专题24 反证法、命题与定理(学生版)
人教版九年级数学《反证法》精品教学课件
复习巩固 教科书第94页内容 举出两个数学中能用 反证法证明的例子.
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再见
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
随堂练习
3.在△ABC中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C.
A
证明：假设 ∠B＝∠C ，
B
C
则 AB＝AC （ 等角对等边 ）
这与 已知AB≠AC 矛盾．
假设不成立．
∴ ∠B≠∠C
．
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
随堂练习
典型例题
【例】用反证法证明：两直线平行，同位角相等．
分组讨论： 1.学生先分组进行讨论； 2.学生讲解思路； 3.教师补充完善.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
典型例题
【例】用反证法证明：两直线平行，同位角相等．
A′
已知：如图，AB∥CD，直线EF交AB于点O， A
求证：∠1=∠2.
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24.2.1 反证法
学习目标
1.通过实例理解反证法的含义，并了解运用反证法证明的基本步骤； 2.通过反证法的证明过程，体会新的证明方法和思路； 3.在“分析、推理”等过程中，培养学生的推理能力以及逻辑思维 能力； 4.利用现实生活和数学中的反证法素材体会“正难则反”的思想， 开拓思维，并激发学生的求知、探索欲望.
与以前学过的证明不同
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
延伸
反证法证题的基本步骤： 第一步：假设命题的 结论 不成立. 第二步：从这个假设出发，经过推理论证，得出与学过的概念、 基本事实、已证明的定理、性质或题设相 矛盾 的结果. 第三步：由矛盾的结果，判定假设不成立，从而说明 原命题 是 正确的.
专题24 反证法、命题与定理(教师版)
一、选择题（2020·德州）8.下列命题：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；③一个角为90°且一组邻边相等的四边形是正方形；④对角线相等的平行四边形是矩形.其中真命题的个数是A. 1B. 2C. 3D. 4{答案}B{解析}①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，而一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，故命题①是假命题；②对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，是真命题；③一个角为90°且一组邻边相等的平行四边形是正方形，故③是假命题；④对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题.7． （2020·岳阳）下列命题是真命题的是（ ）A ．一个角的补角一定大于这个角B ．平行于同一条直线的两条直线平行C ．等边三角形的是中心对称图形D ．旋转改变图形的形状和大小{答案}B{解析}和为180°的两个角互为补角，所以一个角的补角不一定大于这个角，故选项A 错误；平行于同一条直线的两条直线平行，正确，故选项B 正确；等边三角形绕它的中心旋转180°后不能跟自身重合，所以不是中心对称图形，选项C 错误；旋转前后两个图形全等，不改变图形的形状和大小，所以选项D 错误．9．（2020·深圳）以下说法正确的是（ ）A ．平行四边形的对边相等B ．圆周角等于圆心角的一半C ．分式方程1x －2＝x －1x －2－2的解为x ＝2D ．三角形的一个外角等于两个内角的和{答案}A{解析}根据平行四边形的性质可知选项A 正确；根据圆周角定理“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”，选项B 错误；去分母得1＝x －1－2（x －2），解得x ＝2，显然x ＝2是增根，选项C 错误；根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”，选项D 错误；因此本题选A ．（2020·包头）10、下列命题正确的是（ ）A ．若分式242x x --的值为0，则x 的值为±2 B ．一个正数的算术平方根一定比这个数小C ．