Z变换和差分方程
Z变换及差分方程的求解
Z变换及差分⽅程的求解第⼆讲离散时间动态经济系统运动分析及稳定性分析2.1离散时间函数与Z变换⽬的要求：通过本节的学习使学⽣掌握离散时间函数及Z变换的概念，会使⽤Z变换的性质解决问题，掌握差分⽅程及离散时间系统的运动分析⽅法。
教学内容：我们经常会遇到利⽤离散时间函数表⽰的差分⽅程或差分⽅程组，这在经济管理中经常遇到。
现介绍离散时间函数，差分⽅程后⾯介绍。
⼀、离散时间函数例1 ⼈⼝离散时间函数设全国⼈⼝普查每年进⾏⼀次。
每年的7⽉1⽇凌晨零点的⼈⼝数代表该年的⼈⼝数。
我们以t=0 代表1990年7⽉1⽇凌晨的这个时刻，那么t=1,2,3,……分别表⽰1991年、1992年、1993年等各年度7⽉1⽇凌晨零点。
各年度普查的实际⼈⼝数如下表所⽰中国实际⼈⼝数据（亿⼈）x(0)=11.4333, x(1)=11.5823, x(2)=11.7171,x(3)=11.8517, x(4)=11.9850, x(5)=12.1121,x(6)=12.2389, x(7)=12.3626,……由于在离散时间离取值，故称之为离散时间函数例2 国民⽣产总值GNP(gross national product)离散时间函数。
则，GNP(t)表⽰第t年的GNP数值。
GNP(O)=33560.5, GNP(1)=46670.0, GNP(2)=57494.9,……例3 企业⽉产量离散时间函数。
表为电视机⼯⼚⽣产⽉报表（万台）则，Y(0)=1.5, Y(1)=2, Y(2)=1.8,……可以看出，经济管理实践中基本上采⽤离散时间函数来表达各种变量的变化，并该函数没有解析表达式，只有图象、列表表达式。
其⾃变量为离散时间。
⼆、Z 变换及其逆变换导⾔：Z 变换是怎么发明出来的？⽜顿、莱布尼兹等发明了微积分，之后发明了常系数微分⽅程及⽅程组。
在求解⽅程时总结经验，简化计算，如⽤符号s 表⽰微分运算s=d/dt,即s 〃f(t)=df(t)/dt 。
差分方程及其Z变换法求解
= b0 r[(k + m)T ] + b1r[(k + m − 1)T ] + .......bm−1r[(k + 1)T ] + bm r (kT )
zX 1 ( z ) − zx1 (0) = X 2 ( z )
x2(kT)
z −1
x1(kT) z −1 x2(z) y[(k+1)T] KT
-
x1(0) 1 x1(z)
例2：画出例2所示离散系统的模拟图
y[(k + 1)T ] = -( KT -1) y (kT ) + KTr (kT ) r(kT)+ 1)T ] + ( KT -1) y (kT ) = KTr (kT ) y (k + 1) + ( K -1) y (k ) = Kr (k )
KT-1
三、差分方程的解
差分方程的求解：迭代法、z变换法。 迭代法：将原系统的差分方程化为如下形式：
y[(k + n)T ] = −a1 y[(k + n − 1)T ] − ...... − an −1 y[(k + 1)T ] − an y[kT ] + b0 r[( k + m)T ] + b1r[(k + m − 1)T ] + .......bm −1r[( k + 1)T ] + bm r (kT )
y (kT ) = 0.446 + 1.429(-0.4) k -1.875(-0.6) k
matlab用z变换求解差分方程
matlab用z变换求解差分方程Z变换是一种非常重要的信号分析工具，在MATLAB中，可以使用Symbolic Math Toolbox进行Z变换的计算和求解差分方程。
Z变换是一种将离散时间信号从时间域转换到复平面域的方法。
它与拉普拉斯变换的关系类似，但适用于离散时间信号的分析。
在MATLAB 中，使用syms函数创建符号变量来表示Z变换的变量，然后使用ztrans函数进行Z变换的计算和求解差分方程。
下面将通过一个简单的例子来说明如何使用MATLAB进行Z变换求解差分方程。
