11反证法专题
反证法(课件)
综合法 已知条件 分析法
结论
结论 由因导果 已知条件 执果索因
3、在实际解题时，两种方法如何运用？ 通常用分析法寻求思路，再由综合法书写过程
探究2：深度挖掘——了解反证法
反证法的证题步骤： （1）假设命题的结论不成立，即假设 结论的反面成立；-（2）从这个假设出发，经过推理论证， 得出矛盾； （3）从矛盾判定假设不正确，从而肯 定命题的结论成立;
王戎回答说:“假如李子不苦的话，早被 路人摘光了，而这树上却结满了李子，所 以李子一定是苦的。”小伙伴摘取一个尝 了一下,果然是苦李.
思考？
A、B、C三个人，A说B撒谎，B说 C撒谎，C说A、B都撒谎。则C必定 是在撒谎，为什么？
分析:假设C没有撒谎, 则C真. - - -- -那么A假且B假; 由 A假 , 知 B真 . 这与B假矛盾. 那么假设C没有撒谎不成立; 则C必定是在撒谎.
与已知a b 0矛盾 与已知a b 0矛盾 （2）若 a = b a = b，
所以假设错误，故原命题
a b
成立
注：当结论的反面不止一种情况时，该怎么办？
提升训练
探究3：生活中有运用反证法思想的例子吗?
道 旁 苦 李
王戎七岁时，爱和小朋友结伴玩耍。一 天，他们发现路边的一棵树上结满了李子， 小朋友一哄而上去摘李子，独有王戎没动。 等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！ 他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的
王戎是怎么知 道李子是苦的呢? 他运用了怎样的
推理方法?
Байду номын сангаас
例2：在同一平面内，两条直线a,b都和直线c 垂直，求证：a与b平行
反证法证明题
反证法证明题例1. 已知A ∠，B ∠，C ∠为ABC ∆内角.求证：A ∠，B ∠，C ∠中至少有一个不小于60o.证明：假设ABC ∆的三个内角A ∠，B ∠，C ∠都小于60o， 即A ∠<60o ，B ∠<60o ，C ∠<60o， 所以O180A B C ∠+∠+∠<， 与三角形内角和等于180o矛盾， 所以假设不成立，所求证结论成立.例2. 已知0a ≠，证明x 的方程ax b =有且只有一个根. 证明：由于0a ≠，因此方程ax b =至少有一个根b x a=. 假设方程ax b =至少存在两个根，不妨设两根分别为12,x x 且12x x ≠， 则12,ax b ax b ==， 所以12ax ax =， 所以12()0a x x -=.因为12x x ≠，所以120x x -≠， 所以0a =，与已知0a ≠矛盾， 所以假设不成立，所求证结论成立.例3. 已知332,a b +=求证2a b +≤. 证明：假设2a b +>，则有2a b >-，所以33(2)a b >-即3238126a b b b >-+-，所以323281266(1)2a b b b b >-+-=-+. 因为26(1)22b -+≥所以332a b +>，与已知332a b +=矛盾. 所以假设不成立，所求证结论成立.例4. 设{}n a 是公比为的等比数列，n S 为它的前n 项和.求证：{}n S 不是等比数列.证明：假设是{}n S 等比数列，则2213S S S =⋅，即222111(1)(1)a q a a q q +=⋅++.因为等比数列10a ≠，所以22(1)1q q q +=++即0q =，与等比数列0q ≠矛盾， 所以假设不成立，所求证结论成立.例5. 证明2是无理数.证明：假设2是有理数，则存在互为质数的整数m ，n 使得2m n=. 所以2m n =即222m n =，所以2m 为偶数，所以m 为偶数. 所以设*2()m k k N =∈， 从而有2242k n =即222n k =. 所以2n 也为偶数，所以n 为偶数. 与m ，n 互为质数矛盾.所以假设不成立，所求证2是无理数成立.例6. 已知直线,a b 和平面，如果,a b αα⊄⊂，且//a b ，求证//a α。
中考真题——反证法综合训练
2014年中考真题——反证法综合训练1．反证法的概念：不直接从题设推出结论,而是从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫做反证法。
2．反证法的基本思路：首先假设所要证明的结论不成立，然后再在这个假定条件下进行一系列的正确逻辑推理，直至得出一个矛盾的结论来，并据此否定原先的假设，从而确认所要证明的结论成立。
这里所说的矛盾是指与题目中所给的已知条件矛盾，或是与数学中已知定理、公理和定义相矛盾，还可以是与日常生活中的事实相矛盾,甚至还可以是从两个不同角度进行推理所得出的结论之间相互矛盾(即自相矛盾).3．反证法的一般步骤：(1)假设命题的结论不成立;(2)从这个假设出发,经过推理论证得出矛盾；(3)由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确简而言之就是“反设－归谬－结论”三步曲。
