2020年上海市杨浦区中考数学三模试卷(含答案解析)

2020年上海市杨浦区中考数学三模试卷一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）1.下列说法：①有理数和数轴上的点一一对应；②不带根号的数一定是有理数；③负数没有立方根；④17的平方根是−√17，其中正确的是()A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个2.下列各式中，√x−2的有理化因式是()A. √x+2B. √x−2C. √x+2D. √x−2．3.下列关于x的方程一定有实数解的是()A. x2−mx−1=0B. ax=3C. √x−6·√4−x=0D. 1x−1=xx−14. 4.有两组数据，A组数据为2、3、4、5、6；B组数据为1、7、3、0、9，这两组数据的()A. 中位数相等B. 平均数不同C. A组数据方差更大D. B组数据方差更大5.如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，若AC=6√2，∠C=45°，tan∠ABC=3，则BD的长为()A. 2B. 3C. 3√2D. 2√36.下列命题中，为真命题的是()A. 同位角相等B. 若a>b，则−2a>−2bC. 若a2=b2，则a=bD. 对顶角相等二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）7.截止2016年4月28日，电影《美人鱼》的累计票房达到大约3390000000元，数据3390000000用科学记数法表示为______ ．8.计算：(2a+b)(2a−b)+b(2a+b)=．9.不等式组{2x−3≥13−x<0的解集是______．10.方程2x2−x+a=0没有实数根，则a的取值范围是______ ．11. 一次函数y =kx +b(k,b 是常数，k ≠0)的图象如图所示，则不等式kx +b >0的解集是______ ．12. 把抛物线y =ax 2+bx +c 先向右平移2个单位，再向下平移5个单位得到抛物线y =x 2−2x −2，那么a +b +c =________．13. 学习了统计知识后，小明就本班同学的上学方式进行了一次调查统计，他通过采集数据后，绘制一幅不完整的统计图(如图所示).已知骑车的人数占全班人数的30%，结合图中提供的信息，可得该班步行上学的有______ 人．14. 一个不透明的袋中装有除颜色外无其他仼何差别的12个红球和n 个黄球，从中随机摸出一个，摸到红球的概率是35，则n =______． 15. 如图，在△ABC 中，AD 是中线，G 是重心，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，那么向量BG ⃗⃗⃗⃗⃗ 关于a ⃗ 、b ⃗ 的分解式为______．16. 某人沿着坡度为1：2.4的斜坡向上前进了130 m ，那么他的高度上升了 m.17. 若等腰三角形的一个内角为80°，则其顶角为________________．18. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =2，将这个三角形绕点C 旋转60°后AB 的中点D 落在点Dˈ处，那么DDˈ的长为________．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）19. (1)(2+2√3)(2√3−2)−(√3−√2)2(2)√24−1√3−2−(−13)−1÷√3−(√6−1)2四、解答题（本大题共6小题，共48.0分）20.已知方程组{ax+5y=a−12,3x−2y=10的解也是方程9x+4y=40的解，求a的值．21.如图，圆O的直径AB垂直弦CD于M，且M是半径OB的中点，CD=4√3，求直径AB的长．22.2018年6月28日，深湛高铁正式运营．从湛江到广州全程约468km，高铁开通后，运行时间比特快列车所用的时间减少了6ℎ.若高铁列车的平均速度是特快列车平均速度的3倍，求特快列车与高铁的平均速度．23.如图，四边形ABCD中，AD//BC，∠A=90°，BD=BC，点E为CD的中点，射线BE交AD的延长线于点F，连接CF．(1)求证：四边形BCFD是菱形；(2)若AD=1，BC=2，求BF的长．24.抛物线y=x2+(2t−2)x+t2−2t−3与x轴交于A、B两点(A在B左侧)，与y轴交于点C．