中考数学选择题压轴题专题训练五
2020年春学期九年级数学中考压轴题精选精练(含答案解析)
2020年春学期九年级数学中考压轴题精选精练一、选择题（6题）1．如图，点A是射线y═（x≥0）上一点，过点A作AB⊥x轴于点B，以AB为边在其右侧作正方形ABCD，过点A的双曲线y＝交CD边于点E，则的值为（）A．B．C．D．12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A 在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是（）A．6 B．C．D．3. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AB的中点，点P是直线BC上一点，将△BDP沿DP所在的直线翻折后，点B落在B1处，若B1D⊥BC，则点P 与点B之间的距离为（）A．1 B．54C．1或3 D．54或54．已知直线y＝﹣x+7a+1与直线y＝2x﹣2a+4同时经过点P，点Q是以M（0，﹣1）为圆心，MO为半径的圆上的一个动点，则线段PQ的最小值为（）A．103B．163C．85D．1855．如图，平行四边形ABCD的顶点A的坐标为（﹣，0），顶点D在双曲线y＝（x＞0）上，AD交y轴于点E（0，2），且四边形BCDE的面积是△ABE面积的3倍，则k的值为（）A．4 B．6 C．7 D．86．如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA+MD+ME的最小值为（）A．3+2B．4+3C．2+2D．10二、填空题（6题）1．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，P，Q分别是直线BC，AB上的两个动点，AE ＝2，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，连接PF，PD，则PF+PD的最小值是．2．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝BC＝BD＝2，AD＝1，则AC＝．3．如图，四边形ABCD的顶点都在坐标轴上，若AB∥CD，△AOB与△COD 面积分别为8和18，若双曲线kyx恰好经过BC的中点E，则k的值为．第3题第4题4．如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，分别连接A'C，A'D，B'C，则A'C+B'C的最小值为．5．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），B（0，1+m），C（0，1﹣m）（m＞0），点P在以D（﹣4，﹣2）为圆心，为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC＝90°，则m的取值范围是．第3题第4题6．如图，在矩形ABCD中，AB＝15，AD＝10，点P是AB边上任意一点（不与A点重合），连接PD，以线段PD为直角边作等腰直角△DPQ（点Q在直线PD右侧），∠DPQ＝90°，连接BQ，则BQ的最小值为．三、解答题（6题）1．如图，正方形ABCD的边长为2，点E、F分别是边AB、AD上的动点，且∠ECF＝45°，CF的延长线交BA的延长线于点G，GE的延长线交DA的延长线于点H，连接AE、CF．（1）求证：△AEF的周长为定值；（2）求AG•AH的值；（3）当△CGH是等腰三角形时，求AF的值．2．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，顶点为D．（1）求抛物线的解析式及点D的坐标．（2）在线段BC下方的抛物线上，是否存在异于点D的点E，使S△BCE＝S△BCD？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．（3）点M在抛物线上，点P为y轴上一动点，求MP+PC的最小值．3．如图①，一次函数122y x =-的图象交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，二次函数212y x bx c =-++的图象经过A 、B 两点，与x 轴交于另一点C ．（1）求二次函数的关系式及点C 的坐标； （2）如图②，若点P 是直线AB 上方的抛物线上一点，过点P 作PD ∥x 轴交AB 于点D ，PE ∥y 轴交AB 于点E ，求PD +PE 的最大值；（3）如图③，若点M 在抛物线的对称轴上，且∠AMB ＝∠ACB ，求出所有满足条件的点M 的坐标．4．如图，矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝8．动点E ，F 同时分别从点A ，B 出发，分别沿着射线AD 和射线BD 的方向均以每秒1个单位的速度运动，连接EF ，以EF 为直径作⊙O 交射线BD 于点M ，设运动的时间为t ．（1）当点E 在线段AD 上时，用关于t 的代数式表示DE ，DM ． （2）在整个运动过程中，①连结CM ，当t 为何值时，△CDM 为等腰三角形．②圆心O 处在矩形ABCD 内（包括边界）时，求t 的取值范围，并直接写出在此范围内圆心运动的路径长．5．如图1，矩形ABCD中，AB＝6，动点P从点A出发，沿A→B→C的方向在AB和BC 上移动，记P A＝x，点D到直线P A的距离为y，y关于x的函数图象由C1、C2两段组成，如图2所示．（1）求AD的长；（2）求图2中C2段图象的函数解析式；（3）当△APD为等腰三角形时，求y的值．6．如图，顶点为A的抛物线y＝a（x+2）2﹣4交x轴于点B（1，0），连接AB，过原点O 作射线OM∥AB，过点A作AD∥x轴交OM于点D，点C为抛物线与x轴的另一个交点，连接CD．（1）求抛物线的解析式；（2）若动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线OM运动，设点P运动的时间为t秒，问：当t为何值时，OB＝AP；（3）若动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OD向点D运动，同时动点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段CO向点O运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动时间为t秒，连接PQ．问：当t为何值时，四边形CDPQ的面积最小？并求此时PQ的长．【答案与解析】一、选择题1．【分析】设点A的横坐标为m（m＞0），则点B的坐标为（m，0），把x＝m代入y＝x得到点A的坐标，结合正方形的性质，得到点C，点D和点E的横坐标，把点A的坐标代入反比例函数y＝，得到关于m的k的值，把点E的横坐标代入反比例函数的解析式，得到点E的纵坐标，求出线段DE和线段EC的长度，即可得到答案．【解答】解：设点A的横坐标为m（m＞0），则点B的坐标为（m，0），把x＝m代入y＝x得：y＝m，则点A的坐标为：（m，m），线段AB的长度为m，点D的纵坐标为m，∵点A在反比例函数y＝上，∴k＝m2，即反比例函数的解析式为：y＝，∵四边形ABCD为正方形，∴四边形的边长为m，点C，点D和点E的横坐标为m+m＝m，把x＝m代入y＝得：y＝m，即点E的纵坐标为m，则EC＝m，DE＝m﹣m＝m，＝，故选：A．2．【分析】点A，C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点O在到AC的中点的距离不变．本题可通过设出AC的中点坐标，根据B、D、O在一条直线上时，点B到原点O的最大可得出答案．【解答】解：作AC的中点D，连接OD、DB，∵OB≤OD+BD，∴当O、D、B三点共线时OB取得最大值，∵D是AC中点，∴OD＝AC＝2，∵BD＝＝2，OD＝AC＝2，∴点B到原点O的最大距离为2+2，故选：D．3．【分析】分点B1在BC左侧，点B1在BC右侧两种情况讨论，由勾股定理可AB＝5，由平行线分线段成比例可得，可求BE，DE的长，由勾股定理可求PB的长．【解答】解：如图，若点B1在BC左侧，∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5∵点D是AB的中点，∴BD＝BA＝∵B1D⊥BC，∠C＝90°∴B1D∥AC∴∴BE＝EC＝BC＝2，DE＝AC＝∵折叠∴B1D＝BD＝，B1P＝BP∴B1E＝B1D﹣DE＝1∴在Rt△B1PE中，B1P2＝B1E2+PE2，∴BP2＝1+（2﹣BP）2，∴BP＝如图，若点B1在BC右侧，∵B1E＝DE+B1D＝+，∴B1E＝4在Rt△EB1P中，B1P2＝B1E2+EP2，∴BP2＝16+（BP﹣2）2，∴BP＝5故答案为：或5 故选：D．4．【分析】先解方程组得P点坐标为（3a﹣1，4a+2），则可确定点P为直线y ＝x+上一动点，设直线y＝x+与坐标的交点为A、B，如图，则A（﹣，0），B（0，），利用勾股定理计算出AB＝，过M点作MP⊥直线AB于P，交⊙M于Q，此时线段PQ的值最小，证Rt△MBP∽Rt△ABO，利用相似比计算出MP＝，则PQ ＝，即线段PQ的最小值为．【解答】解：解方程组得，∴P点坐标为（3a﹣1，4a+2），设x＝3a﹣1，y＝4a+2，∴y＝x+，即点P为直线y＝x+上一动点，设直线y＝x+与坐标的交点为A、B，如图，则A（﹣，0），B（0，），∴AB＝＝，过M点作MP⊥直线AB于P，交⊙M于Q，此时线段PQ的值最小，∵∠MBP＝∠ABO，∴Rt△MBP∽Rt△ABO，∴MP：OA＝BM：AB，即MP：＝：，∴MP＝，∴PQ＝﹣1＝，即线段PQ的最小值为．故选：C．5．【分析】连结BD，由四边形EBCD的面积是△ABE面积的3倍得平行四边形ABCD的面积是△ABE面积的4倍，根据平行四边形的性质得S△ABD＝2S△ABE，则AD＝2AE，即点E为AD的中点，E点坐标为（0，2），A点坐标为（﹣，0），利用线段中点坐标公式得D点坐标为，再利用反比例函数图象上点的坐标特征得k的值．【解答】解：如图，连结BD，∵四边形EBCD的面积是△ABE面积的3倍，∴平行四边形ABCD的面积是△ABE面积的4倍，∴S△ABD＝2S△ABE，∴AD＝2AE，即点E为AD的中点，∵E点坐标为（0，2），A点坐标为（﹣，0），∴D点坐标为（，4），∵顶点D在双曲线y＝（x＞0）上，∴k＝×4＝6，故选：B．6．【分析】将△AMD绕点A逆时针旋转60°得到△AM’D’，MD＝M’D’，易得到△ADD’和△AMM’均为等边三角形，推出AM＝MM’可得MA+MD+ME＝D’M+MM’+ME，共线时最短；由于点E也为动点，可得当D’E⊥BC时最短，此时易求得D’E＝DG+GE 的值；【解答】解：将△AMD绕点A逆时针旋转60°得到△AM’D’，MD＝M’D’，易得到△ADD’和△AMM’均为等边三角形，∴AM＝MM’，∴MA+MD+ME＝D’M+MM’+ME，∴D′M、MM′、ME共线时最短，由于点E也为动点，∴当D’E⊥BC时最短，此时易求得D’E＝DG+GE＝4+3，∴MA+MD+ME的最小值为4+3．故选：B．二、填空题．【分析】如图作点D关于BC的对称点D′，连接PD′，ED′．由DP＝PD′，推出PD+PF ＝PD′+PF，又EF＝EA＝2是定值，即可推出当E、F、P、D′共线时，PF+PD′定值最小，最小值＝ED′﹣EF．【解答】解：如图作点D关于BC的对称点D′，连接PD′，ED′．在Rt△EDD′中，∵DE＝6，DD′＝8，∴ED′＝＝10，∵DP＝PD′，∴PD+PF＝PD′+PF，∵EF＝EA＝2是定值，∴当E、F、P、D′共线时，PF+PD′定值最小，最小值＝10﹣2＝8，∴PF+PD的最小值为8，故答案为8．2．【分析】不能用全等、相似的判定和性质求得AC的情况下，考虑构造直角三角形用勾股定理来求，故过点C作AB垂线CF．由于△ABD三边确定，可用勾股定理列方程求得AB边上的高DE的长．根据平行线间距离处处相等，即有CF＝DE，进而求得BF和AF，再在Rt△ACF中用勾股定理求AC．【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB交AB延长线于点F∴∠AED＝∠BED＝∠F＝90°设AE＝x，∵AB＝BC＝BD＝2，AD＝1∴BE＝AB﹣AE＝2﹣x∵在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，在Rt△BDE中，BE2+DE2＝BD2∴DE2＝AD2﹣AE2＝BD2﹣BE2得：12﹣x2＝22﹣（2﹣x）2解得：x＝∴DE2＝AD2﹣AE2＝12﹣（）2＝∵AB∥CD∴CF＝DE∴在Rt△BCF中，BF＝∴AF＝AB+BF＝2+＝∴在Rt△ACF中，AC＝3．【分析】由平行线的性质得∠OAB＝∠OCD，∠OBA＝∠ODC，两个对应角相等证明△OAB∽△OCD，其性质得，再根据三角形的面积公式，等式的性质求出m＝，线段的中点，反比例函数的性质求出k的值为6．【解答】解：如图所示：∵AB∥CD，∴∠OAB＝∠OCD，∠OBA＝∠ODC，∴△OAB∽△OCD，∴，若＝m，由OB＝m•OD，OA＝m•OC，又∵，，∴＝，又∵S△OAB＝8，S△OCD＝18，∴，解得：m＝或m＝（舍去），设点A、B的坐标分别为（0，a），（0，b），∵，∴点C的坐标为（0，﹣a），又∵点E是线段BC的中点，∴点E的坐标为（），又∵点E在反比例函数上，∴＝﹣＝，故答案为6．4．【分析】根据菱形的性质得到AB＝1，∠ABD＝30°，根据平移的性质得到A′B′＝AB ＝1，A′B′∥AB，推出四边形A′B′CD是平行四边形，得到A′D＝B′C，于是得到A'C+B'C的最小值＝A′C+A′D的最小值，根据平移的性质得到点A′在过点A且平行于BD的定直线上，作点D关于定直线的对称点E，连接CE交定直线于A′，则CE 的长度即为A'C+B'C的最小值，求得DE＝CD，得到∠E＝∠DCE＝30°，于是得到结论．【解答】解：∵在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴AB＝CD＝1，∠ABD＝30°，∵将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，∴A′B′＝AB＝1，A′B′∥AB，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAD＝120°，∴A′B′＝CD，A′B′∥CD，∴四边形A′B′CD是平行四边形，∴A′D＝B′C，∴A'C+B'C的最小值＝A′C+A′D的最小值，∵点A′在过点A且平行于BD的定直线上，∴作点D关于定直线的对称点E，连接CE交定直线于A′，则CE的长度即为A'C+B'C的最小值，∵∠A′AD＝∠ADB＝30°，AD＝1，∴∠ADE＝60°，DH＝EH＝AD＝，∴DE＝CD，∵∠CDE＝∠EDB′+∠CDB＝90°+30°＝120°，∴∠E＝∠DCE＝30°，∴CE＝2×CD＝．故答案为：．5．【分析】由题意P A＝AB＝AC＝m，求出P A的最大值和最小值即可解决问题；【解答】解：∵A（0，1），B（0，1+m），C（0，1﹣m）（m＞0），∴AB＝AC＝m，∵∠BPC＝90°，∴P A＝AB＝AC，∵D（﹣4，﹣2），A（0，1），∴AD＝＝5，∵点P在⊙D上运动，∴P A的最小值为5﹣，P A的最大值为5+，∴满足条件的m的取值范围为：5﹣≤m≤5+故答案为5﹣≤m≤5+．6．【分析】过Q作QE⊥AB于E，在EP上截取EF＝EQ，连接QF，依据全等三角形的性质，即可得到AF＝PE＝10（定值），依据△EFQ是等腰直角三角形，可得FQ与FB的夹角始终为45°，进而得到当BQ⊥FQ时，BQ的长最小，根据△BQF是等腰直角三角形，即可得到BQ的长度．【解答】解：如图所示，过Q作QE⊥AB于E，在EP上截取EF＝EQ，连接QF，∵△DPQ是等腰直角三角形，四边形ABCD是矩形，∴DP＝PQ，∠A＝∠PEQ，∠ADP＝∠EPQ，∴△ADP≌△EPQ（AAS），∴AP＝QE＝FE，AD＝PE＝10，∴AF＝PE＝10（定值），又∵△EFQ是等腰直角三角形，∴∠QFE＝45°，即FQ与FB的夹角始终为45°，如图，当BQ⊥FQ时，BQ的长最小，此时，△BQF是等腰直角三角形，又∵QE⊥BF，∴BE＝EF＝QE＝AP，∴BE＝AP＝＝，∴BF＝5，∴BQ＝cos45°×BF＝，即BQ的最小值为，故答案为：．三、解答题1．【分析】（1）先构造出△CDN≌△CBE（SAS），得出CN＝CE，∠DCN＝∠BCE，进而判断出△FCN≌△FCE，即可得出结论；（2）利用等式的性质得出∠AHC＝∠ACG，进而判断出△ACH∽△AGC，即可得出结论；（3）分三种情况，①当HC＝HG时，判断出△HCD≌△GHA（AAS），得出AH＝CD＝2，HD＝AG＝4，再判断出△AFG∽△BCG，即可得出结论；②当GC＝GH时，判断出△GBC≌△HAG（AAS），得出AG＝BC＝2＝AB，进而判断出AF是三角形BCG的中位线，即可得出结论；③当CG＝CH时，先判断出△CAG≌△CAH（SAS），得出∠DCF＝∠ACF＝22.5°，在CD上取点M使DM＝DF＝m，得出MF＝CM＝m，再判断出CM＝MF，得出m+m ＝2，即可得出结论．【解答】（1）证明：如图，延长AD至N，使DN＝BE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠CDN＝∠B＝90°，CD＝CB，∴△CDN≌△CBE（SAS），∴CN＝CE，∠DCN＝∠BCE，∵∠ECF＝45°，∴∠DCF+∠BCE＝45°，∴∠DCF+DCN＝45°＝∠FCN，∴∠FCN＝∠FCE，∵CF＝CF，∴△FCN≌△FCE，∴FN＝EF，∴△AEF的周长为AE+AF+EF＝AB﹣BE+AF+FN＝AB﹣BE+AF+DF+DN＝AB﹣BE+AF+DF+BE＝AB+AD＝2AB＝4是定值；（2）∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠CAD＝∠CAB＝45°，∴∠CAH＝∠CAG＝135°，又∵∠DAC＝∠AHC+∠ACH＝45°，∠ECF＝∠ACF+∠ACH＝45°，∴∠AHC＝∠ACG，∴△ACH∽△AGC，∴，∴AC2＝AG•AH，∵正方形ABCD的边长为2，∴AC＝2，∴AG•AH＝8；（3）①当HC＝HG时，∴∠HGC＝∠HCG＝45°，∴∠CHG＝90°，∴∠CHD+∠AHG＝90°，∴∠CHD+∠DCH＝90°，∴∠DCH＝∠AHG，∵∠CDH＝∠HAG＝90°∴△HCD≌△GHA（AAS）∴AH＝CD＝2，HD＝AG＝4，∵AF∥BC，∴△AFG∽△BCG，∴，∴，∴AF＝，②当GC＝GH时，∴∠CHG＝∠HCG＝45°，∴∠CGH＝90°，∴∠BGC+∠AGH＝90°，∵∠BGC+∠BCG＝90°，∴∠BCG＝∠AGH，∵∠CBG＝∠GAH＝90°，∴△GBC≌△HAG（AAS），∴AG＝BC＝2＝AB，∵AF∥BC，∴CF＝GF，∴AF＝BC＝1；③当CG＝CH时，∴∠CGH＝∠CHG，∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠DAC＝∠BAC＝45°，∴∠CAG＝∠CAH＝135°，∵CA＝CA，∴△CAG≌△CAH（SAS），∴∠DCF＝∠ACF＝22.5°如备用图，在CD上取点M使DM＝DF＝m，连接MF，∴MF＝CM＝m，∠DFM＝45°＝∠CFM+∠DCF＝∠CFM+22.5°，∴∠CFM＝22.5°＝∠DCF，∴CM＝MF，∴m+m＝2 ∴m＝2﹣2，∴AF＝AD﹣DF＝4﹣2综上所述：当△CGH是等腰三角形时，AF的值为或1或4﹣2．2．【分析】（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式，再利用配方法可求出顶点D的坐标；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，过点D作DE∥BC，交抛物线于点E，则S△BCE＝S△BCD，由点B，C的坐标，利用待定系数法可求出直线BC的解析式，由BC∥DE结合点D的坐标可得出直线DE的解析式，再连接直线DE和抛物线的解析式成方程组，通过解方程组可求出点E的坐标；（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点M的坐标，过点M作MF⊥直线BC于点F，交y轴于点P，过点B作BN⊥直线BC，交y轴于点N，由OC＝OB结合BN⊥直线BC可得出点N的坐标，由点B，N的坐标，利用待定系数法可求出直线BN的解析式，由MF∥BN结合点M的坐标可得出直线MF的解析式，联立直线MF和直线BC的解析式成方程组，通过解方程组可求出点F的坐标，进而可求出MF的长度，由∠PCF＝45°，∠PFC＝90°可得出△PCF为等腰直角三角形，进而可得出PF＝PC，结合点到直线之间垂直线段最短可得出当MF⊥BC时，MP+PC取得最小值，最小值为MF的长度，此题得解．【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3，得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴顶点D的坐标为（1，﹣4）．（2）当x＝0时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，∴点C的坐标为（0，﹣3）．过点D作DE∥BC，交抛物线于点E，则S△BCE＝S△BCD，如图1所示．设直线BC的解析式为y＝kx+c（k≠0），将B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝kx+c，得：，解得：，∴直线BC的解析式为y＝x﹣3．∵BC∥DE，∴设直线DE的解析式为y＝x+d，将D（1，﹣4）代入y＝x+d，得：﹣4＝1+d，解得：d＝﹣5，∴直线DE的解析式为y＝x﹣5．连接直线DE和抛物线的解析式成方程组，得：，解得：，，∴在线段BC下方的抛物线上，存在异于点D的点E，使S△BCE＝S△BCD，点E的坐标为（2，﹣3）．（3）当x＝﹣时，y＝x2﹣2x﹣3＝，∴点M的坐标为（﹣，）．过点M作MF⊥直线BC于点F，交y轴于点P，过点B作BN⊥直线BC，交y轴于点N，如图2所示．∵OB＝OC，∴∠BCO＝45°，∴∠BNC＝45°＝∠BCO，∴ON＝OC＝3，∴点N的坐标为（0，3）．设直线BN的解析式为y＝nx+t（n≠0），将B（3，0），N（0，3）代入y＝nx+t，得：，解得：，∴直线BN的解析式为y＝﹣x+3．设直线MF的解析式为y＝﹣x+q，将M（﹣，）代入y＝﹣x+q，得：+q＝，解得：q＝，∴直线MF的解析式为y＝﹣x+．联立直线MF和直线BC的解析式成方程组，得：，解得：，∴点F的坐标为（，﹣），∴MF＝＝．∵∠PCF＝45°，∠PFC＝90°，∴△PCF为等腰直角三角形，∴PF＝PC，∴当MF⊥BC时，MP+PC＝MP+PF＝MF最小，最小值为．3．【分析】（1）先根据一次函数解析式确定A（4，0），B（0，﹣2），再利用待定系数法求抛物线解析式；然后解方程﹣x2+x﹣2＝0得C点坐标；（2）如图2，先证明△PDE∽△OAB．利用相似比得到PD＝2PE．设P（m，﹣m2+m ﹣2），则E（m，m﹣2）．再利用m表示出PD+PE得到PD+PE＝3×[﹣m2+m﹣2﹣（m﹣2）]，然后根据二次函数的性质解决问题；（3）讨论：当点M在直线AB上方时，根据圆周角定理可判断点M在△ABC的外接圆上，如图1，由于抛物线的对称轴垂直平分AC，则△ABC的外接圆O1的圆心在对称轴上，设圆心O1的坐标为（，﹣t），根据半径相等得到（）2+（﹣t+2）2＝（﹣4）2+t2，解方程求出t得到圆心O1的坐标为（，﹣2），然后确定⊙O1的半径半径为．从而得到此时M点坐标；当点M在在直线AB下方时，作O1关于AB的对称点O2，如图2，通过证明∠O1AB＝∠OAB可判断O2在x轴上，则点O2的坐标为（，0），然后计算出DM即可得到此时M点坐标．【解答】解：（1）令y＝＝0，解得x＝4，则A（4，0）．令x＝0，得y＝﹣2，则B（0，﹣2）；∵二次函数y＝的图象经过A、B两点，∴，解得∴二次函数的关系式为y＝﹣x2+x﹣2；当y＝0时，﹣x2+x﹣2＝0，解得x1＝1，x2＝4，则C（1，0）；（2）如图2，∵PD∥x轴，PE∥y轴，∴∠PDE＝∠OAB，∠PED＝∠OBA．∴△PDE∽△OAB．∴＝＝＝2，∴PD＝2PE．设P（m，﹣m2+m﹣2），则E（m，m﹣2）．∴PD+PE＝3PE＝3×[﹣m2+m﹣2﹣（m﹣2）]＝﹣m2+6m＝﹣（m﹣2）2+6；∵0＜m＜4，∴当m＝2时，PD+PE有最大值6；（3）当点M在直线AB上方时，则点M在△ABC的外接圆上，如图1．∵△ABC的外接圆O1的圆心在对称轴上，设圆心O1的坐标为（，﹣t），∵O1B＝O1A，∴（）2+（﹣t+2）2＝（﹣4）2+t2，解得t＝2．∴圆心O1的坐标为（，﹣2）．∴O1A＝＝，即⊙O1的半径半径为．此时M点坐标为（，）；当点M在在直线AB下方时，作O1关于AB的对称点O2，如图2．∵AO1＝O1B＝，∴∠O1AB＝∠O1BA．∵O1B∥x轴，∴∠O1BA＝∠OAB．∴∠O1AB＝∠OAB，O2在x轴上，∴点O2的坐标为（，0）．∴O2D＝1，∴DM＝＝．此时点M的坐标为（，）．综上所述，点M的坐标为（，）或（，）．4．【分析】（1）在Rt△ABD中，依据勾股定理可求得BD的长，然后依据MD＝ED•cos∠MDE，cos∠MDE＝cos∠ADB＝，由此即可解决问题．（2）①可分为点E在AD上，点E在AD的延长线上画出图形，然后再依据MC＝MD，CM＝CD、DM＝DC三种情况求解即可；②当t＝0时，圆心O在AB边上．当圆心O在CD边上时，过点E作EH∥CD交BD的延长线与点H．先求得DH的长，然后依据平行线分线段成比例定理可得到DF＝DH，然后依据DF＝DH列出关于t的方程，从而可求得t的值，故此可得到t的取值范围．【解答】解：（1）如图1所示：连接ME．∵AE＝t，AD＝8，∴ED＝AD﹣AE＝8﹣t．∵EF为⊙O的直径，∴∠EMF＝90°．∴∠EMD＝90°．∴MD＝ED•cos∠MDE＝．（2）①a、如图2所示：连接MC．当DM＝CD＝6时，＝6，解得t＝；b、如图3所示：当MC＝MD时，连接MC，过点M作MN⊥CD，垂足为N．∵MC＝MD，MN⊥CD，∴DN＝NC．∵MN⊥CD，BC⊥CD，∴BC∥MN．∴M为BD的中点．∴MD＝5，即＝5，解得t＝；c、如图4所示：CM＝CD时，过点C作CG⊥DM．∵CM＝CD，CG⊥MD，∴GD＝MD＝．∵＝，∴DG＝CD＝．∴＝．解得：t＝﹣1（舍去）．d、如图5所示：当CD＝DM时，连接EM．∵AE＝t，AD＝8，∴DE＝t﹣8．∵EF为⊙O的直径，∴EM⊥DM．∴DM＝ED•cos∠EDM＝．∴＝6，解得：t＝．综上所述，当t＝或t＝或t＝时，△DCM为等腰三角形．②当t＝0时，圆心O在AB边上．如图6所示：当圆心O在CD边上时，过点E作EH∥CD交BD的延长线与点H．∵HE∥CD，OF＝OE，∴DF＝DH．∵DH＝＝，DF＝10﹣t，∴＝10﹣t．解得：t＝．综上所述，在整个运动过程中圆心O处在矩形ABCD内（包括边界）时，t的取值范围为0≤t≤．5．【分析】（1）由图1和图2直接确定出AD；（2）先利用互余即可得出∠BAP＝∠DGA，进而判断出△ABP∽△DGA即可确定出函数关系式；（3）分三种情况利用等腰三角形的性质和勾股定理求出x的值，即可求出y的值．【解答】解：（1）如图，当点P在AB上移动时，点P到P A的距离不变，当点P从B点向C点移动时，点D到P A的距离在变化，由图2知，AD＝10，（2）∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABP＝∠BAD＝90°，∵DG⊥AP，∴∠AGD＝90°，∴∠ABP＝∠DGA，∵∠BAP+∠GAD＝90°，∠CAG+∠ADG＝90°，∴∠BAP＝∠DGA，∴△ABP∽△DGA，∴，∵AB＝6，AP＝x，DG＝y，AD＝10，∴，∴y＝（6＜x≤2）；即：图2中C2段图象的函数解析式y＝（6＜x≤2）；（3）∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝6，BC＝AD＝10，∠ABC＝∠DCB＝90°，当AD＝AP时，∵AD＝10，∴x＝AP＝10，∴y＝＝6，当AD＝DP时，∴DP＝10，在Rt△DCP中，CD＝AB＝6，DP＝10，∴CP＝8，∴BP＝BC﹣CP＝2，在Rt△ABP中，根据勾股定理得，x＝AP＝＝＝2，∴y＝＝＝3，当AP＝DP时，点P是线段AD的垂直平分线，∴点P是BC的中点，∴BP＝BC＝AD＝5，在Rt△ABP中，根据勾股定理得，x＝AP＝＝＝，∴y＝＝＝．6．【分析】（1）将点B的坐标代入到抛物线的解析式中即可求得a值，从而求得其解析式；（2）利用两点坐标求得线段AB的长，然后利用平行四边形的对边相等求得t＝5时，四边形ABOP为平行四边形；若四边形ABOP为等腰梯形，连接AP，过点P作PG⊥AB，过点O作OH⊥AB，垂足分别为G、H，根据△APG≌△BOH求得线段OP＝GH＝AB﹣2BH＝．（3）首先判定四边形ABOD是平行四边形，然后确定S△DOC＝×5×4＝10．过点P作PN⊥BC，垂足为N，利用△OPN∽△BOH得到PN＝t，然后表示出四边形CDPQ的面积S＝S△DOC﹣S△OPQ＝10﹣×（5﹣2t）×t＝t2﹣2 t+10，从而得到当t＝时，四边形CDPQ的面积S最小．然后得到点P的坐标是（﹣，﹣1），点Q的坐标是（﹣，0），利用两点坐标公式确定PQ的长即可．【解答】解：（1）把（1，0）代入y＝a（x+2）2﹣4，得a＝．∴y＝（x+2）2﹣4，即y＝x2+x﹣；（2）由题意得OP＝t，AB＝＝5，若OB∥AP，即四边形ABOP为平行四边形时，OB＝AP，且OP＝AB＝5，即当t＝5时，OB＝AP，若OB不平行于AP，即四边形ABOP为等腰梯形时，OB＝AP，连接AP，过点P作PG ⊥AB，过点O作OH⊥AB，垂足分别为G、H，∴△APG≌△BOH，在Rt△OBM中，∵OM＝，OB＝1，∴BM＝，∴OH＝，∴BH＝，∴OP＝GH＝AB﹣2BH＝，即当t＝时，OB＝AP；（3）将y＝0代入y＝x2+x﹣，得x2+x﹣＝0，解得x＝1或﹣5．∴C（﹣5，0）．∴OC＝5，∵OM∥AB，AD∥x轴，∴四边形ABOD是平行四边形，∴AD＝OB＝1，∴点D的坐标是（﹣3，﹣4），∴S△DOC＝×5×4＝10，过点P作PN⊥BC，垂足为N．易证△OPN∽△BOH，∴＝，即＝，∴PN＝t，∴四边形CDPQ的面积S＝S△DOC﹣S△OPQ＝10﹣×（5﹣2t）×t＝t2﹣2t+10，∴当t＝时，四边形CDPQ的面积S最小，此时，点P的坐标是（﹣，﹣1），点Q的坐标是（﹣，0），∴PQ＝＝．。
