离散数学导论(第5版)-第一篇
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离散数学第5版答案
⇔0↔q
（矛盾律）
⇔ ( p → q) ∧ (q → 0)
（等价等值式）
⇔ (¬0 ∨ q) ∧ (¬q ∨ 0)
（蕴含等值式）
⇔ (1∨ q) ∧ ¬q
（同一律）
⇔ 1∧ ¬q
（零律）
⇔ ¬q
（同一律）
到最后一步已将公式化得很简单。由此可知，无论 p 取 0 或 1 值，只要 q 取 0 值，原公式取值为 1，即 00 或 10 都为原公式的成真赋值，而 01，11 为成假赋 值，于是公式为非重言式的可满足式。
（蕴含等值式）
⇔ p ∨ ¬q ∧ q
（德·摩根律）
⇔ p ∨ (¬q ∧ q)
（结合律）
⇔ p∧0
（矛盾律）
⇔0
（零律）
由最后一步可知，（3）为矛盾式。
（5）用两种方法判（5）为非重言式的可满足式。
真值表法
p
q
¬p
¬p → q q → ¬p (¬p → q) → (q → ¬p)
0
0
1
0
1
1
0
1
1
（10）p：小李在宿舍里. p 的真值则具体情况而定，是确定的。 （12） p ∨ q ，其中， p : 4 是偶数，q : 4 是奇数。由于 q 是假命题，所以，q 为假命题， p ∨ q 为真命题。 （13）p ∨ q ，其中，p : 4 是偶数，q : 4 是奇数，由于 q 是假命题，所以，p ∨ q 为假命题。 （14） p：李明与王华是同学，真值由具体情况而定（是确定的）。 （15） p：蓝色和黄色可以调配成绿色。这是真命题。 分析 命题的真值是唯一确定的，有些命题的真值我们立即可知，有些则不 能马上知道，但它们的真值不会变化，是客观存在的。 1．3 令 p : 2 + 2 = 4, q : 3 + 3 = 6, 则以下命题分别符号化为 （1） p → q （2） p → ¬q （3） ¬p → q （4） ¬p → ¬q （5） p ↔ q （6） p ↔ ¬q （7） ¬p → q （8） ¬p ↔ ¬q 以上命题中，（1），（3），（4），（5），（8）为真命题，其余均为假命题。 分析 本题要求读者记住 p → q 及 p ↔ q 的真值情况。p → q 为假当且仅当 p 为真,q 为假,而 p ↔ q 为真当且仅当 p 与 q 真值相同.由于 p 与 q 都是真命题， 在 4 个蕴含式中，只有（2） p → r ，其中，p 同（1），r：明天为 3 号。 在这里，当 p 为真时，r 一定为假， p → r 为假，当 p 为假时，无论 r 为真 还是为假， p → r 为真。
离散数学第五版课后答案
离散数学第五版课后答案【篇一：离散数学课后答案(四)】txt>4.1习题参考答案-------------------------------------------------------------------------------- 1、根据结合律的定义在自然数集n中任取 a,b,c 三数，察看 (a。
b)。
c=a。
(b。
c) 是否成立？可以发现只有 b、c 满足结合律。
晓津观点：b)满足结合律，分析如下： a) 若有a,b,c∈n，则(a*b)*c =(a-b)-c a*(b*c) =a-(b-c)在自然数集中，两式的值不恒等，因此本运算是不可结合的。
b)同上，(a*b)*c=max(max(a,b),c) 即得到a，b,c中最大的数。
a*(b*c)=max(a,max(b,c))仍是得到a,b,c中最大的数。
此运算是可结合的。
c)同上,(a*b)*c=(a+2b)+2c 而a*(b*c)=a+2(b+2c),很明显二者不恒等，因此本运算也不是可结合的。
d)运用同样的分析可知其不是可结合的。
-------------------------------------------------------------------------------- 2、d)是不封闭的。