(1)如图1，当t=0时，连接AC、BC，求△ABC的面积；(2)如图2，在(1)的条件下，若点P为在第四象限的抛物线上的一点，且∠PCB+∠CAB=135°，求P点坐标；(3)如图3，当−1<t<3时，若Q是抛物线上A、C之间的一点(不与A、C重合)，直线QA、QB分别交y轴于D、E两点．在Q点运动过程中，是否存在固定的t值，使得CE=2CD.若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．25.已知：如图，四边形ABCD中，AD//BC，∠ABC=90°，AB=BC，AE⊥BD，EF⊥CE(1)试证明△AEF∽△BEC；(2)如图，过C点作CH⊥AD于H，试探究线段DH与BF的数量关系，并说明理由；(3)若AD=1，CD=5，试求出BE的值？【答案与解析】1.答案：A解析：解：①实数与数轴上的点一一对应，故①错误；②无理数是无限不循环小数，故②错误；③负数的立方根是负数，故③错误；④17的平方根是±√17，故④错误；故选：A ．①根据实数与数轴的关系，可判断①，②根据无理数的定义，可判断②，③根据开立方，可得答案，④根据开平方，可得答案．本题考查了实数，注意负数的立方根是负数，负数没有平方根，一个正数有两个平方根． 2.答案：C解析：解：∵(√x −2)(√x +2)=x −4∴√x −2的有理化因式是√x +2，故选C ．根据互为有理化因式的定义即可求出答案．本题考查互为有理化因式的定义，解题关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型． 3.答案：A解析：本题主要考查方程的解，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式、二次根式有意义的条件、分式方程的增根．根据一元二次方程根的判别式、二次根式有意义的条件、分式方程的增根逐一判断即可得． 解：A.x 2−mx −1=0中Δ=m 2+4>0，一定有两个不相等的实数根，符合题意；B .ax =3中当a =0时，方程无解，不符合题意；C .由{x −6≥04−x ≥0知此方程组无解，不符合题意； D .1x−1=x x−1有增根x =1，此方程无解，不符合题意；故选：A．4.答案：D解析：分别求出两组数据的中位数、平均数、方差，比较即可得出答案．【详解】A组数据的中位数是：4，平均数是：(2+3+4+5+6)÷5=4，方差是：[(2−4)2+(3−4)2+(4−4)2+(5−4)2+(6−4)2]÷5=2;B组数据的中位数是：3，平均数是：(1+7+3+0+9)÷5=4，方差是：[(1−4)2+(7−4)2+(3−4)2+(0−4)2+(9−4)2]÷5=12;∴两组数据的中位数不相等，平均数相等，B组方差更大．故选D．本题考查了中位数、平均数、方差的计算，熟练掌握中位数、平均数、方差的计算方法是解答本题的关键．5.答案：A解析：此题主要考查了解直角三角形，关键是掌握三角函数定义．根据三角函数定义可得AD=AC⋅sin45°，从而可得AD的长，再利用正切定义可得BD的长．解：∵AC=6√2，∠C=45°，=6，∴AD=AC⋅sin45°=6√2×√22∵tan∠ABC=3，=3，∴ADBD∴BD=AD=2，3故选A．6.答案：D解析：解：A、两直线平行，同位角相等，故为假命题；B、若a>b，则−2a<−2b，故为假命题；C、a2=b2，则a=±b，故为假命题；D、对顶角相等为真命题；故选：D．分别判断四个选项的正确与否即可确定真命题．主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．7.答案：3.39×109解析：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．解：3390000000=3.39×109，故答案为3.39×109．8.答案：2a(2a+b)解析：本题考查了因式分解的提公因式法，掌握提公因式的方法是解题的关键．按照提公因式法分解因式解答即可．解：原式=4a2−b2+2ab+b2=4a2+2ab=2a(2a+b)．9.答案：x >3解析：解：{2x −3≥1 ①3−x <0 ②， 解不等式①得，x ≥2，解不等式②得，x >3，所以，不等式组的解集是x >3．故答案为：x >3先求出两个不等式的解集，再求其公共解．本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解)．10.答案：a >18解析：解：根据题意得△=(−1)2−8a <0，解得：a >18．