2022中考数学压轴题专题突破05 一次函数问题
一、单选题1．晓琳和爸爸到太子河公园运动，两人同时从家出发，沿相同路线前行，途中爸爸有事返回，晓琳继续前行5分钟后也原路返回，两人恰好同时到家.晓琳和爸爸在整个运动过程中离家的路程y1（米），y2（米）与运动时间x（分）之间的函数关系如图所示，下列结论：①两人同行过程中的速度为200米/分；②m的值是15，n的值是3000；③晓琳开始返回时与爸爸相距1800米；④运动18分钟或30分钟时，两人相距900米.其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C④设爸爸返回的解析式为y2=kx+b，把（15，3000）（45，0）代入得,解得∴y2=-100x+4500∴当0≤x≤20时，y1=200xy1-y2=900∴200x-（-100x+4500）=900∴x=18当20≤x≤45时，y1=ax+b，将（20，4000）（45，0）代入得,∴y1=-160x+7200y1-y2=900 ,（-160x+7200）-（-100x+4500）=900,x=30∴④正确故选：C．【关键点拨】本题考查了一次函数的应用，明确横纵坐标的实际意义是解题得关键.2．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=﹣x+1与x轴，y轴分别交于点A和点B，直线l2：y=kx（k≠0）与直线l1在第一象限交于点C．若∠BOC=∠BCO，则k的值为（）A．B．C．D．2【答案】B得：k，即k．故选B．【关键点拨】本题考查了两直线相交或平行问题，两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．3．某通讯公司就上宽带网推出A，B，C三种月收费方式．这三种收费方式每月所需的费用y（元与上网时间x(h)的函数关系如图所示，则下列判断错误的是A．每月上网时间不足25h时，选择A方式最省钱B．每月上网费用为60元时，B方式可上网的时间比A方式多C．每月上网时间为35h时，选择B方式最省钱D．每月上网时间超过70h时，选择C方式最省钱【答案】D将（50，50）、（55，65）代入y B=mx+n，得：，解得：，∴y B=3x-100（x≥50），当x=70时，y B=3x-100=110＜120，∴结论D错误．故选D．【关键点拨】本题考查了函数的图象、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，观察函数图象，利用一次函数的有关知识逐一分析四个选项的正误是解题的关键．4．如图，已知直线l：y=2x，分别过x轴上的点A1（1，0）、A2（2，0）、…、A n（n，0），作垂直于x轴的直线交l于点B1、B2、…、B n，将△OA1B1，四边形A1A2B2B1、…、四边形A n−1A n B n B n−1的面积依次记为S1、S2、…、S n，则S n=（）A．n2B．2n+1C．2n D．2n−1【答案】D5．如图，点A的坐标为（-1，0），点B在直线上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为（）A．（0，0）B．（，）C．（，）D．（，）【答案】B【关键点拨】本题考查了一次函数的性质，坐标与图形性质，垂线段最短，等腰直角三角形等知识，熟练掌握垂线段最短是解决本题的关键.6．如图，直线y=kx+3经过点（2，0），则关于x的不等式kx+3＞0的解集是（）A．x＞2B．x＜2C．x≥2D．x≤2【答案】B【关键点拨】本题考查了一次函数的图象与性质和一元一次不等式及其解法，解题的关键是掌握一次函数与一元一次不等式之间的内在联系.7．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在第一象限，点、的坐标分别为、，，，直线交轴于点，若与关于点成中心对称，则点的坐标为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵点B，C的坐标分别为（2，1），（6，1），∠BAC=90°，AB=AC，∴△ABC是等腰直角三角形，∴A（4，3），设直线AB解析式为y=kx+b，则，解得，∴直线AB解析式为y=x﹣1，令x=0，则y=﹣1，∴P（0，﹣1），又∵点A与点A'关于点P成中心对称，∴点P为AA'的中点，设A'（m，n），则=0，=﹣1，∴m=﹣4，n=﹣5，∴A'（﹣4，﹣5），故选：A．【关键点拨】本题考查了中心对称和等腰直角三角形的运用，利用待定系数法得出直线AB的解析式是解题的关键.8．春季是传染病多发的季节，积极预防传染病是学校高度重视的一项工作，为此，某校对学生宿舍采取喷洒药物进行消毒.在对某宿舍进行消毒的过程中，先经过的集中药物喷洒，再封闭宿舍，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量与药物在空气中的持续时间之间的函数关系，在打开门窗通风前分别满足两个一次函数，在通风后又成反比例，如图所示.下面四个选项中错误的是（）A．经过集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到B．室内空气中的含药量不低于的持续时间达到了C．当室内空气中的含药量不低于且持续时间不低于35分钟，才能有效杀灭某种传染病毒.此次消毒完全有效D．当室内空气中的含药量低于时，对人体才是安全的，所以从室内空气中的含药量达到开始，需经过后，学生才能进入室内【答案】C【关键点拨】本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型.9．已知一系列直线分别与直线相交于一系列点，设的横坐标为，则对于式子，下列一定正确的是( ) A．大于1 B．大于0 C．小于－1 D．小于0【答案】B【解析】由题意x i=-，x j=-，∴式子＞0，故选：B．【关键点拨】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．10．如图1，点F从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→D→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，图2是点F 运动时，△FBC的面积y（cm2）随时间x（s）变化的关系图象，则a的值为（）A．B．2 C．D．2【答案】CBE=，∵四边形ABCD是菱形，∴EC=a-1，DC=a，Rt△DEC中，a2=22+（a-1）2.解得a=.故选：C．【关键点拨】本题综合考查了菱形性质和一次函数图象性质，解答过程中要注意函数图象变化与动点位置之间的关系．11．如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P是以C（﹣1，0）为圆心，1为半径的圆上一点，连接PA，PB，则△PAB面积的最小值是（）A．5B．10C．15D．20【答案】A【解析】作CH⊥AB于H交⊙O于E、F．连接BC．【关键点拨】本题考查了一次函数图象上的点的坐标特征、一次函数的性质、直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用直线与圆的位置关系解决问题，属于中考填空题中的压轴题．12．如图，正方形ABCD中，E为CD的中点，AE的垂直平分线分别交AD，BC及AB的延长线于点F，G，H，连接HE，HC，OD，连接CO并延长交AD于点M．则下列结论中：①FG=2AO；②OD∥HE；③；④2OE2=AH•DE；⑤GO+BH=HC正确结论的个数有（）A．2B．3C．4D．5【答案】B同理可得：直线CO的方程为：，可得M点坐标（，2），可得：①FG=,AO==,故FG=2AO，故①正确；②：由O点坐标，D点坐标（2，2），可得OD的方程：，由H点坐标(0,)，E点坐标（2，1），可得HE方程：，由两方程的斜率不相等，可得OD不平行于HE，故②错误；③由A(0,2)，M（，2），H(0,)，E（2，1），可得：BH=,EC=1,AM=,MD=,故=，故③正确；④：由O点坐标，E（2，1），H(0,)，D(2,2),可得：,AH=,DE=1,有2OE2=AH•DE，故④正确；【关键点拨】本题主要考查一次函数与矩形的综合，及点与点之间的距离公式，难度较大，灵活建立直角坐标系是解题的关键.二、填空题13．如图，在平面直角坐标系xOy中，有一个由六个边长为1的正方形组成的图案，其中点A，B的坐标分别为(3,5)，(6,1)．若过原点的直线l将这个图案分成面积相等的两部分，则直线l的函数解析式为_____．【答案】【解析】【关键点拨】本题考查了中心对称图形的性质、待定系数法求解析式，熟知过中心对称图形对称中心的直线把这个图形分成面积相等的两个图形是解题的关键.14．如图，一次函数y=﹣x﹣2与y=2x+m的图象相交于点P（n，﹣4），则关于x的不等式组的解集为_____．【答案】﹣2＜x＜2【解析】∵一次函数y=﹣x﹣2的图象过点P（n，﹣4），∴﹣4=﹣n﹣2，解得n=2，∴P（2，﹣4），又∵y=﹣x﹣2与x轴的交点是（﹣2，0），∴关于x的不等式组的解集为故答案为：【关键点拨】本题考查了一次函数与一元一次不等式，体现了数形结合的思想方法，准确确定出n的值，是解答本题的关键．15．如图，直线与两坐标轴分别交于、两点，将线段分成等份，分点分别为，，P3,，… ，过每个分点作轴的垂线分别交直线于点，，，… ，用，，，…，分别表示，，…，的面积，则___________.【答案】【关键点拨】本题考查一次函数的应用，规律型−点的坐标、三角形的面积、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分割法求阴影部分面积．16．如图，直线y1=-x+a与y2=bx-4相交于点P,已知点P的坐标为（1，-3），则关于x的不等式-x+a<bx-4的解集是_______.【答案】【关键点拨】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，解决这类题目的关键是找出两个函数图像的交点坐标，再根据图象的位置确定x的取值范围.17．如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，依次进行下去，则点的横坐标为__．【答案】【关键点拨】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出题目中点的横坐标的变化规律．18．如图所示，一次函数y=ax+b的图象与x轴相交于点（2，0），与y轴相交于点（0，4），结合图象可知，关于x的方程ax+b=0的解是_____．【答案】x=2【解析】∵一次函数y=ax+b的图象与x轴相交于点（2，0），∴关于x的方程ax+b=0的解是x=2，故答案为：x=2．【关键点拨】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0 （a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值．19．规定：[x]表示不大于x的最大整数，（x）表示不小于x的最小整数，[x）表示最接近x的整数（x≠n+0.5，n为整数），例如：[2.3]=2，（2.3）=3，[2.3）=2．则下列说法正确的是________．（写出所有正确说法的序号）①当x=1.7时，[x]+（x）+[x）=6；②当x=﹣2.1时，[x]+（x）+[x）=﹣7；③方程4[x]+3（x）+[x）=11的解为1＜x＜1.5；④当﹣1＜x＜1时，函数y=[x]+（x）+x的图象与正比例函数y=4x的图象有两个交点．【答案】②③④∵﹣1＜x＜1时，∴当﹣1＜x＜﹣0.5时，y=[x]+（x）+x=﹣1+0+x=x﹣1，当﹣0.5＜x＜0时，y=[x]+（x）+x=﹣1+0+x=x﹣1，当x=0时，y=[x]+（x）+x=0+0+0=0，当0＜x＜0.5时，y=[x]+（x）+x=0+1+x=x+1，当0.5＜x＜1时，y=[x]+（x）+x=0+1+x=x+1，∵y=4x，则x﹣1=4x时，得x=；x+1=4x时，得x=；当x=0时，y=4x=0，∴当﹣1＜x＜1时，函数y=[x]+（x）+x的图象与正比例函数y=4x的图象有三个交点，故④错误，故答案为：②③．20．一天早晨，小玲从家出发匀速步行到学校，小玲出发一段时间后，她的妈妈发现小玲忘带了一件必需的学习用品，于是立即下楼骑自行车，沿小玲行进的路线，匀速去追小玲，妈妈追上小玲将学习用品交给小玲后，立即沿原路线匀速返回家里，但由于路上行人渐多，妈妈返回时骑车的速度只是原来速度的一半，小玲继续以原速度步行前往学校，妈妈与小玲之间的距离y（米）与小玲从家出发后步行的时间x（分）之间的关系如图所示（小玲和妈妈上、下楼以及妈妈交学习用品给小玲耽搁的时间忽略不计）．当妈妈刚回到家时，小玲离学校的距离为_____米．【答案】200【关键点拨】本题考查了一次函数的图象的性质的运用，路程=速度×时间之间的关系的运用，分别求小玲和妈妈的速度是关键，解答时熟悉并理解函数的图象．21．已知直线l1：y=（k﹣1）x+k+1和直线l2：y=kx+k+2，其中k为不小于2的自然数．（1）当k=2时，直线l1、l2与x轴围成的三角形的面积S2=______；（2）当k=2、3、4，……，2018时，设直线l1、l2与x轴围成的三角形的面积分别为S2，S3，S4，……，S2018，则S2+S3+S4+……+S2018=______．【答案】 1【解析】当y=0时，有（k-1）x+k+1=0，解得：x=-1-，∴直线l1与x轴的交点坐标为（-1-，0），同理，可得出：直线l2与x轴的交点坐标为（-1-，0），∴两直线与x轴交点间的距离d=-1--（-1-）=-．联立直线l1、l2成方程组，得：，解得：，∴直线l1、l2的交点坐标为（-1，-2）．（1）当k=2时，d=-=1，∴S2=×|-2|d=1．故答案为：1．【关键点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及规律型中图形的变化类，利用一次函数图象上点的坐标特征求出两直线与x轴交点间的距离是解题的关键．22．如图，射线OM在第一象限，且与x轴正半轴的夹角为60°，过点D（6,0)作DA⊥OM于点A，作线段OD的垂直平分线BE交x轴于点E,交AD于点B,作射线OB.以AB为边在△AOB的外侧作正方形ABCA1,延长A1C交射线OB于点B1,以A1B1为边在△A1OB1的外侧作正方形A1B1C1A2,延长A2C1交射线OB于点B2,以A2B2为边在△A2OB2的外侧作正方形A2B2C2A3……按此规律进行下去，则正方形A2017B2017C2017A2018的周长为______________.【答案】【关键点拨】本题考查规律型问题、解直角三角形、点的坐标等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，根据获取的规律解决问题．23．如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，C是OB的中点，D是AB上一点，四边形OEDC是菱形，则△OAE的面积为________．【答案】∴A(,0);∴OA=,设D(x,) ,∴E(x,- x+2),延长DE交OA于点F，∴EF=-x+2,OF=x,在Rt△OEF中利用勾股定理得：,解得：x1=0(舍），x2=；∴EF=1,∴S△AOE=·OA·EF=2.故答案为：.【关键点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数y=kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（-，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．也考查了菱形的性质.三、解答题24．某销售商准备在南充采购一批丝绸，经调查，用10000元采购A型丝绸的件数与用8000元采购B型丝绸的件数相等，一件A型丝绸进价比一件B型丝绸进价多100元．（1）求一件A型、B型丝绸的进价分别为多少元？（2）若销售商购进A型、B型丝绸共50件，其中A型的件数不大于B型的件数，且不少于16件，设购进A型丝绸m件．①求m的取值范围．②已知A型的售价是800元/件，销售成本为2n元/件；B型的售价为600元/件，销售成本为n元/件．如果50≤n≤150，求销售这批丝绸的最大利润w（元）与n（元）的函数关系式.【答案】（1）一件A型、B型丝绸的进价分别为500元，400元；（2）①，②．（2）①根据题意得：，的取值范围为：，②设销售这批丝绸的利润为，根据题意得：，，（Ⅰ）当时，，时，销售这批丝绸的最大利润；（Ⅱ）当时，，销售这批丝绸的最大利润；（Ⅲ）当时，当时，销售这批丝绸的最大利润．综上所述：．【关键点拨】本题综合考察了分式方程、不等式组以及一次函数的相关知识．在第（2）问②中，进一步考查了，如何解决含有字母系数的一次函数最值问题．25．“低碳生活，绿色出行”的理念已深入人心，现在越来越多的人选择骑自行车上下班或外出旅游．周末，小红相约到郊外游玩，她从家出发0.5小时后到达甲地，玩一段时间后按原速前往乙地，刚到达乙地，接到妈妈电话，快速返回家中．小红从家出发到返回家中，行进路程y（km）随时间x（h）变化的函数图象大致如图所示．（1）小红从甲地到乙地骑车的速度为km/h；（2）当1.5≤x≤2.5时，求出路程y（km）关于时间x（h）的函数解析式；并求乙地离小红家多少千米？【答案】（1）20；（2）乙地离小红家30千米.当x=2.5时，解得y=30，∴乙地离小红家30千米.【关键点拨】本题考查一次函数的应用，读懂图象信息，掌握待定系数法是解题的关键.26．某工厂甲、乙两车间接到加工一批零件的任务，从开始加工到完成这项任务共用了9天，乙车间在加工2天后停止加工，引入新设备后继续加工，直到与甲车间同时完成这项任务为止，设甲、乙车间各自加工零件总数为y（件），与甲车间加工时间x（天），y与x之间的关系如图（1）所示．由工厂统计数据可知，甲车间与乙车间加工零件总数之差z（件）与甲车间加工时间x（天）的关系如图（2）所示．（1）甲车间每天加工零件为_____件，图中d值为_____．（2）求出乙车间在引入新设备后加工零件的数量y与x之间的函数关系式．（3）甲车间加工多长时间时，两车间加工零件总数为1000件？【答案】80770∴，解得，∴y=130x﹣400（4≤x≤9）（3）由题意得：80x+130x﹣400=1000，解得：x=答：甲车间加工天时，两车间加工零件总数为1000件【关键点拨】一次函数实际应用问题，关键是根据一次函数图象的实际意义和根据图象确定一次函数关系式解答．27．如图，已知A（6，0），B（8，5），将线段OA平移至CB，点D在x轴正半轴上（不与点A重合），连接OC，AB，CD，BD．（1）求对角线AC的长；（2）设点D的坐标为（x，0），△ODC与△ABD的面积分别记为S1，S2．设S=S1﹣S2，写出S关于x的函数解析式，并探究是否存在点D使S与△DBC的面积相等？如果存在，用坐标形式写出点D的位置；如果不存在，说明理由．【答案】（1）AC=；（2）点D的坐标为（x，0）（x＞6）．∴S=S1﹣S2=-（）=5x﹣15，当点D在OA的延长线上时，S1=，S2==，∴S=S1﹣S2=-（）=15，由上可得，S=，∵S△DBC==15，∴点D在OA的延长线上的任意一点都满足条件，∴点D的坐标为（x，0）（x＞6）．【关键点拨】本题考查一次函数的应用、勾股定理的应用、平移的性质、两点间的距离公式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想和分类讨论的数学思想解答．28．某学校为改善办学条件，计划采购A、B两种型号的空调，已知采购3台A型空调和2台B型空调，需费用39000元；4台A型空调比5台B型空调的费用多6000元．（1）求A型空调和B型空调每台各需多少元；（2）若学校计划采购A、B两种型号空调共30台，且A型空调的台数不少于B型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过217000元，该校共有哪几种采购方案？（3）在（2）的条件下，采用哪一种采购方案可使总费用最低，最低费用是多少元？【答案】（1）A型空调和B型空调每台各需9000元、6000元；（2）共有三种采购方案，方案一：采购A型空调10台，B型空调20台，方案二：采购A型空调11台，B型空调19台，案三：采购A型空调12台，B型空调18台；（3）采购A型空调10台，B型空调20台可使总费用最低，最低费用是210000元．（2）设购买A型空调a台，则购买B型空调（30-a）台，，解得，10≤a≤12，∴a=10、11、12，共有三种采购方案，方案一：采购A型空调10台，B型空调20台，方案二：采购A型空调11台，B型空调19台，方案三：采购A型空调12台，B型空调18台；【关键点拨】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数和不等式的思想解答．29．“绿水青山就是金山银山”，随着生活水平的提高，人们对饮水品质的需求越来越高.孝感市槐荫公司根据市场需求代理、两种型号的净水器，每台型净水器比每台型净水器进价多200元，用5万元购进型净水器与用4.5万元购进型净水器的数量相等.（1）求每台型、型净水器的进价各是多少元；（2）槐荫公司计划购进、两种型号的净水器共50台进行试销，其中型净水器为台，购买资金不超过9.8万元.试销时型净水器每台售价2500元，型净水器每台售价2180元.槐荫公司决定从销售型净水器的利润中按每台捐献元作为公司帮扶贫困村饮水改造资金，设槐荫公司售完50台净水器并捐献扶贫资金后获得的利润为，求的最大值.【答案】（1）型净水器每台进价2000元，型净水器每台进价1800元.（2）的最大值是元.【解析】（1）设A型净水器每台的进价为m元，则B型净水器每台的进价为（m-200）元，根据题意得：，解得：m=2000，经检验，m=2000是分式方程的解，∴m-200=1800．答：A型净水器每台的进价为2000元，B型净水器每台的进价为1800元．【关键点拨】本题考查了分式方程的应用、一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出W关于x的函数关系式．30．某市制米厂接到加工大米任务，要求5天内加工完220吨大米，制米厂安排甲、乙两车间共同完成加工任务，乙车间加工中途停工一段时间维修设备，然后改变加工效率继续加工，直到与甲车间同时完成加工任务为止．设甲、乙两车间各自加工大米数量y（吨）与甲车间加工时间s（天）之间的关系如图（1）所示；未加工大米w（吨）与甲加工时间x（天）之间的关系如图（2）所示，请结合图象回答下列问题：（1）甲车间每天加工大米吨，a=．（2）求乙车间维修设备后，乙车间加工大米数量y（吨）与x（天）之间函数关系式．