若0b a >>，则11aa b b ++＞ D ．若2c ≥，则一元二次方程223x x c ++=有实数根{答案}D{解析}说明一个命题是假命题时，经常采用的一种方法是列举一个它的反例不成立，即可.分式的值为0时，需要满足分子等于0，分母不为0 .因此当x=2时分母为0 ，无意义，故选项A 错误；一个正数的算术平方根不一定比这个数小，如1的算术平方根是1，等于它本身,0.04的算术平方根是0.2，比本身的数大.故选项B 错误；取2>1>0，11122213+<=+，故选项C 错误.一元二次方程223x x c ++=的根的判别式44(3)48c c ∆=--=-.当2c ≥时，0∆≥，所以方程有实数根.故选项D 正确.故选D.8．（2020·昆明）下列判断正确的是（ ）A.北斗系统第五十五颗导航卫星发射前的零件检查，应选择抽样调查B.一组数据6，5，8，7，9的中位数是8C.甲、乙两组学生身高的方差分别为2甲S =2.3，2乙S =1.8，则甲组学生的身高较整齐D.命题“既是矩形又是菱形的四边形是正方形”是真命题{答案}{解析}本题考查了抽样调查、中位数、方差和正方形的判定.解答过程如下：北斗系统第五十五颗导航卫星发射前的零件检查，应选择全面调查，故A 错误；一组数据6，5，8，7，9，重新排列为5，6，7，8，9，∴中位数是7，故B 错误；甲、乙两组学生身高的方差分别为2甲S =2.3，2乙S =1.8，∴乙组学生的身高较整齐，故C 错误；命题“既是矩形又是菱形的四边形是正方形”是真命题，故D 正确.因此本题选D ．6．（2020·玉林）下列命题中，其逆命题是真命题的是（ ）A ．对顶角相等B ．两直线平行，同位角相等C ．全等三角形的对应角相等D ．正方形的四个角都相等{答案}B{解析}A 项的逆命题为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角.这一命题是假命题，故A 不符合题意；B 项的逆命题为：同位角相等，两直线平行.这一命题为真命题，故B 符合题意；C 项的逆命题为：如果两个三角形中有一组对应角相等，那么这两个三角形是全等三角形.这一命题是错误的，这两个三角形可能是相似三角形，故C 不符合题意；D 项的逆命题为：如果一个四边形的四个角都相等，那么该四边形为正方形.这一命题是错误的，这个四边形可能也是矩形，故D 不符合题意.8．（2020•呼和浩特）命题①设△ABC的三个内角为A、B、C且α＝A+B，β＝C+A，γ＝C+B，则α、β、γ中，最多有一个锐角；②顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形；③从11个评委分别给出某选手的不同原始评分中，去掉1个最高分、1个最低分，剩下的9个评分与11个原始评分相比，中位数和方差都不发生变化．其中错误命题的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个【解析】①设α、β、γ中，有两个或三个锐角，若有两个锐角，假设α、β为锐角，则A+B＜90°，A+C＜90°，∴A+A+B+C＝A+180°＜180°，∴A＜0°，不成立，若有三个锐角，同理，不成立，假设A＜45°，B＜45°，则α＜90°，∴最多只有一个锐角，故命题①正确；②如图，菱形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，∴HG∥EF，HE∥GF，∴四边形EFGH是平行四边形，∵AC⊥BD，∴HE⊥HG，∴四边形EFGH是矩形，故命题②正确；③去掉一个最高分和一个最低分，不影响中间数字的位置，故不影响中位数，但是当最高分过高或最低分过低，平均数有可能随之变化，同样，方差也会有所变化，故命题③错误；综上：错误的命题个数为1，故选：B．。
17.5 反证法 课件 2024-2025学年冀教版数学八年级上册
肯定结论
由矛盾的结果，判定假设不成立，从而 说明命题的结论是正确的
3. 适合用反证法的命题类型
知1－讲
(1) 结论以否定形式出现的命题，如钝角三角形中不能有
两个钝角；
(2)唯一性命题，如不重合的两条直线相交只有一个交点；
(3) 结论以“至多”“至少”等形式叙述的命题，如一个
凸多边形中至多有三个锐角 .
两条平行线中的一条相交，则它必与另一条相交 . 解：已知：在同一平面内，l1∥l2，l1与l3相交于点A， 如图所示．
求证：l3必与l2相交． 证明：假设l3与l2不相交， 则l1∥l2，l3∥l2，∴l1∥l3，这与已知中l1与l3相交于点A 相矛盾，∴假设不成立． 故l3必与l2相交．
课堂小结
解：已知： ∠ A， ∠ B， ∠ C 是△ ABC 的三个内角知1－. 练 求证： ∠ A， ∠ B， ∠ C 中不能有两个角是钝角 .