故答案为：a >18．根据判别式的意义得到△=(−1)2−8a <0，然后解不等式即可．本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根的判别式△=b 2−4ac ：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根． 11.答案：x >1解析：解：一次函数y =kx +b(k,b 是常数，k ≠0)的图象与x 轴的交点是(1,0)，当x >1时，y >0．故答案为：x >1．根据一次函数的图象看出：一次函数y =kx +b(k,b 是常数，k ≠0)的图象与x 轴的交点是(1,0)，得到当x >1时，y >0，即可得到答案．本题主要考查对一次函数的图象，一次函数与一元一次不等式等知识点的理解和掌握，能观察图象得到正确结论是解此题的关键．12.答案：6.解析：本题主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．由y=x2−2x−2=(x−1)2−3，可知得到的抛物线顶点坐标为(1,−3)，根据平移规律得到原抛物线顶点坐标为(1−2,−3+5)，即(−1,2)，抛物线平移时，二次项系数不变，可用顶点式写出原抛物线解析式，展开可得a、b、c的值，进而得解．解：∵y=x2−2x−2=(x−1)2−3，∴平移后抛物线顶点为(1,−3)，根据平移规律可知平移前抛物线顶点坐标为(−1,2)又二次项系数为1，∴原抛物线解析式为y=(x+1)2+2=x2+2x+3，∴a=1，b=2，c=3，∴a+b+c=6，故答案为6．13.答案：8解析：解：由题意可得，调查的学生数为：12÷30%=40，故该班步行上学的学生有：40−20−12=8(人)，故答案为：8．根据题意和统计图可知骑车的人数有12人占总数的30%，从而可以得到调查的学生总数，进而可以得到步行的学生人数．本题考查条形统计图，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题．14.答案：8解析：解：根据题意得：=20，，总个数=12÷35∴n =20−12=8，故答案为：8．用红球的个数除以红球的概率得出球的总个数，从而求出n 的值．此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．15.答案：23b ⃗ −a ⃗解析：解：根据三角形的重心定理，AG =23AD ，于是AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23b ⃗ ． 故BG ⃗⃗⃗⃗⃗ =AG ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =23b ⃗ −a ⃗ ． 故答案为：23b ⃗−a ⃗ ． 根据重心定理求出GD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，再利用三角形法则求出BG ⃗⃗⃗⃗⃗ 即可．此题考查了平面向量的三角形法则和重心定理(三角形的重心是各中线的交点，重心定理是说三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的23)，难度不大． 16.答案：50解析：本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，坡度的定义及直角三角形中三角函数值的计算，属于基础题．根据坡度的定义可以求得AC 、BC 的比值，根据AC 、BC 的比值和AB 的长度即可求得AC 的值，即可解题．解：AB =130米，tanB =AC ：BC =1：2.4，设AC =x ，则BC =2.4x ，则x 2+(2.4x)2=1302，解得x =50，故答案为50．17.答案：80°或20°解析：本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理，属于基础题．分情况讨论，即可得解．解：当80°是等腰三角形的顶角时，则顶角就是80°；当80°是等腰三角形的底角时，则顶角是180°−80°×2=20°；综上，其顶角为80°或20°．故答案为80°或20°．18.答案：1解析：本题考查了直角三角形的性质、旋转的性质及等边三角形的判定和性质，主要考查了学生的计算能AB=1.再根据旋转的性质可知CD=CD′，力．由于D是Rt△ABC斜边AB的中点，得出CD=12∠DCD′=60°，由等边三角形的判定得出△DCD′是等边三角形，从而求出DD′=CD=1．