2014年中考真题——反证法综合训练一．选择题(共10小题)1．（2014•金华模拟）要证明命题“若a＞b,则a2＞b2”是假命题，下列a，b的值不能作为反例的是（）A．a=1，b=﹣2 B．a=0，b=﹣1 C．a=﹣1，b=﹣2 D．a=2，b=﹣12．（2013•温州模拟）选择用反证法证明“已知：在△ABC中，∠C=90°．求证：∠A,∠B中至少有一个角不大于45°．”时，应先假设（)A．∠A＞45°，∠B＞45°B．∠A≥45°，∠B≥45°C．∠A＜45°，∠B＜45°D．∠A≤45°，∠B≤45°3．（2013•北仑区二模）用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设（）A．有一个锐角小于45°B．每一个锐角都小于45°C．有一个锐角大于45°D．每一个锐角都大于45°4．(2012•温州)下列选项中,可以用来证明命题“若a2＞1,则a＞1”是假命题的反例是（）A．a=﹣2 B．a=﹣1 C．a=1 D．a=25．（2012•金东区一模）以下可以用来证明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例为（)A．3B．4C．8D．66．反证法证明“三角形中至少有一个角不小于60°”先应假设这个三角形中（）A．有一个内角小于60°B．每个内角都小于60°C．有一个内角大于60°D．每个内角都大于60°7．用反证法证明“在同一平面内,若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设（）A．a不垂直于c B．a,b都不垂直于c C．a⊥b D．a与b相交8．用反证法证明“三角形的三个外角中至少有两个钝角”时,假设正确的是（)A．假设三个外角都是锐角B．假设至少有一个钝角C．假设三个外角都是钝角D．假设三个外角中只有一个钝角9．用反证法证明“若a⊥c,b⊥c，则a∥b”，第一步应假设（)A．a∥b B．a与b垂直C．a与b不一定平行D．a与b相交10．用反证法证明：a,b至少有一个为0，应该假设(）A．a，b没有一个为0 B．a，b只有一个为0 C．a，b至多一个为0 D．a，b两个都为0二．填空题（共5小题）11．（2014•南安市二模）用反证法证明一个三角形中不能有两个角是直角的第一步是假设这个三角形中_________．12．（2010•北仑区模拟）用反证法证明“如果同位角不相等，那么这两条直线不平行"的第一步应假设_________．13．用反证法证明“若｜a｜≠|b|,则a≠b．”时,应假设_________．14．写出命题“若a2=b2，则a=b”是假命题的反例是_________．15．为了说明命题“等腰三角形腰上的高小于腰”是假命题，可以找的反例是_________．三．解答题（共10小题）16．（2010•鞍山）用反证法证明：等腰三角形的底角是锐角．17．(2006•新疆）试用举反例的方法说明下列命题是假命题．举例:如果ab＜0,那么a+b＜0反例:设a=4，b=﹣3，ab=4×（﹣3）=﹣12＜0,而a+b=4+(﹣3）=1＞0所以,这个命题是假命题．（1)如果a+b＞0，那么ab＞0;反例：（2）如果a是无理数，b是无理数，那么a+b是无理数．反例：（3)两个三角形中，两边及其中一边的对角对应相等，则这两个三角形全等．反例：（画出图形，并加以说明）18．已知：在△ABC中，AB=AC．求证：∠B，∠C不可能等于90°．19．如图，在△ABC中,AB＞AC,AD是内角平分线,AM是BC边上的中线，求证:点M不与点D重合．20．判断下列命题的真假,并给出证明（若是真命题给出证明，若是假命题举出反例）：(1）若，则a=3;（2）如图，已知BE⊥AD，CF⊥AD,垂足分别为点E，F,且BE=CF．则AD是△ABC的中线．21．用反证法证明“三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于60°”．已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角．求证：∠A,∠B，∠C中至少有一个内角小于或等于60°．证明:假设求证的结论不成立，那么_________∴∠A+∠B+∠C＞_________这与三角形_________相矛盾．∴假设不成立∴_________．22．如图,在△ABC中,AB=AC，P是△ABC内的一点，且∠APB＞∠APC，求证:PB＜PC(反证法）23．证明题：如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠APB≠∠APC，求证：PB≠PC．24．如图所示，在△ABC中，AB＞AC，AD是内角平分线,AM是BC边上的中线，求证：点M不在线段CD上．25．用反证法证明下列问题：如图,在△ABC中，点D、E分别在AC、AB上,BD、CE相交于点O．求证：BD和CE不可能互相平分．2014年中考真题-—反证法综合训练参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．(2014•金华模拟）要证明命题“若a＞b，则a2＞b2”是假命题，下列a，b的值不能作为反例的是（）A．a=1，b=﹣2 B．a=0,b=﹣1 C．a=﹣1,b=﹣2 D．a=2，b=﹣1分析：根据要证明一个结论不成立,可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题，分别代入数据算出即可．解答:解:∵a=1,b=﹣2时，a=0，b=﹣1时，a=﹣1，b=﹣2时，a＞b，则a2＜b2，∴说明A，B，C都能证明“若a＞b，则a2＞b2"是假命题,故A,B,C不符合题意，只有a=2，b=﹣1时，“若a＞b,则a2＞b2”是真命题，故此时a,b的值不能作为反例．故选：D．2．（2013•温州模拟）选择用反证法证明“已知:在△ABC中,∠C=90°．求证：∠A，∠B中至少有一个角不大于45°．”时,应先假设（)A．∠A＞45°，∠B＞45°B．∠A≥45°，∠B≥45°C．∠A＜45°，∠B＜45°D．∠A≤45°，∠B≤45°分析：用反证法证明命题的真假，应先按符合题设的条件,假设题设成立,再判断得出的结论是否成立即可．解答:解:用反证法证明命题“∠A，∠B中至少有一个角不大于45°”时，应先假设∠A＞45°,∠B＞45°．故选：A．3．(2013•北仑区二模）用反证法证明命题“在直角三角形中,至少有一个锐角不大于45°”时,应先假设（）A．有一个锐角小于45°B．每一个锐角都小于45°C．有一个锐角大于45°D．