝36，即CF ＝6，∴CE ＝310． ∵∠ABC ＝∠BCD ＝∠AEB ＝∠DEC ，∴△ABE ∽△DEC ，∴BE ECAB DC，即10395BE ，∴BE ＝6；┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈9分（3）如图3，延长BM 、ED 交于点G ，∵△ABE ，△DCE 均为等腰三角形，且∠ABC ＝∠DCE ， ∴△ABE ∽△DCE ，∴AB AE BE DC DE CE． 设CE ＝1，BE ＝x ，DC ＝DE ＝a ，则AB ＝AE ＝ax ，AF ＝CD ＝a ， ∴EF ＝AE ﹣AF ＝ax ﹣a ＝a （x ﹣1）．∵AB ∥DG ，∴∠ABG ＝∠G ．∵AD 的中点M ，∴AM ＝DM ． ∵∠AMB ＝∠DMG ，∴△AMB ≌△DMG （AAS ），∴DG ＝AB ＝ax ，∴EG ＝DG +DE ＝ax +a ＝a （x +1），∴DE AB CE BE =＝aax ＝x ． ∵AB ∥DG （即AB ∥EG ），∴△ABF ∽△EGF ，∴AB AF BG EF ，即(1)(1)ax a a x a x ， ∴x 2﹣2x ﹣1＝0，解得：x ＝1+2或x ＝1﹣2（舍去），∴CE BE ＝x ＝1+2．┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈14分考查内容：全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识.命题意图：本题是四边形综合题，主要考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形判定和性质和相似三角形的判定和性质等相关知识，正确添加辅助线构造相似三角形是解题关键，难度较大.一题多解：第(2)问还可以这样解：由（1）知△ABF ≌△EAD ，∴∠ABF ＝∠EAD ．∵∠EAD ＝∠CFE ，∴∠ABF ＝∠CFE ．∵∠ABC ＝∠AEB ，∠ABC ＝∠ABF +∠EBF ，∠AEB ＝∠CFE +∠ECF ，∴∠EBF ＝∠ECF ．∵∠BAE ＝∠AED ＝∠ECF ，∴∠EBF ＝∠BAE ．∵∠BEF ＝∠AEB ，∴△BEF ∽△AEB ，∴BE AE EF BE =，即BEBE 94=，∴BE ＝6； 第(3)问还可以这样解：不妨设AM=1，则BF=AD=2，由△ABF ≌△EAD ，得∠MAF ＝∠MBA ． 可得△MAF ∽△MBA ，∴AB MF BM AM，得AM 2=MF·BM ，即MF=（2+MF ）=1， 解得MF=2－1，则BM=2－1+2=2+1，由△ABE ∽△DEC ，得21BE AB AB BM CE DE AF AM ．方法点拨：（1）先根据题意得出AB ＝AE ，DE ＝DC ，再证四边形ADCF 是平行四边形，得出AF ＝CD ，进而得出AF ＝DE ，再由平行线性质得∠AED ＝∠BAF ，进而证得结论；（2）先证明△EAD ∽△CFE ，得ADDE AE EF CE CF，根据四边形ADCF 是平行四边形，得AD ＝CF ，AF ＝CD，进而可得594CFCE CF，求得CF＝6，CE＝310，再利用△ABE∽△DEC，求得答案；（3）如图3，延长BM，ED交于点G，先证明△ABE∽△DCE，得出AB AE BEDC DE CE，设CE＝1，BE＝x，DC＝DE＝a，则AB＝AE＝ax，AF＝CD＝a，可得EF＝AE﹣AF＝ax﹣a＝a（x﹣1），再利用△ABF∽△EGF，列方程求解即可．。
2021年安徽中考数学复习练习课件：§8.1 选择、填空压轴题的题型探究
2
∽△CAB,∴
x
=
12-
1 2
x
,解得x=
600
,即△PDE的斜边长为
600
.
25 12
49
49
综上,△PDE的斜边长为 300 2 或 600 .
37
49
思路分析 分∠EDP=90°、∠DEP=90°、∠DPE=90°三种情况进行讨论,求解即可.
题型四 多空题
(2020浙江丽水,16)图1是一个闭合时的夹子,图2是该夹子的主视示意图,夹子两边为AC,BD(点A与点B重
2020安徽志诚教育十校联盟二模14若反比例函数y?的图象上有两个不同的点它们关于y轴的对称点都在一次函数yxm的图象上则m的取值范围是解析反比例函数y?的图象上有两个不同的点它们关于y轴的对称点在一次函数yxm的图象y?与一次函数yxm的图象有两个不同的交点即方程x3
中考数学
（安徽专用）
第八章 热点题型探究
解析 连接PD、DF、PF, ∵在菱形APCD和菱形PBFE中,M,N分别是对角线AC,BE的中点, ∴PD经过点M,PF经过点N,且M,N分别是PD,PF的中点, ∴MN是△PDF的中位线,
∴MN= 1 FD,
2
∴当FD最短时,MN最短, ∵AD∥BF,∠DAP=60°,AB=8,
∴FD的最小值为AB·sin 60°=8× 3 =4 3 ,
∴当A',D,E在同一直线上时,AD+DE的最小值等于A'E的长,
在Rt△AA'E中,A'E=sin 60°·AA'= 3 ×2 3=3,
2
∴AD+DE的最小值为3,即2AD+DC的最小值为6, 故答案为6.
2021年中考数学压轴题提升训练动点与函数图象含解析
动点与函数图象【例1】如图所示,在矩形ABCD 中,AB =8,AD =4,E 为CD 的中点,连接AE 、BE ,点M 从点A 出发沿AE 方向向E 匀速运动,同时点N 从点E 出发沿EB 方向向点B 匀速运动,点M 、N 的速度均为每秒1个单位长度,运动时间为t ,连接MN ,设△EMN 的面积为S ,则S 关于t 的函数图象为（ ）A B C D【答案】D .【解析】解：由题意知,AD =DE =CE =BC =4,AE ,∴∠AED =∠BEC =45°,∴∠MEN =90°,又∵EN =t ,EM －t ,∴S =12EM EN ⋅⋅=()12t t ⋅⋅=(2142t -⋅-+,（0≤t ≤）图象为抛物线,开口朝下,当x 时,S 取最大值,故答案为D .【变式1-1】如图,点 P 是边长为 2 cm 的正方形 ABCD 的边上一动点,O 是对角线的交点,当点 P 由 A →D →C 运动时,设 DP =x cm ,则△POD 的面积 y （cm 2） 随 x （cm ）变化的关系图象为（ ）A BC D 【答案】B.【解析】解：当P点在AD上运动时,0<x≤2时,y=12·PD×1=12x,当P点在DC上运动时,0<x≤2,y=12·PD×1=12x,故答案为：B.【变式1-2】如图,在△ABC中,∠ABC＝60°,∠C＝45°,点D,E分别为边AB,AC上的点,且DE∥BC,BD＝DE＝2,CE＝52,BC＝245．动点P从点B出发,以每秒1个单位长度的速度沿B→D→E→C匀速运动,运动到点C时停止．过点P作PQ⊥BC于点Q,设△BPQ的面积为S,点P的运动时间为t,则S关于t的函数图象大致为（）A ．B ．C ．D ． 【答案】D .【解析】解：∵PQ ⊥BQ∴S △BPQ ＝12PQ •BQ ①当点P 在BD 上（即0s ≤t ≤2s ）BP ＝t ,BQ ＝PQ •cos 60°＝12t ,PQ ＝BP •sin t S △BPQ ＝12PQ •BQ＝12•12t tt 2 该图象是关于t 的二次函数,其图象为一段开口朝上的抛物线；②当P 在DE 上时（即2s ＜t ≤4s ）PQ ＝BD •sin BQ ＝BD •cos 60°+（t ﹣2）＝t ﹣1S △BPQ ＝12PQ •BQ＝12t ﹣1）t ,该图象为一条线段,由左向右上升；③当P 在DE 上时（即4s ＜t ≤132s ）PQ ＝PC •sin 45°＝4﹣2t ,BQ ＝BC ﹣CQ ＝245－4+2tS △BPQ ＝12PQ •BQ =12）（245t ） 通过计算可知,此时函数解析式为二次函数,且二次项系数为：14<0,即该段图象为一段开口朝下的抛物线；综上所述,答案为D .【例2】如图,正方形ABCD ,对角线AC 和BD 交于点E ,点F 是BC 边上一动点（不与点B ,C 重合）,过点E 作EF 的垂线交CD 于点G ,连接FG 交EC 于点H ．设BF ＝x ,CH ＝y ,则y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A . 【解析】解：∵四边形ABCD 是正方形,∴∠EBF ＝∠ECG ＝45°,AC ⊥BD ,EB ＝EC ,∵EF ⊥EG ,∴∠BEC ＝∠FEG ＝90°,∴∠BEF ＝∠CEG ,∴△BEF ≌△CEG ,∴EF ＝EG ,∴∠EFG ＝45°,∴∠CFH ＝∠BEF ,∴△BEF ∽△CFH , ∴BE BE CH CF=, ∴x y =,∴y ＝﹣x 2x （0＜x ）,图象为一段开口朝下的抛物线,即答案为：A ．【变式2-1】如图1,在矩形ABCD 中,AB ＜BC ,点E 为对角线AC 上的一个动点,连接BE ,DE ,过E 作EF ⊥BC 于F ．设AE ＝x ,图1中某条线段的长为y ,若表示y 与x 的函数关系的图象大致如图2所示,则这条线段可能是图1中的（ ）A ．线段BEB ．线段EFC ．线段CED ．线段DE【答案】D ．【解析】解：A 、由图1可知,若线段BE 是y ,则y 随x 的增大先减小再增大,而BA ＜BC ,选项A 错误； B 、由图1可知,若线段EF 是y ,则y 随x 的增大而减小,选项B 错误；C 、由图1可知,若线段CE 是y ,则y 随x 的增大而减小,选项C 错误；D 、由图1可知,若线段DE 是y ,则y 随x 的增大先减小再增大,而由由大变小的距离大于由小变大的距离,在点A 的距离是DA ,在点C 时的距离是DC ,DA ＞DC ,选项D 正确；故答案为：D ．【变式2-2】（2018·洛宁县模拟）如图1,正△ABC 的边长为4,点P 为BC 边上的任意一点,且∠APD =60°,PD 交AC 于点D ,设线段PB 的长度为x ,图1中某线段的长度为y ,y 与x 的函数关系的大致图象如图2,则这条线段可能是图1中的（ ）图1 图2A ．线段ADB ．线段APC ．线段PD D ．线段CD【答案】A . 【解析】解：∵∠APD =60°,△ABC 是等边三角形,∴∠B =∠C =60°,∴∠APB +∠CPD =120°,∠PDC +∠CPD =120°,∴∠APB =∠PDC ,∴△ABP ∽△PCD , ∴AB BP CP CD=, 即：44x x CD=-, ∴CD =()45x x -,当x =0时,CD =0,不符题意； ∴AD =4－CD =4－()45x x -=()2116255x -+,符合题意, 即答案为：A .【例3】如图1,E 为矩形ABCD 边AD 上的一点,点P 从点B 沿折线BE -ED -DC 运动到点C 时停止,点Q 从点B 沿BC 运动到点C 时停止,它们运动的速度都是2 cm /s ．