《集合论与图论》课堂练习3
集合练习题加答案
集合练习题加答案集合是数学中的基本概念之一，它提供了一种描述对象集合的方式。
在集合论中，集合是由一些明确的或不明确的确定的对象构成的整体。
这些对象被称为集合的元素。
集合论是现代数学的基础之一，它在各个数学领域都有广泛的应用。
以下是一些集合练习题，以及相应的答案，供学习者练习和检验自己的理解。
练习题1：确定以下集合的元素。
- A = {x | x 是一个偶数}- B = {y | y > 5}- C = {z | z 是一个质数}答案1：- A的元素是所有偶数，例如2, 4, 6, 8等。
- B的元素是所有大于5的实数。
- C的元素是所有质数，如2, 3, 5, 7, 11等。
练习题2：判断以下集合是否相等。
- X = {1, 2, 3}- Y = {1, 3, 2}答案2：- X和Y是相等的，因为集合的元素是无序的，只考虑元素的种类和数量。
练习题3：计算以下集合的并集。
- A = {1, 2, 3}- B = {3, 4, 5}- C = {2, 5, 6}答案3：- A ∪ B ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6}练习题4：计算以下集合的交集。
- D = {1, 2, 3, 4}- E = {3, 4, 5}答案4：- D ∩ E = {3, 4}练习题5：计算集合D的补集，假设全集U包含所有自然数。
- D = {1, 2, 3, 4}答案5：- D' = U - D = {所有自然数除了1, 2, 3, 4}练习题6：如果A = {x | x 是一个偶数}，B = {x | x 是一个奇数}，计算A和B的差集。
答案6：- A - B = {x | x 是一个偶数但不是奇数}，即A本身，因为奇数和偶数是互补的。
练习题7：给定集合F = {x | x 是一个整数，且 -3 ≤ x ≤ 3}，计算F的幂集。
答案7：- F的幂集包含F的所有子集，共有2^7个子集，因为F有7个元素（-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3）。
哈工大集合与图论习题
集合与图论习题第一章习题．画出具有个顶点地所有无向图(同构地只算一个).．画出具有个顶点地所有有向图(同构地只算一个).．画出具有个、个、个顶点地三次图.．某次宴会上，许多人互相握手.证明：握过奇数次手地人数为偶数(注意，是偶数).．证明：哥尼斯堡七桥问题无解.．设与是图地两个不同顶点.若与间有两条不同地通道(迹)，则中是否有回路？．证明：一个连通地(，)图中≥.．设是一个(，)图，δ()≥[]，试证是连通地.．证明：在一个连通图中，两条最长地路有一个公共地顶点.．在一个有个人地宴会上，每个人至少有个朋友(≤≤).试证：有不少于个人，使得他们按某种方法坐在一张圆桌旁，每人地左、右均是他地朋友.b5E2R。
．一个图是连通地，当且仅当将划分成两个非空子集和时，总有一条联结地一个顶点与地一个顶点地边.．设是图.证明：若δ()≥ ，则包含长至少是δ()地回路.．设是一个(，)图，证明：()≥，则中有回路；()若≥，则包含两个边不重地回路.．证明：若图不是连通图，则是连通图.．设是个(，)图，试证：()δ()·δ()≤[()]([()])，若≡，，( )() δ()·δ()≤[()]·[()]，若≡( )．证明：每一个自补图有或个顶点.．构造一个有个顶点而没有三角形地三次图，其中≥..给出一个个顶点地非哈密顿图地例子，使得每一对不邻接地顶点和，均有≥．试求中不同地哈密顿回路地个数.．试证：图四中地图不是哈密顿图.．完全偶图，为哈密顿图地充分必要条件是什么？．菱形面体地表面上有无哈密顿回路？．设是一个(≥)个顶点地图.和是地两个不邻接地顶点，并且≥.证明：是哈密顿图当且仅当是哈密顿图.．设是一个有个顶点地图.证明：若>δ()，则有长至少为δ()地路.．证明具有奇数顶点地偶图不是哈密顿图.．证明：若为奇数，则中有()个两两无公共边地哈密顿回路.．中国邮路问题：一个邮递员从邮局出发投递信件，然后返回邮局.若他必须至少一次走过他所管辖范围内地每条街道，那么如何选择投递路线，以便走尽可能少地路程.这个问题是我国数学家管梅谷于年首先提出地，国外称之为中国邮路问题.p1Ean。
