高中数学必修五北师大版 不等关系 课时作业(含答案)
高中数学北师大版必修5课时作业第3章 不等式 19 Word版含答案
§不等关系时间：分钟满分：分班级姓名分数一、选择题：(每小题分，共×＝分)．已知＋>，<，那么，，－，－的大小顺序是( )．>>－>－．>－>－>．>－>>－．>>－>－．若＝＋，＝－，则，的大小关系是( ). ≤ . ≥. <或> . >．若α，β满足－<α<β<，则α－β的取值范围是( ). －π<α－β< . －π<α－β<π. －<α－β< . <α－β<π．某品牌彩电厂家为了打开市场，促进销售，准备对生产的某种型号的彩电降价销售，现有种降价方案：()先降价，再降价；()先降价，再降价；()先降价；再降；()一次性降价(＋)，其中＞，＞，≠，上述方案中，降价幅度最小的是( )．方案() ．方案()．方案() ．方案()．如果，，满足＜＜，且＜，那么下列选项中不一定成立的是( )．＞．(－)＞．＜．(－)＜．若<<<，则( )．> ．>．()>－．()<－二、填空题：(每小题分，共×＝分)．下列四个不等式：①＜＜；②＜＜；③＜＜；④＜＜；⑤＜且＞；⑥＜且＜，其中能使＜成立的是．．若≤≤，－≤≤，则－的取值范围为．．用“＞、＜、≥、≤”符号填空()(＋)(－)(－)(＋)＋；()＋(－－)．三、解答题：(共分，其中第小题分，第、小题各分)．已知>>，<<，<.求证：>.。
北师大版高中数学必修五§1不等关系.docx
第3章 1(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．设x ＜a ＜0，则下列不等式一定成立的是( ) A ．x 2＜ax ＜a 2 B ．x 2＞ax ＞a 2 C ．x 2＜a 2＜axD ．x 2＞a 2＞ax解析： ∵x ＜a ＜0，∴x 2＞a 2. ∵x 2－ax ＝x (x －a )＞0，∴x 2＞ax . 又ax －a 2＝a (x －a )＞0，∴ax ＞a 2. ∴x 2＞ax ＞a 2. 答案： B2．设a ，b ，c ，d ∈R 且a ＞b ，c ＞d ，则下列结论中正确的是( ) A ．ac 2＞bc 2 B ．a ＋c ＞b ＋d C ．ad ＜bdD ．a 2＞b 2 解析： 对于A ，若c ＝0，则A 不成立；对于B ，正确．对于C ，若d 为正数，则C 不正确；对于D ，若a ，b 为负数，则D 不正确，综上选B.答案： B3．若a ＞b ＞c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式中正确的是( ) A ．ab ＞ac B ．ac ＞bc C ．a |b |＞c |b |D ．a 2＞b 2＞c 2解析： 由a ＞b ＞c 及a ＋b ＋c ＝0知a ＞0，c ＜0，⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0b ＞c ⇒ab ＞ac .答案： A4．若α，β满足－π2<α<β<π2，则2α－β的取值范围是( )A ．－π<2α－β<0B ．－π<2α－β<πC ．－3π2<2α－β<π2D ．0<2α－β<π解析： ∵－π2<α<π2，又－π2<－β<π2，且α<β，∴－π<α－β<0，∴－3π2<2α－β<π2.答案： C二、填空题(每小题5分，共10分)5．如图所示的两种广告牌，其中图(1)是由两个等腰直角三角形构成的，图(2)是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种关系用含字母a ，b (a ≠b )的不等式表示出来________．答案： 12(a 2＋b 2)＞ab6．设x ＞1，－1＜y ＜0，试将x ，y ，－y ，－xy 按从小到大的顺序排列如下：__________. 解析： ∵－1＜y ＜0，∴0＜－y ＜1，∴y ＜－y ，又x ＞1， ∴－xy ＜x ，－xy ＞－y ， ∴y ＜－y ＜－xy ＜x . 答案： y ＜－y ＜－xy ＜x三、解答题(每小题10分，共20分)7．学生若干人，住若干宿舍，如果每间住4人，那么还余19人，如果每间住6人，那么一间不满也不空，求宿舍间数和学生人数．解析： 设宿舍x 间，则学生(4x ＋19)人，依题意，⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋19＜6x ，4x ＋19＞6(x －1).解得：192＜x ＜252.∵x ∈N ＋，∴x ＝10,11或12.学生人数为：59,63,67. 故宿舍间数和学生人数分别为10间59人， 11间63人或12间67人．8．已知－π2≤α＜β≤π2，求α＋β2，α－β2的取值范围．解析： 因为－π2≤α＜β≤π2，所以－π4≤α2＜π4，－π4＜β2≤π4. 两式相加，得－π2＜α＋β2＜π2.因为－π4＜β2≤π4，所以－π4≤－β2＜π4，则－π2≤α－β2＜π2.又α＜β，所以α－β2＜0，则－π2≤α－β2＜0.尖子生题库☆☆☆9．(10分)已知m ∈R ，a >b >1，f (x )＝mx x －1，试比较f (a )与f (b )的大小．解析： f (x )＝mx x －1＝m⎝⎛⎭⎫1＋1x －1. f (a )＝m⎝⎛⎭⎫1＋1a －1，f (b )＝m ⎝⎛⎭⎫1＋1b －1. ∵a >b >1，∴a －1>b －1>0， ∴1＋1a －1<1＋1b －1.①当m >0时，m ⎝⎛⎭⎫1＋1a －1<m ⎝⎛⎭⎫1＋1b －1，即f (a )<f (b )；②当m ＝0时，f (a )＝f (b )；③当m <0时，m⎝⎛⎭⎫1＋1a －1>m ⎝⎛⎭⎫1＋1b －1，即f (a )>f (b )． 综上所述，当m >0时，f (a )<f (b )； 当m ＝0时，f (a )＝f (b )； 当m <0时，f (a )>f (b )．。
(北师大版)必修五名师精品：3.1.1《不等关系》教案(含答案)
教学设计1．1 不等关系整体设计教学分析本节课的研究是对初中不等式学习的延续和拓展，也是实数理论的进一步发展．在本节课的学习过程中，学生将通过现实生活中的实例，了解我们周围存在的形形色色的不等关系，进而更深层次地从理性角度建立不等观念．通过本节课的学习，让学生从一系列的具体问题情境中，感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，并充分认识不等关系的存在与应用．对不等关系的相关素材，用数学观点进行观察、归纳、抽象，完成量与量的比较的过程，即能用不等式或不等式组把这些不等关系表示出来．在本节课的学习过程中还安排了一些简单的、学生易于处理的问题，其用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用，同时也能激发学生的学习兴趣，并由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望．三维目标1．会用不等符号表示实际问题中的不等关系，能列出问题中的不等式或不等式组．2．通过本节学习，让学生感受到不等关系是客观存在的广泛的数量关系．3．通过对富有实际意义问题的解决，激发学生的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘与数学的结构美，激发学生的学习兴趣．重点难点教学重点：用不等式(组)表示实际问题中的不等关系，并用不等式(组)研究含有不等关系的问题，理解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值．教学难点：用不等式或不等式组准确地表示出不等关系．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(插图导入)教材章头插图安排一幅芭蕾舞的优美画面，使学生在具体情境中感受到不等关系在现实世界和日常生活中是大量存在的，由此产生用数学研究不等关系的强烈愿望，自然地引入新课．思路2.(情境导入)列举出学生身体的高矮、身体的轻重、距离学校路程的远近、百米赛跑的时间、数学成绩的多少等现实生活中学生身边熟悉的事例，描述出某种客观事物在数量上存在的不等关系．这些不等关系怎样在数学上表示出来呢？让学生自由地展开联想，教师组织不等关系的相关素材，让学生用数学的观点进行观察、归纳，使学生在具体情境中感受到不等关系与相等关系一样，在现实世界和日常生活中大量存在着．这样学生会由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望，从而进入进一步的探究学习，由此引入新课．推进新课新知探究提出问题①回忆初中学过的不等式，让学生说出“不等关系”与“不等式”的异同.怎样利用不等式研究及表示不等关系？]②在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系.你能举出一些实际例子吗？③阅读课本内容，同学之间交流对不等关系的认识.活动：教师引导学生回忆初中学过的不等式概念，使学生明确“不等关系”与“不等式”的异同．不等关系强调的是关系，可用符号“＞”“＜”“≠”“≥”“≤”表示，而不等式则是表示两者的不等关系，可用“a＞b”“a＜b”“a≠b”“a≥b”“a≤b”等式子表示，不等关系是可以通过不等式来体现的．教师与学生一起举出我们日常生活中不等关系的例子，可让学生充分合作讨论．使学生感受到现实世界中存在着大量的不等关系，在学生了解了一些不等式(组)产生的实际背景的前提下，进一步学习不等式的有关内容．