时域有限差分法(FDTD)求解Maxwell方程
lumeical的fdtd的structures
Lumerical公司是一家致力于提供光电子设计软件解决方案的国际知名企业。
其旗下的FDTD解决方案是一款基于有限差分时域（FDTD）算法的光学结构仿真软件，被广泛应用于光学通信、光电子器件设计、纳米光学等领域。
在本文中，我们将重点介绍Lumerical的FDTD解决方案在光学结构仿真方面的特点和应用。
1. FDTD算法有限差分时域（FDTD）算法是一种数值求解Maxwell方程组的方法，可以用于模拟光学结构中的电磁波传输、吸收、散射等过程。
FDTD算法是一种非常灵活、高效的仿真方法，能够准确地模拟复杂的光学结构，包括光子晶体、光波导、光栅等。
相比于传统的有限元法（FEM）和有限差分法（FDFD），FDTD算法具有更好的模拟效果和更快的计算速度。
2. Lumerical的FDTD解决方案Lumerical公司推出的FDTD解决方案是基于FDTD算法的一款专业光学结构仿真软件。
该软件集成了强大的仿真引擎和直观的用户界面，可以帮助用户快速、准确地设计和优化光学器件。
与传统的FDTD软件相比，Lumerical的FDTD解决方案具有以下几个突出特点：（1）高性能计算引擎：Lumerical的FDTD解决方案采用了最新的并行计算技术，能够充分利用多处理器和多核心，实现快速、高效的仿真计算。
（2）丰富的模拟功能：该软件支持多种光学模式的仿真，包括线偏振光、圆偏振光、自由空间光波等。
用户可以根据需要进行灵活的设置和仿真，以获取更准确的仿真结果。
（3）直观的用户界面：Lumerical的FDTD解决方案具有简洁直观的用户界面，支持图形化编辑和仿真设置，使用户能够快速上手并进行高效的工作。
3. 应用案例Lumerical的FDTD解决方案在光学结构仿真方面具有广泛的应用，下面将介绍几个典型的应用案例：（1）光子晶体器件设计：光子晶体是一种具有周期性结构的光学材料，在光子学器件中有重要的应用。
利用Lumerical的FDTD解决方案，用户可以对光子晶体的光子带隙、光子波导等性质进行准确的仿真和优化，为器件设计和性能调控提供重要参考。
二维光子晶体波导传输特性的FDTD分析
0引言1987年，美国的E.Yablonovitch [1]和S.John [2]各自独立地提出了“光子晶体”（photonics crystal ）的概念，即如果将折射系数不同的介质在空间按一定的周期排列，当周期参数与光波长同一数量级时，由于周期结构带来的布拉格散射，那么该晶体能够在一定的频率范围内产生“光子带隙”（photonic band gap ，PBG ），也称“光子禁带”。
光子晶体的能带结构特性决定了其不同于其他介电材料的特性。
光子晶体[3，4]是一种具有周期结构的人造材料，因为其应用范围广泛，一经问世就引起了学术界高度关注。
随着对光子晶体的深入研究，科学家们相信对光子晶体的研究和应用将会极大地推动光子学和光子产业的发展。
目前，在理论上，科学家们提出了多种模拟计算光子晶体的理论方法。
具有固定结构和参数的光子晶体，借助计算机，人们可以很容易计算出其能带结构、反射和透射等物理性质。
在二维光子晶体方面，分析研究不同介质常数形成的不同周期结构的光子晶体的能带结构和分析由线缺陷构成的光波导的特性仍是人们的研究课题之一。
本论文将采用时域有限差分法研究无限长Al 2O 3介质棒在空气中排列形成的二维光子晶体，通过分析反射和透射等特性，算出该完整周期结构光子晶体的带隙。
接着设计一种线缺陷，形成波导结构，进而计算和验证缺陷态的存在。
1计算方法时域有限差分法（FDTD ）是电磁场数值计算的经典方法之一，其被应用于光子晶体的理论研究[5]始于上世纪90年代。
在三维直角坐标系中，时域有限差分（FDTD ）中离散的电场和磁场的空间分布如图1所示，每一个磁场分量周围有四个电场分量；每一个电场分量周围有由四个磁场分量。
电磁场分量的这种空间取样方式既符合符合法拉第电磁感应定律和安培环路定律，又适合Maxwell 方程的差分计算，可以完整地描述电磁场随着实践在空间的的传播。
根据时域有限差分（FDTD）理论，Maxwell差分方程可以写为：同理可以写出H y 、H z 、E y 、E z 的Maxwell 差分方程。
FDTD算法概述
前向差分
后向差分
中心差分
4
利用泰勒展开式
df ( x) h 2 d 2 ( x) f ( x h) f ( x ) h 2 dx 2! dx df ( x) h 2 d 2 ( x) f ( x h) f ( x ) h 2 dx 2! dx df ( x) 2h 3 d 3 ( x) f ( x h) f ( x h) 2h 3 dx 3! dx
H x t
n 1 1 i , j ,k 2 2
Hx
n
1 1 i , j ,k Fra bibliotek 21 2
Hx t
n
1 1 i , j ,k 2 2