解：如图，∵D是Rt△ABC斜边AB的中点，∴CD=1AB=1，2又∵将△ABC绕点C旋转60°后，AB的中点D落在点D′处，∴CD=CD′，∠DCD′=60°，∴△DCD′是等边三角形，∴DD′=CD=1，故答案为1．19.答案：(1)原式=(2√3)2−22−(3−2√6+2)=12−4−(5−2√6)=3+2√6(2)原式=2√6+(2+√3)+3÷√3−(7−2√6)=4√6+2√3−5解析：(1)根据平方差公式以及完全平方公式计算，然后再合并同类二次根式．(2)先根据分母有理化以及负整数指数幂计算化简，然后再合并同类二次根式．20.答案：解：因为方程组{ax+5y=a−12,3x−2y=10的解也是方程9x+4y=40的解，所以得到方程组{9x+4y=40, 3x−2y=10,解得{x=4, y=1,把{x=4,y=1,代入方程ax+5y=a−12，得4a+5=a−12，解得a=−117．解析：本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解的应用，能得出一个关于a的方程是解此题的关键．21.答案：解：连接OC，如图所示：∵直径AB⊥CD，CD=4√3，∴CM=DM=12CD=2√3，设圆O的半径是r，∵M是半径OB的中点，∴OM=12r，由勾股定理得：OC2=OM2+CM2∴r2=(12r)2+(2√3)2，解得：r=4，则直径AB=2r=8．解析：本题考查的是垂径定理，勾股定理有关知识，连接OC，根据垂径定理可求CM=DM=2√3，再运用勾股定理可求半径OC，则直径AB可求．22.答案：解：设特快列车的平均速度是x km/ℎ，由题意，得468x −4683x=6解得x=52经检验，x=52是原方程的解，且符合实际意义．3x=156答：特快列车的平均速度是52 km/ℎ.高铁的平均速度是156km/ℎ．解析：设特快列车的平均速度是xkm/ℎ，则高铁列车平均速度为3xkm/ℎ，根据高铁开通后，运行时间比特快列车所用的时间减少了6小时，列方程求解．本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．23.答案：解：(1)∵AF//BC，∴∠DCB=∠CDF，∠FBC=∠BFD，∵点E为CD的中点，∴DE=EC，在△BCE与△FDE中，{∠FBC=∠BFD ∠DCB=∠CDF DE=EC，∴△BCE≌△FDE；∴DF=BC，又∵DF//BC，∴四边形BCFD为平行四边形，∵BD=BC，∴四边形BCFD是菱形；(2)∵四边形BCFD是菱形，∴BD=DF=BC=2，在Rt△BAD中，AB=√BD2−AD2=√3，∵AF=AD+DF=1+2=3，在Rt△BAF中，BF=√AB2+AF2=2√3．解析：本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质．关键是根据平行关系及中点证明两个三角形全等．(1)根据DE=EC，AF//BC，得出内错角相等，证明△BCE≌△FDE，可判断BC//DF且BC=DF，从而得出四边形BCFD为平行四边形，再根据菱形的判定求解即可；(2)根据菱形的性质得到BD=DF=BC=2，根据勾股定理可得AB，根据线段的和差关系可得AF，再根据勾股定理可得BF的长．24.答案：解：(1)将t=0代入抛物线解析式得：y=x2−2x−3．当x=0时，y=x2−2x−3=−3，∴点C的坐标为(0,−3)；当y=0时，有x2−2x−3=0，解得：x1=3，x2=−1，∴点B的坐标为(3,0)，点A的坐标为(−1,0)．∴S△ABC=12AB⋅OC=12×[3−(−1)]×3=6．(2)由(1)知：B(3,0)，C(0,−3)，∴OB=OC，∴∠ABC=45°，∴∠ACB+∠CAB=135°．又∵∠PCB+∠CAB=135°，∴∠ACB=∠PCB．在图2中，过B作BM//y轴，交CP延长线于M．∴∠ABC =∠MBC ．在△ABC 和△MBC 中，{∠ABC =∠MBC BC =BC ∠ACB =∠MCB, ∴△ABC≌△MBC(ASA)，∴AB =MB =4，∴点M 的坐标为(3,−4)，∴直线CM 解析式为：y =−13x −3(利用待定系数法可求出该解析式)．联立直线CM 及抛物线的解析式成方程组，得：{y =−13x −3y =x 2−2x −3, 解得：{x 1=0y 1=−3(舍去)，{x 2=53y 2=−329, ∴点P 的坐标为(53,−329).