--------------------------------------------------------------------------------其不满足交换律、满足结合律、不满足幂等律、无零元、无单位元晓津补充证明如下：(1)a*b=pa+qb+r 而b*a=pb+qa+r 当p,q取值不等时，二式不相等。
因此*运算不满足交换律。
(2)设a,b,c∈r则(a*b)*c=p(pa+qb+r)+qc+r=p^2a+pab+pr+qc+r 而a*(b*c)=pa+q(pb+qc+r)+r=pa+qpb+q^2c+qr+r 二式不恒等，因此*运算是不满足结合律的。
离散数学第五版第一章(耿素云、屈婉玲、张立昂编著)
何情况下真值相同。
12
命题与联结词
2. 合取 符号：
定义1.2：设p，q为二命题，复合命题“p并且q”（或“p与q”）称为p 与q的合取式，记作pq ，符号称为合取联结词。并规定pq 为真当且仅当p与q同时为真时为真。 真值表：
P Q 0 0 0 1 1 0 1 1 P 0 0 0 1
Q
p:天下雨。 q:我骑自行车上班。 s:2+2=4。 t:太阳从东方升起
r:太阳从西方升起。
19
命题与联结词
5. 等价 符号：
定义1.5：设p ，q为二命题，复合命题“p 当且仅当 q” 称为p与q的等 价式，记作p q ，符号 称为等价联结词。并规定p q为真当且仅当p与q同时为真或同时为假。 真值表：
25
等值式
一、等值 1. 定义2.1
设A、B是两个命题公式，若A，B构成的等价式AB为重 言式，则称A与B是等值的，记作AB。
2.
注意
不是联结符，它是用来说明A与B的等值，要与区分清楚。
3.
如何判断两个命题公式是否等值？
方法一：通过真值表比较在各相同赋值情况下，真值是否相同。 方法二：将A，B构成 AB等价式，判断其是否为重言式。
② 设P: 明天下雨, Q: 明天下雪, R: 我去学校。 则 (i) “如果明天不是雨夹雪则我去学校”可写成 (ii) “如果明天不下雨并且不下雪则我去学校”可写成 (iii) “如果明天下雨或下雪则我不去学校”可写成 (iv) “ 当 且 仅 当 明 天 不 下 雪 并 且 不 下 雨 时 我 才 去 学 23 校 ; ; ; ;
p:张明正在睡觉。 q:张明正在游泳
p q
排斥或
p:李强是位排球队员。 q:李强是位足球队员 pq 相容或 p:张静挑选202房间。 q:张静挑选203房间 （ p q）（p q）
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命题与联结词
2. 合取 符号：
定义1.2：设p，q为二命题，复合命题“p并且q”（或“p与q”）称为p 与q的合取式，记作pq ，符号称为合取联结词。并规定pq 为真当且仅当p与q同时为真时为真。 真值表：
P Q 0 0 0 1 1 0 1 1 P 0 0 0 1
Q
p:天下雨。 q:我骑自行车上班。 s:2+2=4。 t:太阳从东方升起
r:太阳从西方升起。
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命题与联结词
5. 等价 符号：
定义1.5：设p ，q为二命题，复合命题“p 当且仅当 q” 称为p与q的等 价式，记作p q ，符号 称为等价联结词。并规定p q为真当且仅当p与q同时为真或同时为假。 真值表：
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等值式
一、等值 1. 定义2.1
设A、B是两个命题公式，若A，B构成的等价式AB为重 言式，则称A与B是等值的，记作AB。
2.
注意
不是联结符，它是用来说明A与B的等值，要与区分清楚。
3.
