七年级数学尖子生培优训练[1]学习资料
2020-2021学年七年级数学上册尖子生同步培优题典 专题1
专题1.2展开与折叠姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共20题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一．选择题（共10小题）1．（2020春•北碚区校级月考）如图是（）的展开图．A．棱柱B．棱锥C．圆柱D．圆锥【分析】根据圆柱的展开图特征解答．【解析】如图所示，该几何体是圆柱，故选：C．2．（2020•绵阳）下列四个图形中，不能作为正方体的展开图的是（）A．B．C．D．【分析】根据正方体的展开图的11种不同情况进行判断即可．【解析】正方体展开图的11种情况可分为“1﹣4﹣1型”6种，“2﹣3﹣1型”3种，“2﹣2﹣2型”1种，“3﹣3型”1种，因此选项D符合题意，故选：D．3．（2020•天水）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种表面展开图，那么在原正方体中，与“伏”字所在面相对面上的汉字是（）A．文B．羲C．弘D．化【分析】根据正方体的展开图的特点，得出相对的面，进而得出答案．【解析】根据正方体表面展开图可知，“相间、Z端是对面”，因此“伏与化”相对，“弘与文”相对，“扬与羲”相对，故选：D．4．（2020•泰州）把如图所示的纸片沿着虚线折叠，可以得到的几何体是（）A．三棱柱B．四棱柱C．三棱锥D．四棱锥【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．【解析】观察展开图可知，几何体是三棱柱．故选：A．5．（2020•长春）下列图形是四棱柱的侧面展开图的是（）A．B．C．D．【分析】根据四棱柱的侧面展开图是矩形而且有4条棱进行解答即可．【解析】由四棱柱的特点可知：四棱柱的侧面展开图是矩形而且有4条棱．故选：A．6．（2020•白云区二模）下列图形中，能折叠成为三棱柱的是（）A．B．C．D．【分析】根据三棱柱及其表面展开图的特点对各选项分析判断即可得解．【解析】A、折叠后能围成三棱锥，故本选项错误；B、折叠后能围成缺少上下底面的三棱台，故本选项错误；C、折叠后能围成缺少上下底面的三棱柱，故本选项错误；D、折叠后能围成三棱柱，故本选项正确．故选：D．7．（2020•衡阳）下列不是三棱柱展开图的是（）A．B．C．D．【分析】根据三棱柱的两底展开是三角形，侧面展开是三个四边形，可得答案．【解析】A、C、D中间三个长方形能围成三棱柱的侧面，上、下两个三角形围成三棱柱的上、下两底面，故均能围成三棱柱，均是三棱柱的表面展开图．B围成三棱柱时，两个三角形重合为同一底面，而另一底面没有．故B不能围成三棱柱．故选：B．8．（2020•达州）下列正方体的展开图上每个面上都有一个汉字．其中，手的对面是口的是（）A．B．C．D．【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．【解析】A、手的对面是勤，不符合题意；B、手的对面是口，符合题意；C、手的对面是罩，不符合题意；D、手的对面是罩，不符合题意；故选：B．9．（2020春•绥棱县期末）一个圆柱的侧面展开图是长方形，这个长方形的一组邻边长分别是6和8，则这个圆柱的底面半径是（）A．3 B．C．D．或【分析】分6为底面周长与8为底面周长两种情况，求出底面半径即可．【解析】若8为圆柱的高，6为底面周长，此时底面半径为；若6为圆柱的高，8为底面周长，此时底面半径为．故选：D．10．（2020•大庆）将正方体的表面沿某些棱剪开，展成如图所示的平面图形，则原正方体中与数字5所在的面相对的面上标的数字为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．【解析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“1”与“6”是相对面，“5”与“2”是相对面，“3”与“4”是相对面．故选：B．二．填空题（共10小题）11．（2019秋•永城市期末）琦琦设计了某个产品的包装盒（如图所示），由于粗心少设计了其中一部分，若要将它补上，使其成为一个两面均有盖的正方体盒子，则共有4种填补的方式．【分析】根据正方体展开图特点：中间4联方，上下各一个，中间3联方，上下各1，2，两个靠一起，不能出“田”字，符合第一种情况，中间四个连在一起，上面一个，下面有四个位置，所以有四种弥补方法．【解析】中间4联方，上下各一个，中间3联方，上下各1，2，两个靠一起，不能出“田”字，符合第一种情况，中间四个连在一起，上面一个，下面有四个位置，所以有四种弥补方法．故答案为：412．（2020•成都模拟）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一个展开图，则在原正方体中，与“想”字所在面相对的面上的汉字是亮．【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．【解析】这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，与“想”字所在面相对的面上的汉字是亮．故答案为：亮．13．（2019秋•平顶山期末）如图是某正方体的表面展开图，则展开前与“我”字相对面上的字是是．【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．【解析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“我”与“是”是相对面．故答案为：是．14．（2019秋•定州市期末）某正方体每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“我”字所在面相对的面上的汉字是国．【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．【解析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“我”与“国”是相对面．故答案为：国．15．（2020•浙江自主招生）水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图，是一个正方体的平面开展开图，若图中的“方”表示正方体的前面，“法”表示右面，“想”表示下面，则“数”“学”“思”分别表示正方体后面、上面、左面．【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．【解析】“数”与“方”相对，“学”与“想”相对，“思”与“法”相对．则图中的“方”表示正方体的前面，“法”表示右面，“想”表示下面，则“数”“学”“思”分别表示正方体的后面、上面、左面．故答案为：后面、上面、左面．16．（2019秋•邗江区校级期末）扬州前一段时间天气变化无常，很多同学感冒生病．如图为我校某班级黑板报上的卫生标语，在一个正方体的每个面上都有一个汉字，其表面展开图如图所示，那么在该正方体中“毒”字对面的字是防．【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．【解析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“讲”与“生”是相对面，“防”与“毒”是相对面，“卫”与“病”是相对面．故答案为：防．17．（2019秋•樊城区期末）如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，“诚”字的诚实一面相对面上的字是信．【分析】根据正方体的展开图中相邻的面不存在公共点判定即可．【解析】∵正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，∴“诚”字一面的相对面上的字是信．故答案为：信．18．（2019秋•霍林郭勒市期末）如图，将甲、乙、丙、丁四个小正方形中的一个剪掉，使余下的部分不能围成一个正方体，则剪掉的这个小正方形是丁．【分析】根据正方体的展开图中每个面都有唯一的一个对面进行判断，可得答案．【解析】将如图所示的图形剪去一个小正方形，使余下的部分不能围成一个正方体，编号为甲乙丙丁的小正方形中剪去的是丁，故答案为：丁．19．（2019秋•越秀区期末）如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“守”字一面的相对面上的字是善．【分析】根据正方体的展开图中相邻的面不存在公共点判定即可．【解析】∵正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，∴“守”字一面的相对面上的字是“善”．故答案为：善．20．（2020春•甘南县期中）一个圆柱的侧面展开后是一个边长为12.56cm的正方形，这个圆柱的底面半径是2cm．【分析】由圆柱侧面展开图的特点可知：圆柱的侧面展开后，得到的长方形的长就等于底面周长，高就等于长方形的宽，再据题意可知，这个圆柱的底面周长和高是相等的，现在正方形的边长已知，也就等于底面周长和高已知，再根据圆的周长公式：c＝2πr，即可求出底面半径．【解析】12.56÷3.14÷2＝2（cm），答：这个圆柱的底面半径是2cm．故答案为：2cm．。
七年级数学培优辅导讲义(共十讲80页)
第一讲有理数的巧算有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性．1．括号的使用在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单．例1计算：分析中学数学中，由于负数的引入，符号“+”与“-”具有了双重涵义，它既是表示加法与减法的运算符号，也是表示正数与负数的性质符号．因此进行有理数运算时，一定要正确运用有理数的运算法则，尤其是要注意去括号时符号的变化．注意在本例中的乘除运算中，常常把小数变成分数，把带分数变成假分数，这样便于计算．例2计算下式的值：211×555+445×789+555×789+211×445．分析直接计算很麻烦，根据运算规则，添加括号改变运算次序，可使计算简单．本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算．解原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789)=211×(555+445)+(445+555)×789=211×1000+1000×789=1000×(211+789)=1 000 000．说明加括号的一般思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的常用技巧．例3计算：S=1-2+3-4+…+(-1)n+1·n．分析不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为“-1”．如果按照将第一、第二项，第三、第四项，…，分别配对的方式计算，就能得到一系列的“-1”，于是一改“去括号”的习惯，而取“添括号”之法．解 S=(1-2)+(3-4)+…+(-1)n+1·n．下面需对n的奇偶性进行讨论：当n为偶数时，上式是n／2个(-1)的和，所以有当n为奇数时，上式是(n-1)／2个(-1)的和，再加上最后一项(-1)n+1·n=n，所以有例4在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？分析与解因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在1，2，3，…，1998之前任意添加符号“+”或“-”，不会改变和的奇偶性．