实例1：某天的天气预报报道，最高气温32 ℃，最低气温26 ℃.实例2：对于数轴上任意不同的两点A，B，若点A在点B的左边，则x A＜x B.教师协助画出数轴草图如图1.图1实例3：若一个数是非负数，则这个数大于或等于零．实例4：2003年10月15日9时，我国“神舟”五号载人飞船在酒泉卫星发射中心发射成功，实现了中华民族千年的飞天梦想．这是自1970年4月24日成功发射“东方红一号”人造卫星以来，我国航天史上又一座新的里程碑，我国已成为继俄、美之后，世界上第三个掌握载人航天技术、成功发射载人飞船的国家．“东方红一号”与“神舟”五号部分参数的对比见下表．“东方红一号”与“神舟”五号部分参数对比表我们不难发现，“神舟”五号飞船比“东方红一号”卫星在很多方面都有了较大的发展．实例5：《铁路旅行常识》规定：“一、随同成人旅行身高1.2～1.5米的儿童，享受半价客票(以下称儿童票)，超过1.5米时应买全价票．每一成人旅客可免费带一名身高不足1.2米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票．……十、旅客每人免费携带品的体积和重量是每件物品的外部尺寸长、宽、高之和不超过160厘米，杆状物品不超过200厘米，重量不得超过20千克……”设儿童身高为h(m)，物品外部尺寸长、宽、高之和为p(cm)，请在下表空格内填上对应的数学符号(＜，≤，＞，≥)，并与同学交流．状况直方图．图2请根据图中提供的信息，依河流水质的状况，将各省市(区)污染程度按从小到大的顺序(＜，≤)进行排列．对以上问题，教师让学生轮流回答，问题是数学研究的核心，以问题展示的形式来培养学生的问题意识与探究意识．从上面的一些例子，我们可以感受到，不等关系反映在日常生活的方方面面．在数学意义上，不等关系可以体现：常量与常量之间的不等关系．例如，“神舟”五号的质量大于“东方红一号”的质量． 变量与常量之间的不等关系．例如，儿童身高h m 小于或等于1.4 m. 函数与函数之间的不等关系．例如，当x ＞a 时，销售收入f (x )大于销售成本g (x )．(见后面应用示例思路2的例1)一组变量之间的不等关系．例如，购置软件的费用60x 与购置磁盘的费用70y 之和不超过500元．讨论结果：①～③略．应用示例思路1 例1 设点A 与平面α的距离为d ，B 为平面上的任意一点，则d ≤|AB |.用图表示此不等关系．图3活动：教师可让学生合作探究，对有困难的学生及时给予点拨指导． 解：如图3，过点A 作AC ⊥平面α于点C ，则d ＝|AC |≤|AB |.点评：这种用数形结合的思想解决问题的方法是我们非常熟悉的．例2 某种杂志以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本．若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？解：设杂志的定价为x 元，则销售量就减少x －2.50.1×0.2万本．销售量变为⎝ ⎛⎭⎪⎫8－x －2.50.1×0.2万本，则总收入为⎝ ⎛⎭⎪⎫8－x －2.50.1×0.2x 万元，即销售的总收入为不低于20万元的不等式表示为⎝ ⎛⎭⎪⎫8－x －2.50.1×0.2x ≥20.点评：由于观察视角的不同，上述表示不是唯一的，若设杂志的单价提高了0.1n 元(n ∈N ＋)，那么销售量减少了0.2n 万本，单价为(2.5＋0.1n )元，则可得销售的总收入为不低于20万元的不等式为(2.5＋0.1n )(8－0.2n )≥20.显然这两种表示都是正确的，由此让学生体验不同的切入，会得到不同的不等式模型，并让学生对以上两种表示作出比较．3某钢铁厂要把长度为4 000 mm 的钢管截成500 mm 和600 mm 两种，按照生产的要求，600 mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管的3倍．写出满足上述所有不等关系的不等式．分析：根据题意，应当有什么样的不等量关系呢？由题意，显然截得两种钢管的总长度不能超过4 000 mm.截得600 mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管的3倍．截得的两种钢管数量都不能为负．上述三个不等关系必须同时满足，即用“且”而非“或”．同时，由于实际问题的限制，还应有x ，y ∈N ＋.解：假设截得500 mm 的钢管x 根，截得600 mm 的钢管y 根．根据题意可列如下不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧ 500x ＋600y ≤4 000，3x ≥y ，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N ＋.点评：通过以上探究，使学生初步明确了如何用不等式或不等式组把实际问题中的不等关系表示出来，提醒学生要注意挖掘问题中所隐含的不等量关系及使实际问题有意义，考虑问题要周全，思维要严密．思路2例1 如图4，函数y ＝f (x )反映了某公司产品的销售收入y 万元与销售量x t 的函数关系，y ＝g (x )反映了该公司产品的销售成本与销售量的函数关系，试问：图4(1)当销售量为多少时，该公司赢利(收入大于成本)?(2)当销售量为多少时，该公司亏损(收入小于成本)?解：(1)当销售量大于a t ，即x ＞a 时，公司赢利，即f (x )＞g (x )；(2)当销售量小于a t ，即0≤x ＜a 时，公司亏损，即f (x )＜g (x )． 点评：此题为函数与函数之间的不等关系．例2 某用户计划购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，使用资金不超过500元，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒．问：软件数与磁盘数应满足什么条件？活动：这是1999年全国高考的一道选择题的改编，其解法很多，但列出不等关系后更能一目了然地理解本题中的数量关系．解：设软件数为x ，磁盘数为y ，根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ 60x ＋70y ≤500，x ≥3且x ∈N ＋，y ≥2且y ∈N ＋.点评：这是一组变量之间的不等关系．例3 若需在长为4 000 mm 的圆钢上，截出长为698 mm 和518 mm 两种毛坯，问怎样写出满足上述所有不等关系的不等式组？活动：教师引导学生充分理解题意，找出题目中的不等关系．解：设截出长为698 mm 的毛坯x 个和截出长为518 mm 的毛坯y 个，把截取条件数学化地表示出来就是⎩⎪⎨⎪⎧ 698x ＋518y ≤4 000，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N .点评：可让学生板演，老师结合学生的具体完成情况作评析，特别应注意x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N 的条件的应用．例4 某厂使用两种零件A ，B ，装配两种产品甲、乙，该厂的生产能力是月产量甲最多2 500件，月产量乙最多1 200件，而组装一件产品，甲需要4个A 、2个B ；乙需要6个A ，8个B .某个月，该厂能用的A 最多有14 000个，B 最多有12 000个．用不等式将甲、乙两种产品产量之间的关系表示出来．活动：教师引导学生充分理解题意，找出题目中的不等关系，可设甲、乙两种产品的产量分别为x 件、y 件，这样就可用x ，y 表示出不等关系．解：设甲、乙两种产品的产量分别为x 件、y 件，则根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ≤2 500，0≤y ≤1 200，4x ＋6y ≤14 000，2x ＋8y ≤12 000，x ，y ∈N ， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ≤2 500，0≤y ≤1 200，2x ＋3y ≤7 000，x ＋4y ≤6 000，x ，y ∈N .点评：本例可让学生合作完成，点拨学生应特别注意对x ≥0，y ≥0，x ，y∈N 的隐含条件的挖掘． 知能训练课本本节练习1,2.课堂小结1．由学生回顾本节课中所探究的不等关系、不等式及其实际背景，整合本节课中从实际背景中建立不等式模型的方法，巩固本节所学知识与方法．2．教师进一步画龙点睛，通过本节对现实中数量关系的不等式表示，明确不等式是研究不等关系的重要数学工具，理解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值．作业课本习题3—1 A组4,5.设计感想1．本教案设计更加关注学生的发展．通过具体问题的解决，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着的大量的等量关系，并从理性的角度去思考，鼓励学生用数学观点进行类比、归纳、抽象，培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯．2．本教案设计注重学生的探究活动．学生在学习过程中，通过对问题的探究思考、体验认识、广泛参与，及实际问题背景的设计，培养学生严谨的思维习惯，主动积极的学习品质，从而提高学习质量．3．本教案设计注重了学生个性品质的发展．通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探索精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘与数学的结构美、数学推理的严谨美，从而激发学生强烈的探究兴趣．(设计者：沈传年)。