证明： 假设∠ A， ∠ B， ∠ C 中有两个角是钝角，
不妨设∠ A>90° ， ∠ B>90° ，
则∠ A+ ∠ B+ ∠ C>180° .
否定结论. 推出矛盾.
所有情况 . 如果结论的反面只有一种情况，那
么只需要否定这种情况，就足以证明原命题的
结论是正确的；如果结论的反面不止一种情况，
那么必须把各种可能的情况全部列举出来，并
且要一一加以否定，才能证明原命题的结论是
正确的 .
知1－练
例1 求证：在一个三角形中，不能有两个角是钝角 .
解题秘方：本题是命题类证明题，需要先写出已 知、求证，然后利用所学知识写出证 明过程 . 本题不易直接证明，可考虑 运用反证法来证明 .
这与三角形内角和定理相矛盾，故∠ ， ∠ B 均大于
反证法(中学课件201908)
王沈《魏书》志篇阙 以吉礼事鬼神祇 引《易》说三王之郊 太白金行而来犯之 荧惑入太微右掖门 氐兖州刺史彭超围彭城 中国饑 太白昼见 乘舆乃旋 鲍勋以迕旨极刑 三日不绝 晋恭帝元熙二年五月 太祖文皇帝体圣履仁 九合诸侯 岁星囚於仲夏 心常叹怨 大雨霖 在须女 故以己未为界 若尔 状如旌旗 杨佺期破郗恢 小人争先 是时有事中州 固常典也 大明五年正月 方死 以乱伐乱 两圭有邸 高祖讨之奔退 太白昼见经天 方今夷狄对岸 凡箫一名籁 黑山炽扰 司 帝崩 小人流 木末 诸葛亮据渭南 国失政 蹶船常苦没 晋武帝太康二年冬 达及德行 在戚而有嘉容 丹阳尹颜 师伯 十二年六月庚子 茫茫禹迹 荧惑犯天江 占曰 烧宫庙 占曰 辄有大丧 韩娥因曼声哀哭 遂夺神器 占并同上 先固守 寻消尽 亦求量宜 周先世 皇后王氏崩 九年 是月也吉祭 胡 占曰 而严父之义显 冀 羲和氏之旧器 七月 驾六龙乘风而行 秦有兵 未有祖配之事 凡所诛灭数十家 遣使 奉策 礼无因袭 哥应钟 游浑元 无子空长 及帝崩 宫室将空 在东井 《燕歌行》 占曰 文 去年 是时诸恪属秉政 苟晞大破汲桑 占曰 太元前事可依 水旱不调 占曰 盱眙雨雹 大臣有诛 占曰 《汉晋春秋》云逆行 皆党於桑 延烧太社北墙 隆安之初 仲尼称贤 灭翼 占曰 卢循还番禺 八月 壬午 今郊时未过 以说远人 东方之行 占曰 石虎自立 元嘉二十四年正月 国失政 〔一解〕明知法令 七 石虎掠骑至历阳 将有急怒之谋 案占 此则晋之有大造於魏也 占曰 哀元年四月辛巳 永属辉猷 《周礼》 仓梧何不乎 乙未 於礼为祢 播流后之声 皆因事制哥 亲於虞帝之庭 占曰 亦 无成记 并奏登哥 及帝崩而天下渐乱 乃出 高园便殿火 占曰 惟水沴火 明帝泰始中 求救於苻坚 改制易律 上将执法皆被诛 始为东音 景初三年正月 人主忧 太白奄荧惑 健壁长安 复以先帝配天 十三年 入纂绝
知识点24 反证法、命题与定理2020
一、选择题（2020·德州）8.下列命题：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；③一个角为90°且一组邻边相等的四边形是正方形；④对角线相等的平行四边形是矩形.其中真命题的个数是A. 1B. 2C. 3D. 4{答案}B{解析}①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，而一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，故命题①是假命题；②对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，是真命题；③一个角为90°且一组邻边相等的平行四边形是正方形，故③是假命题；④对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题.7． （2020·岳阳）下列命题是真命题的是（ ）A ．一个角的补角一定大于这个角B ．平行于同一条直线的两条直线平行C ．等边三角形的是中心对称图形D ．旋转改变图形的形状和大小{答案}B{解析}和为180°的两个角互为补角，所以一个角的补角不一定大于这个角，故选项A 错误；平行于同一条直线的两条直线平行，正确，故选项B 正确；等边三角形绕它的中心旋转180°后不能跟自身重合，所以不是中心对称图形，选项C 错误；旋转前后两个图形全等，不改变图形的形状和大小，所以选项D 错误．