若P ,Q 同时开始运动,设运动时间为t （s ）,△BPQ 的面积为y （cm 2）,已知y 与t 的函数关系图象如图2,则CD BE的值为（ ）A ．3B ．2C ．6D ．4图1 图2【答案】D.【解析】解：由图象可知,t=8时,P点与E点重合；t=10时,P与D点重合, ∵P点的运动速度为2cm/s,∴DE=4,BE=16,S△BCE=12·BC·CD=8 CD,即8 CD,即CD,∴CDBE,故答案为：D.【变式3-1】如图 1,动点K从△ABC的顶点A出发,沿AB﹣BC匀速运动到点C停止．在动点K运动过程中,线段AK的长度y与运动时间x的函数关系如图 2 所示,其中点Q为曲线部分的最低点,若△ABC的面积是则a的值为图1 图2【答案】【解析】解：由图可知,Q点对应的是AK⊥BC的位置,即△ABC边BC上的高为5,由△ABC的面积是,得：BC=,由抛物线的两端纵坐标相等,即对应的AK的长度相等,说明AB=AC,由勾股定理得：AB=即a=图1图2故答案为：【变式3-2】如图1,在矩形ABCD 中,动点M 从点A 出发,沿A →B →C 方向运动,当点M 到达点C 时停止运动,过点M 作MN ⊥AM 交CD 于点N ,设点M 的运动路程为x ,CN ＝y ,图2表示的是y 与x 的函数关系的大致图象,则矩形ABCD 的面积是（ ）A ．20B ．18C ．10D ．9【答案】A ．【解析】解:由图2知：AB +BC ＝9,设AB ＝m ,则BC ＝9﹣m ,如图所示,当点M 在BC 上时,则AB ＝m ,BM ＝x ﹣a ,MC ＝9﹣x ,NC ＝y ,∵MN ⊥AM ,则∠MAB ＝∠NMC ,tan ∠MAB ＝tan ∠NMC ,即BM CN AB CM=, 即9x m y m x -=-,化简得：y ＝﹣1m x 2+9m m +x ﹣9, 当x ＝92m +时,y 取最大值45,即45＝()294m m +﹣9, 解得：m ＝5或m =16.2（舍）,∴AM ＝5,BC ＝4, ABCD 的面积为20,故答案为：A ．1.如图,点A在x轴上,点B,C在反比例函数y＝kx（k＞0,x＞0）的图象上．有一个动点P从点A出发,沿A→B→C→O的路线（图中“→”所示路线）匀速运动,过点P作PM⊥x轴,垂足为M,设△POM的面积为S,点P的运动时间为t,则S关于t的函数图象大致为（）A．B．C．D．【答案】D.【解析】解：设点P的运动速度为x,（1）当点P在AB上时,S=12·OA·AP=12·OA·at,该段函数图象为一条线段,且S随t的增大而增大, （2）点P在曲线BC上时,S=12k,为一定值,即图象为一条平行于x轴的线段；（3）点P在OC上时,S=12·PM·OM设∠AOC=β,P运动全路程为s,则OP=s－at,则S=12·PM·OM=12OPsinβ·OPcosβ=12（s－at）2sinβcosβ函数图象为一段开口朝上的抛物线,且S随t的增大而减小；综上所述,答案为：D.2.如图,已知△ABC为等边三角形,AB＝2,点D为边AB上一点,过点D作DE∥AC,交BC于E点；过E点作EF⊥DE,交AB的延长线于F点．设AD＝x,△DEF的面积为y,则能大致反映y与x函数关系的图象是（）A．B．C．D．【答案】A.【解析】解：∵△ABC是等边三角形,∴∠A＝∠C＝∠ABC＝60°,∵DE∥AC,∴∠EDF＝∠A＝60°,∠DEB＝∠B＝60°∵EF⊥DE,∴∠DEF＝90°,∴∠F＝90°﹣∠EDC＝30°；∵∠EDB＝∠DEB＝60°,∴△EDB是等边三角形．∴ED＝DB＝2﹣x,在Rt△DEF中,EF2﹣x）．∴y＝12 ED•EF＝12（2﹣x（2﹣x）,＝2（x﹣2）2,（0≤x≤2）,图象为一段开口朝上的抛物线,y随x增大而减小；所以答案为：A．3.如图,正方形ABCD的边长为4,点P、Q分别是CD、AD的中点,动点E从点A向点B运动,到点B时停止运动；同时,动点F从点P出发,沿P→D→Q运动,点E、F的运动速度相同．设点E的运动路程为x,△AEF 的面积为y,能大致刻画y与x的函数关系的图象是（）A．B．C．D．【答案】A.【解析】解：由题意知,（1）当点F在PD上运动时,△AEF的面积为y=12AE•AD＝2x（0≤x≤2）,为一次函数,图象为直线；（2）当F在AD上运动时,△AEF的面积为：y=12 AE•AF=12x(6－x)=－12x2+3x,为二次函数,且开口朝下；故答案为：A．4.如图甲,点E为矩形ABCD边AD上一点,点P,Q同时从B点出发,点P沿BE→ED→DC运动到点C停止,点Q沿BC运动到点C停止,它们的运动速度都是1cm/s,设P、Q出发t秒时,△BPQ的面积为y（cm2）,已知y与t的函数关系的图象如图乙（曲线OM为抛物线的一部分）,则下列结论：①当0＜t≤5时,y=25t2 ②tan∠ABE=34③点H的坐标为（11,0）④△ABE与△QBP不可能相似．其中正确的是（把你认为正确结论的序号都填上）【答案】①②③.【解析】解：①过点P作PF⊥BC于F,根据面积不变时△BPQ的面积为10,可得：AB=4,∵AD∥BC,∴∠AEB=∠PBF,∴sin∠PBF=sin∠AEB=45,∴PF=PBsin∠PBF=45t,∴当0＜t≤5时,y=12BQ·PF=25t2即①正确；②由图知：ED=2,∴AE=AD﹣ED=5﹣2=3,∴tan∠ABE=34AEAB=,②正确；③由图象知,在D点时,出发时间为7s,由CD=4,得H（11,0）,③正确；④当△ABE与△QBP相似时,点P在DC上,∵tan∠PBQ=tan∠ABE=34,∴34PQBQ=,即11354t-=,解得：t=294．④错误；故答案为：①②③．5.如图1,在等边△ABC中,点D是BC边的中点,点P为AB边上的一个动点,设xAP=,图1中线段DP 的长为y,若表示y与x的函数关系的图象如图2所示,则等边△ABC的面积为 .【答案】【解析】解：由垂线段最短可知,当DP⊥AB时,y此时,由∠B=60°,得：BD÷tan60°=2,∴BC=4,S△ABC=244即答案为：6.如图,边长分别为1和2的两个等边三角形,开始它们在左边重合,大三角形固定不动,然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小三角形移动的距离为x,两个三角形重叠面积为y,则y关于x的函数图象是（）ABCD ．【答案】B .【解析】解：当0≤x ≤1时,重叠部分为△A ’B ’C ’,21=当1<x ≤2时,重叠部分为等边三角形,边长B ’C =2－x , 面积为：())222244x x ⨯-=-,为开口朝上的抛物线, 综上所述,答案为：B .7.如图,在边长为2的正方形ABCD 中剪去一个边长为1的小正方形CEFG ,动点P 从点A 出发,沿A →D →E →F →G →B 的路线绕多边形的边匀速运动到点B 时停止（不含点A 和点B ）,则△ABP 的面积S 随着时间t 变化的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B．【解析】解：当点P在AD上时,S=12AB·AP=AP,则S随着时间t的增大而增大；当点P在DE上时,S=2,S保持不变；当点P在EF上时,△ABP的底AB不变,高减小,则S随着时间t的增大而减小；当点P在FG上时,S=1,面积S不变；当点P在GB上时,S=12AB·BP=BP,S随着时间t的增大而减小；故答案为：B．8.如图1,在△ABC中,∠C=90°,动点P从点C出发,以1cm/s的速度沿折线CA→AB匀速运动,到达点B 时停止运动,点P出发一段时间后动点Q从点B出发,以相同的速度沿BC匀速运动,当点P到达点B时,点Q 恰好到达点C,并停止运动,设点P的运动时间为t s,△PQC的面积为S cm2,S关于t的函数图象如图2所示（其中0＜t≤3,3≤t≤4时,函数图象均为线段（不含点O）,4＜t＜8时,函数图象为抛物线的一部分）给出下列结论：①AC=3cm；②当S=65时,t=35或6．下列结论正确的是（）A．①②都对B．①②都错C．①对②错D．①错②对【答案】A.【解析】解：由函数图象可知当0＜t≤3时,点P在AC上移动,∴AC=t×1=3×1=3cm．故①正确；在Rt△ABC中,S△ABC=6,即12BC×3=6,得：BC=4．由勾股定理可知：AB=5．（1）当0＜t≤3时,S =12BC •PC =12×4t =2t ．（2）当3<t ≤4时,PB =AB -AP =5-（t -3）=8-t ,过点P 作PH ⊥BC ,垂足为H ,则35PH AC PB AB ==, ∴PH =35PB =35（8-t ）, S =12BC •PH =12×4×35（8-t ） =-65t +485, （3）当4＜t ＜8时,过点P 作PH ⊥BC 于H ．同理：S =2324961055t t -+ 当0＜t ≤3时,2t =65,解得t ＝35,当3≤t ≤4时,−65t +485＝65,解得：t =7（舍去）, 当4＜t ＜8时,232496610555t t -+=,解得t =6或t =10（舍去）, ∴当t 为35或6时,△PQC 的面积为65． 故②正确． 故答案为：A ．9.如图,平行四边形ABCD 中,ABcm ,BC =2cm ,∠ABC =45°,点P 从点B 出发,以1cm /s 的速度沿折线BC →CD →DA 运动如图,在等腰△ABC 中,AB =AC =4cm ,∠B =30°,点P 从点B 出发,/s 的速度沿BC 方向运动到点C 停止,同时点Q 从点B 出发以2cm /s 的速度沿B →A →C 运动到点C 停止,若△BPQ 的面积为y ,运动时间为t （s ）,则y 与t 的函数关系式为：.【答案】y=()()22023242t t t ≤≤⎨⎪-+<≤⎪⎩.【解析】解：当点Q 在线段AB 上运动时,即0≤t ≤2,过点Q 作QH ⊥BC 于H ,由题意知,BQt ,BP =2t , ∵∠B =30°, ∴QHt , y =12·BP ·QH =12×（2ttt 2,B当点Q 在线段AC 上运动时,即2<t ≤4,过点Q 作QH ⊥BC 于H ,由题意知,CQ =8,BP =2t , ∵∠C =30°, ∴QH（8）, y =12·BP ·QH =12×（2t（8）（8t2）=232t -+,综上所述,y=()()22023242t t t ≤≤⎨⎪-+<≤⎪⎩.11.如图,在四边形ABCD 中,AD ∥BC ,DC ⊥BC ,DC =4 cm ,BC =6 cm ,AD =3 cm ,动点P ,Q 同时从点B 出发,点P 以2 cm /s 的速度沿折线BA -AD -DC 运动到点C ,点Q 以1 cm /s 的速度沿BC 运动到点C ,设P ,Q 同时出发t s 时,△BPQ 的面积为y cm 2,则y 与t 的函数图象大致是（ ）ABCD【答案】B .