差分方程及其Z变换法求解
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Z变换和差分方程
t z 1
经常用于分析计算机系统的稳态误差！！
5、超前定理
n F ( z ) f ( nT ) z 则： 设函数f(t)的 Z变换为 n 0
Z [ f (t kT )] z F ( z ) z
k
k
n 0
n 1
f (nT ) z n
若
f (0) f (T ) f [(k 1)T ] 0 则：
k
求: y ( k )
• 解： • 将方程中除 y（k）以外的各项都移到等号右边， • 得： y(k ) 3 y(k 1) 2 y(k 2) f (k )
• 对于 k 2, 将已知初始值 y(0) 0, y(1) 2代入上式，得：
y(2) 3 y(1) 2 y(0) f (2) 2
第三节
差分方程
差分方程是包含关于变量 k 的序列y（k） 及其各阶差分的方程式。 是具有递推关系的代数方程，若已知初始 条件和激励，利用迭代法可求差分方程的数值 解。
差分方程的定义:
对于单输入单输出线性定常系统，在某一采样时 刻的输出值 y(k) 不仅与这一时刻的输入值 r(k)有 关，而且与过去时刻的输入值r(k-1)、 r(k-2)…有 关，还与过去的输出值y(k-1)、 y(k-2)…有关。可 以把这种关系描述如下：
i 1
n
i 1 n
函数线性组合的Z变换，等于各函数Z变换的线性组合。
2、滞后定理
设在t<0时连续函数f(t)的值为零，其Z变换为F（Z）则:
Z[ f (t kT )] z k F ( z)
原函数在时域中延迟几个采样周期，相当于在象函数上乘以z-k, 算子z-k的含义可表示时域中时滞环节，把脉冲延迟k个周期。
经常用于分析计算机系统的稳态误差！！
5、超前定理
n F ( z ) f ( nT ) z 则： 设函数f(t)的 Z变换为 n 0
Z [ f (t kT )] z F ( z ) z
k
k
n 0
n 1
f (nT ) z n
若
f (0) f (T ) f [(k 1)T ] 0 则：
k
求: y ( k )
• 解： • 将方程中除 y（k）以外的各项都移到等号右边， • 得： y(k ) 3 y(k 1) 2 y(k 2) f (k )
• 对于 k 2, 将已知初始值 y(0) 0, y(1) 2代入上式，得：
y(2) 3 y(1) 2 y(0) f (2) 2
第三节
差分方程
差分方程是包含关于变量 k 的序列y（k） 及其各阶差分的方程式。 是具有递推关系的代数方程，若已知初始 条件和激励，利用迭代法可求差分方程的数值 解。
差分方程的定义:
对于单输入单输出线性定常系统，在某一采样时 刻的输出值 y(k) 不仅与这一时刻的输入值 r(k)有 关，而且与过去时刻的输入值r(k-1)、 r(k-2)…有 关，还与过去的输出值y(k-1)、 y(k-2)…有关。可 以把这种关系描述如下：
i 1
n
i 1 n
函数线性组合的Z变换，等于各函数Z变换的线性组合。
2、滞后定理
设在t<0时连续函数f(t)的值为零，其Z变换为F（Z）则:
Z[ f (t kT )] z k F ( z)
原函数在时域中延迟几个采样周期，相当于在象函数上乘以z-k, 算子z-k的含义可表示时域中时滞环节，把脉冲延迟k个周期。
Z变换和差分方程
Tz (z 1)2
F
(z)
Tz (z 1)2
例8—7
f (t) t 2
T 2z(z 1) F(z) (z 1)3
• 下表列出了一些常见函数及其相应的
Laplace 变换 和 Z 变换，利用此表可以根 据给定的函数或其 Laplace 变换直接查出 其对应的 Z变换，不必进行繁琐的计算， 这也是实际中广泛应用的方法。
常用函数的 Z变换（见教材341页表8－4－1）
f (t)
F (s)
F (z)
(t)
1(t )
t
t2 / 2 e at
teat
sin t
cos t
1
1
s
1 s2
1 s3
1 sa
1 (s a)2
s2 2
s
s2 2
1
z z 1
zT ( z 1)2
z( z 1)T 2 2( z 1)3
这就是上述采样控制系统的差分方程。
差分方程的 求解方法
1. 迭代求解
输出: c(k 1)T c(kT) Te(kT)
由于e(k) r(k) c(k)
上式可以改写为c[(k 1)]（T 1)c(k) Tr(k)
k 0 c(1) (1T)c(0) Tr(0)
