北京科技大学有限元考试试题

一．是非题（认为该题正确，在括号中打√；该题错误，在括号中打×。

）(每小题2分) （1）用加权余量法求解微分方程，其权函数V和场函数u的选择没有任何限制。

（）（2）四结点四边形等参单元的位移插值函数是坐标x、y的一次函数。

（）（3）在三角形单元中，其面积坐标的值与三结点三角形单元的结点形函数值相等。

（）（4）二维弹性力学问题的有限元法求解，其收敛准则要求试探位移函数C1连续。

（）（5）有限元位移法求得的应力结果通常比应变结果精度低。

（）（6）等参单元中Jacobi行列式的值不能等于零。

（）（7）在位移型有限元中，单元交界面上的应力是严格满足平衡条件的。

（）（8）四边形单元的Jacobi行列式是常数。

（）（9）利用高斯点的应力进行应力精度的改善时，可以采用与位移插值函数不同结点的形函数进行应力插值。

（）（10）一维变带宽存储通常比二维等带宽存储更节省存储量。

（）
二．单项选择题（共20分，每小题2分）
1 在加权余量法中，若简单地利用近似解的试探函数序列作为权函数，这类方法称为
________________。

（A）配点法（B）子域法（C）伽辽金法
2 等参变换是指单元坐标变换和函数插值采用______的结点和______的插值函数。

（A）不相同，不相同（B）相同，相同（C）相同，不相同（D）不相同，相同
3 有限元位移模式中，广义坐标的个数应与___________相等。

（A）单元结点个数（B）单元结点自由度数（C）场变量个数
4 采用位移元计算得到应力近似解与精确解相比较，一般___________。

（A）近似解总小于精确解（B）近似解总大于精确解（C）近似解在精确解上下震荡（D）没有规律
5 如果出现在泛函中场函数的最高阶导数是m阶，单元的完备性是指试探函数必须至少
是______完全多项式。

（A）m-1次（B）m次（C）2m-1次
6 与高斯消去法相比，高斯约当消去法将系数矩阵化成了_________形式，因此，不用进
行回代计算。

（A）上三角矩阵（B）下三角矩阵（C）对角矩阵
7 对称荷载在对称面上引起的________________分量为零。

（A）对称应力（B）反对称应力（C）对称位移（D）反对称位移
8 对分析物体划分好单元后，__________会对刚度矩阵的半带宽产生影响。

（A）单元编号（B）单元组集次序（C）结点编号
9 n个积分点的高斯积分的精度可达到______阶。

（A）n-1 （B）n（C）2n-1 （D）2n
10 引入位移边界条件是为了消除有限元整体刚度矩阵K的__________。

（A）对称性（B）稀疏性（C）奇异性
三．简答题（共20分，每题5分）
1、简述有限单元法结构刚度矩阵的特点。

2、简述有限元法中选取单元位移函数（多项式）的一般原则。

3、简述有限单元法的收敛性准则。

4、考虑下列三种改善应力结果的方法（1）总体应力磨平、（2）单元应力磨平和（3）分片应力磨平，请分别将它们按计算精度（高>低）和计算速度（快>慢）进行排序。

四．计算题（共40分，每题20分）
1、如图1所示等腰直角三角形单元，其厚度为t ，弹性模量为E ，泊松比0ν=；单元的边
长及结点编号见图中所示。

求
(1) 形函数矩阵N
(2) 应变矩阵B 和应力矩阵S (3) 单元刚度矩阵e K
2、图2（a ）所示为正方形薄板，其板厚度为t ，四边受到均匀荷载的作用，荷载集度为21/N m ，同时在y 方向相应的两顶点处分别承受大小为2/N m 且沿板厚度方向均匀分布的荷载作用。

设薄板材料的弹性模量为E ，泊松比0ν=。

试求
(1) 利用对称性，取图（b ）所示1/4结构作为研究对象，并将其划分为4个面积大小
相等、形状相同的直角三角形单元。

给出可供有限元分析的计算模型（即根据对称性条件，在图（b ）中添加适当的约束和荷载，并进行单元编号和结点编号）。

(2) 设单元结点的局部编号分别为i 、j 、m ，为使每个单元刚度矩阵e
K 相同，试在
图（b ）中正确标出每个单元的合理局部编号；并求单元刚度矩阵e K 。