《集合论与图论》课堂练习3
《集合论与图论》课堂练习3（2007年6月18日 8:00-9:40 复旦大学计算机系06级）学号姓名一、判断下列命题是否正确，并说明理由。
（括号内写“是”或“否”）（40分，每题8分，是非判断4分，证明或反例4分）1 存在7个结点的自补图。
（）n 的连通图。
则G没有割点当且仅当G的剖分也没有割点。
2 设G是顶点数3（）3 若G是简单连通图，边数为e，结点数为n。
若e n，则G至少有3棵生成树。
（）4 一个有向图D中仅有一个顶点的入度为0，其余顶点的入度均为1，则D是有根树。
（）5 设C是简单连通图G的回路，若删去C中任一边后所得到的路C’为G中的最长路，则C是图G的哈密顿回路。
（）二、综合题（60分）1．证明：任何平面图是5-可着色的。
2．如果在一个地图上任何两个地区都相邻，问在该地图上最多有几个地区？3．如果为一个无向图的每一条边确定一个方向，使得所得到的有向图是强连通的，称该无向图是可定向的。
证明：欧拉图和哈密顿图都是可定向。
4．设G为非平凡有向图，V为G的结点集合，若对V的任一非空子集S，G中起始结点在S 中，终止结点在V-S中的有向边至少有k条，则称G是k边连通的。
证明：非平凡有向图是强连通的充要条件为它是一边连通的。
5．证明：任何一个竞赛图是半哈密顿图。
6在2005年9月复旦大学百年校庆的庆典日，有4对毕业于复旦大学计算机系的新婚夫妇在袁成瑛计算机楼“仰止”石前的草坪上举行集体婚礼，婚礼由从加拿大远道赶来的复旦大学计算机系82级校友顾若平学长主持。
在婚礼结束时，这4对夫妇互相握手，彼此祝愿对方新组成的家庭，因此，不会有自己和自己握手，也不会有夫妻间的握手，并且没有两个人握手超过一次。
握手之后，新郎计算机系99级的陈宇阳校友问其他3对夫妇和他的新婚妻子：他或她握了多少次手？陈宇阳校友得到的答案都不相同。
陈宇阳校友想到在复旦求学时，计算机系的老教师多次向他们提及顾若平学长，说他当年是“复旦第一聪明人”。
集合论与图论
集合论与图论一、 解答下列问题，要求只给出答案（每题2分，共16分）1.设A B 、为集合，试求一个集合X ，合得A X B ∆=。
（ A B ∆ ）2.设{}1,2,3,4A =，{}1,2B =，试求从A 到B 的满射的个数。
（42214-=）3.设{}1,2,,10A =，试求A 上反自反二无关系的个数。
（29022n n -=）4.设{}12,,,p A u u u =，()112q p p ≤-。
试求以V 为顶点集具有条边的无向图的个数。
（ ⎝⎛-2/)1(p p q）5.设T 是一个有P 个顶点的正则二元树，试求下的叶子数，其中P 是奇数。
（12P +）6.正整数m 和n 为什么值时,Km n 为欧拉图？（m n 和为偶数）7.设(),G V E =为无向图，,V P E P ==。
如果G 是边通图，那么G 至少有几个生成树？ （3个）8. 具有p 个顶点q 条边的平面连通图中，p 和q 应满足什么样的关系式？(36q p ≤-)二、以下各题要求只给出答案（每题2分，共14分）１.设{}()()(){},,,,,,,,,X a b c d R a b b c c a ==，试求R 的传递闭包。
（()()()()()()()()(),,,,,,,,,,a a b b c c a b b c c a a c b a c b ，，，，，，，）2.将置换（123456789791652348）分解为循环置换的乘积，然后分解成对换的乘积()()()()()()()()()173298465171329282426=。
3.设0000010110100000010000000A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦12345110000210110310100410110500001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 如果A 4.设{}{}0,1,,,,,,,B E a b c x y z ==。
字母表B 上所有字符串之集记为*B ，字母表E 上所有字符串之集记为*E 。
北工大-集合与图论习题整理版
习题集（一） 一、填空1．设}7|{)},5()(|{<∈=<∈=+x E x x B x N x x A 且且（N ：自然数集，E + 正偶数） 则 =⋃B A 。
