北京科技大学机考高等数学A上
13-14北京信息科技大学高等数学一(A卷)期末考题答案
2013 ~ 2014学年 第一学期《高等数学A(1)》课程期末考试试卷A （答案）一、计算下列各题(共32分，每题4分)1. 2lim 1x x x →∞⎛⎞+⎜⎝⎠⎟ 解：22222lim 1lim 1x x x x e x x ⋅→∞→∞⎛⎞⎛⎞+=+=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠2.xx x 11lim 0−+→解：00112lim lim 2x x x x x →→−1==另解：001lim x x x→→−=3.sin dy.x y e =+求解：cos x x dy y dx e e dx ⎛⎞′==+⎜⎝ 4.设函数由所确定，求()y y x =ln 0xy y +=0=x dx dy解：对原方程两边同时关于x 求导得ln 0xy y +=0y y xy y′′++= 解出1yy x y ′=−+，从而00,111x x y dy y dxx y ====−=+−5.(xe d +∫x 解：522(5x xe dx e x C +=+∫+ 6.1d 32x x +∫ 解：1111d d(32)ln |32322322|x x x x x =+=+++∫∫C + 7． 1ln d e x x ∫ 解： 1 1 1ln d ln dln 1 d 1e e e 1e x x x x x x e x =−=−∫∫∫= 8. 320cos d x x π∫ 解：2 32322 0 0012cos d (1sin ) d sin sin sin 33x x x x x x πππ=−=−∫∫=二、计算下列各题(共30分，每题5分) 1.求极限 x x t x t x sin d )e 1(lim 00∫−→ 解： 0020000(1e ) d (1e ) d 1e 1lim lim lim lim sin 222x xt t x x x x x t t x x x x x x →→→→−−−−===∫∫=− 2.设函数()y y x =由方程222arctan ,.ln(1)x t t dy d y dx dx y t =−⎧⎨=+⎩所确定求及 解：2222242222221 111111t dy d y t t t dx t dx t t t −++====−−−++，(1) 3. 已知的一个原函数是)(x f cos x x,求.d )(∫′x x f x 解：的一个原函数是)(x f cos x x, 故 2cos sin cos ()x x x f x x x ′−−⎛⎞==⎜⎟⎝⎠x ――（1）且cos ()d x f x x C x =+∫ 故 sin cos cos ()d d ()()()d 2cos sin x x x x xf x x x f x xf x f x x C x x x x C x+′==−=−−=−−+∫∫∫+ 4. 计算反常积分 311d x x +∞∫. 解：322111111d lim 22x x x x x +∞+∞→+∞⎛⎞=−=−−=⎜⎟⎝⎠∫1225. 求一阶微分方程23d (1)0d y y x x ++=，满足条件00x y ==的特解.解：分离变量得2(1)d d 3y y x +=−x x ,两边同时积分得23(1)d d y y x +=−∫∫ 即3411(1)34y x +=−+C ,再由初始条件知 13C =， 从而得到满足原条件的特解为 3411(1)34y x 13+=−+6. 求解下列二阶常系数线性微分方程：。
北京科技大学2009-2010学年度第1学期高等数学A试题及答案
北京科技大学2009--2010学年第一学期高 等 数 学A(I) 试卷（A 卷）院(系) 班级 学号 姓名 考场说明: 1、要求正确地写出主要计算或推导过程, 过程有错或只写答案者不得分； 2、考场、学院、班、学号、姓名均需写全, 不写全的试卷为废卷; 3、涂改学号及姓名的试卷为废卷；4、请在试卷上答题，在其它纸张上的解答一律无效.一、填空题（本题共15分，每小题3分）1．设方程y x y =确定y 是x 函数，则d y = .2．设曲线()n f x x =在点(1,1)处的切线与x 轴的交点为(,0)n ξ，则l i m ()n n f ξ→∞= ．3．111n n n n -∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑ ．4．设()d arcsin xf x x x C =+⎰，则1d ()x f x =⎰ ．5. 2111limnn k nk →∞==∑ .二、选择题（本题共15分，每小题3分）6．设函数21()lim1nn x f x x→∞+=-，讨论函数()f x 的间断点，其结论为（ ）.()A 不存在间断点 ()B存在间断点是1x=()C存在间断点是0x = ()D存在间断点是1x =-装 订 线 内 不 得 答 题 自觉 遵 守 考 试 规 则，诚 信 考 试，绝 不 作 弊7．设函数561cos 2()sin , ()56x xxf x t dtg x -==+⎰，则当0x →时，()f x 是()g x 的（ ）()A 低阶无穷小 ()B高阶无穷小()C等价无穷小 ()D同价但不等价的无穷小8．设01,0,()0,0, ()()1,0,x x f x x F x f t dt x >⎧⎪===⎨⎪-<⎩⎰，下列结论正确的是（ ）.