2014-2015学年广东省惠州市惠东县荣超中学高一(下)期中数学试卷(Word版含解析)

2014-2015学年广东省惠州市惠东县荣超中学高一（下）期中数学试卷一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）（2015春•惠东县校级期中）已知集合M={2，3，4}，N={0，2，3，5}，则M∪N 中元素的个数为（）A． 3 B． 4 C． 5 D． 6考点：并集及其运算．专题：集合．分析：由M与N，求出M与N的并集，找出并集中元素个数即可．解答：解：∵M={2，3，4}，N={0，2，3，5}，∴M∪N={0，2，3，4，5}，则M∪N中元素的个数为5，故选：C．点评：此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．2．（5分）（2011•广东）函数f（x）=+lg（1+x）的定义域是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（1，+∞）C．（﹣1，1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，+∞）考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：根据题意，结合分式与对数函数的定义域，可得，解可得答案．解答：解：根据题意，使f（x）=+lg（1+x）有意义，应满足，解可得（﹣1，1）∪（1，+∞）；故选：C．点评：本题考查函数的定义域，首先牢记常见的基本函数的定义域，如果涉及多个基本函数，取它们的交集即可．3．（5分）（2015春•惠东县校级期中）已知函数y=log a x（a＞0，a≠1）的图象经过点（4，），则a的值为（）A．16 B．C． 1 D． 2考点：对数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：把点（4，）代入函数解析式，利用待定系数法来求a的值．解答：解：把点（4，）代入函数y=log a x（a＞0，a≠1），得=log a4，则=4，故a=16．故选：A．点评：本题考查对数函数的图象与性质，对数函数的图象是对数函数的一种表达形式，形象地显示了函数的性质，为研究它的数量关系提供了“形”的直观性．属于基础题．4．（5分）（2015•广州一模）已知向量=（3，4），若|λ|=5，则实数λ的值为（）A．B． 1 C． D．±1考点：向量的模．专题：平面向量及应用．分析：由|λ|==5直接计算即可．解答：解：∵=（3，4），∴λ=（3λ，4λ），∴|λ|==5，解得|λ|=1，从而λ=±1，故选：D．点评：本题考查向量的长度的计算，属基础题．5．（5分）（2015春•惠东县校级期中）函数f（x）=﹣3x在区间[1，2]上的最小值是（）A．﹣9 B．﹣6 C．﹣3 D．﹣考点：指数型复合函数的性质及应用．专题：函数的性质及应用．分析：由指数函数的单调性可得y=3x在[1，2]递增，则函数f（x）=﹣3x在区间[1，2]上递减，可得f（2）最小．解答：解：由指数函数的单调性可得y=3x在[1，2]递增，则函数f（x）=﹣3x在区间[1，2]上递减，即有f（2）取得最小值，且为﹣9．故选：A．点评：本题考查指数函数的单调性及运用，考查运算能力，属于基础题．6．（5分）（2014•潮州二模）在△ABC中，∠A=，AB=2，且△ABC的面积为，则边AC的长为（）A． 1 B． C． 2 D． 3考点：三角形中的几何计算．专题：解三角形．分析：利用三角形的面积公式S△ABC=及已知条件即可得出．解答：解：由S△ABC===，解得b=1．∴AC=b=1．故选A．点评：熟练掌握三角形的面积计算公式是解题的关键．7．（5分）（2015春•惠东县校级期中）已知{a n}是等差数列，a1+a2+a3=3，a5+a6+a7=9，则a3=（）A．B． 1 C．D． 2考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知数据可得数列的首项和公差，由通项公式可得a3解答：解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1+a2+a3=3，a5+a6+a7=9，∴（a5+a6+a7）﹣（a1+a2+a3）=12d=6，解得d=，∴a1+a2+a3=3a1+3d=3，∴a1=，∴a3=a1+2d=故选：C．点评：本题考查等差数列的通项公式，属基础题．8．（5分）（2015春•惠东县校级期中）将f（x）=sinx向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，则下列说法正确的是（）A．y=g（x）是奇函数B．y=g（x）的周期为πC．y=g（x）的图象关于直线x=对称D．y=g（x）的图象关于点（﹣，0）对称考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象、性质，可得结论．解答：解：将f（x）=sinx向左平移个单位，得到函数y=g（x）=sin（x+）=cosx的图象，显然它的图象关于直线x=对称，故选：C．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象、性质，属于基础题．9．（5分）（2015春•惠东县校级期中）设数列{a n}是首项为a1、公差为1的等差数列，S n为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1=（）A． 2 B．C．﹣2 D．﹣考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的求和公式和等比数列可得关于a1的方程，解方程可得．解答：解：由题意可得S22=S1•S4，∴（2a1+1）2=a1•（4a1+6），解得a1=，故选：B．