2．A ，B ，C 表示三个集合，文图中阴影部分的集合表达式为 。
6．设A={1，2，3，4}，A 上关系图为则 R 2 = 。
7．设A={a ，b ，c ，d}，其上偏序关系R 的哈斯图为则 R= 。
8．图的补图为 。
二、选择2、下列集合中相等的有（ ）A ．{4，3}Φ⋃；B ．{Φ，3，4}；C ．{4，Φ，3，3}；D ． {3，4}。
3、设A={1，2，3}，则A上的二元关系有（）个。
A．23 ；B．32 ；C．332⨯；D．223⨯。
4、设R，S是集合A上的关系，则下列说法正确的是（）R 是自反的；A．若R，S 是自反的，则SR 是反自反的；B．若R，S 是反自反的，则SR 是对称的；C．若R，S 是对称的，则SR 是传递的。
D．若R，S 是传递的，则S5、设A={1，2，3，4}，P（A）（A的幂集）上规定二元系如下t st spR=∈=则P（A）/ R=（）<>A∧s(||||})(,{t|,A．A ；B．P(A) ；C．{{{1}}，{{1，2}}，{{1，2，3}}，{{1，2，3，4}}}；D．{{Φ}，{2}，{2，3}，{{2，3，4}}，{A}}6、设A={Φ，{1}，{1，3}，{1，2，3}}则A上包含关系“⊆”的哈斯图为（）7、下列函数是双射的为（）A．f : I→E , f (x) = 2x ；B．f : N→N⨯N, f (n) = <n , n+1> ；C．f : R→I , f (x) = [x] ；D．f :I→N, f (x) = | x | 。
（注：I—整数集，E—偶数集，N—自然数集，R—实数集）8、图中从v1到v3长度为3 的通路有（）条。
A．0；B．1；C．2；D．3。
《集合论与图论》课堂理解理解练习2
《集合论与图论》课堂练习3
（2011年12月复旦大学计算机学院10级）学号姓名
1．证明：任何平面图是5-可着色的。
证明：
2．证明：n个顶点的简单图G的边数超过(n-1)(n-2)/2条边，则G是连通的。
证明：
3．证明：马在国际象棋3 4的棋盘上可以遍历。
证明：
4．如果一个带有e条边和n个顶点的连通简单平面图不包含长度为4或更短的回路。
证明：若n≥4，则e≤（5/3）n-（10/3）。
5 用下述算法为简单图着色：
（1）以度数递减的顺序给出顶点的列表v1, v2, …, v n，使得d(v1)≥d(v2)≥…
d(v n)；
（2）把颜色1着色给顶点v1和在列表中不与顶点v1相邻的下一个顶点（若存在一个这样的顶点），并且继续给列表中每一个不与着颜色1 的顶点相邻的顶点着颜色1；然后，把颜色2 着色给列表中还没有着色的第一个顶点，并继续按上述步骤对列表中的顶点着颜色2；然后，以此类推，直到所有的顶点都被着色。
举例说明这一算法不是最优的，也就是说，这个算法所产生的着色所需的颜色数可能比某个图的色数大。
6简单图的定向就是指定它的各边的方向，使得所得的图是强连通图。
证明：若一个图有割边，则它不是可定向的。
7 三对夫妇到达一条河流的岸边，每个妻子都是妒忌的，当她的丈夫与其他人的妻子在一起而她不在场时，她就无法忍受。
只用一条只能运载两个人的船，如何能使三对夫妇到达河的另一边，且没有一个丈夫在他妻子不在场时与他的妻子之外的女人相处？使用图论模型解答。
集合论与图论参考答案
℘({∅, {∅}}) = {∅, {∅}, {∅, {∅}} }
这是错误的，记住对任意的集合A，℘(A)中的元素个数总是2的幂，所以不可能是3个元素。注意下面 几个集合的差别：
∅
{∅}
{{∅}}
{{{∅}}}
对于(3)，有些同学没有想到上面的说明方法，对于计算℘℘℘({∅})又没有耐心，所以要么计算错，要 么直接写上了答案（我怀疑是参考别人的答案）。对于(4)，很多同学忘记了 ℘(A) = A这个等式， 而在计算时也有不少同学出错，最多错的答案是：
(1) A ∪ B ∪ C ∪ D = {−7, −6, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 15, 16, 18, 21, 24, 27, 30, 32, 64}
(2) A ∩ B ∩ C ∩ D = ∅ (3) B − (A ∪ C) = {−7, −6, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 4, 5, }