如何判断两个命题公式是否等值？
方法一：通过真值表比较在各相同赋值情况下，真值是否相同。 方法二：将A，B构成 AB等价式，判断其是否为重言式。
② 设P: 明天下雨, Q: 明天下雪, R: 我去学校。 则 (i) “如果明天不是雨夹雪则我去学校”可写成 (ii) “如果明天不下雨并且不下雪则我去学校”可写成 (iii) “如果明天下雨或下雪则我不去学校”可写成 (iv) “ 当 且 仅 当 明 天 不 下 雪 并 且 不 下 雨 时 我 才 去 学 23 校 ; ; ; ;
p:张明正在睡觉。 q:张明正在游泳
p q
排斥或
p:李强是位排球队员。 q:李强是位足球队员 pq 相容或 p:张静挑选202房间。 q:张静挑选203房间 （ p q）（p q）
离散数学第五版耿素云屈婉玲张立昂编著
7
9.1二元运算及其性质
例6：设S={1,2},给出P(S)上的运算～和的运算表， 其中全集为S。
P(S)={,{1},{2},{1,2}}
ai
~ai
{1} {2} {1,2}
{1} {2} {1,2}
{1,2} {1} {2}
{1} {2} {1,2} {1} {1} {1,2} {2} {2} {2} {1,2} {1}
设V1=<S1,>,V2=<S2,*>是代数系统， 和*是二元运算。 如果存在映射：S1S2，若x，yS1都有
(xb)=(x)*(y)
则称是V1到V2的同态映射，简称同态。
35
9.2 代数系统
例14： (1)G1=<Z,+>，G2=<Zn,>,令
：ZZn，(x)=(x)modn
则是否为G1到G2的同态？
六、消去律（定义9.7）
设为S上的二元运算,如果对于任意的x,y,zS满足以下 条件：
(1)若xy=xz且x，则y=z。 (2)若yx=zx且x，则y=z。 那么称运算满足消去律，其中(1)称作左消去律，(2)称作 右消去律。
24
9.1二元运算及其性质
例10：设是字母的有穷集，称为字母表，中的有限 个字母组成的序列称为上的串，对任何串，串中字 母的个数叫做串的长度，记作||，长度是0的串叫空 串，记作，对任给的自然数k，令
f:ZZZ
1 )f(x ,y )x y
2 )f( x ,y ) x y
3 )f(x ,y )xy
4 )f( x ,y ) x y
4
9.1二元运算及其性质
例2： f:R*R*R*(其R 中 *是非零 ) 实数
9.1二元运算及其性质
例6：设S={1,2},给出P(S)上的运算～和的运算表， 其中全集为S。
P(S)={,{1},{2},{1,2}}
ai
~ai
{1} {2} {1,2}
{1} {2} {1,2}
{1,2} {1} {2}
{1} {2} {1,2} {1} {1} {1,2} {2} {2} {2} {1,2} {1}
设V1=<S1,>,V2=<S2,*>是代数系统， 和*是二元运算。 如果存在映射：S1S2，若x，yS1都有
(xb)=(x)*(y)
则称是V1到V2的同态映射，简称同态。
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9.2 代数系统
例14： (1)G1=<Z,+>，G2=<Zn,>,令
：ZZn，(x)=(x)modn
则是否为G1到G2的同态？
六、消去律（定义9.7）
设为S上的二元运算,如果对于任意的x,y,zS满足以下 条件：
(1)若xy=xz且x，则y=z。 (2)若yx=zx且x，则y=z。 那么称运算满足消去律，其中(1)称作左消去律，(2)称作 右消去律。
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9.1二元运算及其性质
例10：设是字母的有穷集，称为字母表，中的有限 个字母组成的序列称为上的串，对任何串，串中字 母的个数叫做串的长度，记作||，长度是0的串叫空 串，记作，对任给的自然数k，令
f:ZZZ
1 )f(x ,y )x y
2 )f( x ,y ) x y
3 )f(x ,y )xy
4 )f( x ,y ) x y
4
9.1二元运算及其性质
例2： f:R*R*R*(其R 中 *是非零 ) 实数
离散数学配套课件PPT(第5版)第一部分 数理逻辑联结词全功能集
3
复合联结词
与非式: pq(pq) 或非式: pq(pq)
和与, ∧,∨有下述关系: p(p∧p)pp p∧q( p∧q)(pq)(pq)(pq) p∨q(p∧q)(p)(q)(pp)(qq)
4
复合联结词(续)
ppp p∧q(pp)(qq) p∨q(pq)(pq)
13
例ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ续)
解 编号
极小项
角码 标记
1 x1∧x2∧x3∧x4 2 x1∧x2∧x3∧x4 3 x1∧x2∧x3∧x4
1110 * 1011 * 0111 *
4 x1∧x2∧x3∧x4 1010 * 5 x1∧x2∧x3∧x4 0101 * 6 x1∧x2∧x3∧x4 0011 *
1.5 联结词全功能集
联结词全功能集 与非联结词,或非联结词
1
联结词的全功能集
定义 设S是一个联结词集合，如果任何n(n1) 元 真值函数都可以由仅含S中的联结词构成的公式表 示，则称S是联结词全功能集.