每一个锐角都大于45°分析：用反证法证明命题的真假,应先按符合题设的条件，假设题设成立，再判断得出的结论是否成立即可．解答：解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时,应先假设每一个锐角都大于45°．故选D．4．（2012•温州）下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞1,则a＞1"是假命题的反例是（）A．a=﹣2 B．a=﹣1 C．a=1 D．a=2分析：根据要证明一个结论不成立,可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题．解答:解：用来证明命题“若a2＞1，则a＞1"是假命题的反例可以是:a=﹣2，∵(﹣2）2＞1，但是a=﹣2＜1,∴A正确；故选：A．5．（2012•金东区一模)以下可以用来证明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例为（）A．3B．4C．8D．6分析:反例就是符合已知条件但不满足结论的例子．可据此判断出正确的选项．解答：解:A、3不是偶数，不符合条件,故错误；B、4是偶数,且能被4整除，故错误;C、8是偶数,且是4的2倍,故错误；D、6是偶数，但是不能被4整除，故正确．故选D．6．反证法证明“三角形中至少有一个角不小于60°”先应假设这个三角形中(）A．有一个内角小于60°B．每个内角都小于60°C．有一个内角大于60°D．每个内角都大于60°分析：此题要运用反证法，由题意先假设三角形的三个角都小于60°成立．然后推出不成立．得出选项．解答：解：设三角形的三个角分别为：a，b，c．假设，a＜60°,b＜60°,c＜60°,则a+b+c＜60°+60°+60°,即，a+b+c＜180°与三角形内角和定理a+b+c=180°矛盾．所以假设不成立,即三角形中至少有一个角不小于60°．故选B．7．用反证法证明“在同一平面内,若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设(）A．a不垂直于c B．a，b都不垂直于c C．a⊥b D．a与b相交分析：用反证法解题时，要假设结论不成立，即假设a与b不平行，即a与b相交．解答:解：∵原命题“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”，用反证法时应假设结论不成立,即假设“a与b相交”．故选D．8．用反证法证明“三角形的三个外角中至少有两个钝角"时，假设正确的是（）A．假设三个外角都是锐角B．假设至少有一个钝角C．假设三个外角都是钝角D．假设三个外角中只有一个钝角分析:“至少有两个”的反面为“至多有一个",据此直接写出逆命题即可．解答:解：∵至少有两个”的反面为“至多有一个”，而反证法的假设即原命题的逆命题正确;∴应假设:三角形三个外角中至多有一个钝角，也可以假设：假设三个外角中只有一个钝角．故选：D．9．用反证法证明“若a⊥c，b⊥c,则a∥b"，第一步应假设(）A．a∥b B．a与b垂直C．a与b不一定平行D．a与b相交分析：根据反证法的步骤，直接得出即可．解答：解：∵用反证法证明“若a⊥c，b⊥c,则a∥b",∴第一步应假设：若a⊥c，b⊥c,则a、b相交．故选：D．10．用反证法证明：a,b至少有一个为0,应该假设（）A．a，b没有一个为0 B．a，b只有一个为0 C．a，b至多一个为0 D．a,b两个都为0分析：根据命题:“a、b至少有一个为0”的反面是：“a、b没有一个为0”，可得假设内容．解答：解:由于命题：“a、b至少有一个为0”的反面是：“a、b没有一个为0”,故用反证法证明：“a、b至少有一个为0”，应假设“a、b没有一个为0”，故选A．二．填空题(共5小题）11．（2014•南安市二模）用反证法证明一个三角形中不能有两个角是直角的第一步是假设这个三角形中有两个角是直角．分析:熟记反证法的步骤，直接填空即可．12．(2010•北仑区模拟）用反证法证明“如果同位角不相等，那么这两条直线不平行”的第一步应假设两直线平行．分析：本题需先根据已知条件和反证法的特点进行证明，即可求出答案．解答:证明：已知平面中有两条直线，被第三条直线所截；假设同位角不相等，则两条直线平行，同位角不相等,则有两条直线与第三直线互相相交，即为三角形．因假设与结论不相同．故假设不成立，即如果同位角不相等．那么这两条直线不平行．故答案为：两直线平行．13．用反证法证明“若|a|≠｜b｜，则a≠b．"时，应假设a=b．分析：反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．解答：解:a,b的等价关系有a=b,a≠b两种情况，因而a≠b的反面是a=b．因此用反证法证明“a≠b”时，应先假设a=b．故答案为a=b．14．写出命题“若a2=b2,则a=b"是假命题的反例是22=(﹣2）2，但是2≠﹣2等．分析：根据命题是“若a2=b2，则a=b"，举出a，b互为相反数反例即可．解答：解：∵命题是“若a2=b2，则a=b"∴假命题的反例是：∵22=（﹣2）2，但是2≠﹣2．故此命题是假命题．故答案为：22=（﹣2)2，但是2≠﹣2等．15．为了说明命题“等腰三角形腰上的高小于腰”是假命题，可以找的反例是等腰直角三角形．分析:等腰三角形腰上的高大于腰是不可能的,只能从等腰三角形腰上的高等于腰进行思考．解答：解:因为等腰直角三角形的腰上的高等于腰，则可以找出该命题的反例,即为等腰直角三角形．三．解答题（共10小题)16．（2010•鞍山）用反证法证明：等腰三角形的底角是锐角．分析:根据反证法的步骤进行证明．解答:证明：用反证法．假设等腰三角形的底角不是锐角,则大于或等于90°．根据等腰三角形的两个底角相等,则两个底角的和大于或等于180°．则该三角形的三个内角的和一定大于180°,这与三角形的内角和定理相矛盾,故假设不成立．