2020-2021学年北师大版高中数学必修五《不等关系与不等式》课时作业及解析
（新课标）最新北师大版高中数学必修五课时作业17 不等关系与不等式时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题5分，共40分)1．已知a ＋b>0，b<0，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系是( ) A ．a>b>－b>－a B ．a>－b>－a>b C ．a>－b>b>－a D ．a>b>－a>－b【答案】 C【解析】 ∵a ＋b>0，b<0，∴a>－b>0.∴－a<0，b>－a.∴－a<b<0<－b<a.2．与a>b 等价的不等式是( ) A.1a <1b B ．|a|>|b| C.ab>1 D ．2a >2b【答案】 D【解析】 ∵函数y ＝2x 在R 上是增函数，∴2a >2b .3．已知x>0，y>0，M ＝x ＋y 2，N ＝2xyx ＋y ，则M 与N 的大小关系为( )A ．M>NB ．M ≥NC ．M ≤ND ．M<N【答案】 B【解析】 M －N ＝x ＋y 2－4xy 2x ＋y ＝x －y 22x ＋y .∵x>0，y>0，∴x ＋y>0.又(x －y)2≥0，∴M －N ≥0，即M ≥N.4．(2013·北京文)设a ，b ，c ∈R ，且a>b ，则( ) A ．ac>bc B.1a <1b C ．a 2>b 2 D ．a 3>b 3【答案】 D【解析】 本题考查不等式性质，实数比较大小，若c ≤0，则A 错；若a>0，b<0，则B 错；若a ＝0，b ＝－1，则C 错，选D.5．若－1<α<β<1，则下面各式中恒成立的是( ) A ．－2<α－β<0 B ．－2<α－β<－1 C ．－1<α－β<0 D ．－1<α－β<1 【答案】 A【解析】 由题意得－1<α<1，－1<－β<1，α－β<0，故－2<α－β<2且α－β<0，故－2<α－β<0，因此选A.6．不等式①x 2＋2>x ；②x 2＋y 2≥2(x ＋y －1)；③x 2＋1>x 中，恒成立的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】 D【解析】 ①x 2＋2－x ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －122＋74>0；②x 2＋y 2－2(x ＋y －1)＝(x －1)2＋(y －1)2≥0；③x 2＋1－x ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －122＋34>0，所以三个不等式都恒成立． 7．已知0<a<1，x ＝log a 2＋log a3，y ＝12log a 5，z ＝log a 21－log a 3，则( )A ．x>y>zB ．z>y>xC ．y>x>zD ．z>x>y【答案】 C【解析】 先将x ，y ，z 变成同底数的式子，再比较真数的大小，利用对数函数的单调性来分析．∵x ＝log a 2＋log a 3＝log a6，y ＝12log a 5＝log a 5，z ＝log a 21－log a 3＝log a 7，由0<a<1知，函数f(x)＝log a x 为减函数，∴y>x>z.8．若a ，b ，c 是不全相等的正数，给出下列判断：①(a －b)2＋(b －c)2＋(c －a)2≠0；②a>b 与 a<b 及a ＝b 中至少有一个成立；③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立．则其中判断正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】 C【解析】 ①②正确，③错误．二、填空题(每小题5分，共20分)9．x＝(a＋3)(a－5)，y＝(a＋2)(a－4)，x与y的大小关系是________．【答案】x<y【解析】x－y＝(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7＜0 ∴x＜y.10．一大学毕业生向两电脑公司求职推销，A公司允诺年薪25 000美元，外加销售额5%的提成，B公司允诺年薪20 000美元，外加销售额10%的提成，该推销员每年至少应完成________销售额才能使B 公司的工作更有利可图．【答案】100 000美元【解析】设销售额为x美元，得20 000＋0.1x≥25 000＋0.05x.解得x≥100 000.11．已知x≤1，f(x)＝3x3，g(x)＝3x2－x＋1，则f(x)与g(x)的大小关系是f(x)________g(x)．【答案】≤【解析】∵f(x)－g(x)＝3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(x－1)(3x2＋1)．∵x≤1，∴x－1≤0.又3x2＋1>0，∴(x－1)(3x2＋1)≤0，∴f(x)≤g(x)．12．若1<a<3，－4<b<2，则a－|b|的取值范围是________．【答案】(－3,3)【解析】∵－4<b<2，∴0≤|b|<4，∴－4<－|b|≤0. 又1＜a<3， ∴－3<a －|b|<3.三、解答题(共40分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)13．(12分)证明：若a>b>0，d<c<0，则a c <bd.【解析】 根据已知条件和不等式的结构，利用不等式的开方性质和同向可乘性即证．由a>b>0，得a>b ＞0.①由d<c<0，得0<－c<－d ，故－1c >－1d >0.②由①②可得：－a c >－b d ，即a c <bd .∴原命题得证．14．(12分)若a ≠－1，且a ∈R ，试比较11＋a 与1－a 的大小．【解析】 因为11＋a －(1－a)＝a 21＋a ，故(1)当a>－1且a ≠0时，11＋a >1－a ；(2)当a<－1时，11＋a <1－a ；(3)当a ＝0时，11＋a＝1－a.15．(16分)某铁路指挥部接到预报，24小时后将有一场大暴雨，为确保万无一失，指挥部决定在24小时内筑一道堤坝以防山洪淹没正在紧张施工的隧道工程．经测算，其工程量除现有施工人员连续奋战外，还需要20辆翻斗车同时作业24小时，但是，除了有一辆翻斗车可以立即投入施工外，其余翻斗车辆需要从各处紧急抽调，每隔20分钟有一辆翻斗车到达并投入施工，而指挥部最多可组织25辆翻斗车．问24小时内能否完成防洪堤坝工程？并说出理由．【解析】 由20辆翻斗车同时工作24小时可完成全部工程可知，每辆翻斗车每小时的工作效率为1480，设从第一辆翻斗车投入施工算起，各车的工作时间为a 1，a 2，…，a 25小时，依题意，它们是组成公差d ＝－13(小时)的等差数列，且a n ≤24(n ＝1,2,3，…，25)，则有a 1480＋a 2480＋…＋a 25480≥1，即12(a 1＋a 25)·25≥480，化简可得2a 1－8≥1925， 解得a 1≥2315.由于2315<24，可见工作时间可以满足要求，即工程可以在24小时内完成．。
高中数学必修5北师大版 不等关系 作业(含答案)
学业分层测评(十五)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．完成一项装修工程，请木工需付工资每人500元，请瓦工需付工资每人400元，现有工人工资预算20 000元，设木工x 人，瓦工y 人，则请工人满足的关系式是( )A ．5x ＋4y ＜200B ．5x ＋4y ≥200C ．5x ＋4y ＝200D ．5x ＋4y ≤200【解析】 由题意x ，y 满足的不等式关系为500x ＋400y ≤20 000，即5x ＋4y ≤200.【答案】 D2．若a ，b ，c 为实数，且a ＜b ＜0，则下列命题正确的是( )A ．ac 2＜bc 2B ．a 2＞ab ＞b 2 C.1a ＜1b D.b a ＞a b【解析】 c ＝0时，ac 2＝bc 2，∴A 错；a ＜b ＜0⇒1a ＞1b ，∴C 错；∵a ＜b＜0，∴a b ＞1,0＜b a ＜1，∴D 错．【答案】 B3．若A ＝a 2＋3ab ，B ＝4ab －b 2，则A ，B 的大小关系是( )A ．A ≤BB ．A ≥BC ．A ＞B 或A ＜BD ．A ＞B【解析】 A －B ＝a 2＋3ab －4ab ＋b 2＝a 2＋b 2－ab＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 22＋34b 2≥0，∴A ≥B . 【答案】 B4．已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，若c a ＋b ＜a b ＋c ＜b c ＋a，则( )【导学号：47172097】A ．c ＜a ＜bB ．b ＜c ＜aC ．a ＜b ＜cD ．