(3)当y =0时，有x 2+(2t −2)x +t 2−2t −3=0，即[x +(t −3)]⋅[x +(t +1)]=0，解得：x1=−t+3，x2=−t−1，∴点A的坐标为(−t−1,0)，点B的坐标为(−t+3,0)．当x=0时，y=x2+(2t−2)x+t2−2t−3=t2−2t−3，∴点C的坐标为(0,t2−2t−3)．设直线AQ的解析式为：y=k1x+b1，直线BQ的解析式为：y=k2x+b2．∴点D的坐标为(0,b1)，点E的坐标为(0,b2)，∴CD=(t2−2t−3)−b1，CE=b2−(t2−2t−3)．∵y=k1x+b1，y=x2+(2t−2)x+t2−2t−3，∴x2+(2t−2−k1)x+t2−2t−3−b1=0，∴x A⋅x Q=t2−2t−3−b1①.同理：x B⋅x Q=t2−2t−3−b2②．由②÷①，得：x Bx A =t2−2t−3−b2t2−2t−3−b1=−b2−(t2−2t−3)(t2−2t−3)−b1，∴CECD =−x Bx A=2，∴−t+3−t−1=−2，∴t=13．解析：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式、解方程组、因式分解法解一元二次方程以及根与系数的关系，解题的关键是：(1)利用二次函数图象上点的坐标特征求出抛物线与坐标轴的交点坐标；(2)通过构造全等三角形找出直线PC的解析式；(3)利用根与系数的关系结合CE=2CD，找出关于t 的方程．(1)代入t=0可得出抛物线的解析式，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B，C的坐标，再利用三角形的面积公式即可求出△ABC的面积；(2)由点B，C的坐标可得出∠ABC=45°，利用三角形内角和定理可得出∠ACB+∠CAB=135°，结合∠PCB+∠CAB=135°可得出∠ACB=∠PCB，过B作BM//y轴，交CP延长线于M，由平行线的性质可得出∠ABC=∠MBC，结合BC=BC即可证出△ABC≌△MBC(ASA)，利用全等三角形的性质可得出AB=MB=4，进而可得出点M的坐标，根据点C，M的坐标，利用待定系数法可求出直线CM的解析式，再联立直线CM及抛物线的解析式成方程组，通过解方程组可求出点P的坐标；(3)利用二次函数图象上点的坐标特征及因式分解法解一元二次方程，可求出点A，B，C的坐标，设直线AQ的解析式为：y=k1x+b1，直线BQ的解析式为：y=k2x+b2，则CD=(t2−2t−3)−b1，CE=b2−(t2−2t−3)，将直线解析式代入抛物线解析式中可得出关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系可得出x A⋅x Q=t2−2t−3−b1①，x B⋅x Q=t2−2t−3−b2②，利用②÷①结合CE=2CD，即可得出关于t的方程，解之即可得出结论．25.答案：(1)证明：∵AE⊥BD，EF⊥CE，∴∠AEB=∠FEC=90°，∴∠AEF=∠BEC，∵∠ABC=90°，∴∠ABE+∠EBC=90°，∠ABE+∠FAE=90°，∴∠FAE=∠EBC，∴△AEF∽△BEC；(2)解：结论：DH=BF．理由：∵△AEF∽△BEC，∴AEBE =AFBC，∵∠ABE=∠ABD，∠AEB=∠BAD=90°，∴△ABE∽△DBA，∴AEBE =ADAB，∴AFBC =ADAB，∵BC=AB，∴AF=AD，∵∠ABC=∠BAD=∠H=90°，∴四边形ABCH是矩形，∵AB=BC，∴四边形ABCH是正方形，∴AB=AH，∵AF=AD，∴BF=DH．(3)设正方形的边长为x，在Rt△CDH中，DH=x−1，CH=x，CD=5，∴52=x2+(x−1)2，解得x=4，∴AB=4，AD=1，在Rt△ABD中，BD=√12+42=√17，∵12⋅AD⋅AB=12⋅BD⋅AE，∴AE=AD⋅ABBD =4√1717，在Rt△AEB中，BE=√AB2−AE2=16√1717．解析：(1)想办法证明∠AEF=∠BEC，∠FAE=∠EBC即可解决问题；(2)结论：DH=BF.利用比例的性质首先证明AD=AF，再证明四边形ABCH是正方形即可解决问题；(3)设正方形的边长为x，在Rt△CDH中，DH=x−1，CH=x，CD=5，可得52=x2+(x−1)2，解得x=4，再通过解直角三角形求出BE的长即可；本题考查相似三角形综合题、比例的性质、正方形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考压轴题．。