微积分下册主要知识点

第一换元积分法(凑微分法)

g[ (X)]「(x)dx = g(u)du = F(U) C = FL (x)] C

J f (x)dx= J f［毋(t)］"(t)dt = F(t)+C = F［寧(X)PC ,

注：以上几例所使用的均为三角代换,三角代换的目的是化掉根式，其一般规律如下当被积函数中含有

a).a2-x2,可令X =as int;

b)x2a2,可令x =ata nt;

C).X22

-a ,可令x =asect.

当有理分式函数中分母的阶较高时，常采用倒代换X=1 .

t

四、积分表续

4.3分部积分法

UdV=UV- VdU

(或微分)的逆运算.一般地，下列类型的被 n

都是正整数).

n .

X SInmX

n

X cosmx nx ・ e SIn mx

nx

e cosmx

分部积分公式:

UVdX=UV- U VdX

(3.2)

n mx X e

n

X arcsInmX

X n (In x) X n

arccosmx

X n arcta nmx 等.

5.1定积分的概念 5.2定积分的性质 两点补充规定: 性质 性质 性质 性质 性质

推论 推论 b

⑻当 a=b 时， f(x)dx=0; (b)当 a b 时， f(x)dx - - f (x)dx .

b

[f (x)二g(x)]dx

f (X )dx

g (X )dx.

a a

a

b b

kf (x)dx =k f (x)dx, (k 为常数).

a IJ a

b Cb

f (x)dx f(x)dx 亠 I f (x)dx .

a

∙a

∙c

若在区间

若在区间 b

dx 二b -a.

a

[a,b]上有 f(x)_g(x),则 f(χ)dx g(x)dx, (a ：：：b).

■a *a

b

[a,b]上 f(x)_0,贝 U f(x)dx_O, (a ：：b). a b I L f(X)dx 兰『I f (X)IdX (a cb).

a L

- 性质6 (估值定理)设M 及m 分别是函数f(x)在区间［a,b ］上的最大值及最小值，则 b m(b —a) _ f (x)dx _ M (b —a). a

性质7 (定积分中值定理)如果函数f (x)在闭区间［a,b ］上连续，则在［a,b ］上至少存在 个点，使 b

f(x)dx = f( )(b-a), (a _ -b).

a 5.3微积分的基本公式

一、引例 X

二、积分上限的函数及其导数 ：：•：J (X^ f(t)dt

L a

定理2若函数f(x)在区间［a,b ］上连续，则函数

(3.1) 分部积分法实质上就是求两函数乘积的导数 积函数常考虑应用分部积分法

(其中m,

X

G (X)= i f(t)dt

IJ a

就是f (x)在［a,b ］上的一个原函数.

三、牛顿一莱布尼兹公式

定理3若函数F(X)是连续函数f(x)在区间［a,b ］上的一个原函数，则

b

a f (x)dx =F(b) — F(a).

(3.6)

公式(3.4)称为牛顿一莱布尼茨公式. 5.4定积分的换元法积分法和分部积分法 一、定积分换元积分法

定理1设函数f (x)在闭区间［a,b ］上连续 屈数x = "t)满足条件：

(1) ( ) =a, ：C)=b, 且 a 乞 It)乞b ;

(2) ∙ (t)在^ ,-］(或「：，:•］)上具有连续导数，则有

b

B

f(x)dx= f ［ :(t)b ：

(t)dt . (4.1)

a :■

公式(4.1)称为定积分的换元公式.

定积分的换元公式与不定积分的换元公式很类似 .但是,在应用定积分的换元公式时应

注意以下两点：

(1)用X= (t)把变量X 换成新变量t 时，积分限也要换成相应于新变量 t 的积分限，且

5.5广义积分

一、无穷限的广义积分

⅛0

f(x)dx = F(x) |a =F( ；)_F(a) a

b

__

f (x)dx =F(X) ∣*F(b) -F(-：：)

= f(x)dx =F(x)|^F( ：：)-F(」：)

二、无界函数的广义积分

b

b

f (x)dx = Iim f (x)dx

a ;》0 W 亠；

b b - J

f (x)dx = Iim f (x)dx.

a

7-∙0 a

5.6定积分的几何应用 一、微元法

定积分的所有应用问题， 示为定积分的形式. 一般总可按“分割、求和、取极限”三个步骤把所求的量表

可以抽象出在应用学科中广泛采用的将所求量 U (总量)表示为定积分的方法一一 微

元法，这个方法的主要步骤如下：

上限对应于上限，下限对应于下限；

(2)求出f ［ (t)^:⑴的一个原函数 t 的上、 原变量X 的函数,而只要把新变量 二、定积分的分部积分法

b

. ÷(t)后,不必象计算不定积分那样再把

÷(t)变换成 下限分别代入÷(t)然后相减就行了

.

b b b

UdV =[uv]a

VdU

a

b b

b

UVdX = [uv]a VUdX

a

a