1 2
2 O t
E y z
E z y
n
1 1 i , j ,k 2 2
n
Ey
n 1 i , j , k 1 2
2
• 基本计算步骤
① 采用一定的网格划分方式离散化场域 ② 对场内的偏微分方程及各种边界条件进行差分离散化处理，建立差分 格式，得到差分方程组 ③ 结合选定的代数方程组的解法，编制程序，求边值问题的数值解
3
2.差分格式
• 差分基础知识
设函数f(x)，对其自变量x取增量 x h ，则
df f ( x) f ( x) f ( x h) f ( x) lim x 0 dx x x h f ( x ) f ( x h) h f ( x h) f ( x h) 2h
11
• 数值稳定的条件：
t 1 1 1 (x)2 (y )2 (z )2
当空间步长相等即Δx=Δy=Δz时，
基于DSP的色散介质FDTD算法及相关问题研究
基于DSP的色散介质FDTD算法及相关问题研究基于DSP的色散介质FDTD算法及相关问题研究摘要：色散介质是电磁波传播中常见的一种介质，其特点是传播过程中波速随频率的变化而发生变化。
该文主要围绕基于数字信号处理器(DSP)的色散介质有限差分时域(FDTD)算法展开研究，并探讨了与此相关的问题。
首先，简要介绍了FDTD方法的原理和常见的应用领域。
然后，详细阐述了色散介质的定义和相关理论知识。
接着，阐述了基于DSP的FDTD算法的基本步骤和核心原理，并讨论了在实际实现中可能遇到的问题。
最后，结合实例分析了基于DSP的色散介质FDTD算法的性能和优势。
关键词：色散介质，FDTD算法，DSP，波速，频率1. 引言色散介质是指电磁波在传播过程中随频率变化而引起波速的变化。
这种波速随频率变化的特性导致了色散现象的产生。
色散介质广泛存在于光通信、微波电路设计、声波传播等领域，并且对于信号的传播和调制起着重要的作用。
因此，对于色散介质的研究和建模具有重要意义。
2. FDTD算法简介FDTD算法，即有限差分时域算法，是一种常用的数值模拟方法，适用于求解时变电磁场的分布。
该算法基于Maxwell方程组，通过离散化空间和时间，将连续的电场和磁场分布转化为网格上的离散数值。
3. 色散介质的定义和相关理论知识色散介质是指在特定的频率范围内，材料的介电常数和磁导率随频率的变化而变化。
常见的色散介质有金属和介电体。
色散介质的特性可以通过材料的频率响应进行描述。
4. 基于DSP的FDTD算法步骤和原理基于DSP的色散介质FDTD算法是将DSP技术与FDTD算法相结合，用于模拟色散介质中电磁波的传播。
该算法主要包括以下步骤：4.1 空间和时间的离散化将待求解区域划分为网格，在时间上进行离散化，设定时间步长。
4.2 Maxwell方程的差分形式根据Maxwell方程组，推导出其差分形式，并在网格上进行离散化计算。
4.3 色散介质的模型建立根据色散介质的特点，建立对应的模型，包括介电常数和磁导率随频率的变化关系。
Maxwell
Maxwell 方程组Maxwell 方程组是描述电磁现象的一组基本方程。
目前有以下较为成熟的求解方法。
矩量法(Method of Moments, MoM)，有限元法(Finite Element Method, FEM)，边界元法(boundary element method, BEM)，传输矩阵法(Transrer Matrix Method, TMM)，时域有限差分法(Finite-Difference Time-Domain, FDTD)及严格耦合波展开法(Rigorous Coupled-Wave Analysis, RCWA)等。
1.矩量法(Method of Moments，MoM)是求解电磁场边界值问题的一种常用的数值方法。
该方法的基本原理是将需要求解的积分方程化为差分方程，或将积分方程中的积分转化为有限求和，从而建立代数方程组，并对其进行求解。
该方法优点在于解析部分较简单，但如何进行计算部分的优化成为决定该方法优劣性的关键，求解方法不当会产生伪解。
2.有限元方法(Finite Element Method，FEM)是近似求解数理边值问题的一种数值方法。
该方法的原理是将整个连续区域划分表示为许多子域。
在各个子域中，用带有未知系数的简单的插值函数表示原未知函数，从而将无限自由度的边值问题转换为有限自由度的问题。
即用有限数目的未知系数近似求解整个系统的解。
最后用里兹变分或伽辽金方法得到一方程组，对该方程组求解即可得到边值问题的解。
对于离散区域，一维区域的离散单元通常为短直线段；二维区域离散单元可为小三角形或矩形；三维区域离散单元可为四面体、三棱柱或矩形块，其中四面体最为简单和常用。
对于插值函数的选择，可综合考虑精度和复杂度进而进行选择。
通常插值函数可为一阶线性函数、二阶二次函数或高阶多项式。
其中线性插值因其简单和基本而被广泛采用。
方程组的导出可通过里兹变分和伽辽金方法得到。