【解析】解：过A 作AF ⊥BC 于E ,BPC则四边形ADCF是矩形,∴AD=CF=3,CD=AF=4,∴BF=3,在Rt△ABF中,由勾股定理得：AB=5,P点从B运动到A点需2.5 秒,（1）当0≤t≤2.5时,过P作PE⊥BC于E, ∴ PE∥AF,∴BP PE AB AF=,∴254t PE=,即PE=85t,y=12·BQ·PE=12t·85t=245t,是一段开口朝上的抛物线；（2）当2.5<t≤4时,P点在AD上运动,y=12·BQ·CD=2t,是一条线段；（3）当4<t≤6时,P点在CD上运动,y=12·BQ·CP=12t(12－2t)=6t－t2,函数图象为一段开口朝下的抛物线,综上所述,选项B 符合要求, 故答案为：B .12.如图,菱形ABCD 的边长是4 cm ,∠B =60°,动点P 以1 cm /s 的速度从点A 出发沿AB 方向运动至点B 停止,动点Q 以2 cm /s 的速度从点B 出发沿折线BCD 运动至点D 停止．若点P ,Q 同时出发,运动了t s ,记△BPQ 的面积为S cm 2,则下面图象中能表示S 与t 之间的函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C .【解析】解：当点Q 在线段BC 上时,即0≤t ≤2时,S =12BQ ·BP ·sin ∠B =122t ·（4－t=)242t t -, 图象为开口朝上的抛物线； 当点Q 在线段CD 上时,即2<t ≤4时,DS=12·BP·(BC·sin∠B)=12（4－t)4t-,图象为一条直线,S随t的增大而减小；即答案为：C.13. 如图,矩形ABCD中,AB＝2AD＝4cm,动点P从点A出发,以lcm/s的速度沿线段AB向点B运动,动点Q同时从点A出发,以2cm／s的速度沿折线AD→DC→CB向点B运动,当一个点停止时另一个点也随之停止．设点P的运动时间是x（s）时,△APQ的面积是y（cm2）,则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是（）【答案】A.【解析】解：当点Q在线段AD上时,即0≤t≤1,y=12·AP·AQ=12（2t）t=t2,为开口朝上的抛物线；当点Q在线段DC上时,即1≤t≤3,y=12·AP·AD=12（2t）×2=2t,为一段线段,y随x的增大而增大；当点Q在线段CB上时,即3≤t≤4,y=12·AP·BQ=12（2t）×(8－2t)=－2t2+8t,为开口朝下的抛物线；综上所述,选项A符合要求,即答案为：A.14.如图,锐角三角形ABC中,BC=6,BC边上的高为4,直线MN交边AB于点M,交AC于点N,且MN∥BC,以MN为边作正方形MNPQ,设其边长为x(x>0),正方形MNPQ与△ABC公共部分的面积为y,则y与x的函数图象大致是( )A B C D 【答案】D.【解析】解：当PQ在边BC上时,由题意知,MN∥BC,过A作AH⊥BC于H,交MN于G,∴MN AGBC AH=,即464x x-=,解得：x=2.4,当0<x≤2.4时,正方形MNQP在△ABC的内部, ∴y=x2,为开口朝上的抛物线,当2.4<x≤4时,过A作AH⊥BC于H,交MN于G,则MN AGBC AH=,即64x AG=,解得：AG=23x,∴GH=4-23 x,y=MN·GH=x(4-23x),为开口朝下的抛物线,对称轴为：x=3,即选项D符合题意,即答案为：D.15.如图,在平面直角坐标系中,已知A(0,1),B以线段AB为边向上作菱形ABCD,且点D在y轴上. 若菱形ABCD以每秒2个单位长度的速度沿射线AB滑行,直至顶点D落在x轴上时停止．设菱形落在x 轴下方部分的面积为S,则表示S与滑行时间t的函数关系的图象为（）图1 图2A B C D【答案】A .【解析】解：由A (0,1),B 得：∠ABO =30°,∠ADC =∠OAB =60°,.（1）当点A 在x 轴上方时,菱形落在x 轴下方部分为三角形,S =12·（2t ）2,图象为开口朝上的抛物线； （2）当点A 在x 轴上方时,点C 在x 轴上方时,菱形落在x 轴下方部分为梯形,S =12·（t +t -1）－2,图象为一段线段； （3）当点C 在x 轴下方时,S 12（6-2t ）（6-2t ）t -3)2 图象为开口朝下的抛物线；综上所述,选项A 符合要求；故答案为：A .。
2021年中考数学压轴题提升训练正确分析函数图象含解析
BE 5 2
∴BE＝CE＝1，
∴BC＝2，AB＝ 5 ， 2
∴矩形 ABCD 的面积为 2× 5 ＝5； 2
正确分析函数图象
【例 1】如图所示，在 Rt△ABC 中，点 D 为 AC 的中点，动点 P 从点 D 出发，沿着 D→A→B 的路径以每
秒 1 个单位长度的速度运动到点 B，在此运动过程中线段 CP 的长度 y 随着运动时间 x 的函数关系如图 2 所
示，则 BC 的长为（ A. 13 2 3
）
B. 4 3
5
A． 23 B．5 5
【答案】B.
C．6
D． 25 4
【解析】解：若点 E 在 BC 上时，如图
∵∠EFC+∠AEB＝90°，∠FEC+∠EFC＝90°，
∴∠CFE＝∠AEB，
∴△CFE∽△BEA，
∴ CF CE ， BE AB
当 E 在 BC 中点时，CF 有最大值，BE＝CE＝x﹣ 5 ， 2
甲的速度与时间的关系为：v=4t，t=3 时，v=12，即在 t=3 时，甲乙速度相等，在 0~3 秒时甲的速度小
于乙的速度，故两车行驶路程不相等，故 C 错误；
在 4 至 8 秒内甲的速度图象一直在乙的上方，所以甲的速度都大于乙的速度，故 D 正确；
故答案为：C．
【变式 2-2】如图，若二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为 x＝1，与 y 轴交于点 C，与 x 轴
交于点 A、点 B（﹣1，0），则①二次函数的最大值为 a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；④当 y＞0 时，
﹣1＜x＜3．其中正确的个数是（ ）
2021年安徽省中考数学试卷真题(含答案和详细解析)超清版
．比较 y1 交于
八、（本题满分 14 分）
23. 如图 1，在四边形 ABCD 中，
，点 E 在边 BC 上，且
交线段 AE 于点 F，连接 BF．
（1）求证：
；
（2）如图 2，若
，
，
，求 BE 的长；
（3）如图 3，若 BF 的延长线经过 AD 的中点 M，求 的值．
， ，作
2021 年安徽省初中学业水平考试
中位线，即
，故判断 B 正确；
又易证
，从而证明 D 为 BG 中点．即利用直角三角形斜边中线等于斜
边一半即可求出
，故判断 C 正确；由
、
和
可证明
．再由
、
和
可推出
，即推出
，即
，故判断
D 正确；假设
，可推出
，即可推出
．由于无法确定 的大
小，故
不一定成立，故可判断 A 错误．
【详解】如图，设 AD、BC 交于点 H，作
∴EG=HF=2x，
，
如图，连接 AC，则 AC 经过点 O， 可得三角形 ABC 是等边三角形， ∴∠BAC=60°，AC=AB=2, ∴OA=1,∠AOE=30°， ∴AE= ，
∴x=OE=
∴四边形 EFGH 的周长为 EF+FG+GH+HE=
,
故选 A．
9. 如图在三条横线和三条竖线组成的图形中，任选两条横线和两条竖线都可以图成一个矩 形，从这些矩形中任选一个，则所选矩形含点 A 的概率是（ ）
（1）求频数分布直方图中 x 的值； （2）判断这 100 户居民用户月用电量数据的中位数在哪一组（直接写出结果）； （3）设各组居民用户月平均用电量如表：
中考数学复习《函数压轴题》经典题型及测试题(含答案)
中考数学复习《函数压轴题》经典题型及测试题（含答案）阅读与理解函数压轴题主要分为两大类：一是动点函数图象问题；二是与动点、存在点、相似等有关的二次函数综合题．解答动点函数图象问题，要把问题拆分，分清动点在不同位置运动或不同时间段运动时对应的函数关系式，进而确定函数图象；解答二次函数综合题，要把大题拆分，做到大题小做，逐步分析求解，最后汇总成最终答案．类型一 动点函数图象问题此类问题一般是通过分析动点在几何图形边上的运动情况，确定出有关动点函数图象的变化情况．分析此类问题，首先要明确动点在哪条边上运动，在运动过程中引起了哪个量的变化，然后求出在运动过程中对应的函数关系式，最后根据函数关系式判断图象的变化．例1 (2016·济南) 如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B ＝90°，AB ＝AD ＝5，BC ＝4，M 、N 、E 分别是A B 、AD 、CB 上的点，AM ＝CE ＝1，AN ＝3，点P 从点M 出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线MB －BE 向点E 运动，同时点Q 从点N ，以相同的速度沿折线ND －DC －CE 向点E 运动，设△APQ 的面积为S ，运动的时间为t 秒，则S 与t 函数关系的大致图象为（ ）【分析】 由点Q 从点N 出发，沿折线NDDCCE 向点E 运动，确定出点Q 分别在ND ，DC ，CE 运动时对应的t 的取值范围，再根据t 所在的取值范围分别求出其对应的函数关系式，最后根据函数关系式确定对应的函数图象．【自主解答】过点D 作DF ⊥AB 于点F （如图1），则DF ＝BC ＝4．第15题图 A BCDM N Q∵AD ＝5，DF ＝4，∴AF ＝3．∴sin ∠A＝DF AD ＝45，MF ＝3－1＝2，BF ＝AB －AF ＝5－3＝2，DC ＝BF ＝2．∵AD ＝5，AN ＝3，∴ND ＝5－3＝2．（1）当0≤t ≤2时，点P 在MF 上，点Q 在ND 上（如图2），此时AP ＝AM ＋MP ＝1＋t ，AQ ＝AN ＋NQ ＝3＋t ．∴S ＝12AP •AQ •sin ∠A ＝12(1＋t )(3＋t )×45＝25(t ＋2)2―25．当0≤t ≤2时，S随t 的增大而增大，且当t ＝2时，S ＝6．由此可知A 、B 选项都不对．（2）当t ＝5时，点P 在MF 上，点Q 在ND 上（如图3），此时BP ＝1，PE ＝BC －BP －CE ＝4－1－1＝2．∴S ＝12AB •PE ＝12×5×2＝5．∵6＞5，∴选项D 正确．变式训练1．如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AB ＝4，D 为AB 上的动点，DP ⊥AB 交折线A －C －B 于点P.设AD ＝x ，△ADP 的面积为y ，则y 与x 的函数图象正确的是( )2．(2016·烟台)如图，⊙O 的半径为1，AD ，BC 是⊙O 的两条相互垂直的直径，图1 DC B A E M N QP F 图2 A B C D E M N Q P F 图3 A B C D E (Q )M N F P点P从点O出发(P点与O点不重合)，沿OCD的路线运动．设AP＝x，sin∠APB ＝y，那么y与x之间的关系图象大致是()类型二二次函数的实际问题解答此类问题时，首先要构建合理的坐标系，并写出对应的函数解析式，并利用二次函数的性质求解后续的问题．