在1，2，3，…，1998中有1998÷2个奇数，即有999个奇数，所以任意添加符号“+”或“-”之后，所得的代数和总为奇数，故最小非负数不小于1．现考虑在自然数n，n+1，n+2，n+3之间添加符号“+”或“-”，显然n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0．这启发我们将1，2，3，…，1998每连续四个数分为一组，再按上述规则添加符号，即(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+…+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1．所以，所求最小非负数是1．说明本例中，添括号是为了造出一系列的“零”，这种方法可使计算大大简化．2．用字母表示数我们先来计算(100+2)×(100-2)的值：(100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2×100-4=1002-22．这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过程变为(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2．于是我们得到了一个重要的计算公式(a+b)(a-b)=a2-b2，①这个公式叫平方差公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算．例5计算 3001×2999的值．解 3001×2999=(3000+1)(3000-1)=30002-12=8 999 999．例6计算 103×97×10 009的值．解原式=(100+3)(100-3)(10000+9)=(1002-9)(1002+9)=1004-92=99 999 919．例7计算：分析与解直接计算繁．仔细观察，发现分母中涉及到三个连续整数：12 345，12 346，12 347．可设字母n=12 346，那么12 345=n-1，12 347=n+1，于是分母变为n2-(n-1)(n+1)．应用平方差公式化简得n2-(n2-12)=n2-n2+1=1，即原式分母的值是1，所以原式=24 690．例8计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)．分析式子中2，22，24，…每一个数都是前一个数的平方，若在(2+1)前面有一个(2-1)，就可以连续递进地运用(a+b)(a-b)=a2-b2了．解原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)×(216+1)(232+1)=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)×(232+1)=(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)=……=(232-1)(232+1)=264-1．例9计算：分析在前面的例题中，应用过公式(a+b)(a-b)=a2-b2．这个公式也可以反着使用，即a2-b2=(a+b)(a-b)．本题就是一个例子．通过以上例题可以看到，用字母表示数给我们的计算带来很大的益处．下面再看一个例题，从中可以看到用字母表示一个式子，也可使计算简化．例10计算：我们用一个字母表示它以简化计算．3．观察算式找规律例11某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分．87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．分析与解若直接把20个数加起来，显然运算量较大，粗略地估计一下，这些数均在90上下，所以可取90为基准数，大于90的数取“正”，小于90的数取“负”，考察这20个数与90的差，这样会大大简化运算．所以总分为90×20+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3)+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)+2+5+(-2)=1800-1=1799，平均分为 90+(-1)÷20=89.95．例12 计算1+3+5+7+…+1997+1999的值．分析观察发现：首先算式中，从第二项开始，后项减前项的差都等于2；其次算式中首末两项之和与距首末两项等距离的两项之和都等于2000，于是可有如下解法．解用字母S表示所求算式，即S=1+3+5+…+1997+1999．①再将S各项倒过来写为S=1999+1997+1995+…+3+1．②将①，②两式左右分别相加，得2S=(1+1999)+(3+1997)+…+(1997+3)+(1999+1)=2000+2000+…+2000+2000(500个2000)=2000×500．从而有 S=500 000．说明一般地，一列数，如果从第二项开始，后项减前项的差都相等(本题3-1=5-3=7-5=…=1999-1997，都等于2)，那么，这列数的求和问题，都可以用上例中的“倒写相加”的方法解决．例13计算 1+5+52+53+…+599+5100的值．分析观察发现，上式从第二项起，每一项都是它前面一项的5倍．如果将和式各项都乘以5，所得新和式中除个别项外，其余与原和式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算．解设S=1+5+52+…+599+5100，①所以5S=5+52+53+…+5100+5101．②②—①得4S=5101-1，说明如果一列数，从第二项起每一项与前一项之比都相等(本例中是都等于5)，那么这列数的求和问题，均可用上述“错位相减”法来解决．例14 计算：分析一般情况下，分数计算是先通分．本题通分计算将很繁，所以我们不但不通分，反而利用如下一个关系式来把每一项拆成两项之差，然后再计算，这种方法叫做拆项法．解由于所以说明本例使用拆项法的目的是使总和中出现一些可以相消的相反数的项，这种方法在有理数巧算中很常用．练习一1．计算下列各式的值：(1)-1+3-5+7-9+11-…-1997+1999；(2)11+12-13-14+15+16-17-18+…+99+100；(3)1991×1999-1990×2000；(4)4726342+472 6352-472 633×472 635-472 634×472 636；(6)1+4+7+ (244)2．某小组20名同学的数学测验成绩如下，试计算他们的平均分．81，72，77，83，73，85，92，84，75，63，76，97，80，90，76，91，86，78，74，85．第二讲绝对值绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式，以及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题．下面我们先复习一下有关绝对值的基本知识，然后进行例题分析．一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．即绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识，它与距离的概念密切相关．在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值．结合相反数的概念可知，除零外，绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数．反之，相反数的绝对值相等也成立．由此还可得到一个常用的结论：任何一个实数的绝对值是非负数．例1 a，b为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？(1)｜a+b｜=｜a｜+｜b｜；(2)｜ab｜=｜a｜｜b｜；(3)｜a-b｜=｜b-a｜；(4)若｜a｜=b，则a=b；(5)若｜a｜＜｜b｜，则a＜b；(6)若a＞b，则｜a｜＞｜b｜．解 (1)不对．当a，b同号或其中一个为0时成立．(2)对．(3)对．(4)不对．当a≥0时成立．(5)不对．当b＞0时成立．(6)不对．当a＋b＞0时成立．例2设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图1-1所示，化简｜b-a｜+｜a+c｜+｜c-b｜．解由图1-1可知，a＞0，b＜0，c＜0，且有｜c｜＞｜a｜＞｜b｜＞0．根据有理数加减运算的符号法则，有b-a＜0，a＋c＜0，c-b＜0．再根据绝对值的概念，得｜b-a｜=a-b，｜a+c｜=-(a+c)，｜c-b｜=b-c．于是有原式=(a-b)-(a+c)+(b-c)=a-b-a-c+b-c=-2c．例3已知x＜-3，化简：｜3+｜2-｜1+x｜｜｜．分析这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号．解原式=｜3+｜2+(1+x)｜｜(因为1+x＜0)=｜3+｜3+x｜｜=｜3-(3+x)｜(因为3+x＜0)=｜-x｜=-x．解因为 abc≠0，所以a≠0，b≠0，c≠0．(1)当a，b，c均大于零时，原式=3；(2)当a，b，c均小于零时，原式=-3；(3)当a，b，c中有两个大于零，一个小于零时，原式=1；(4)当a，b，c中有两个小于零，一个大于零时，原式=-1．说明本例的解法是采取把a，b，c中大于零与小于零的个数分情况加以解决的，这种解法叫作分类讨论法，它在解决绝对值问题时很常用．例5若｜x｜=3，｜y｜=2，且｜x-y｜=y-x，求x+y的值．解因为｜x-y｜≥0，所以y-x≥0，y≥x．由｜x｜=3，｜y｜=2可知，x＜0，即x=-3．(1)当y=2时，x+y=-1；(2)当y=-2时，x+y=-5．所以x+y的值为-1或-5．例6若a，b，c为整数，且｜a-b｜19+｜c-a｜99=1，试计算｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜的值．解 a，b，c均为整数，则a-b，c-a也应为整数，且｜a-b｜19，｜c-a｜99为两个非负整数，和为1，所以只能是｜a-b｜19=0且｜c-a｜99=1，①或｜a-b｜19=1且｜c-a｜99=0．②由①有a=b且c=a±1，于是｜b-c｜=｜c-a｜=1；由②有c=a且a=b±1，于是｜b-c｜=｜a-b｜=1．无论①或②都有｜b-c｜=1且｜a-b｜+｜c-a｜=1，所以｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜=2．解依相反数的意义有｜x-y+3｜=-｜x+y-1999｜．因为任何一个实数的绝对值是非负数，所以必有｜x-y+3｜=0且｜x+y-1999｜=0．即由①有x-y=-3，由②有x+y=1999．②-①得2y=2002， y=1001，所以例8 化简：｜3x+1｜+｜2x-1｜．分析本题是两个绝对值和的问题．解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号．若分别去掉每个绝对值符号，则是很容易的事．例如，化简｜3x+1｜，只要考虑3x+1的正负，即可去掉绝对值符号．这里我们为三个部分(如图1－2所示)，即这样我们就可以分类讨论化简了．原式=-(3x+1)-(2x-1)=5x；原式=(3x+1)-(2x-1)=x+2；原式=(3x+1)+(2x-1)=5x．即说明解这类题目，可先求出使各个绝对值等于零的变数字母的值，即先求出各个分界点，然后在数轴上标出这些分界点，这样就将数轴分成几个部分，根据变数字母的这些取值范围分类讨论化简，这种方法又称为“零点分段法”．例9已知y=｜2x+6｜+｜x-1｜-4｜x+1｜，求y的最大值．