若 且 ，则 。 (5) A∈B B∈C A∈C
解答：
(1) 该命题为真。因为B ⊆ C意味着对任意的x，若x∈B，则x∈C，因此若A∈B，则A∈C。
该命题为假。例如 ，则 及 ，但 。 的子 (2)
A = {1}, B = {{1}}, C = {{1}, 2} A∈B B ⊆ C A ⊆ C C
由 ， 就得到 。 A∪ ∼ A = E B ∩ E = B, C ∩ E = C
B=C
点评：这一比较简单，类似课堂上举的例子：A ∩ B = A ∩ 且C A ∪ B = A ∪ C蕴含B = C，但有
些同学没有认真听课，而没有想到这一点。
作业1.8 化简下列各式
集合论习题答案
P3 习题1.11.1.1 解：⑴{2,3,5,7,11,13,17,19}；⑵{e,v,n,i,g}；⑶{－3,2}；⑷{－1}；⑸{2,271i+-,271i--}；⑹Φ⑺共14项，前四项为极小因式：不能再分解为其它因式的因式：{①x+1，②x-1，③x2+x+1，④x2-x+1，①②x2-1，①③x3+2x2+2x+1，①④x3+1，②③x3－1，②④x3－2x2+2x－1，③④x4+x2+1，①②③x4+x3-x+1，①②④x4－x3+x－1，①③④x5+x4+x3+x2+x+1，②③④x5-x4+x3-x2+x-1)}1.1.2 解⑴{x | x∈I+ , x<80}；⑵{x | x∈I且∃n∈I使x=2n+1}；⑶{x | x∈I且∃n∈I使x=5n}；⑷{(x,y)| x,y∈R , x2+y2<1}；⑸{(ρ,θ)| ρ,θ∈R, ρ>1}；⑹{ax+b=0| a,b∈R且a≠0}。
P5 习题1.21.2.1 答：为真的有：⑵、⑷、⑻、⑽，其余为假。
1.2.2 答：为真的有：⑴、⑷，其余为假。
1.2.3 解：A=Φ，B={0}，C={…,-4,-2,0,2,4…}，D={2,4}，E={…,-4,-2,0,2,4…}，F={2,4}，G=Φ，H={…,-4,-2,0,2,4…}。
∴C=E=H，D=F，A=G。
1.2.4 答：四个全为真。
证明：⑴例A={a} , B={a,A}⑵例B={A} , C={A , B}⑶例A={Φ}⑷例A={a} , B={a,A} , ∴2B={Φ , {a} , {A} , B} ※1.2.5 解⑴幂集{Φ} ；幂集的幂集{Φ,{Φ}}⑵幂集{Φ,{Φ},{a},{Φ,a}}；幂集的幂集零元素子集{Φ,单元素子集{Φ} , {{Φ}} , {{a}} , {{Φ,a}},双元素子集{Φ,{Φ}} , {Φ,{a}} , {Φ,{Φ,a}} , {{Φ},{a}} , {{Φ},{Φ,a}} , {{a},{Φ,a}} ,三元素子集{Φ,{Φ},{a}} , {Φ,{Φ},{Φ,a}} , {Φ,{a},{Φ,a}} , {{Φ},{a},{Φ,a}}}，四元素子集{Φ,{Φ},{a},{Φ,a}} 。
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《集合论与图论》课堂练习3
学号姓名
一、判断下列命题是否正确，并说明理由。
（括号内写“是”或“否”）（40分，每题8分，是非判断4分，证明或反例4分）
1 存在7个结点的自补图。
（否）
/*西安交通大学1999*/
自补图对应的完全图的边数必须是偶数，而7个结点的完全图的边数为21。
n≥的连通图。
则G没有割点当且仅当G的剖分也没有割点。
2 设G是顶点数3
（真）
如果G的剖分有割点，则G有割点，矛盾；所以G没有割点，则G的剖分也没有割点。
如果G有割点，则该割点为G的剖分的割点，所以G的剖分有割点，矛盾；所以G的剖分也没有割点则G没有割点。
3 若G是简单连通图，边数为e，结点数为n。
若e≥n，则G至少有3棵生成树。
（是）
/*复旦大学1998*/
/*只需证明e=n时，命题成立*/
若e=n-1，因为G是连通的，所以为一棵树；再添加一边时，因为G是简单图，所以图中必存在一个长度大于等于3的回路，则在这个回路上任意删除一条边就得到一棵树。
4 一个有向图D中仅有一个顶点的入度为0，其余顶点的入度均为1，则D是有根树。
（否）
一个自环和孤立点