()A ()F x 在0x =处不连续()B ()F x 在(,)-∞+∞内连续，在0x =点不可导()C()F x 在(,)-∞+∞内可导，且()()F x f x '=()D()F x 在(,)-∞+∞内可导，但不一定满足()()F x f x '=9．设函数(),()f x g x 为恒大于0的可导函数，且()()()()0f x g x f x g x ''-<, 则当a x b <<时有（ ）.()A ()()()()f x g b f b g x < ()B ()()()(f x g a f a g x > ()C()()()()f x g x f b g b >()D ()()()(f x g x f a g a> 10．下列各选项正确的是（ ）.()A 若级数21nn u ∞=∑与级数21nn v ∞=∑都收敛，则级数21()n n n u v ∞=+∑收敛;()B 若级数1n nn u v ∞=∑收敛，则级数21nn u ∞=∑与21n n v ∞=∑都收敛;()C若正项级数21n n u ∞=∑发散，则1nu n≥;()D若正项级数21nn u ∞=∑收敛，且(1,2,)nn u v n ≥= , 则级数21n n v ∞=∑收敛.三、（本题共63分，每小题7分）11（7分）. 设22e sin()xy x y y +=，求(0)y '。
2016-2017 学年第二学期高等数学AII 期末试卷(试卷+A3排版+解析)
¨D
¨D
(C) [f (x) + g(y)] d x d y = 0
13.
设由方程组
y + xyz
z+x =1
=
0
确定的隐函数
y
=
y(x)
及
z
=
z(x)，求
dy dx ,
dz dx
.
14.
设连续函数
f (x)
满足方程
f (x)
=
ˆ
3x
f
() t d t + e2x,
求
f (x).
¨(
0
3
)
(
)
15. 计算曲面积分 I = x2 − yz d y d z + y2 − zx d z d x + 2z d x d y, 其中 Σ
xOy ydx
平面上一条简单光滑的正向闭曲线，原点在其所围闭区域之外，则
=
【】
C x2 + 4y2
(A) 4π
(B) 0
(C) 2π
(D) π
6. 微分方程 xy′′ − y′ = 0 满足条件 y′(1) = 1, y(1) = 0.5 的解为
【】
(A) y = x2 + 1 44
(B) y = x2 2
1,
√ − ¨x
⩽
y
⩽
√x}，则正确的选x 项为
¨
【】
(A) f (y)g(x) d x d y = 0
(B) f (x)g(y) d x d y = 0
¨D
¨D
(C) [f (x) + g(y)] d x d y = 0
2016年北京科技大学单独考试数学考试说明及考试大纲
2016年北京科技大学单独考试数学考试说明及考试大纲一、函数、极限与函数连续性考试内容函数的概念及表示法，函数的主要特性（有界性、单调性、周期性和奇偶性），复合函数、反函数、分段函数和隐函数，基本初等函数的性质及其图形，初等函数，简单应用问题中函数关系的建立数列极限、函数极限的定义及其性质，左极限与右极限，无穷小和无穷大的概念及其关系，无穷小的性质及无穷小阶的比较，极限的四则运算，复合函数的极限，极限存在的单调有界原理和夹逼准则，两个重要极限:函数连续的概念，函数间断点的类型，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。
考试要求1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。
2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。
3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数及复合函数的概念。
4.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。
5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及函数极限存在与左、右极限之间的关系。
6．掌握极限的性质及四则运算法则。
7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
8．理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小阶的比较方法，会在求极限过程中利用等价无穷小代换。
9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。
10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性定理、最大值和最小值定理、介值定理）及其简单应用。
二、一元函数微分学考试内容导数和微分的概念，导数的几何意义和物理意义，函数的可导性与连续性之间的关系，平面曲线的切线和法线，基本初等函数的导数，导数和微分的四则运算，复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法，高阶导数，一阶微分形式的不变性。
微分中值定理，洛必达（L’Hospital）法则，函数单调性的判别，函数的极值，函数图形的凹凸性、拐点及渐近线，函数图形的描绘，函数最大值和最小值，弧微分。
北京科技大学2009-2012高等数学第一学期期中考试题
C
G ( x ) 是 g ( x ) 的高阶无穷小;
D
G ( x) 是 g ( x) 的低阶无穷小.