k 1 c(2) (1T )c(1) Tr(1) (1T )2 c(0) (1T )Tr(0) Tr(0)
z z e aT
zTeaT (z eaT )2
z sin T z 2 2z sin T 1
z2 z cosT z2 2z cosT 1
4.3 Z 变换的基本定理（p342）
1、线性定理 2、滞后定理 3、初值定理 4、终值定理 5、超前定理 6、复数偏移定理
差分方程的求解
Y ( z) G( z ) R( z ) 1 G ( z ) E( z) 1 R( z ) 1 G ( z )
16
计算机控制技术课程讲义
例：已知采样控制系统如下图，求计算系统的闭环脉冲传递 函数
r(t) + —
10 s ( s 1)
Y(z)
y(t)
解： 系统开环脉冲传递函数为：
计算机控制技术课程讲义
Y ( z) G( z) R( z ) 1 GH ( z )
15
闭环脉冲传递函数
Y ( z) G( z) R( z ) 1 GH ( z ) E( z) 1 R( z ) 1 GH ( z )
误差脉冲传递函数
对于单位反馈系统
闭环脉冲传递函数 误差脉冲传递函数
k 0
则g * (t ) [1( k T ) e 10t ]z k 方法一： G ( z ) Z [ g * (t )] 1( k T) z
k 0 k
e 10t z ) 10T z 1 z e ( z 1)( z e 10T ) 方法二： G(s) 1 1 s s 10
9
10T 1 z z ( 1 e ) 直接查表得：G ( z) 计算机控制技术课程讲义 z 1 z e 10T ( z 1)( z e 10T )
4.5.3 开环脉冲传递函数
一、连续系统串联环节 方框图
R(s) Y(s)
G1(s)
G2(s)
Y ( s) G( s) G1 ( s)G2 ( s) R( s )
b0 rk b1rk 1 b2 rk 2 ... bm rk m ( y : 输出，r : 输入)
Z变换及差分方程的求解
Z变换及差分⽅程的求解第⼆讲离散时间动态经济系统运动分析及稳定性分析2.1离散时间函数与Z变换⽬的要求：通过本节的学习使学⽣掌握离散时间函数及Z变换的概念，会使⽤Z变换的性质解决问题，掌握差分⽅程及离散时间系统的运动分析⽅法。
教学内容：我们经常会遇到利⽤离散时间函数表⽰的差分⽅程或差分⽅程组，这在经济管理中经常遇到。
现介绍离散时间函数，差分⽅程后⾯介绍。
⼀、离散时间函数例1 ⼈⼝离散时间函数设全国⼈⼝普查每年进⾏⼀次。
每年的7⽉1⽇凌晨零点的⼈⼝数代表该年的⼈⼝数。
我们以t=0 代表1990年7⽉1⽇凌晨的这个时刻，那么t=1,2,3,……分别表⽰1991年、1992年、1993年等各年度7⽉1⽇凌晨零点。
各年度普查的实际⼈⼝数如下表所⽰中国实际⼈⼝数据（亿⼈）x(0)=11.4333, x(1)=11.5823, x(2)=11.7171,x(3)=11.8517, x(4)=11.9850, x(5)=12.1121,x(6)=12.2389, x(7)=12.3626,……由于在离散时间离取值，故称之为离散时间函数例2 国民⽣产总值GNP(gross national product)离散时间函数。
则，GNP(t)表⽰第t年的GNP数值。
GNP(O)=33560.5, GNP(1)=46670.0, GNP(2)=57494.9,……例3 企业⽉产量离散时间函数。
表为电视机⼯⼚⽣产⽉报表（万台）则，Y(0)=1.5, Y(1)=2, Y(2)=1.8,……可以看出，经济管理实践中基本上采⽤离散时间函数来表达各种变量的变化，并该函数没有解析表达式，只有图象、列表表达式。
其⾃变量为离散时间。
⼆、Z 变换及其逆变换导⾔：Z 变换是怎么发明出来的？⽜顿、莱布尼兹等发明了微积分，之后发明了常系数微分⽅程及⽅程组。
在求解⽅程时总结经验，简化计算，如⽤符号s 表⽰微分运算s=d/dt,即s 〃f(t)=df(t)/dt 。
利用z变换解差分方程
于是
Y(z) =
br z−r ∑ ak z−k ∑
k＝ 0 M r＝ 0 N
M
X(z)
令
H(z) =
∑b z
r r＝ 0 N k＝ 0
−r
ak z−k ∑
则
Y(z) = X (z)H(z)
−1
此时对应的序列为 y(n) = F [X(z)H(z)]
差分方程为 例：若描述离散系统的 1 1 y(n) + y(n −1) − y(n − 2) = x(n) 2 2 x(n) = 2n u(n) , y( 已知激励 初始状态 −1) =1, y(−2) = 0, 求系统的零输入响应、 零状态响应和全响应。 求系统的零输入响应、 零状态响应和全响应。