说明：若S是联结词全功能集，则任何命题公式都 可用S中的联结词表示.
设S1, S2是两个联结词集合，且S1 S2. 若S1是全
x y
x∧y x y
x∨y x
x
与门
或门
非门
8
组合电路的例子
(x∨y)∧x的组合电路
x y
x y
第一种画法
x 第二种画法
9
例
例 楼梯的灯由上下2个开关控制, 要求按动任何一个 开关都能打开或关闭灯. 试设计一个这样的线路. 解 x,y:开关的状态, F:灯的状态, 打开为1, 关闭为0. 不妨设当2个开关都为0时灯是打开的.
(5,7) x1∧x3∧x4 001 *
复合联结词
与非式: pq(pq) 或非式: pq(pq)
和与, ∧,∨有下述关系: p(p∧p)pp p∧q( p∧q)(pq)(pq)(pq) p∨q(p∧q)(p)(q)(pp)(qq)
4
复合联结词(续)
ppp p∧q(pp)(qq) p∨q(pq)(pq)
13
例ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ续)
解 编号
极小项
角码 标记
1 x1∧x2∧x3∧x4 2 x1∧x2∧x3∧x4 3 x1∧x2∧x3∧x4
1110 * 1011 * 0111 *
4 x1∧x2∧x3∧x4 1010 * 5 x1∧x2∧x3∧x4 0101 * 6 x1∧x2∧x3∧x4 0011 *
1.5 联结词全功能集
联结词全功能集 与非联结词,或非联结词
1
联结词的全功能集
定义 设S是一个联结词集合，如果任何n(n1) 元 真值函数都可以由仅含S中的联结词构成的公式表 示，则称S是联结词全功能集.
说明：若S是联结词全功能集，则任何命题公式都 可用S中的联结词表示.
设S1, S2是两个联结词集合，且S1 S2. 若S1是全
x y
x∧y x y
x∨y x
x
与门
或门
非门
8
组合电路的例子
(x∨y)∧x的组合电路
x y
x y
第一种画法
x 第二种画法
9
例
例 楼梯的灯由上下2个开关控制, 要求按动任何一个 开关都能打开或关闭灯. 试设计一个这样的线路. 解 x,y:开关的状态, F:灯的状态, 打开为1, 关闭为0. 不妨设当2个开关都为0时灯是打开的.
(5,7) x1∧x3∧x4 001 *
离散数学第一章PPT课件
R 0 1 0 1 0 1 0 1
Assignments（作业）
第30页: 4
1.3 公式分类与等价式
1.3.1 公式分类 1.3.2 等价公式（等值演算） 1.3.3 基本等价式----命题定律 1.3.4 代入规则和替换规则 1.3.5 证明命题公式等价的方法
1.3.1 公式分类
定义1.13 设A是一个命题公式，对A所有可能的解释： (1)若A都为真，称A为永真式或重言式。
(2)若A都为假，称A为永假式或矛盾式。
(3)若至少存在一个解释使得A为真，称A为可满足式。
例1 从上一节真值表可知，命题公式(PQ)(P∨Q)为 重言式，(PQ)∧Q为矛盾式，PQ)∧R为可满足式。
注： 1、 永真式必为可满足式，反之则不然；永真式的否定是永 假式，反之亦然； 2、 决定一个公式是否是一个永真式、永假式或可满足式有 三种方法：真值表法（适用于变元少而简单的公式）、求主范
1.否定词(negation connective )﹁
定义1.4 复合命题“非P”称为命题P的否定，记作
P，读作非P。 P为真当且仅当P为假。
例3 设 P：离散数学是计算机专业的核心课程， 则 P:离散数学不是计算机专业的核心课 程。
2.合取词(conjunction connective )∧
命题符号化的目的在于用五个联结词将日 常语言中的命题转化为数理逻辑中的形式命题， 其关键在于对自然语言中语句之间的逻辑关系 以及命题联结词的含义要有正确的理解，使用 适当的联结词： （1）确定语句是否是一个命题；
（2）找出句中连词，用适当的命题联结词表