c ＜b ＜a【解析】 ∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)且c a ＋b ＜a b ＋c ＜b c ＋a ，∴c a ＋b ＋1＜a b ＋c ＋1＜b c ＋a ＋1，即a ＋b ＋c a ＋b ＜a ＋b ＋c b ＋c ＜a ＋b ＋c a ＋c，∴a ＋b ＞b ＋c ＞a ＋c . 由a ＋b ＞b ＋c ，∴a ＞c ，由b ＋c ＞a ＋c ，∴b ＞a ，∴b ＞a ＞c ，故选A.【答案】 A5．若1a ＜1b ＜0，则不等式：①a ＋b ＜ab ；②|a |＞|b |；③a ＜b ；④b a ＋a b ＞2中，正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】 由1a ＜1b ＜0，得ab ＞0，b ＜a ＜0.故a ＋b ＜0＜ab ，|b |＞|a |，因此①正确，②错误，③错误．又a b ＋b a －2＝(a －b )2ab ＞0，因此④正确．【答案】 B二、填空题6．若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )________g (x )．(用“＜”，“＞”，“＝”填空)【解析】 f (x )－g (x )＝3x 2－x ＋1－2x 2－x ＋1＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1＞0， ∴f (x )＞g (x )．【答案】 ＞7．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，那么2α－β3的取值范围是________. 【导学号：47172098】【解析】 由题设得0＜2α＜π，0≤β3≤π6，∴－π6≤－β3≤0，∴－π6＜2α－β3＜π.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π 8．若a ＜b ＜0，则1a －b 与1a 的大小关系是________． 【解析】 1a －b －1a ＝a －(a －b )(a －b )a ＝b (a －b )a， ∵a ＜b ＜0，∴a －b ＜0，则b (a －b )a ＜0， ∴1a －b ＜1a. 【答案】 1a －b＜1a 三、解答题9．有学生若干人，住若干宿舍，如果每间住4人，那么还余19人，如果每间住6人，那么只有一间不满但不空，求宿舍间数和学生人数．【解】 设宿舍x 间，则学生(4x ＋19)人，依题意，⎩⎨⎧4x ＋19＜6x ，4x ＋19＞6(x －1)，解得192＜x ＜252. ∵x ∈N ＋，∴x ＝10,11或12，学生人数为：59,63,67.故宿舍间数和学生人数分别为10间59人，11间63人或12间67人．10．已知a 、b 、x 、y 都为正数，且1a ＞1b ，x ＞y ，求证：x x ＋a ＞y y ＋b 【证明】 x x ＋a －y y ＋b ＝x (y ＋b )－y (x ＋a )(x ＋a )(y ＋b )＝ bx －ay (x ＋a )(y ＋b ). ∵1a ＞1b ＞0，x ＞y ＞0，∴b ＞a ＞0，x ＞y ＞0，∴bx ＞ay ，即bx －ay ＞0.又x ＋a ＞0，y ＋b ＞0，。
【创新设计】高中数学(北师大版必修五)配套练习：3.1.1-1.2不等关系与不等式(含答案解析)
第三章 不等式1.1不等关系1.2不等关系与不等式课时目标 1.初步学会作差法比较两实数的大小这些性质解决相关问题．.2.掌握不等式的基天性质，并能运用1．比较实数 a ，b 的大小(1)文字表达假如 a － b 是正数，那么 a____b ；假如 a － b 等于 ____，那么 a ＝ b ；假如 a － b 是负数，那么 a____b ，反之也建立．(2)符号表示a － b>0? a____b ；a －b ＝0? a____b ；a － b<0? a____b.2．常用的不等式的基天性质(1)a>b? b____a(对称性 )；(2)a>b ， b>c? a____c(传达性 )；(3)a>b? a ＋ c____b ＋ c(可加性 )；(4)a>b ， c>0? ac____bc ； a>b ， c<0? ac____bc ；(5)a>b ， c>d? a ＋ c____b ＋ d ；(6)a>b>0 ， c>d>0? ac____bd ；(7)a>b>0 ， n ∈ N ，n ≥2? a n ____b n ；(8)a>b>0 ， n ∈ N ，n ≥2? n a____nb.一、选择题1．若 a ， b ， c ∈R ， a>b ，则以下不等式建立的是 ()1 1 22A. a <bB ． a >ba bC.c 2＋ 1>c 2＋ 1D ． a|c|>b|c| 2．已知 a<0，b<－ 1，则以下不等式建立的是()a aa aA ． a>b >b 2B. b 2>b >aa a a a C.b >a>b 2D. b >b 2>a3．已知 a 、 b 为非零实数，且 a<b ，则以下命题建立的是()2222A ． a <bB ． a b<ab1 1 b a C.ab 2<a2 bD.a <b)4．若 x ∈ (e 1,1)， a ＝ ln x ， b ＝2ln x ， c ＝ ln 3x ，则 (－A ． a<b<cB ． c<a<bC ． b<a<cD ． b<c<a5．设 a ， b ∈ R ，若 a －|b|>0，则以下不等式中正确的选项是 ( )A ． b － a>0B ． a 3＋ b 3<0C ． a 2－ b 2<0D ． b ＋ a>0 6．若 a>b>c 且 a ＋ b ＋ c ＝ 0，则以下不等式中正确的选项是 ( ) A ． ab>acB ． ac>bcC ． a|b|>c|b|D ． a 2>b 2>c 2二、填空题7．若 1≤ a ≤5，－ 1≤ b ≤2，则 a － b 的取值范围为 ___________________________ ． 8．若 f(x) ＝ 3x 2－x ＋ 1， g(x) ＝ 2x 2＋x － 1，则 f(x) 与 g(x)的大小关系是 ________．9．若 x ∈ R ，则x2与1的大小关系为________．1＋ x 210．设 n>1，n ∈ N ，A ＝ n － n － 1，B ＝ n ＋1－ n ，则 A 与 B 的大小关系为 ________．三、解答题a 2－b 2 a － b11．设 a>b>0，试比较 22与的大小．a ＋b a ＋ b12．设 f(x) ＝ 1＋ log x3， g(x) ＝ 2log x2，此中 x＞ 0 且 x≠1，试比较f(x) 与 g(x) 的大小．能力提高13．若 0<a1<a2,0<b 1<b 2，且 a1＋ a2＝ b1＋ b2＝ 1，则以下代数式中值最大的是() A． a1b1＋ a2b2 B ． a1a2＋ b1b2C． a1b2＋a2b11 D. 214．设 x， y， z∈ R，试比较5x2＋ y2＋ z2与 2xy ＋ 4x＋ 2z－2 的大小．1．比较两个实数的大小，只需观察它们的差就能够了．a－ b>0? a>b； a－b＝ 0? a＝b； a－ b<0? a<b.2．作差法比较的一般步骤第一步：作差；第二步：变形，常采纳配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“积”；第三步：定号，就是确立作差的结果是大于0，等于 0，仍是小于0.(不确立的要分状况议论 )最后得结论．归纳为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是重点．3．不等式的性质是不等式变形的依照，每一步变形都要严格依照性质进行，千万不行想自然．1．1不等关系1．2不等关系与不等式答案知识梳理1． (1)> 0 < (2)> ＝ < 2.(1)<(2)>(3)> (4)> < (5)> (6)> (7)> (8)>作业设计1111，∴ A不建立；1． C [ 对 A ，若 a>0>b，则 >0， <0，此时>a b a b对 B，若 a＝1， b＝－ 2，则 a2<b2，∴ B 不建立；2a b对 C，∵ c ＋ 1≥1，且 a>b，∴c2＋1>c2 ＋1恒建立，∴C正确；对 D，当 c＝ 0 时， a|c|＝b|c|，∴ D 不建立． ]2．D[ 取 a＝－ 2， b＝－ 2，则a a1，∴a a＝ 1，2＝－2b>2>a.] b b b3． C[ 关于 A ，当 a<0， b<0 时， a2<b2不建立；关于 B ，当 a<0， b>0 时， a2b>0， ab2<0， a2b<ab2不建立；关于 C，∵ a<b，111；a2b2>0，∴ab2<a2b关于 D ，当 a＝－ 1，b＝ 1 时，ba＝ab＝－ 1.]14． C[ ∵e<x<1 ，∴－ 1<ln x<0.令 t＝ ln x ，则－ 1<t<0.∴a－ b＝ t－ 2t＝－ t>0，∴ a>b.32－ 1)＝ t(t ＋ 1)(t－ 1)，c－ a＝ t－ t＝ t(t又∵－ 1<t<0 ，∴ 0<t ＋ 1<1，－ 2<t－ 1<－ 1，∴c－ a>0，∴ c>a.∴ c>a>b.]5．D[ 由 a>|b|得－ a<b<a，∴ a＋ b>0 ，且 a－ b>0. ∴b－ a<0，A 错， D 对． a3＋ b3＝ (a22b2 3 23322，＋ b)(a － ab＋ b )＝ (a＋ b)[(a－)＋ b ] ∴ a＋b>0， B 错．而 a－ b ＝ (a－ b)(a＋b)>024∴C错．]6．