（3）若55吨大米恰好装满一节车厢，那么加工多长时间装满第一节车厢？再加工多长时间恰好装满第二节车厢？【答案】（1）20，15；（2）y=35x﹣55；（3）再过1天装满第二节车厢.【解析】（1）由图象可知，第一天甲乙共加工220﹣185=35吨，第二天，乙停止工作，甲单独加工185﹣165=20吨，则乙一天加工35﹣20=15吨，a=15，故答案为：20，15；（2）设y=kx+b，把（2，15），（5，120）代入得，解得：，∴y=35x﹣55（2≤x≤5）；【关键点拨】本题为一次函数实际应用问题，应用了待定系数法、分类讨论思想等，解答要注意通过对这两个函数图象实际意义对比分析得到问题答案．31．已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A在x轴的负半轴上，直线y=﹣x+与x轴、y 轴分别交于B、C两点，四边形ABCD为菱形．（1）如图1，求点A的坐标；（2）如图2，连接AC，点P为△ACD内一点，连接AP、BP，BP与AC交于点G，且∠APB=60°，点E 在线段AP上，点F在线段BP上，且BF=AE，连接AF、EF，若∠AFE=30°，求AF2+EF2的值；（3）如图3，在（2）的条件下，当PE=AE时，求点P的坐标．【答案】（1）A（﹣，0）．（2）49；（3）P（﹣，3）【解析】（1）如图1中，（2）如图2中，连接CE、CF．∵OA=OB，CO⊥AB，∴AC=BC=7，∴AB=BC=AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∵∠APB=60°，∴∠APB=∠ACB，∵∠PAG+∠APB=∠AGB=∠CBG+∠ACB，∴∠PAG=∠CBG，∵AE=BF，∴△ACE≌△BCF，∴CE=CF，∠ACE=∠BCF，∴∠ECF=∠ACF+∠ACE=∠ACF+∠BCF=∠ACB=60°，∴△CEF是等边三角形，∴∠CFE=60°，EF=FC，∵∠AFE=30°，∴∠AFC=∠AFE+∠CFE=90°，在Rt△ACF中，AF2+CF2=AC2=49，∴AF2+EF2=49．（3）如图3中，延长CE交FA的延长线于H，作PQ⊥AB于Q，PK⊥OC于K，在BP设截取BT=PA，连接AT、CT、CF、PC．∴△CPE≌△H AE，∴∠PCE=∠H，∴PC∥FH，∵∠CAP=∠CBT，AC=BC，∴△ACP≌△BCT，∴CP=CT，∠ACP=∠BCT，∴∠PCT=∠ACB=60°，∴△CPT是等边三角形，∴CT=PT，∠CPT=∠CTP=60°，∵CP∥FH，∴∠HFP=∠CPT=60°，∵∠APB=60°，∴△APF是等边三角形，∴∠CFP=∠AFC-∠∠AFP=30°，∴∠TCF=∠CTP-∠TFC=30°，∴∠TCF=∠TFC，∴TF=TC=TP，【关键点拨】本题考查一次函数综合题、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、菱形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考压轴题．32．某书店现有资金7700元，计划全部用于购进甲、乙、丙三种图书共20套，其中甲种图书每套500元，乙种图书每套400元，丙种图书每套250元．书店将甲、乙、丙三种图书的售价分别定为每套550元，430元，310元．设书店购进甲种图书x套，乙种图书y套，请解答下列问题：（1）请求出y与x的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）；（2）若书店购进甲、乙两种图书均不少于1套，则该书店有几种进货方案？（3）在（1）和（2）的条件下，根据市场调查，书店决定将三种图书的售价作如下调整：甲种图书的售价不变，乙种图书的售价上调a（a为正整数）元，丙种图书的售价下调a元，这样三种图书全部售出后，所获得的利润比（2）中某方案的利润多出20元，请直接写出书店是按哪种方案进的货及a的值．【答案】（1）y=﹣x+18（2）三种购买方案（3）甲种图书6套，乙种图书8套，丙种图书6套，a=10即有三种购买方案：①甲、乙、丙三种图书分别为3套，13套，4套，②甲、乙、丙三种图书分别为6套，8套，6套，③甲、乙、丙三种图书分别为9套，3套，8套，（3）若按方案一：则有13a﹣4a=20，解得a=（不是正整数，不符合题意），若按方案二：则有8a﹣6a=20，解得a=10（符合题意），若按方案三：则有3a﹣8a=20，解得a=﹣4（不是正整数，不符合题意），所以购买方案是：甲种图书6套，乙种图书8套，丙种图书6套，a=10．【关键点拨】本题主要考查一次函数与不等式等知识的综合，注意运算的准确性及灵活根据题意进行方案选择.33．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=﹣x+4的图象与x轴和y轴分别相交于A、B两点．动点P从点A出发，在线段AO上以每秒3个单位长度的速度向点O作匀速运动，到达点O停止运动，点A关于点P的对称点为点Q，以线段PQ为边向上作正方形PQMN．设运动时间为t秒．（1）当t=秒时，点Q的坐标是；（2）在运动过程中，设正方形PQMN与△AOB重叠部分的面积为S，求S与t的函数表达式；（3）若正方形PQMN对角线的交点为T，请直接写出在运动过程中OT+PT的最小值．【答案】（1）（4，0）；（2）①当0＜t≤1时，S =t2；②当1＜t≤时，S =﹣t2+18t；③当＜t≤2时，S =﹣3t2+12；（3）OT+PT的最小值为．（2）当点Q在原点O时，OQ=6，∴AP=OQ=3，∴t=3÷3=1，①当0＜t≤1时，如图1，令x=0，∴y=4，∴B（0，4），∴OB=4，∵A（6，0），∴OA=6，∴CN=t，∴S=S正方形PQMN﹣S△CDN=（3t）2﹣t×t=t2；②当1＜t≤时，如图2，同①的方法得，DN=t，CN=t，∴S=S矩形OENP﹣S△CDN=3t×（6﹣3t）﹣t×t=﹣t2+18t；③当＜t≤2时，如图3，S=S梯形OBDP=（2t+4）（6﹣3t）=﹣3t2+12；（3）如图4，由运动知，P（6﹣3t，0），Q（6﹣6t，0），∴M（6﹣6t，3t），∵T是正方形PQMN的对角线交点，∴T（6﹣t，t）∴点T是直线y=﹣x+2上的一段线段，（﹣3≤x＜6），作出点O关于直线y=﹣x+2的对称点O'交此直线于G，过点O'作O'F⊥x轴，则O'F就是OT+PT的最小值，由对称知，OO'=2OG，【关键点拨】此题是一次函数综合题，主要考查了正方形的面积，梯形，三角形的面积公式，正方形的性质，勾股定理，锐角三角函数，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键，找出点T的位置是解本题（3）的难点．34．如图，在平面直角坐标系中，点F的坐标为（0，10）．点E的坐标为（20，0），直线l1经过点F和点E，直线l1与直线l2 、y=x相交于点P．（1）求直线l1的表达式和点P的坐标；（2）矩形ABCD的边AB在y轴的正半轴上，点A与点F重合，点B在线段OF上，边AD平行于x 轴，且AB=6，AD=9，将矩形ABCD沿射线FE的方向平移，边AD始终与x 轴平行．已知矩形ABCD以每秒个单位的速度匀速移动（点A移动到点E时止移动），设移动时间为t秒（t＞0）．①矩形ABCD在移动过程中，B、C、D三点中有且只有一个顶点落在直线l1或l2上，请直接写出此时t的值；②若矩形ABCD在移动的过程中，直线CD交直线l1于点N，交直线l2于点M．当△PMN的面积等于18时，请直接写出此时t的值．【答案】（1）直线l1的表达式为y=﹣x+10，点P坐标为（8，6）；（2）①t值为或；②当t=时，△PMN的面积等于18.（2）①如图，当点D在直线上l2时，∵AD=9∴点D与点A的横坐标之差为9，∴将直线l1与直线l2的解析式变形为x=20﹣2y，x=y，∴y﹣（20﹣2y）=9，解得：y=，∴x=20﹣2y=，。
【2020中考数学】选择题-压轴专练30道(含答案详解)
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
2
7．（2019·山东省中考模拟）如图是二次函数 y ax2 bx c(a 0) 图象的一部分，对称轴为 x 1 ，且经 2
5
5
过点（2，0）下列说法：①abc<0；②-2b+c=0；③4a+2b+c<0；④若(- ，y1)，( ，y2)是抛物线上的两点，
2
2
则 y1<y2；⑤ 1 a 1 b >m(am+b)其中(m≠ 1 )其中说法正确的是
42
2
A．①②④⑤
B．③④
C．①③
D．①②⑤
8．（2019·山东省中考模拟）如图，抛物线 y ax2 bx c a 0 的对称轴为 x 1 ，与 x 轴的一个交点 在 3, 0 和 2, 0 之间，其部分图象如图所示，则下列结论：
3
的个数是（ ）
10
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
27．（2019·广东省深圳实验学校初三开学考试）函数 y＝ 4 和 y＝ 1 在第一象限内的图象如图，点 P 是 y＝ 4
②MP= 1 BD；③BN+DQ=NQ；④ AB BN 为定值．其中一定成立的是
2
BM
A．①②③
B．①②④
C．②③④
D．①②③④
17．（2019·浙江省中考模拟）如图，以 G（0，1）为圆心，半径为 2 的圆与 x 轴交于 A、B 两点， 与 y 轴交于 C、D 两点，点 E 为⊙G 上一动点，CF⊥AE 于 F，当点 E 从点 B 出发顺时针运 动到点 D 时，点 F 所经过的路径长为（ ）
9
5，将线段 AP 以点 A 为旋转中心顺时针旋转 60°得到线段 AD，连接 BD，下列结论：
中考数学几何选择填空压轴题精选
中考数学几何选择填空压轴题精选一．选择题（共13小题）1．（2013•蕲春县模拟)如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连接DF交BE的延长线于点H,连接OH交DC于点G,连接HC．则以下四个结论中正确结论的个数为（）①OH=BF；②∠CHF=45°;③GH=BC；④DH2=HE•HB．A．1个B．2个C．3个D．4个2．(2013•连云港模拟）如图，Rt△ABC中，BC=,∠ACB=90°，∠A=30°，D1是斜边AB的中点，过D1作D1E1⊥AC于E1，连结BE1交CD1于D2；过D2作D2E2⊥AC于E2，连结BE2交CD1于D3；过D3作D3E3⊥AC于E3，…,如此继续，可以依次得到点E4、E5、…、E2013，分别记△BCE1、△BCE2、△BCE3、…、△BCE2013的面积为S1、S2、S3、…、S2013．则S2013的大小为（）A．B．C．D．3．如图,梯形ABCD中,AD∥BC，，∠ABC=45°,AE⊥BC于点E，BF⊥AC于点F，交AE于点G，AD=BE，连接DG、CG．以下结论:①△BEG≌△AEC；②∠GAC=∠GCA；③DG=DC；④G为AE中点时，△AGC的面积有最大值．其中正确的结论有( ）A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，正方形ABCD中,在AD的延长线上取点E，F，使DE=AD，DF=BD，连接BF分别交CD，CE于H，G下列结论:①EC=2DG；②∠GDH=∠GHD；③S△CDG=S▭DHGE；④图中有8个等腰三角形．其中正确的是（）A．①③B．②④C．①④D．②③5．(2008•荆州）如图，直角梯形ABCD中，∠BCD=90°，AD∥BC,BC=CD，E为梯形内一点，且∠BEC=90°，将△BEC绕C点旋转90°使BC与DC重合，得到△DCF,连EF交CD于M．已知BC=5,CF=3，则DM：MC的值为（)A．5：3B．3：5C．4:3D．3：46．如图，矩形ABCD的面积为5，它的两条对角线交于点O1，以AB，AO1为两邻边作平行四边形ABC1O1，平行四边形ABC1O1的对角线交BD于点02，同样以AB，AO2为两邻边作平行四边形ABC2O2．…,依此类推，则平行四边形ABC2009O2009的面积为（）A．B．C．D．7．如图,在锐角△ABC中,AB=6，∠BAC=45°,∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是( ）A．B．6C．D．38．（2013•牡丹江）如图,在△ABC中∠A=60°,BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，则下列结论:①P M=PN；②；③△PMN为等边三角形；④当∠ABC=45°时，BN=PC．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．(2012•黑河)Rt△ABC中，AB=AC,点D为BC中点．∠MDN=90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下列结论：①（BE+CF）=BC；②S△AEF≤S△ABC；③S四边形AEDF=AD•EF；④AD≥EF；⑤AD与EF可能互相平分，其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．（2012•无锡一模）如图，在正方形纸片ABCD中,对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD 落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后折痕DE分别交AB、AC于点E、G，连接GF．下列结论①∠ADG=22.5°；②tan∠AED=2；③S△AGD=S△OGD;④四边形AEFG是菱形；⑤BE=2OG．其中正确的结论有（) A．①④⑤B．①②④C．③④⑤D．②③④11．如图，正方形ABCD中,O为BD中点,以BC为边向正方形内作等边△BCE，连接并延长AE交CD于F，连接BD分别交CE、AF于G、H，下列结论：①∠CEH=45°；②GF∥DE;③2OH+DH=BD；④BG=DG；⑤．其中正确的结论是（）A．①②③B．①②④C．①②⑤D．②④⑤12．如图，在正方形ABCD中，AB=4,E为CD上一动点，AE交BD于F，过F作FH⊥AE于H，过H作GH⊥BD 于G，下列有四个结论：①AF=FH,②∠HAE=45°，③BD=2FG，④△CEH的周长为定值，其中正确的结论有（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④13．（2013•钦州模拟）正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，正方形BEFG的边长为4,则△DEK的面积为（）A．10B．12C．14D．16二．填空题（共16小题）14．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，EA⊥AD，M是AE上一点,F、G分别是AB、CM的中点，且∠BAE=∠MCE，∠MBE=45°，则给出以下五个结论：①AB=CM;②A E⊥BC;③∠BMC=90°；④EF=EG；⑤△BMC是等腰直角三角形．上述结论中始终正确的序号有_________ ．15．（2012•门头沟区一模）如图，对面积为1的△ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB、BC、CA至A1、B1、C1，使得A1B=2AB，B1C=2BC，C1A=2CA，顺次连接A1、B1、C1，得到△A1B1C1，记其面积为S1；第二次操作，分别延长A1B1，B1C1，C1A1至A2，B2，C2,使得A2B1=2A1B1，B2C1=2B1C1,C2A1=2C1A1，顺次连接A2，B2，C2,得到△A2B2C2,记其面积为S2…，按此规律继续下去，可得到△A5B5C5，则其面积为S5= _________ ．第n 次操作得到△A n B n C n，则△A n B n C n的面积S n= _________ ．（2009•黑河）如图，边长为1的菱形ABCD中,∠DAB=60度．连接对角线AC,以AC为边作第二个菱形ACC1D1，16．使∠D1AC=60°；连接AC1，再以AC1为边作第三个菱形AC1C2D2，使∠D2AC1=60°；…，按此规律所作的第n个菱形的边长为_________ ．17．(2012•通州区二模）如图，在△ABC中,∠A=α．∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2；…；∠A2011BC与∠A2011CD的平分线相交于点A2012，得∠A2012，则∠A2012= _________ ．18．（2009•湖州）如图,已知Rt△ABC，D1是斜边AB的中点，过D1作D1E1⊥AC于E1，连接BE1交CD1于D2；过D2作D2E2⊥AC于E2,连接BE2交CD1于D3；过D3作D3E3⊥AC于E3，…，如此继续，可以依次得到点D4,D5，…，D n，分别记△BD1E1，△BD2E2,△BD3E3，…,△BD n E n的面积为S1，S2，S3，…S n．则S n= _________ S△ABC(用含n的代数式表示）．19．（2011•丰台区二模)已知：如图，在Rt△ABC中，点D1是斜边AB的中点，过点D1作D1E1⊥AC于点E1,连接BE1交CD1于点D2；过点D2作D2E2⊥AC于点E2，连接BE2交CD1于点D3；过点D3作D3E3⊥AC于点E3，如此继续，可以依次得到点D4、D5、…、D n,分别记△BD1E1、△BD2E2、△BD3E3、…、△BD n E n的面积为S1、S2、S3、…S n．设△ABC的面积是1，则S1= _________ ，S n= _________ （用含n的代数式表示）．20．（2013•路北区三模）在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10,P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为_________ ．21．如图，已知Rt△ABC中，AC=3，BC=4，过直角顶点C作CA1⊥AB，垂足为A1，再过A1作A1C1⊥BC，垂足为C1，过C1作C1A2⊥AB,垂足为A2，再过A2作A2C2⊥BC，垂足为C2,…，这样一直做下去,得到了一组线段CA1，A1C1，C1A2,…，则CA1= _________ ，= _________ ．22．（2013•沐川县二模)如图，点A1，A2，A3,A4，…，A n在射线OA上，点B1，B2，B3，…，B n﹣1在射线OB上，且A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥A n﹣1B n﹣1,A2B1∥A3B2∥A4B3∥…∥A n B n﹣1，△A1A2B1,△A2A3B2,…，△A n﹣1A n B n﹣1为阴影三角形，若△A2B1B2，△A3B2B3的面积分别为1、4,则△A1A2B1的面积为_________ ；面积小于2011的阴影三角形共有_________ 个．23．(2010•鲤城区质检)如图，已知点A1（a，1）在直线l：上，以点A1为圆心，以为半径画弧,交x轴于点B1、B2，过点B2作A1B1的平行线交直线l于点A2，在x轴上取一点B3，使得A2B3=A2B2，再过点B3作A2B2的平行线交直线l于点A3，在x轴上取一点B4,使得A3B4=A3B3，按此规律继续作下去，则①a=_________ ;②△A4B4B5的面积是_________ ．24．（2013•松北区二模)如图，以Rt△ABC的斜边BC为一边在△ABC的同侧作正方形BCEF,设正方形的中心为O,连接AO，如果AB=4，AO=6，那么AC的长等于_________ ．25．（2007•淄川区二模）如图,将矩形ABCD的四个角向内折起,恰好拼成一个既无缝隙又无重叠的四边形EFGH，若EH=3,EF=4，那么线段AD与AB的比等于_________ ．26．（2009•泰兴市模拟)梯形ABCD中AB∥CD，∠ADC+∠BCD=90°，以AD、AB、BC为斜边向形外作等腰直角三角形，其面积分别是S1、S2、S3且S1+S3=4S2，则CD= _________ AB．27．如图，观察图中菱形的个数：图1中有1个菱形，图2中有5个菱形，图3中有14个菱形,图4中有30个菱形…，则第6个图中菱形的个数是_________ 个．28．（2012•贵港一模）如图，E、F分别是平行四边形ABCD的边AB、CD上的点,AF与DE相交于点P,BF与CE相交于点Q，若S△APD=15cm2，S△BQC=25cm2，则阴影部分的面积为_________ cm2．29．（2012•天津）如图,已知正方形ABCD的边长为1，以顶点A、B为圆心，1为半径的两弧交于点E,以顶点C、D为圆心，1为半径的两弧交于点F，则EF的长为_________ ．30．如图,ABCD是凸四边形,AB=2，BC=4,CD=7，求线段AD的取值范围（）．参考答案与试题解析一．选择题(共13小题）1．（2013•蕲春县模拟）如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F,使FC=EC，连接DF交BE的延长线于点H，连接OH交DC于点G，连接HC．则以下四个结论中正确结论的个数为( ）①OH=BF；②∠CHF=45°；③GH=BC；④DH2=HE•HB．A．1个B．2个C．3个D．4个解答：解：作EJ⊥BD于J,连接EF①∵BE平分∠DBC∴EC=EJ，∴△DJE≌△ECF∴DE=FE∴∠HEF=45°+22.5°=67.5°∴∠HFE==22。
压轴题27选择压轴题(几何篇)-2023年中考数学压轴题专项训练(全国通用)(原卷版)
2023年中考数学压轴题专项训练压轴题27选择压轴题（几何篇）一．选择题（共40小题）1．（2023•朝阳区校级三模）如图，AB是⊙O的直径，将OB绕着点O逆时针旋转40°得到OC，P是⊙O 上一点，且与点C在AB的异侧，连结P A、PC、AC，若P A＝PC，则∠P AB的大小是（）A．20°B．35°C．40°D．70°2．（2023•河北区二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴上，且∠COA＝45°，OA ＝4，则点B的坐标为（）A．(4+2√2，2√2)B．(2√2，2√2)C．(2+2√2，2）D．(√2，2)3．（2023•奉贤区二模）如图，矩形ABCD中，AB＝1，∠ABD＝60°，点O在对角线BD上，圆O经过点C．如果矩形ABCD有2个顶点在圆O内，那么圆O的半径长r的取值范围是（）A．0＜r≤1B．1＜r≤√3C．1＜r≤2D．√3＜r≤24．（2023•广灵县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，点O，D，E是AB边上的点，以点O为圆心，DE长为直径的半圆O与AC相切于点M，与BC相切于点N，则图中阴影部分的面积为（）A ．5B ．9﹣2πC ．9﹣πD ．5﹣π5．（2023•普陀区二模）如图，△ABC 中，∠BAC ＝60°，BO 、CO 分别平分∠ABC 、∠ACB ，AO ＝2，下面结论中不一定正确的是（ ）A ．∠BOC ＝120°B ．∠BAO ＝30°C ．OB ＝3D ．点O 到直线BC 的距离是16．（2023•瓯海区模拟）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD 与正方形EFGH ，连结DH 并延长交AB 于点K ，若DF 平分∠CDK ，则DH HK =（ ）A ．2√33B ．65C ．√5−1D ．4√577．（2023•花溪区模拟）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题的最重要工具也是数形结合的组带之一，如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE ＝1m ，将它往前推6m 至C 处时（即水平距离CD ＝6m ），踏板离地的垂直高度CF ＝4m ，它的绳索始终拉直，则绳索AC 的长是（ ）A ．152mB ．92mC ．6mD ．212m8．（2023•承德一模）如图，在菱形ABCD 中，AC 、BD （AC ＞BD ）相交于点O ，E 、F 分别为OA 和OC 上的点（不与点A 、O 、C 重合）．其中AE ＝OF ．过点E 作GH ⊥AC ，分别交AD 、AB 于点G 、H ；过点F 作IJ ⊥AC 分别交CD 、CB 于点J 、I ；连接GJ 、HI ，甲、乙、丙三个同学给出了三个结论：甲：随着AE 长度的变化，GH +IJ ＝BD 始终成立．乙：随着AE 长度的变化，四边形GHIJ 可能为正方形．丙：随着AE 长度的变化，四边形GHIJ 的面积始终不变，都是菱形ABCD 面积的一半．下列选项正确的是（ ）A ．甲、乙、丙都对B ．甲、乙对，丙不对C ．甲、丙对，乙不对D ．甲不对，乙、丙对 9．（2023•石家庄二模）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，E ，F 分别是OB 与OD 的中点，依连接点A ，E ，C ，F ，A ，当四边形AECF 是矩形时，与线段BE 相等的线段有（ ）A ．4条B ．5条C ．6条D ．7条10．（2023•青山区二模）如图，边长为2的正方形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，E 是BC 边上一点，F 是BD 上一点，连接DE ，EF ．若△DEF 与△DEC 关于直线DE 对称，则OF 的长为（ ）A ．√22B ．2√2−2C ．2−√2D ．√2−111．（2023•柳城县一模）七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．（清）陆以活《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图，是一个用七巧板拼成的装饰图，放入长方形ABCD 内，装饰图中的三角形顶点E ，F 分别在边AB ，BC 上，三角形①的边GD 在边AD 上，则BF BE 的值为（ ）A ．1+√22B ．√22C ．2+√24D ．2+√2212．（2023•泉州模拟）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝4，将△ABC 沿BC 的方向平移至△A 'B 'C '，使得A ′E ＝A ′F ，其中E 是A ′B ′与AC 的交点，F 是A ′C ′与CD 的交点，则CC ′的长为（ ）A ．52−√52B ．112−√5C ．5−√5D ．92−√5 13．