ak z−k [Y(z) = ∑br z−r [X(z) + ∑x(m)z−m] ∑
k＝ 0 r＝ 0 m=−r N M −1
如果激励x(n)为因果序列， 如果激励x(n)为因果序列，上式可以写成 x(n)为因果序列
ak z−k [Y(z) = ∑br z−r X(z) ∑
k＝ 0 r＝ 0 N M
8.5节已经给出利用 节已经给出利用z 在8.5节已经给出利用z变换解差分方程的简 单实例，本节给出一般规律。 单实例，本节给出一般规律。这种方法的原 理是基于z变换的线性和位移性， 理是基于z变换的线性和位移性，把差分方程 转化为代数方程，从而使求解过程简化。 转化为代数方程，从而使求解过程简化。
k＝ 0 l =−k r＝ 0 m=−r −1
若激励x(n)=0,即系统处于零输入状态，此时 若激励x(n)=0,即系统处于零输入状态， x(n)=0,即系统处于零输入状态 差分方程（ 差分方程（1）成为齐次方程∑a y(n −源自) =0k=0 kN
差分方程及其Z变换法求解
例1：右图所示的一阶系统描述它的微分方程为
y(t ) Ke(t ) K (r (t ) y(t ))
y(t ) Ky(t ) Kr (t )
用一阶前向差分方程近似：
(1)
r( t ) e( t ) -
K
1/s
y( t )
y (k 1)T y (kT ) dy y (t ) lim dt T 0 T
由图：x1 (k 1)T x2 (kT )
zX 1 ( z ) zx1 (0) X 2 ( z )
x2(kT)
z
1
x1(kT)
z 1
x1(0) 1
x1 ( z)
x2(z) y[(k+1)T]
例2：画出例2所示离散系统的模拟图
y[(k 1)T ] -( KT -1) y(kT ) + KTr (kT ) r(kT)
y (k 1)T y (kT ) T
(T 很小)
(2)
式中：T为采样周期，（2）代入（1）得：
y (k 1)T (KT 1) y(kT ) KTr(kT )
y(k 1) ( K 1) y(k ) Kr (k )
(3)
二、离散系统差分方程的模拟图
连续系统采用积分器s-1作为模拟连续系统微分方程的主要器件； 与此相对应，在离散系统中，采用单位延迟器z-1。 单位延迟器：把输入信号延迟一个采样周期T秒或延迟1拍。
再利用初始条件，逐次迭代得到各采样时刻的值。
特点：适用于计算机处理求解。 例3：用迭代法解二阶差分方程 y(k+2) +3y(k+1)+2y(k)=1(k)
利用初始条件 y(0)=0, y(1)=1，则有： y(k+2) =-3y(k+1) -2y(k)+1(k) y(2) =-3y(1) -2y(0)+1(0)= -3*1-2*0+1= -2
K2.11-差分方程的z变换解
y(2)
1
z2 3z , F(z) z
(z 1)(z 1)(z 2)
z 1
1 z 1 z 11 z , | z | 2 6 (z 1) 2 (z 1) 3 (z 2)
y(k) 1 1k 1 (1)k 11(2)k , k 0
62
i0
k 0
j0
n
n
i 1
m
[ ani z i ]Y (z) ani [ y(k i)z k ] ( bm j z j )F (z)
i0
i0
k 0
j0
2
差分方程的z变换解
Y (z)
M (z) A( z )
B(z) A( z )
F(z)
Yzi (z)
Yzs (z)
系统函数 H (z) Yzs (z) B(z) F (z) A(z)
5
差分方程的z变换解
y(k) 3y(k 1) 2 y(k 2) f (k 2)
对差分方程两边取单边z变换，得
0
1
Y (z) 3[z1Y (z) y(k 1)zk ] 2[z2Y (z) y(k 2)zk ] z2F (z)
k 0
k 0
Y
(z)
(3
2z1) y(1) 2 1 3z 1 2z 2
yzs (1) yzs (2) 0, f (k) (k)
由右移性质，对方程两边取单边z变换，得
Yzs ( z)
3z 1 yzs ( z)
2
z
Y 2 zs
(
z
)
z2F (z)
Yzs
(z)
(1
z 2 3z1
2 z 2
)
F(z)
(z
差分方程的z变换解法ppt课件
5
例如：有一因果系统方程为：y(n) 1 y(n 1) 1 x(n)
2
2
⑴ 若y(-1)=2，求系统的零输入响应；
⑵ 若x(n)=(1/4)nu(n)，求系统的零状态响应；