A[ 由 a>b>c 及 a＋ b＋ c＝ 0 知 a>0， c<0，又∵ a>0， b>c，∴ ab>ac.]7． [ － 1,6]分析∵－ 1≤b≤2，∴－ 2≤－ b≤1，又 1≤a≤5，∴－ 1≤a－ b≤6.8． f(x)>g(x)分析∵ f(x) －g(x) ＝x2－ 2x＋ 2＝(x－ 1)2＋ 1>0 ，∴ f(x)>g(x) ．x 19.1＋ x2≤2分析 ∵ x2－1＝2x － 1－ x 2－ (x － 1)2 2＝2 ≤0，∴1＋ x 2 2(1＋x )2(1＋ x )x12≤ .1＋ x 210．A>B分析 A ＝1 ， B ＝1n ＋ n － 1.n ＋ 1＋ n∵ n ＋ n － 1< n ＋ 1＋ n ，而且都为正数， ∴ A>B.11．解 方法一 作差法a 2－b 2 a － b (a ＋ b)(a 2－ b 2)－ (a － b)(a 2＋ b 2) ＝ (a － b)[(a ＋ b)2－ (a 2＋ b 2)]＝ 22－ ＝ 22 2 2a ＋b a ＋ b (a ＋ b )(a ＋ b) (a ＋ b )(a ＋ b)2ab(a － b)22(a ＋ b)(a ＋b )∵ a>b>0，∴ a ＋ b>0， a － b>0,2ab>0.∴2ab(a － b) a 2－ b 2 a － b(a ＋ b)(a 2＋ b 2)>0，∴a 2＋ b2>a ＋ b.方法二 作商法a 2－b 2a － b∵ a>b>0，∴ 2 2>0，>0.a ＋b a ＋ ba 2－b 2 a 2＋ b 2 (a ＋b) 2 a 2＋ b 2＋ 2ab ∴ a － b ＝ a 2＋ b 2＝a 2＋b 2 ＝ 1＋ a ＋ b∴ a 2－ b 2 a －b2 2>.a ＋b a ＋b2ab a 2＋b 2>1.3x12．解f(x) －g(x) ＝1＋ log x 3－ 2log x 2＝ log x 4 ，0＜ x ＜ 1，x ＞ 1， ①当 3x＞ 1，或3x＜ 1，40＜ 4即 1＜x ＜4时， log x3x＜ 0，∴ f(x) ＜ g(x) ；343x 43x②当 4 ＝ 1，即 x ＝ 3时， logx 4 ＝ 0，即 f(x) ＝ g(x) ；0＜ x ＜ 1，x ＞1，③当3x＜ 1，或3x＞1，0＜ 4 4 43x即 0＜x ＜ 1，或 x ＞ 3时， log x 4 ＞ 0，即 f(x) ＞ g(x) ．4综上所述，当1＜ x＜时， f(x) ＜ g(x) ；当 x＝43时， f(x) ＝ g(x) ；当 0＜x＜ 1，或 x＞4时， f(x) ＞g(x) ． 313．A [特别值法．令 a1＝1， a2＝3， b1＝1， b2＝3，4444则 a1b1＋ a2b2＝10＝5， a1a2＋ b1b2＝6＝3， a1b2＋ a2b1＝6＝3，168168168∵513，∴最大的数应是 a1b1＋ a2b2.] > >82814．解∵ 5x2＋ y2＋ z2－ (2xy ＋ 4x ＋2z－ 2)＝4x2－4x ＋ 1＋ x2－ 2xy＋ y2＋ z2－ 2z＋1＝(2x－1) 2＋ (x－ y)2＋(z－ 1)2≥0，∴5x2＋ y2＋ z2≥ 2xy＋4x＋ 2z－ 2，1当且仅当 x＝ y＝且 z＝ 1 时取到等号．。
高中数学北师大版必修5课时作业：第3章 不等式 22 Word版含答案
§22 基本不等式时间：45分钟 满分：80分班级________ 姓名________分数________一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)1．对于不等式a 2＋b 2≥2ab ，下列说法正确的是( ) A ．只有a >0，b >0时，不等式才成立 B ．只有a ＝b ＝0时等号才能成立 C ．当且仅当a ＝b 时等号成立D ．当且仅当a 与b 同号时，不等式成立 2．关于不等式ab ≤a ＋b2，给出下列命题，其中正确命题是( ) ①若a >0，b >0，则ab ≤a ＋b2；②若ab ≤a ＋b2，则a >0，b >0；③若a ≠b ，则ab <a ＋b2；④若ab <a ＋b2，则a ≠b .A ．①② B．①③ C ．①④ D．①②③④3．a ＞b ＞0，则下列不等式中总成立的是( ) A.2ab a ＋b ＜a ＋b2＜ab B.a ＋b2≥2aba ＋b≥ab C.a ＋b2＞ab ＞2aba ＋bD.ab ＜2ab a ＋b ＜a ＋b24．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b>2abD.b a ＋ab≥25．下列命题中正确的是( )A ．当a ，b ∈R 时，a b ＋b a ≥2a b ·b a＝2 B ．当a >1，b >1时，lg a ＋lg b ≥2lg a lg b C ．当a >4时，a ＋9a≥2a ·9a＝6 D ．∵x 2＋1≥2x ，当且仅当x ＝1时，等号成立，∴(x 2＋1)min ＝26．设a ，b 是正实数，A ＝a ＋b ，B ＝a ＋b ，则A ，B 的大小关系是( ) A ．A ≥B B ．A ≤B C ．A >B D ．A <B二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分) 7．设数列{a n }的通项公式为a n ＝nn 2＋8，则{a n }中的最大项为第________项．8．△ABC 三边a ，b ，c 满足a 4＋b 4＋c 4＝a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2，则△ABC 的形状是________． 9．若a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是________(写出所有正确命题的编号)．①ab ≤1；②a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2；④a 3＋b 3≥3；⑤1a ＋1b≥2.三、解答题：(共35分，其中第10小题11分，第11、12小题各12分) 10．已知a ，b ，c 是不全相等的三个正数， 求证：b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －cc>3.11.已知a ＋b ＋c ＝1，求证：ab ＋bc ＋ac ≤13.已知a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝1， 求证：(a ＋1a )(b ＋1b )≥254.一、选择题 1．C 2．C 3．C2ab a ＋b ＜2ab 2ab ＝ab ＜a ＋b2. 4．D5．B A 项中，可能b a<0，所以A 不正确；C 项中，a ＋9a≥2a ·9a＝6中的等号不成立，所以C 项不正确；D 项中，右边不是定值，所以D 项不正确；很明显，B 项中，当a >1，b >1时，lg a >0，lg b >0，则lg a ＋lg b ≥2lg a lg b 成立，所以B 项正确．6．C ∵a >0，b >0，∴A >0，B >0，A 2－B 2＝(a ＋b ＋2ab )－(a ＋b )＝2ab >0，∴A 2>B 2，∴A >B .二、填空题 7．3解析：将a n 变形为a n ＝1n ＋8n，由于n ＋8n ≥28＝42，所以a n ≤142＝28，当且仅当n＝8n，即n 2＝8时，等号成立，因为n 为正整数，所以当n ＝3时，a n 最大．8．等边三角形解析：由a 4＋b 4≥2a 2b 2，b 2＋c 2≥2b 2c 2，c 2＋a 2≥2a 2c 2，∴a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2取等号当且仅当a ＝b ＝c 时成立． 9．①③⑤解析：两个正数，和为定值，积有最大值，即ab ≤a ＋b24＝1，当且仅当a ＝b 时取等号，故①正确；(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ＝2＋2ab ≤4，当且仅当a ＝b 时取等号，得a ＋b ≤2，故②错误；由于a 2＋b 22≥a ＋b24＝1，故a 2＋b 2≥2成立，故③正确；a 3＋b 3＝(a ＋b )(a 2＋b 2－ab )＝2(a 2＋b 2－ab )，∵ab ≤1，∴－ab ≥－1，又a 2＋b 2≥2，∴a 2＋b 2－ab ≥1，∴a 3＋b 3≥2，故④错误；1a ＋1b ＝(1a ＋1b )a ＋b 2＝1＋a 2b ＋b 2a ≥1＋1＝2，当且仅当a ＝b 时取等号，故⑤正确．三、解答题 10．证明：b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －c c ＝b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c －3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c －3.∵a ，b ，c 都是正数， ∴b a ＋ab ≥2b a ·ab ＝2， 同理c a ＋a b≥2，c b ＋b c≥2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ，a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c ≥6. ∵a ，b ，c 不全相等，上述三式不能同时取等号，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ，a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c >6， ∴b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －cc>3. 11．证明：∵a ＋b ＋c ＝1，∴(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ＝1.∵a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋c 2≥2ac ，b 2＋c 2≥2bc ，∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋ac ＋bc .∴1＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac＋2bc ≥3(ab ＋ac ＋bc )．∴ab ＋ac ＋bc ≤13.12．证明：∵a ＋b ＝1≥2ab ，∴ab ≤14，∴(a ＋1a )(b ＋1b )＝a 2＋1a ·b 2＋1b ＝1－ab2＋a ＋b2ab≥1－142＋114＝254.。