一般来说，选择的坐标系不同，得出的解析式必然不同，因此解答此类问题时，选择最恰当的坐标系往往显得尤为重要．例2 (2017·金华) 甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O点正上方1m的P处发出一球，羽毛球飞行的高度y（m）与水平距离x（m）之间满足函数表达式y=a（x﹣4）2+h，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m．（1）当a=﹣时，①求h的值；②通过计算判断此球能否过网．（2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到点O的水平距离为7m，离地面的高度为m的Q处时，乙扣球成功，求a的值．【分析】（1）①将点P（0，1）代入y=﹣（x﹣4）2+h即可求得h；②求出x=5时，y的值，与1.55比较即可得出判断；（2）将（0，1）、（7，）代入y=a（x﹣4）2+h代入即可求得a、h．【自主解答】解：（1）①当a=﹣时，y=﹣（x﹣4）2+h，将点P（0，1）代入，得：﹣×16+h=1，解得：h=；②把x=5代入y=﹣（x﹣4）2+，得：y=﹣×（5﹣4）2+=1.625，∵1.625＞1.55，∴此球能过网；（2）把（0，1）、（7，）代入y=a（x﹣4）2+h，得：，解得：，∴a=﹣．变式训练3．(2017·沈阳)某商场购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可销售出400件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，当销售单价是_____元时，才能在半月内获得最大利润．4、（2017•青岛）青岛市某大酒店豪华间实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每间价格比淡季上涨．下表是去年该酒店豪华间某两天的相关记录：淡季旺季未入住房间数100日总收入（元）2400040000（1）该酒店豪华间有多少间？旺季每间价格为多少元？（2）今年旺季来临，豪华间的间数不变．经市场调查发现，如果豪华间仍旧实行去年旺季价格，那么每天都客满；如果价格继续上涨，那么每增加25元，每天未入住房间数增加1间．不考虑其他因素，该酒店将豪华间的价格上涨多少元时，豪华间的日总收入最高？最高日总收入是多少元？【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程组，进而求得该酒店豪华间的间数和旺季每间的价格；（2）根据题意可以求得总收入和上涨价格之间的函数解析式，然后化为顶点式即可解答本题．【自主解答】解：（1）设淡季每间的价格为x元，酒店豪华间有y间，，解得，，∴x+x=600+=800，答：该酒店豪华间有50间，旺季每间价格为800元；（2）设该酒店豪华间的价格上涨x元，日总收入为y元，y=（800+x）（50﹣）=42025，∴当x=225时，y取得最大值，此时y=42025，答：该酒店将豪华间的价格上涨225元时，豪华间的日总收入最高，最高日总收入是42025元．类型三二次函数的综合题二次函数作为整套试卷的压轴题，往往会命制三个小问题，其中第一问求解二次函数的解析式，此问题往往利用待定系数法便可解决；第二、三问往往涉及动点问题及存在点问题，此问题需要利用全等三角形、相似三角形、平行四边形、圆等知识综合解答，计算量很大，且题目较为综合．例3 (2017·泰安) ）如图，是将抛物线y=﹣x2平移后得到的抛物线，其对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点为A（﹣1，0），另一个交点为B，与y轴的交点为C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点N为抛物线上一点，且BC⊥NC，求点N的坐标；（3）点P是抛物线上一点，点Q是一次函数y=x+的图象上一点，若四边形OAPQ为平行四边形，这样的点P、Q是否存在？若存在，分别求出点P，Q的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）已知抛物线的对称轴，因而可以设出顶点式，利用待定系数法求函数解析式；（2）首先求得B和C的坐标，易证△OBC是等腰直角三角形，过点N作NH⊥y 轴，垂足是H，设点N纵坐标是（a，﹣a2+2a+3），根据CH=NH即可列方程求解；（3）四边形OAPQ是平行四边形，则PQ=OA=1，且PQ∥OA，设P（t，﹣t2+2t+3），代入y=x+，即可求解．【自主解答】解：（1）设抛物线的解析式是y=﹣（x﹣1）2+k．把（﹣1，0）代入得0=﹣（﹣1﹣1）2+k，解得k=4，则抛物线的解析式是y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3；（2）在y=﹣x2+2x+3中令x=0，则y=3，即C的坐标是（0，3），OC=3．∵B的坐标是（3，0），∴OB=3，∴OC=OB，则△OBC是等腰直角三角形．∴∠OCB=45°，过点N作NH⊥y轴，垂足是H．∵∠NCB=90°，∴∠NCH=45°，∴NH=CH，∴HO=OC+CH=3+CH=3+NH，设点N纵坐标是（a，﹣a2+2a+3）．∴a+3=﹣a2+2a+3，解得a=0（舍去）或a=1，∴N的坐标是（1，4）；（3）∵四边形OAPQ是平行四边形，则PQ=OA=1，且PQ∥OA，设P（t，﹣t2+2t+3），代入y=x+，则﹣t2+2t+3=（t+1）+，整理，得2t2﹣t=0，解得t=0或．∴﹣t2+2t+3的值为3或．∴P、Q的坐标是（0，3），（1，3）或（，）、（，）．变式训练5．(2016·襄阳) 如图，已知点A的坐标为（﹣2，0），直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B和点C，连接AC，顶点为D的抛物线y=ax2+bx+c过A、B、C三点．（1）请直接写出B、C两点的坐标，抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）设抛物线的对称轴DE交线段BC于点E，P是第一象限内抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，交线段BC于点F，若四边形DEFP 为平行四边形，求点P的坐标；（3）设点M是线段BC上的一动点，过点M作MN∥AB，交AC 于点N，点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BA 向点A运动，运动时间为t（秒），当t（秒）为何值时，存在△QMN 为等腰直角三角形？解：（1）令x=0代入y=﹣x+3∴y=3，∴C（0，3），令y=0代入y=﹣x+3∴x=4，∴B（4，0），设抛物线的解析式为：y=a（x+2）（x﹣4），把C（0，3）代入y=a（x+2）（x﹣4），∴a=﹣，∴抛物线的解析式为：y=（x+2）（x﹣4）=﹣x2+x+3，∴顶点D的坐标为（1，）；（2）当DP∥BC时，此时四边形DEFP是平行四边形，设直线DP的解析式为y=mx+n，∵直线BC的解析式为：y=﹣x+3，∴m=﹣，∴y=﹣x+n，把D（1，）代入y=﹣x+n，∴n=，∴直线DP的解析式为y=﹣x+，∴联立，解得：x=3或x=1（舍去），∴把x=3代入y=﹣x+，y=，∴P的坐标为（3，）；（3）由题意可知：0≤t≤6，设直线AC的解析式为：y=m1x+n1，把A（﹣2，0）和C（0，3）代入y=m1x+n1，得：，∴解得，∴直线AC的解析式为：y=x+3，由题意知：QB=t，如图1，当∠NMQ=90°，∴OQ=4﹣t，令x=4﹣t代入y=﹣x+3，∴y=t，∴M（4﹣t，t），∵MN∥x轴，∴N的纵坐标为t，把y=t代入y=x+3，∴x=t﹣2，∴N（t﹣2，t），∴MN=（4﹣t）﹣（﹣2）=6﹣t，∵MQ∥OC，∴△BQM∽△BOC，∴，∴MQ=t，当MN=MQ时，∴6﹣t=t，∴t=，此时QB=，符合题意，如图2，当∠QNM=90°时，∵QB=t，∴点Q的坐标为（4﹣t，0）∴令x=4﹣t代入y=x+3，∴y=9﹣t，∴N（4﹣t，9﹣t），∵MN∥x轴，∴点M的纵坐标为9﹣t，∴令y=9﹣t代入y=﹣x+3，∴x=2t﹣8，∴M（2t﹣8，9﹣t），∴MN=（2t﹣8）﹣（4﹣t）=3t﹣12，∵NQ∥OC，∴△AQN∽△AOC，∴=，∴NQ=9﹣t，当NQ=MN时，∴9﹣t=3t﹣12，∴t=，∴此时QB=，符合题意如图3，当∠NQM=90°，过点Q作QE⊥MN于点E，过点M作MF⊥x轴于点F，设QE=a，令y=a代入y=﹣x+3，∴x=4﹣，∴M（4﹣a，a），令y=a代入y=x+3，∴x=﹣2，∴N（﹣2，0），∴MN=（4﹣a）﹣（a﹣2）=6﹣2a，当MN=2QE时，∴6﹣2a=2a，∴a=，∴MF=QE=，∵MF∥OC，∴△BMF∽△BCO，∴=，∴BF=2，∴QB=QF+BF=+2=，∴t=，此情况符合题意，综上所述，当△QMN为等腰直角三角形时，此时t=或或6．(2017·潍坊) 如图1，抛物线y=ax2+bx+c经过平行四边形ABCD的顶点A（0，3）、B（﹣1，0）、D（2，3），抛物线与x轴的另一交点为E．经过点E的直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分，与抛物线交于另一点F．点P在直线l上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t（1）求抛物线的解析式；（2）当t何值时，△PFE的面积最大？并求最大值的立方根；（3）是否存在点P使△PAE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．解：（1）由题意可得，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）∵A（0，3），D（2，3），∴BC=AD=2，∵B（﹣1，0），∴C（1，0），∴线段AC的中点为（，），∵直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分，∴直线l过平行四边形的对称中心，∵A、D关于对称轴对称，∴抛物线对称轴为x=1，∴E（3，0），设直线l的解析式为y=kx+m，把E点和对称中心坐标代入可得，解得，∴直线l的解析式为y=﹣x+，联立直线l和抛物线解析式可得，解得或，∴F（﹣，），如图1，作PH⊥x轴，交l于点M，作FN⊥PH，∵P点横坐标为t，∴P（t，﹣t2+2t+3），M（t，﹣t+），∴PM=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+）=﹣t2+t+，∴S△PEF =S△PFM+S△PEM=PM•FN+PM•EH=PM•（FN+EH）=（﹣t2+t+）（3+）=﹣（t﹣）+×，∴当t=时，△PEF的面积最大，其最大值为×，∴最大值的立方根为=；（3）由图可知∠PEA≠90°，∴只能有∠PAE=90°或∠APE=90°，①当∠PAE=90°时，如图2，作PG⊥y轴，∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA=45°，∴∠PAG=∠APG=45°，∴PG=AG，∴t=﹣t2+2t+3﹣3，即﹣t2+t=0，解得t=1或t=0（舍去），②当∠APE=90°时，如图3，作PK⊥x轴，AQ⊥PK，则PK=﹣t2+2t+3，AQ=t，KE=3﹣t，PQ=﹣t2+2t+3﹣3=﹣t2+2t，∵∠APQ+∠KPE=∠APQ+∠PAQ=90°，∴∠PAQ=∠KPE，且∠PKE=∠PQA，∴△PKE∽△AQP，∴=，即=，即t2﹣t﹣1=0，解得t=或t=＜﹣（舍去），综上可知存在满足条件的点P，t的值为1或．。