假设有一个差分方程：y[n]-0.5y[n-1]+0.25y[n-2]=x[n]首先，使用syms函数创建符号变量：syms z定义输入信号和初始条件：x=z^2;%输入信号y0=1;%初始条件y[-1]y1=0;%初始条件y[-2]然后，使用ztrans函数进行Z变换计算：Y = ztrans(y[n], n, z);X = ztrans(x, n, z);差分方程中的Y和X分别表示Y(z)和X(z)，因此可以写出差分方程的Z变换方程：Y-0.5*z^(-1)*Y+0.25*z^(-2)*Y=X然后，将方程转化为Y(z)的表达式：Y = solve(Y - 0.5*z^(-1)*Y + 0.25*z^(-2)*Y == X, Y);至此，Z变换方程求解完成，可以使用ilaplace函数从Z域转换回时间域，以获得Y[n]的表达式：y = ilaplace(Y, z, n);最后，可以将结果绘制出来：n=-10:10;%时间范围y_n = subs(y, n, n); % 计算y[n]的值stem(n, y_n); % 绘制离散时间信号综上所述，我们可以使用MATLAB的Symbolic Math Toolbox进行差分方程的Z变换求解，这对于信号分析和系统设计非常有用。
信号与系统差分方程z域解中前向差分
信号与系统是电子信息类专业中重要的课程之一，差分方程是信号与系统中重要的内容之一，而z域解是差分方程求解中常用的方法之一。
本文将针对差分方程z域解中前向差分进行较为详细的介绍，希望能够为读者对该知识点有更深入的理解。
一、差分方程的引入在信号与系统中，差分方程是描述离散时间信号的重要数学工具。
它可以描述离散时间信号的演变规律，对于系统的分析和设计具有重要意义。
二、z变换及z域表示z变换是拉普拉斯变换在离散时间信号中的推广，它可以将离散时间域中的信号转换到z域。
在z域中，信号与系统的分析更加方便，因此z 变换及z域表示是信号与系统中的重要内容。
三、差分方程的z域解差分方程的z域解即是将差分方程通过z变换转换到z域中进行求解的过程。
z域解可以帮助我们更加清晰地了解离散时间系统的特性，并且为系统的分析提供了重要的数学工具。
四、前向差分前向差分是差分方程中常用的一种形式，它通过求取当前时刻与前一时刻的差分来描述离散时间信号的演变规律。
前向差分在信号与系统中具有重要的应用，对系统的分析和设计有着重要的意义。
五、前向差分在z域中的表示在z域中，前向差分可以通过z变换的性质进行表示，这样可以方便地进行系统的分析和设计。
掌握前向差分在z域中的表示对于信号与系统的学习具有重要意义。
六、前向差分在系统分析中的应用前向差分在系统分析中有着广泛的应用，特别是在控制系统中的离散控制中，前向差分被广泛地应用。
了解前向差分在系统分析中的应用对于提高学习者的专业素养有着重要的作用。
七、结论本文对差分方程z域解中前向差分进行了较为详细的介绍，希望能够帮助读者对该知识点有更深入的理解。
差分方程z域解在信号与系统中有着重要的作用，掌握这一知识点对于提高学习者的专业素养具有重要意义。
希望读者能够通过本文对差分方程z域解中前向差分有所了解，进一步加深对信号与系统这一重要学科的理解。
由于差分方程z 域解在离散时间信号与系统中的重要性，我们需要进一步深入研究前向差分在系统分析中的应用。
差分方程及其Z变换法求解
例1：右图所示的一阶系统描述它的微分方程为
y(t ) Ke(t ) K (r (t ) y(t ))
y(t ) Ky(t ) Kr (t )
用一阶前向差分方程近似：
(1)
r( t ) e( t ) -
K
1/s
y( t )
y (k 1)T y (kT ) dy y (t ) lim dt T 0 T
由图：x1 (k 1)T x2 (kT )
zX 1 ( z ) zx1 (0) X 2 ( z )
x2(kT)
z
1
x1(kT)
z 1
x1(0) 1
x1 ( z)
x2(z) y[(k+1)T]
例2：画出例2所示离散系统的模拟图
y[(k 1)T ] -( KT -1) y(kT ) + KTr (kT ) r(kT)
y (k 1)T y (kT ) T
(T 很小)
(2)
式中：T为采样周期，（2）代入（1）得：
y (k 1)T (KT 1) y(kT ) KTr(kT )