有限元法的优点主要在于对复杂几何构型及各种物理问题具有良好的适应性。
matlab模拟的电磁学时域有限差分法 pdf
matlab模拟的电磁学时域有限差分法 pdf电磁学时域有限差分法（FDTD）是一种基于数值模拟的电磁场计算方法，它使用有限差分来近似微分方程。
该方法广泛用于电磁学、电波传播、微波技术、光学等领域，以求解电磁场分布和场的辐射、散射等问题。
而在这个领域中，MATLAB是非常流行的工具之一。
本文将围绕“MATLAB模拟的电磁学时域有限差分法”这一主题，从以下几个方面进行阐述：1.时域有限差分法的基础概念在FDTD方法中，将时域中的Maxwell方程组转化为差分形式，使得可以在计算机上进行数值解法。
通过在空间和时间上的离散，可以得到电磁场在时域内的各种分布，进而求得特定情况下的电磁场变化。
2.MATLAB中的FDTD仿真在MATLAB中，我们可以使用PDE工具箱中的电磁学模块来实现FDTD仿真。
通过选择适当的几何形状和边界条件，可以利用该工具箱演示电磁场的传输、反射、折射、透射等现象。
同时，MATLAB中还提供了不同的场分量计算和可视化工具，以便用户可以更好地理解电磁场分布。
3.MATLAB代码实现以下是一些MATLAB代码示例，展示了FDTD模拟的基础实现方法。
代码中的示例模拟了平面波在一个矩形和圆形障碍物上的传播情况。
% 1. Square obstaclegridSize = 200; % Grid sizemaxTime = 600; % Maximum time (in steps)imp0 = 377.0; % Impedance of free spacecourantNumber = 0.5; % Courant numbercdtds = ones(gridSize,gridSize); % Courant number in space% (not variable in this example)Ez = zeros(gridSize, gridSize); % Define EzHy = zeros(gridSize, gridSize); % Define Hy% Simulation loopfor n = 1:maxTime% Update magnetic fieldHy(:,1:end-1) = Hy(:,1:end-1) + ...(Ez(:,2:end) - Ez(:,1:end-1)) .*cdtds(:,1:end-1) / imp0;% Update electric fieldEz(2:end-1,2:end-1) = Ez(2:end-1,2:end-1) + ...(Hy(2:end-1,2:end-1) - Hy(1:end-2,2:end-1)) .* cdtds(2:end-1,2:end-1) .* imp0;end% 2. Circular obstacleradius = 50;xAxis = [-100:99];[X,Y] = meshgrid(xAxis);obstacle = sqrt((X-50).^2 + (Y).^2) < radius;gridSize = length(xAxis); % Grid sizemaxTime = 500; % Maximum time (in steps)imp0 = 377.0; % Impedance of free space courantNumber = 0.5; % Courant numbercdtds = ones(gridSize,gridSize); % Courant number in space% (not variable in this example)Ez = zeros(gridSize, gridSize); % Define EzHy = zeros(gridSize, gridSize); % Define Hy% Simulation loopfor n = 1:maxTime% Update magnetic fieldHy(:,1:end-1) = Hy(:,1:end-1) + ...(Ez(:,2:end) - Ez(:,1:end-1)) .*cdtds(:,1:end-1) / imp0;% Update electric field, with obstacleEz(2:end-1,2:end-1) = Ez(2:end-1,2:end-1) + ...(Hy(2:end-1,2:end-1) - Hy(1:end-2,2:end-1)) .* cdtds(2:end-1,2:end-1) .* imp0;Ez(obstacle) = 0;end以上代码仅供参考，不同条件下的模拟需要适当修改，以便获得特定的模拟结果。
计算电磁学-第5章-时域有限差分法1
FDTD 方法提出之后，随着计算技术，特别是电子 计算机技术的发展， FDTD 方法得到了长足的发展 ，在电磁学，电子学，光学等领域都得到了广泛 的应用