2021年中考数学第三轮冲刺：函数图像的应用综合 压轴题专题复习(含答案)
2021年中考数学第三轮冲刺：函数图像的应用综合压轴题专题复习1、已知A、B两地之间有一条270千米的公路，甲、乙两车同时出发，甲车以60千米/时的速度沿此公路从A地匀速开往B地，乙车从B地沿此公路匀速开往A地，两车分别到达目的地后停止．甲、乙两车相距的路程y（千米）与甲车的行驶时间x（时）之间的函数关系如图所示．（1）乙车的速度为千米/时，a＝，b＝．（2）求甲、乙两车相遇后y与x之间的函数关系式．（3）当甲车到达距B地70千米处时，求甲、乙两车之间的路程．2、甲、乙两台机器共同加工一批零件，一共用了6小时．在加工过程中乙机器因故障停止工作，排除故障后，乙机器提高了工作效率且保持不变，继续加工．甲机器在加工过程中工作效率保持不变．甲、乙两台机器加工零件的总数y（个）与甲加工时间x（h）之间的函数图象为折线OA﹣AB﹣BC，如图所示．（1）这批零件一共有个，甲机器每小时加工个零件，乙机器排除故障后每小时加工个零件；（2）当3≤x≤6时，求y与x之间的函数解析式；（3）在整个加工过程中，甲加工多长时间时，甲与乙加工的零件个数相等？3、A，B两城市之间有一条公路相连，公路中途穿过C市，甲车从A市到B市，乙车从C市到A市，甲车的速度比乙车的速度慢20千米/时，两车距离C市的路程y(单位：千米)与驶的时间t(单位：小时)的函数图象如图所示，结合图象信息，解答下列问题：（1）甲车的速度是_____千米/时，在图中括号内填入正确的数；（2）求图象中线段MN所在直线的函数解析式，不需要写出自变量的取值范围；（3）直接写出甲车出发后几小时，两车距C市的路程之和是460千米．4、某农科所为定点帮扶村免费提供一种优质瓜苗及大棚栽培技术．这种瓜苗早期在农科所的温室中生长，长到大约20cm时，移至该村的大棚内，沿插杆继续向上生长．研究表明，60天内，这种瓜苗生长的高度y（cm）与生长时间x （天）之间的关系大致如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当这种瓜苗长到大约80cm时，开始开花结果，试求这种瓜苗移至大棚后．继续生长大约多少天，开始开花结果？5、在一条公路上依次有A，B，C三地，甲车从A地出发，驶向C地，同时乙车从C地出发驶向B地，到达B地停留0.5小时后，按原路原速返回C地，两车匀速行驶，甲车比乙车晚1.5小时到达C地．两车距各自出发地的路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系如图所示．请结合图象信息解答下列问题：（1）甲车行驶速度是千米1时，B，C两地的路程为千米；（2）求乙车从B地返回C地的过程中，y（千米）与x（小时）之间的函数关系式（不需要写出自变量x的取值范围）；（3）出发多少小时，行驶中的两车之间的路程是15千米？请你直接写出答案．6、A，B两地相距200千米．早上8:00货车甲从A地出发将一批物资运往B地，行驶一段路程后出现故障，即刻停车与B地联系．B地收到消息后立即派货车乙从B地出发去接运甲车上的物资．货车乙遇到甲后，用了18分钟将物资从货车甲搬运到货车乙上，随后开往B地．两辆货车离开各自出发地的路程y（千米）与时间x（小时）的函数关系如图所示．（通话等其他时间忽略不计）（1）求货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程y关于x的函数表达式．（2）因实际需要，要求货车乙到达B地的时间比货车甲按原来的速度正常到达B 地的时间最多晚1个小时，问货车乙返回B地的速度至少为每小时多少千米？7、2020年5月16日，“钱塘江诗路”航道全线开通．一艘游轮从杭州出发前往衢州，线路如图1所示．当游轮到达建德境内的“七里扬帆”景点时，一艘货轮沿着同样的线路从杭州出发前往衢州．已知游轮的速度为20/km h，游轮行驶的时间记为()t h的图象如图2所示（游轮s km关于()t h，两艘轮船距离杭州的路程()在停靠前后的行驶速度不变）．（1）写出图2中C点横坐标的实际意义，并求出游轮在“七里扬帆”停靠的时长．（2）若货轮比游轮早36分钟到达衢州．问：①货轮出发后几小时追上游轮？②游轮与货轮何时相距12km？8、甲、乙两地的路程为290千米，一辆汽车早上8：00从甲地出发，匀速向乙地行驶，途中休息一段时间后，按原速继续前进，当离甲地路程为240千米时接到通知，要求中午12：00准时到达乙地．设汽车出发x小时后离甲地的路程为y 千米，图中折线OCDE表示接到通知前y与x之间的函数关系．（1）根据图象可知，休息前汽车行驶的速度为千米/小时；（2）求线段DE 所表示的y 与x 之间的函数表达式；（3）接到通知后，汽车仍按原速行驶能否准时到达？请说明理由．9、为让更多的学生学会游泳，少年宫新建一个游泳池，其容积为3480m ，该游泳池有甲、乙两个进水口，注水时每个进水口各自的注水速度保持不变，同时打开甲、乙两个进水口注水，游泳池的蓄水量()3y m 与注水时间()t h 之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）根据图象求游泳池的蓄水量()3y m 与注水时间()t h 之间的函数关系式，并写出同时打开甲、乙两个进水口的注水速度；（2）现将游泳池的水全部排空，对池内消毒后再重新注水．已知单独打开甲进水口注满游泳池所用时间是单独打开乙进水口注满游泳池所用时间的43倍．求单独打开甲进水口注满游泳池需多少小时？10、因疫情防控需要，消毒用品需求量增加．某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价50元，每天销售量y （桶）与销售单价x （元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）求y 与x 之间的函数表达式；（2）每桶消毒液的销售价定为多少元时，药店每天获得的利润最大，最大利润是多少元？（利涧=销售价-进价）11、暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下． 方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠．设某学生暑期健身x （次)，按照方案一所需费用为1y （元)，且11y k x b =+；按照方案二所需费用为2y （元)，且22y k x =．其函数图象如图所示．（1）求1k 和b 的值，并说明它们的实际意义；（2）求打折前的每次健身费用和2k 的值；（3）八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，应选择哪种方案所需费用更少？说明理由．12、小华端午节从家里出发，沿笔直道路匀速步行去妈妈经营的商店帮忙，妈妈同时骑三轮车从商店出发，沿相同路线匀速回家装载货物，然后按原路原速返回商店，小华到达商店比妈妈返回商店早5分钟．在此过程中，设妈妈从商店出发开始所用时间为t （分钟），图1表示两人之间的距离s （米）与时间t （分钟）的函数关系的图象；图2中线段AB 表示小华和商店的距离1y （米）与时间t （分钟）的函数关系的图象的一部分，请根据所给信息解答下列问题：（1）填空：妈妈骑车的速度是___________米/分钟，妈妈在家装载货物所用时间是__________分钟，点M的坐标是___________；y（米）与时间t（分钟）的函数关系式，并（2）直接写出妈妈和商店的距离2在图2中画出其函数图象；（3）求t为何值时，两人相距360米．13、为抗击疫情，支持武汉，某物流公司的快递车和货车每天往返于物流公司、武汉两地，快递车比货车多往返一趟，如图表示两车离物流公司的距离y（单位：千米）与快递车所用时间x（单位：时）的函数图象，已知货车比快递车早1小时出发，到达武汉后用2小时装卸货物，按原速、原路返回，货车比快递车最后一次返回物流公司晚1小时．（1）求ME的函数解析式；（2）求快递车第二次往返过程中，与货车相遇的时间．（3）求两车最后一次相遇时离武汉的距离．（直接写出答案）14、某商店代理销售一种水果，六月份的销售利润y（元)与销售量()x kg之间函数关系的图象如图中折线所示．请你根据图象及这种水果的相关销售记录提供的信息，解答下列问题：（1）截止到6月9日，该商店销售这种水果一共获利多少元？（2）求图象中线段BC所在直线对应的函数表达式．15、2020年是决战决胜扶贫攻坚和全面建成小康社会的收官之年，荆门市政府加大各部门和单位对口扶贫力度．某单位的帮扶对象种植的农产品在某月（按30天计）的第x天（x为正整数）的销售价格p（元/千克）关于x的函数关系式为24(020)5112(2030)5x xpx x⎧+<⎪⎪=⎨⎪-+<⎪⎩，销售量y（千克）与x之间的关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）当月第几天，该农产品的销售额最大，最大销售额是多少？（销售额=销售量×销售价格）16、团结奋战，众志成城，齐齐哈尔市组织援助医疗队，分别乘甲、乙两车同时出发，沿同一路线赶往绥芬河．齐齐哈尔距绥芬河的路程为800km，在行驶过程中乙车速度始终保持80km/h，甲车先以一定速度行驶了500km，用时5h，然后再以乙车的速度行驶，直至到达绥芬河（加油、休息时间忽略不计）．甲、乙两车离齐齐哈尔的路程y（km）与所用时间x（h）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：（1）甲车改变速度前的速度是km/h，乙车行驶h到达绥芬河；（2）求甲车改变速度后离齐齐哈尔的路程y（km）与所用时间x（h）之间的函数解析式，不用写出自变量x的取值范围；（3）甲车到达绥芬河时，乙车距绥芬河的路程还有km；出发h时，甲、乙两车第一次相距40km．参考答案2021年中考数学第三轮冲刺：函数图像的应用综合压轴题专题复习1、已知A、B两地之间有一条270千米的公路，甲、乙两车同时出发，甲车以60千米/时的速度沿此公路从A地匀速开往B地，乙车从B地沿此公路匀速开往A地，两车分别到达目的地后停止．