分析首先使用“零点分段法”将y化简，然后在各个取值范围内求出y的最大值，再加以比较，从中选出最大者．解有三个分界点：-3，1，-1．(1)当x≤-3时，y=-(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=x-1，由于x≤-3，所以y=x-1≤-4，y的最大值是-4．(2)当-3≤x≤-1时，y=(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=5x+11，由于-3≤x≤-1，所以-4≤5x+11≤6，y的最大值是6．(3)当-1≤x≤1时，y=(2x+6)-(x-1)-4(x+1)=-3x+3，由于-1≤x≤1，所以0≤-3x+3≤6，y的最大值是6．(4)当x≥1时，y=(2x+6)+(x-1)-4(x+1)=-x+1，由于x≥1，所以1-x≤0，y的最大值是0．综上可知，当x=-1时，y取得最大值为6．例10设a＜b＜c＜d，求｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜+｜x-d｜的最小值．分析本题也可用“零点分段法”讨论计算，但比较麻烦．若能利用｜x-a｜，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜的几何意义来解题，将显得更加简捷便利．解设a，b，c，d，x在数轴上的对应点分别为A，B，C，D，X，则｜x-a｜表示线段AX之长，同理，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜分别表示线段BX，CX，DX之长．现要求｜x-a｜，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜之和的值最小，就是要在数轴上找一点X，使该点到A，B，C，D四点距离之和最小．因为a＜b＜c＜d，所以A，B，C，D的排列应如图1－3所示：所以当X在B，C之间时，距离和最小，这个最小值为AD+BC，即(d-a)+(c-b)．例11若2x+｜4-5x｜+｜1-3x｜+4的值恒为常数，求x该满足的条件及此常数的值．分析与解要使原式对任何数x恒为常数，则去掉绝对值符号，化简合并时，必须使含x的项相加为零，即x的系数之和为零．故本题只有2x-5x+3x=0一种情况．因此必须有｜4-5x｜=4-5x且｜1-3x｜=3x-1．故x应满足的条件是此时原式=2x+(4-5x)-(1-3x)+4=7．练习二1．x是什么实数时，下列等式成立：(1)｜(x-2)+(x-4)｜=｜x-2｜+｜x-4｜；(2)｜(7x+6)(3x-5)｜=(7x+6)(3x-5)．2．化简下列各式：(2)｜x+5｜+｜x-7｜+｜x+10｜．3．若a＋b＜0，化简｜a+b-1｜-｜3-a-b｜．4．已知y=｜x+3｜+｜x-2｜-｜3x-9｜，求y的最大值．5．设T=｜x-p｜+｜x-15｜+｜x-p-15｜，其中0＜p＜15，对于满足p≤x≤15的x 来说，T的最小值是多少？6．已知a＜b，求｜x-a｜+｜x-b｜的最小值．7．不相等的有理数a，b，c在数轴上的对应点分别为A，B，C，如果｜a-b｜+｜b-c｜=｜a-c｜，那么B点应为( )．(1)在A，C点的右边；(2)在A，C点的左边；(3)在A，C点之间；(4)以上三种情况都有可能．第三讲求代数式的值用具体的数代替代数式里的字母进行计算，求出代数式的值，是一个由一般到特殊的过程．具体求解代数式值的问题时，对于较简单的问题，代入直接计算并不困难，但对于较复杂的代数式，往往是先化简，然后再求值．下面结合例题初步看一看代数式求值的常用技巧．例1求下列代数式的值：分析上面两题均可直接代入求值，但会很麻烦，容易出错．我们可以利用已经学过的有关概念、法则，如合并同类项，添、去括号等，先将代数式化简，然后再求值，这样会大大提高运算的速度和结果的准确性．=0-4a3b2-a2b-5=-4×13×(- 2)2- 12×(-2)-5=-16+2-5=-19．(2)原式=3x2y-xyz+(2xyz-x2z)+4x2?[3x2y-(xyz-5x2z)]=3x2y-xyz+2xyz-x2z+4x2z-3x2y+(xyz-5x2z)=(3x2y-3x2y)+(-xyz+2xyz+xyz)+(-x2z+4x2z-5x2z)=2xyz-2x2z=2×(-1)×2×(-3)-2×(-1)2×(-3)=12+6=18．说明本例中(1)的化简是添括号，将同类项合并后，再代入求值；(2)是先去括号，然后再添括号，合并化简后，再代入求值．去、添括号时，一定要注意各项符号的变化．例2已知a-b=-1，求a3+3ab-b3的值．分析由已知条件a-b=-1，我们无法求出a，b的确定值，因此本题不能像例1那样，代入a，b的值求代数式的值．下面给出本题的五种解法．解法1由a-b=-1得a=b-1，代入所求代数式化简a3+3ab-b3=(b-1)3+3(b-1)b-b3=b3-3b2+3b-1+3b2-3b-b3=-1．说明这是用代入消元法消去a化简求值的．解法2因为a-b=-1，所以原式=(a3-b3)+3ab=(a-b)(a2+ab+b2)+3ab=-1×(a2+ab+b2)+3ab=-a2-ab-b2+3ab=-(a2-2ab+b2)=-(a-b)2=-(-1)2=-1．说明这种解法是利用了乘法公式，将原式化简求值的．解法3 因为a-b=-1，所以原式=a3-3ab(-1)-b3=a3-3ab(a-b)-b3=a3-3a2b+3ab2-b3=(a-b)3=(-1)3=-1．说明这种解法巧妙地利用了-1=a-b，并将3ab化为-3ab(-1)=-3ab(a-b)，从而凑成了(a-b)3．解法4 因为a-b=-1，所以(a-b)3=(-1)3=1，即 a3+3ab2-3a2b-b3=-1，a3-b3-3ab(a-b)=-1，所以 a3-b3-3ab(-1)=-1，即 a3-b3+3ab=-1．说明这种解法是由a-b=-1，演绎推理出所求代数式的值．解法 5a3+3ab-b3=a3+3ab2-3a2b-b3-3ab2+3a2b+3ab=(a-b)3+3ab(a-b)+3ab=(-1)3+3ab(-1)+3ab=-1．说明这种解法是添项，凑出(a-b)3，然后化简求值．通过这个例题可以看出，求代数式的值的方法是很灵活的，需要认真思考，才能找到简便的算法．在本例的各种解法中，用到了几个常用的乘法公式，现总结如下：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2；(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3；(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3；a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．解由已知，xy=2(x+y)，代入所求代数式中，消去xy，然后化简．所以解因为a=3b，所以c=5a=5×(3b)=15b．将a，c代入所求代数式，化简得解因为(x-5)2，｜m｜都是非负数，所以由(1)有由(2)得y+1=3，所以y=2．下面先化简所求代数式，然后再代入求值．=x2y+5m2x+10xy2=52×2+0+10×5×22=250例6如果4a-3b=7，并且3a+2b=19，求14a-2b的值．分析此题可以用方程组求出a，b的值，再分别代入14a-2b求值．下面介绍一种不必求出a，b的值的解法．解 14a-2b=2(7a-b)=2[(4a+3a)+(-3b+2b)]=2[(4a-3b)+(3a+2b)]=2(7+19)=52．｜x｜+｜x-1｜+｜x-2｜+｜x-3｜+｜x-4｜+｜x-5｜的值．分析所求代数式中六个绝对值的分界点，分别为：0，1，2，据绝对值的意义去掉绝对值的符号，将有3个x和3个-x，这样将抵消掉x，使求值变得容易．原式=x+(x-1)+(x-2)-(x-3)-(x-4)-(x-5)=-1-2+3+4+5=9．说明实际上，本题只要x的值在2与3之间，那么这个代数式的值就是9，即它与x具体的取值无关．例8若x:y:z=3:4:7，且2x-y+z=18，那么x+2y-z的值是多少？分析 x:y:z=3:4:7可以写成的形式，对于等比，我们通常可以设它们的比值为常数k，这样可以给问题的解决带来便利．x=3k，y=4k，z=7k．因为2x-y+z=18，所以2×3k-4k+7k=18，所以k=2，所以x=6，y=8，z=14，所以x+2y-z=6+16-14=8．例9已知x=y=11，求(xy-1)2+(x+y-2)(x+y-2xy)的值．分析本题是可直接代入求值的．下面采用换元法，先将式子改写得较简洁，然后再求值．解设x+y=m，xy=n．原式=(n-1)2+(m-2)(m-2n)=(n-1)2+m2-2m-2mn+4n=n2-2n+1+4n-2m-2mn+m2=(n+1)2-2m(n+1)+m2=(n+1-m)2=(11×11+1-22)2=(121+1-22)2=1002=10000．说明换元法是处理较复杂的代数式的常用手法，通过换元，可以使代数式的特征更加突出，从而简化了题目的表述形式．练习三1．求下列代数式的值：(1)a4+3ab-6a2b2-3ab2+4ab+6a2b-7a2b2-2a4，其中a=-2，b=1；的值．3．已知a=3.5，b=-0.8，求代数式｜6-5b｜-｜3a-2b｜-｜8b-1｜的值．4．已知(a+1)2-(3a2+4ab+4b2+2)=0，求 a，b的值．5．已知第四讲一元一次方程方程是中学数学中最重要的内容．最简单的方程是一元一次方程，它是进一步学习代数方程的基础，很多方程都可以通过变形化为一元一次方程来解决．本讲主要介绍一些解一元一次方程的基本方法和技巧．用等号连结两个代数式的式子叫等式．如果给等式中的文字代以任何数值，等式都成立，这种等式叫恒等式．一个等式是否是恒等式是要通过证明来确定的．如果给等式中的文字(未知数)代以某些值，等式成立，而代以其他的值，则等式不成立，这种等式叫作条件等式．条件等式也称为方程．使方程成立的未知数的值叫作方程的解．方程的解的集合，叫作方程的解集．解方程就是求出方程的解集．只含有一个未知数(又称为一元)，且其次数是1的方程叫作一元一次方程．任何一个一元一次方程总可以化为ax=b(a≠0)的形式，这是一元一次方程的标准形式(最简形式)．解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项，化为最简形式ax=b；(5)方程两边同除以未知数的系数，得出方程的解．一元一次方程ax=b的解由a，b的取值来确定：(2)若a=0，且b=0，方程变为0·x=0，则方程有无数多个解；(3)若a=0，且b≠0，方程变为0·x=b，则方程无解．例1解方程解法1从里到外逐级去括号．去小括号得去中括号得去大括号得解法2按照分配律由外及里去括号．去大括号得化简为去中括号得去小括号得例2已知下面两个方程3(x+2)=5x，①4x-3(a-x)=6x-7(a-x) ②有相同的解，试求a的值．分析本题解题思路是从方程①中求出x的值，代入方程②，求出a的值．解由方程①可求得3x-5x=-6，所以x=3．由已知，x=3也是方程②的解，根据方程解的定义，把x=3代入方程②时，应有4×3-3(a-3)=6×3-7(a-3)，7(a-3)-3(a-3)=18-12，例3已知方程2(x+1)=3(x-1)的解为a+2，求方程2[2(x+3)-3(x-a)]=3a的解．解由方程2(x+1)=3(x-1)解得x=5．由题设知a+2=5，所以a=3．于是有2[2(x+3)-3(x-3)]=3×3，-2x=-21，例4解关于x的方程(mx-n)(m+n)=0．分析这个方程中未知数是x，m，n是可以取不同实数值的常数，因此需要讨论m，n取不同值时，方程解的情况．