y(k 1) ( K 1) y(k ) Kr (k )
(3)
二、离散系统差分方程的模拟图
连续系统采用积分器s-1作为模拟连续系统微分方程的主要器件； 与此相对应，在离散系统中，采用单位延迟器z-1。 单位延迟器：把输入信号延迟一个采样周期T秒或延迟1拍。
再利用初始条件，逐次迭代得到各采样时刻的值。
特点：适用于计算机处理求解。 例3：用迭代法解二阶差分方程 y(k+2) +3y(k+1)+2y(k)=1(k)
利用初始条件 y(0)=0, y(1)=1，则有： y(k+2) =-3y(k+1) -2y(k)+1(k) y(2) =-3y(1) -2y(0)+1(0)= -3*1-2*0+1= -2
6.5 用Z变换解差分方程
上述结论可由s平面与z平面的关系以及H(s)极点 分布与h(t)形状的关系直接得来
（五）由H(z)判定离散系统的稳定性
稳定系统： H z 的全部极点落在单位圆之内。
临界稳定系统：单位圆上有一阶极点，其余极点均位 于单位圆内。
不稳定系统：单位圆外有极点或单位圆上有高阶极点。
第六章 z变换、 离散系统的z域分析 小结
解：
零状态响应，初值为0
(1) Y z 3z 1Y z 2z 2Y z X z 1 z 1
Y z 1 z 1 z ( 2) H z 1 2 X z 1 3z 2z z2
综合
例：书：87页，例8-19
§6.5
用 z 变 换 解 差 分 方 程
§6利用Z变换解差分方程的一般规律； 方法的原理： 基于Z变换的线性和位移性 将差分方程转化为代数方程 使求解过程简化
线性时不变离散系统的差分方程一般形式：
a
k 0
N
k
y( n k ) br x ( n r )
N N A z n 1 k hn ZT Ak zk un k 0 z zk k 0
H z 的极点 zk ，可以是不同的实数或共轭复数， 决定了 hn 的特性。
zk在单位圆内，h(n)为衰减序列
zk在单位圆外， h(n)为发散序列 zk在单位圆上且为一阶： h(n)不衰减也不发散 zk在单位圆上且为高阶： h(n)为发散序列
2） A1 2 ，B1 2,
3) Y z 2
B2 2
z z z 2 2 2 z 1 z2 z 2
n n n
4) yn 2 1 2 2 2n 2 un
差分方程Z变换
第3章线性离散时间系统的描述及分析差分方程及其时域分析3.1.1 差分方程3.1.2 差分方程的解A递推解B古典解C Z变换求解Z变换3.2.1 Z变换的定义3.2.2 Z变换的性质3.2.3 Z反变换A长除法B留数法C部分分式法离散时间系统的Z域分析3.3.1 零输入响应3.3.2 零状态响应3.3.3 完全响应Z传递函数及其求法3.4.1 Z传递函数的定义3.4.2 离散系统的运算3.4.3 由G(s)求G(z)——连续时间系统的离散化A对G(s)的讨论B对离散化方法的评价C 留数法D直接代换法E系统等效法Ⅰ——冲击响应不变法；F系统等效法Ⅱ——阶跃响应不变法G部分分式法3.4.4 离散化方法小结线性离散时间系统的稳定性分析3.5.1 闭环极点与输出特性之间的关系3.5.2 稳定判据线性离散时间系统的频率特性分析法3.6.1 线性离散时间系统的频率特性3.6.2 线性离散时间系统的频率特性分析法第3章 线性离散系统的描述及分析 3.1 差分方程及其时域分析 3.1.1差分方程 在线性离散时间动态系统中，输入激励序列u (k )与输出响应序列y (k )之间的动态关系在时域中用差分方程来描述，差分方程一般写成升序方式1101101-1()(1)(1)()()(1)(1)()0(0),(1),...,(-1)n n m m n y k n a y k n a y k a y k b u k m b u k m b u k b u k k y y y y y n y m n--+++-++++==+++-++++≥===≤有始性:初始条件:时间因果律:或写成∑∑==-+--+=+m i nj j i j n k y a i m k u b n k y 01)()()(上式表明某一离散时间点上输出值可能与当前时间点上的输入值（当00,b m n ≠=）以及此前若干个输入和输出值有关。