高中数学必修五北师大版 不等关系 作业(含答案)1
第3章 1(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．设x ＜a ＜0，则下列不等式一定成立的是( ) A ．x 2＜ax ＜a 2 B ．x 2＞ax ＞a 2 C ．x 2＜a 2＜axD ．x 2＞a 2＞ax解析： ∵x ＜a ＜0，∴x 2＞a 2. ∵x 2－ax ＝x (x －a )＞0，∴x 2＞ax . 又ax －a 2＝a (x －a )＞0，∴ax ＞a 2. ∴x 2＞ax ＞a 2. 答案： B2．设a ，b ，c ，d ∈R 且a ＞b ，c ＞d ，则下列结论中正确的是( ) A ．ac 2＞bc 2 B ．a ＋c ＞b ＋d C ．ad ＜bdD ．a 2＞b 2 解析： 对于A ，若c ＝0，则A 不成立；对于B ，正确．对于C ，若d 为正数，则C 不正确；对于D ，若a ，b 为负数，则D 不正确，综上选B.答案： B3．若a ＞b ＞c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式中正确的是( ) A ．ab ＞ac B ．ac ＞bc C ．a |b |＞c |b |D ．a 2＞b 2＞c 2解析： 由a ＞b ＞c 及a ＋b ＋c ＝0知a ＞0，c ＜0，⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0b ＞c ⇒ab ＞ac . 答案： A4．若α，β满足－π2<α<β<π2，则2α－β的取值范围是( )A ．－π<2α－β<0B ．－π<2α－β<πC ．－3π2<2α－β<π2D ．0<2α－β<π解析： ∵－π2<α<π2，又－π2<－β<π2，且α<β，∴－π<α－β<0，∴－3π2<2α－β<π2.答案： C二、填空题(每小题5分，共10分)5．如图所示的两种广告牌，其中图(1)是由两个等腰直角三角形构成的，图(2)是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种关系用含字母a ，b (a ≠b )的不等式表示出来________．答案： 12(a 2＋b 2)＞ab6．设x ＞1，－1＜y ＜0，试将x ，y ，－y ，－xy 按从小到大的顺序排列如下：__________. 解析： ∵－1＜y ＜0，∴0＜－y ＜1，∴y ＜－y ，又x ＞1， ∴－xy ＜x ，－xy ＞－y ， ∴y ＜－y ＜－xy ＜x . 答案： y ＜－y ＜－xy ＜x三、解答题(每小题10分，共20分)7．学生若干人，住若干宿舍，如果每间住4人，那么还余19人，如果每间住6人，那么一间不满也不空，求宿舍间数和学生人数．解析： 设宿舍x 间，则学生(4x ＋19)人，依题意，⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋19＜6x ，4x ＋19＞6(x －1).解得：192＜x ＜252.∵x ∈N ＋，∴x ＝10,11或12.学生人数为：59,63,67. 故宿舍间数和学生人数分别为10间59人， 11间63人或12间67人．8．已知－π2≤α＜β≤π2，求α＋β2，α－β2的取值范围．解析： 因为－π2≤α＜β≤π2，所以－π4≤α2＜π4，－π4＜β2≤π4. 两式相加，得－π2＜α＋β2＜π2.因为－π4＜β2≤π4，所以－π4≤－β2＜π4，则－π2≤α－β2＜π2.又α＜β，所以α－β2＜0，则－π2≤α－β2＜0.尖子生题库 ☆☆☆9．(10分)已知m ∈R ，a >b >1，f (x )＝mx x －1，试比较f (a )与f (b )的大小．解析： f (x )＝mxx －1＝m ⎝⎛⎭⎫1＋1x －1.f (a )＝m ⎝⎛⎭⎫1＋1a －1，f (b )＝m ⎝⎛⎭⎫1＋1b －1.∵a >b >1，∴a －1>b －1>0， ∴1＋1a －1<1＋1b －1.①当m >0时，m ⎝⎛⎭⎫1＋1a －1<m ⎝⎛⎭⎫1＋1b －1，即f (a )<f (b )；②当m ＝0时，f (a )＝f (b )；③当m <0时，m ⎝⎛⎭⎫1＋1a －1>m ⎝⎛⎭⎫1＋1b －1，即f (a )>f (b )．综上所述，当m >0时，f (a )<f (b )； 当m ＝0时，f (a )＝f (b )； 当m <0时，f (a )>f (b )．。
北师大数学必修五课时分层作业 不等关系 不等关系与不等式 含解析
课时分层作业(十五)(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x 不低于95分，文化课总分y 高于380分，体育成绩z 超过45分，用不等式表示就是( )A ．⎩⎨⎧x ≥95y ≥380z ＞45B ．⎩⎨⎧x ≥95y ＞380z ≥45C ．⎩⎪⎨⎪⎧x >95y >380z >45D ．⎩⎨⎧x ≥95y >380z >45D [“不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超过”即“>”，∴x ≥95，y >380，z >45.] 2．设0＜b ＜a ＜1，则下列不等式成立的是( )A ．ab ＜b 2＜1B ．log b ＜log a ＜0C ．2b ＜2a ＜2D ．a 2＜ab ＜1C [设a ＝23，b ＝13，验证即得A 、D 错误；结合y ＝x ，y ＝2x 的单调性得B 错误，C 正确．]3．已知a <0，b <－1，则下列不等式成立的是( ) A ．a ＞a b >ab 2 B ．a b 2＞a b ＞a C ．a b ＞a ＞a b 2D ．a b ＞a b 2＞aD [取a ＝－2，b ＝－2，则a b ＝1，a b 2＝－12， ∴a b >ab 2>a .]4．已知m ＝x 2＋2x ，n ＝3x ＋2，则( ) A ．m >nB ．m <nC ．m ＝nD ．m 与n 的大小不能确定D [m －n ＝x 2＋2x －(3x ＋2)＝x 2－x －2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－94≥－94，∵m －n 无法判断与0的大小，∴m 与n 的大小不能确定．]5．已知四个条件：①b ＞0＞a ，②0＞a ＞b ，③a ＞0＞b ，④a ＞b ＞0，能推出1a ＜1b 成立的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个C [①中，a ＜0＜b ，∴1a ＜1b ，②中，b ＜a ＜0， ∴1a ＜1b ，④中a ＞b ＞0，∴1a ＜1b ， 故①②④三个均可推得1a ＜1b .] 二、填空题6．某种植物适宜生长的温度为18 ℃～20 ℃的山区，已知山区海拔每升高100 m ，气温下降0.55 ℃.现测得山脚下的平均气温为22 ℃，用不等式表示该植物种在山区适宜的高度为________(不求解)．18≤22－0.55x100≤20 [设该植物适宜的种植高度为x m ，由题意，得18≤22－0.55x100≤20.]7．若－1≤a ≤3,1≤b ≤2，则a －b 的范围为________． [－3,2] [∵－1≤a ≤3，－2≤－b ≤－1， ∴－3≤a －b ≤2.]8．比较大小：(x ＋5)(x ＋7)________(x ＋6)2.＜ [(x ＋5)(x ＋7)－(x ＋6)2＝x 2＋12x ＋35－(x 2＋12x ＋36)＝－1<0，所以(x ＋5)(x ＋7)＜(x ＋6)2.]三、解答题9．某用户计划购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，使用资金不超过500元，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒．问：软件数与磁盘数应满足什么条件？[解] 设软件数为x ，磁盘数为y ，根据题意可得 ⎩⎪⎨⎪⎧60x ＋70y ≤500，x ≥3且x ∈N ＋，y ≥2且y ∈N ＋.10．