9．（2020·深圳）以下说法正确的是（ ）A ．平行四边形的对边相等B ．圆周角等于圆心角的一半C ．分式方程1x －2＝x －1x －2－2的解为x ＝2D ．三角形的一个外角等于两个内角的和 {答案}A{解析}根据平行四边形的性质可知选项A 正确；根据圆周角定理“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”，选项B 错误；去分母得1＝x －1－2（x －2），解得x ＝2，显然x ＝2是增根，选项C 错误；根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”，选项D 错误；因此本题选A ．（2020·包头）10、下列命题正确的是（ ）A ．若分式242x x --的值为0，则x 的值为±2 B ．一个正数的算术平方根一定比这个数小C ．若0b a >>，则11aa b b ++＞ D ．若2c ≥，则一元二次方程223x x c ++=有实数根{答案}D{解析}说明一个命题是假命题时，经常采用的一种方法是列举一个它的反例不成立，即可.分式的值为0时，需要满足分子等于0，分母不为0 .因此当x=2时分母为0 ，无意义，故选项A 错误；一个正数的算术平方根不一定比这个数小，如1的算术平方根是1，等于它本身,0.04的算术平方根是0.2，比本身的数大.故选项B 错误；取2>1>0，11122213+<=+，故选项C 错误.一元二次方程223x x c ++=的根的判别式44(3)48c c ∆=--=-.当2c ≥时，0∆≥，所以方程有实数根.故选项D 正确.故选D.8．（2020·昆明）下列判断正确的是（ ）A.北斗系统第五十五颗导航卫星发射前的零件检查，应选择抽样调查B.一组数据6，5，8，7，9的中位数是8C.甲、乙两组学生身高的方差分别为2甲S =2.3，2乙S =1.8，则甲组学生的身高较整齐D.命题“既是矩形又是菱形的四边形是正方形”是真命题{答案}{解析}本题考查了抽样调查、中位数、方差和正方形的判定.解答过程如下：北斗系统第五十五颗导航卫星发射前的零件检查，应选择全面调查，故A 错误；一组数据6，5，8，7，9，重新排列为5，6，7，8，9，∴中位数是7，故B 错误；甲、乙两组学生身高的方差分别为2甲S =2.3，2乙S =1.8，∴乙组学生的身高较整齐，故C 错误；命题“既是矩形又是菱形的四边形是正方形”是真命题，故D 正确.因此本题选D ．6．（2020·玉林）下列命题中，其逆命题是真命题的是（ ）A ．对顶角相等B ．两直线平行，同位角相等C ．全等三角形的对应角相等D ．正方形的四个角都相等{答案}B{解析}A 项的逆命题为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角.这一命题是假命题，故A 不符合题意；B 项的逆命题为：同位角相等，两直线平行.这一命题为真命题，故B 符合题意；C 项的逆命题为：如果两个三角形中有一组对应角相等，那么这两个三角形是全等三角形.这一命题是错误的，这两个三角形可能是相似三角形，故C 不符合题意；D 项的逆命题为：如果一个四边形的四个角都相等，那么该四边形为正方形.这一命题是错误的，这个四边形可能也是矩形，故D 不符合题意.8． （2020•呼和浩特）命题①设△ABC 的三个内角为A 、B 、C 且α＝A +B ，β＝C +A ，γ＝C +B ，则α、β、γ中，最多有一个锐角；②顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形；③从11个评委分别给出某选手的不同原始评分中，去掉1个最高分、1个最低分，剩下的9个评分与11个原始评分相比，中位数和方差都不发生变化．