点评：本题考查等差数列的求和公式和等比数列，属基础题．10．（5分）（2015春•惠东县校级期中）设数列{a n}是首项为1的等比数列，若{}是等差数列，则（+）+（+）+…（+）的值等于（）A．2014 B．2015 C．3020 D． 3021考点：数列的求和；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：根据等比数列和等差数列的性质进行推导，求出a n=1，然后进行求和即可．解答：解：设等比数列{a n}的公比为q，a1=1，∴a n=q n﹣1，∴=∵{}是等差数列，∴2×，整理，得q2﹣2q+1=0，解得q=1，∴a n=1，∴2a n+a n+1=3，∴（+）+（+）+…（+）=+++…+=×2014=3021．故选：D．点评：本题考查等差数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的灵活运用．二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）11．（5分）（2015春•惠东县校级期中）若是函数f（x）=sinx+acosx（x∈R）的一个零点，则a的值为﹣1．考点：函数的零点与方程根的关系．专题：函数的性质及应用．分析：利用零点，代入方程化简求解即可．解答：解：是函数f（x）=sinx+acosx（x∈R）的一个零点，可得f（）=，解得a=﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查函数的零点的应用，基本知识的考查．12．（5分）（2012•北京）在△ABC中，若a=3，b=，，则∠C的大小为．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：利用正弦定理=，可求得∠B，从而可得∠C的大小．解答：解：∵△ABC中，a=3，b=，，∴由正弦定理=得：=，∴sin∠B=．又b＜a，∴∠B＜∠A=．∴∠B=．∴∠C=π﹣﹣=．故答案为：．点评：本题考查正弦定理，求得∠B是关键，易错点在于忽视“△中大变对大角，小边对小角”结论的应用，属于基础题．13．（5分）（2014•广东）等比数列{a n}的各项均为正数，且a1a5=4，则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=5．考点：等比数列的性质；对数的运算性质；等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：可先由等比数列的性质求出a3=2，再根据性质化简log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=5log2a3，代入即可求出答案．解答：解：log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=log2a1a2a3a4a5=log2a35=5log2a3．又等比数列{a n}中，a1a5=4，即a3=2．故5log2a3=5log22=5．故选为：5．点评：本题考查等比数列的性质，灵活运用性质变形求值是关键，本题是数列的基本题，较易．14．（5分）（2015春•惠东县校级期中）已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且acosB+bcosA=3a，则=3．考点：正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：先利用正弦定理把a和b的表达式代入acosB+bcosA中，利用了两角和公式化简整理，求得acosB+bcosA=2RsinC，进而把2RsinC转化成边，即可得解．解答：解：由正弦定理得：，∴左=acosB+bcosA=2RsinAcosB+2RsinBcosA=2Rsin（B+A）=2RsinC=c=右=3a，∴=3．故答案为：3．点评：本题主要考查了正弦定理的应用．解题的关键是利用正弦定理完成了边角问题的互化，属于基本知识的考查．三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．（12分）（2015春•惠东县校级期中）已知向量=（1，2），=（﹣3，4）．（1）求+；（2）若⊥（+λ），求实数λ的值．考点：平面向量数量积的运算；数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：平面向量及应用．分析：（1）利用向量坐标的加法法则求解即可．（2）+λ=（1﹣3λ，2+4λ），利用向量的数量积为0即可求解λ值．解答：解：向量=（1，2），=（﹣3，4）．（1）+=（1﹣3，2+4）=（﹣2，6），（2）+λ=（1﹣3λ，2+4λ），∵⊥（+λ），∴•（+λ）=0，即1﹣3λ+4+8λ=05+5λ=0，λ=﹣1，故实数λ的值为﹣1．点评：本题考察了平面向量的坐标的运算，运用运算公式准确求解即可，属于容易题．16．（13分）（2015春•惠东县校级期中）已知函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0，x∈R）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）若0＜α＜，f（）=，求cosα的值．考点：三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（1）由三角函数的周期性及其求法即可求解．（2）由题意可求sin（α）的值，结合范围可求cos（α）的值，由cosα=cos[（α）﹣]，利用两角差的余弦函数公式即可求值．解答：解：（1）∵函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0，x∈R）的最小正周期为π．