所以等腰三角形的底角是锐角．17．(2006•新疆)试用举反例的方法说明下列命题是假命题．举例：如果ab＜0，那么a+b＜0反例：设a=4，b=﹣3，ab=4×(﹣3）=﹣12＜0,而a+b=4+（﹣3）=1＞0所以，这个命题是假命题．（1）如果a+b＞0，那么ab＞0；反例：(2）如果a是无理数，b是无理数，那么a+b是无理数．反例：（3）两个三角形中,两边及其中一边的对角对应相等，则这两个三角形全等．反例：（画出图形，并加以说明）分析：（1)此题是一道开放题，可举的例子多，但只举一例就可．如果a+b＞0，那么ab＞0;所举的反例就是，a、b一个为正数,一个为负数,且正数的绝对值大于负数．(3）此题主要是利用全等三角形的判定来证明，在这里注意,没有边边角定理．解答:解：（1)取a=2，b=﹣1,则a+b=1＞0,但ab=﹣2＜0．所以此命题是假命题．（2）取a=1+，b=1﹣，a、b均为无理数．但a+b=2是有理数，所以此命题是假命题．（3）如图所示，在△ABC与△ABD中，AB=AB，AD=AC,∠ABD=∠ABC，但△ABC与△ABD显然不全等．所以此命题是假命题．18．已知:在△ABC中，AB=AC．求证：∠B,∠C不可能等于90°．分析：首先假设∠B，∠C都等于90°，进而利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出即可．解答：证明：假设∠B,∠C都等于90°,∵AB=AC,∴∠B=∠C,又∵∠B=∠C=90°，∴∠B+∠C=180°，∴∠A+∠B+∠C＞180°，与三角形内角和定理相矛盾，∴假设不成立，即∠B,∠C不可能等于90°．19．如图，在△ABC中，AB＞AC，AD是内角平分线，AM是BC边上的中线，求证：点M不与点D重合．分析：直接证明比较困难，可采用反证法进行求解．先假设M在线段CD上，延长AM到N，使AM=MN，通过构建的全等三角形△AMC和△NMB，可得出∠MAC=∠N,AC=BN；然后通过M点的位置，求出∠N和∠BAM的大小关系,进而求出AB＜AC的结论，则假设与已知不符,故得出原结论正确．解答：解:假设点M与点D重合．延长AM到N,使AM=MN，连接BN；在△AMC和△NMB中，，∴△AMC≌△NMB(SAS)；∴∠MAC=∠MNB，BN=AC;根据M在线段CD上，则∠BAM＞∠MAC，∴∠MNB＜∠BAM，∴BN＞AB，即AC＞AB;与AB＞AC相矛盾．因而M与点D重合是错误的．所以点M与点D不重合．20．判断下列命题的真假,并给出证明（若是真命题给出证明,若是假命题举出反例）：（1)若，则a=3；（2）如图，已知BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E，F,且BE=CF．则AD是△ABC的中线．分析:(1)利用a=﹣3时，，但a≠3,得出命题错误；(2）利用已知得出△BED≌△CFD，进而求出BD=CD，得出AD是△ABC的中线．解答:（1）解:是假命题，当a=﹣3时，，但a≠3，所以命题（1）是假命题;（2）是真命题，证明:∵BE⊥AD，CF⊥AD,∴∠DFC=∠DEB=90°，在△BED和△CFD中,，∴△BED≌△CFD(AAS)∴BD=CD，∴AD是△ABC的中线，∴所以命题(2）是真命题．21．用反证法证明“三角形三个内角中,至少有一个内角小于或等于60°”．已知:∠A，∠B,∠C是△ABC的内角．求证:∠A,∠B，∠C中至少有一个内角小于或等于60°．证明：假设求证的结论不成立，那么三角形中所有角都大于60°∴∠A+∠B+∠C＞180°这与三角形的三内角和为180°相矛盾．∴假设不成立∴三角形三内角中至少有一个内角小于或等于60度．分析:根据反证法证明方法,先假设结论不成立，然后得到与定理矛盾，从而证得原结论成立．解答：证明:假设求证的结论不成立，那么三角形中所有角都大于60°，∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形的三内角和为180°相矛盾．∴假设不成立,∴三角形三内角中至少有一个内角小于或等于60度．故答案为：三角形中所有角都大于60°；180°；的三内角和为180°；三角形三内角中至少有一个内角小于或等于60度．22．如图，在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内的一点，且∠APB＞∠APC，求证:PB＜PC(反证法)分析：运用反证法进行求解:(1）假设结论PB＜PC不成立，即PB≥PC成立．（2）从假设出发推出与已知相矛盾．(3）得到假设不成立,则结论成立．解答:证明：①假设PB=PC．∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∵PB=PC，∴∠PBC=∠PCB．∴∠ABC﹣∠PBC=∠ACB﹣∠PCB，∴∠ABP=∠ACP,在△ABP和△ACP中∴△ABP≌△ACP，∴∠APB=∠APC．这与题目中给定的∠APB＞∠APC矛盾，∴PB=PC是不可能的．②假设PB＞PC，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∵PB＞PC，∴∠PCB＞∠PBC．∴∠ABC﹣∠PBC＞∠ACB﹣∠PCB，∴∠ABP＞∠ACP,又∠APB＞∠APC，∴∠ABP+∠APB＞∠ACP+∠APC，∴180°﹣∠ABP﹣∠APB＜180°﹣∠ACP﹣∠APC，∴∠BAP＜∠CAP,结合AB=AC、AP=AP，得:PB＜PC．这与假设的PB＞PC矛盾，∴PB＞PC是不可能的．综上所述，得：PB＜PC．23．证明题：如图所示,在△ABC中，AB=AC,∠APB≠∠APC，求证：PB≠PC．分析:运用反证法进行求解：(1）假设结论PB≠PC不成立,PB=PC成立．(2）从假设出发推出与已知相矛盾．