第6章拉普拉斯方程和格林函数法
拉普拉斯方程、水平集方法等
拉普拉斯方程（Laplace's equation），又名调和方程、位势方程，是一种偏微分方程。
定义三维情况下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量x、y、z二阶可微的实函数φ：上面的方程常常简写作：或其中div表示矢量场的散度（结果是一个标量场），grad表示标量场的梯度（结果是一个矢量场），或者简写作：Δφ = 0其中Δ称为拉普拉斯算子.拉普拉斯方程的解称为调和函数。
如果等号右边是一个给定的函数f(x, y, z)，即：则该方程称为泊松方程。
拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的椭圆型偏微分方程。
偏微分算子或Δ（可以在任意维空间中定义这样的算子）称为拉普拉斯算子，英文是Laplace operator或简称作Laplacian。
拉普拉斯方程的狄利克雷问题可归结为求解在区域D内定义的函数φ，使得φ在D的边界上等于某给定的函数。
为方便叙述，以下采用拉普拉斯算子应用的其中一个例子——热传导问题作为背景进行介绍：固定区域边界上的温度（是边界上各点位置坐标的函数），直到区域内部热传导使温度分布达到稳定，这个温度分布场就是相应的狄利克雷问题的解。
拉普拉斯方程的诺伊曼边界条件不直接给出区域D边界处的温度函数φ本身，而是φ沿D的边界法向的导数。
从物理的角度看，这种边界条件给出的是矢量场的势分布在区域边界处的已知效果（对热传导问题而言，这种效果便是边界热流密度）。
拉普拉斯方程的解称为调和函数，此函数在方程成立的区域内是解析的。
任意两个函数，如果它们都满足拉普拉斯方程（或任意线性微分方程），这两个函数之和（或任意形式的线性组合）同样满足前述方程。
这种非常有用的性质称为叠加原理。
可以根据该原理将复杂问题的已知简单特解组合起来，构造适用面更广的通解。
二维拉普拉斯方程狄利克雷边界条件（u(r=2)=0、u(r=4)=4sin(5*θ)）下的环形拉普拉斯方程（r=2、R=4）图形两个自变量的拉普拉斯方程具有以下形式：解析函数解析函数的实部和虚部均满足拉普拉斯方程。
拉普拉斯方程积分解
拉普拉斯方程积分解一、引言拉普拉斯方程是数学中的一个重要的偏微分方程，其在物理学、工程学、计算机科学等领域有广泛的应用。
由于拉普拉斯方程的解析解往往难以求得，因此寻找适当的数值方法求解成为了一项重要任务。
本文将介绍拉普拉斯方程的积分解法。
二、拉普拉斯方程1. 定义在二维平面上，设函数u(x,y)满足以下条件：∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = 0则称u(x,y)满足二维平面上的拉普拉斯方程。
2. 物理意义拉普拉斯方程在物理学中有广泛应用，如电势场、热传导等问题都可以用它来描述。
例如，在电势场问题中，电荷在空间中产生电场，而电场又可以表示为电势函数的梯度。
因此，求解电势函数就是求解梯度场问题，而梯度场问题就可以转化为求解拉普拉斯方程。
三、积分解法1. 基本思想积分解法是一种常见的数值方法，其基本思想是将求解的问题转化为积分问题，然后通过数值积分的方法来求解。
对于拉普拉斯方程，我们可以将其转化为一个积分形式，然后通过数值积分的方法来求解。
2. 积分形式设u(x,y)是二维平面上的拉普拉斯方程的解，则有：u(x,y) = 1/2π ∫∫ D G(x,y;x',y')f(x',y') dxdy其中G(x,y;x',y')是二维平面上的格林函数，D是包含所有点的区域，f(x',y')是边界条件。
3. 格林函数格林函数是一个非常重要的概念，在偏微分方程中有广泛应用。
对于拉普拉斯方程而言，格林函数G(x,y;x',y')可以表示为：G(x,y;x',y') = -1/2π ln(r)其中r = ((x-x')² + (y-y')²)¹/²。
4. 数值积分在实际计算中，我们需要对积分式进行数值积分。
常见的数值积分方法包括梯形法、辛普森法等。
格林函数方法
格林函数方法
1、格林函数
格林函数（Green's function）是指由著名数学家.格林（Green）提出的数学方法，它是一种可以求解各种微分方程的技术。
格林函数的定义是对于任意给定的初值问题，在区间上的解的和等于给定的数值13。
其用法主要有两种：一种是用于求解某些有定型的初值问题；另一种是求解某些微分方程的积分解。
格林函数的结果可以用来解决复杂的初值问题和理解复杂的微分方程以及系统的时间变化。
2、格林函数的原理
格林函数可以用来解决一类有特定初值条件的常微分方程组。
它的原理是基于一种叫做拉普拉斯变换（Laplacetransform）的数学变换理论，它是一种将微分方程组变换成求积分方程组的方法，从而可以使原本困难的初值问题变得容易解决，其在解决物理学中不变解中特别有用。
3、格林函数的计算
对于特定的初值条件，可以使用格林函数计算出拉普拉斯变换得到的积分方程的结果，从而计算得到解析解。
计算过程比较复杂，需要用到积分变换和methods。
总之，格林函数是一种可以求解复杂常微分方程的有效数学方法，它基于拉普拉斯变换的原理，对于特定的初值问题，运用格林函数，可以计算出相应的解析解。
第六讲格林函数法刘
M
0
1
4
u M
n
1 rM0M
1 rM0M
u M
n dS
能不能直接提供狄利克雷问题和牛曼问
题的解 ？
为得到狄利克雷问题的解, 必须消去 这需要引入格林函数的概念.