（2023•定远县二模）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝3，BC ＝5，点P 为BC 边上任意一点，连接P A ，以P A ，PC 为邻边作平行四边形P AQC ，连接PQ ，则PQ 长度的最小值为（ ）A ．3B ．2.5C ．2.4D ．214．（2023•烟台一模）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝12，AD ＝10，点E 在AD 上，点F 在BC 上，且AE ＝CF ，连结CE ，DF ，则CE +DF 的最小值为（ ）A ．26B ．25C ．24D ．2215．（2023•郯城县一模）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝6，BC ＝10，点P 为BC 边上任意一点，连接P A ，以P A ，PC 为邻边作平行四边形P AQC ，连接PQ ，则PQ 长度的最小值为（ ）A ．4.8B ．5C ．2.4D ．416．（2023•白云区一模）如图，正方形ABCD 的面积为3，点E 在边CD 上，且CE ＝1，∠ABE 的平分线交AD 于点F ，点M ，N 分别是BE ，BF 的中点，则下列结论错误的是（ ）A ．FD =√2MNB ．△DEF 是等腰直角三角形C ．BN ＝1D ．tan ∠FBE =√317．（2023•九龙坡区校级模拟）如图，在正方形ABCD 中，O 为AC 、BD 的交点，△DCE 为直角三角形，∠CED ＝90°，OE =3√2，若CE •DE ＝6，则正方形的面积为（ ）A ．20B ．22C ．24D ．2618．（2023•杭州一模）如图，有两张矩形纸片ABCD 和EFGH ，AB ＝EF ＝2cm ，BC ＝FG ＝8cm ．把纸片ABCD 交叉叠放在纸片EFGH 上，使重叠部分为平行四边形，且B 点D 与点G 重合，当两张纸片交叉所成的角α最小时，tan α等于（ ）A ．14B ．815C ．12D ．81719．（2023•高明区二模）矩形ABCD 和直角三角形EFG 的位置如图所示，点A 在EG 上，点D 在EF 上，若∠2＝55°，则∠1等于（ ）A．155°B．135°C．125°D．105°20．（2023•余姚市一模）如图，由两个正三角形组成的菱形内放入标记为①，②，③，④的四种不同大小的小正三角形5个，其中编号①的有2个．设未被覆盖的浅色阴影部分的周长为C1，深色阴影部分的周长为C2，若要求出C1﹣C2的值，只需知道其中两个小正三角形的边长，则这两个小三角形的编号为（）A．①②B．②③C．①③D．②④21．（2023•衡水二模）如图，点P是正方形ABCD的边BC上一点，点M是对角线BD上一点，连接PM 并延长交BA的延长线于点Q，交AD于点G，取PQ的中点N．连接AN．若AQ＝PC，有下面两个结论：①DM＝DG，②AN⊥BD，则这两个结论中，正确的是（）A．①对B．②对C．①②都对D．①②都不对22．（2023•新乡二模）如图，在矩形ABCD中，点B（0，4），点C（2，0），BC＝2CD，先将矩形ABCD 沿y轴向下平移至点B与点O重合，再将平移后的矩形ABCD绕点O逆时针旋转90°得到矩形EOMN，则点D的对应点N的坐标为（）A．（3，3）B．（4，4）C．（3，4）D．（4，3）23．（2023•荆门一模）如图，菱形ABCD各边的中点分别是E、F、G、H，若EH＝2EF，则下列结论错误的是（）A．EH⊥EF B．EH＝AC C．∠B＝60°D．AB=√5EF24．（2023•中原区校级二模）如图，在Rt△ABO中，AB＝OB，顶点A的坐标为（2，0），以AB为边向△ABO的外侧作正方形ABCD，将组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转45°，则第98次旋转结束时，点D的坐标为（）A．（1，﹣3）B．（﹣1，3）C．（﹣1，2+√2）D．（1，3）25．（2023•中原区模拟）如图，▱ABCD的边BC在x轴的负半轴上，点B与原点O重合，DE⊥AB，交BA 的延长线于点E，已知∠ABC＝60°，AB＝4，BC＝6，则点E的坐标为（）A．（﹣2，﹣，2√3）B．（﹣3，3√3）C．（−72，72√3）D．（−52√3，52）26．（2023•武邑县二模）如图，N是正六边形ABCDEF对角线CF上一点，延长FE，CD相交于点M，若S△ABN＝2，则S五边形ABCMF＝（）A．10B．12C．14D．1627．（2023•承德一模）如图，正六边形的两条对角线AE、BE把它分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分，则该三部分的面积比为（）A．1：2：3B．2：2：4C．1：2：4D．2：3：528．（2023•罗湖区二模）如图，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，过点C作圆O的切线交AB的延长线于点D，DB=13AD，连接AC，若AB＝8，则AC的长度为（）A．2√3B．2√5C．4√3D．4√529．（2023•杭州一模）如图，过⊙O外一点A作⊙O的切线AD，点D是切点，连结OA交⊙O于点B，点C是⊙O上不与点B，D重合的点．若∠A＝α°，则∠C的度数为（）A．(45−12α)°B．12α°C．2α°D．(45+12α)°30．（2023•西宁一模）如图，扇形纸片AOB的半径为3，沿AB所在直线折叠扇形纸片，圆心D恰好落在AB̂上的点C处，则阴影部分的面积是（）A．3π−9√32B．3π−3√32C．2π−3√32D．2π−9√3231．（2023•太原一模）如图，在扇形纸片OAB 中，∠AOB ＝105°，OA ＝6、点C 是半径OA 上的点、沿直线BC 折叠△OBC 得到△DBC ，点O 的对应点D 落在AB̂上，图中阴影部分的面积为（ ）A ．9π−92B ．9π−182C ．9π﹣18D ．12π﹣1832．（2023•西山区校级模拟）如图，分别以等边△ABC 的三个顶点为圆心，边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB 为6，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．18π−27√3B ．6π−9√3C ．12π−9√3D ．18π−18√333．（2023•莆田模拟）如图，在⊙O 中，∠AOB ＝120°，点C 在AB̂上，连接AC ，BC ，过点B 作BD ⊥AC 的延长线于点D ，当点C 从点A 运动到点B 的过程中，∠CBD 的度数（ ）A ．先增大后减小B ．先减小后增大C ．保持不变D ．一直减小 34．（2023•蚌埠二模）如图是某芯片公司的图标示意图，其设计灵感源于传统照相机快门的机械结构，圆O 中的阴影部分是一个正六边形，其中心与圆心O 重合，且AB ＝BC ，则阴影部分面积与圆的面积之比为（ ）A ．3√38πB ．√32πC ．√3πD ．2√39π35．（2023•鄞州区校级模拟）如图，AB 为⊙O 的直径，将弧BC 沿BC 翻折，翻折后的弧交AB 于D ．若BC ＝4√5，sin ∠ABC =√55，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．256πB ．253πC ．8D ．1036．（2023•九龙坡区模拟）如图，在⊙O 中，AB 是圆的直径，过点B 作⊙O 的切线BC ，连接AC 交⊙O 于点D ，点E 为弧AD 中点，连接AE ，若AE ＝AO ，AB ＝6，则CD 的长为（ ）A ．2B ．3√32C ．√3D ．3√337．（2023•宁德模拟）“莱洛三角形”是工业生产中加工零件时广泛使用的一种图形．如图，以等边三角形ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的图形就是“莱洛三角形”．若等边三角形ABC 的边长为2，则该“莱洛三角形”的周长等于（ ）A ．2πB ．2π−√3C ．23πD ．2π+√338．（2023•虹口区二模）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AB ＝5，BC ＝12．分别以点O 、D 为圆心画圆，如果⊙O 与直线AD 相交、与直线CD 相离，且⊙D 与⊙O 内切，那么⊙D 的半径长r 的取值范围是（ ）A ．12＜r ＜4B ．52＜r ＜6C ．9＜r ＜252D ．9＜r ＜1339．（2023•苏州一模）东南环立交是苏州中心城区城市快速内环道路系统的重要节点，也是江苏省最大规模的城市立交．左图是该立交桥的部分道路示意图（道路宽度忽略不计），A 为立交桥入口，D 、G 为出口，其中直行道为AB 、CD 、FG ，且AB ＝CD ＝FG ；弯道是以点O 为圆心的一段弧，且BC 、CE 、EF 所在的圆心角均为90°．甲、乙两车由A 口同时驶入立交桥，均以16m /s 的速度行驶，从不同出口驶出，其间两车到点O 的距离y （m ）与时间x （s ）的对应关系如右图所示．结合题目信息，下列说法错误的是（ ）A ．该段立交桥总长为672mB ．从G 口出比从D 口出多行驶192mC ．甲车在立交桥上共行驶22sD ．甲车从G 口出，乙车从D 口出40．（2023•滨城区一模）如图，点A ，B 是半径为2的⊙O 上的两点，且AB =2√3，则下列说法正确的是（ ）A ．圆心O 到AB 的距离为√3B ．在圆上取异于A ，B 的一点C ，则△ABC 面积的最大值为3√3C ．以AB 为边向上作正方形，与⊙O 的公共部分的面积为3+√34πD ．取AB 的中点C ，当AB 绕点O 旋转一周时，点C 运动的路线长为3π。
2023学年人教中考数学重难点题型分类必刷题 专题05 等腰三角形、等边三角形压轴题真题(含详解)
专题05 高分必刷题-等腰三角形、等边三角形压轴题真题（原卷版）题型一：等腰三角形、等边三角形中的动点问题1．（湘一芙蓉）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝12cm，BC＝10cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段AC上由点A向C点以4cm/s的速度运动．（1）若点P、Q两点分别从B、A两点同时出发，经过2秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由；（2）若点P、Q两点分别从B、A两点同时出发，△CPQ的周长为16cm，设运动时间为t，问：是否存在某一时刻t，使得△CPQ是等腰三角形？如存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由．2．（中雅）如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P 从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；（2）何时△PBQ是直角三角形？（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．3．（青竹湖）已知，△ABC是边长3cm的等边三角形．动点P以1cm/s的速度从点A出发，沿线段AB向点B运动．（1）如图1，设点P的运动时间为t（s），那么t为何值时，△PBC是直角三角形；（2）若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动．连接PQ交AC于D．如果动点P、Q都以1cm/s 的速度同时出发．①如图2，设运动时间为t（s），那么t为何值时，△DCQ是等腰三角形？②如图3，连接PC，请你猜想：在点P、Q的运动过程中，△PCD和△QCD的面积有什么关系？并说明理由．4．（广益）如图1，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴、y轴于A（a，0）、B（0，b）两点，且a，b满足（a﹣b）2+|a﹣4t|＝0，且t＞0，t是常数．直线BD平分∠OBA，交x轴于D点．（1）若AB的中点为M，连接OM交BD于N，求证：ON＝OD；（2）如图2，过点A作AE⊥BD，垂足为E，猜想AE与BD间的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，在x轴上有一个动点P（在A点的右侧），连接PB，并作等腰Rt△BPF，其中∠BPF＝90°，连接F A并延长交y轴于G点，当P点在运动时，OG的长是否发生改变？若改变，请求出它的变化范围；若不变，求出它的长度．5．（长郡、雅礼）如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，△OAB为等边三角形，P、Q分别为AO、AB边上的动点，点P、点Q同时从点A 出发，且当其中一点停止运动时，另一点也立即停止运动；若P以2个单位长度每秒的速度从点A向终点O运动，点Q以3个单位长度每秒的速度从点A向终点B运动，设运动时间为t，已知点A坐标为（a，b），且满足（a﹣6）2+|a﹣b|＝0．（1）求A点坐标；（2）如图1，连接BP、OQ交于点C，请问当t为何值时，∠OCP＝60°；（3）如图2，D为OB边上的中点，P，Q在运动过程中，D，P，Q三点是否能构成使∠PDQ＝120°的等腰三角形，若能，求运动时间t并直接写出四边形APDQ的面积：若不能，请说明理由．6．（师梅）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0），点B是y轴正半轴上一动点，点C、D在x正半轴上．（1）如图，若∠BAO＝60°，∠BCO＝40°，BD、CE是△ABC的两条角平分线，且BD、CE交于点F，直接写出CF的长．（2）如图，△ABD是等边三角形，以线段BC为边在第一象限内作等边△BCQ，连接QD并延长，交y轴于点P，当点C运动到什么位置时，满足PD＝DC？请求出点C的坐标；（3）如图，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，求OP的最小值．7．（郡维）等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点A、点B分别是y轴、x轴上两个动点，直角边AC交x轴于点D，斜边BC 交y轴于点E．（1）如图（1），已知C点的横坐标为﹣1，直接写出点A的坐标；（2）如图（2），当等腰Rt△ABC运动到使点D恰为AC中点时，连接DE，求证：∠ADB＝∠CDE；（3）如图（3），若点A在x轴上，且A（﹣4，0），点B在y轴的正半轴上运动时，分别以OB、AB为直角边在第一、二象限作等腰直角△BOD和等腰直角△ABC，连接CD交y轴于点P，问当点B在y 轴的正半轴上运动时，BP的长度是否变化？若变化请说明理由，若不变化，请求出BP的长度．8．（长郡）如图，在△ABC中．AB ＝AC，点E在线段BC上，连接AE并延长到G，使得EG＝AE，过点G作GD∥BA分别交BC，AC 于点F，D．（1）求证：△ABE≌△GFE；（2）若GD＝3，CD＝1，求AB的长度；（3）过点D作DH⊥BC于H，P是直线DH上的一个动点，连接AF，AP，FP，若∠C＝45°，在（2）的条件下，求△AFP周长的最小值．9．（广益）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A（0，3）与点B关于x轴对称，点C（n，0）为x轴的正半轴上一动点．以AC为边作等腰直角三角形ACD，∠ACD＝90°，点D在第一象限内．连接BD，交x轴于点F．（1）如果∠OAC＝38°，求∠DCF的度数；（2）用含n的式子表示点D的坐标；（3）在点C运动的过程中，判断OF的长是否发生变化？若不变求出其值，若变化请说明理由．题型二：等腰三角形、等边三角形综合类压轴题10．（雅境）（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．①∠AEB的度数为②猜想线段AD，BE之间的数量关系为：，并证明你的猜想．（2）拓展探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E 在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请求出∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系．11．（郡维）如图1，已知△ABC和△EFC都是等边三角形，且点E在线段AB上．（1）求证：BF∥AC；（2）过点E作EG∥BC交AC于点G，试判断△AEG的形状并说明理由；（3）如图2，若点D在射线CA上，且ED＝EC，求证：AB＝AD+BF．12．（北雅）已知：△ABC为等边三角形，点E为射线AC 上一点，点D为射线CB上一点，AD＝DE．（1）如图1，当E在AC 的延长线上且CE＝CD时，求证：BD＝CD；（2）如图2，当E在AC的延长线上时，AB+BD等于AE吗？请说明理由；（3）如图3，当D在线段CB的延长线上，E在线段AC上时，请直接写出AB、BD、AE的数量关系，并证明．13．（中雅）已知△ABC为等边三角形，取△ABC的边AB，BC中点D，E，连接DE，如图1，易证△DBE 为等边三角形，将△DBE绕点B顺时针旋转，设旋转的角度∠ABD＝α，其中0＜α＜180°．（1）如图2，当α＝30°，连接AD，CE，求证：AD＝CE；（2）在△DBE旋转过程中，当α超过一定角度时，如图3，连接AD，CE会交于一点，记交点为点F，AD交BC于点P，CE交BD于点Q，连接BF，请问BF是否会平分∠CBD？如果是，求出α，如果不是，请说明理由；（3）在第（2）问的条件下，试猜想线段AF，BF和CF之间的数量关系，并说明理由．14．（雅实）如图1，△ABC 为等腰三角形，∠ABC＝90°，点P在线段BC上（不与B、C重合），以点A为直角顶点作等腰直角△P AQ，且点Q在AP的左下方，过点Q作QE⊥AB于点E．（1）求证：△P AB≌△AQE；（2）连接CQ交AB于M，若PC＝2PB，求的值．（3）如图2，过点Q作QF⊥AQ于AB的延长线于点F，过P点作DP⊥AP交AC于点D，连接DF，当点P在线段BC上运动时（不与B，C重合），式子的值会变化吗？若不变，求出该值；若变化，请说明理由．15．（师梅）如图1，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，AB＝AC，∠BAC＝90°，CM⊥y轴，交y轴于点M．（1）求证∠ABO＝∠CAM；（2）如图2，D，E为y轴上的两个点，BD＝BE，BD⊥BE，求∠CEM的度数；（3）如图3，△P AQ是等腰直角三角形，∠P AQ为顶角，点Q在x轴负半轴上，连接CB，交y轴于点H，AC与x轴交于点G，连接PC，交AQ于点K，交x轴于点N，若CN＝CM，NG＝3，HM＝2，求GH．16．（博才）如图1，OA＝2，OB＝4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC，（1）求C点的坐标；（2）如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，P A为腰作等腰Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP﹣DE的值；（3）如图3，已知点F坐标为（﹣2，﹣2），当G在y轴的负半轴上沿负方向运动时，作Rt△FGH，始终保持∠GFH＝90°，FG与y轴负半轴交于点G（0，m），FH与x轴正半轴交于点H（n，0），当G点在y 轴的负半轴上沿负方向运动时，以下两个结论：①m﹣n为定值；②m+n为定值，其中只有一个结论是正确的，请找出正确的结论，并求出其值．17．（青竹湖）如图，四边形OABC 的位置在平面直角坐标系中如图所示，且A（0，a），B（b，a），C（b，0），又a，b满足﹣+b2+4b+8＝0，点P在x轴上且横坐标大于b，射线OD是第一象限的一条射线，点Q在射线OD上，BP＝PQ．并连接BQ交y轴于点M．（1）求点A，B，C的坐标为A、B、C．（2）当BP⊥PQ时，求∠AOQ的度数．（3）在（2）的条件下，若点P在x轴的正半轴上，且OP＝3AM，试求点M的坐标．专题05 高分必刷题-等腰三角形、等边三角形压轴题真题（解析版）题型一：等腰三角形、等边三角形中的动点问题1.如图，已知△ABC中，AB＝AC＝12cm，BC＝10cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2cm/s 的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段AC上由点A向C点以4cm/s的速度运动．（1）若点P、Q两点分别从B、A两点同时出发，经过2秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由；（2）若点P、Q两点分别从B、A两点同时出发，△CPQ的周长为16cm，设运动时间为t，问：是否存在某一时刻t，使得△CPQ是等腰三角形？如存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∠CMQ＝60°不变．∵等边三角形中，AB＝AC，∠B＝∠CAP ＝60°，又由条件得AP＝BQ，∴△ABQ≌△CAP（SAS），∴∠BAQ＝∠ACP，∴∠CMQ＝∠ACP+∠CAM ＝∠BAQ+∠CAM＝∠BAC＝60°．（2）设时间为t，则AP＝BQ＝t，PB＝4﹣t①当∠PQB＝90°时，∵∠B＝60°，∴PB＝2BQ，得4﹣t＝2t，t＝；②当∠BPQ＝90°时，∵∠B＝60°，∴BQ＝2BP，得t＝2（4﹣t），t＝；∴当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形．（3）∠CMQ＝120°不变．∵在等边三角形中，BC＝AC，∠B＝∠CAP＝60°∴∠PBC＝∠ACQ＝120°，又由条件得BP＝CQ，∴△PBC≌△QCA（SAS）∴∠BPC＝∠MQC又∵∠PCB＝∠MCQ，∴∠CMQ＝∠PBC＝180°﹣60°＝120°2．如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B 同时出发，且它们的速度都为1cm/s，（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；（2）何时△PBQ是直角三角形？（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ 变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．【解答】解：（1）∠CMQ＝60°不变．∵等边三角形中，AB＝AC，∠B＝∠CAP＝60°，又由条件得AP＝BQ，∴△ABQ≌△CAP（SAS），∴∠BAQ＝∠ACP，∴∠CMQ＝∠ACP+∠CAM＝∠BAQ+∠CAM＝∠BAC＝60°．（2）设时间为t，则AP＝BQ＝t，PB＝4﹣t，①当∠PQB＝90°时，∵∠B＝60°，∴PB＝2BQ，得4﹣t＝2t，t＝；②当∠BPQ＝90°时，∵∠B＝60°，∴BQ＝2BP，得t＝2（4﹣t），t＝；∴当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形．（3）∠CMQ＝120°不变．∵在等边三角形中，BC＝AC，∠B＝∠CAP＝60°∴∠PBC＝∠ACQ＝120°，又由条件得BP＝CQ，∴△PBC≌△QCA（SAS）∴∠BPC＝∠MQC又∵∠PCB＝∠MCQ，∴∠CMQ＝∠PBC＝180°﹣60°＝120°3.已知，△ABC是边长3cm的等边三角形．动点P以1cm/s的速度从点A出发，沿线段AB向点B运动．（1）如图1，设点P的运动时间为t（s），那么t为何值时，△PBC是直角三角形；（2）若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动．连接PQ交AC于D．如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发．①如图2，设运动时间为t（s），那么t为何值时，△DCQ是等腰三角形？②如图3，连接PC，请你猜想：在点P、Q的运动过程中，△PCD和△QCD的面积有什么关系？并说明理由．【解答】解：（1）当△PBC是直角三角形时，∠B＝60°，∠BPC＝90°，所以BP＝1.5cm，所以t＝，（2）①∵∠DCQ＝120°，当△DCQ是等腰三角形时，CD＝CQ，∴∠PDA＝∠CDQ＝∠CQD＝30°，∵∠A＝60°，∴AD＝2AP，∴2t+t＝3，解得t＝1（s）；②相等，如图所示：作PE垂直AD，QG垂直AD延长线，则PE∥QG，∴∠G＝∠AEP，在△EAP 和△GCQ，，∴△EAP≌△GCQ（AAS），∴PE＝QG，∴△PCD和△QCD同底等高，所以面积相等．4.如图1，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴、y轴于A（a，0）、B（0，b）两点，且a，b满足（a ﹣b）2+|a﹣4t|＝0，且t＞0，t是常数．直线BD平分∠OBA，交x轴于D点．（1）若AB的中点为M，连接OM交BD于N，求证：ON＝OD；（2）如图2，过点A作AE⊥BD，垂足为E，猜想AE与BD间的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，在x轴上有一个动点P（在A点的右侧），连接PB，并作等腰Rt△BPF，其中∠BPF＝90°，连接F A并延长交y轴于G点，当P点在运动时，OG的长是否发生改变？若改变，请求出它的变化范围；若不变，求出它的长度．【解答】（1）证明：∵直线AB分别交x 轴、y轴于A（a，0）、B（0，b）两点，且a，b满足（a﹣b）2+|a﹣4t|＝0，且t＞0，∴a＝b＝4t，当x＝0时，y＝4t，当y＝0时，﹣x+4t＝0，解得x＝4t，∴点A、B的坐标是A（4t，0），B（0，4t），∴△AOB是等腰直角三角形，∵点M是AB的中点，∴OM⊥AB，∴∠MOA＝45°，∵直线BD平分∠OBA，∴∠ABD＝∠ABO＝22.5°，∴∠OND＝∠BNM＝90°﹣∠ABD＝90°﹣22.5°＝67.5°，∠ODB＝∠ABD+∠BAD＝22.5°+45°＝67.5°，∴∠OND＝∠ODB，∴ON ＝OD（等角对等边）；（2）答：BD＝2AE．理由如下：延长AE交BO于C，∵BD平分∠OBA，∴∠ABD＝∠CBD，∵AE⊥BD 于点E，∴∠AEB＝∠CEB＝90°，在△ABE≌△CBE中，，∴△ABE≌△CBE（ASA），∴AE＝CE，∴AC＝2AE，∵AE⊥BD，∴∠OAC+∠ADE＝90°，又∠OBD+∠BDO＝90°，∠ADE＝∠BDO （对顶角相等），∴∠OAC＝∠OBD，在△OAC与△OBD中，，∴△OAC≌△OBD（ASA），∴BD＝AC，∴BD＝2AE；（3）OG的长不变，且OG＝4t．