（3）得到假设不成立，则结论成立．解答：证明：假设PB≠PC不成立,则PB=PC，∠PBC=∠PCB；又∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB；∴∠ABP=∠ACP；∴△ABP≌△ACP,∴∠APB=∠APC；与∠APB≠∠APC相矛盾．因而PB=PC不成立,则PB≠PC．24．如图所示，在△ABC中，AB＞AC，AD是内角平分线,AM是BC边上的中线,求证:点M不在线段CD上．分析：直接证明比较困难，可采用反证法进行求解．先假设M在线段CD上,延长AM到N,使AM=MN,通过构建的全等三角形△AMC和△NMB,可得出∠MAC=∠N，AC=BN;然后通过M点的位置，求出∠N和∠BAM 的大小关系,进而求出AB＜AC的结论，则假设与已知不符，故得出原结论正确．解答：解：假设点M不在线段CD上不成立,则点M在线段CD上．延长AM到N,使AM=MN，连接BN;在△AMC和△NMB中，BM=CM，∠AMC=∠BMN，AM=MN，∴△AMC≌△NMB（SAS）；∴∠MAC=∠MNB，BN=AC；根据M在线段CD上，则∠BAM＞∠MAC，∴∠MNB＜∠BAM，∴BN＞AB,即AC＞AB；与AB＞AC相矛盾．因而M在线段CD上是错误的．所以点M不在线段CD上．25．用反证法证明下列问题：如图，在△ABC中，点D、E分别在AC、AB上,BD、CE相交于点O．求证：BD和CE不可能互相平分．分析：利用反证法证明的第一步假设BD和CE互相平分，进而利用平行四边形的判定与性质得出BE∥CD,进而得出与已知出现矛盾，从而得出原命题正确．解答:证明:连接DE，假设BD和CE互相平分，∴四边形EBCD是平行四边形，∴BE∥CD,∵在△ABC中，点D、E分别在AC、AB上，∴AB不可能平行于AC，与已知出现矛盾,故假设不成立原命题正确，即BD和CE不可能互相平分．11。
反证法课件
3.反证法中常用的“结论词”与“反设词”如下：
结论词 至少有一个 至__多__有__一__个__ 至少有n个 至多有_n_个
一__个__也__没__有___
至多有
反设词
至少有两个
(不存在)
_(_n_－__1_) _个
至少有 (n＋1)个
结论词 只有一个 对所有x成立
对_任__意___x不成立
没有或至少 存在_某__个___x
题型三 用反证法证明结论中含有“至多”“至少”“都”等词语的问题 例3 用反证法证明：如果函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，那么方程 f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实数根.(不考虑重根) 证明 假设方程f(x)＝0在区间[a，b]上至少有两个实数根， 设α，β为它的两个实数根， 则f(α)＝f(β)＝0. 因为α≠β，不妨设α＜β，又因为函数f(x)在[a，b]上是增函数， 所以f(α)＜f(β)，这与f(α)＝f(β)＝0矛盾， 所以方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实数根.
反设词
有两个
不成立
存在某个x成立
结论词 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ是
_一__定__是___
p或q
p_且_ q
反设词 _不__都__是__ 不一定是 綈p且__綈q 綈p或綈q
思考 (1)有人说反证法就是通过证明逆否命题来证明原命题，这种 说法对吗？为什么？ 答案 这种说法是错误的，反证法是先否定命题，然后再证明命题的 否定是错误的，从而肯定原命题正确，不是通过逆否命题证题. 命题的否定与原命题是对立的，原命题正确，其命题的否定一定不对. (2)反证法主要适用于什么情形？ 答案 要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的 线索不够清晰；如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论， 而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形.
反证法 PPT课件 11 浙教版
从而说明假设不成立，原命题成立
例1
已知：如图，直线a,b被直线c所截， ∠1 ≠ ∠2
c a
1
求证：a∥b
b
2
证明：假设结论不成立，则a∥b
∴∠1=∠2 (两直线平行,同位角相等)
这与已知的∠1≠∠2矛盾
∴假设不成立 ∴a∥b
例:
求证:在同一平面内，如果一条直线和两条平
行直线中的一条相交，那么和另一条也相交.
王戎推理方法是:
提出假设
假设“李子甜”
推理论证
树在道边则李子少
得出矛盾 与已知条件 “树在道边而多子”产生矛盾
假设 “李子甜”不成立
结论成立 所以“树在道边而多子，此必为苦李” 是正确
的
例:小华睡觉前，地上是干的，早晨起 来，看见地上全湿了。小华对婷婷说： “昨天晚上下雨了。”
您能对小华的判断说出理由吗？
•
61、在清醒中孤独，总好过于在喧嚣人群中寂寞。
•
62、心里的感觉总会是这样，你越期待的会越行越远，你越在乎的对你的伤害越大。
•
63、彩虹风雨后，成功细节中。
•
64、有些事你是绕不过去的，你现在逃避，你以后就会话十倍的精力去面对。
•Leabharlann 65、只要有信心，就能在信念中行走。
•
66、每天告诉自己一次，我真的很不错。
4.6反证法
小故事:
中国古代有一个叫《路边苦李》的故事:王 戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树 上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有 王戎站在原地不动.有人问王戎为什么?