(3) 计算等效结点荷载。

(4) 应用适当的位移约束之后，给出可供求解的整体平衡方程（不需要求解）。

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图1 图2
（a ）
（b ）
同济大学本科课程期终考试统一命题纸 A 卷 标准答案
2007—2008学年第 二 学期
一．是非题（认为该题正确，在括号中打√；该题错误，在括号中打×。

）(每小题2分)
× √ √ × × √ × × √ √ 二．单项选择题（共20分，每小题2分）
C B B C B C
D C C C 三．简答题（共20分，每小题5分） 1、答：（答对前3个给4分）
（1）对称性；（2）奇异性；（3）主对角元恒正；（4）稀疏性；（5）非零元素带状分布 2、答：
一般原则有
(1) 广义坐标的个数应该与结点自由度数相等；
(2) 选取多项式时，常数项和坐标的一次项必须完备；
(3) 多项式的选取应由低阶到高阶； (4) 尽量选取完全多项式以提高单元的精度。

3、答：
完备性要求，协调性要求 (2分) 具体阐述内容
(3分)
4、答：
计算精度 （1）>（3）>（2） 计算速度 （2）>（3）>（1）
四．计算题 1、解：
设图1所示的各点坐标为
点1（a ，0），点2（a ，a ），点3（0，0）
于是，可得单元的面积为 12
A =2
a ，及 (1) 形函数矩阵N 为
(7分)
12122121
(0a a )a
1
(00a )a 1
(a a 0)
a
N x y N x y N x y =
+-=++=-+ ；
[][]
12312
3 N N N ==N I I I N N N
(2) 应变矩阵B 和应力矩阵S 分别为
(7分)
12a 010-a a -a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦B ，220010a a a 0⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦B ，32-a 0100a 0
-a ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
B ； []12
3=B B B B
1a 00-a a 11-a a 22E ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦S ，2000a a 1a 02E ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦S ，3-a 000a 10-a 2E ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥
⎣⎦
S ；
[][]
123123 ==S D B B B S S S
(3) 单元刚度矩阵e K
(6分)
11
1213T 21
22
233132
33311021131201111001020200200020111001e Et tA ---⎡⎤⎢⎥---⎢⎥⎡⎤
--⎢⎥
⎢⎥===⎢⎥
⎢⎥-⎢⎥⎢⎥
⎣
⎦⎢⎥-⎢⎥--⎣⎦
K K K K B DB K K K K K K
2、解：
(1) 对称性及计算模型正确 (5分)
(2) 正确标出每个单元的合理局部编号 (3分)
(3) 求单元刚度矩阵e K (4分)
(4) 计算等效结点荷载 (3分)
(5) 应用适当的位移约束之后，给出可供求解的整体平衡方程（不需要求解）。

(5分)
对 称 1011012020031214301201e Et --⎡⎤⎢⎥-⎢⎥
--⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
K 对 称 1233563220000612100612016101620212v v u Et t v u u ⎡⎤
--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥
--⎢⎥⎢
⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎢⎥⎣⎦
1、简述弹性力学四边形四节点等参元的收敛性质以及由该单元刚度矩阵装配成的总刚度矩阵的性质。

在单元分析已经提出有限单元解的收敛性要求, 即, 单元必须是完备的和协调的。

对于等参单元: 1.完备性:对于C0型单元,由于等参单元的形函数中包含有常数项和线性项,满足完备性的要求。

2. 协调性:由于单元之间的公共边上有完全相同的节点, 同时每一单元沿这些边的坐标和未知函数均采用相同的插值函数加以确定。

因此, 只要在划分网格时, 遵守单元选择和节点配置的要求, 则等参单元满足协调性的要求。

2、总刚的性质
1）对称性2）奇异性，需引入合适的位移约束。

3）稀疏，（存在许多零元素）4）非零元素呈带状分布5)主元恒正根据物理意义可得此性质，正常情况下，主元占优。