/*北京大学1991*/
5 设C是简单连通图G的回路，若删去C中任一边后所得到的路C’为G中的最长路，则C是图G的哈密顿回路。
（是）
/*复旦大学1999*/
/*反证法证明*/
令C的长度为m。
若C不是哈密顿回路，则圈外必存在一点u，它与圈上一点v邻接（因为G是连通图）。
圈上与v关联的一边为e，则C-e的长度为m-1；而C-e+uv的长度为m；得C-e不是最长路。
矛盾。
二、综合题（60分）
1．证明：任何平面图是5-可着色的。
证明：p125-126
2．如果有一群人，其中有k个人彼此认识或者有l个人彼此不认识。
我们用r(k, l)表示这群人至少是有几个人的人数，称为Ramsey数。
证明：r(3, 3)=6。
证明：6个点v1, v2, v3, v4, v5, v6表示6个人，两人认识时，在对应的两点连一条绿边，否则连一条红边。
根据鸽笼原理，与v1相连的5条边中，必有3条同色。
不访设v1 v2，v1 v3和v1 v4是3条绿边。
如果三角形v2, v3, v4上有一条绿边，则此绿边与v1构成一个绿色三角形，于是有3人彼此认识，否则v2, v3, v4构成红色三角形，有3人彼此不认识。
则r(3, 3) 6。
5个点构成的完全图中，可以既无绿色三角形也无红色三角形，则r(3, 3)>5。
则r(3, 3)=6。
3．如果为一个无向图的每一条边确定一个方向，使得所得到的有向图是强连通的，称该无向图是可定向的。
证明：欧拉图和哈密顿图都是可定向。
解：构造性证明，沿欧拉/哈密顿回路。
4．设G为非平凡有向图，V为G的结点集合，若对V的任一非空子集S，G中起始结点在S 中，终止结点在V-S中的有向边至少有k条，则称G是k边连通的。
证明：非平凡有向图是强连通的充要条件为它是一边连通的。
证明：
/*中国科学院计算所1999考研*/
/*必要性证明*/
因为设G为强连通的，假设从S到V-S没有有向边，则S中的任一顶点u到V-S中的任一顶点v均没有有向道路，从而与G为强连通的相矛盾。
所以从S到V-S至少有一条有向边，即G为一边连通的。
/*充分性证明*/
设G为一边连通的，对任意的u, v V, 则{u}到V(G-u)至少有一条边，设为(u, u1)，而{u, u1}到V-{u, u1}至少有一条有向边(u, u2)或(u1, u2)。
无论哪种情况都有从u到u2的有向道路，因为G中结点数有限，所以通过如上递归地求解，一定有从u到v的有向道路。
所以G为强连通的。
5．证明：任何一个竞赛图是半哈密顿图。
证明：
归纳基础：若竞赛图的顶点数小于4，显然有一条哈密顿有向图。
归纳步骤：假设n个顶点的任一竞赛图是半哈密顿有向图。
设G是n+1个顶点的竞赛图，从G中删去顶点v及其关联边，得到有向图G’，由归纳假设，G’有哈密顿有向路(v1,v2,…, v n)，G有3种情况：
（1）在G中有一条弧(v,v1)，则有哈密顿有向路(v,v1,v2,…,v n)；
（2）在G中没有弧(v,v1)，则必有弧(v1,v)。
若存在v i，v i是v1之后第一个碰到并且有弧(v, v i)的顶点，则显然得到一条哈密顿有向路(v1,v2,…,v i-1,v,v i,…v n)；
（3）在G中没有弧(v,v i)，而对所有v i，均有弧(v i,v)，i=1,2,…,n，则得一条哈密顿有向路(v1,v2,…,v n,v)。
6 在2005年9月复旦大学百年校庆的庆典日，有4对毕业于复旦大学计算机系的新婚夫妇在袁成瑛计算机楼“仰止”石前的草坪上举行集体婚礼，婚礼由从加拿大远道赶来的复旦大学计算机系82级校友顾若平学长主持。
在婚礼结束时，这4对夫妇互相握手，彼此祝愿对方新组成的家庭，因此，不会有自己和自己握手，也不会有夫妻间的握手，并且没有两个人握手超过一次。
握手之后，新郎计算机系99级的陈宇阳校友问其他3对夫妇和他的新婚妻子：他或她握了多少次手？陈宇阳校友得到的答案都不相同。
陈宇阳校友想到在复旦求学时，计算机系的老教师多次向他们提及顾若平学长，说他是“复旦第一聪明人”。
于是一贯争强好胜的陈宇阳校友就挑战前辈，他将握手的情况告诉顾学长，然后问顾学长：“前辈，我握了几次手？”而顾若平学长则不假思索地就给出了正确答案。
本题的问题是：顾若平学长给出的正确答案是什么？并请证明。
3
7如果在一个地图上任何两个地区都相邻，问在该地图上最多有几个地区？
4。