王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”
小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.
王戎是怎样知道李子是苦的吗? 他运用了怎样的推理方法?
小学数学反证法经典例题
小学数学反证法经典例题
张明和李强是同一个班上的同学，放学后两人走在大街上路过一家餐馆，发现这家餐馆没有几个客人，张明说：“这家餐馆做的饭不好吃”，李强问：“为什么？”，张明回答：“假设这家餐馆做的饭好吃，那么生意一定很好。
也就是客人很多，但现在这家餐馆的客人稀少，所以假设不成立，也即这家餐馆做的饭不好吃是正确的”。
从数学上看，上面就是应用了反证法。
用反证法证明命题实际上是这样的一个思维过程：假定“结论不成立”，结论一不成立就会出毛病，这个毛病是与已知条件相矛盾，与定理或公理相矛盾的方式暴露出来的。
这个毛病是怎样造成的呢？推理没有错误，已知条件没有错误，定理或公理没有错误，唯一有错误的就是假设“结论不成立”错误。
“结论成立”与“结论不成立”必然有一个正确。
既然“结论不成立”错误，那么结论成立一定是正确的。
反证法 课件(人教版)
p是偶数
——
p不是偶数
2不是有理数
—— 2是有理数
a,b,c中至少有一个大于0 —— a,b,c都小于等于0
这几个三角形不可能都是
锐角三角形
——
这几个三角形 都是锐角三角形
例2.证明：设p为整数，如果p2是偶数, 则p 也是偶数。 证明：假设p不是偶数，又p是整数
则p是奇数 可令p=2k+1，k∈Z. 得 p2=4k2+4k+1，
它的对角线 2却不能用整数之比来表达。这就触犯
了这个学派的信条，于是规定了一条纪律：谁都不
准泄露 是无2 理数的秘密。
• 天真的希帕索斯无意中向别人谈到了他的发现，结
果被杀害。但 2很快就引起了数学思想的大革命。
科学史上把这件事称为“第一次数学危机”。
证明: 2 不是有理数。
,
, 已知a，b，c都为实数，a x2 2y ,b y2 2z ,
此式表明，p²是奇数，这与已知矛盾， 因此假设p不是偶数不成立， 从而证明p为偶数。
希帕索斯－－无理数的发现者， 科学的殉难者
• 希帕索斯，毕达哥拉斯的得意门生。
• 公元前5世纪，毕达哥拉斯学派认为“数即万物”， 也就是说宇宙间各种关系都可以用整数或整数之比 来表达。但是，希帕索斯发现，边长为1的正方形，
法—— 反证法
例1、已知： ∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ是△ＡＢＣ的内角 求证： ∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ不都小于60°. Ａ
Ｂ Ｃ
反证法的定义：
一般地，由证明pq转向证明：
q q r t
t 与假设矛盾，或
与某个真命题矛盾，
反设结论 演绎归谬
从而判定 q为假， 推出 q 为真的方法，
课件11：2.2.2 反证法
证明： (1)证法 1：(反证法)若{Sn}是等比数列，则 S22＝S1S3， 即 a21(1＋q)2＝a1·a1(1＋q＋q2) ∵a1≠0， ∴(1＋q)2＝1＋q＋q2， 即 q＝0，这与 q≠0 矛盾，故{Sn}不是等比数列．
2．用反证法证题，必须准确写出命题的否定，把命题所包 含的所有可能情形找全，范围既不缩小，也不扩大．常用 反设词如下：
结论词 至少有一个
反设词 一个也没有
结论词 对所有x成立
至多有一个 至少有两个 对任意x不成立
至少有n个 至多有n－1个 至多有n个 至少有n＋1个
p或q p且q
反设词
存在某个 x0不成立 存在某个
5．用反证法证明：若函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，那 么方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多只有一个实数根． 证明：假设方程f(x)＝0在区间[a，b]上至少有两个根， 设α、β为其中的两个实根． 因为α≠β，不妨设α>β. 又因为函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，所以f(α)>f(β)． 这与假设f(α)＝f(β)＝0矛盾， 所以方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多只有一个实数根．
方法规律总结： 1.证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题， 即存在性和唯一性．当证明结论以“有且只有”、“只 有一个”、“唯一存在”等形式出现的命题时，由于反 设结论易于导出矛盾，所以宜用反证法证明． 2.若结论的反面情况有多种，则必须将所有的反面情况 一一驳倒，才能推断结论成立．
命题方向4：用反证法证明否定性命题
证法 2：只需证明 SnSn＋2≠S2n＋1， ∵Sn＋1＝a1＋qSn，Sn＋2＝a1＋qSn＋1， ∴SnSn＋2－S2n＋1＝Sn(a1＋qSn＋1)－(a1＋qSn)Sn＋1 ＝a1(Sn－Sn＋1)＝－a1an＋1≠0.