甲、乙两车相距的路程y（千米）与甲车的行驶时间x（时）之间的函数关系如图所示．（1）乙车的速度为75 千米/时，a＝ 3.6 ，b＝ 4.5 ．（2）求甲、乙两车相遇后y与x之间的函数关系式．（3）当甲车到达距B地70千米处时，求甲、乙两车之间的路程．【解答】解：（1）乙车的速度为：（270﹣60×2）÷2＝75千米/时，a＝270÷75＝3.6，b＝270÷60＝4.5．故答案为：75；3.6；4.5；（2）60×3.6＝216（千米），当2＜x≤3.6时，设y＝k1x+b1，根据题意得：，解得，∴y＝135x﹣270（2＜x≤3.6）；当3.6＜x≤4.6时，设y＝60x，∴；（3）甲车到达距B地70千米处时行驶的时间为：（270﹣70）÷60＝（小时），此时甲、乙两车之间的路程为：135×﹣270＝180（千米）．答：当甲车到达距B地70千米处时，求甲、乙两车之间的路程为180千米．2、甲、乙两台机器共同加工一批零件，一共用了6小时．在加工过程中乙机器因故障停止工作，排除故障后，乙机器提高了工作效率且保持不变，继续加工．甲机器在加工过程中工作效率保持不变．甲、乙两台机器加工零件的总数y（个）与甲加工时间x（h）之间的函数图象为折线OA﹣AB﹣BC，如图所示．（1）这批零件一共有270 个，甲机器每小时加工20 个零件，乙机器排除故障后每小时加工40 个零件；（2）当3≤x≤6时，求y与x之间的函数解析式；（3）在整个加工过程中，甲加工多长时间时，甲与乙加工的零件个数相等？【解答】解：（1）这批零件一共有270个，甲机器每小时加工零件：（90﹣550）÷（3﹣1）＝20（个），乙机器排除故障后每小时加工零件：（270﹣90﹣20×3）÷3＝40（个）；故答案为：270；20；40；（2）设当3≤x≤6时，y与x之间的函数关系是为y＝kx+b，把B（3，90），C（6，270）代入解析式，得，解得，∴y＝60x﹣90（3≤x≤6）；（3）设甲价格x小时时，甲乙加工的零件个数相等，①20x＝30，解得x＝15；②50﹣20＝30，20x＝30+40（x﹣3），解得x＝4.5，答：甲加工1.5h或4.5h时，甲与乙加工的零件个数相等．3、A，B两城市之间有一条公路相连，公路中途穿过C市，甲车从A市到B市，乙车从C市到A市，甲车的速度比乙车的速度慢20千米/时，两车距离C市的路程y(单位：千米)与驶的时间t(单位：小时)的函数图象如图所示，结合图象信息，解答下列问题：（1）甲车的速度是_____千米/时，在图中括号内填入正确的数；（2）求图象中线段MN 所在直线的函数解析式，不需要写出自变量的取值范围；（3）直接写出甲车出发后几小时，两车距C 市的路程之和是460千米．【详解】（1）由图象可知甲车在8t =时行驶到C 市，此时行驶的路程为480km ，故速度为48060km/h 8=， ∴乙车的行驶速度为：602080km/h +=，∴乙车由C 市到A 市需行驶4806h 80=， ∴图中括号内的数为4610+=，故答案为：60，10；（2）设线段MN 所在直线的解析式为 y = kt + b ( k ≠ 0 ) .把点M （4，0），N （10，480）代入y = kt + b ，得：4010480k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得：80320k b =⎧⎨=-⎩， ∴线段MN 所在直线的函数解析式为y = 80t －320．（3）若在乙车出发之前，即4t <时，则48060460t -=，解得13t =； 若乙车出发了且甲车未到C 市时，即48t <<时，则()48060804460t t -+-=，解得17t =（舍）；若乙车出发了且甲车已到C 市时，即8t >时，则()60480804460t t -+-=，解得9t =； 综上，甲车出发13小时或9小时时，两车距C 市的路程之和是460千米．4、某农科所为定点帮扶村免费提供一种优质瓜苗及大棚栽培技术．这种瓜苗早期在农科所的温室中生长，长到大约20cm 时，移至该村的大棚内，沿插杆继续向上生长．研究表明，60天内，这种瓜苗生长的高度y （cm ）与生长时间x （天）之间的关系大致如图所示．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当这种瓜苗长到大约80cm 时，开始开花结果，试求这种瓜苗移至大棚后．继续生长大约多少天，开始开花结果？【解答】解：（1）当0≤x ≤15时，设y ＝kx （k ≠0），则：20＝15k ，解得k =43，∴y =43x ；当15＜x ≤60时，设y ＝k ′x +b （k ≠0），则：{20=15k ′+b170=60k ′+b ，解得{k ′=103b =−30，∴y =103x −30，∴y ={43x(0≤x ≤15)103x −30(15＜x ≤60)；（2）当y ＝80时，80=103x −30，解得x ＝33，33﹣15＝18（天），∴这种瓜苗移至大棚后．继续生长大约18天，开始开花结果．5、在一条公路上依次有A ，B ，C 三地，甲车从A 地出发，驶向C 地，同时乙车从C 地出发驶向B 地，到达B 地停留0.5小时后，按原路原速返回C 地，两车匀速行驶，甲车比乙车晚1.5小时到达C 地．两车距各自出发地的路程y （千米）与时间x （小时）之间的函数关系如图所示．请结合图象信息解答下列问题：（1）甲车行驶速度是 60 千米1时，B ，C 两地的路程为 千米；（2）求乙车从B 地返回C 地的过程中，y （千米）与x （小时）之间的函数关系式（不需要写出自变量x 的取值范围）；（3）出发多少小时，行驶中的两车之间的路程是15千米？请你直接写出答案．【解答】解：（1）由题意可得：(10,600)F ，∴甲车的行驶速度是：6001060÷=千米/时，M 的纵坐标为360，B ∴，C 两地之间的距离为360千米，故答案为：60；360；（2）甲车比乙车晚1.5小时到达C 地，∴点(8.5,0)E ，乙的速度为3602(100.5 1.5)90⨯÷--=千米/小时，则360904÷=，(4,360)M ∴，(4.5,360)N ，设NE 表达式为y kx b =+，将N 和E 代入，08.5360 4.5k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得：90765k b =-⎧⎨=⎩，y∴（千米）与x（小时）之间的函数关系式为：；（3）设出发x小时，行驶中的两车之间的路程是15千米，①在乙车到B地之前时，60015S S--=乙甲，即600609015x x--=，解得：3910x=，②(600360)604-÷=小时，360904÷=小时，∴甲乙同时到达B地，当乙在B地停留时，17156044÷+=小时；③当乙车从B地开始往回走，追上甲车之前，15(9060) 4.55÷-+=小时；④当乙车追上甲车并超过15km时，(3015)(9060) 4.56+÷-+=小时；⑤当乙车回到C地时，甲车距离C地15千米时，39(60015)604-÷=小时．综上：行驶中的两车之间的路程是15千米时，出发时间为3910小时或174小时或5小时或6小时或394小时．6、A，B两地相距200千米．早上8:00货车甲从A地出发将一批物资运往B地，行驶一段路程后出现故障，即刻停车与B地联系．B地收到消息后立即派货车乙从B地出发去接运甲车上的物资．货车乙遇到甲后，用了18分钟将物资从货车甲搬运到货车乙上，随后开往B地．两辆货车离开各自出发地的路程y（千米）与时间x（小时）的函数关系如图所示．（通话等其他时间忽略不计）（1）求货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程y关于x的函数表达式．（2）因实际需要，要求货车乙到达B地的时间比货车甲按原来的速度正常到达B 地的时间最多晚1个小时，问货车乙返回B地的速度至少为每小时多少千米？【解答】解：（1）设函数表达式为(0)y kx b k=+≠，把(1.6,0)，(2.6,80)代入y kx b=+，得0 1.680 2.6k bk b=+⎧⎨=+⎩，解得：80128kb=⎧⎨=-⎩，y∴关于x的函数表达式为80128(1.6 3.1)y x x=-；（2）当20080120y=-=时，12080128x=-，解得 3.1x=，由图可甲的速度为80501.6=（千米/小时），货车甲正常到达B地的时间为200504÷=（小时），18600.3÷=（小时），415+=（小时），5 3.10.3 1.6--=（小时），设货车乙返回B地的车速为v千米/小时，1.6120v∴，解得75v．答：货车乙返回B地的车速至少为75千米/小时．7、2020年5月16日，“钱塘江诗路”航道全线开通．一艘游轮从杭州出发前往衢州，线路如图1所示．当游轮到达建德境内的“七里扬帆”景点时，一艘货轮沿着同样的线路从杭州出发前往衢州．已知游轮的速度为20/km h，游轮行驶的时间记为()t h，两艘轮船距离杭州的路程()s km关于()t h的图象如图2所示（游轮在停靠前后的行驶速度不变）．（1）写出图2中C 点横坐标的实际意义，并求出游轮在“七里扬帆”停靠的时长．（2）若货轮比游轮早36分钟到达衢州．问：①货轮出发后几小时追上游轮？②游轮与货轮何时相距12km ？【解答】解：（1）C 点横坐标的实际意义是游轮从杭州出发前往衢州共用了23h ． ∴游轮在“七里扬帆”停靠的时长23(42020)23212()h =-÷=-=．（2）①2802014h ÷=，∴点(14,280)A ，点(16,280)B ，36600.6()h ÷=，230.622.4-=，∴点(22.4,420)E ，设BC 的解析式为20s t b =+，把(16,280)B 代入20s t b =+，可得40b =-， 2040(1623)s t t ∴=-，同理由(14,0)D ，(22E ，4，420)可得DE 的解析式为50700(1422.4)s t t =-， 由题意：204050700t t -=-，解得22t =，22148()h -=，∴货轮出发后8小时追上游轮．②相遇之前相距12km 时，204(50700)12t t ---=，解得21.6t =．相遇之后相距12km 时，50700(2040)12t t ---=，解得22.4t =，21.6h ∴或22.4h 时游轮与货轮何时相距12km ．8、甲、乙两地的路程为290千米，一辆汽车早上8：00从甲地出发，匀速向乙地行驶，途中休息一段时间后，按原速继续前进，当离甲地路程为240千米时接到通知，要求中午12：00准时到达乙地．设汽车出发x 小时后离甲地的路程为y 千米，图中折线OCDE 表示接到通知前y 与x 之间的函数关系．（1）根据图象可知，休息前汽车行驶的速度为 千米/小时；（2）求线段DE 所表示的y 与x 之间的函数表达式；（3）接到通知后，汽车仍按原速行驶能否准时到达？请说明理由．