过F作FH⊥OP，垂足为H，∴∠FPH+∠PFH＝90°，∵∠BPF＝90°，∴∠BPO+∠FPH＝90°，∴∠FPH＝∠BPO，∵△BPF是等腰直角三角形，∴BP＝FP，在△OBP与△HPF 中，，∴△OBP≌△HPF（AAS），∴FH＝OP，PH＝OB＝4t，∵AH＝PH+AP＝OB+AP，OA＝OB，∴AH＝OA+AP＝OP，∴FH＝AH，∴∠GAO＝∠F AH＝45°，∴△AOG是等腰直角三角形，∴OG＝OA＝4t．5.如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，△OAB为等边三角形，P、Q分别为AO、AB边上的动点，点P、点Q同时从点A出发，且当其中一点停止运动时，另一点也立即停止运动；若P以2个单位长度每秒的速度从点A向终点O运动，点Q以3个单位长度每秒的速度从点A向终点B运动，设运动时间为t，已知点A坐标为（a，b），且满足（a﹣6）2+|a﹣b|＝0．（1）求A点坐标；（2）如图1，连接BP、OQ交于点C，请问当t为何值时，∠OCP＝60°；（3）如图2，D为OB边上的中点，P，Q在运动过程中，D，P，Q三点是否能构成使∠PDQ＝120°的等腰三角形，若能，求运动时间t并直接写出四边形APDQ的面积：若不能，请说明理由．【解答】解：（1）∵（a﹣6）2+|a ﹣b|＝0，又∵（a﹣6）2，≥0，|a﹣b|≥0，∴a＝6，b＝6∴点A（6，6）．（2）如图1中，∵△AOB是等边三角形，点A（6，6），∴AO＝BO＝AB＝12，∠AOB＝∠ABO ＝60°＝∠A，∵∠OCP＝60°＝∠AOB，∴∠AOB＝∠QOB+∠AOQ＝∠QOB+∠PBO＝∠PCO，∴∠AOQ ＝∠PBO，且AO＝BO，∠A＝∠AOB，∴△AOQ≌△OBP（ASA），∴OP＝AQ，∴12﹣2t＝3t∴t＝2.4∴当t＝2.4时，∠OCP＝60°．（3）如图2中，过点D作DF⊥AO，DE⊥AB，连接AD，∵△ABO是等边三角形，D是OB中点，点A（6，6），∴OD＝BD＝6，∠AOB ＝∠ABO＝60°，AD＝6，又∵∠DFO＝∠DEB＝90°，∴△ODF≌△BDE（AAS），∴OF＝BE，DF＝DE，∵AO＝AB，∴AO﹣OF＝AB﹣BE，∴AF＝AE，∵DF＝DE，PD＝DQ，∴Rt△DFP≌Rt△DEQ（HL），∴PF＝EQ，∵OD＝6，∠AOD＝60°，∠DFO＝90°，∴∠ODF＝30°∴OF＝3，DF＝OF＝3，∴AF＝AO﹣OF＝9＝AE，BE＝OF＝3，∵AP+AQ＝AP+AE+EQ＝AP+PF+AE＝AF+AE＝2AF，∴2t+3t＝18∴t＝3.6，∴当t＝，3.6时，D，P，Q三点是能构成使∠PDQ＝120°的等腰三角形，∵Rt△DFP≌Rt△DEQ，∴S△DFP＝S△DEQ，∴S四边形APDQ＝S四边形AFDQ＝S△AOB﹣2S△OFD＝×12×6﹣2××3×3＝27．6．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0），点B是y轴正半轴上一动点，点C、D在x正半轴上．（1）如图，若∠BAO＝60°，∠BCO＝40°，BD、CE是△ABC的两条角平分线，且BD、CE交于点F，直接写出CF的长6．（2）如图，△ABD是等边三角形，以线段BC为边在第一象限内作等边△BCQ，连接QD并延长，交y轴于点P，当点C运动到什么位置时，满足PD＝DC？请求出点C的坐标；（3）如图，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，求OP的最小值．【解答】解：（1）作∠DCH＝10°，CH交BD的延长线于H，∵∠BAO＝60°，∴∠ABO＝30°，∴AB＝2OA＝6，∵∠BAO＝60°，∠BCO＝40°，∴∠ABC＝180°﹣60°﹣40°＝80°，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠CBD＝40°，∴∠CBD＝∠DCB，∠OBD＝40°﹣30°＝10°，∴DB＝DC，在△OBD和△HCD中，，∴△OBD≌△HCD（ASA），∴OB＝HC，在△AOB和△FHC中，，∴△AOB≌△FHC（ASA），∴CF＝AB＝6，故答案为：6；（2）∵△ABD和△BCQ是等边三角形，∴∠ABD＝∠CBQ＝60°，∴∠ABC＝∠DBQ，在△CBA和△QBD中，，∴△CBA≌△QBD（SAS），∴∠BDQ＝∠BAC＝60°，∴∠PDO ＝60°，∴PD＝2DO＝6，∵PD＝DC，∴DC＝9，即OC＝OD+CD＝12，∴点C的坐标为（12，0）；（3）如图3，以OA为对称轴作等边△ADE，连接EP，并延长EP交x轴于点F．由（2）得，△AEP≌△ADB，∴∠AEP＝∠ADB＝120°，∴∠OEF＝60°，∴OF＝OA＝3，∴点P在直线EF上运动，当OP⊥EF时，OP则OP的最小值为．最小，∴OP＝OF＝，7.等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点A、点B 分别是y轴、x轴上两个动点，直角边AC交x轴于点D，斜边BC交y轴于点E．（1）如图（1），已知C点的横坐标为﹣1，直接写出点A的坐标；（2）如图（2），当等腰Rt△ABC运动到使点D恰为AC中点时，连接DE，求证：∠ADB＝∠CDE；（3）如图（3），若点A在x轴上，且A（﹣4，0），点B在y轴的正半轴上运动时，分别以OB、AB为直角边在第一、二象限作等腰直角△BOD和等腰直角△ABC，连接CD交y轴于点P，问当点B在y轴的正半轴上运动时，BP的长度是否变化？若变化请说明理由，若不变化，请求出BP的长度．【解答】解：（1）如图（1），过点C作CF⊥y轴于点F，∵CF⊥y轴于点F，∴∠CF A＝90°，∠ACF+∠CAF＝90°，∵∠CAB＝90°，∴∠CAF+∠BAO＝90°，∴∠ACF＝∠BAO，在△ACF和△ABO中，，∴△ACF≌△ABO（AAS），∴CF＝OA＝1，∴A（0，1）；（2）如图2，过点C作CG⊥AC交y轴于点G，∵CG⊥AC，∴∠ACG＝90°，∠CAG+∠AGC＝90°，∵∠AOD＝90°，∴∠ADO+∠DAO＝90°，∴∠AGC＝∠ADO，在△ACG和△ABD中，，∴△ACG≌△ABD（AAS），∴CG＝AD＝CD，∠ADB＝∠G，∵∠ACB＝45°，∠ACG＝90°，∴∠DCE＝∠GCE＝45°，在△DCE和△GCE中，，∴△DCE≌△GCE（SAS），∴∠CDE＝∠G，∴∠ADB＝∠CDE；（3）BP的长度不变，理由如下：如图（3），过点C作CE⊥y轴于点E．∵∠ABC＝90°，∴∠CBE+∠ABO ＝90°．∵∠BAO+∠ABO＝90°，∴∠CBE＝∠BAO．∵∠CEB＝∠AOB＝90°，AB＝AC，∴△CBE≌△BAO （AAS），∴CE＝BO，BE＝AO＝4．∵BD＝BO，∴CE＝BD．∵∠CEP＝∠DBP＝90°，∠CPE＝∠DPB，∴△CPE≌△DPB（AAS），∴BP＝EP＝2．8．如图，在△ABC中．AB＝AC，点E在线段BC上，连接AE并延长到G，使得EG＝AE，过点G作GD∥BA分别交BC，AC于点F，D．（1）求证：△ABE≌△GFE；（2）若GD＝3，CD＝1，求AB的长度；（3）过点D作DH⊥BC于H，P是直线DH上的一个动点，连接AF，AP，FP，若∠C＝45°，在（2）的条件下，求△AFP周长的最小值．【解答】（1）证明：如图1中，∵GD∥AB，∴∠B＝∠EFG，在△ABE和△GFE中，，∴△ABE≌△GFE（AAS）．（2）解：如图1中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵DF∥AB，∴∠DFC＝∠B，∴∠DFC＝∠DCF，∴DC＝DF＝1，∵DG＝3，∴FG＝DG﹣DF＝2，∵△ABE≌△GFE，∴AB＝GF＝2．（3）解：如图2中，∵AB＝AC＝2，∴∠B＝∠C＝45°，∴∠BAC＝90°，∵AB∥FD，∴∠FDC＝∠BAC ＝90°，即FD⊥AC∵AC＝AB＝2，CD＝1，∴DA＝DC，∴F A＝FC，∴∠C＝∠F AC＝45°，∴∠AFC＝90°，∴DF＝DA＝DC＝1，∴AF＝，∵DH⊥CF，∴FH＝CH，∴点F与点C关于直线PD对称，∴当点P与D重合时，△P AF的周长最小，最小值＝△ADF的周长＝2+．9.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A（0，3）与点B关于x轴对称，点C（n，0）为x轴的正半轴上一动点．以AC为边作等腰直角三角形ACD，∠ACD＝90°，点D在第一象限内．连接BD，交x轴于点F．（1）如果∠OAC＝38°，求∠DCF的度数；（2）用含n的式子表示点D的坐标；（3）在点C运动的过程中，判断OF的长是否发生变化？若不变求出其值，若变化请说明理由．【解答】解：（1）∵∠AOC＝90°，∴∠OAC+∠ACO＝90°，∵∠ACD＝90°，∴∠DCF+∠ACO＝90°，∴∠DCF＝∠OAC，∵∠OAC＝38°，∴∠DCF＝38°；（2）如图，过点D作DH⊥x轴于H，∴∠CHD＝90°∴∠AOC＝∠CHD＝90°，∵等腰直角三角形ACD，∠ACD＝90°∴AC＝CD，由（1）知，∠DCF＝∠OAC，∴△AOC≌△CHD（AAS），∴OC＝DH＝n，AO ＝CH＝3，∴点D的坐标（n+3，n）；（3）不会变化，理由：∵点A（0，3）与点B关于x轴对称，∴AO＝BO，又∵OC⊥AB，∴x轴是AB垂直平分线，∴AC＝BC，∴∠BAC＝∠ABC，又∵AC＝CD，∴BC＝CD，∴∠CBD＝∠CDB，∵∠ACD＝90°，∴∠ACB+∠DCB＝270°，∴∠BAC+∠ABC+∠CBD+∠CDB＝90°，∴∠ABC+∠CBD＝45°，∵∠BOF＝90°，∴∠OFB＝45°，∴∠OBF＝∠OFB＝45°，∴OB＝OF＝3，∴OF的长不会变化．题型二：等腰三角形、等边三角形综合类压轴题10．（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．①∠AEB的度数为②猜想线段AD，BE之间的数量关系为：，并证明你的猜想．（2）拓展探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请求出∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系．【解答】解：（1）①∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，即∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE，∴∠CEB＝∠CDA＝120°，∴∠AEB＝60°，故答案为：60°；②AD＝BE，证明：∵△ACD≌△BCE，∴AD＝BE，故答案为：AD＝BE；（2）∠AEB＝90°，AE﹣BE＝2CM，证明：∵△DCE是等腰直角三角形，CM是中线，∴CM＝DM＝EM＝DE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE，∴∠CDA＝∠CEB，∵∠CDA＝135°，∴∠AEB＝135°﹣45°＝90°，∴BE＝AD，∴AE﹣AD＝DE＝2CM，∴AE﹣BE＝2CM．11.如图1，已知△ABC和△EFC都是等边三角形，且点E在线段AB上．（1）求证：BF∥AC；（2）过点E作EG∥BC交AC于点G，试判断△AEG的形状并说明理由；（3）如图2，若点D在射线CA上，且ED＝EC，求证：AB＝AD+BF．【解答】（1）证明：∵△ABC和△EFC都是等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠ACB＝∠ECF＝60°，AC＝BC，CE＝FC，∴∠ACE＝∠BCF，在△ACE与△FCB中，，∴△ACE≌△FCB（SAS），∴∠A＝∠CBF＝60°，∵∠ABC＝60°，∴∠A+∠ABC+∠CBF＝180°，∴∠A+∠ABF＝180°，∴AC∥BF；（2）解：△AEG是等边三角形，理由如下：如图1所示：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠ACB ＝60°，∵EG∥BC，∴∠AEG＝∠ABC＝60°，∠AGE＝∠ACB＝60°，∴∠A＝∠AEG＝∠AGE＝60°，∴△AEG是等边三角形；（3）证明：如图2，过E作EM∥BC交AC于M，则∠AEM＝∠ABC＝60°，∠AME＝∠ACB＝60°，∵∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠A＝∠AEM＝∠AME＝60°，∴△AEM是等边三角形，∴AE＝EM＝AM，∴∠DAE＝∠EMC＝120°，∵DE＝CE，∴∠D＝∠MCE，在△ADE和△MCE中，，∴△ADE≌△MCE（AAS），∴AD＝CM，∴AC＝AM+CM，由（1）得△ACE≌△FCB，∴BF＝AE，∴BF＝AM，∴AC＝BF+AD，∴AB＝AD+BF．12．已知：△ABC为等边三角形，点E为射线AC上一点，点D为射线CB上一点，AD＝DE．（1）如图1，当E在AC的延长线上且CE＝CD时，求证：BD＝CD；（2）如图2，当E在AC的延长线上时，AB+BD等于AE吗？请说明理由；（3）如图3，当D在线段CB的延长线上，E在线段AC上时，请直接写出AB、BD、AE的数量关系，并证明．【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°，∵CD＝CE，∴∠CDE＝∠E，∵∠ACD＝∠CDE+∠E＝60°，∴∠E＝30°，∵DA＝DE，∴∠DAC＝∠E＝30°，∵∠BAC＝60°，∴∠DAB＝∠CAD，∵AB＝AC，∴BD＝DC；（2）结论：AB+BD＝AE，理由如下：如图2，在AB上取BH＝BD，连接DH，∵BH＝BD，∠B＝60°，∴△BDH为等边三角形，AB﹣BH＝BC﹣BD，即AH＝DC，∴∠BHD＝60°，BD＝DH，∵AD＝DE，∴∠E＝∠CAD，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠ACB﹣∠E，即∠BAD＝∠CDE，∵∠BHD＝60°，∠ACB＝60°，∴180°﹣∠BHD＝180°﹣∠ACB，即∠AHD＝∠DCE，在△AHD和△DCE，，∴△AHD≌△DCE（AAS），∴DH＝CE，∴BD＝CE，∴AE＝AC+CE＝AB+BD；（3）AB＝BD+AE；如图3，在AB上取AF＝AE，连接DF，∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝∠ABC＝60°，∴△AFE是等边三角形，∴∠F AE＝∠FEA＝∠AFE＝60°，∴EF∥BC，∴∠EDB＝∠DEF，∵AD＝DE，∴∠DEA＝∠DAE，∴∠DEF ＝∠DAF，在△AFD和△EFD中，，∴△AFD≌△EFD（SSS），∴∠ADF＝∠EDF，∠DAF＝∠DEF，∴∠FDB＝∠EDF+∠EDB，∠DFB＝∠DAF+∠ADF，∵∠EDB＝∠DEF，∴∠FDB＝∠DFB，∴DB＝BF，∵AB＝AF+FB，∴AB＝BD+AE．13．已知△ABC为等边三角形，取△ABC的边AB，BC中点D，E，连接DE，如图1，易证△DBE为等边三角形，将△DBE绕点B顺时针旋转，设旋转的角度∠ABD＝α，其中0＜α＜180°．（1）如图2，当α＝30°，连接AD，CE，求证：AD＝CE；（2）在△DBE旋转过程中，当α超过一定角度时，如图3，连接AD，CE会交于一点，记交点为点F，AD 交BC于点P，CE交BD于点Q，连接BF，请问BF是否会平分∠CBD？如果是，求出α，如果不是，请说明理由；（3）在第（2）问的条件下，试猜想线段AF，BF和CF之间的数量关系，并说明理由．【解答】证明：（1）∵△ABC，△DBE都是等边三角形，∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝60°，∴∠ABD＝∠CBE，在△ABD和△CBE中，，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴AD＝CE；（2）不存在，理由如下：如图3，过点B作BN⊥AD于N，过点B作BH⊥CE于H，∵△ABC，△DBE都是等边三角形，∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE ＝60°，∴∠ABD＝∠CBE，在△ABD和△CBE中，，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴AD＝CE，S△ABD＝S△CBE，∠BAD ＝∠BCE，∴×AD×BN＝×CE×BH，∴BN＝BH，又∵BF＝BF，∴Rt△BFN≌Rt△BFH（HL），∴∠AFB＝∠EFB，∵∠BAD＝∠BCE，∠CPF＝∠APB，∴∠AFC＝∠ABC＝60°，∴∠AFB＝∠EFB＝60°，∴∠CFB＝∠DFB＝120°，当BF平分∠CBD时，则∠CBF＝∠DBF，∴∠BCF＝180°﹣∠CBF﹣∠CFB＝180°﹣∠DBF﹣∠DFB＝∠ADB，∴∠DAB＝∠ADB，∴AB＝DB，与题干DB＝BC＝AB相矛盾，∴BF不会平分∠CBD；（3）AF＝CF+BF，理由如下：如图4，在AF上截取MF＝BF，连接BM，∵∠AFB＝60°，MF＝FB，∴△MFB是等边三角形，∴MB＝BF，∠MBF ＝∠ABC＝60°，∴∠ABM＝∠CBF，在△ABM和△CBF中，，∴△ABM≌△CBF（SAS），∴AM＝CF，∵AF＝AM+MF，∴AF＝CF+BF．14．如图1，△ABC为等腰三角形，∠ABC＝90°，点P在线段BC上（不与B、C重合），以点A为直角顶点作等腰直角△P AQ，且点Q在AP的左下方，过点Q作QE⊥AB于点E．（1）求证：△P AB≌△AQE；（2）连接CQ交AB于M，若PC＝2PB，求的值．（3）如图2，过点Q作QF⊥AQ于AB的延长线于点F，过P点作DP⊥AP交AC于点D，连接DF，当点P在线段BC上运动时（不与B，C重合），式子的值会变化吗？若不变，求出该值；若变化，请说明理由．【解答】（1）证明：∵△ACB 为等腰三角形，∠ABC＝90°，△P AQ是等腰直角三角形，QE⊥AB于E．∴AP＝AQ，∠ABP＝∠QEA＝90°，∠QAE+∠BAP＝∠BAP+∠APB＝90°，∴∠QAE＝∠APB，在△P AB和△AQE中，，∴△P AB≌△AQE（AAS）；（2）解：∵△P AB≌△AQE，∴AE＝PB，∵AB＝CB，∴QE＝CB．在△QEM和△CBM中，，∴△QEM≌△CBM（AAS），∴ME＝MB，∵AB＝CB，AE＝PB，PC＝2PB，∴BE＝PC，∵PC＝2PB，∴PC＝2MB，∴＝2；（3）解：式子的值不会变化，理由如下：过A作HA⊥AC交QF于点H，如图2所示：∵QA⊥AP，HA⊥AC，AP⊥PD，∴∠QAH+∠HAP＝∠HAP+∠P AD＝90°，∠AQH＝∠APD＝90°，∴∠QAH＝∠P AD，∵△P AQ为等腰直角三角形，∴AQ＝AP，在△AQH和△APD中，，∴△AQH≌△APD（ASA），∴AH＝AD，QH＝PD，∵HA⊥AC，∠BAC＝45°，∴∠HAF＝∠DAF，在△AHF和△ADF中，，∴△AHF≌△ADF（SAS），∴HF＝DF，∴＝＝＝1．15．如图1，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，AB＝AC，∠BAC＝90°，CM⊥y轴，交y轴于点M．（1）求证∠ABO＝∠CAM；（2）如图2，D，E为y轴上的两个点，BD＝BE，BD⊥BE，求∠CEM的度数；（3）如图3，△P AQ是等腰直角三角形，∠P AQ为顶角，点Q在x轴负半轴上，连接CB，交y轴于点H，AC与x轴交于点G，连接PC，交AQ于点K，交x轴于点N，若CN＝CM，NG＝3，HM＝2，求GH．【解答】（1）证明：∵∠BOA＝90°，∴∠BAO+∠ABO＝90°，又∵∠BAC＝∠BAO+∠CAM＝90°，∴∠ABO＝∠CAM；（2）解：∵CM⊥y轴，∴∠AMC＝∠BOA＝90°，∵AB＝AC，∠ABO＝∠CAM，∴△AMC≌△BOA（AAS），∴CM＝AO，AM＝BO，∵BD＝BE，BD⊥BE，∴△BDE是等腰直角三角形，∴∠BDE＝∠BED＝45°，∠EBO ＝∠DBE＝45°，∴∠EBO＝∠BEO，∴BO＝EO＝AM，∴EO﹣OM＝AM﹣OM，∴EM＝AO＝CM，∴△CME是等腰直角三角形，∴∠CEM＝45°；（3）解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ACB＝45°，∵△P AQ是等腰直角三角形，∴P A＝QA，∠P AQ＝∠CAB＝90°，∴∠P AQ+∠QAC＝∠CAB+∠QAC，即∠P AC＝∠QAB，∵AC＝AB，∴△P AC≌△QAB（SAS），∴∠APC＝∠AQB，∵∠AKP＝∠QKN，∴∠QNK＝∠P AK＝90°，∵CM⊥y轴，∴CM∥NO，∴∠NCM＝∠KNO＝90°，在ON的延长线上截取NI＝MH，连接CI，如图3所示：∵CN＝CM，∠CNI＝∠CMH＝90°，∴△CNI≌△CMH（SAS），∴∠NCI＝∠MCH，CI＝CH，∴∠NCG+∠NCI ＝∠NCG+∠MCH＝∠NCM﹣∠GCH＝90°﹣45°＝45°＝∠GCH＝∠GCI，∴△GCI≌△GCH（SAS），∴GI ＝GH，∵GI＝IN+NG＝HM+NG＝2+3＝5，∴GH＝5．16．如图1，OA＝2，OB＝4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC，（1）求C点的坐标；（2）如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，P A为腰作等腰Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP﹣DE的值；（3）如图3，已知点F坐标为（﹣2，﹣2），当G在y轴的负半轴上沿负方向运动时，作Rt△FGH，始终保持∠GFH＝90°，FG与y轴负半轴交于点G（0，m），FH与x轴正半轴交于点H（n，0），当G点在y 轴的负半轴上沿负方向运动时，以下两个结论：①m﹣n为定值；②m+n为定值，其中只有一个结论是正确的，请找出正确的结论，并求出其值．【解答】解：（1）过C 作CM⊥x轴于M点，如图1，∵CM⊥OA，AC⊥AB，∴∠MAC+∠OAB＝90°，∠OAB+∠OBA＝90°则∠MAC＝∠OBA在△MAC和△OBA中，则△MAC≌△OBA（AAS），则CM＝OA＝2，MA＝OB ＝4，则点C的坐标为（﹣6，﹣2）；（2）过D作DQ⊥OP于Q点，如图2，则OP﹣DE＝PQ，∠APO+∠QPD＝90°∠APO+∠OAP＝90°，则∠QPD＝∠OAP，在△AOP和△PDQ中，则△AOP≌△PDQ（AAS），∴OP﹣DE＝PQ＝OA＝2；（3）结论②是正确的，m+n＝﹣4，如图3，过点F分别作FS⊥x轴于S点，FT⊥y轴于T点，则FS＝FT＝2，∠FHS＝∠HFT＝∠FGT，在△FSH和△FTG中，则△FSH≌△FTG（AAS），则GT＝HS，又∵G（0，m），H（n，0），点F坐标为（﹣2，﹣2），∴OT═OS＝2，OG＝|m|＝﹣m，OH＝n，∴GT＝OG﹣OT＝﹣m﹣2，HS＝OH+OS＝n+2，则﹣2﹣m＝n+2，则m+n＝﹣4．17．如图，四边形OABC的位置在平面直角坐标系中如图所示，且A（0，a），B（b，a），C（b，0），又a，b满足﹣+b2+4b+8＝0，点P在x轴上且横坐标大于b，射线OD是第一象限的一条射线，点Q在射线OD上，BP＝PQ．并连接BQ交y轴于点M．（1）求点A，B，C的坐标为A、B、C．（2）当BP⊥PQ时，求∠AOQ的度数．（3）在（2）的条件下，若点P在x轴的正半轴上，且OP＝3AM，试求点M的坐标．【解答】解：（1）∵﹣+b2+4b+8＝0，∴﹣+（b﹣4）2＝0，∴a＝4，b＝4，∴A（0，4），B（﹣4，4），C（﹣4，0），故答案为（0，4），（﹣4，4），（﹣4，0）；（2）由（1）知，A（0，4），B（﹣4，4），C（﹣4，0），∴AB ＝BC＝OC＝OA＝4，∴四边形OABC是菱形，∵∠AOC＝90°，∴菱形OABC是正方形，过点Q作QN⊥x轴于N，∴∠PNQ＝90°，∴∠QPN+∠PQN＝90°，∵BP⊥BQ，∴∠BPQ＝90°，∴∠BPC+∠QPN＝90°，∴∠PQN＝∠BPC，由（1）知，B（﹣4，4），C（﹣4，0），∴BC＝4，BC⊥x，∴∠BCP＝∠PNQ＝90°，在△BCP和△PNQ中，，∴△BCP≌△PNQ（AAS），∴CP＝QN，BC＝PN，∴OC＝PN＝4，①当点P在x轴负半轴时，如图1、OC＝CP+OP，PN＝OP+ON，∴CP＝ON，∵CP＝QN，∴ON＝QN，∵∠PNQ＝90°，∴∠QON＝45°，∴∠AOQ＝45°，②当点P在x轴正半轴时，如图2、OC＝CP﹣OP，PN＝ON﹣OP，∴CP＝ON，∵CP＝QN，∴ON＝QN，∵∠PNQ＝90°，∴∠QON＝45°，∴∠AOQ＝45°，即：∠AOQ＝45°；（3）如图2，过点Q作QN⊥x轴于N，设P（m，0）（m＞0），∵OP＝3AM，∴AM＝OP＝m，∴M（0，m+4），∵点B（﹣4，4），∴直线BM的解析式为y＝mx+m+4，由（2）知，PN＝OC＝4，∴N（m+4，0），∴Q（m+4，m+4），∵点Q在直线BM上，∴m（m+4）+m+4＝m+4，∴m＝0（舍）或m＝4，∴M（0，）．。
2020年中考数学压轴题突破专题5 二次函数与线段和角的数量关系问题