解：⑴ 求零输入响应，系统方程为齐次方程。
y(n) 1 y(n 1) 0 2
系统方程求z变换
Y (z) 1 z1[Y (z) y(1)z] 0 2
y(n) 0.7 y(n 1) 0.1y(n 2) x(n) x(n 1) x(n) u(n) , y(1) 2, y(2) 7
解：对方程两边同求z变换
Y (z) 0.7z1[Y (z) y(1)z] 0.1z2[Y (z) y(2)z2 y(1)z] X (z)(1 z1)
§5-4 LTI系统Z变换分析法
利用Z变换求解线性常系数差分方程方法如下： ⒈对差分方程两边求单边z变换。注意：方程左边应用非因果的移
位性，方程右边应用因果序列的移位性。
⒉解代数方程，求输出序列的z变换Y(z)。
⒊求反z变换，得到输出的时间序列y(n)。
N
M
设差分方程为： ak y(n k)
X(z)
z z1
4
1 z2 Y(z) 2
(z 1)(z 1) 24
1z 1z
Y (z)
3 z
1
6 z
1
2
4
1
Y(z) 2 X (z) 1 1 z1 2
Y (z) z
(z
1z 2 1)(z
1)
24
11
z
3 1
例如：有一因果系统方程为：y(n) 1 y(n 1) 1 x(n)
2
2
⑴ 若y(-1)=2，求系统的零输入响应；
⑵ 若x(n)=(1/4)nu(n)，求系统的零状态响应；
解：⑴ 求零输入响应，系统方程为齐次方程。
y(n) 1 y(n 1) 0 2
系统方程求z变换
Y (z) 1 z1[Y (z) y(1)z] 0 2
y(n) 0.7 y(n 1) 0.1y(n 2) x(n) x(n 1) x(n) u(n) , y(1) 2, y(2) 7
解：对方程两边同求z变换
Y (z) 0.7z1[Y (z) y(1)z] 0.1z2[Y (z) y(2)z2 y(1)z] X (z)(1 z1)
§5-4 LTI系统Z变换分析法
利用Z变换求解线性常系数差分方程方法如下： ⒈对差分方程两边求单边z变换。注意：方程左边应用非因果的移
位性，方程右边应用因果序列的移位性。
⒉解代数方程，求输出序列的z变换Y(z)。
⒊求反z变换，得到输出的时间序列y(n)。
N
M
设差分方程为： ak y(n k)
X(z)
z z1
4
1 z2 Y(z) 2
(z 1)(z 1) 24
1z 1z
Y (z)
3 z
1
6 z
1
2
4
1
Y(z) 2 X (z) 1 1 z1 2
Y (z) z
(z
1z 2 1)(z
1)
24
11
z
3 1
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二、离散系统差分方程的模拟图
连续系统采用积分器s-1作为模拟连续系统微分方程的主要器件； 与此相对应，在离散系统中，采用单位延迟器z-1。
单位延迟器：把输入信号延迟一个采样周期T秒或延迟1拍。
由图：x1 (k 1)T x2 (kT )
zX1(z) zx1(0) X 2 (z)
x2(kT)
z1 x1(kT)
y*(t) y(kT )(t kT ) n0 [1/ 6 1/ 2(1)k 2 / 3(2)k ](t kT ) n0
例4：求y[(k+2)T]+y[(k+1)]+0.24y(kT)=u(kT)在单位阶跃函数 作用下的解。初始条件y(0)=0, y(T)=1。
解: z2Y (z) - z2 y(0) - zy(T ) zY (z) - zy(0) 0.24Y (z) U (z)
Y (z)
z U(z) z2 z 0.24
(z
z2 1)(z2
z
0.24)
U (z) Z[1(t)] z z 1
z[
z
]
(z 1)(z 0.4)(z 0.6)
z
0.446 (z -1)
1.429 (z 0.4)
-
1.875 (z 0.6)
y(kT ) 0.446 1.429(-0.4)k -1.875(-0.6)k
b0r[(k m)T ] b1r[(k m 1)T ] .......bm1r[(k 1)T ] bmr(kT )
例1：右图所示的一阶系统描述它的微分方程为
y&(t) Ke(t) K(r(t) y(t)) y&(t) Ky(t) Kr(t) (1)
用一阶前向差分方程近似：
r(t) e(t) -K
y(t) [0.446 1.429(0.4)k 1.875(0.6)k ](t kT ) k 0
(t -T ) 0.763(t - tT ) 0.24(t - 4T ) ......