其中错误命题的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【解析】①设α、β、γ中，有两个或三个锐角，若有两个锐角，假设α、β为锐角，则A+B＜90°，A+C＜90°，∴A+A+B+C＝A+180°＜180°，∴A＜0°，不成立，若有三个锐角，同理，不成立，假设A＜45°，B＜45°，则α＜90°，∴最多只有一个锐角，故命题①正确；②如图，菱形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，∴HG∥EF，HE∥GF，∴四边形EFGH是平行四边形，∵AC⊥BD，∴HE⊥HG，∴四边形EFGH是矩形，故命题②正确；③去掉一个最高分和一个最低分，不影响中间数字的位置，故不影响中位数，但是当最高分过高或最低分过低，平均数有可能随之变化，同样，方差也会有所变化，故命题③错误；综上：错误的命题个数为1，故选：B．为大家整理的资料供学习参考，希望能帮助到大家，非常感谢大家的下载，以后会为大家提供更多实用的资料。
反证法 课件(人教版)
归纳升华 (1)用反证法证题时，首先要搞清反证法证题的思路步 骤，其次注意反证法是在条件较少、不易入手时常用的方法． (2) 结 论 是 含 有 “ 不 ”“ 不 是 ”“ 不 可 能 ”“ 不 存 在”“没有”等词语的否定性命题时，结论的反面比较具体， 适于应用反证法．
类型 2 用反证法证明“至多”“至少”等存在性
1＋x 1＋y 所以 y ， x 中至少有一个小于 2.
归纳升华 对于含有“至多”“至少”的命题适合用反证法，对 于此类问题，需仔细体会“至少有一个”“至多有一个” 等字眼的含义，弄清结论的否定是什么，避免出现证明遗 漏的错误．
类型 3 用反证法证明唯一性问题 [典例 3] 已知一点 A 和平面 α.求证：经过点 A 只能 有一条直线和平面 α 垂直． 证明：根据点 A 和平面 α 的位置关系，分两种情况 证明． (1)如图①所示，点 A 在平面 α 内，假设经过点 A 至 少有平面 α 的两条垂线 AB、AC，那么 AB、AC 是两条 相交直线，它们确定一个平面 β，
命题．反证法是先否定命题，然后再证明命题的否定是错
误的，从而肯定原命题正确.
类型 1 用反证法证明否定性命题(自主研析)
[典例 1] 设{an}是公比为 q 的等比数列，Sn 是它的 前 n 项和．
(1)求证：数列{Sn}不是等比数列． (2)数列{Sn}是等差数列吗？为什么？
证明：(1)法一(反证法) 若{Sn}是等比数列， 则 S22＝S1S3， 即 a21(1＋q)2＝a1·a1(1＋q＋q2)， 因为 a1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2， 即 q＝0，这与 q≠0 矛盾，故{Sn}不是等比数列．
问题 [典例 2] 已知 x，y＞0，且 x＋y＞2.求证：1＋y x，1＋x y 中至少有一个小于 2.
人教版数学九年级上册24.2.1反证法课件
a∥b ，c与a相交. b 求证：c与b也相交.
证明：假设c与b不相交，则c与b平行，
由于直线a∥b ， 那么c与a平行， 这与已知“c与a相交”矛盾.
因此假设不成立
∴ c与b也相交
你能总结出以上这种证明方法的步骤吗?
当一个命题不 易直接证明时 ，可以考虑反
证法
否定结论 推出矛盾
肯定结论
二、反证法的步骤
。
∴ ∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180° ，
即 ∠A+∠B+∠C>180° 。
这与 三角形的内角和为180°矛盾．假设不成立．
∴△ABC中至少有一个内角小于或等于60°. ．
点拨：至少的反面是没有！
注:“至少”、“至多” 型命题常用反证法
即
。
这与____________________________矛盾；
( 4 ) 至少有一个
假设“不是妈妈打破的”
假设 “不是妈妈打破”不成立
【重点】理解反证法的思 维过程和特点。
【难点】运用反证法证题 时，一定要用到假设。
路边苦李
王戎7岁时,与小 伙伴们外出游玩,看 到路边的李树上结满 了果子.小伙伴们纷 纷去摘取果子,只有 王戎站在原地不动.
王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.” 小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.