4
为求解由偏微分方程定解问题所构造的数学模型
，有限差分法是将定解区域（场区）离散化为网 格离散节点的集合。
并以各离散点上函数的差商来近似该点的偏导数 ，使待求的偏微分方程定解问题转化为一组相应 的差分方程。根据差分方程组解出各离散点处的 待求函数值—离散解。
6
时域和频域的麦克斯韦方程
时域
H E t E H J , J E t E B 0
频域
E j H H J j E E B 0
x
+1
/2 ,k )
( x x, y, z ) (i 1, j, k )
y
Hx(i, j + 1 / 2,k + 1 / 2)
Hy (i +
( x, y , z ) (i, j, k )
x
Hz(i + 1 / 2, j + 1 / 2,k)
Hx(i,j+1/2,k+1/2) Hy(i+1/2,j,k+1/2) Hz(i+1/2,j+1/2,k)
12
离散取样
空间离散：假设在各方向上均匀离散，网 格步长 Δx, Δy, Δz ，用字符 i,j,k分别表示 x,y,z方向上的网格标示。这样连续的空间 (x,y,z)离散为用(i,j,k) 表示的离散空间点— —空间取样点。 ( x x, y y, z z )
finite difference time domain method
finite difference time domain method 有限差分时域法（FiniteDifferenceTimeDomainMethod）简称FDTD法，是一种求解电磁波传播问题的数值计算方法。
该方法将Maxwell方程组离散化为差分方程，然后通过时间步进的方式求解出电磁场的时空分布。
FDTD法的主要优点是模拟精度高、适用范围广、计算效率高和可视化效果好。
它在光纤通信、雷达、无线通信、天线设计、电磁兼容等领域都有广泛应用。
FDTD法的基本思路是将空间离散为网格点，时间离散为时间步长，然后通过有限差分法求解出电磁场在每个时空点上的值。
在每个时间步长内，电磁场的分布会随着时间的推移而发生变化，因此需要不断迭代求解出下一个时间步长的电磁场分布。
FDTD法的实现需要考虑许多因素，如网格划分、边值条件、吸收边界条件等。
其中，吸收边界条件是FDTD法的一个重要问题，因为它会影响到计算结果的精度和稳定性。
总之，FDTD法是一种重要的电磁场数值计算方法，它为电磁波传播问题的研究提供了一种有效的工具。
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4
电场z分量被H分量环绕
元胞中心
Hy Ez
元胞中心
Hx
元胞中心
(i-1/2,j+1/2,k+1/2) Hx
元胞中心
Hy z (i,j,k) y
x y
5
x
直角坐标中的FDTD： 一维情形（TEM波）
H y z
Ex Ex t
H y Ex z t
6
一维电磁场分量节点取样
TM和TE波不同入射角度的反射率
金属层+隐身材料+等离子体 散射截面
2
时域有限差分法简介
• Yee（1966年）首先提出Maxwell方程的差分离 散方式，并用来处理电磁脉冲的传播和反射问 题。 • Taflove 等（1975年）用FDTD计算非均匀介质 在正弦波入射时的时谐场（稳态）电磁散射， 讨论了时谐场情况的近－远场外推，以及数值 稳定性条件。
• Berenger （1994，1996年）提出将麦克斯韦 方程扩展为场分量分裂形式，并构成完全匹配 层（PML)。
2 t CA 2 t CP 1 CQ
2t CB 2 t t
8
一维无限大真空
一维真空右侧反射
一维真空与无耗介质
一维真空与有耗介质
二维金属面计算
FDTD离散
中心差分离散
TM波不同厚度的反射率
Ex
Hy
电磁场分量 Ex 空间分量取样
z
时间轴取样
k
n
Hy
k+1/2
n+1/2
7
一维FDTD离散公式
E
n 1 x
k CA E k CB
n x
Hy
n
1 2
1 k Hy 2 z
n
1 2
1 k 2
H
n 1 2 y
n n 1 E k 1 E 1 1 n x x k 2 k CP H y k CQ 2 2 z
Yee元胞
z
Ex Hz Ex Ey Hy Ez Ey
Ez
Ez Hx
Ey
Ex
y x
H z H y Ex Ex z t y H x H z E y Ey z x t H y H x Ez Ez y t x Ez E y H x y z t H y Ex Ez z x t E y Ex H z x y t
时域有限差分法（FDTD）求解 Maxwell方程组
Maxwell方程和Yee元胞
• 麦克斯韦旋度方程
E H E t
B E t
H z H y Ex Ex z t y H x H z E y Ey z x t H y H x Ez Ez y t x Ez E y H x y z t H y Ex Ez z x t E y Ex H z x y t