17．设有下列四个条件：(1) f ( x) 在 a, b 上连续； (2) f ( x) 在 a, b 上有界； (3) f ( x) 在 a, b 上可导； (4) x0 a , b , lim f ( x ) 存在, 则上述 4 个命题的正确关系
A
偶函数
B
奇函数
2．以下哪个说法（
A
非奇非偶函数 ）与 lim xn A 的定义等价.
n
C
D
有界函数
(0,1), 存在自然数 N , 当 n N 时，有 xn A 100 . B 1, 存在自然数 N , 当 n N 时，有 xn A . C 对任意的自然数 N , 存在 0, 当 n N 时，有 xn A . D 存在自然数 N , 对任意 0, 当 n N 时，有 xn A .
北京科技大学 2009——2010 学年第一学期
高 等 数 学 A(I) 期中试卷
院(系) 班级 学号 姓名 考场
题号 得分 评阅
一
二
三
课程考核成绩
说明: 1 、考场、学院、班、学号、姓名均需写全 , 不写全的试卷为废卷 ; 2 、涂改学号及姓名的试卷为废卷； 3 、请在试卷上答题，在其它纸张上的解答一律无效.
高等数学 AI 期中试卷
第 3 页 共 7 页
得 分
四、应用题（本题共 5 分）
k3 2 2 x ,其中 x 是箭离原点的水平距离, 20．一射手在原点射出的箭的轨迹方程为 y kx 300 y 是相应的高度( x 轴为地平线， 距离单位为 m), 正数 k 是轨迹曲线在原点处的切线斜率. 问 (1) 正数 k 取何值时， 箭的水平射程最大？ (2) 正数 k 取何值时， 箭射中 30m 远处一直立墙面的高度最大？
2004北科高数B(一)期末上试题A
北京科技大学高等数学B 2004年期末考试题A班级 姓名 学号 成绩一．填空题（2⨯10=20分） 1．曲线5335y x x =-有 个拐点。
2．0lim cot 2x x x →= 3．2x y x e -=的极大值是4． 1200sin lim(1)lim ,x x x kx x x→→-=则k= 5．(2sin )(cos 1)()x f t y f t f t π=⎧⎨=++-⎩，其中f(x)可微且'(0)0f ≠， 则t dy dx π== 6．22sin cos x xdx =⎰7．22sin lim cos x x x x x→∞+=-+ 8．23()(1)1f x x =-+的极值点是9．曲线ln y x =在 内是凸的。
10函数y x =[-5，1]上的最大值是 ，最小值 是二．选择题（2⨯10=20分）1.曲线|2|y x =+在（0，4）内（ ）。
A:上凹 B:下凹 C:既有上凹又有下凹 D:直线段2.函数3(1)y x =+在区间（-1，2）内（ ）。
A:单调增 B:单调减 C:不增不减 D:有增有减3.设f(x)的一个原函数是1x，则'()f x =（ ）。
A:1x B: ln ||x C:32x D:21x - 4.sin x b d t dt dx t=⎰( ). A:sin x x B:cos x x C:sin b b D:sin t t 5．当0x →，无穷小1x e -是（ ）的无穷小。
A:比x 高阶 B:比x 低阶 C: 与x 同价但不等价 D: 与x 等价6.设常数k>0,函数()ln x f x x k e=-+在（0，+∞）内零点个数为（ ）。
A:3 B:2 C:1 D:07.设21sin ,0(),0x x f x x ax b x ⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩在x=0处可导，则（ ）。
A:a=1,b=0 B:a=0,b ∈R C:a=0,b=0 D: a=1,b ∈R 8.2332y x x =- ,下列正确的是：（ ） A:有极大值0 B:有极大值1 C:有极小值-1 D:无极值9.下列函数中在[-1，1]上满足罗尔定理条件的函数是（ ）。
北京科技大学2003-2004学年度第二学期高等数学(A)试题及答案
敛区间 t 2 ，即 1 x 3 ， 当 x 3 时级数发散，当 x 1 时级数收敛，故原级数收 敛域为 [ 1, 3) 。 13．解： ï í
ì ïz = ï x= 0 ï ï î
y- 1
绕 y 轴旋转的旋转曲面方程为： y - 1 = z + x ，
2
2
I=
蝌 邋+
=
A 5
x2 y 1 = [ ] 2 ydy 1 2 y 1 2 5 [ y ( y 2) 2 y 5 ]dy = 5 1 2 8 a n 1 1 tn ， lim ， 收敛半径 R 2 ， 收 n n a 2 n 1 2 n n