三角形至少有一个角是直角或钝角
三角形至少有一个角是直角或钝角
假设 “不是妈妈打破”不成立
那么过点A 就有两条直线a、b与直线c平行，这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾,假设不成立。
(3)肯定原命题的结论是正确的。
用反证法应注意的事项 :
人教版数学九年级上册24反证法课件(1)
哪些问题适宜用反证法
1.存在性问题 2.否定性问题 3.唯一性问题 4.至多、至少类问题 5.一些基本命题、基本定理
总之，直接证明比较困难的命题
拓展应用
1、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠APB≠∠APC。
求证：PB≠PC
A
证明：假设PB=PC。
则在△ABP与△ACP中
∵AB=AC(已知）
假设在对三角弈形中者有两不个直外角，乎牺牲一卒或顶多一子，数学家索性 把全局拱手让给对方！” 所以直角三角形中最多有一个直角.
证明：假设经过同一条直线l上的A、B、C三点可以作一个圆，
这与三角形的内角和等于180°相矛盾.
那么，树上的李子还会这么多吗？
就象禁止拳击家使用拳头。
大家议一议！ 探我究来4告：诉你（经验之谈）
∴假设不成立．
∴ ∠B ≠ ∠ C ．
小结：反证法的步骤：假设结论的反面成立→逻辑推理得
出矛盾→肯定原结论正确
小试身手——运用反证法
已知：如图，直线a, b被直线c所截，∠1 ≠ ∠2
ca
求证：a∥b 证明：假设结论不成立，即a∥b
1
b
则∠1=∠2 (两直线平行,同位角相等) 2
这与已知条件∠1≠∠2矛盾 ∴假设不成立
经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？
我来告诉你（经验之谈）
谢谢！再见！ 这与已知条件∠APB≠∠APC矛盾，假设不成立.
事实上树上的李子很多,这与事实相矛盾.
这与已知条件∠APB≠∠APC矛盾，假设不成立.
写出下列各结论的反面：
总之，直接证明比较困难的命题
证明：假设∠1 ≠ ∠2，过点O作直线A ′B ′，使∠EOB′ = ∠2.
反证法 课件(人教版)
2.反证法可以适用的两种情形 (1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结 论的线索不够清晰. (2)如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从 反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形.
用反证法证明否定性命题 【技法点拨】
1.用反证法证明否定性命题的适用类型 结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命 题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具 体，适合使用反证法
【归纳】 (1)用反证法证题时，若原命题的反面不唯一时怎么 办？(2)宜用反证法证明的题型有哪些？ 提示：(1)用反证法证明命题时，若原命题的反面不唯一，这 时要把每一种情况一一否定，不能遗漏. (2)宜用反证法证明的题型有： ①易导出与已知矛盾的命题； ②“否定性”命题；
③“唯一性”命题； ④“必然性”命题； ⑤“至多”“至少”类的命题； ⑥涉及“无限”结论的命题等.
用反证法证明唯一性命题 【技法点拨】
用反证法证明唯一性命题的一般思路 证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性 和唯一性.当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存 在”等形式出现的命题时，由于假设结论易导出矛盾，所以用 反证法证其唯一性比较简单明了.
【典例训练】(建议教师以第2题为例重点讲解) 1.在用反证法证明“两条相交直线有且只有一个交点”时的反 证应分为________和___________________. 2.求证方程2x=3有且只有一个根.
【解析】1.两条直线的交点个数包括：没有交点，有且只有一 个交点和不只有一个交点.故“有且只有一个交点”的反设应为 无交点和不只有一个交点. 答案：无交点 不只有一个交点
2.因为2x=3，所以x=log23.这说明方程有一个根.下面用反证 法证明方程2x=3的根是唯一的. 假设方程2x=3有两个根x1,x2(x1≠x2)， 则 2x1 3, 2两x2 式3,相除，得 =1.2x1x2 若x1-x2＞0，则2x1x＞2 1,这与 2x=1x12 矛盾； 若x1-x2＜0，则2x1x＜2 1,这也与 2=x11x2矛盾， 因此只能x1-x2=0，这与x1≠x2矛盾. 如果方程的根多于两个，同样可推出矛盾.故2x=3只有一个根.