2020年中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练专题05 二次函数与线段和角的数量关系问题【真题再现】1．（2019年宿迁28题）如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A、B两点，其中点A坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图①，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠P AB＝2∠ACO．求点P的坐标；（3）如图②，点Q为x轴下方抛物线上任意一点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，直线AQ、BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N．请问DM+DN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．2．（2019年盐城27题）如图所示，二次函数y＝k（x﹣1）2+2的图象与一次函数y＝kx﹣k+2的图象交于A、B两点，点B在点A的右侧，直线AB分别与x、y轴交于C、D两点，其中k＜0．（1）求A、B两点的横坐标；（2）若△OAB是以OA为腰的等腰三角形，求k的值；（3）二次函数图象的对称轴与x轴交于点E，是否存在实数k，使得∠ODC＝2∠BEC，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．3．（2018年常州28题）如图，二次函数y bx+2的图象与x轴交于点A、B，与y 轴交于点C，点A的坐标为（﹣4，0），P是抛物线上一点（点P与点A、B、C不重合）．（1）b＝，点B的坐标是；（2）设直线PB与直线AC相交于点M，是否存在这样的点P，使得PM：MB＝1：2？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC、BC，判断∠CAB和∠CBA的数量关系，并说明理由．4．（2019年苏州28题）如图①，抛物线y＝﹣x2+（a+1）x﹣a与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C．已知△ABC的面积是6．（1）求a的值；（2）求△ABC外接圆圆心的坐标；（3）如图②，P是抛物线上一点，Q为射线CA上一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线BP同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d，△QPB的面积为2d，且∠P AQ＝∠AQB，求点Q的坐标．5．（2018年无锡28题）已知：如图，一次函数y＝kx﹣1的图象经过点A（3，m）（m＞0），与y轴交于点B．点C在线段AB上，且BC＝2AC，过点C作x轴的垂线，垂足为点D．若AC＝CD．（1）求这个一次函数的表达式；（2）已知一开口向下、以直线CD为对称轴的抛物线经过点A，它的顶点为P，若过点P且垂直于AP的直线与x轴的交点为Q（，0），求这条抛物线的函数表达式．6．（2017年苏州28题）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OB＝OC．点D在函数图象上，CD∥x轴，且CD＝2，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．（1）求b、c的值；（2）如图①，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F'恰好在线段BE上，求点F的坐标；（3）如图②，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M，与抛物线交于点N．试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由．【专项突破】【题组一】1．（2020•无锡模拟）如图，已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C．过点A的直线y＝kx+2k（k≠0）与这个二次函数的图象的另一个交点为F，与该图象的对称轴交于点E，与y轴交于点D，且DE＝EF．（1）求点A的坐标；（2）若△BDF的面积为12，求这个二次函数的关系式；（3）设二次函数的顶点为P，连接PF，PC，若∠CPF＝2∠DAB，求此时二次函数的表达式．2．（2020•镇江模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y x﹣2的图象分别交x、y轴于点A、B，抛物线y＝x2+bx+c经过点A、B，点P为第四象限内抛物线上的一个动点．（1）求此抛物线对应的函数表达式；（2）如图1所示，过点P作PM∥y轴，分别交直线AB、x轴于点C、D，若以点P、B、C为顶点的三角形与以点A、C、D为顶点的三角形相似，求点P的坐标；（3）如图2所示，过点P作PQ⊥AB于点Q，连接PB，当△PBQ中有某个角的度数等于∠OAB度数的2倍时，请直接写出点P的横坐标．3．（2020•滨湖区模拟）已知二次函数y＝ax2+4amx（m＞0）的对称轴与x轴交于点B，与直线l：y交于点C，点A是该二次函数图象与直线l在第二象限的交点，点D是抛物线的顶点，已知AC：CO＝1：2，∠DOB＝45°，△ACD的面积为2．（1）求抛物线的函数关系式；（2）若点P为抛物线对称轴上的一个点，且∠POC＝45°，求点P坐标．4．（2020•营口模拟）如图1，抛物线y＝﹣x2+mx+n交x轴于点A（﹣2，0）和点B，交y 轴于点C（0，2）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点M在抛物线上，且S△AOM＝2S△BOC，求点M的坐标；（3）如图2，设点N是线段AC上的一动点，作DN⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DN长度的最大值．【题组二】5．（2019•梁溪区校级二模）已知，在平面直角坐标系中，直线l与y轴相交于点A（0，m），其中m＜0，与x轴相交于点B（4，0）．抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点B，它与直线l相交于另一点C．（1）若AC：BC＝1：3，求a的值（用含m的代数式表示）；（2）在（1）的条件下，若抛物线的顶点为F，其对称轴与直线l和x轴分别相交于点D、E，当以F、C、D为顶点的三角形与△BED相似时，求抛物线的函数表达式．6．（2019•邗江区校级二模）如图，抛物线y＝ax2+3x+c（a＜0）与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，OB＝OC＝4．（1）求该抛物线的函数解析式．（2）如图1，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD．OD交BC 于点F，当S△COF：S△CDF＝4：3时，求点D的坐标．（3）如图2，点E的坐标为（0，﹣2），点P是抛物线上的点，连接EB，PB，PE形成的△PBE中，是否存在点P，使∠PBE或∠PEB等于2∠OBE？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．7．（2019•靖江市校级一模）如图，抛物线y＝mx2﹣16mx+48m（m＞0）与x轴交于A，B 两点（点B在点A左侧），与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接OD、BD、AC、AD，延长AD交y轴于点E．（1）若△OAC为等腰直角三角形，求m的值；（2）若对任意m＞0，C、E两点总关于原点对称，求点D的坐标（用含m的式子表示）；（3）当点D运动到某一位置时，恰好使得∠ODB＝∠OAD，且点D为线段AE的中点．①求m的值；②此时对于该抛物线上任意一点P（x0，y0）总有n4my1250成立，求实数n的最小值．8．（2019•姑苏区校级二模）已知抛物线经过点A（﹣1，0）、点B（3，0）、点C（0，3），点D为抛物线在第一象限内图象上一动点，连接AD，交y轴于点E，将点C关于线段AD作轴对称，对称点为C'，连接AC'．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1如果点C'落在x轴，求点E坐标；（3）如图2，连接AC、BC，BC与AD交于点F，拖动点D，点C'落在第四象限，作FG∥AC，交x轴于点M，交AC'于点G，若∠AGF＝90°，求点M的横坐标．【题组三】9．（2019•宿豫区模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，且抛物线经过点D（2，3）．（1）求这条抛物线的表达式；（2）将该抛物线向下平移，使得新抛物线的顶点G在x轴上．原抛物线上一点M平移后的对应点为点N，如果△AMN是以MN为底边的等腰三角形，求点N的坐标；（3）若点P为抛物线上第一象限内的动点，过点B作BE⊥OP，垂足为E，点Q为y轴上的一个动点，连接QE、QD，试求QE+QD的最小值．10．（2019•灌南县二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx的图象经过点A（﹣1，0）、C（2，0），与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）M（s，t）为抛物线对称轴上的一个动点，①若平面内存在点N，使得A、B、M、N为顶点的四边形为矩形，直接写出点M的坐标；②连接MA、MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范围．11．（2019•润州区二模）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与直线AB相交，与x轴、y轴交于A（2，0）、B．（1）求点O关于AB的对称点P的坐标；（2）若点P在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，求二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的关系式．（3）在（2）的条件下，在△ABP内存在点M，使得MA+MB+MP的值最小，则相应点M的坐标为．12．（2019•洪泽区二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+5经过A（1，0）和B（5，0），与y轴交于点C点为点D，连接BC，BD．点P是抛物线对称轴上的一个动点（1）a＝，b；（2）若∠CPB＝90°，求点P的坐标；（3）是否存在点P，使得以P、D、B为顶点的三角形中有两个内角的和等于∠ABC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．（4）如图②，抛物线对称轴交x轴于点E，设∠BDE的度数为a，点M是线段BC上动点，作射线AM，将AM绕A点逆时针旋转2a度，旋转后的射线交直线BC与点N，请直接写出MN的最小值．（直接写出结果）【题组四】13．（2019•高港区三模）定义：两条长度相等，且它们所在的直线互相垂直，我们称这两条线段互为等垂线段．如图①，直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）若线段AB与线段BC互为等垂线段．求A、B、C的坐标．（2）如图②，点D是反比例函数y的图象上任意一点，点E（m，1），线段DE与线段AB互为等垂线段，求m的值；（3）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A、B两点．①用含a的代数式表示b．②点P为平面直角坐标系内的一点，在抛物线上存在点Q，使得线段PQ与线段AB互为等垂线段，且它们互相平分，请直接写出满足上述条件的a值．14．（2019•丹阳市一模）如图（1），二次函数y＝ax2﹣bx（a≠0）的图象与x轴、直线y＝x的交点分别为点A（4，0）、B（5，5）．（1）a＝，b＝，∠AOB＝°；（2）连接AB，点P是抛物线上一点（异于点A），且∠PBO＝∠OBA，求点P的坐标；（3）如图（2），点C、D是线段OB上的动点，且CD＝2．设点C的横坐标为m．①过点C、D分别作x轴的垂线，与抛物线相交于点F、E，连接EF．当CF+DE取得最大值时，求m的值并判断四边形CDEF的形状；②连接AC、AD，求m为何值时，AC+AD取得最小值，并求出这个最小值．15．（2019•建湖县二模）如图，二次函数y＝ax2﹣3ax+c的图象与x轴交于点A、B，与y 轴交于点C直线y＝﹣x+4经过点B、C．（1）求抛物线的表达式；（2）过点A的直线交抛物线于点M，交直线BC于点N．①点N位于x轴上方时，是否存在这样的点M，使得AM：NM＝5：3？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角∠ANB等于∠ACB的2倍时，请求出点M的横坐标．16．（2019•无锡二模）已知，如图，二次函数y＝ax2+2ax﹣3a（a＞0）图象的顶点为C与x 轴交于A、B两点（点A在点B左侧），点C、B关于过点A的直线l：y＝kx对称．（1）求A、B两点坐标及直线l的解析式；（2）求二次函数解析式；（3）如图2，过点B作直线BD∥AC交直线l于D点，M、N分别为直线AC和直线l 上的两动点，连接CN，NM、MD，求D的坐标并直接写出CN+NM+MD的最小值．【题组五】17．（2019•兴化市二模）已知，关于x的二次函数y＝ax2﹣2ax（a＞0）的顶点为C，与x 轴交于点O、A，关于x的一次函数y＝﹣ax（a＞0）．（1）试说明点C在一次函数的图象上；（2）若两个点（k，y1）、（k+2，y2）（k≠0，±2）都在二次函数的图象上，是否存在整数k，满足？如果存在，请求出k的值；如果不存在，请说明理由；（3）若点E是二次函数图象上一动点，E点的横坐标是n，且﹣1≤n≤1，过点E作y 轴的平行线，与一次函数图象交于点F，当0＜a≤2时，求线段EF的最大值．18．（2019•清江浦区一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于点B（﹣3，0）和C（4，0）与y轴交于点A．（1）a＝，b＝；（2）点M从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿AB向B运动，同时，点N从点B 出发以每秒1个单位长度的速度沿BC向C运动，当点M到达B点时，两点停止运动．t 为何值时，以B、M、N为顶点的三角形是等腰三角形？（3）点P是第一象限抛物线上的一点，若BP恰好平分∠ABC，请直接写出此时点P的坐标．19．（2019•常州一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+m交y轴于点C，与抛物线y＝ax2+bx交于点A（4，0）、B（，）．（1）直线l的表达式为：，抛物线的表达式为：；（2）若点P是二次函数y＝ax2+bx在第四象限内的图象上的一点，且2S△APB＝S△AOB，求△AOP的面积；（3）若点Q是二次函数图象上一点，设点Q到直线l的距离为d，到抛物线的对称轴的距离为d1，当|d﹣d1|＝2时，请直接写出点Q的坐标．20．（2019•东台市模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+3的图象经过点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C，顶点是D．（1）求抛物线的表达式和顶点D的坐标；（2）在x轴上取点F，在抛物线上取点E，使以点C、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，求点E的坐标；（3）将此抛物线沿着过点（0，2）且垂直于y轴的直线翻折，E为所得新抛物线x轴上方一动点，过E作x轴的垂线，交x轴于G，交直线l：y x﹣1于点F，以EF为直径作圆在直线l上截得弦MN，求弦MN长度的最大值．【题组六】21．（2019•昆山市二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）交x轴于点A（2，0），B（﹣3，0），交y轴于点C，且经过点D（﹣6，﹣6），连接AD，BD．（1）求该抛物线的函数关系式；（2）若点M为X轴上方的抛物线上一点，能否在点A左侧的x轴上找到另一点N，使得△AMN与△ABD相似？若相似，请求出此时点M、点N的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P是直线AD上方的抛物线上一动点（不与A，D重合），过点P作PQ∥y轴交直线AD于点Q，以PQ为直径作⊙E，则⊙E在直线AD上所截得的线段长度的最大值等于．（直接写出答案）22．（2019•泰兴市一模）如图1，抛物线l1：：y1＝a（x﹣2）2与直线l2：y2＝﹣am（x﹣2）+b（a，m，b为常数，a≠0，m＜0）交于A，B两点，直线l2交x轴交于点C．点A的坐标为（m+2，n）．（1）若a＝﹣1，m＝﹣3，则A的坐标为，b＝，点B的坐标为；（2）已知点M（0，﹣4），N（3，﹣4），抛物线l1与线段MN有两个公共点，求a的取值范围；（3）①如图1，求证：AB＝3AC；②如图2，设抛物线顶点为F，直线l2交抛物线的对称轴于点D，直线l3：y3＝2am（x﹣2）+d（d为常数，d≠0）经过点A，并交抛物线的对称轴于点E，若∠BFD＝p∠AED （p为常数），则p的值是否发生变化？若不变，请求出p的值；若变化，请说明理由．23．（2019•铜山区二模）已知，如图，二次函数y＝ax2+bx+c图象交x轴于A（﹣1，0），交y轴于点C（0，3），D是抛物线的顶点，对称轴DF经过x轴上的点F（1，0）．（1）求二次函数关系式；（2）对称轴DF与BC交于点M，点P为对称轴DF上一动点．①求AP PD的最小值及取得最小值时点P的坐标；②在①的条件下，把△APF沿着x轴向右平移t个单位长度（0≤t≤4）时，设△APF与△MBF重叠部分面积记为S，求S与t之间的函数表达式，并求出S的最大值．24．（2019•靖江市一模）如图1，将抛物线y＝ax2（a＜0平移到顶点M恰好落在直线y＝x+3上，且抛物线过直线与y轴的交点A，设此时抛物线顶点的横坐标为m（m＞0）．（1）用含m的代数式表示a；（2）如图2，Rt△CBT与抛物线交于C、D、T三点，∠B＝90°，BC∥x轴，CD＝2．BD ＝t．BT＝2t，△TDC的面积为4．①求抛物线方程；②如图3，P为抛物线AM段上任一点，Q（0，4），连结QP并延长交线段AM于N，求的最大值．参考答案【真题再现】1．（2019年宿迁28题）如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A、B两点，其中点A坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图①，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠P AB＝2∠ACO．求点P的坐标；（3）如图②，点Q为x轴下方抛物线上任意一点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，直线AQ、BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N．请问DM+DN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．【分析】（1）把点A、C坐标代入抛物线解析式即求得b、c的值．（2）点P可以在x轴上方或下方，需分类讨论．①若点P在x轴下方，延长AP到H，使AH＝AB构造等腰△ABH，作BH中点G，即有∠P AB＝2∠BAG＝2∠ACO，利用∠ACO 的三角函数值，求BG、BH的长，进而求得H的坐标，求得直线AH的解析式后与抛物线解析式联立，即求出点P坐标．②若点P在x轴上方，根据对称性，AP一定经过点H 关于x轴的对称点H'，求得直线AH'的解析式后与抛物线解析式联立，即求出点P坐标．（3）设点Q横坐标为t，用t表示直线AQ、BN的解析式，把x＝﹣1分别代入即求得点M、N的纵坐标，再求DM、DN的长，即得到DM+DN为定值．【解析】（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（1，0），C（0，﹣3）∴解得：∴抛物线的函数表达式为y＝x2+2x﹣3（2）①若点P在x轴下方，如图1，延长AP到H，使AH＝AB，过点B作BI⊥x轴，连接BH，作BH中点G，连接并延长AG交BI于点F，过点H作HI⊥BI于点I∵当x2+2x﹣3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1∴B（﹣3，0）∵A（1，0），C（0，﹣3）∴OA＝1，OC＝3，AC，AB＝4∴Rt△AOC中，sin∠ACO，cos∠ACO∵AB＝AH，G为BH中点∴AG⊥BH，BG＝GH∴∠BAG＝∠HAG，即∠P AB＝2∠BAG∵∠P AB＝2∠ACO∴∠BAG＝∠ACO∴Rt△ABG中，∠AGB＝90°，sin∠BAG∴BG AB∴BH＝2BG∵∠HBI+∠ABG＝∠ABG+∠BAG＝90°∴∠HBI＝∠BAG＝∠ACO∴Rt△BHI中，∠BIH＝90°，sin∠HBI，cos∠HBI ∴HI BH，BI BH∴x H＝﹣3，y H，即H（，）设直线AH解析式为y＝kx+a∴解得：∴直线AH：y x∵解得：（即点A），∴P（，）②若点P在x轴上方，如图2，在AP上截取AH'＝AH，则H'与H关于x轴对称∴H'（，）设直线AH'解析式为y＝k'x+a'∴解得：∴直线AH'：y x∵解得：（即点A），∴P（，）综上所述，点P的坐标为（，）或（，）．（3）DM+DN为定值∵抛物线y＝x2+2x﹣3的对称轴为：直线x＝﹣1∴D（﹣1，0），x M＝x N＝﹣1设Q（t，t2+2t﹣3）（﹣3＜t＜1）设直线AQ解析式为y＝dx+e∴解得：∴直线AQ：y＝（t+3）x﹣t﹣3当x＝﹣1时，y M＝﹣t﹣3﹣t﹣3＝﹣2t﹣6∴DM＝0﹣（﹣2t﹣6）＝2t+6设直线BQ解析式为y＝mx+n∴解得：∴直线BQ：y＝（t﹣1）x+3t﹣3当x＝﹣1时，y N＝﹣t+1+3t﹣3＝2t﹣2∴DN＝0﹣（2t﹣2）＝﹣2t+2∴DM+DN＝2t+6+（﹣2t+2）＝8，为定值．点睛：本题考查了求二次函数解析式、求一次函数解析式，解一元二次方程、二元一次方程组，等腰三角形的性质，三角函数的应用．第（2）题由于不确定点P位置需分类讨论；（2）（3）计算量较大，应认真理清线段之间的关系再进行计算．2．（2019年盐城27题）如图所示，二次函数y＝k（x﹣1）2+2的图象与一次函数y＝kx﹣k+2的图象交于A、B两点，点B在点A的右侧，直线AB分别与x、y轴交于C、D两点，其中k＜0．（1）求A、B两点的横坐标；（2）若△OAB是以OA为腰的等腰三角形，求k的值；（3）二次函数图象的对称轴与x轴交于点E，是否存在实数k，使得∠ODC＝2∠BEC，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．【分析】（1）将二次函数与一次函数联立得：k（x﹣1）2+2＝kx﹣k+2，即可求解；（2）分OA＝AB、OA＝OB两种情况，求解即可；（3）求出m＝﹣k2﹣k，在△AHM中，tanαk tan∠BEC k+2，即可求解．【解析】（1）将二次函数与一次函数联立得：k（x﹣1）2+2＝kx﹣k+2，解得：x＝1和2，故点A、B的坐标横坐标分别为1和2；（2）OA，①当OA＝AB时，即：1+k2＝5，解得：k＝±2（舍去2）；②当OA＝OB时，4+（k+2）2＝5，解得：k＝﹣1或﹣3；故k的值为：﹣1或﹣2或﹣3；（3）存在，理由：①当点B在x轴上方时，过点B作BH⊥AE于点H，将△AHB的图形放大见右侧图形，过点A作∠HAB的角平分线交BH于点M，过点M作MN⊥AB于点N，过点B作BK⊥x轴于点K，图中：点A（1，2）、点B（2，k+2），则AH＝﹣k，HB＝1，设：HM＝m＝MN，则BM＝1﹣m，则AN＝AH＝﹣k，AB，NB＝AB﹣AN，由勾股定理得：MB2＝NB2+MN2，即：（1﹣m）2＝m2+（k）2，解得：m＝﹣k2﹣k，在△AHM中，tanαk tan∠BEC k+2，解得：k，此时k+2＞0，则﹣2＜k＜0，故：舍去正值，故k；②当点B在x轴下方时，同理可得：tanαk tan∠BEC（k+2），解得：k或，此时k+2＜0，k＜﹣2，故舍去，故k的值为：或．点睛：本题为二次函数综合应用题，涉及到一次函数、解直角三角形的知识，其中（3），通过tan2α求出tanα，是此类题目求解的一般方法．3．（2018年常州28题）如图，二次函数y bx+2的图象与x轴交于点A、B，与y 轴交于点C，点A的坐标为（﹣4，0），P是抛物线上一点（点P与点A、B、C不重合）．（1）b＝，点B的坐标是（，0）；（2）设直线PB与直线AC相交于点M，是否存在这样的点P，使得PM：MB＝1：2？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC、BC，判断∠CAB和∠CBA的数量关系，并说明理由．【分析】（1）由点A的坐标，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出b的值，代入y ＝0求出x值，进而可得出点B的坐标；（2）（解法一）代入x＝0求出y值，进而可得出点C的坐标，由点A、C的坐标利用待定系数法可求出直线AC的解析式，假设存在，设点M的坐标为（m，m+2），分B、P 在直线AC的同侧和异侧两种情况考虑，由点B、M的坐标结合PM：MB＝1：2即可得出点P的坐标，再利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出结论；（解法二）代入x＝0求出y值，进而可得出点C的坐标，由点A、C的坐标利用待定系数法可求出直线AC的解析式，过点B作BB′∥y轴交直线AC于点B′，过点P作PP′∥y轴交直线AC于点P′，由点B的坐标可得出BB′的值，结合相似三角形的性质可得出PP′的值，设点P的坐标为（x，x2x+2），则点P′的坐标为（x，x+2），结合PP′的值可得出关于x的含绝对值符号的一元二次方程，解之即可得出结论；（3）（解法一）作∠CBA的角平分线，交y轴于点E，过点E作EF⊥BC于点F，设OE ＝n，则CE＝2﹣n，EF＝n，利用面积法可求出n值，进而可得出，结合∠AOC＝90°＝∠BOE可证出△AOC∽△BOE，根据相似三角形的性质可得出∠CAO＝∠EBO，再根据角平分线的性质可得出∠CBA＝2∠EBO＝2∠CAB，此题得解；（解法二）将BC沿y轴对折，交x轴于点B′，根据点A、B、C的坐标可得出点B′的坐标，进而可得出AB′＝B′C＝BC，根据等腰三角形的性质结合三角形的外角性质，可得出∠CBA＝2∠CAB．【解析】（1）∵点A（﹣4，0）在二次函数y bx+2的图象上，∴4b+2＝0，∴b．当y＝0时，有x2x+2＝0，解得：x1＝﹣4，x2，∴点B的坐标为（，0）．故答案为：；（，0）．（2）（方法一）当x＝0时，y x2x+2＝2，∴点C的坐标为（0，2）．设直线AC的解析式为y＝kx+c（k≠0），将A（﹣4，0）、C（0，2）代入y＝kx+c中，得：，解得：，∴直线AC的解析式为y x+2．假设存在，设点M的坐标为（m，m+2）．①当点P、B在直线AC的异侧时，点P的坐标为（m，m+3），∵点P在抛物线y x2x+2上，∴m+3（m）2（m）+2，整理，得：12m2+20m+9＝0．∵△＝202﹣4×12×9＝﹣32＜0，∴方程无解，即不存在符合题意得点P；②当点P、B在直线AC的同侧时，点P的坐标为（m，m+1），∵点P在抛物线y x2x+2上，∴m+1（m）2（m）+2，整理，得：4m2+44m﹣9＝0，解得：m1，m2，∴点P的横坐标为﹣2或﹣2．