11反证法
较经典的利用反证法证明的问题，如证明根号2是无理
数，证明素数有无限多个等。在小学数学中，反证法的
应用不多，在抽屉原理等问题中有一些应用。
4.反证法的教学 反正法在小学数学教学中应用较少，教师在教学 时应注意以下几点。
第一，掌握它的基本原理和步骤是必要的。反证
反证法
1.反证法的概念 反证法是间接证明的一种基本方法，当我们需要 证明一个判断为真时，先假设这个判断为假，经过正
确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而
证明了原判断为真，这样的证明方法叫做反证法。反
证法是演绎推理的一种，依据的是排中律，就是说两
个互相矛盾的判断不可能同假，其中必有一真。
2.反证法的重要意义
法采用的论证方式是演绎推理中的假言推理形式，依
据的是排中律。它的证明步骤大致如下：（1）假设待
证的结论为假、反论题为真；（2）从反论题出发，经
过正确的逻辑推理，得出与已知条件或者定义、定理、
公理、事实等矛盾；（3）根据排中律得出原结论成立。
第二，对反证法涉及的一些概念和词语应正确理解。在描 述一对概念间的关系时，应注意怎样描述才是矛盾的。如是与不
与非正数（0和负数）是矛盾关系。
第三，对于学生来说，只需初步了解其方法。作 为教师而言，要掌握反证法的基本原理、步骤和推理 方法，以便在教学中把握反证法的科学性。学生通过 简单的案例和运用反证法通俗易懂的推理过程，能够
了解反证法的基本思想和数学方法的丰富性，培养思
维的灵活性。
案例1、案例2、案例3
《课程标准》提出了培养学生推理能力和逻辑思维能 力的要求。反证法是从另一个角度利用推理进行证明的思 想方法，无疑也是培养学生推理能力的重要的思想方法。 因此，它的重要性也是不言而喻的。另外，反证法虽然有 一定难度，但是他对培养学生思维的灵活性和解决问题的 能力也有益处。
反证法 课件
反证法
先假设要证明的命题不成立，以此为出发点, 结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等， 进行正确的推理，得到矛盾，说明假设不正确， 从而间接说明原命题成立的方法。
例1 已知x, y 0, 且x y 2,试证 : 1 x ,1 y中至少
yx 有一个小于2.
另外,如果从正面 证明,需要对某一 个分式小于2或两 个分式都小于2等 进行分类讨论,而
证明 假设 a,b, c 不全是正数,即其中至少有 一个不是正数.不妨先设a 0.下面分a 0和 a 0 两种情况讨论.
1 如果 a 0,则 abc 0,与abc 0 矛盾. 所以
a 0 不可能.
2 如果 a 0,那么由abc 0,可得 bc 0.
又因为a b c 0.所以b c a 0.
与①矛盾∴结论成立
例2 已知 a,b, c为实 假设a,b, c不全是正数, 数 , a b c 0 , ab 这时需要逐个讨论a , bc ca 0, abc 0,求 b, c不是正数的情形.但 证 : a 0,b 0, c 0. 注意到条件的特点(任 分析 要证的结论与 意交换a,b, c 的位置不 条件之间的联系不明 改变命题的条件),我们 显,直接由条件推出结 只要讨论其中一个(例 论的线索不 够清晰,于 如a), 其他两个(例如b, 是考虑采用反证法. c)与这种情形类似.
▪
论成立的方法。
反证法
先假设要证的命题不成立,以此为出发点,结合已知条 件,应用公理,定义,定理,性质等,进行正确的推理,得到 和命题的条件(或已证明的定理,性质,明显成立的事实 等)矛盾的结论,以说明假设不正确,从而证明原命题成 立,这种方法称为反证法.对于那些直接证明比较困难
的命题常常用反证法证明. （正难则反）
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C
D
a B
A
• 所以∠C=900.
• 注：分段式定理的逆命题比成立。
D b
c
a C B
案例6、等腰三角形腰上的重要线段
• 等腰三角形腰 上高线、中线 与角平分线相 等吗？ • 反之，若一个 三角形两边上 的高线、中线 或角平分线相 等，那么这两 边相等吗？
斯坦纳—李密士定理 若三角形的两内角平 分线等长，则此三角 形必为等腰三角形。
A
A1
案例5、勾股定理逆定理
• 在⊿ABC中，若a2+b2=c2，则 ∠C=900. • 法1：构造法 • 法2：反证法。假设 ∠C≠900， • 则∠C为锐角或钝角。
C c b
C
B
C1
B1
A
• 当∠C<900时，得a2+b2>c2。 • 当∠C>900时 ，得a2+b2<c2。 • 这与已知a2+b2=c2矛盾。
0 .6 1 8
C
相传毕达哥拉斯学派的西帕苏 斯通过观察愈来愈小的正五边形，发 现正五边形的对角线长与边长不可公 度，即黄金分割率为无理数。 如果此说属实，那么黄金分割率 就应该是人们知道的第一个无理数。 古希腊时代用几何方法严格证明了： 正五边形的对角线长与边长不可公度
E' B
A'
D
D'
B'
C'
C M
A
L
N
B
例（续）、斯坦纳—李密士定理
• 证明：若三角形的两内角平分线等 长，则此三角形必为等腰三角形。 • 假定⊿ABC不等腰，不妨设AB<AC, 则∠ABC>∠ACB。 E • 由BD、CE是角平分线，可得 ∠ABD>∠ACE。 K • 在∠ABD内作∠DBF=∠ACE,则在 ⊿FBC中，由∠FBC>∠FCB，得 B FB<FC. • 在CF上截取CH=BF,过H作HK//BF 交CE于K,可证得⊿BFD≌⊿CHK。 • 所以BD=CK<CE，这与已知BD=CE 矛盾。即⊿ABC等腰.