【详解】解：（1）由图象可知，休息前汽车行驶的速度为80180÷=千米/小时； 故答案为：80；（2）休息后按原速继续前进行驶的时间为：()24080802-÷=（小时）， ∴点E 的坐标为（3.5，240），设线段DE 所表示的y 与x 之间的函数表达式为y kx b =+，则： 1.5803.5240k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得8040k b =⎧⎨=-⎩， ∴线段DE 所表示的y 与x 之间的函数表达式为8040y x =-；（3）接到通知后，汽车仍按原速行驶，则全程所需时间为：290800.5 4.125÷+=（小时），从早上8点到中午12点需要12-8=4（小时），∵4.125＞4，所以接到通知后，汽车仍按原速行驶不能准时到达．9、为让更多的学生学会游泳，少年宫新建一个游泳池，其容积为3480m ，该游泳池有甲、乙两个进水口，注水时每个进水口各自的注水速度保持不变，同时打开甲、乙两个进水口注水，游泳池的蓄水量()3y m 与注水时间()t h 之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）根据图象求游泳池的蓄水量()3y m 与注水时间()t h 之间的函数关系式，并写出同时打开甲、乙两个进水口的注水速度；（2）现将游泳池的水全部排空，对池内消毒后再重新注水．已知单独打开甲进水口注满游泳池所用时间是单独打开乙进水口注满游泳池所用时间的43倍．求单独打开甲进水口注满游泳池需多少小时？【详解】解：（1）设y=kt+100，把(2，380)代入得，2k+100=380，解得k=140，∴y=140t+100，当y=480时，则480=140t+100，解得t=197， (480-100)÷197=140m 3/h ；∴y=140t+100，同时打开甲、乙两个进水口的注水速度是140m 3/h ； （2）设甲的注水速度是x m 3/h ，则乙的注水速度是(140-x) m 3/h ，由题意得48044803140x x=⨯-， 解得x=60，经检验x=60符合题意，480=860(h)， ∴单独打开甲进水口注满游泳池需8h ．10、因疫情防控需要，消毒用品需求量增加．某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价50元，每天销售量y （桶）与销售单价x （元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）求y 与x 之间的函数表达式；（2）每桶消毒液的销售价定为多少元时，药店每天获得的利润最大，最大利润是多少元？（利涧=销售价-进价）【详解】（1）设y 与销售单价x 之间的函数关系式为：y=kx+b ， 将点（60，100）、（70，80）代入一次函数表达式得：100608070k bk b ⎩+⎨+⎧＝＝， 解得：2220k b -⎧⎨⎩＝＝，故函数的表达式为：y=-2x+220；（2）设药店每天获得的利润为W 元，由题意得： w=（x-50）（-2x+220）=-2（x-80）2+1800， ∵-2＜0，函数有最大值，∴当x=80时，w 有最大值，此时最大值是1800，故销售单价定为80元时，该药店每天获得的利润最大，最大利润1800元． 11、暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下． 方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠； 方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠．设某学生暑期健身x （次)，按照方案一所需费用为1y （元)，且11y k x b =+；按照方案二所需费用为2y （元)，且22y k x =．其函数图象如图所示． （1）求1k 和b 的值，并说明它们的实际意义； （2）求打折前的每次健身费用和2k 的值；（3）八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，应选择哪种方案所需费用更少？说明理由．【解答】解：（1）11y k x b =+过点(0,30)，(10,180)，∴13010180b k b =⎧⎨+=⎩，解得11530k b =⎧⎨=⎩，115k =表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡后每次健身费用为15元，30b =表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡的费用为30元；（2）由题意可得，打折前的每次健身费用为150.625÷=（元)， 则2250.820k =⨯=；（3）选择方案一所需费用更少．理由如下： 由题意可知，11530y x =+，220y x =．当健身8次时，选择方案一所需费用：115830150y=⨯+=（元)，选择方案二所需费用：2208160y=⨯=（元)，150160<，∴选择方案一所需费用更少．12、小华端午节从家里出发，沿笔直道路匀速步行去妈妈经营的商店帮忙，妈妈同时骑三轮车从商店出发，沿相同路线匀速回家装载货物，然后按原路原速返回商店，小华到达商店比妈妈返回商店早5分钟．在此过程中，设妈妈从商店出发开始所用时间为t（分钟），图1表示两人之间的距离s（米）与时间t（分钟）的函数关系的图象；图2中线段AB表示小华和商店的距离1y（米）与时间t（分钟）的函数关系的图象的一部分，请根据所给信息解答下列问题：（1）填空：妈妈骑车的速度是___________米/分钟，妈妈在家装载货物所用时间是__________分钟，点M的坐标是___________；（2）直接写出妈妈和商店的距离2y（米）与时间t（分钟）的函数关系式，并在图2中画出其函数图象；（3）求t为何值时，两人相距360米．【详解】解：（1）由题意可得：小华步行的速度为：180030=60（米/分钟），妈妈骑车的速度为：1800601010-⨯=120（米/分钟）；妈妈回家用的时间为：1800120=15（分钟），∵小华到达商店比妈妈返回商店早5分钟， ∴可知妈妈在35分钟时返回商店， ∴装货时间为：35-15×2=5（分钟）， 即妈妈在家装载货物的时间为5分钟；由题意和图像可得妈妈在M 点时开始返回商店， ∴M 点的横坐标为：15+5=20（分钟）， 此时纵坐标为：20×60=1200（米）， ∴点M 的坐标为()20,1200； 故答案为：120，5，()20,1200； （2）①当0≤t ＜15时y 2=120t ， ②当15≤t ＜20时y 2=1800，③当20≤t ≤35时，设此段函数解析式为y 2=kx+b ，将（20，1800），（35，0），代入得180020035k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得1204200k b =-⎧⎨=⎩，∴此段的解析式为y 2=-120x+4200，综上：2120(015)1800(1520)1204200(2035)tt y t t t ≤<⎧⎪=≤<⎨⎪-+≤≤⎩； 其函数图象如图，；（3）由题意知，小华速度为60米/分钟，妈妈速度为120米/分钟， ①相遇前，依题意有601203601800t t ++=，解得8t =（分钟）； ②相遇后，依题意有601203601800t t +-=，解得12t =（分钟）； ③依题意，当20t =分钟时，妈妈从家里出发开始追赶小华， 此时小华距商店180********-⨯=（米），只需10分钟，即30t =分钟时，小华到达商店，而此时妈妈距离商店为180010120600-⨯=（米）360>（米）， ∴()120536018002t -+=⨯，解得32t =（分钟）， ∴当t 为8，12或32（分钟）时，两人相距360米．13、为抗击疫情，支持武汉，某物流公司的快递车和货车每天往返于物流公司、武汉两地，快递车比货车多往返一趟，如图表示两车离物流公司的距离y （单位：千米）与快递车所用时间x （单位：时）的函数图象，已知货车比快递车早1小时出发，到达武汉后用2小时装卸货物，按原速、原路返回，货车比快递车最后一次返回物流公司晚1小时．（1）求ME 的函数解析式；（2）求快递车第二次往返过程中，与货车相遇的时间． （3）求两车最后一次相遇时离武汉的距离．（直接写出答案）【解答】解：（1）设ME 的函数解析式为(0)y kx b k =+≠，由ME 经过(0,50)，(3,200)可得：503200b k b =⎧⎨+=⎩，解得5050k b =⎧⎨=⎩，ME ∴的解析式为5050y x =+；（2）设BC 的函数解析式为y mx n =+，由BC 经过(4,0)，(6,200)可得：406200m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得100400m n =⎧⎨=-⎩， BC ∴的函数解析式为100400y x =-；设FG 的函数解析式为y px q =+，由FG 经过(5,200)，(9,0)可得：520090p q p q +=⎧⎨+=⎩，解得50450p q =-⎧⎨=⎩， FG ∴的函数解析式为50450y x =-+，解方程组10040050450y x y x =-⎧⎨=-+⎩得1735003x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，同理可得7x h =，答：货车返回时与快递车图中相遇的时间173h ，7h ；（3）(97)50100()km -⨯=，答：两车最后一次相遇时离武汉的距离为100km ．14、某商店代理销售一种水果，六月份的销售利润y （元)与销售量()x kg 之间函数关系的图象如图中折线所示．请你根据图象及这种水果的相关销售记录提供的信息，解答下列问题：（1）截止到6月9日，该商店销售这种水果一共获利多少元？ （2）求图象中线段BC 所在直线对应的函数表达式．。