示。
Assignments（作业）
第30页: 3（偶数小题）
定义1.12 设A是含有n个命题变元的命题 公式，将命题公式A在所有赋值之下取值的情 况汇列成表，称为A的真值表( truth table )。 为列出一个公式的真值表，我们约定： ①命题变元按字典序排列；②对公式的每个 解释，以二进制从小到大列出；③当公式较 复杂时，可先列出子公式的真值，最后列出 所给公式的真值。
离散数学第一章
例2： “派小王或小李中的一人去开会” 不能符号化为形式P∨Q ，因为这里的“或”表示 的是排斥或。它表示非此即彼，不可兼得。 运算符 ∨表示可兼或，排斥或以后用另一符号表达。也可
以借助于联结词
或。
┒、∧ 、∨共同来表达这种排斥
课堂练习： 将下列命题符号化: (1) 王东梅学过日语或俄语。 (2) 张小燕生于1977年或1978年。 (3) 小元元只能拿一个苹果或一个梨。
常称为“非”运算，所有可能的运算结果可用下表
（真值表）表示。
P
┒P
T F
F T
例: (a) P: 3是偶数。
则┑P： 3不是偶数。
(b)
的”。 (c) (d)
Q: 4 是质数。
则┑Q： 4 不是质数。或 “说4 是质数是不对 R: 我们都是汉族人。 则┒R: 我们不都是汉族人。 S: 今天下雨并且今天下雪。 则 ┒S:今天不下雨或者今天不下雪。
Q：明天下雨
是两个命题，利用联结词“不”、“并且”、 “或” 等可分别构成新命题： “明天不下雪”； “明天下雪并且明天下雨”； “明天下雪或者明天下雨”等。
即 ： “非P”；
“P并且Q”；
“P或Q”等。 在代数式x+3 中， x 、 3 叫运算对象， +叫运 算符，x+3 表示运算结果。在命题演算中， 也用同样术语。 联结词就是命题演算中的运算符，叫逻辑运算符或叫命题联 结词。常用的命题联结主要有 5 个。
2.常用命题联结词 1）. 否定词┑ 定义：设P为任一命题。复合命题“非P”(或“P的 否定”)称为P的否定，记作 ┑P，读作“非P”。┒ 为否定联结词。┑P为真当且仅当P为假。 由定义可知， ┑P 的逻辑关系为P不成立，因而P
离散数学导论
(3).由真值表可知，公式A为可满足式.
5、谓词公式的符号化. 准确地从语句中提取谓词，表示性质的谓语用一
元谓词表示，表示关系的谓语用二元或更多元数的 谓词来表示，准确地使用量词和适当的逻辑联结词 把原语句表示为谓词公式. 例：设N(x)：x是自然数. I(x)：x是整数. 则语句： “所有的自然数都是整数”可表示为谓词公式：
x(N ( x) I( x)) 设N(x)：x是自然数. E(x)：x是奇数. 则语句： “有些自然数是奇数”可表示为谓词公式：
x(N( x) E( x))
当个体域D是有限集合时, D a1 , a2 ,, an
利用下列等价式可以消去谓词公式中的量词
xp( x) p(a1 ) p(an ) xp( x) p(a1 ) p(an )
命题公式的类型可用以下方法判定： （1）真值表的方法 （2）利用已知永真式及代入、替换原理进行等价推 演的方法. （3）利用主析取范式和主合取范式的方法.
5、命题公式的范式（主析取范式、主合取范式）, 求命题公式的范式的方法: （1）利用真值表的方法. （2）等价推演的方法.
例. 命题公式的范式. 设命题公式为
整数集合上的等价关系：模n的相等关系（模n的 同余关系）,确定由模n的相等关系确定的等价类的 元素.
例：设R是集合A={1，2，….10}上的模3同余关系，
则
2 2，5，8，3 3，6，9，1 1,4,7,10
第六章
1、函数的概念及运算 2、特殊函数：单射、满射、双射的判定.
i 1
假如n为奇数，则所有结点度数之和也为奇数， 这与握手定理相违，故n必为偶数。
第九章 树 1、树的定义及等价定义 问题：设是具有个顶点的树，问其顶点度数之和等 于多少？ 2、生成树的概念