un, |
设 u, v 为 内的调和函数并且在 上
G n
|z0
G z
|z0
{ } 1
4
z z0
3
z z0
3
(
x
x0
)2
y
y0
2
z
z0
2
2
[ x x0 2 y y0 2 z z0 2]2
|z0
1
2
z0
(x
x0
)2
y
y0
2
z02
u |z0 f x, y
首先找格林函数 GM , M. 在0 半空间 z的 0
点放M 0 置x0 ,单y0 ,位z0 正电荷， 关于边界 M 0 的对称
点为z 0 ，
M1x0 , y0 ,z0
在M1放置单位负电荷，则它与 M 0处的单位
正电荷所产生的正电位在平面 z 0上互相
u n
dS
4
u
4
u n
0
令 0 , 则 lim0 u uM0 ,
lim
0
4
拉普拉斯方程和格林函数法
以上两个边值问题都是 区域内部求拉普拉斯方程的解. 这样的问题称为内问题.
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6．2 格林公式 设 是以足够光滑的曲面 为边界的有界区域，
P ( x , y , z ), Q( x , y , z ), R( x , y , z ) 在 上连续的，在
内具有一阶连续偏导数的任意函数， 则成立如下
第一边值问题也称为狄利克莱(Dirichlet)问题， 拉普拉斯方程的连续解称为调和函数.所以，狄氏问题 也可以换一种说法：在区域 内找一个调和函数， 它在边界 上的值为已知.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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（2）第二边值问题 在某光滑的闭曲面 上给出 连续函数 f
，要求寻找这样一个函数 u( x , y , z ) 它在 中是调和函数，在 上连续，在 u 上任一点处法向导数 存在，并且等于已知函数 f n u f 在该点的值： n 第二边值值问题也称牛曼（Neumann）问题.
内是调和的，M是 0
内任一点， K a 表示以 M为中心，以 0
1 u( M 0 ) udS . 2 4 a Ka
a
为半径，
且完全落在区域 内部的球面，则成立下列平均值公式
证明 将调和函数的积分表达式应用于球面 K a
且有
1 1 1 1 1 , 2, r a n r r r a
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（1）第一边值问题 在空间 ( x , y , z ) 中某一区域 的边界 上给定了连续函数 f ，要求这样一个函数 u( x , y , z ) ，它在闭域 (或记作 )上连续，在
内存在二阶偏导数且满足拉普拉斯方程，在
电势与格林函数静电问题中的拉普拉斯方程与格林函数解法
电势与格林函数静电问题中的拉普拉斯方程与格林函数解法导言：在静电学中，研究电势和格林函数是解决电场分布的重要方法。
本文将讨论电势与格林函数在静电问题中的应用，重点介绍拉普拉斯方程以及格林函数解法。
一、拉普拉斯方程简介拉普拉斯方程是描述电势在无电荷区域中分布的基本方程。
对于一个二维情况下的电势分布问题，拉普拉斯方程可以写作：∇²ψ = 0其中，∇²表示拉普拉斯算子，ψ表示电势。
二、格林函数的概念与意义格林函数是求解拉普拉斯方程问题的关键工具。
格林函数是指满足以下条件的函数G(x,x')：∇²G(x,x') = -1 / ε₀ * δ(x-x')其中，ε₀是真空介电常数，δ(x-x')表示Dirac函数。
格林函数在某一点的值表示在该点放置单位点电荷时在空间中的分布情况。
三、格林函数的求解方法格林函数的求解可以通过使用边值问题的方法，具体步骤如下：1. 确定给定区域的边界条件以及相应的边界值。
2. 根据边界条件和拉普拉斯方程建立复杂变量的边界值问题。
3. 利用复变函数的解析性质求解得到问题的解析解。
4. 根据格林第一定理以及叠加原理，得到最终的格林函数解。
四、拉普拉斯方程与格林函数解法实例在一个有限区域中，假设存在一个带电导体表面，题目要求求解该区域内的电势分布。
根据已知条件，可以将问题建模为一个边值问题，通过求解格林函数来得到电势分布。
结论：在静电学问题中，电势与格林函数是求解电场分布的重要方法。
通过拉普拉斯方程与格林函数的解法，可以得到电势的具体分布情况。
在实际问题中，我们可以根据具体的边界条件和几何形状，使用适当的数值方法或解析方法求解，从而获得准确的电势分布结果。
参考文献：[1] Griffiths D J. Introduction to Electrodynamics[M]. Pearson Education Limited, 2017.[2] Lewin W. Mathematical Methods in Classical Mechanics[M]. Springer Science & Business Media, 2012.。