已知－π2<α＋β<π2，0<α－β<π4，求2α及4α＋2β的取值范围． [解] ∵－π2<α＋β<π2，0<α－β<π4，∴－π2<2α<34π， ∵4α＋2β＝3(α＋β)＋(α－β)， 又－π2<α＋β<π2，0<α－β<π4， ∴－3π2<3(α＋β)＋(α－β)<74π. ∴－32π<4α＋2β<74π.[能力提升练]1．下列命题中，一定正确的是( ) A ．若a >b ，且1a >1b ，则a >0，b <0 B ．若a >b ，b ≠0，则ab >1 C ．若a >b ，且a ＋c >b ＋d ，则c >d D ．若a >b ，且ac >bd ，则c >d A [对于A ，∵1a >1b ，∴b －a ab >0，又a >b ，∴b －a <0, ∴ab <0，∴a >0，b <0，故A 正确；对于B ，当a >0，b <0时，有ab <1，故B 错；对于C ，当a ＝10，b ＝2时，有10＋1>2＋3，但1<3，故C 错；对于D ，当a ＝－1，b ＝－2，c ＝－1，d ＝3时，有(－1)×(－1)>(－2)×3，但－1<3，故D 错．故选A ．]2．已知实数a ，b ，c 满足b －a ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c ≥b >aB ．a >c ≥bC ．c >b >aD ．a >c >bA [∵b －a ＝6－4a ＋3a 2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫a －232＋143>0，∴b >a ，∵c －b ＝4－4a ＋a 2＝(2－a )2≥0，∵c ≥b ，∴c ≥b >a .]3．已知a ，b 为非零实数，且a <b ，则下列不等式成立的是________(填序号)． ①a 2b <ab 2；②1ab 2<1a 2b ；③b a <ab .② [对于①，当a <0，b >0时，a 2b >0，ab 2<0，a 2b <ab 2不成立； 对于②，∵a <b ，1a 2b 2>0，∴1ab 2<1a 2b ，故成立； 对于③，当a ＝－1，b ＝1时， b a ＝ab ＝－1，故不成立．]4．已知实数x ，y 满足－4≤x －y ≤－1，－1≤4x －y ≤5，则9x －3y 的取值范围是________．[－6,9] [设9x －3y ＝a (x －y )＋b (4x －y )＝(a ＋4b )x －(a ＋b )y ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋4b ＝9，a ＋b ＝3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，∴9x －3y ＝(x －y )＋2(4x －y )，∵－1≤4x －y ≤5， ∴－2≤2(4x －y )≤10，又－4≤x －y ≤－1，∴－6≤9x －3y ≤9.] 5．(1)比较x 2＋3与3x 的大小．(2)已知a ，b 为正数，且a ≠b ，比较a 3＋b 3与a 2b ＋ab 2的大小． [解] (1)(x 2＋3)－3x ＝x 2－3x ＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋34≥34>0，所以x 2＋3>3x . (2)(a 3＋b 3)－(a 2b ＋ab 2) ＝a 3＋b 3－a 2b －ab 2 ＝a 2(a －b )－b 2(a －b ) ＝(a －b )(a 2－b 2) ＝(a －b )2(a ＋b )． 因为a >0，b >0，且a ≠b ， 所以(a －b )2>0，a ＋b >0， 所以(a 3＋b 3)－(a 2b ＋ab 2)>0， 即a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2.。
高中数学北师大版必修5同步精练：3.1不等关系 Word版含答案
1．1不等关系基础巩固1实数x大于10，用不等式表示为()A．x＜10B．x≤10C．x＞10 D．x≥102实数x的绝对值不大于2，用不等式表示为…()A．|x|＞2B．|x|≥2C．|x|＜2D．|x|≤23某同学拿50元钱买纪念邮票，票面8角的每套5张，票面2元的每套4张，如果每种至少买两套，则买票面8角的与买票面2元的不等关系为__________．4预算用2000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，用不等式表示上述不等关系为__________．5用不等式表示下列不等关系：(1)今天的天气预报说：明天早晨最低温度为7℃，明天白天的最高温度为13℃；(2)△ABC的两边之和大于第三边；(3)a是一个非正实数．综合过关6韩日“世界杯”期间，重庆球迷一行56人从旅馆乘出租车到球场为中国队加油，现有A、B两个出租车队，A队比B队少3辆车．若全部安排乘A队的车，每辆车坐5人，车不够，每辆车坐6人，有的车未坐满；若全部安排乘B队的车，每辆车坐4人，车不够，每辆车坐5人，有的车未坐满．试用不等式表示上述不等关系．能力提升7建网就等于建一所学校．某中学为加强现代信息技术教学，拟投资建一个初级计算机房和一个高级计算机房，每个计算机房只配置1台教师用机，若干台学生用机．其中初级机房教师用机每台8000元，学生用机每台3500元；高级机房教师用机每台11500元，学生用机每台7000元．已知两机房购买计算机的总钱数相同，且每个机房购买计算机的总钱数不少于20万元也不超过21万元．试表示上述关系．参考答案1答案：C2答案：D3答案：设买票面8角的x 套，买票面2元的y 套，由题意列不等式组，注意x 、y ∈N .⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2，x ∈N ，y ≥2，y ∈N ，0.8×5x ＋2×4y ≤504答案：设购买桌子和椅子的数目分别为x 、y ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 50x ＋20y ≤2000，x ≤y ，y ≤1.5x ，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N5分析：(1)利用最低和最高列出不等关系；(2)利用“大于”列出不等关系；(3)非负实数即大于或等于零． 解：(1)设明天的温度为x ℃，则⎩⎪⎨⎪⎧x ≥7，x ≤13，即7≤x ≤13. (2)设△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，则a ＋b ＞c 且a ＋c ＞b 且b ＋c ＞a .(3)a ≤0.6解：设A 队有出租车x 辆，则B 队有出租车(x ＋3)辆， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 5x ＜56，6x ＞56，4(x ＋3)＜56，5(x ＋3)＞56.7解：设该校拟建的初级机房有x 台计算机、高级机房有y 台计算机，则⎩⎪⎨⎪⎧ 0.8＋0.35(x －1)＝1.15＋0.7(y －1)，20≤0.8＋0.35(x －1)≤21，20≤1.15＋0.7(y －1)≤21.1.2 比较大小基础巩固1已知a ＞b 、c ＞d ，且c 、d 不为0，那么下列不等式成立的是( )A ．ad ＞bcB ．ac ＞bdC ．a －c ＞b －dD ．a ＋c ＞b ＋d2若a 、b 、c ∈R ，且a ＞b ，则下列不等式中一定成立的是( )A ．a ＋b ≥b －cB ．ac ≥bcC.c 2a －b＞0D ．(a －b )c 2≥0 3已知a ＋b ＞0，b ＜0，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系是( )A ．a ＞b ＞－b ＞－aB ．a ＞－b ＞－a ＞bC ．a ＞－b ＞b ＞－aD ．a ＞b ＞－a ＞－b4比较2m 2＋3m －1与m 2＋4m －1的大小．5已知x ≤1，比较3x 3与3x 2－x ＋1的大小．6已知a ＞b ＞0，m ＞0，求证：b a ＜b ＋m a ＋m. 7比较3＋7与25的大小．8已知a 、b 、x 、y 都为正数，且1a ＞1b ，x ＞y ，求证：x x ＋a ＞y y ＋b. 9有一所学校原来是一个长方形布局，市政府对这所学校进行规划，要改成正方形布局，但要求要么保持原面积不变，要么保持原周长不变，那么这所学校应选哪种布局最有利？ 10若a ≥1，试比较M ＝a ＋1－a 与N ＝a －a －1的大小．综合过关11已知角α，β，－π2＜α＜β＜π2，求α－β的取值范围． 12现有甲、乙两家旅行社对家庭旅游提出优惠方案．甲旅行社提出：如果户主买全票一张，其余人可享受5.5折优惠；乙旅行社提出：家庭旅游算集体票，按7.5折优惠．如果这两家旅行社的原价相同，那么哪家旅行社价格更优惠？13已知0＜x ＜1，比较m ＝|lg(1－x )|与n ＝|lg(1＋x )|的大小．能力提升14已知三个不等式：①ab ＞0，②c a ＞d b，③bc ＞ad .以其中的两个作为条件，余下的一个作为结论，写出所有能成立的不等式命题，并证明．参考答案1解析：直接利用不等式的性质有a ＋c ＞b ＋d .