y(3) =-3y(2) -2y(1)+1(1)= -3*(-2)-2*1+1= 5
。。。。。。
y *(t) (t T ) 2(t 2T ) 5(t 3T) K K
Z变换法：是用z变换实数位移定理、将差分方程化为以z为变 量的代数方程，然后进行z反变换，求出各采样时刻的响应。
Z变换法得到解的收敛表达式，而不是级数形式，更具有直观 性，便于理论分析与研究。
再利用初始条件，逐次迭代得到各采样时刻的值。 特点：适用于计算机处理求解。
例3：用迭代法解二阶差分方程 y(k+2) +3y(k+1)+2y(k)=1(k) 利用初始条件 y(0)=0, y(1)=1，则有：
y(k+2) =-3y(k+1) -2y(k)+1(k) y(2) =-3y(1) -2y(0)+1(0)= -3*1-2*0+1= -2
z 1
(z2 3z 2)Y (z) z z z2 z 1 z 1
Y
(z)
(z2
3z
z2 2)(z
1)
z
1/ 6 1/ 2 2 / 3
z[
] z[ ]
(z2 3z 2)(z -1) z -1 z 1 z 2
y(kT ) z1( y(z)] 1/ 6 1/ 2(1)k 2 / 3(2)k
差分方程及其Z变换法求解
一、离散系统的差分方程模型
一阶前向差分方程：
y(k 1)T ay(kT) br(kT)
y(k 1) ay(k) br(k)
一阶后向差分方程：
y(kT) ay(k 1)T br(kT)
y(k) ay(k 1) br(k)
二阶前向差分方程：
y(k 2) a1y(k 1) a2 y(k) br(k)
z 1
x2(z)
x1(0) 1
x1(z)
例2：画出例2所示离散系统的模拟图
y[(k 1)T ] -(KT -1) y(kT) + KTr(kT )
r(kT) KT
y[(k 1)T ] (KT -1) y(kT ) KTr(kT )
y(k 1) (K -1) y(k) Kr(k)
y[(k+1)T]
y(k 2)T a1y(k 1)T a2 y(kT) br(kT)
二阶后向差分方程：
y(k) a1y(k 1) a2 y(k 2) br(k)
y(kT) a1y(k 1)T a2 y(k 2)T br(kT)
依此类推，可得n阶差分方程：
y[(k n)T ] a1y[(k n 1)T ] .......an1y[(k 1)T ] an y[kT ]
例3：用Z变换法解二阶差分方程 y[(k+2)T]+3y[(k+1)T]+2y(kT)=1(kT)
初始条件为：y(0)=0, y(T)=1
y(k+2) +3y(k+1) +2y(k)=1(k) 初始条件为：y(0)=0, y(1)=1
解: [z2Y (z) - z2 y(0) - zy(T )] 3[Y (z) - zy(0)] 2Y (z) z
y&(t) dy lim y(k 1)T y(kT )
dt T 0
T
y(k 1)T y(kT ) (T 很小) (2)
T
式中：T为采样周期，（2）代入（1）得：
y(k 1)T (KT 1)y(kT) KTr(kT)
y(k 1) (K 1) y(k) Kr(k)
y(t) 1/s
(3)
z 1
-
KT-1
y(kT)
三、差分方程的解
差分方程的求解：迭代法、z变换法。 迭代法：将原系统的差分方程化为如下形式：
y[(k n)T ] a1y[(k n 1)T ] ...... an1y[(k 1)T ] an y[kT ] b0r[(k m)T ] b1r[(k m 1)T ] .......bm1r[(k 1)T ] bmr(kT )