最新(新课标)高中数学《311变化率问题》课件新人教A版选修1-1

题型三 平均变化率的实际应用 【例 3】 (12 分)蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为 T(t) ＝t1＋205＋15，其中 T(t)为体温(单位：℃)，t 为太阳落山后的时 间(单位：min)． 求：(1)从 t＝0 到 t＝10 min，蜥蜴的体温的平均变化率． (2)体温 T(t)对时间 t 的变化率．
【变式 1】 在例 1 中，分别求函数在 x0＝1，2，3 附近Δx 取12 时的平均变化率 k1，k2，k3，并比较其大小． 解 由例题可知，函数在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为 6x0＋ 3Δx. 当 x0＝1，Δx＝12时，函数在[1，1.5]上的平均变化率为 k1＝6×1 ＋3×0.5＝7.5； 当 x0＝2，Δx＝12时，函数在[2，2.5]上的平均变化率为 k2＝6×2 ＋3×0.5＝13.5；
审题指导 利用平均变化率的定义求解． [规范解答] (1)ΔΔTt ＝T（10）1－0 T（0）＝11250＋15－ 101250－15＝ －16 ℃/min. ∴从 t＝0 到 t＝10 min，蜥蜴的体温的平均变化率为－16 ℃/min
(6 分)
(2)设时间的增量为Δt，则体温 T(t)的改变量为
规律方法 求平均变化率可根据定义代入公式直接求解，解题 的关键是弄清自变量的增量Δx 与函数值的增量Δy，求平均变 化率的主要步骤是： (1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x1)－f(x0)； (2)再计算自变量的改变量Δx＝x1－x0； (3)得平均变化率Δ Δyx＝f（x1）x1－ －fx（0 x0）.
3．理解平均变化率要注意以下几点： (1)平均变化率f（x1）x1－ －fx（0 x0）表示点(x0，f(x0))与点(x1，f(x1)) 连线的斜率，是曲线陡峭程度的“数量化”． (2)为求点 x0 附近的平均变化率，上述表达式常写为 f（x0＋ΔΔx）x－f（x0）的形式． (3)函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势．自变量的改 变量Δx 取值越小，越能准确体现函数的变化情况．
[思路探索]
由物体运动方程
→
ห้องสมุดไป่ตู้
写出位移变化量Δs
→
Δs Δt
解 (1)由 t0 到 t0＋Δt，则改变量为Δt. Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0) ＝v0(t0＋Δt)－12g(t0＋Δt)2－v0t0＋12gt20 ＝Δtv0－gt0·Δt－12g(Δt)2. v＝ΔΔst＝Δtv0－gt0·ΔΔtt－12g（Δt）2＝v0－gt0－12gΔt. (2)当 t0＝10 s 时，Δt＝0.4 s， 则物体在 t＝10 s 到 10.4 s 这段时间的平均速度 v＝v0－10g－12×g×0.4＝v0－10.2g.
Δ
T
＝
T(t
＋
Δ
t)
－
T(t)
＝
120 t＋Δt＋5
＋
15
－
120 t＋5
－
15
＝
（t＋Δ－t＋1250）Δ（t t＋5），
∴ΔΔTt ＝（t＋Δt＋－51）20（t＋5）.(10 分)
故体温 T(t)对时间 t 的变化率为（t＋Δt＋－51）20（t＋5）.(12 分)．
【题后反思】 平均变化率是一个比值，它是揭示一个量随另一 个量变化快慢的重要指标，学习时应通过实例体会和经历求平 均变化率的过程，注意平均变化率对于不同的实际问题可能有 不同的名称．如物体运动时的平均变化率就是平均速度，它是 位移增量与时间增量的比，气球膨胀的平均变化率就是气球膨 胀率，它是半径增量与体积增量的比．函数的平均变化率就是 从这些实际问题中抽象出来的一个重要数学概念．
＝10（20＋Δt）＋5（20＋ΔΔt t）2－10×20－5×202 ＝210Δt＋Δ5（t Δt）2＝5Δt＋210， (1)当Δt＝1时，v＝5×1＋210＝215(m/s) (2)当Δt＝0.1时，v＝5×0.1＋210＝210.5(m/s) (3)当Δt＝0.01时，v＝5×0.01＋210＝210.05(m/s)．
规律方法 已知物体的运动方程，即知道物体运动过程中位移 与时间的函数关系，求其在[t0，t0＋Δt]内的平均速度，根据平 均速度的意义可知就是求这个函数在[t0，t0＋Δt]内的平均变化 率．
【变式2】 动点P沿x轴运动，运动方程为x＝10t＋5t2，式中t 表示时间(单位：s)，x表示距离(单位：m)，求在20≤t≤20＋ Δt时间段内动点的平均速度，其中 (1)Δt＝1，(2)Δt＝0.1，(3)Δt＝0.01. 解 动点在20≤t≤20＋Δt时间段内的平均速度为
(新课标)高中数学《311变化率 问题》课件新人教A版选修1-1
3．1 变化率与导数
3．1.1 变化率问题
(3)在公式ΔΔyx＝f（x2）x2－－fx（1 x1）＝f（x1＋ΔΔx）x－f（x1）中，当 x1 取定值，Δx 取不同的数值时，函数的平均变化率是不同的； 当Δx 取定值，x1 取不同的数值时，函数的平均变化率也是不 同的．特别地，当函数 f(x)为常数函数时，Δy＝0，则ΔΔxy＝0. 2．一般地，现实生活中的变化现象和过程可以用函数来描述， 所以这些实际问题的变化率问题可以转化为函数的变化率．
当 x0＝3，Δx＝12时，函数在[3，3.5]上的平均变化率为 k3＝6×3 ＋3×0.5＝19.5，所以 k1<k2<k3.
题型二 求物体运动的平均速度
【例 2】 以初速度 v0 竖直向上抛一物体的位移 s 与时间 t 的关 系为：s(t)＝v0t－12gt2.
(1)求物体从时刻 t0 到时刻 t0＋Δt 这段时间的平均速度 v； (2)求物体在 t＝10 s 到 10.4 s 这段时间的平均速度．
题型一 求平均变化率 【例 1】 求函数 y＝f(x)＝3x2＋2 在区间[x0，x0＋Δx]上的平均 变化率，并求当 x0＝2，Δx＝0.1 时平均变化率的值． [思路探索] 解答本题可先求自变量的增量和函数值的增量，然 后代入公式求解．
解 函数 y＝f(x)＝3x2＋2 在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率 为 f（（x0＋x0＋ΔΔx）x）－－f（xx00）＝[3（x0＋Δx）2Δ＋x2]－（3x20＋2） ＝6x0·Δx＋Δ3x（Δx）2＝6x0＋3Δx. 当 x0＝2，Δx＝0.1 时， 函数 y＝3x2＋2 在区间[2，2.1]上的平均变化率为 6×2＋3×0.1＝12.3.