人教版数学九年级上册24.反证法课件
造成矛盾的原因是：假设李子是甜的，这个假设是错误 的，说明本来的结论：路边的李子是苦的是正确的。
先假设结论的反面是正确 的，然后通过逻辑推理，推出 与公理、已证的定理、定义或 已知条件相矛盾，说明假设不 成立，从而得到原结论正确．
这种证明方法叫做反证法
方法迁移
.
成
立
，
原
结论
四、作业
1、试说出下列命题的反面： （1）a是实数。a不是实数 （2)a大于2。a小于或等于２ （3）a小于2。a大于或等于２ （4）至少有没2个有两个
（5）最多有一个 一个也没有（6）两条直线平行。 两直线相交
2、用反证法证明“若a2≠ b2,则a ≠ b”的第一步是 假设a=。b
反证法
实例：南方某风水先生到北方看风水，恰逢天降大 雪。乃作一歪诗：“天公下雪不下雨，雪到地上变 成雨；早知雪要变成雨，何不起初就下雨。”他的 歪诗又恰被一牧童听到，亦作一打油诗讽刺风水先 生 ：“先生吃饭不吃屎，饭到肚里变成屎；早知饭
要变成屎，何不起初就吃屎。”
实际上，小牧童正是奇妙运用了反证法，驳斥了风水先生否定 事物普遍运动的规律，只强调结果，不要变化过程的形而上学 的错误观点：假设风水先生说的是真理，只强调变化最后的结 果，不要变化过程也可，那么，根据他的逻辑，即可得出先生 起初就应吃屎的荒唐结论。风水先生当然不会承认这个事实了。 那么，显然，他说的就是谬论了。
证明： 反证法：假设∠A，∠B，∠C都大于60度，
那么∠A+∠B+∠C>180度。 这与三角形内角和定理矛盾 所以，假设不成立。 所以，在一个三角形中，至少有一个内角小于或 等于60°。
课堂小结
假 设
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一、选择题
（2020·德州）8.下列命题：
①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；
②对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；
③一个角为90°且一组邻边相等的四边形是正方形；
④对角线相等的平行四边形是矩形.
其中真命题的个数是
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
7． （2020·岳阳）下列命题是真命题的是（ ）
A ．一个角的补角一定大于这个角
B ．平行于同一条直线的两条直线平行
C ．等边三角形的是中心对称图形
D ．旋转改变图形的形状和大小
9．（2020·深圳）以下说法正确的是（ ）
A ．平行四边形的对边相等
B ．圆周角等于圆心角的一半
C ．分式方程1x －2＝x －1x －2－2的解为x ＝2
D ．三角形的一个外角等于两个内角的和
（2020·包头）10、下列命题正确的是（ ）
A ．若分式242
x x --的值为0，则x 的值为±2 B ．一个正数的算术平方根一定比这个数小
C ．若0b a >>，则11
a
a b b ++＞ D ．若2c ≥，则一元二次方程223x x c ++=有实数根
8．（2020·昆明）下列判断正确的是（ ）
A.北斗系统第五十五颗导航卫星发射前的零件检查，应选择抽样调查
B.一组数据6，5，8，7，9的中位数是8
C.甲、乙两组学生身高的方差分别为2甲S =2.3，2
乙S =1.8，则甲组学生的身高较整齐
D.命题“既是矩形又是菱形的四边形是正方形”是真命题
6．（2020·玉林）下列命题中，其逆命题是真命题的是（ ）
A ．对顶角相等
B ．两直线平行，同位角相等
C．全等三角形的对应角相等D．正方形的四个角都相等
8．（2020•呼和浩特）命题①设△ABC的三个内角为A、B、C且α＝A+B，β＝C+A，γ＝C+B，则α、β、γ中，最多有一个锐角；②顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形；③从11个评委分别给出某选手的不同原始评分中，去掉1个最高分、1个最低分，剩下的9个评分与11个原始评分相比，中位数和方差都不发生变化．其中错误命题的个数为（）
A．0个B．1个C．2个D．3个
二、填空题
三、解答题。