12． 解： 令 t x 1 ， 则原级数化为
五．综合题 (10 分)
17 ． 设 曲 线 C 的 起 点 为 A ， 终 点 为 B ，
f ( ) 1 ， 求 函 数 f ( x) ， 使 曲 线 积 分
A，B 两点分别为 (1, 0) 和 ( , ) 时
C
[sin x f ( x)] x dx f ( x)dy 与路径无关，并求当
2 2
x
0
15．解：特征方程 r r 2 0 ， r1 1, r2 2 ， 齐次方程通解为 Y c1e c2e 为求原方程的特解 y 。 ，考虑两个方程，
2
x
2 x
，
， 对于前一方程， 因 0 不是特征根，可设 y ' ' y '2 y x 1 （1）和 y ' ' y '2 y e x （2）
(8 y 1) xdydz 2(1 y )dzdx 4 yzdxdy ，
北京科技大学2004-2005学年度第2学期高等数学A试题及答案
北京科技大学2004 — 2005学年度第二学期高等数学（A 卷） 试题 （时间120分钟）学院 考场 班级 学号 姓名一、填空 (每小题3分，共15分)1．设函数22y x z +=，则函数在点)1,1(处的梯度为 j i 22+ 2. 将三次积分)0(),sin ,cos (002022>⎰⎰⎰-a dz z r r f rdr d ar a θθθπ化为球面坐标系下的三次积分(函数),,(z y x f 在已知区域上连续)dr r r r r f d d aφφφθφθφθππsin )cos ,sin sin ,sin cos (22020⋅⎰⎰⎰3. 曲面12-=+z ye x x 在点(0,1,-1)处的切平面与xoy 平面的夹角为a r c =ψ4. 光滑曲面),(y x f z =在坐标平面xoy 的投影区域为D ，那么该曲面的面积可以用二重积分表示为d x d y Z Z Dy x ⎰⎰++2215. 设级数∑∞=+-11)(n n n a a 收敛，且和为s ，则n n a ∞→lims a -1 二、选择 (每小题3分，共15分) 1. 已知函数22),(y x y x y x f -=-+，则=∂∂+∂∂yy x f x y x f ),(),( ( C ) （A ） y x 22-； (B) y x 22+； (C) y x +； (C) y x -2. 设常数k>0, 则级数∑∞=+-12)()1(n n n n k 是 (C ) (A) 发散； (B) 绝对收敛； (C) 条件收敛； (D) 发散与收敛与k 的取值无关3. 微分方程02'=-y xy 的通解是 ( B )(A) Cx y =； (B) 2Cx y =； (C) 3Cx y =； (D) 4Cx y = 4. 二元函数33)(3y x y x z --+=的极大值点是 ( A )(A)（1，1）； (B)（1，-1）； (C)（-1，1）； (D)（-1，-1） 5. 若L 是上半椭圆⎩⎨⎧==tb y ta x sin cos ，取顺时针方向，则⎰-L xdy ydx 的值为 (C )(A) 0 ; (B) 2abπ; (C) ab π; (D) ab π-三、计算 (共70分)1．（6分）设)(x y 是04=+'+''y y y 的解，2)0(,41)0(='=y y计算dx x y AA ⎰∞→0)(lim解：特征方程21,2441002r r r -±++=⇒=< )(0)(2121+∞→→+=x e C e C x y x r x r （3分）)(0)(212211'+∞→→+=x e r C e r C x y x r x r32414)()(4)4()(lim0'00'''0=+⨯=--=--=∞+∞++∞+∞→⎰⎰x y x y dx y y dx x y AA （6分） (先求通解，定出常数，再进行积分也可以) 2．（8分）计算二次积分dy e dx x y ⎰⎰-1102解：211100110222-----===⎰⎰⎰⎰⎰⎰e dx dy edxdy e dy e dx Dyy y x y3．（6分）在过点)0,0(O 和)0,(πA 的曲线族)0(sin >=a x a y 中，求一条曲线L ，使沿该曲线从O 到A 的积分dy y x dx y L )2()1(3+++⎰的值最小. 解：344]cos )sin 2()sin 1[()(333a a dx x a x a x x a a f +-=+++=⎰ππ（4分）1,044)(2'==+-=a a a f 唯一驻点，所以 ： 所求曲线x y L sin :=使38)1(-=πf 为最小。