解把原方程化为m2x+mnx-mn-n2=0，整理得 m(m+n)x=n(m+n)．当m+n≠0，且m=0时，方程无解；当m+n=0时，方程的解为一切实数．说明含有字母系数的方程，一定要注意字母的取值范围．解这类方程时，需要从方程有唯一解、无解、无数多个解三种情况进行讨论．例5解方程(a+x-b)(a-b-x)=(a2-x)(b2+x)-a2b2．分析本题将方程中的括号去掉后产生x2项，但整理化简后，可以消去x2，也就是说，原方程实际上仍是一个一元一次方程．解将原方程整理化简得(a-b)2-x2=a2b2+a2x-b2x-x2-a2b2，即 (a2-b2)x=(a-b)2．(1)当a2-b2≠0时，即a≠±b时，方程有唯一解(2)当a2-b2=0时，即a=b或a=-b时，若a-b≠0，即a≠b，即a=-b时，方程无解；若a-b=0，即a=b，方程有无数多个解．例6已知(m2-1)x2-(m+1)x+8=0是关于x的一元一次方程，求代数式199(m+x)(x-2m)+m的值．解因为(m2-1)x2-(m+1)x+8=0是关于x的一元一次方程，所以m2-1=0，即m=±1．(1)当m=1时，方程变为-2x+8=0，因此x=4，代数式的值为199(1+4)(4-2×1)+1=1991；(2)当m=-1时，原方程无解．所以所求代数式的值为1991．例7 已知关于x的方程a(2x-1)=3x-2无解，试求a的值．解将原方程变形为2ax-a=3x-2，即 (2a-3)x=a-2．由已知该方程无解，所以例8 k为何正数时，方程k2x-k2=2kx-5k的解是正数？来确定：(1)若b=0时，方程的解是零；反之，若方程ax=b的解是零，则b=0成立．(2)若ab＞0时，则方程的解是正数；反之，若方程ax=b的解是正数，则ab＞0成立．(3)若ab＜0时，则方程的解是负数；反之，若方程ax=b的解是负数，则ab＜0成立．解按未知数x整理方程得(k2-2k)x=k2-5k．要使方程的解为正数，需要(k2-2k)(k2-5k)＞0．看不等式的左端(k2-2k)(k2-5k)=k2(k-2)(k-5)．因为k2≥0，所以只要k＞5或k＜2时上式大于零，所以当k＜2或k＞5时，原方程的解是正数，所以k＞5或0＜k＜2即为所求．例9若abc=1，解方程解因为abc=1，所以原方程可变形为化简整理为化简整理为说明像这种带有附加条件的方程，求解时恰当地利用附加条件可使方程的求解过程大大简化．例10若a，b，c是正数，解方程解法1原方程两边乘以abc，得到方程ab(x-a-b)+bc(x-b-c)+ac(x-c-a)=3abc．移项、合并同类项得ab[x-(a+b+c)]+bc[x-(a+b+c)]+ac[x-(a+b+c)]=0，因此有[x-(a+b+c)](ab+bc+ac)=0．因为a＞0，b＞0，c＞0，所以ab+bc+ac≠0，所以x-(a+b+c)=0，即x=a+b+c为原方程的解．解法2将原方程右边的3移到左边变为-3，再拆为三个“-1”，并注意到其余两项做类似处理．设m=a+b+c，则原方程变形为所以即x-(a+b+c)=0．所以x=a+b+c为原方程的解．说明注意观察，巧妙变形，是产生简单优美解法所不可缺少的基本功之一．例11设n为自然数，[x]表示不超过x的最大整数，解方程：分析要解此方程，必须先去掉[ ]，由于n是自然数，所以n与(n+1)…，n[x]都是整数，所以x必是整数．解根据分析，x必为整数，即x=[x]，所以原方程化为合并同类项得故有所以x=n(n+1)为原方程的解．例12已知关于x的方程且a为某些自然数时，方程的解为自然数，试求自然数a的最小值．解由原方程可解得a最小，所以x应取x=160．所以所以满足题设的自然数a的最小值为2．练习四1．解下列方程：*2．解下列关于x的方程：(1)a2(x-2)-3a=x+1；4．当k取何值时，关于x的方程3(x+1)=5-kx，分别有：(1)正数解；(2)负数解；(3)不大于1的解．第五讲方程组的解法二元及多元(二元以上)一次方程组的求解，主要是通过同解变形进行消元，最终转化为一元一次方程来解决．所以，解方程组的基本思想是消元，主要的消元方法有代入消元和加减消元两种，下面结合例题予以介绍．例1解方程组解将原方程组改写为由方程②得x=6+4y，代入①化简得11y-4z=-19．④由③得2y+3z=4．⑤④×3+⑤×4得33y+8y=-57+16，所以 y=-1．将y=-1代入⑤，得z=2．将y=-1代入②，得x=2．所以为原方程组的解．说明本题解法中，由①，②消x时，采用了代入消元法；解④，⑤组成的方程组时，若用代入法消元，无论消y，还是消z，都会出现分数系数，计算较繁，而利用两个方程中z的系数是一正一负，且系数的绝对值较小，采用加减消元法较简单．解方程组消元时，是使用代入消元，还是使用加减消元，要根据方程的具体特点而定，灵活地采用各种方法与技巧，使解法简捷明快．例2解方程组解法1由①，④消x得由⑥，⑦消元，得解之得将y=2代入①得x=1．将z=3代入③得u=4．所以解法2由原方程组得所以x=5-2y=5-2(8-2z)=-11+4z=-11+4(11-2u)=33-8u=33-8(6-2x)=-15+16x，即x=-15+16x，解之得x=1．将x=1代入⑧得u=4．将u=4代入⑦得z=3．将z=3代入⑥得y=2．所以为原方程组的解．解法3①+②+③+④得x+y+z+u=10，⑤由⑤-(①+③)得y+u=6，⑥由①×2-④得4y-u=4，⑦⑥+⑦得y=2．以下略．说明解法2很好地利用了本题方程组的特点，解法简捷、流畅．例3解方程组分析与解注意到各方程中同一未知数系数的关系，可以先得到下面四个二元方程：①+②得x+u=3，⑥②+③得y+v=5，⑦③+④得z+x=7，⑧④+⑤得u+y=9．⑨又①+②+③+④+⑤得x+y+z+u+v=15．⑩⑩-⑥-⑦得z=7，把z=7代入⑧得x=0，把x=0代入⑥得u=3，把u=3代入⑨得y=6，把y=6代入⑦得v=-1．所以为原方程组的解．例4解方程组解法1①×2+②得由③得代入④得为原方程组的解．为原方程组的解．说明解法1称为整体处理法，即从整体上进行加减消元或代入消为换元法，也就是干脆引入一个新的辅助元来代替原方程组中的“整体元”，从而简化方程组的求解过程．例5已知分析与解一般想法是利用方程组求出x，y，z的值之后，代入所求的代数式计算．但本题中方程组是由三个未知数两个方程组成的，因此无法求出x，y，z的确定有限解，但我们可以利用加减消元法将原方程组变形．①-②消去x得①×3+②消去y得①×5+②×3消去z得例6已知关于x，y的方程组分别求出当a为何值时，方程组(1)有唯一一组解；(2)无解；(3)有无穷多组解．分析与一元一次方程一样，含有字母系数的一次方程组求解时也要进行讨论，一般是通过消元，归结为一元一次方程ax=b的形式进行讨论．但必须特别注意，消元时，若用含有字母的式子去乘或者去除方程的两边时，这个式子的值不能等于零．解由①得2y=(1+a)-ax，③将③代入②得(a-2)(a+1)x=(a-2)(a+2)．④(1)当(a-2)(a+1)≠0，即a≠2且a≠-1时，方程④有因而原方程组有唯一一组解．(2)当(a-2)(a+1)=0且(a-2)(a+2)≠0时，即a=-1时，方程④无解，因此原方程组无解．(3)当(a-2)(a+1)=0且(a-2)(a+2)=0时，即a=2时，方程④有无穷多个解，因此原方程组有无穷多组解．例7已知关于x，y的二元一次方程(a-1)x+(a+2)y+5-2a=0，当a每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，试求出这个公共解．解法1根据题意，可分别令a=1，a=-2代入原方程得到一个方程组将x=3，y=-1代入原方程得(a-1)·3+(a+2)·(-1)+5-2a=0．所以对任何a值都是原方程的解．说明取a=1为的是使方程中(a-1)x=0，方程无x项，可直接求出y值；取a=-2的道理类似．解法2可将原方程变形为a(x+y-2)-(x-2y-5)=0．由于公共解与a无关，故有例8甲、乙两人解方程组原方程的解．分析与解因为甲只看错了方程①中的a，所以甲所得到的解4×(-3)-b×(-1)=-2．③a×5+5×4=13．④解由③，④联立的方程组得所以原方程组应为练习五1．解方程组2．若x1，x2，x3，x4，x5满足方程组试确定3x4+2x5的值．3．将式子3x2+2x-5写成a(x+1)2+b(x+1)+c的形式，试求4．k为何值时，方程组有唯一一组解；无解；无穷多解？5．若方程组的解满足x+y=0，试求m的值．第六讲一次不等式(不等式组)的解法不等式和方程一样，也是代数里的一种重要模型．在概念方面，它与方程很类似，尤其重要的是不等式具有一系列基本性质，而且“数学的基本结果往往是一些不等式而不是等式”．本讲是系统学习不等式的基础．下面先介绍有关一次不等式的基本知识，然后进行例题分析．1．不等式的基本性质这里特别要强调的是在用一个不等于零的数或式子去乘(或去除)不等式时，一定要注意它与等式的类似性质上的差异，即当所乘(或除)的数或式子大于零时，不等号方向不变(性质(5))；当所乘(或除)的数或式子小于零时，不等号方向要改变(性质(6))．2．区间概念在许多情况下，可以用不等式表示数集和点集．如果设a，b为实数，且a＜b，那么(1)满足不等式a＜x＜b的数x的全体叫作一个开区间，记作(a，b)．如图1－4(a)．(2)满足不等式a≤x≤b的数x的全体叫作一个闭区间，记作[a，b]．如图1－4(b)．(3)满足不等式a＜x≤b(或a≤x＜b)的x的全体叫作一个半开半闭区间，记作(a，b](或[a，b))．如图1－4(c)，(d)．3．一次不等式的一般解法一元一次不等式像方程一样，经过移项、合并同类项、整理后，总可以写成下面的标准型：ax＞b，或ax＜b．为确定起见，下面仅讨论前一种形式．一元一次不等式ax＞b．(3)当a=0时，用区间表示为(-∞，+∞)．例1解不等式解两边同时乘以6得12(x+1)+2(x-2)≥21x-6，化简得-7x≥-14，两边同除以-7，有x≤2．所以不等式的解为x≤2，用区间表示为(-∞，2]．例2求不等式的正整数解．正整数解，所以原不等式的正整数解为x=1，2，3．例3解不等式分析与解因y2+1＞0，所以根据不等式的基本性质有例4解不等式为x+2＞7，解为x＞5．这种错误没有考虑到使原不等式有意义的条件：x≠6．解将原不等式变形为解之得所以原不等式的解为x＞5且x≠6．例5已知2(x-2)-3(4x-1)=9(1-x)，且y＜x+9，试比较解首先解关于x的方程得x=-10．将x=-10代入不等式得y＜-10+9，即y＜-1．例6解关于x的不等式：解显然a≠0，将原不等式变形为3x+3-2a2＞a-2ax，即(3+2a)x＞(2a+3)(a-1)．说明对含有字母系数的不等式的解，也要分情况讨论．例7已知a，b为实数，若不等式(2a-b)x+3a-4b＜0解由(2a-b)x+3a-4b＜0得(2a-b)x＜4b-3a．。
2020-2021学年七年级数学上册尖子生同步培优题典 专题1