推论开来，当前的输出值是“此前”全部激励和内部状态共同作用的“积累”效应。
利用z变换解差分方程 ppt课件
利用z变换解差分方程
6
于是 令 则
M
br z r
Y(z)
r＝0 N
X (z)
ak zk
k＝0
M
br z r
H (z)
r＝0 N
ak zk
k＝0
Y(z)X(z)H (z)
此时对应的序列为 F y(n) 1[X(z)H (z)]
利用z变换解差分方程
7
例： 已知系统的差分方达程式表为
y(n)0.9y(n1) 0.05u(n) 若边界条y件(1) 1,求系统的完全响应。
5
若系统的起始状态y(l)=0(-N≤l≤-1),即系统处于 零起始状态，此时式(2)变成
N
M
1
a kz k[Y (z)b rz r[X (z) x (m )z m ]
k ＝ 0
r＝ 0
m r
如果激励x(n)为因X(z)
k＝ 0
r＝ 0
利用z变换解差分方程
3
线性常系数差分一方般程形的式为
N
M
ak y(nk) brx(nr)
k0
r0
（1）
将 等 式 两 边 取 换单 ，边 利z用变z 变性换得位 移 特
N
1
M
1
akzk[Y(z) y(l)zl] brzr[X(z) x(m)zm] （2）
k＝0
lk
r＝0
mr
利用z变换解差分方程
§7.7 利用z变换解差分方程
• 主要内容
•z变换解差分方程的一般步骤 •举例说明
• 重点：利用z变换解差分方程的一般步骤
利用z变换解差分方程
1
解差分方程的方法： （1）时域经典法 （2）卷积和解法 （3）Z变换解法
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经常用于分析计算机系统的稳态误差！！
5、超前定理
n F ( z ) f ( nT ) z 则： 设函数f(t)的 Z变换为 n 0
Z [ f (t kT )] z F ( z ) z
k
k
n 0
n 1
f (nT ) z n
若
f (0) f (T ) f [(k 1)T ] 0 则：
k
求: y ( k )
• 解： • 将方程中除 y（k）以外的各项都移到等号右边， • 得： y(k ) 3 y(k 1) 2 y(k 2) f (k )
• 对于 k 2, 将已知初始值 y(0) 0, y(1) 2代入上式，得：
y(2) 3 y(1) 2 y(0) f (2) 2
第三节
差分方程
差分方程是包含关于变量 k 的序列y（k） 及其各阶差分的方程式。 是具有递推关系的代数方程，若已知初始 条件和激励，利用迭代法可求差分方程的数值 解。
差分方程的定义:
对于单输入单输出线性定常系统，在某一采样时 刻的输出值 y(k) 不仅与这一时刻的输入值 r(k)有 关，而且与过去时刻的输入值r(k-1)、 r(k-2)…有 关，还与过去的输出值y(k-1)、 y(k-2)…有关。可 以把这种关系描述如下：
i 1
n
i 1 n
函数线性组合的Z变换，等于各函数Z变换的线性组合。
2、滞后定理
设在t<0时连续函数f(t)的值为零，其Z变换为F（Z）则:
Z[ f (t kT )] z k F ( z)
原函数在时域中延迟几个采样周期，相当于在象函数上乘以z-k, 算子z-k的含义可表示时域中时滞环节，把脉冲延迟k个周期。
z R1 lim ( s p1 ) F ( s) piT s p1 z e
当F(S)具有q阶重复极点时,其留数为:
1 d q 1 z R lim q 1 (s p1 ) q F (s) (q 1)! s p1 ds z e piT
n 0
可得：F (z) = f(0) ×1 + f (T) Z-1 + f(2T) Z-2 + f (nT) Z-n
例 8-1
见教材339页 例题8－4－1.
at
例 8-2 求 e
的 F(Z)
见教材339页例题8－4－2
解：F z e akT z k e0 z 0 e aT z 1 e 2 aT z 2
1
4.2.3
留数计算法
设连续函数f(t)的拉普拉斯变换F(S)及全部极点 已知,则可用留数计算法求Z变换.