拉普拉斯方程的完整求解
拉普拉斯方程的完整求解拉普拉斯方程是一种常见的偏微分方程，在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
它描述了一个物理系统中的稳态情况，即在没有时间变化的情况下，物理量的分布情况。
在本文中，我们将介绍拉普拉斯方程的完整求解方法，包括数学推导和物理应用。
一、数学推导拉普拉斯方程的一般形式为：∇^2ϕ=0其中，∇^2为拉普拉斯算子，表示对空间中各个方向的二阶导数之和。
ϕ为待求函数。
为了求解该方程，我们需要先确定边界条件。
边界条件指的是在物理系统的边界上，待求函数的取值或导数的取值已知。
常见的边界条件包括：1. Dirichlet 边界条件：在边界上，待求函数的取值已知。
2. Neumann 边界条件：在边界上，待求函数的法向导数已知。
3. Robin 边界条件：在边界上，待求函数的取值或法向导数与外界参数成比例。
根据不同的边界条件，我们可以采用不同的数学方法求解拉普拉斯方程。
下面我们分别介绍三种常见的方法。
1. 分离变量法当边界条件为 Dirichlet 边界条件时，我们可以采用分离变量法求解拉普拉斯方程。
具体来说，我们假设待求函数可以表示为以下形式：ϕ(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)将该式代入拉普拉斯方程，得到：X''/X+Y''/Y+Z''/Z=0由于等式左侧的三个部分只依赖于x、y、z 中的一个，因此它们必须都等于一个常数λ。
于是我们得到三个独立的常微分方程：X''+λX=0Y''+λY=0Z''+λZ=0这些方程的解分别为：X(x)=Asin(√λx)+Bcos(√λx)Y(y)=Csin(√λy)+Dcos(√λy)Z(z)=Esin(√λz)+Fcos(√λz)其中，A、B、C、D、E、F 为待定常数。
将这些解代入待求函数的表达式中，再利用边界条件，我们就可以求出这些常数，从而得到完整的解。
拉普拉斯方程的格林函数法
以 M0为中心, 以充分小的正数 为半径做球面 ,
在 内挖去以 为球面的球 K 得到区域 K .
在区域
K
内直到边界上，v
1 r
可任意求导。
在第二格林公式
( u 2v
v 2 u)dV
(u
v n
v
u )dS
n
中, 取 u 为调和函数, 而令 v 1 , r
4) 平均值公式
设 u(M) 是 内的调和函数, M0 , Ka 表示以 M0 为中心，a 为半径且完全落在 内的球面, 则
u M0
1
4 a2
Ka
udS
uM0
1
4
u
M
n
1 rM 0 M
1 rM 0 M
u M
令
P x, y, z u v
x
Q x, y, z u v
y
R x, y, z u v
z
则 P,Q,RC C1 ,
P x
Q y
R z
dV
u v 2v
u v 2v
sin
u
1
r2 sx,y,z)在以原点为中心的同一球面的 值为常数。u 仅为半径 r 的函数:u=u(r)。
方程可化简为：
1 r2
r
r
2
u r
0
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n 第二边值值问题也称牛曼（Neumann）问题.
以上两个边值问题都是 区域内部求拉普拉斯方程的解.
这样的问题称为内问题.
6．2 格林公式
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设 是以足够光滑的曲面 为边界的有界区域， P( x, y, z),Q( x, y, z), R( x, y, z) 在 上连续的，在 内具有一阶连续偏导数的任意函数， 则成立如下
内 v1 r
是连续可微的.
在公式(4.9)中取 u 为调和函数 取 v 1 ，并以 r
K 代替该公式中的 ，得
(u2 1 1 2u)d
u
1 r
1
u
dS
,
K
rr
n r n
#
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因为在
K
内 2u 0,2 1 r
0.
而在球面
上
1 r
n
1 r
0
v
u n
u
v n
dS .
将上式与积分表达式相减得u(M0来自) u v n
1
4
1 n rMM0
1
4 rMM0
v
u n
dS
.
如果能选取调和函数 v 使满足
于是有
1
v
,
4 rMM0
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1
u(M0 ) u n 4 rMM0 v dS.