专题1.6第1章丰富的图形世界单元测试（培优卷）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2019秋•越秀区期末）将一个直角三角形绕着它的一条直角边所在直线旋转一周，得到的立体图形是（）A．圆柱B．圆锥C．圆台D．球2．（2020春•道里区期末）下列立体图形中，从正面看到的平面图形是圆的立体图形是（）A．正方体B．圆柱C．圆锥D．球3．（2020春•哈尔滨期末）如图，从正面看这个几何体得到的平面图形是（）A．B．C．D．4．（2020春•南岗区期末）如图，左侧几何体是由六个相同的小正方体组合而成，从正面看得到的平面图形是（）A．B．C．D．5．（2019秋•彭水县期末）如图所示的几何体，从上往下看得到的平面图是（）A．B．C．D．6．（2019秋•邗江区校级期末）已知某多面体的平面展开图如图所示，其中是棱锥的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．（2020春•绥棱县期末）把一支新的圆柱形铅笔削出笔尖，笔尖（圆锥部分）的体积是削去部分的（）A．B．C．D．2倍8．（2019秋•九龙坡区校级期末）把50个同样大小的立方体木块堆砌成如图所示的形状，现在从前、后、左右和上面五个方向朝这堆木块喷漆，则有（）块完全喷不到漆．A．5 B．7 C．17 D．229．（2020春•南岗区期末）下列平面图形中，经过折叠不能围成正方体的是（）A．B．C．D．10．（2019秋•密云区期末）一个正方体的六个面分别标有六个不同的点数，其展开图如图所示，则该正方体可能是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）请把答案直接填写在横线上11．（2019秋•崇川区校级期末）如图是一个立体图形的平面展开图，则这个立体图形是．12．（2019秋•青岛期末）如图（1），在边长为acm的正方形纸片的四个角各剪去一个同样大小的正方形，折成一个如图（2）所示的无盖的长方体．设剪去的小正方形的边长为4cm，则这样折成的无盖长方体的容积是cm3．13．（2019秋•渠县期末）如图，是由一些相同的小正方体搭成的几何体从三个方向看到的图形，搭成这个几何体的小正方体的个数是．14．（2019秋•望花区期末）“横看成岭侧成峰，远近高低各不同，不识庐山真面目，只缘身在此山中．”这是宋代诗人苏轼的著名诗句（《题西林壁》）．其“横看成岭侧成峰”中所含的数学道理是．15．（2019秋•三明期末）一个几何体由若干个大小相同的小正方体组成，从正面和从上面看到的形状图如图所示，则这个几何体中小正方体的个数最多是．16．（2019秋•辉县市期末）如图，由十个小正方体组成的几何体中，若每个小正方体的棱长都是2，则该几何体的主视图和左视图的面积之和是．17．（2019秋•李沧区期末）用平面去截球体与圆柱，如果得到的截面形状相同，那么截面的形状是．18．（2019秋•松北区期末）将一根长4米的圆柱体木料锯成2段（2段都是圆柱体），表面积增加60平方分米，这根木料的体积是立方分米．19．（2019秋•郑州期末）一个小立方块的六个面分别标有字母A、B、C、D、E、F，从三个不同方向看到的情形如图所示，其中A、B、C、D、E、F分别代表数字﹣2、﹣1、0、1、2、3，则三个小立方块的下底面所标字母代表的数字的和为．20．（2019秋•市北区期末）如图，是由小立方体组合而成的几何体从正面、左面、上面看到的图形，则至少再加个小立方体该几何体可成为一个正方体．三、解答题（本大题共6小题，共60分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21．（2019秋•邗江区校级期末）图1所示的三棱柱，高为8cm，底面是一个边长为5cm的等边三角形．（1）这个三棱柱有条棱，有个面；（2）图2框中的图形是该三棱柱的一种表面展开图的一部分，请将它补全（一种即可）；（3）要将该三棱柱的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，至少需剪开条棱，需剪开棱的棱长的和的最大值为cm．22．（2019秋•行唐县期末）已知下图为一几何体的三视图．（1）写出这个几何体的名称；（2）画出这个几何体的侧面展开图；（3）若主视图的长为8cm，俯视图中圆的半径为3cm，求这个几何体的表面积和体积？（结果保留π）23．（2019秋•大田县期末）已知下图为从正面、左面、上面看到的一个几何体的形状图．（1）写出这个几何体的名称；（2）若从正面看到的长方形的宽为3cm，从上面看到的正方形的边长为8cm，求这个几何体的表面积．24．（2019秋•唐山期末）如图，是由两个长方体组合而成的一个立体图形的主视图和左视图，根据图中所标尺寸（单位：mm）．（1）直接写出上下两个长方体的长、宽、高分别是多少；（2）求这个立体图形的体积．25．（2019秋•乐清市期中）仓库里有以下四种规格数量足够多的长方形、正方形的铁片（尺寸单位：分米）：从中选5块铁片，焊接成一个无盖的长方体（或正方体）铁盒（不浪费材料），甲型盒是由2块规格①、1块规格②和2块规格③焊接而成的铁盒，乙型盒是容积最小的铁盒．（1）甲型盒的容积为：分米3；乙型盒的容积为：分米3；（直接写出答案）（2）现取两个装满水的乙型盒，再将其内部所有的水都倒入一个水平放置的甲型盒，求甲型盒中水的高度是多少分米？26．（2019秋•城固县期中）一个几何体由大小相同的小立方体搭成，从三个方向看到的几何体的形状图如图所示．（1）求A，B，C，D这4个方格位置上的小立方体的个数；（2）这个几何体是由多少块小立方体组成的？。
七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第一讲因式分解的常用方法和技巧(含答案)
第一讲因式分解的常用方法和技巧趣题引路】你知道如何分解因式^-+X9+/+/+1吗？试作一代换：若令疋= )，,贝IJ原式=h + )，3+y2 + y+l,指数为连续整数,可考虑用公式/-l = (^-l)(/ + / + / + y+l),则原式=V4 + V3 + V2 + V + 1 = —(y5 -1))‘一1x-l x2 + X + 1= (x4 + x3 +x2 +x+ l)(x8 -x7 +x5 +x3 -x + 1)一个代换，把一个复杂的问题转化为一个较简单的问题，这是数学方法之美.多项式的因式分解是数学中恒等变形的一种重要方法，它在初等数学乃至高等数学中都有广泛的应用，因式分解的方法很多，技巧性强，认真学好因式分解，不仅为以后学习分式的运算及化简、解方程和解不等式等奠定良好的基础，而且有利于思维能力的发展.知识拓展】因式分解与整式乘法的区别是：前者是把一个多项式变成几个整式的积，后者是把几个整式的积变成一个多项式，因式分解初中可在有理数域或实数域中进行，高中还可在复数域中进行.因式分解后每个因式应在指定数域中不能再分.“例如X4-A在有理数域内可分解为(X+2)(/-2),其中每个因式就不能再分，不然分解式的系数会超过有理数的范围；在实数域中，它的分解式是(X2+2)(X+>/2)(X->/2):在复数域中，它的分解式是因式分解的方法很多，除了数学教材中的提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法以外, 还有换元法、待定系数法、拆项添项法和因数定理法等.本讲在中学数学教材的基础上，对因式分解的方法、技巧作进一步的介绍.一、用换元法分解因式换元法是指将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来进行运算，从而使运算过程简单明了.换元法是中学数学中常用的方法之一.例1 (1999年希望杯题)分解因式(X2-1)(X +3)(X+5)+12.解析若全部展开，过于复杂，考虑局部重新组合.注意到在(x + l)(x + 3) = X + 4x + 3和(X-1)(X+5)= X2+4X-5中出现了相同部分X2+4X ,可考虑引入辅助元y = x2+4x分解(也可设y = F+4x + 3,y = x'+4x-l 等).解原式=[(x + l)(x + 3)][(A-1)(X + 5)] +12=(x2 +4x+ 3)(x2 + 4x-5)+12设y = x2 +4x f贝!I原式= (y+3)(y-5)+12= r-2y-3= (y-3)(y + l)=(x2+4x+ 3)(x2 +4x-l)点评换元法体现了数学中的整体代换思想，它是化繁为简的重要手段这里y取(x2 +4X + 3)和(x2 + 4X-1)的平均值时分解过程最为简便例2 (2001年天津初二题)分解因式(弓-1)= + (x+_ 2)(x+ > - 2xy).解析题中巧和卄y多次出现启发我们换元分解：设xy=d, x+y=b.解设xy=a, x+y=b,则，原式=(a -1)： + (b - 2)(b - 2a)=cr -2a + l+br -2b-2cib+4a=a2 +b2 +l+2a-2ab-2b=(a-b+[)2注：这里用到公式a，+b2 +c2 + 2ab + 2bc + lac = (a + b +c)2.点评换元必须考虑多项式的结构特征：当代数式中出现相同、相近或相关联(如：互为相反数，互为倒数)的部分时都可以考虑换元.二、用待定系数法分解因式待定系数法是初中数学中的又一重要方法，其应用很广泛.在因式分解时，只要假定一个多项式能分解成某几个因式的乘积，而这些因式中某些系数未定，可用一些字母来表示待定的系数•根据两个多项式恒等的性质，即两边对应项的系数必相等，可列出关于待定系数的方程或方程组，解此方程(组)即可求出待定系数.这种因式分解的方法叫做待定系数法.例3 (第9届五羊杯初二题)设x3 + 3x2-2xy + kx-4y可分解为一次与二次因式之积，则k= ______________________ .解析首先确定两个因式的结构：因多项式中疋的系数是1，常数项是0,以及没有护项，所以分解所得因式可设为x+a 和x2+bx + cy,其中e b, c为待定系数.解设x3 + 3x2 - 2xy + kx-4y可分解为(x+a)(x2 +bx+cy),贝ijx3 + 3x2 -2xy + kx-4y = x3 +(a + b)x2 + cxy + abx + acy比较系数，得a+b=3 ,a +b = 3消去c,得\ab = -k ,消去a,b,解得k=-2.ab = -ka = 2ac = -4 i点评用待定系数法分解因式，关健在于确定因式分解的最终形式.三、用公式法分解因式初中教材中出现的公式有平方差公式，完全平方公式，在因式分解中还常用到下列公式：立方和公式：a3 +b3 = (a + b)(a2 -ab + b2)立方差公式：a3 -b3 =(a-b)(a2 +ab+b2)和的立方公式：(a + b)3 =a3 + 3a2b + 3ab2 + b3差的立方公式：(a - b)3 =a3 - 3crb + 3ab2 -b3三数和的平方公式：(tz + b + c)' =a2 +b2 +c2 + 2ab 4- lac + 2bc两数n 次方差公式：a” -b n =(a-b)(a n~l + a n~2b + • • • + ab"~2 + b n~l)三数立方和公式：a3 +b3+c‘ = (a + b +c)3 -3(a + b)(b + c)(a + c)在具体问题中要根据代数式的结构特征来选用适当的公式.例4 分解因式x l5+x l4+x l3+-+x2+x+l.解析对于指数成连续整数的多项式我们可以考虑公式a" - b n =(a- + a"~2b + ab"~2 + b n~l),令b=l,得a" = + a n~2 + …+ a + l).为化繁为简，及能用公式，给原式乘以x-1解原it= (x15 +x14 +X13 + - -X2 +X+1) -_ =- ---------------------- --x-l x-l=(土 + 1)(疋 + 1)(F + l)(x + 1)(— 1)=(x8 + l)(x4 + l)(x2 + l)(x + 1)点评这里原式乘以吕很必要，这种先乘以再除以(或先加上再减去)同一个式子的变形技能经常用到.例5 (昆明市初中数学竞赛题)分解因式(c-a)2-4(b-c)(a-b).解析把拾号展开后重新组合.解原式=c? 一 2ac十/ 一 4ab + 4ac — 4bc + 4b‘=c2 + lac + a2 - Aab一4bc + 4b2=(c2 + 2ac + a2)-4b(a + c) + (2b)2= (a + c- 2b)2点评欲进先退，这是为了更清楚地认识代数式的结构特征.例6 分解因式(x+2y_77)，+ (3x_4y + 6zF_(4x_2y_z)B解析本题与三个数的立方和有关.