答案：D2解析：∵a ＞b ，∴a －b ＞0.A 中，当c ＝0时，(a ＋b )－(b －c )＝a ，由于a ∈R ，则A 不成立；B 中，ac －bc ＝c (a －b )，由于c ∈R ，则B 不成立；C 中，由于c ∈R ，则c 2≥0，∴c 2a －b≥0，则C 不成立；D 中，a －b ＞0，c 2≥0，∴(a －b )c 2≥0，则D 成立． 答案：D3解析：取满足条件的a ＝3，b ＝－1，则a ＞－b ＞b ＞－a .答案：C4分析：利用作差比较法来比较大小．解：(2m 2＋3m －1)－(m 2＋4m －1)＝m 2－m ＝m (m －1)，当m ＝0或m ＝1时，2m 2＋3m －1＝m 2＋4m －1；当0＜m ＜1时，2m 2＋3m －1＜m 2＋4m －1；当m ＜0或m ＞1时，2m 2＋3m －1＞m 2＋4m －1.5解：∵3x 3－(3x 2－x ＋1)＝(3x 3－3x 2)＋(x －1)＝3x 2(x －1)＋(x －1)＝(x －1)(3x 2＋1)，∵x ≤1，∴x －1≤0.又3x 2＋1＞0，∴(x －1)(3x 2＋1)≤0.∴3x 3≤3x 2－x ＋1.6分析：两代数式作差，根据差的符号得到结论．证明：b a －b ＋m a ＋m ＝b (a ＋m )－a (b ＋m )a (a ＋m )＝bm －am a (a ＋m )＝m (b －a )a (a ＋m ). ∵a ＞b ＞0，m ＞0，∴b －a ＜0，a ＋m ＞0.∴m (b －a )a (a ＋m )＜0. ∴b a ＜b ＋m a ＋m. 7分析：平方后再作差．解：(3＋7)2－(25)2＝(10＋221)－20 ＝84－100＜0，∴(3＋7)2＜(25)2. ∴3＋7＜2 5.8证明：x x ＋a －y y ＋b ＝x (y ＋b )－y (x ＋a )(x ＋a )(y ＋b )＝bx －ay (x ＋a )(y ＋b ). ∵1a ＞1b＞0，x ＞y ＞0， ∴b ＞a ＞0，x ＞y ＞0，∴bx ＞ay ＞0，即bx －ay ＞0.又x ＋a ＞0，y ＋b ＞0，∴bx －ay(x ＋a )(y ＋b )＞0，即x x ＋a ＞y y ＋b . 9分析：哪种布局对这所学校最有利，关键是看哪种布局使得学校的面积更大． 解：设这所学校原来的长方形布局的长为a ，宽为b (a ≠0)．若保持原面积不变，则规划后的正方形面积为ab .若保持原周长不变，则规划后的正方形周长为2(a ＋b )，所以其正方形的边长为a ＋b 2，其面积为(a ＋b 2)2.由于ab －(a ＋b 2)2＝－(a －b )24＜0(a ≠b )，所以ab ＜(a ＋b 2)2. 故保持原周长不变的方案最有利．10分析：直接作差，用有理化的方法变形并判断符号．解：M －N ＝(a ＋1－a )－(a －a －1) ＝1a ＋1＋a －1a ＋a －1 ＝(a ＋a －1)－(a ＋1＋a )(a ＋1＋a )(a ＋a －1) ＝a －1－a ＋1(a ＋1＋a )(a ＋a －1).∵a ≥1，∴(a ＋1＋a )(a ＋a －1)＞0.a －1＜a ＋1.∴M －N ＜0，即M ＜N . 11分析：利用不等式的性质来求．解：∵α＜β，∴α－β＜0.∵β＜π2，∴－β＞－π2. 又∵α＞－π2， ∴α－β＞－π2－π2＝－π. ∴－π＜α－β＜0.∴α－β的取值范围是(－π，0)．12分析：将甲、乙两家旅行社收取一家人的总费用比较．解：设该家庭除户主外，还有x 人参加旅游，甲、乙两旅行社收费总额分别为y 甲，y 乙，一张全票价为a 元，则y 甲＝a ＋0.55ax ，y 乙＝0.75(x ＋1)a ，y 甲－y 乙＝(a ＋0.55ax )－0.75(x ＋1)a ＝0.2a (1.25－x )．当x ＞1.25(x ∈N ＋)时，y 甲＜y 乙；当x ＜1.25，即x ＝1时，y 甲＞y 乙．所以两口之家，乙旅行社较优惠；三口之家或多于三口的家庭，甲旅行社较优惠． 13分析：利用作差比较法比较大小，平方后再作差．解：m 2＝lg 2(1－x )，n 2＝lg 2(1＋x )，∴m 2－n 2＝lg 2(1－x )－lg 2(1＋x )＝[lg(1－x )＋lg(1＋x )][lg(1－x )－lg(1＋x )]＝lg(1－x 2)lg 1－x 1＋x . ∵0＜x ＜1，∴0＜1－x 2＜1,0＜1－x 1＋x ＜1. ∴lg(1－x 2)＜0，lg 1－x 1＋x＜0. ∴m 2＞n 2.又m ＞0，n ＞0，∴m ＞n .14分析：先写出所有可能的命题，然后再证明每个命题是否正确．解：以其中的两个作为条件，余下的一个作为结论，共有三个命题，依次是①②⇒③；②③⇒①；①③⇒②.(1)c a －d b ＝bc －ad ab＞0， ∵ab ＞0，c a ＞d b，∴bc －ad ＞0，即bc ＞ad . 故命题：①②⇒③是正确的．(2)∵c a －d b ＝bc －ad ab＞0，且bc ＞ad ， ∴ab ＞0.故命题：②③⇒①是正确的．(3)∵c a －d b ＝bc －ad ab，且ab ＞0，bc ＞ad ， ∴bc －ad ab ＞0，即c a －d b＞0. 故命题：①③⇒②是正确的．综上，命题①②⇒③；②③⇒①；①③⇒②都是正确的．。
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(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．设a ，b ，c ，d ∈R 且a ＞b ，c ＞d ，则下列结论中正确的是( )
A ．ac 2＞bc 2
B ．a ＋c ＞b ＋d
C ．ad ＜bd
D ．a 2＞b 2
解析： 对于A ，若c ＝0，则A 不成立；对于B ，正确．对于C ，若d 为正数，则C 不正确；对于D ，若a ，b 为负数，则D 不正确，综上选B.
答案： B
2．若a ＞b ＞c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式中正确的是( )
A ．ab ＞ac
B ．ac ＞bc
C ．a |b |＞c |b |
D ．a 2＞b 2＞c 2
解析： 由a ＞b ＞c 及a ＋b ＋c ＝0知a ＞0，c ＜0，
⎩⎪⎨⎪⎧
a ＞0
b ＞
c ⇒ab ＞ac . 答案： A
3．若α，β满足－π2<α<β<π2
，则2α－β的取值范围是( ) A ．－π<2α－β<0
B ．－π<2α－β<π
C ．－3π2<2α－β<π2
D ．0<2α－β<π
解析： ∵－π2<α<π2，又－π2<－β<π2
，且α<β， ∴－π<α－β<0，∴－3π2<2α－β<π2
. 答案： C
4．若a >b >c ，a ＋b ＋c ＝0，下列不等式恒成立的是( )
A ．ac >bc
B ．ab >ac
C ．a |b |>c |b |
D ．a 2>b 2>c 2
解析： 由a >b >c ，a ＋b ＋c ＝0得a >0，c <0，
∵b >c ，∴ab >ac ，故选B.
答案： B
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．比较大小：x 2＋y 2＋z 2________2(x ＋y ＋z )－4.
解析： (x 2＋y 2＋z 2)－[2(x ＋y ＋z )－4]
＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋1>0.
答案： >
6．设x ＞1，－1＜y ＜0，试将x ，y ，－y ，－xy 按从小到大的顺序排列如下：__________.
解析： ∵－1＜y ＜0，∴0＜－y ＜1，∴y ＜－y ，又x ＞1，
∴－xy ＜x ，－xy ＞－y ，
∴y ＜－y ＜－xy ＜x .
答案： y ＜－y ＜－xy ＜x
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．学生若干人，住若干宿舍，如果每间住4人，那么还余19人，如果每间住6人，那么一间不满也不空，求宿舍间数和学生人数．
解析： 设宿舍x 间，则学生(4x ＋19)人，依题意，
⎩⎪⎨⎪⎧
4x ＋19＜6x ，4x ＋19＞6(x －1).解得192＜x ＜252. ∵x ∈N ＋，
∴x ＝10,11或12.学生人数为：59,63,67.
故宿舍间数和学生人数分别为10间59人，11间63人或12间67人．
8．已知a >b >0，c <d <0，e <0.求证：e a －c >e b －d
. 证明： ∵c <d <0，∴－c >－d >0.
∵a >b >0，∴a －c >b －d >0.
∴0<1a －c <1b －d
. 又∵e <0.∴e a －c >e b －d
. 尖子生题库 ☆☆☆
9．(10分)已知1≤a ＋b ≤5，－1≤a －b ≤3，求3a －2b 的取值范围．
解析： 设3a －2b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，
则3a －2b ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b .
从而⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3，x －y ＝－2，解得⎩⎨⎧ x ＝12，y ＝52，
∴3a －2b ＝12(a ＋b )＋52
(a －b )．
∵1≤a＋b≤5，－1≤a－b≤3，
∴1
2≤
1
2(a＋b)≤
5
2，－
5
2≤
5
2(a－b)≤
15
2，
∴－2≤3a－2b≤10.。