令
1
G(M , M0 ) 4 rMM0 v,
r
1 r2
1
2
,
因此
u
1 r
dS
n
1
2
udS
1
2
u 4 2
4 u,
同理可得
u
1 r
dS
n
1
2
udS
1
2
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u 4 2 4 u,
将此两式代入(#)可得
u
n
1 r
1 r
u n
dS
4
u
4
u n
0.
现在令 0, 则得
1
1 1 u(M )
u(M0 ) 4
且有
1 r
1 a
,
n
1 r
r
1 r
1 a2
,
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1 u 1 u
dS
dS 0
r Ka
a Ka n
即证
(iv)拉普拉斯方程解的唯一性问题
利用格林公式讨论拉普拉斯方程解的唯一性问题， 可以证明如下的结论： （1）狄利克莱问题的解是唯一确定的； （2）牛曼问题的解除了相差一常数外也是唯一确定的.
u(M )
n
rMM0
rMM0
dS, n
(ii)牛曼内问题有解的必要条件
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设 u 是在以 为边界的区域 内的调和函数，
在 上有一阶连续偏导数，则在公式(6.9)中取
u为所给的调和函数，取 v 1，就得到
u
dS 0
由此可得牛曼内问题
n
u
n
f
有解的必要条件为函数
在高斯公式中令 P u v ,Q u v , R u v ,
x
y
z
则有
(u
2v )d
u x
v x
u y
v y
u z
v z
d
v
u
n
dS
,
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(u
2v
)d
u
v n
dS
grad
u grad
v
d.
上式称为第一格林公式，
在上式中交换 u,v位置，则得
(v
2u)d
v
u n
dS
grad
u grad
v
d.
( u 2v
v 2u)d
u
v n
v
u n
dS
.
————第二格林公式
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利用格林公式我们可以推出调和函数的一些基本性质.
(i)调和函数的积分表达式
设 M0( x0 , y0 , z0是) 内某一固定点，求调和函数 在这点的值，为此，构造一个函数
1
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以 u1, u2 表示定解问题的两个解，则它们的差 v u1 u2 必是原问题满足零边界条件的解，
对于狄氏问题， v 满足
2v 0,在内; v 0, 对于牛曼问题， v 满足
（*）
2v 0,在内;
v
n
0,
（**）
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在格林第一公式中取 u v u1 u2 则得
的奥-高公式
P x
Q y
R z
d
[P cos(n, x) Q cos(n, y) Rcos(n, z)]dS,
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下面来推导高斯公式的两个推论. 设函数 u( x, y, z) 和 v( x, y, z) 在 上具有一阶连续
偏导数，在 内具有连续的二阶偏导数.
f 满足
fdS 0.
(iii) 平均值公式
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设函数 u(M )在某区域 内是调和的，M是0
内任一点， Ka 表示以 M为0 中心，以 a 为半径，
且完全落在区域 内部的球面，则成立下列平均值公式
1
u(M0 ) 4 a2 Ka udS.
证明 将调和函数的积分表达式应用于球面 Ka
1
v
.
r ( x x0 )2 ( y y 0 )2 (z z0 )2
通常称它为三维拉普拉斯方程的基本解
由于 v
1在 r
内有奇异点 M0
,我们作一个以 M0
为中心，以充分小的正数 为半径的球面 ,
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在 内挖去 所包围的球域 K 得到区域 K
（如图），在 K
0
v
v n
dS
(
gradv
)2
d
.
由条件(*)或(**)得 ( gradv)2d 0,
故在 内必有 gradv 0,
v v v 0, v C. x y z
对于狄氏问题，由 u 0,得C 0.故v 0.
6．3 格林函数
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在格林第二公式中取 u,v 均为调和函数，则得
第一边值问题也称为狄利克莱(Dirichlet)问题， 拉普拉斯方程的连续解称为调和函数.所以，狄氏问题 也可以换一种说法：在区域 内找一个调和函数， 它在边界 上的值为已知.
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（2）第二边值问题 在某光滑的闭曲面 上给出
连续函数 f ，要求寻找这样一个函数 u( x, y, z) 它在 中是调和函数，在 上连续，在 上任一点处法向导数 u存在，并且等于已知函数 f
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第6章 拉普拉斯方程的格林函数法
6.1 拉普拉斯方程边值问题的提法
三维拉普拉斯方程
2u
2u x 2
2u y2
2u z 2
0.
作为描述稳定和平衡等物理现象的拉普拉斯方程， 它不能提初始条件.至于边界条件，应用得较多的 是如下两种边值问题.
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（1）第一边值问题 在空间 ( x, y, z) 中某一区域 的边界 上给定了连续函数 f ，要求这样一个函数 u( x, y, z) ，它在闭域 (或记作 )上连续，在 内存在二阶偏导数且满足拉普拉斯方程，在 上与已知函数 f 相重合，即 u f .