综上所述：存在点P，使得PM：MB＝1：2，点P的横坐标为﹣2或﹣2．（方法二）当x＝0时，y x2x+2＝2，∴点C的坐标为（0，2）．设直线AC的解析式为y＝kx+c（k≠0），将A（﹣4，0）、C（0，2）代入y＝kx+c中，得：，解得：，∴直线AC的解析式为y x+2．过点B作BB′∥y轴交直线AC于点B′，过点P作PP′∥y轴交直线AC于点P′，如图1﹣1所示．∵点B的坐标为（，0），∴点B′的坐标为（，），∴BB′．∵BB′∥PP′，∴△PP′M∽△BB′M，∴，∴PP′．设点P的坐标为（x，x2x+2），则点P′的坐标为（x，x+2），∴PP′＝|x2x+2﹣（x+2）|＝|x2x|，解得：x1＝﹣2，x2＝﹣2，∴存在点P，使得PM：MB＝1：2，点P的横坐标为﹣2或﹣2．（3）（解法一）∠CBA＝2∠CAB，理由如下：作∠CBA的角平分线，交y轴于点E，过点E作EF⊥BC于点F，如图2所示．∵点B（，0），点C（0，2），∴OB，OC＝2，BC．设OE＝n，则CE＝2﹣n，EF＝n，由面积法，可知：OB•CE BC•EF，即（2﹣n）n，解得：n．∵，∠AOC＝90°＝∠BOE，∴△AOC∽△BOE，∴∠CAO＝∠EBO，∴∠CBA＝2∠EBO＝2∠CAB．（解法二）∠CBA＝2∠CAB，理由如下：将BC沿y轴对折，交x轴于点B′，如图3所示．∵点B（，0），点C（0，2），点A（﹣4，0），∴点B′（，0），∴AB′（﹣4），B′C，∴AB′＝B′C＝BC，∴∠CAB＝∠ACB′，∠CBA＝∠CB′B．∵∠AB′B＝∠CAB+∠ACB′，∴∠CBA＝2∠CAB．点睛：题考查了二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、三角形的面积、勾股定理、一次函数图象上点的坐标特征以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）由点A的坐标，利用二次函数图象上点的坐标特征求出b的值；（2）（解法一）分B、P在直线AC的同侧和异侧两种情况找出点P的坐标；（解法二）利用相似三角形的性质找出PP′；（3）（解法一）构造相似三角形找出两角的数量关系；（解法二）根据等腰三角形的性质结合三角形的外角性质找出∠CBA＝2∠CAB．4.（2019年苏州28题）如图①，抛物线y＝﹣x2+（a+1）x﹣a与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C．已知△ABC的面积是6．（1）求a的值；（2）求△ABC外接圆圆心的坐标；（3）如图②，P是抛物线上一点，Q为射线CA上一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线BP同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d，△QPB的面积为2d，且∠P AQ＝∠AQB，求点Q的坐标．【分析】（1）由y＝﹣x2+（a+1）x﹣a，令y＝0，即﹣x2+（a+1）x﹣a＝0，可求出A、B 坐标结合三角形的面积，解出a＝﹣3；（2）三角形外接圆圆心是三边垂直平分线的交点，求出两边垂直平分线，解交点可求出；（3）作PM⊥x轴，则S△BAP AB•PM4d由S△PQB＝S△P AB可得A、Q到PB的距离相等，得到AQ∥PB，求出直线PB的解析式，以抛物线解析式联立得出点P坐标，由于△PBQ≌△ABP，可得PQ＝AB＝4，利用两点间距离公式，解出m值．【解析】（1）∵y＝﹣x2+（a+1）x﹣a令y＝0，即﹣x2+（a+1）x﹣a＝0解得x1＝a，x2＝1由图象知：a＜0∴A（a，0），B（1，0）∵S△ABC＝6∴解得：a＝﹣3，（a＝4舍去）（2）∵A（﹣3，0），C（0，3），∴OA＝OC，∴线段AC的垂直平分线过原点，∴线段AC的垂直平分线解析式为：y＝﹣x，∵由A（﹣3，0），B（1，0），∴线段AB的垂直平分线为x＝﹣1将x＝﹣1代入y＝﹣x，解得：y＝1∴△ABC外接圆圆心的坐标（﹣1，1）（3）作PM⊥x轴交x轴于M，则S△BAP AB•PM4d∵S△PQB＝S△P AB∴A、Q到PB的距离相等，∴AQ∥PB设直线PB解析式为：y＝x+b∵直线经过点B（1，0）所以：直线PB的解析式为y＝x﹣1联立解得：∴点P坐标为（﹣4，﹣5）又∵∠P AQ＝∠AQB，∴∠BP A＝∠PBQ，∴AP＝QB，在△PBQ与△BP A中，，∴△PBQ≌△ABP（SAS），∴PQ＝AB＝4设Q（m，m+3）由PQ＝4得：解得：m＝﹣4，m＝﹣8（当m＝﹣8时，∠P AQ≠∠AQB，故应舍去）∴Q坐标为（﹣4，﹣1）点睛：本题考查二次函数的综合应用，函数和几何图形的综合题目，抛物线和直线“曲直”联立解交点，利用三角形的全等和二次函数的性质把数与形有机的结合在一起，转化线段长求出结果．5.（2018年无锡28题）已知：如图，一次函数y＝kx﹣1的图象经过点A（3，m）（m＞0），与y轴交于点B．点C在线段AB上，且BC＝2AC，过点C作x轴的垂线，垂足为点D．若AC＝CD．（1）求这个一次函数的表达式；（2）已知一开口向下、以直线CD为对称轴的抛物线经过点A，它的顶点为P，若过点P且垂直于AP的直线与x轴的交点为Q（，0），求这条抛物线的函数表达式．【分析】（1）利用三角形相似和勾股定理构造方程，求AC和m（2）由∠APQ＝90°，构造△PQD∽△APE构造方程求点P坐标可求二次函数解析式．【解析】（1）过点A作AF⊥x轴，过点B作BF⊥CD于H，交AF于点F，过点C作CE ⊥AF于点E设AC＝n，则CD＝n∵点B坐标为（0，﹣1）∴CH＝n+1，AF＝m+1∵CH∥AF，BC＝2AC∴即：整理得：nRt△AEC中，CE2+AE2＝AC2∴5+（m﹣n）2＝n2把n代入5+（m）2＝（）2解得m1＝5，m2＝﹣3（舍去）∴n＝3∴把A（3，5）代入y＝kx﹣1得k∴y x﹣1（2）如图，过点A作AE⊥CD于点E设点P坐标为（2，n），由已知n＞0由已知，PD⊥x轴∴△PQD∽△APE∴∴解得n1＝7，n2＝﹣2（舍去）设抛物线解析式为y＝a（x﹣h）2+k∴y＝a（x﹣2）2+7把A（3，5）代入y＝a（x﹣2）2+7解得a∴抛物线解析式为：y【点评】本题综合考查二次函数和一次函数性质．在解答过程中，应注意利用三角形相似和勾股定理构造方程，求出未知量．2．（2017年苏州28题）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OB＝OC．点D在函数图象上，CD∥x轴，且CD＝2，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．（1）求b、c的值；（2）如图①，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F'恰好在线段BE上，求点F的坐标；（3）如图②，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M，与抛物线交于点N．试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由．【分析】（1）由条件可求得抛物线对称轴，则可求得b的值；由OB＝OC，可用c表示出B点坐标，代入抛物线解析式可求得c的值；（2）可设F（0，m），则可表示出F′的坐标，由B、E的坐标可求得直线BE的解析式，把F′坐标代入直线BE解析式可得到关于m的方程，可求得F点的坐标；（3）设点P坐标为（n，0），可表示出P A、PB、PN的长，作QR⊥PN，垂足为R，则可求得QR的长，用n可表示出Q、R、N的坐标，在Rt△QRN中，由勾股定理可得到关于n的二次函数，利用二次函数的性质可知其取得最小值时n的值，则可求得Q点的坐标，【解析】（1）∵CD∥x轴，CD＝2，∴抛物线对称轴为x＝1．∴．∵OB＝OC，C（0，c），∴B点的坐标为（﹣c，0），∴0＝c2+2c+c，解得c＝﹣3或c＝0（舍去），∴c＝﹣3；（2）设点F的坐标为（0，m）．∵对称轴为直线x＝1，∴点F关于直线l的对称点F的坐标为（2，m）．由（1）可知抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴E（1，﹣4），∵直线BE经过点B（3，0），E（1，﹣4），∴利用待定系数法可得直线BE的表达式为y＝2x﹣6．∵点F在BE上，∴m＝2×2﹣6＝﹣2，即点F的坐标为（0，﹣2）；（3）存在点Q满足题意．设点P坐标为（n，0），则P A＝n+1，PB＝PM＝3﹣n，PN＝﹣n2+2n+3．作QR⊥PN，垂足为R，∵S△PQN＝S△APM，∴，∴QR＝1．①点Q在直线PN的左侧时，Q点的坐标为（n﹣1，n2﹣4n），R点的坐标为（n，n2﹣4n），N点的坐标为（n，n2﹣2n﹣3）．∴在Rt△QRN中，NQ2＝1+（2n﹣3）2，∴时，NQ取最小值1．此时Q点的坐标为；②点Q在直线PN的右侧时，Q点的坐标为（n+1，n2﹣4）．同理，NQ2＝1+（2n﹣1）2，∴时，NQ取最小值1．此时Q点的坐标为．综上可知存在满足题意的点Q，其坐标为或．【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、轴对称、三角形的面积、勾股定理、二次函数的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中求得抛物线的对称轴是解题的关键，在（2）中用F点的坐标表示出F′的坐标是解题的关键，在（3）中求得QR的长，用勾股定理得到关于n的二次函数是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，难度很大．【专项突破】【题组一】1．（2020•无锡模拟）如图，已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C．过点A的直线y＝kx+2k（k≠0）与这个二次函数的图象的另一个交点为F，与该图象的对称轴交于点E，与y轴交于点D，且DE＝EF．（1）求点A的坐标；（2）若△BDF的面积为12，求这个二次函数的关系式；（3）设二次函数的顶点为P，连接PF，PC，若∠CPF＝2∠DAB，求此时二次函数的表达式．。
中考数学压轴题60例(选择题)
中考数学选择题压轴题一、选择题1．将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转30°，得正方形AB 1C1D1，B1C1交CD于点E，AB=，则四边形AB1ED的内切圆半径为()A．B．C．D．考点：三角形的内切圆与内心；正方形的性质；旋转的性质．专题：压轴题．分析：作∠DAF与∠AB1G的角平分线交于点O，则O即为该圆的圆心，过O作OF⊥AB 1，AB=，再根据直角三角形的性质便可求出OF的长，即该四边形内切圆的圆心．解答：解：作∠DAF与∠AB1G的角平分线交于点O，过O作OF⊥AB1，】则∠OAF=30°，∠AB1O=45°，故B 1F=OF=OA，设B 1F=x，则AF=﹣x，故(﹣x)2+x2=(2x)2，解得x=或x=(舍去)，∴四边形AB 1ED的内切圆半径为：．故选：B．点评：本题考查了旋转的性质三角形的内切圆，正方形的性质，要熟练掌握正方形的性质及直角三角形的性质，是解答此题的关键．2．如图，四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E、F 分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为()A50° B 60° C 70° D 80°考点：轴对称-最短路线问题．专题：压轴题．分析：据要使△AEF的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′E+∠A″=∠HAA′=50°，进而得出∠AEF+∠AFE=2(∠AA′E+∠A″)，即可得出答案．解答：解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．作DA延长线AH，∵∠C=50°，∴∠DAB=130°，∴∠HAA′=50°，∴∠AA′E+∠A″=∠HAA′=50°，∵∠EA′A=∠EAA′，∠FAD=∠A″，∴∠EAA′+∠A″AF=50°，∴∠EAF=130°﹣50°=80°，故选：D．点评：本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出E，F的位置是解题关键．3．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是()A 2﹣2B 6C 2﹣2D 4考点：翻折变换(折叠问题)．专题：压轴题．分析：当∠BFE=∠DEF，点B′在DE上时，此时B′D的值最小，根据勾股定理求出DE，根据折叠的性质可知B′E=BE=2，DE﹣B′E即为所求．解答：解：如图，当∠BFE=∠DEF，点B′在DE上时，此时B′D的值最小，根据折叠的性质，△EBF≌△EB′F，∴EB′⊥FD，∴EB′=EB，∵E是AB边的中点，AB=4，∴AE=EB′=2，∵AB=6，∴DE==2，∴DB′=2﹣2．故选：A．点评：本题主要考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短的综合运用，确定点B′在何位置时，B′D的值最小，是解决问题的关键．4．有两个一元二次方程M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中a•c≠0，a≠c．下列四个结论中，错误的是()A．如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根B．如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1考点：根的判别式；一元二次方程的解；根与系数的关系．专题：压轴题．分析：利用根的判别式判断A；利用根与系数的关系判断B；利用一元二次方程的解的定义判断C与D．解答：解：A、如果方程M有两个相等的实数根，那么△=b2﹣4ac=0，所以方程N也有两个相等的实数根，结论正确，不符合题意；B、如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同，那么△=b2﹣4ac≥0，＞0，所以a与c符号相同，＞0，所以方程N的两根符号也相同，结论正确，不符合题意；C、如果5是方程M的一个根，那么25a+5b+c=0，两边同时除以25，得c+b+a=0，所以是方程N的一个根，结论正确，不符合题意；D、如果方程M和方程N有一个相同的根，那么ax2+bx+c=cx2+bx+a，(a﹣c)x2=a﹣c，由a≠c，得x2=1，x=±1，结论错误，符合题意；故选：D．点评：本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数根；△＜0⇔方程没有实数根．也考查了根与系数的关系，一元二次方程的解的定义．5．如图，坐标原点O为矩形ABCD的对称中心，顶点A的坐标为(1，t)，AB∥x轴，矩形A′B′C′D′与矩形ABCD是位似图形，点O为位似中心，点A′，B′分别是点A，B 的对应点，=k．已知关于x，y 的二元一次方程(m，n是实数)无解，在以m，n为坐标(记为(m，n)的所有的点中，若有且只有一个点落在矩形A′B′C′D′的边上，则k•t的值等于()A ．B．1 C．D．考点：位似变换；二元一次方程组的解；坐标与图形性质．专题：压轴题．分析：首先求出点A′的坐标为(k，kt)，再根据关于x，y的二元一次方程(m，n是实数)无解，可得mn=3，且n≠1；然后根据以m，n为坐标(记为(m，n)的所有的点中，有且只有一个点落在矩形A′B′C′D′的边上，可得反比例函数n=的图象只经过点A′或C′；最后分两种情况讨论：(1)若反比例函数n=的图象经过点A′时；(2)若反比例函数n=的图象经过点C′时；求出k•t的值等于多少即可．(1)若反比例函数n=的图象经过点A′，∵mn=3，3x﹣3x+4=3kt+1，解得kt=1．(2)若反比例函数n=的图象经过点C′，∵mn=3，3x﹣3x+4=﹣3kt+1，解得kt=﹣1，∵k＞0，t＞0，∴kt=﹣1不符合题意，∴kt=1．故选：B．点评：(1)此题主要考查了位似变换问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行．(2)此题还考查了二元一次方程组的求解方法，以及坐标与图形的性质，要熟练掌握．6．如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，对称轴为x=，且经过点(2，0)，有下列说法：①abc＜0；②a+b=0；③4a+2b+c＜0；④若(0，y1)，(1，y2)是抛物线上的两点，则y1=y2．上述说法正确的是()A ． ①②④B ．③④C ． ①③④D ．①②考点： 二次函数图象与系数的关系．专题： 压轴题．分析： ①根据抛物线开口方向、对称轴位置、抛物线与y 轴交点位置求得a 、b 、c 的符号；②根据对称轴求出b=﹣a ；③把x=2代入函数关系式，结合图象判断函数值与0的大小关系；④求出点(0，y 1)关于直线x=的对称点的坐标，根据对称轴即可判断y 1和y 2的大小．解答： 解：①∵二次函数的图象开口向下，∴a ＜0，∵二次函数的图象交y 轴的正半轴于一点，∴c ＞0，∵对称轴是直线x=，∴﹣， ∴b=﹣a ＞0，∴abc ＜0．故①正确；②∵由①中知b=﹣a，∴a+b=0，故②正确；③把x=2代入y=ax2+bx+c得：y=4a+2b+c，∵抛物线经过点(2，0)，∴当x=2时，y=0，即4a+2b+c=0．故③错误；④∵(0，y 1)关于直线x=的对称点的坐标是(1，y1)，∴y1=y2．故④正确；综上所述，正确的结论是①②④．故选：A点评：本题考查了二次函数的图象和系数的关系的应用，注意：当a＞0时，二次函数的图象开口向上，当a＜0时，二次函数的图象开口向下．7．如图，在△ABC中，AB=CB，以AB为直径的⊙O交AC 于点D．过点C作CF∥AB，在CF上取一点E，使DE=CD，连接AE．对于下列结论：①AD=DC；②△CBA∽△CDE；③=；④AE为⊙O的切线，一定正确的结论全部包含其中的选项是()A ． ①②B ． ①②③C ． ①④D ．①②④考点： 切线的判定；相似三角形的判定与性质．专题： 压轴题．分析： 根据圆周角定理得∠ADB=90°，则BD ⊥AC ，于是根据等腰三角形的性质可判断AD=DC ，则可对①进行判断；利用等腰三角形的性质和平行线的性质可证明∠1=∠2=∠3=∠4，则根据相似三角形的判定方法得到△CBA ∽△CDE ，于是可对②进行判断；由于不能确定∠1等于45°，则不能确定与相等，则可对③进行判断；利用DA=DC=DE 可判断∠AEC=90°，即CE ⊥AE ，根据平行线的性质得到AB ⊥AE ，然后根据切线的判定定理得AE 为⊙O 的切线，于是可对④进行判断．解答： 解：∵AB 为直径，∴∠ADB=90°，∴BD ⊥AC ，而AB=CB ，∴AD=DC ，所以①正确；∵AB=CB ，∴∠1=∠2，而CD=ED ，∴∠3=∠4，∵CF ∥AB ，∴∠1=∠3，8．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N 分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是()A ． 25°B ． 30°C ．35°D ． 40°考点： 轴对称-最短路线问题．专题： 压轴题．分析： 分别作点P 关于OA 、OB 的对称点C 、D ，连接CD ，分别交OA 、OB 于点M 、N ，连接OC 、OD 、PM 、PN 、MN ，由对称的性质得出PM=CM ，OP=OC ，∠COA=∠POA ；PN=DN ，OP=OD ，∠DOB=∠POB ，得出∠AOB=∠COD ，证出△OCD 是等边三角形，得出∠COD=60°，即可得出结果．解答： 解：分别作点P 关于OA 、OB 的对称点C 、D ，连接CD ，分别交OA 、OB 于点M 、N ，连接OC 、OD 、PM 、PN 、MN ，如图所示：∵点P 关于OA 的对称点为D ，关于OB 的对称点为C ， ∴PM=DM ，OP=OD ，∠DOA=∠POA ；∵点P 关于OB 的对称点为C ，∴PN=CN ，OP=OC ，∠COB=∠POB ，∴OC=OP=OD ，∠AOB=∠COD ，∵△PMN 周长的最小值是5cm ，∴PM+PN+MN=5，∴DM+CN+MN=5，即CD=5=OP，∴OC=OD=CD，即△OCD是等边三角形，∴∠COD=60°，∴∠AOB=30°；故选：B．点评：本题考查了轴对称的性质、最短路线问题、等边三角形的判定与性质；熟练掌握轴对称的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．9．如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P从点A出发，沿A→D→E→F→G→B 的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止(不含点A和点B)，则△ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致是()A ．B．C．D．考点：动点问题的函数图象．专题：压轴题．分析：根据点P在AD、DE、EF、FG、GB上时，△ABP的面积S与时间t的关系确定函数图象．解答：解：当点P在AD上时，△ABP的底AB不变，高增大，所以△ABP的面积S随着时间t的增大而增大；当点P在DE上时，△ABP的底AB不变，高不变，所以△ABP的面积S不变；当点P在EF上时，△ABP的底AB不变，高减小，所以△ABP的面积S随着时间t的减小；当点P在FG上时，△ABP的底AB不变，高不变，所以△ABP的面积S不变；当点P在GB上时，△ABP的底AB不变，高减小，所以△ABP的面积S随着时间t的减小；故选：B．点评：本题考查的是动点问题的函数图象，正确分析点P在不同的线段上△ABP的面积S与时间t的关系是解题的关键．10．如图，Rt△ABC中∠C=90°，∠BAC=30°，AB=8，以2为边长的正方形DEFG的一边CD在直线AB上，且点D与点A重合，现将正方形DEFG沿A﹣B的方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点D与点B重合时停止，则在这个运动过程中，正方形DEFG与△ABC的重合部分的面积S与运动时间t之间的函数关系图象大致是()A ．B．C．D．考点：动点问题的函数图象．专题：压轴题．分析：首先根据Rt△ABC中∠C=90°，∠BAC=30°，AB=8，分别求出AC、BC，以及AB边上的高各是多少；然后根据图示，分三种情况：(1)当0≤t≤2时；(2)当2时；(3)当6＜t≤8时；分别求出正方形DEFG与△ABC的重合部分的面积S的表达式，进而判断出正方形DEFG与△ABC的重合部分的面积S与运动时间t之间的函数关系图象大致是哪个即可．解答：解：如图1，CH是AB边上的高，与AB相交于点H，∵∠C=90°，∠BAC=30°，AB=8，∴AC=AB×cos30°=8×=4，BC=AB×sin30°=8×=4，∴CH=AC×，AH=，(1)当0≤t≤2时，S==t2；(2)当2时，11．如图所示，MN 是⊙O 的直径，作AB ⊥MN ，垂足为点D ，连接AM ，AN ，点C 为上一点，且=，连接CM ，交AB 于点E ，交AN 于点F ，现给出以下结论：①AD=BD ；②∠MAN=90°；③=；④∠ACM+∠ANM=∠MOB ；⑤AE=MF ．其中正确结论的个数是() A ． 2 B ． 3 C ． 4 D ． 5考点： 圆周角定理；垂径定理．专题： 压轴题．分析： 根据AB ⊥MN ，垂径定理得出①③正确，利用MN 是直径得出②正确，==，得出④正确，结合②④得出⑤正确即可．解答： 解：∵MN 是⊙O 的直径，AB ⊥MN ，∴AD=BD ，=，∠MAN=90°(①②③正确)∵=，∴==，∴∠ACM+∠ANM=∠MOB(④正确)∵∠MAE=∠AME ，∴AE=ME ，∠EAF=∠AFM ，∴AE=EF ，∴AE=MF(⑤正确)．正确的结论共5个．故选：D ．点评： 此题考查圆周角定理，垂径定理，以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识．12．在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为(﹣3，0)，(3，0)，点P 在反比例函数y=的图象上，若△PAB 为直角三角形，则满足条件的点P 的个数为( )A ． 2个B ． 4个C ． 5个D ．6个考点： 反比例函数图象上点的坐标特征；圆周角定理． 专题： 压轴题．分析： 分类讨论：①当∠PAB=90°时，则P 点的横坐标为﹣3，根据反比例函数图象上点的坐标特征易得P 点有1个；②当∠APB=90°，设P(x ，)，根据两点间的距离公式和勾股定理可得(x+3)2+()2+(x ﹣3)2+()2=36，此时P 点有4个，③当∠PBA=90°时，P 点的横坐标为3，此时P 点有1个．解答： 解：①当∠PAB=90°时，P 点的横坐标为﹣3，把x=﹣3代入y=得y=﹣，所以此时P 点有1个；②当∠APB=90°，设P(x ，)，PA 2=(x+3)2+()2，PB 2=(x﹣3)2+()2，AB 2=(3+3)2=36，因为PA 2+PB 2=AB 2，所以(x+3)2+()2+(x ﹣3)2+()2=36，整理得x 4﹣9x 2+4=0，所以x 2=，或x 2=，所以此时P 点有4个，③当∠PBA=90°时，P 点的横坐标为3，把x=3代入y=得y=，所以此时P 点有1个；综上所述，满足条件的P 点有6个．故选：D ．点评： 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=(k 为常数，k≠0)的图象是双曲线，图象上的点(x ，y)的横纵坐标的积是定值k ，即xy=k ．13．如图，二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且OA=OC ．则下列结论： ①abc ＜0；②＞0；③ac ﹣b+1=0；④OA•OB=﹣． 其中正确结论的个数是( )A ．4 B ． 3 C ． 2 D ．1考点：二次函数图象与系数的关系．专题：压轴题；数形结合．分析：由抛物线开口方向得a＜0，由抛物线的对称轴位置可得b＞0，由抛物线与y轴的交点位置可得c＞0，则可对①进行判断；根据抛物线与x轴的交点个数得到b2﹣4ac＞0，加上a＜0，则可对②进行判断；利用OA=OC可得到A(﹣c，0)，再把A(﹣c，0)代入y=ax2+bx+c得ac2﹣bc+c=0，两边除以c则可对③进行判断；设A(x1，0)，B(x2，0)，则OA=﹣x1，OB=x2，根据抛物线与x轴的交点问题得到x1和x2是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根，利用根与系数的关系得到x 1•x2=，于是OA•OB=﹣，则可对④进行判断．