∴可得，解得：ω=2．（2）∵0＜α＜，f（）=2sin（2×+）=2sin（α）=，∴＜α＜，sin（α）=，∴cos（α）==，∴cosα=cos[（α）﹣]=cos（α）cos+sin（α）sin==．点评：本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，同角三角函数关系式的应用，两角差的余弦函数公式的应用，属于基本知识的考查．17．（13分）（2015春•惠东县校级期中）在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若b=1，c=2，B+C=3A，（Ⅰ）求边a；（Ⅱ）求tan（B+）考点：余弦定理；两角和与差的正切函数；正弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）由已知易得A=，由余弦定理可得a值；（Ⅱ）由正余弦定理分别可得可得sinB和cosB的值，可得tanB的值，代入tan（B+）=，计算可得．解答：解：（Ⅰ）∵在三角形ABC中b=1，c=2，B+C=3A，∴A=，∴a2=b2+c2﹣2bccosA=5，∴a=（Ⅱ）由正弦定理可得sinB==，∴由余弦定理可得cosB==，∴tanB===，∴tan（B+）===2点评：本题考查正余弦定理的应用，属中档题．18．（14分）（2015春•惠东县校级期中）已知数列{a n}的前n项前S n=﹣n2+kn（其中k∈N+），且a1=．（1）求k的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）求数列{9+2a n}的前n项和T n．考点：数列的求和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（1）由S1=﹣×12+k=a1=得k=4；（2）由（1）知S n=﹣n2+4n，从而求通项公式；（3）化简b n=9+2a n=9+2（﹣n+）=18﹣2n；从而求前n项和T n．解答：解：（1）由题意得，S1=﹣×12+k=a1=，解得，k=4；（2）由（1）知S n=﹣n2+4n，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（﹣n2+4n）﹣（﹣（n﹣1）2+4（n﹣1））=﹣n+；a1=也满足a n=﹣n+；故数列{a n}的通项公式a n=﹣n+；（3）令b n=9+2a n=9+2（﹣n+）=18﹣2n；故T n=n=﹣n2+17n．点评：本题考查了数列的前n项和的求法及通项公式的求法，属于基础题．19．（14分）（2015•潍坊模拟）已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx（x∈R）．（Ⅰ）当x∈[0，]时，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c=3，f（C）=2，若向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，求a，b的值．考点：正弦定理；平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的运算．专题：解三角形．分析：（I）利用三角函数的恒等变换化简f（x）的解析式为．令，k∈z，求得x的范围，结合，可得f（x）的递增区间．（Ⅱ）由f（C）=2，求得，结合C的范围求得C的值．根据向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，可得，故有=①，再由余弦定理得9=a2+b2﹣ab ②，由①②求得a、b的值．解答：解：（I）∵==．令，解得，即，∵，∴f（x）的递增区间为．（Ⅱ）由，得．而C∈（0，π），∴，∴，可得．∵向量向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，∴，由正弦定理得：=①．由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2ab•cosC，即9=a2+b2﹣ab ②，由①、②解得．点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的增区间，正弦定理、余弦定理的应用，两个向量共线的性质，属于中档题．20．（14分）（2015春•惠东县校级期中）已知函数的f（x）=图象经过点（4，8）．（1）求该函数的解析式；（2）数列{a n}中，若a1=1，S n为数列{a n}的前n项和，且满足a n=f（S n）（n≥2），证明数列{}成等差数列，并求数列{a n}的通项公式．考点：数列与函数的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由函数f（x）=的图象经过点（4，8）得m=﹣2，由此能求出函数的解析式．（2）由已知条件推导出数列{}是首项为1，公差为的等差数列，从而S n=，由此能求出a n．解答：（1）解：由函数f（x）=的图象经过点（4，8）得：m=﹣2，函数的解析式为f（x）=．…..（2分）（2）证明：由已知，当n≥2时，a n=f（S n），即a n=．又S n=a1+a2+…+a n，所以S n﹣S n﹣1=，即2S n+S n•S n﹣1=2S n﹣1，…..（5分）所以﹣=，…..（7分）又S1=a1=1．所以数列{}是首项为1，公差为的等差数列．由上可知=1+（n﹣1）=，即S n=．…..（10分）所以当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣=﹣．因此a n=…..（12分）点评：本题考查函数的解析式的求法，考查数列是等差数列的证明，考查数列的通项公式的求法，是中档题．。