联想到公式a3 + + c5 = (a + b + c)(«2 + b2 +c2 -ab-be- ca)+ 3abc , 而(x + 2y- 7z)+(3x - 4y + 6乙)+ (- 4x + 2y+ z)= 0.故原式可分解为3(x + 2y - 7z)(3x - 4y + 6乙)(-4x + 2y + z) ■四、用拆项添项法分解因式在对某些多项式分解因式时，需要对某些项作适当的变形，使其能分组分解，添项和拆项是两种重要的技巧例7分解因式：x3-9x+8.解析多项式有三项，若考虑拆项，有三种选择.注意只有让分解能继续的拆法才是可取的.若考虑添项，式中无二次项，可添加-F + F.解法1将常数项拆成一1+9,原式=/3_9大_] + 9 =疋_1_9(尤_1) = (—1)(疋+尤_8)解法2 将一次项-9兀拆成-x-3x ,原式=X3-X-3X +3=(X3-X)- 8(x-l)=x(x + l)(x-1)-8(x-1) = (x - l)(x: +x-8)解法3 将三次项/拆成9疋-8疋，原式=9X3-8X3-9X +8=(9X3-9X)+(-8X3+8)=9x(x + l)(x-1)-8(x - l)(x2 + x + l)=(X-1)(X2+ X-8)解法4添加-x2+x2,原式=x3 -x2 +x2 -9x+8= X2(X-1)+(X-8)(X-1)= (x-l)(x2 +x-8)点评一题四种解法，可谓“横看成岭侧成峰，左添右拆都成功”.拆项、添项是因式分解中技巧性最强的一种例8己知x2 + x+l = O ,试求X8 + x4 +1的值.解析设法使疋+疋+1变成含x2+x+l的式子，因x8 = (x4)2,可考虑完全平方公式，将十拆成2x4-%4.解原式=^8+2X4+1-X4=(X4+1)-(x2)2 =(x2+x + IX%2 -x + 1)因为疋+"1 = 0,所以原式的值为0.五、利用因式定理分解因式因式定理的内容：如果x=a时，多项式的值为零，即f(a) = 0 ,则/'(x)能被x-a整除，即/(兀)一定有因式x-d・运用因式定理和综合除法可以解决一些较复杂的多项式分解问题.例9 分解因式X4+2?-9X:-2X+8.解析设f(x) = x4 + 2x3-9x2-2x + 3,可知/(1) = 0, /(-1) = 0,因此/⑴有因式(x+l)(x-l),用综合除法可求另外因式.解依题意知y(l) = /(-l) = 0,故/'(x)有因式x-1, x+1,作综合除法：12-9-2811 3 -6 -813-6-80—]—1 — 2 812-80因此f(x) = (x- l)(x + l)(x2 + 2x- 8),则原式=(x- 1)(A-+l)(x一2)(A-+4) •好题妙解】佳题新题品味例1 (2001年呼和浩特市中考题)要使二次三项式x^rnx-6能在整数范围内分解因式，则加可取的整数为.解析该式可用十字相乘法分解.那么m等于一6的两个整因数之和.而—6=lx ( —6) = ( — 1) x6=2x ( —3) = ( —2) x3,因而m 可能的值为一5, 5, —1, 1. 点评本题训练逆向思维及枚举法.例2 (2003年江苏初中竞赛)若a, b, c为三角形三边，则下列关系式中正确的是()A. a2-b2-c2-2bc>QB. a2-b2-c2-2bc = QC. a2-b2-c2-2bc<0D. a2 -b2-c2-2bc<0解析因a' -b1 -c2 -2bc = a2 -(b2 +c2 + 2bc) = a2 -(b + c)1 =(a + b + c)(a-b-c)而在三角形中，a<b+c ,即a~b—c<Q,故选C.点评注意隐含条件：三角形中两边之和大于第三边中考真题欣赏例1 (武汉中考题)分解因式a2-l+b2-2ab= _________________________ .解析将a2 +b2 -2ab作一组恰为(«-b)2与1构成平方差，应填(a—b+1) (a—b—1).例2 (北京朝阳区)分解因式m3-2m2-4m+8.解析第一、二项作一组可提公因式沪，后两项作一组可提公因数4,于是m3 -2nr一4m+3 = m2(m-2)-4(m-2) = (m2一4)(m-2) = (m—2):(m+2).点评分解因式一定分解到不能再分解为止.例3 (1999年北京中考题)多项式x2 + axy + by1 -5x+ y + 6的一个因式是x+y-2,试求d+b的值.解析 利用待定系数法，设原式=（x+y-2）（x+^y-3）展开比较系数得号; 解得 a=~l, b=~2,因此 a+b=—3.竞赛样题展示例1 （江苏省第十七届初中数学竞赛）如果是ax 3+bx 2+l 的一个因式，则b 的值为（）A.-2B.-lC.OD.2解析 运用待定系数法，依题可设另一因式为ax-1,比较系数可得b=—2,选A.(23 -1)(33 ~1)(43 -1) - (1003 -1)(23 +1](33 +1J43 +1)---(1003 +1)a 3 -1 _(a ~ 1)3 + a + l) _ fl-1 (a +1)3 +1 (a + 2)(a 2 4-ti + l) a + 2故呼式=(2-1X3-1)…(99-山00，-1) 収 玖 (23 +1)(3 +1X4+ 1)-(100-1)1X 2X 3X (1OO 3-1) 3367 小― (23 +1)x99x100x1015050例3设多项式与多项式F+x-a 有非常数公因式，贝仏= ______________________________ . 解析 0或6.因为（兀3-X-d ） - （F+x-d ） = x （x+l ）（x-2）,所以，X’-X-d 与 F +兀-4 的公因式必为 X 、兀+1、X-2中的一个.当公因式为x 或x+1时，£7=0；当公因式为X —2时，a = 6.例4 （2003年太原市初中数学竞赛）已知直角三角形的各边长为正整数，它的周长为80.则三边长分 别是 •解析涉及直角三角形问题勾股定理举足轻重！ 解 30、 16、 34.设直角三角形的三边长分别为4、b 、c.由题设得a 2+b 2^c 2且a+b+c=80.将 c=SQ-a~b 代入a 2+b 2=c 2,整理得 6400—80a — 80b+ab=3200,即（80—。
2021年七年级数学上册尖子生同步培优题库(有理数-学生版)
2020-2021学年七年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】专题1.1有理数姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2019秋•商河县期末)现实生话中，如果收人100元记作+100元，那么﹣800表示( ) A ．支出800元B ．收入800元C ．支出200元D ．收入200元2．(2018秋•广西期中)如果向北走5米记作“+5米”，那么向南走8米记作( ) A ．+8米B ．﹣8米C ．+13米D ．﹣3米3．(2019秋•南宁期末)一种巧克力的质量标识为“100±0.5克”，则下列质量合格的是( ) A ．95克B ．99.8克C ．100.6克D ．101克4．(2019秋•南京月考)在下列各组中，表示互为相反意义的量的是( ) A ．下降的反义词是上升B ．羽毛球比赛胜3场与负3场C ．增产5吨粮食与减产﹣5吨粮食D ．向北走15km 和向西走15km5．(2019秋•石景山区期末)在五个数：①﹣5 ②227③1.3 ④0 ⑤−23中属于分数的是( )A ．②⑤B ．②③C ．②③⑤D ．①⑤6．(2019秋•云冈区期末)下列各数：﹣5，1.1010010001…，3.14，227，20%，π3，有理数的个数有( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个7．(2019秋•铁锋区期末)下列说法错误的是( ) A ．负整数和负分数统称负有理数 B ．正整数，0，负整数统称为整数C ．正有理数与负有理数组成全体有理数D ．3.14是小数，也是分数8．(2019秋•历下区期中)下列各数中，是负整数的是( ) A ．−25B ．0C ．3D ．﹣69．(2019秋•南开区期末)下列语句正确的是( ) A ．“+15米”表示向东走15米 B ．0℃表示没有温度 C ．﹣a 可以表示正数D ．0既是正数也是负数10．(2019秋•渝中区校级月考)在下列六个数中：0，π2，−227，0.101001，﹣10%，5213，分数的个数是( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)请把答案直接填写在横线上11．(2019秋•皇姑区校级月考)在有理数1.7，﹣17，0，﹣527，﹣0.001，92，2003，3.14，π，﹣1中负分数有 ；自然数有 ；整数有 ．12．(2013秋•赛罕区校级月考)有理数中，是整数而不是正数的数是 ，是负数而不是分数的是 ． 13．(2019秋•长汀县校级月考)﹣1，0，0.2，17，3，π中正数一共有 个．14．(2019秋•南山区期末)通常在生产图纸上，对每个产品的合格范围有明确的规定．例如，图纸上注明一个零件的直径是φ30±0.020.03，φ30±0.020.03表示这个零件直径的标准尺寸是30mm ，实际产品的直径最大可以是30.03mm ，最小可以是 ．15．(2020•云南模拟)若零上8℃记作+8℃，则零下5℃记作 ℃．16．(2020春•甘南县期中)只要是向相反的方向运动，就一定用负数表示． (判断对错)17．(2019秋•宜宾期末)如果上升5m 记作+5m ，那么下降7m ，记作 m ，不升也不降记作 m ． 18．(2019秋•西宁期末)最大的负整数是 ．三、解答题(本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 19．(2019秋•孝义市期中)把下列各数填入表示它所在的数集的集合里： 3，﹣0.2，0，0.12，−23，﹣500，112，﹣3.1415926，﹣15，0.320．(2019秋•江阴市校级月考)把下列各数填入相应的集合中： ﹣3.14，2π，−13，0.618，227，0，﹣1，6%，+3，3.010010001…(每相邻两个1之间依次多一个0)正数集合{ ……}； 分数集合{ ……}； 有理数集合{ ……}； 非负整数集合{ ……}．21．(2019秋•临洮县期中)把下列各数填在相应的括号内： ﹣19，2.3，﹣12，﹣0.92，35，0，−14，0.563，π正数集合{ …}； 负数集合{ …}； 负分数集合{ …}； 非正整数集合{ …}．22．(2019秋•崇川区校级月考)把下列各数填在相应的大括号内 15，−12，0.81，﹣3，14，﹣3.1，﹣4，171，0，3.14正整数集合{ …} 负整数集合{ …} 整数集合{ …} 分数集合{ …}．23．(2019秋•博白县期中)(1)将下列各数填入相应的圈内：212，5，0，1.5，+2，﹣3．(2)说出这两个圈的重叠部分表示的是什么数的集合： ．24．(2019秋•惠安县校级月考)把下列各数填入相应的大括号内： ﹣13.5，2，0，0.128，﹣2.236，3.14，+27，﹣15%，﹣1，227，2613负数集合{ …} 整数集合{ …} 分数集合{ …}。
七年级数学尖子生培优训练(马欣奕、徐唯哲)