z n F ( z ) Z [ f (t )] res F ( pi ) Ri piT z e i 1 i 1
* n
当F(S)具有一阶极点S=P1时,其留数为:
• 类似的依次迭代可得：
y (3) 3 y(2) 2 y(1) f (3) 10 y (4) 3 y (3) 2 y(2) f (4) 10
迭代法的 特点
1. 思路清楚，便于编写计算程序，能得到方程 的数值解。
2. 但不容易得出输出在采样时刻值的通解。
•
k 0
1 1 e aT z 1
z z e aT
2. 部分分式法
当连续函数可以表示为指数函数之和时，可以利用这种方法。
a s(s a)
例8-3 求解
F ( s)
的 Z 变换 。
见教材339页例题8－4－3
A B 1 1 解：因为 F s s sa s sa 而 L1F s 1(t ) e at z z z (1 e aT ) 所以 F ( z ) aT z 1 z e ( z 1)( z e aT )
3、初值定理
F ( z ) 存在，则 设函数f(t)的Z变换为F（z），并且 lim z
f (0) lim f ( z )
z
4、终值定理 设函数f(t)的 Z变换为F（z），并且（1-z-1）F(z) 在以原点为圆心的单位圆上和圆外均无极点，则有
f () lim( z 1) F ( z )
* n 0
n
Z e
sT s
1 s ln z T
• 引入变量：
ze
Ts
sT s
或者写成： s 1 ln z
S: 拉普拉斯变换的算子； Ts:采样周期； Z：一个复变量，定义在 Z 平面上，称为 Z 变换算子， 记为：采样信号的Z变换：Z［f*(t)] = F(z)
F (z)是采样脉冲序列的 Z变换， 它只考虑了采样时刻的信号值。
Tz 2 ( z 1)
例 8 —7
f (t ) t
2
T 2 z ( z 1) F ( z) ( z 1)3
•
下表列出了一些常见函数及其相应的 Laplace 变换 和 Z 变换，利用此表可以 根据给定的函数或其 Laplace 变换直接查 出其对应的 Z变换，不必进行繁琐的计算， 这也是实际中广泛应用的方法。
Z 变换的实质
1. 将差分方程转为代数方程，简化求解过程。
2. 复变量 s 与 z 之间的关系，反映了连续函 数在 s 域和离散函数在 z 域的对应关系。
4.2
Z 变换的方法
级数求和法
部分分式法
留数计算法
1. 级数求和法
• 将离散函数根据定义展开,然后逐项进行拉斯 变换， • F *(t) = f (nt) (t nT )
例8-4 求 F ( z) Z[sint ]
s s 1 1 2j 2 2 2j 2j 2j 解： L[sin t ] 2 2 2 2 s s s j s j 因为 所以 1 j ( t ) L e s j 1 1 1 1 F ( z) z 2 2 jT 1 jT 1 s 2 j 1 e z 2 j 1 e z z 1 sin T z 1 sin T jT 1 jT 1 2 1 e z e z z 1 2 z 1 cos T z 2
例8—6 求
解:
f (t ) t 的Z变换
两阶重极点!!
1 F (s) 2 s
d z d z 2 1 R lim (s 0) 2 lim sT sT s 0 ds s 0 s z e ds z e
Tz F ( z) ( z 1) 2
上式可以改写为 c[(k 1)] （T 1)c(k ) Tr (k )
k 0
k 1
c(1) (1 T )c(0) Tr (0)
c(2) (1 T )c(1) Tr (1) (1 T ) 2 c(0) (1 T )Tr (0) Tr (0) k 1
n 0
f (t ) c0 (t ) c1 (t T ) c2 (t 2T ) cn (t nT)
也即：
f (nT) cn
10z 例8—8 求 F ( z ) 的Z反变换 ( z 1)(z 2)
解：
10z 10z 1 F ( z) 2 z 3z 2 1 3z 1 2 z 2
te
at
sin t cos t
s
2
2
s 2
zTe aT ( z e aT ) 2
z sin T z 2 z sin T 1 z 2 z cosT z 2 2 z cosT 1
2
s2
4.3
Z 变换的基本定理（p342）
1、线性定理 2、滞后定理 3、初值定理 4、终值定理 5、超前定理 6、复数偏移定理
y(k n) a1 y(k n 1) an y(k ) b0 r (k m) b1r (k m 1) bm r (k )
n—系统的阶次
k—系统的第k个采样周期
线性定常系统差分 方程的一般形式
差分方程的物理意义
• 1.差分方程给出了沿时间顺序输出量的若 干个采样瞬时值与输入量在采样瞬时的值 的关系。 • 2.通常，若系统的连续部分是一个 n 阶的 线性环节，则构成离散系统时，其相应的 差分方程也是 n 阶的线性差分方程。 • 3. 一个n 阶差分方程中，一般包括有n 个 过去采样瞬时的输出值。
i 0
c( k ) (1 T ) k c(0) T (1 T ) k 1i r (i )
迭代法求解示例
• 例题：若描述某离散系统的差分方程为： y(k ) 3 y(k 1) 2 y(k 2) f (k ) 已知初始条件:
y(0) 0, y(1) 2, 激励f（k） 2 (k ),
例8-4-5
解:
求 cos t ຫໍສະໝຸດ Z变换s s F ( s) 2 2 s ( s j )(s j )
s z 1 z R1 lim ( s j ) sT s j ( s j )(s j ) z e 2 z e jT s z 1 z R2 lim ( s j ) sT s j ( s j )(s j ) z e 2 z e jT
1、线性定理 设： f (t ) ai f i (t ) a1 f1 (t ) a2 f 2 (t ) an f n (t ) 则： F ( z ) ai Fi ( z ) a1F1 ( z ) a2 F2 ( z ) an Fn ( z )