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题型一选择压轴题之函数图象问题类型1根据函数性质判断函数图象在同一平面直1.[2020甘肃天水]若函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则函数y=ax+b和y=cx角坐标系中的图象大致是()A B C D2.[2019浙江杭州]已知一次函数y1=ax+b和y2=bx+a(a≠b),函数y1和y2的图象可能是()(a≠0)在同一坐标系中的图象可能是() 3.[2020山东威海]一次函数y=ax-a与反比例函数y=axA B C D4.[2020山东泰安]在同一平面直角坐标系内,二次函数y=ax2+bx+b(a≠0)与一次函数y=ax+b的图象可能是()A BC D5.[2020淮北地区模拟]已知函数y=-(x-m)(x-n)(其中m<n)的图象如图所示,则一次函数y=mx+n与的图象可能是()反比例函数y=m+nx的图象如图所示,则二次函数y=ax2+bx+c 6.[2019四川自贡]一次函数y=ax+b与反比例函数y=cx的大致图象是()A B C D类型2分析几何图形中的函数图象题7.[2019山东菏泽]如图,正方形ABCD的边长为2 cm,动点P,Q同时从点A出发,在正方形的边上,分别按A→D→C,A→B→C的方向、以1 cm/s的速度运动,到达点C时运动终止,连接PQ,设运动时间为x s,△APQ的面积为y cm2,则下列图象中能大致表示y与x之间的函数关系的是()8.[2020蚌埠六中三模]如图,△ABC为等边三角形,AB=2,点D为边AB上一点(不与点A,B重合),过点D作DE∥AC,交BC于点E,过点E作EF⊥DE,交AB的延长线于点F,设AD=x,△DEF的面积为y,则能大致反映y与x函数关系的图象是()9.[2020宿州第一中学二模]如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=5,点P是BC边上的一个动点(点P与点B,C都不重合),现将△PCD沿直线PD折叠,使点C落到点F处,作∠BPF的平分线交AB于点E,设BP=x,BE=y,则表示y与x的函数关系的图象大致是()10.[2019四川达州]如图,边长都为4的正方形ABCD和正三角形EFG如图放置,AB与EF在一条直线上,点A与点F重合,现将△EFG沿AB方向以每秒1个单位的速度匀速运动,当点F与点B重合时停止,在这个运动过程中,正方形ABCD和△EFG重叠部分的面积S与运动时间t的函数关系的图象大致是()⏜的中点,点E,F分别在弦AC和直径11.[2020怀远实验中学一模]如图,AB是半圆O的直径,C为ABAB上,连接CF,EF,且∠CFE=45°,若设BF=x,AE=y,则y关于x的函数图象大致是()A B C D类型3分析实际问题中的函数图象题12.[2020浙江台州]如图(1),小球从左侧的斜坡滚下,到达底端后又沿着右侧斜坡向上滚,在这个过程中,小球的运动速度v(单位:m/s)与运动时间t(单位:s)的函数图象如图(2),则该小球的运动路程y(单位:m)与运动时间t(单位:s)之间的函数图象大致是()图(1)图(2)A B C D13.在同一条道路上,甲车从A地到B地,乙车从B地到A地,乙先出发,表示甲、乙两车之间的距离y(千米)关于行驶时间x(小时)的函数图象如图所示,下列说法错误的是()A.乙出发0.5小时后甲出发B.甲的速度是80千米/时C.甲出发0.5小时后两车相遇小时D.甲到B地比乙到A地早11214.[2020湖北武汉]一个容器有进水管和出水管,每分钟的进水量和出水量是两个常数.从某时刻开始4 min内只进水不出水,从第4 min到第24 min内既进水又出水,从第24 min开始只出水不进水,容器内水量y(单位:L)与时间x(单位:min)之间的关系如图所示,则图中a的值是()A.32B.34C.36D.38类型4分析函数图象判断结论正误15.[2013安徽]图(1)所示矩形ABCD中,BC=x,CD=y,y与x满足的反比例函数关系如图(2)所示,等腰直角三角形AEF的斜边EF过C点,M为EF的中点,则下列结论正确的是()图(1)图(2)A.当x=3时,EC<EMB.当y=9时,EC>EMC.当x增大时,EC·CF的值增大D.当y增大时,BE·DF的值不变16.[2020湖南衡阳中考改编]如图(1),在平面直角坐标系中,▱ABCD在第一象限,且BC∥x轴.直线y=x从原点O出发沿x轴正方向平移.在平移过程中,直线被▱ABCD截得的线段长度n与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图(2)所示.下列说法正确的是()图(1)图(2)A.AD=7B.∠C=67.5°C.▱ABCD的面积为2√2D.当m=8时,直线y=x与▱ABCD有1个交点参考答案题型一选择压轴题之函数图象问题的图象位1.B因为抛物线开口向上、与y轴交点位于x轴上方,所以a>0,c>0,故反比例函数y=cx于第一、三象限.由抛物线的对称轴在y轴右侧,得-b>0,故b<0,故函数y=ax+b的图象经过第一、2a三、四象限.故选B.2.A根据题意,令y1=y2,则ax+b=bx+a,(a-b)x=a-b,∵a≠b,∴a-b≠0,∴x=1,即一次函数y1与y2的图象交点的横坐标为1.A项中,由两个函数的图象,均可得a>0,b>0,故A项符合题意;B项中,不妨设经过第一、二、三象限的函数为y1=ax+b,则a>0,b>0,由函数y2的图象可得b<0,a>0,矛盾,故B项不符合题意;C项中,由两函数的图象都经过第一、二、四象限,可得a<0,b<0,由两函数的图象与y 轴均交于正半轴,可得a>0,b>0,矛盾,故C 项不符合题意;D 项中,不妨设经过第二、三、四象限的函数为y 1=ax+b ,则a<0,b<0,由函数y 2的图象可得b>0,a<0,矛盾,故D 项不符合题意.故选A. 3.D 当a>0时,函数y=ax-a 的图象经过第一、三、四象限,函数y=ax 的图象位于第一、三象限,题目选项中的函数图象均不符合此种情况;当a<0时,函数y=ax-a 的图象经过第一、二、四象限,函数y=ax 的图象位于第二、四象限,选项D 中的图象符合此种情况.故选D .4.C 对于选项A ,由y=ax 2+bx+b 的图象可知a>0,-b2a >0,b>0,矛盾,故选项A 不符合题意.对于选项B ,由y=ax 2+bx+b 的图象可知a<0,b<0;由y=ax+b 的图象可知a>0,b<0,矛盾,故选项B 不符合题意.对于选项C ,由y=ax 2+bx+b 的图象可知a>0,b<0;由y=ax+b 的图象可知a>0,b<0,故选项C 符合题意.对于选项D ,由y=ax 2+bx+b 的图象可知a>0,-b2a >0,b=0,矛盾,故选项D 不符合题意.故选C. 5.C 根据题中二次函数的图象可知m<-1,n=1,∴一次函数y=mx+n 的图象经过第一、二、四象限且与y 轴相交于点(0,1),m+n<0,∴反比例函数y=m+n x 的图象位于第二、四象限,故选C.6.A 由一次函数与反比例函数的图象,可知a<0,b>0,c>0,∴-b2a >0,∴二次函数y=ax 2+bx+c 的图象开口向下,与y 轴交于正半轴,且对称轴在y 轴右侧.故选A .7.A ①当0≤x ≤2时,点P 在AD 上,点Q 在AB 上,此时y=S △APQ =12·AQ ·AP=12x 2,函数图象为开口向上的抛物线的一部分;②当2≤x ≤4时,点P 在CD 上,点Q 在BC 上,此时y=S △APQ =S 正方形ABCD -S △CPQ -S △ABQ -S △APD =2×2-12(4-x )2-2×12×2×(x-2)=-12x 2+2x ,函数图象为开口向下的抛物线的一部分.故选A . 8.A 由题易得△DBE 为等边三角形,ED=DB=2-x (0<x<2),∴∠EDF=60°,∴EF=√3ED=√3(2-x ),∴y=12ED ·EF=12(2-x )·√3(2-x )=√32(2-x )2,此函数的图象为开口向上且对称轴为直线x=2的抛物线的一部分.故选A.9.C 由折叠和角平分线的性质可知∠CPD=∠FPD ,∠BPE=∠FPE ,∴∠CPD+∠BPE=90°.又∠BPE+ ∠BEP=90°,∴∠BEP=∠CPD.又∵∠B=∠C=90°,∴△BPE ∽△CDP ,∴BP CD =BEPC ,即x3=y5−x ,∴y=-13x 2+53x (0<x<5),故选C.10.C 当0<t ≤2时,重叠部分为直角三角形,且两直角边的长分别为t ,√3t ,所以重叠部分的面积S=12t ·√3t=√32t 2,此时函数图象为以原点为顶点、开口向上的抛物线的一部分.当2<t ≤4时,点G 在正方形内部,重叠部分为四边形,所以重叠部分的面积S=12×√32×4×4-12×(4-t )×√3(4-t )=-√32(t-4)2+4√3,此时函数图象为以直线t=4为对称轴、开口向下的抛物线的一部分.故选C .11.D 连接BC ,易得∠CAF=∠CBF=∠EFC=45°.∵∠CFA=∠CFE+∠AFE=∠FCB+∠CBF ,∴∠AFE= ∠FCB ,∴△AEF ∽△BFC ,∴AE BF =AFBC .设半圆O 的半径长为r ,则AB=2r ,BC=√2r ,AF=2r-x ,∴y x =√2r,即y=-√22r x 2+√2x ,故选D.12.C 由题图(2)可知小球从左侧的斜坡滚下是匀变速运动,可设小球在左侧时v=kt (k>0),∴y=kt 2,故运动的路程y 是关于t 的二次函数,图象为开口向上且对称轴为y 轴的抛物线的一部分.故选C.13.D 由题图可得,乙出发0.5小时后甲出发,A 选项中的说法正确;分析图象可知乙的速度为100−700.5=60(千米/时),则乙车从B 地到A 地共行驶100÷60=53(小时),所以甲车的速度为1001.75−0.5=1001.25=80(千米/时),故选项B 中的说法正确;从甲出发,到甲、乙两车相遇,所用时间为70÷(60+80)=0.5(小时),故甲出发0.5小时后两车相遇,故选项C 中的说法正确;1.75-53=112,故乙到A 地比甲到A 地早112小时,故选项D 中的说法错误.14.C 由题图知,进水管每分钟进水20÷4=5(L ). 设出水管每分钟出水m L ,则35-20=(5-m )×(16-4),解得m=154.当x=24时,容器内的水量为20+(5-154)×(24-4)=45(L ),这45 L 水全部放完,所需时间为45÷154=12(min ),此时a=24+12=36.故选C.15.D 由题意可知△BCE 和△DCF 都是等腰直角三角形,所以BE=BC=x ,DF=CD=y ,根据反比例函数的性质可得xy=3×3=9.当x=3时,y=3,所以CE=CF=3√2,所以EC=EM ,故选项A 中的结论错误;当y=9时,x=1,则CE=√2,EM=12(CE+CF )=12(√2+9√2)=5√2,所以EM>CE ,故选项B 中的结论错误;因为xy=9,所以CE ·CF=√2x ·√2y=18,BE ·DF=BC ·CD=xy=9,故选项C 中的结论错误,选项D 中的结论正确. 16.B 由题图(2)知,当m=4时直线经过点A ,当m=6时直线经过点B 且n=2,当m=7时直线经过点D ,∴AD=7-4=3,故选项A 错误.设当m=6时,直线与AD 交于点E ,则AE=BE=2.∵AD ∥BC ∥x 轴,直线y=x 在平移过程中与x 轴所夹锐角为45°,∴∠AEB=45°,∴∠C=∠DAB=180°−45°2=67.5°,故选项B 正确.过点B 作BH ⊥AE 于点H ,则BH=√22BE=√22×2=√2,∴S 平行四边形ABCD =AD ·BH=3√2,故选项C 错误.分析可知,当m=9时,直线过点C ,∴当m=8时,直线与边CD ,BC 各有1个交点,故选项D 错误.故选B.。