七年级数学尖子生培优训练第一讲 绝对值典型例题： 例1．（数形结合思想）已知a 、b 、c 在数轴上位置如图：则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（ ）A ．-3aB ． 2c －aC ．2a －2bD ． b例2．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>， 那么y x z y z x --+++的值（ ）A ．是正数B ．是负数C ．是零D ．不能确定符号例3．（分类讨论思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？例4．（整体思想）方程x x -=-20082008 的解的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无穷多个例5．（非负性）已知|a b －2|与|a －1|互为相互数，试求下式的值．()()()()()()1111112220072007ab a b a b a b ++++++++++例6．（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与2-，3与5，2-与6-，4-与3.并回答下列各题：（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：___ . （2）若数轴上的点A 表示的数为x ，点B 表示的数为―1，则A 与B 两点间的距离可以表示为 ________________. （3）结合数轴求得23x x -++的最小值为 ，取得最小值时x 的取值范围为 ___. （4） 满足341>+++x x 的x 的取值范围为 ______ .例7．（带入求值问题）设三个互不相等的有理数，既可表示为1，,a b a +的形式式， 又可表示为0，ba，b 的形式，求20062007a b +。
巩固提高：1、若||||||0,a b ab ab a b ab+-则的值等于 ______ . 2、 如果m 是大于1的有理数，那么m 一定小于它的（ ） A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方3、已知两数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2，求220062007()()()x a b cd x a b cd -+++++-的值。
七年级尖子生数学辅导资料(1)
七年级数学辅导资料（资料整理：石怿）一、填空题 1.()()_______________1541957.0154329417.0=-⨯+⨯+-⨯+⨯。
2. 定义a*b=ab+a+b,若3*x=27，则x 的值是________。
3.有一个正方体，在它的各个面上分别标上字母A 、B 、C 、D 、E 、F ，甲、乙、丙三位同学从不同方向去观察其正方体，观察结果如图所示。
问：F 的对面是（ ）。
4.A 、B 、C 、D 、E 、F 六足球队进行单循环比赛，当比赛到某一天时，统计出A 、B 、C 、D 、E 、五队已分别比赛了5、4、3、2、1场球，则还没与B 队比赛的球队是（ ）。
5.某商场经销一种商品，由于进货价格比原来预计的价格降低了6.4%，使得销售利润增加了8个百分点，那么原来预计的利润率是（ ）。
6．计算=+++++4213012011216121（ ）。
7．若()(.......).(.......),,052=-==-++aab a a b b a b b 。
8．已知ab ＞0,|a|=2,|b|=7,则a+b=( )。
9．直线l 上有10个点A 1,A 2,A 3,A 4,A 5,A 6,A 7,A 8,A 9,A 10，A 1A 2=A 2A 3=A 3A 4=…=A 9A 10，则以这些点为端点的线段共有（ ）条；将所有这些线段的中点用红点标出，则可得（ ）个红点。
10．某时刻钟表在10点到11点之间，这个时刻再过6分钟的分针和这个时刻3分钟前的时针正好相反，且在同一直线上，那么钟表的这个时刻是（ ）。
11．在直线上取A 、B 两点，使AB=10厘米，再在直线上取一点C ，使AC=7厘米，M 、N 分别是AB 、AC 的中点，则MN=（ ）厘米。
12．当x=( )时，6)1(42x --的值最大，其最大值为（ ）。
13．已知：x:y:z=1:2:7 且2x-y+3z=105, 则xyz=( )。
2020-2021学年七年级数学上册尖子生同步培优题典 专题1
专题1.3 截一个几何体姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共20题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一．选择题（共12小题）1．（2019秋•雅安期末）用一个平面去截下列几何体，截面不可能是圆的是（）A．球B．圆锥C．圆柱D．长方体【分析】根据一个几何体有几个面，则截面最多为几边形，由于长方体没有曲边，所以用一个平面去截长方体，截面不可能是圆．【解析】用一个平面去截球，截面是圆，用一个平面去截圆锥或圆柱，截面可能是圆，但用一个平面去截长方体，截面不可能是圆．故选：D．2．（2019秋•嘉陵区期末）一个密封的圆柱体容器中装了一半的水，如果将该容器水平放置如图，那么稳定后的水面形状为（）A．B．C．D．【分析】根据题意即可得到结论．【解析】稳定后的水面形状为矩形，故选：A．3．（2019秋•吉州区期末）用一个平面去截圆柱体，则截面形状不可能是（）A．正方形B．三角形C．长方形D．圆【分析】根据从不同角度截得几何体的形状判断出正确选项．【解析】用平面截圆柱，横切就是圆，竖切就是长方形，如果底面圆的直径等于高时，是正方形，不论怎么切不可能是三角形．故选：B．4．（2019秋•靖远县期末）用一个平面去截一个几何体，如果截面的形状是圆，则这个几何体不可能是（）A．正方形B．圆锥C．圆柱D．球【分析】根据圆锥、圆柱、球、正方体的形状特点判断即可．【解析】正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形，因为截面与正方体各面的交线为直线，故此截面的形状不可能是圆．故选：A．5．（2019秋•大田县期末）圆锥的截面不可能是（）A．三角形B．圆C．长方形D．椭圆【分析】根据圆锥的形状特点判断即可．【解析】如果用平面取截圆锥，圆锥的截面可能是三角形，圆，椭圆，不可能是长方形．故选：C．6．（2019秋•栾城区期末）用一个平面去截一个几何体，截面不可能是圆的几何体的是（）A．B．C．D．【分析】根据一个几何体有几个面，则截面最多为几边形，由于棱柱没有曲边，所以用一个平面去截棱柱，截面不可能是圆．【解析】用一个平面去截圆锥或圆柱，截面可能是圆，用一个平面去截球，截面是圆，但用一个平面去截棱柱，截面不可能是圆．故选：C．7．（2019秋•奉化区期末）在一个无盖的正方体玻璃容器内装了一些水，把容器按不同方式倾斜一点，容器内水面的形状不可能是（）A．B．C．D．【分析】结合题意，相当于把正方体一个面，即正方形截去一个角，可得到三角形、四边形、五边形．【解析】根据题意，结合实际，容器内水面的形状不可能是六边形．故选：D．8．（2019秋•龙华区期末）用一个平面去截一个圆柱体，截面图形不可能是（）A．长方形B．梯形C．圆形D．椭圆形【分析】根据圆柱体的截面形状即可判断．【解析】用一个平面去截一个圆柱体，截面图形可能是：长方形、正方形，圆形，椭圆形，但不可能是梯形．故选：B．9．（2019秋•高台县期末）用一个平面去截一个几何体，截面是三角形，这个几何体不可能是（）A．棱柱B．圆柱C．圆锥D．棱锥【分析】用一个平面去截一个几何体，根据截面的形状即可得出结论．【解析】∵圆柱体的主视图只有矩形或圆，∴如果截面是三角形，那么这个几何体不可能是圆柱．故选：B．10．（2019秋•兰州期末）正方体的截面中，边数最多的多边形是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形【分析】用平面去截正方体，得的截面可能为三角形、四边形、五边形、六边形．【解析】正方体有六个面，截面与其六个面相交最多得六边形．故选：C．11．（2019秋•沙坪坝区校级期末）用一个平面去截一个圆锥，截面的形状不可能是（）A．圆B．矩形C．椭圆D．三角形【分析】根据圆锥的形状特点判断即可．【解析】过圆锥的顶点的截面是三角形，平行于圆锥的底面的截面是圆，不平行于圆锥的底面的截面是椭圆，截面不可能是矩形，故B符合题意；故选：B．12．（2019秋•平顶山期末）用一个平面去截一个正方体，如果截去的几何体是一个三棱锥，那么截面可能是（）A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形【分析】截去的几何体一定有一个面是截面，由于截去的几何体是一个三棱锥，三棱锥的各个面都是三角形，因此截面为三角形，【解析】如图，因为截去的几何体是一个三棱锥，而三棱锥的各个面都是三角形，所以截面为三角形，故选：A．二．填空题（共8小题）13．（2019秋•海安市期末）正方体切去一个块，可得到如图几何体，这个几何体有12条棱．【分析】通过观察图形即可得到答案．【解答】如图，把正方体截去一个角后得到的几何体有12条棱．故答案为：12．14．（2019秋•陈仓区期末）用一个平面去截几何体，若截面是三角形，这个几何体可能是圆锥，正方体和长方体．【分析】截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关【解析】用一个平面去截几何体，若截面是三角形，这个几何体可能是圆锥、正方体、长方体．故答案为：圆锥；正方体；长方体（答案为不唯一）．15．（2019秋•李沧区期末）用平面去截球体与圆柱，如果得到的截面形状相同，那么截面的形状是圆．【分析】根据球体与圆柱用一个平面截一下，看看符合条件的图形是什么图形即可．【解析】∵用一个平面去截球体与圆柱，得到的截面形状相同，∴这个截面的形状是圆，故答案为：圆．16．（2019秋•松北区期末）将一根长4米的圆柱体木料锯成2段（2段都是圆柱体），表面积增加60平方分米，这根木料的体积是1200立方分米．【分析】将一根长4米的圆柱体木料锯成2段，增加两个底面，又知表面积增加60平方分米，由此求出这根木料的底面积，根据圆柱的体积公式即可计算．【解析】4米＝40分米，60÷2＝30（平方分米），30×40＝1200（立方分米），所以这根木料的体积是1200立方分米．故答案为：1200．17．（2019秋•辽阳期末）下列说法：其中正确的有3个①球的截面一定是圆；②正方体的截面可以是五边形；③棱柱的截面不可能是圆；④长方体的截面一定是长方形，【分析】用一个平面截一个几何体得到的面叫做几何体的截面．【解析】①球的截面一定是圆，正确；②正方体的截面可以是五边形，过5个面时得到的截面可以是五边形，正确；③过棱柱的几个面得到的截面就是几边形，都不会出现圆，正确；④长方体的截面不一定是长方形，还可能是三角形，错误；正确的有3个，故答案为：3．18．（2020秋•盐田区期末）（多选）下列几何体中，截面可能为圆的是BCD．A．棱柱B．圆柱C．圆锥D．球【分析】用一个平面去截一个几何体，根据截面的形状即可得出结论．【解析】用一个平面去截一个几何体，截面可能为圆的是圆柱、圆锥、球．故答案为：BCD．19．（2019秋•崂山区期末）用一个平面去截正方体（如图），下列关于截面（截出的面）形状的结论：①可能是锐角三角形；②可能是钝角三角形；③可能是长方形；④可能是梯形．其中正确结论的是①③④（填序号）．【分析】正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形．因此截面的形状可能是：三角形、四边形、五边形、六边形．【解析】用平面去截正方体，得的截面可能为三角形、四边形、五边形、六边形，而三角形只能是锐角三角形，不能是直角三角形和钝角三角形，故其中正确结论的是①③④（填序号）．故答案为：①③④．20．（2019秋•道里区期末）如图，一个体积是100立方分米的圆柱形木料，将它平均截成四段，这些木料的表面积比原来增加了30平方分米，则所截得每段圆柱形木料的长为20分米．【分析】由题意可知：把圆柱形木料截成4小段后，表面积比原来增加了30平方分米，它的侧面积不变，增加的是6个截面的面积，因此用增加的面积除以6计算每个截面（即圆柱的底面）面积，再根据圆柱的体积公式：v＝sh，把数据代入体积公式解答．【解析】所截得每段圆柱形木料的长为h分米．根据题意，得（30÷6）×h＝100，解得h＝20，所以所截得每段圆柱形木料的长为20分米．故答案为：20．。