间接证法—— 反证法
2010.12
什么是反证法
• 反证法是从需证命题结论的反面出发，通过导致矛盾 来推倒这个结论的反面，从而肯定这个命题真实性的 一种证明方法。 • 反证法的步骤： • ①反设：假设结论的反面成立； • ②归缪：从反设和题设出发，推出与公理、定理或题 设矛盾（或自相矛盾）； • ③存真：由所得矛盾肯定原命题成立。 • 英国数学家哈代：“反证法是数学家最有力的一件武 器，比起象棋开局时牺牲一子以取得优势的让棋法， 它还要高明。象棋奕者不外牺牲一子或顶多一子，数 学家属性把全局拱手让与对方！”。
A B1 C1
B
1 P Q
无限递减法
• 由p2=2q2，必有p>q， • 记p=q+a，得2q2=q2+2qa+a2，可得q>a， • 记q=a+c，由q=a+c和p=2a+c，得2(a+c)2=(2a+c)2，得 c2=2a2，于是可得p>q>c>a>…， • 非空自然数集的子集必有最小数，由此得矛盾。得证 • 注：为证明与正整数相联系的某关系式是不可能的， 先反设该关系式被一些正整数的特定集合所满足。从 这一假定出发，去证明同样的关系式对另一较小的正 整数集合成立。如此以至无穷。 • 因为正整数不能无限减小，所以开始的假定站不住脚， 因而原来的关系不能成立。 • 无限递减法实际上也是一种特殊的反证法。
拓广与类比
1.若正整数a不是任何整数的n次方， 那么a的n次算术根是无理数。 2.类似问题： 1）设a>1，b>1，a,b互素，求证logab是无 理数。 2）证明e是无理数。
案例3：正五角星中的线段比（正五角星很美）
AB AC 0 .6 1 8
AB AD 0.618
AD D C
反证法的逻辑结构可用下列等价命题表示：
" A B" " A B C C "
现用真值表给出这个命题的证明： A B
A B
B
A∧B
C∧
C
AB C C
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
1
反证法经典运用之一 ——证明质数无穷。
• 思路：假设质数为有限个， • 不妨设为p1,p2,…,pn共n个， • 则只要造出一个自然数，它含有不为p1,p2,…,pn 其中任何一个的素因数。 • 如何找呢？ • 取N= p1p2…pn+1，它的素因数不会是任一pi。 • 思考题： • 求证：形如4k-1(k为自然数)的质数有无限个。
案例4：实数集不可数
• 可数集：与自然数集“个数”相同，可以依一定顺序排序。 如有理数集。 • 康托尔证明“实数集是不可数的”思路： • 先假定实数集可数，把它们排成一序列。 • 然后找出1个实数不在这个序列中，得矛盾。得证！ • 进一步可用反证法证明：无理数集不可数。 • 证明：假定无理数集是可数的， • 将有理数集与无理数集取并，也是可数的。 • 这与已证的“实数集不可数”矛盾。 • 由此得：无理数集不可数。 • 由此断定：无理数在数量上大大超过有理数。尽管有理数在 数轴上处处稠密，但与无理数相比不过是沧海一粟。
反证法经典运用之二 证明根号2是无理数。
假定边长是N倍某线段而对角线是M倍同一线段， 则由勾股定理得知M2=2N2。 法一：奇偶分析； 法二：注意等式左边是个平方数，它的素因数必是成双 成对出现，但等式右边的素因子，却肯定不是成双成对 出现。 因为2本身是个素因子，而N2的素因子又是成双成对 出现，由此产生矛盾，可知M2=2N2不成立。AEFra bibliotek1 P Q
证明中所用的无限递减法是一种特殊的反证法。
案例4：“实数集是不可数的”的证明
• • • • • • • • • • • • • 只需证0与1间的实数是不可数的。 假定0与1间的实数是可数的，把它们排成下表： 第1个数 0.a11a12a13a14…； 第2个数 0.a21a22a23a24…； 第3个数 0.a31a32a33a34…； …………………………… 第k个数 0.ak1ak2ak3ak4…； …………………………… 取一数b：b=0.b1b2b3b4…，1≤bi≤9，i=1,2,…。 使b1≠a11，b2≠a22，b3≠a33，…，bkk≠akk，…，且bi不全为9。 则b一定严格位于0与1之间而不在序列中。 这样得到矛盾，得证。 证明中使用的方法叫做康托尔对角线法.
拓广：若正整数a不是任何整数的n次方， 那么a的n次算术根是无理数。
证明根号2是无理数。几何证法
• • • • • • • • • 假设AC和AB对于PQ可公度： D AC=mPQ,AB=nPQ。 在AC上，截取CB1=AB，作B1C1垂直于AC 易证C1B=C1B1=AB1， 于是AB1=AC-CB1=AC-AB=（m-n）PQ， AC1=AB-C1B=AB-AB1=AB-（AC-CB1） C =2AB-AC=（2n-m）PQ， 即AC1和AB1对于PQ也是可公度的。 但AC1和AB1是比原来正方形的一半还要小的正 方形的对角线和边。 • 继续重复此过程，最终总可以得到一个很小的正 方形，其对角线ACn和边ABn对于PQ可公度， • 但ACn和ABn的长度都比PQ来得小，即公度是不 可能的，矛盾。