解答：解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①正确；∵抛物线与x轴有2个交点，∴△=b2﹣4ac＞0，而a＜0，∴＜0，所以②错误；∵C(0，c)，OA=OC，14．如图，在矩形中截取两个相同的正方形作为立方体的上下底面，剩余的矩形作为立方体的侧面，刚好能组成立方体．设矩形的长和宽分别为y和x，则y与x的函数图象大致是()A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：压轴题．分析：立方体的上下底面为正方形，立方体的高为x，则得出y﹣x=4x，再得出图象即可．解答：解：正方形的边长为x，y﹣x=2x，∴y与x的函数关系式为y=x，故选：B．点评：本题考查了一次函数的图象和综合运用，解题的关键是从y﹣x等于该立方体的上底面周长，从而得到关系式．15．如图，△ABC，△EFG均是边长为2的等边三角形，点D 是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M．当△EFG 绕点D旋转时，线段BM长的最小值是()A ． 2﹣B ． +1C ．D ．﹣ 1考点： 旋转的性质；四点共圆；线段的性质：两点之间线段最短；等边三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．专题： 压轴题．分析： 取AC 的中点O ，连接AD 、DG 、BO 、OM ，如图，易证△DAG ∽△DCF ，则有∠DAG=∠DCF ，从而可得A 、D 、C 、M 四点共圆，根据两点之间线段最短可得BO≤BM+OM ，即BM≥BO ﹣OM ，当M 在线段BO 与该圆的交点处时，线段BM 最小，只需求出BO 、OM 的值，就可解决问题．解答： 解：AC 的中点O ，连接AD 、DG 、BO 、OM ，如图．∵△ABC ，△EFG 均是边长为2的等边三角形，点D 是边BC 、EF 的中点，∴AD ⊥BC ，GD ⊥EF ，DA=DG ，DC=DF ，∴∠ADG=90°﹣∠CDG=∠FDC ，=，∴△DAG ∽△DCF ，∴∠DAG=∠DCF ．∴A 、D 、C 、M 四点共圆．根据两点之间线段最短可得：BO≤BM+OM ，即BM≥BO ﹣OM ，当M 在线段BO 与该圆的交点处时，线段BM 最小， 此时，BO===，OM=AC=1，则BM=BO﹣OM=﹣1．故选：D．点评：本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、四点共圆的判定、勾股定理、两点之间线段最短等知识，求出动点M的运动轨迹是解决本题的关键．16．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段B′F的长为()A ．B．C．D．考点：翻折变换(折叠问题)．专题：压轴题．分析：首先根据折叠可得CD=AC=3，B′C=BC=4，∠ACE=∠DCE，∠BCF=∠B′CF，CE⊥AB，然后求得△ECF是等腰直角三角形，进而求得∠B′FD=90°，CE=EF=，ED=AE，从而求得B′D=1，DF=，在Rt△B′DF中，由勾股定理即可求得B′F的长．定和性质，勾股定理的应用等，根据折叠的性质求得相等的相等相等的角是本题的关键．17．已知二次函数y=ax2+bx+c+2的图象如图所示，顶点为(﹣1，0)，下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac=0；③a＞2；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4考点：二次函数图象与系数的关系．专题：压轴题．分析：①首先根据抛物线开口向上，可得a＞0；然后根据对称轴在y轴左边，可得b＞0；最后根据抛物线与y轴的交点在x轴的上方，可得c＞0，据此判断出abc＞0即可．②根据二次函数y=ax2+bx+c+2的图象与x轴只有一个交点，可得△=0，即b2﹣4a(c+2)=0，b2﹣4ac=8a＞0，据此解答即可．③首先根据对称轴x=﹣=﹣1，可得b=2a，然后根据b2﹣4ac=8a，确定出a的取值范围即可．④根据对称轴是x=﹣1，而且x=0时，y＞2，可得x=﹣2时，y＞2，据此判断即可．∵对称轴是x=﹣1，而且x=0时，y＞2，∴x=﹣2时，y＞2，∴4a﹣2b+c+2＞2，∴4a﹣2b+c＞0．∴结论④正确．综上，可得正确结论的个数是2个：③④．故选：B．点评：此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时(即ab＞0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时(即ab＜0)，对称轴在y轴右．(简称：左同右异)③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于(0，c)．18．如图，AB为半圆所在⊙O的直径，弦CD为定长且小于⊙O的半径(C点与A点不重合)，CF⊥CD交AB于点F，DE ⊥CD交AB于点E，G为半圆弧上的中点．当点C在上运动时，设的长为x，CF+DE=y．则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是()A．B．C．D．考点：动点问题的函数图象．专题：压轴题．分析：根据弦CD为定长可以知道无论点C怎么运动弦CD的弦心距为定值，据此可以得到函数的图象．解答：解：作OH⊥CD于点H，∴H为CD的中点，∵CF⊥CD交AB于F，DE⊥CD交AB于E，∴OH为直角梯形的中位线，∵弦CD为定长，∴CF+DE=y为定值，故选：B．点评：本题考查了动点问题的函数图象，解题的关键是化动为静．19．如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是()A 1对B 2对C 3对D 4对考点：全等三角形的判定；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．专题：压轴题．分析：根据已知条件“AB=AC，D为BC中点”，得出△ABD ≌△ACD，然后再由AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，推出△AOE≌△EOC，从而根据“SSS”或“SAS”找到更多的全等三角形，要由易到难，不重不漏．解答：解：∵AB=AC，D为BC中点，∴CD=BD，∠BDO=∠CDO=90°，在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD；∵EF垂直平分AC，∴OA=OC，AE=CE，在△AOE和△COE中，，∴△AOE≌△COE；在△BOD和△COD中，，∴△BOD≌△COD；在△AOC和△AOB中，，∴△AOC ≌△AOB；故选：D．点评：本题考查的是全等三角形的判定方法；这是一道考试常见题，易错点是漏掉△ABO≌△ACO，此类题可以先根据直观判断得出可能全等的所有三角形，然后从已知条件入手，分析推理，对结论一个个进行论证．20．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①2a+b＞0；②abc＜0；③b2﹣4ac＞0；④a+b+c＜0；⑤4a﹣2b+c＜0，其中正确的个数是()A．2 B．3 C．4 D．5考点：二次函数图象与系数的关系．专题：压轴题．分析：由抛物线开口向下得到a＜0，由对称轴在x=1的右侧得到﹣＞1，于是利用不等式的性质得到2a+b＞0；由a＜0，对称轴在y轴的右侧，a与b异号，得到b＞0，抛物线与y轴的交点在x轴的下方得到c＜0，于是abc＞0；抛物线与x轴有两个交点，所以△=b2﹣4ac＞0；由x=1时，y＞0，可得a+b+c＞0；由x=﹣2时，y＜0，可得4a﹣2b+c＜0．解答：解：①∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵对称轴x=﹣＞1，∴2a+b＞0，故①正确；②∵a＜0，﹣＞0，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴的下方，∴c＜0，∴abc＞0，故②错误；③∵抛物线与x轴有两个交点，∴△=b2﹣4ac＞0，故③正确；④∵x=1时，y＞0，∴a+b+c＞0，故④错误；⑤∵x=﹣2时，y＜0，∴4a﹣2b+c＜0，故⑤正确．故选：B．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象，当a＞0，开口向上，a＜0，开口向下；对称轴为直线x=﹣，a与b同号，对称轴在y轴的左侧，a与b异号，对称轴在y轴的右侧；当c＜0，抛物线与y轴的交点在x轴的下方；当△=b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点．21．如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC=60°，AB=BC，连接OE．下列结论：①∠CAD=30°；②S ▱ABCD =AB•AC ；③OB=AB ；④OE=BC ，成立的个数有() A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ．4个考点： 平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．专题： 压轴题．分析： 由四边形ABCD 是平行四边形，得到∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，根据AE 平分∠BAD ，得到∠BAE=∠EAD=60°推出△ABE 是等边三角形，由于AB=BC ，得到AE=BC ，得到△ABC 是直角三角形，于是得到∠CAD=30°，故①正确；由于AC ⊥AB ，得到S ▱ABCD =AB•AC ，故②正确，根据AB=BC ，OB=BD ，且BD ＞BC ，得到AB≠OB ，故③错误；根据三角形的中位线定理得到OE=AB ，于是得到OE=BC ，故④正确．解答： 解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，∵AE 平分∠BAD ，∴∠BAE=∠EAD=60°∴△ABE 是等边三角形，∴AE=AB=BE，∵AB=BC，∴AE=BC，∴∠BAC=90°，∴∠CAD=30°，故①正确；∵AC⊥AB，∴S▱ABCD=AB•AC，故②正确，∵AB=BC，OB=BD，∵BD＞BC，∴AB≠OB，故③错误；∵CE=BE，CO=OA，∴OE=AB，∴OE=BC，故④正确．故选：C．点评：本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行四边形的面积公式，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．22．如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在AB，AD上，若CE=3，且∠ECF=45°，则CF的长为()A 2B 3C D考点：全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．专题：压轴题．分析：首先延长FD到G，使DG=BE，利用正方形的性质得∠B=∠CDF=∠CDG=90°，CB=CD；利用SAS定理得△BCE≌△DCG，利用全等三角形的性质易得△GCF≌△ECF，利用勾股定理可得AE=3，设AF=x，利用GF=EF，解得x，利用勾股定理可得CF．解答：解：如图，延长FD到G，使DG=BE；连接CG、EF；∵四边形ABCD为正方形，在△BCE与△DCG中，，∴△BCE≌△DCG(SAS)，∴CG=CE，∠DCG=∠BCE，∴∠GCF=45°，在△GCF与△ECF中，，∴△GCF≌△ECF(SAS)，∴GF=EF，∵CE=3，CB=6，∴BE===3，∴AE=3，设AF=x，则DF=6﹣x，GF=3+(6﹣x)=9﹣x，∴EF==，∴(9﹣x)2=9+x2，∴x=4，即AF=4，∴GF=5，∴DF=2，∴CF===2，故选：A．点评：本题主要考查了全等三角形的判定及性质，勾股定理等，构建全等三角形，利用方程思想是解答此题的关键．23．如图是抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，抛物线的顶点坐标A(1，3)，与x轴的一个交点B(4，0)，直线y2=mx+n(m≠0)与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a+b=0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是(﹣1，0)；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1，其中正确的是()A①②③B①③④C①③⑤D②④⑤．．．．考点：二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．专题：压轴题；数形结合．分析：根据抛物线对称轴方程对①进行判断；由抛物线开口方向得到a＜0，由对称轴位置可得b＞0，由抛物线与y轴的交点位置可得c＞0，于是可对②进行判断；根据顶点坐标对③进行判断；根据抛物线的对称性对④进行判断；根据函数图象得当1＜x＜4时，一次函数图象在抛物线下方，则可对⑤进行判断．解答：解：∵抛物线的顶点坐标A(1，3)，∴抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，∴2a+b=0，所以①正确；∵抛物线开口向下，∴a＜0，∴b=﹣2a＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以②错误；∵抛物线的顶点坐标A(1，3)，∴x=1时，二次函数有最大值，∴方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，所以③正确；∵抛物线与x轴的一个交点为(4，0)而抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点为(﹣2，0)，所以④错误；∵抛物线y1=ax2+bx+c与直线y2=mx+n(m≠0)交于A(1，3)，B点(4，0)∴当1＜x＜4时，y2＜y1，所以⑤正确．故选：C．点评：本题考查了二次项系数与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时(即ab＞0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时(即ab＜0)，对称轴在y轴右．(简称：左同右异)；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于(0，c)；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．24．在同一平面直角坐标系中，函数y=ax2+bx与y=bx+a的图象可能是()A ．B．C．D．考点：二次函数的图象；一次函数的图象．专题：压轴题．分析：首先根据图形中给出的一次函数图象确定a、b的符号，进而运用二次函数的性质判断图形中给出的二次函数的图象是否符合题意，根据选项逐一讨论解析，即可解决问题．25．在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B 2A 3B 3与△B 2A 2B 1关于点B 2成中心对称，如此作下去，则△B 2n A 2n+1B 2n+1(n 是正整数)的顶点A 2n+1的坐标是() A ． (4n ﹣1，) B ． (2n ﹣1，) C ． (4n+1，) D ． (2n+1，)考点： 坐标与图形变化-旋转．专题： 压轴题；规律型．分析： 首先根据△OA 1B 1是边长为2的等边三角形，可得A 1的坐标为(1，)，B 1的坐标为(2，0)；然后根据中心对称的性质，分别求出点A 2、A 3、A 4的坐标各是多少；最后总结出A n 的坐标的规律，求出A 2n+1的坐标是多少即可．解答： 解：∵△OA 1B 1是边长为2的等边三角形，∴A 1的坐标为(1，)，B 1的坐标为(2，0)，∵△B 2A 2B 1与△OA 1B 1关于点B 1成中心对称，∴点A 2与点A 1关于点B 1成中心对称，∵2×2﹣1=3，2×0﹣=﹣，∴点A 2的坐标是(3，﹣)，∵△B 2A 3B 3与△B 2A 2B 1关于点B 2成中心对称，∴点A 3与点A 2关于点B 2成中心对称，∵2×4﹣3=5，2×0﹣(﹣)=，∴点A 3的坐标是(5，)，∵△B 3A 4B 4与△B 3A 3B 2关于点B 3成中心对称，∴点A 4与点A 3关于点B 3成中心对称，∵2×6﹣5=7，2×0﹣=﹣，∴点A 4的坐标是(7，﹣)，…，∵1=2×1﹣1，3=2×2﹣1，5=2×3﹣1，7=2×3﹣1，…， ∴A n 的横坐标是2n ﹣1，A 2n+1的横坐标是2(2n+1)﹣1=4n+1，∵当n 为奇数时，A n 的纵坐标是，当n 为偶数时，A n 的纵坐标是﹣，∴顶点A 2n+1的纵坐标是，∴△B 2n A 2n+1B 2n+1(n 是正整数)的顶点A 2n+1的坐标是(4n+1，)．故选：C ．点评： 此题主要考查了坐标与图形变化﹣旋转问题，要熟练掌握，解答此题的关键是分别判断出A n 的横坐标、纵坐标各是多少．26．如图，AD 是△ABC 的角平分线，则AB ：AC 等于( )A ． BD ：CDB ． AD ：CDC ． BC ：AD D ．BC ：AC考点： 角平分线的性质．专题： 压轴题．分析： 先过点B 作BE ∥AC 交AD 延长线于点E ，由于BE ∥AC，利用平行线分线段成比例定理的推论、平行线的性质，可得∴△BDE∽△CDA，∠E=∠DAC，再利用相似三角形的性质可有=，而利用AD时角平分线又知∠E=∠DAC=∠BAD，于是BE=AB，等量代换即可证．27．如图，在钝角△ABC 中，分别以AB 和AC 为斜边向△ABC 的外侧作等腰直角三角形ABE 和等腰直角三角形ACF ，EM 平分∠AEB 交AB 于点M ，取BC 中点D ，AC 中点N ，连接DN 、DE 、DF ．下列结论：①EM=DN ；②S △CDN =S 四边形ABDN ；③DE=DF ；④DE ⊥DF ．其中正确的结论的个数是() A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个 考点： 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形中位线定理．专题： 压轴题．分析： ①首先根据D 是BC 中点，N 是AC 中点N ，可得DN是△ABC 的中位线，判断出DN=；然后判断出EM=，即可判断出EM=DN ；②首先根据DN ∥AB ，可得△CDN ∽ABC ；然后根据DN=，可得S △CDN =S △ABC ，所以S △CDN =S 四边形ABDN ，据此判断即可．③首先连接MD 、FN ，判断出DM=FN ，∠EMD=∠DNF ，然后根据全等三角形判定的方法，判断出△EMD ≌△DNF ，即可判断出DE=DF ．。
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DE 交 CM的延长线于点 F， BD=4， CD=3．下列结论①∠ AED=∠ ADC；② DA
3 4 ；③ AC?BE=12；④ 3BF=4AC，其
中结论正确的个数有（ ）
A． 1 个 B ． 2 个 C ．3 个 D． 4 个 8．在直角坐标系中，已知 O（ 0， 0）， A（ 2， 0）， B（ 0， 4），C（ 0，3）， D 为 x 轴上一点，若以 D、 O、 C为 顶点的三角形与△ AOB相似，这样的 D点有（ ） A． 2 个 B ． 3 个 C ．4 个 D． 5 个 9．如图，⊙ O 的半径为 2，点 O到直线 l 距离为 3，点 P 是直线 l 上的一个动点， PQ切⊙ O于点 Q，则 PQ 的最小值为（ ）
k ABCO与双曲线 y= x （ x＞0）交于 D、E 两点，将△ OCD沿 OD翻折，点
C 的对称点 C′恰好落在边 AB上，已知 OA=3， OC=5，则 AE 长为（ ）
26
25
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A． 4
B
．3
C
．9
D ．9
16．如图，点 A 是直线 l 外一点，在 l 上取两点 B， C，分别以 A， C 为圆心， BC， AB的长为半径作弧，两
）.
A．
B
．
C．
D
．
2．在平面直角坐标系中，将抛物线
A.y= ﹣ (x ﹣1) 2﹣ 2
B.y=
C.y= ﹣ (x ﹣1) 2+2
D.y=
y=x2+2x+3 绕着原点旋转 180°，所得抛物线的解析式是 ( ) ﹣ (x+1) 2﹣ 2 ﹣ (x+1) 2+2
3．已知二次函数
y= -
1 x2
-
3x
-
）
① DE=6cm；② BE=2cm；③菱形面积为 60cm2；④ BD=4 10 cm．
A． 1 个
B
．2 个
C
．3 个
D
．4 个
14．二次函数 y= ax2 +bx+c（ a≠ 0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣ 1，0），对称轴为直线 x=2，下列结
1
7
论：（ 1）4a+b=0；（2） 9a+c＞ 3b；（ 3）8a+7b+2c＞ 0；（4）若点 A（﹣ 3， y1 ）、点 B（ 2 ， y2 ）、点 C（ 2 ，
C（ 0, -3am+6a ），以下说法：① m=3； ②当∠ APB=1200 时， a= 3 ；③当∠ APB=1200 时，抛物线存在点 M 6
（ M与 P 不重合），使得△ ABM是顶角为 1200 的等腰三角形； ④抛物线上存在点 N，当△ ABN为直角三角形时，
1
有 a ≥ ；正确的是（
2
A．①②
B ．③④
） C ． ①②③ D ．①②③④
5．如图是抛物线 y=ax 2+bx+c（ a≠ 0）的部分图象，其顶点坐标为（
1， n），且与 x 轴的一个交点在点（ 3 ，
0）和（ 4，0）之间．则下列结论：
① a﹣ b+c＞0；
② 3a+b=0； ③ b2=4a（ c﹣ n）； ④一元二次方程 ax2+bx+c=n﹣1 有两个不相等的实数根．
y3 ）在该函数图象上，则 y1 ＜ y3 ＜ y2 ；（5）若方程 a（ x+1）（ x ﹣ 5） =﹣3 的两根为 x1和 x2 ，且 x1＜ x2 ，
则 x1 ＜﹣ 1＜5＜ x2 ．其中正确的结论有（
） . [ 来源: 学科网 ZXXK]
A． 2 个
B
．3 个 C ．4 个 D ．5 个
15．如图，平面直角坐标系中，矩形
A． 5 B ． 13 C ． 2 D ． 3
10．如图，已知⊙ O的半径 OD与弦 AB 互相垂直，垂足为点 C，若 AB=16cm， CD=6cm，则⊙ O的半径为（ ）
25
19
A． cm B ． 10cm C． 8cm D． cm
3
3
11．彼此相似的矩形 A1B1C1D1 ，A 2B2C2D 2 ，A 3B3C3D 3 ，…，按如图所示的方式放置． 点 A1，A2 ，A3 ，…，
其中正确结论的个数是（
）
A． 1
B
．2
C
．3 D
6．下列 4× 4 的正方形网格中，小正方形的边长均为
形所在的网格图形是（ ）
．4 1，三角形的顶点都在格点上，则与△
ABC相似的三角
A．
B
．
C．
D
．
[ 来源 :学 ,科 ,网 Z,X,X,K]
7．如图， Rt △ ABC中， AC⊥ BC，AD平分∠ BAC交 BC于点 D， DE⊥ AD交 AB 于点 E， M为 AE 的中点， BF⊥ BC
5
，设自变量的值分别为
2
2
x 1，x 2， x 3，且－ 3<x1<x2<x3，则对应的函数
值 y1， y2， y3 的大小关系是 ( ) A.y 1>y 2>y3 B.y 1<y2<y 3 C.y 2>y3>y1 D.y 2<y3<y1 4．二次函数 y=ax 2+bx+c(a>0) 的顶点为 P，其图象与 x 轴有两个交点 A（ - m, 0 ）， B (1, 0 ) ，交 y 轴于点
和点 C1 ， C2 ， C3 ，…，分别在直线 y=kx+b（ k ＞ 0）和 x 轴上，已知点 B1、 B2 的坐标分别为（ 1，2），（ 3，
4），则 Bn 的坐标是（ ） .
A．（ 2n 1 ， 2n ） B ．（ 2n ﹣ 1 ， 2n ） C ．（ 2 n 1 ﹣ 1 ， 2 n 1 ） D ．（ 2 n 1 ﹣ 1， 2 n 1 ）
弧交于点 D，分 别连接 AB， AD， CD，若∠ ABC+∠ ADC=120°，则∠ A 的度数是（ ）
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A． 100° B ． 110° C． 120° D ． 125°
3 17．若点 A（﹣ 5，y1）， B（﹣ 3，y2），C（ 2， y3 ）在反比例函数 y= x 的图象上，则 y1 ，y2，y3 的大小关系是
（）
A． y 1＜ y 2＜ y3
B
． y1＜ y3＜ y 2 C ． y3＜ y 2＜ y 1
D
． y2＜ y1＜ y3
18．已知二次函数 y=ax 2+bx+c（ a≠ 0）的图象如图所示，下列结论：① c＜ 0，② abc ＞ 0，③ a﹣ b+c＞ 0，④
2a﹣ 3b=0，⑤ c﹣ 4b＞ 0．其中正确结论的个数有 （ ）
2
2
12．如图，线段 EF 的长为 4， O是 EF 的中点，以 OF为边长做正方形 OABC，连接 AE、 CF交于点 P，将正方
形 OABC从 OA与 OF重合的位置开始，绕着点 O逆时针旋转 90°止，则点 P 运动的路径长为（ ） .
2
A．
2
B
．2
C ．2π D ． 2 2
3
13．如图，菱形 ABCD的周长为 40cm， DE⊥ AB，垂足为 E， sinA= 5 ，则下列结论正确的有（
中考数学 选择题压轴题 专题训练五
1．如图， O 是边长为 4cm 的正方形 ABCD的中心， M是 BC的中点，动点 P 由 A 开始沿折线 A﹣ B﹣ M方向匀
速运动，到 M时停止运动，速度为 1cm/s ．设 P 点的运动时间为 t （ s），点 P 的运动路径与 OA、 OP所围成
的图形面积为 S（ cm2），则描述面积 S（ cm2）与时间 t （s）的关系的图象可以是（