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七年级数学尖子生培优训练第一讲 绝对值 典型例题： 例1．（数形结合思想）已知a 、b 、c 在数轴上位置如图：则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（ ） A ．-3a B ． 2c －a C ．2a －2b D ． b例2．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>， 那么y x z y z x --+++的值（ ）A ．是正数B ．是负数C ．是零D ．不能确定符号例3．（分类讨论思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？例4．（整体思想）方程x x -=-20082008 的解的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无穷多个例5．（非负性）已知|a b －2|与|a －1|互为相互数，试求下式的值．()()()()()()1111112220072007ab a b a b a b ++++++++++L例6．（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与2-，3与5，2-与6-，4-与3. 并回答下列各题： （1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：___ . （2）若数轴上的点A 表示的数为x ，点B 表示的数为―1，则A 与B 两点间的距离可以表示为 ________________. （3）结合数轴求得23x x -++的最小值为 ，取得最小值时x 的取值范围为 ___.（4） 满足341>+++x x 的x 的取值范围为 ______ .例7．（带入求值问题）设三个互不相等的有理数，既可表示为1，,a b a +的形式式，又可表示为0，ba，b 的形式，求20062007a b +。
巩固提高：1、若||||||0,a b ab ab a b ab+-f 则的值等于 ______ . 2、 如果m 是大于1的有理数，那么m 一定小于它的（ ） A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方3、已知两数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2， 求220062007()()()x a b cd x a b cd -+++++-的值。
4、如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置，如下图所示，那么||||a b a b -++化简的结果等于（A.2aB.2a -C.0D.2b5、已知2(3)|2|0a b -+-=，求b a 的值是（ ） A.2 B.3 C.9 D.66、有3个有理数a,b,c ，两两不等，那么,,a b b c c ab c c a a b------中有几个负数？ 7、若|5||2|7x x ++-=，求x 的取值范围。
8、不相等的有理数,,a b c 在数轴上的对应点分别为A 、B 、C ，如果||||||a b b c a c -+-=-，那么B 点在A 、 C 的什么位置？9、三个有理数,,a b c 的积为负数，和为正数，且||||||||||||a b c ab bc ac X a b c ab bc ac=+++++ 则321ax bx cx +++的值是多少？10、若,,a b c 为整数，且20072007||||1a b c a -+-=，试求||||||c a a b b c -+-+-的值。
11、已知()|1||2||3||2002|f x x x x x =-+-+-++-L 求()f x 的最小值。
12、若|1|a b ++与2(1)a b -+互为相反数，求321a b +-的值。
13、如果0abc ≠，求||||||a b c a b c++的值。
第二讲 规律—数与图形 典型例题：例1 观察下列算式：,65613,21873,7293,2433,813,273,93,3387654321========……用你所发现的规律写出20043的末位数字是__________。
例2、观察下列式子：326241⨯==+⨯；4312252⨯==+⨯；5420263⨯==+⨯；6530274⨯==+⨯……请你将猜想得到的式子用含正整数n 的式子表示来__________。
例3、 图3—4①是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点，得到图3—4②；再分别连结图3—4②中间的小三角形三边的中点，得到图3—4③，按此方法继续下去，请你根据每个图中三角形个数的规律，完成下列问题。
……(1)将下表填写完整（2）在第n 个图形中有____________________个三角形（用含n 的式子表示）。
例4、观察算式：(13)2(15)3(17)4(19)513,135,1357,13579,,2222+⨯+⨯+⨯+⨯+=++=+++++++=L按规律填空：1+3+5+…+99= ，1+3+5+7+…+(21)n -= ？例5、把棱长为a 的正方体摆成如图的形状，从上向下数，第一层1个， 第二层3个……按这种规律摆放，第五层的正方体的个数是 第100层的正方体的个数是 第n 层的正方体的个数是 例6、将正偶数按下表排成5列根据上面的规律，则206应在 行 列，2012应在 行 列.巩固提高：1、有一列数1234,,,,n a a a a a L 其中：1a =6×2+1，2a =6×3+2，3a =6×4+3，4a =6×5+4；…则第n 个数n a = ，当n a =2001时，n = 。
2、观察下列几个算式，找出规律：1＋2＋1=4 1＋2＋3＋2＋1=9 1＋2＋3＋4＋3＋2＋1=16 1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1=25 ……利用上面规律，请你迅速算出：①1＋2＋3＋…＋99＋100＋99＋…＋3＋2＋1= ②据①你会算出1＋2＋3＋…＋100是多少吗？ ③据上你能推导出1＋2＋3＋…＋n 的计算公式吗？ 3、将1，21-，31，41-，51，61-，…按一定规律排成下表：试找出12006-在第 行第 个数4、把1到200的数像下表那样排列，用正方形框子围住横的3个数，竖的3个数，这9个数的和是162。
如果在表的另外的地方，也用正方形围住另外的9个数。
（1）当正方形左上角的数是100时，这9个数的和是多少？ （2）当正方形中9个数的和是1557时，最大的数是多少？ （3）使正方形中9个数的和是2049是否办得到？简单说明理由。
20019919819719619528272625242322212019181716151413121110987654321ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ5、平面内n 条直线，每两条直线都相交，问最多有几个交点？最多将平面分成多少个部分？6、通过计算探索规律：152=225可写成100×1×（1+1）+25 452=2025可写成100×4×（4+1）+25252=625可写成100×2×（2+1）+25 …………352=1225可写成100×3×（3+1）+25 752=5625可写成 归纳、猜想得：（10n+5）2= 根据猜想计算：19952151141131*********91817161514131211-------= 。
第三讲 代数式与方程 典型例题：例1．若多项式()x y x x x mx 537852222+--++-的值与x 无关，求()[]m m m m +---45222的值.例2．x=-2时，代数式635-++cx bx ax 的值为8，求当x=2时，代数式635-++cx bx ax 的值。
例3.（方程与代数式联系）a 、b 、c 、d 为实数，现规定一种新的运算 bc ad dc b a -=.则2121-的值为 ；（2）当185)1(42=-x 时，x = .例4．解方程b ax =例5．问当a 、b 满足什么条件时，方程2x+5-a=1-bx ：（1）有唯一解；（2）有无数解；（3）无解。
例6． 解下列方程523x -=例7．如图，平面内有公共端点的六条射线OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OF ，从射线OA 开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7（1）“17”在射线 ____上，“2008”在射线___________上． （2）若n 为正整数，则射线OA 上数字的排列规律可以用含n 的 代数式表示为__________________________．例9． 小杰到食堂买饭，看到A 、B 两窗口前面排队的人一样多，就站在口队伍的 里面，过了2分钟，他发现A 窗口每分钟有4人买了饭离开队伍，B 窗口每分钟有6人买了饭离开队伍，且B 窗口队伍后面每分钟增加5人。
此时，若小李迅速从A 窗口队伍转移到B 窗口后面重新排队，将比继续在A 窗口排队提前30秒买到饭，求开始时，有多少人排队。
例10．定义一种对正整数n 的“F ”运算：①当n 为奇数时，结果为3n ＋5；②当n 为偶数时，结果为kn 2（其中k 是使kn 2为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n ＝26，则：若n ＝449，则第449次“F 运算”的结果是__________． 巩固提高：1、设a ※b=a(ab+7), 求等式3※x=2※(-8)中的x2、当代数式532++x x 的值为7时,求代数式2932-+x x 的值.3、已知012=-+a a ，求2007223++a a 的值.4、A 和B 两家公司都准备向社会招聘人才，两家公司招聘条件基本相同，只有工资待遇有如下差异：A 公司，年薪一万元，每年加工龄工资200元；B 公司，半年薪五千元，每半年加工龄工资50元。
从收入的角度考虑，选择哪家公司有利？5、某商店将彩电按原价提高40%，然后在广告上写“大酬宾，八折优惠”，结果每台彩电仍可获利270元，那么每台彩电原价是多少？6、若关于x 的方程2236kx m x nk+-=+，无论K 为何值时，它的解总是1x =，求m 、n 的值。
7、解方程200612233420062007x x x x ++++=⨯⨯⨯⨯L26134411第一次F ② 第二次F ① 第三次F ② …8、三个数a 、b 、c 的积为负数，和为正数，且bcbcac ac ab ab c c b b a a x +++++=，求 123+++cx bx ax 的值。
9、一项工程由师傅来做需8天完成，由徒弟做需16天完成，现由师徒同时做了4天，后因师傅有事离开，余下的全由徒弟来做，问徒弟做这项工程共花了几天？10、一名落水小孩抱着木头在河中漂流，在A 处遇到逆水而上的快艇和轮船，因雾大而未被发现，1小时快艇和轮船获悉此事，随即掉头追救，求快艇和轮船从获悉到追及小孩各需多少时间？第四讲 线段和角典型例题：例1、下图是某一立方体的侧面展开图，则该立方体是（ ）例2、由下列条件一定能得到“P 是线段AB 的中点”的是（ ）A 、AP=21AB B 、AB ＝2PB C 、AP ＝PB D 、AP ＝PB=21AB例3、将长为10厘米的一条线段用任意方式分成5小段，以这5小段为边可以围成一个五边形．问其中最长的一段的取值范围____ __ 。