微积分下册知识点
微积分下册主要知识点汇总
vduuvudv (3.1)
vdxuuvdxvu (3.2)
(或微分)的逆运算. 一般地, 下列类型的被
(其中m, n都是正整数).
arctanarccosarcsin)(lncossincossin等mxxmxxmxxxxexmxemxemxxmxxnnnnmxnnxnxnn
:
已知曲面上的点所满足的几何条件，建立曲面的方程;
已知曲面方程，研究曲面的几何形状.
. 可以证明空间中任一平面都可以用三元一次
DCzByAx
(1.3)
. 其中A、B、C、D是不全为零常数. 方程(1.3)称为平面的一般方程.
2 平行于某定直线并沿定曲线C移动的直线L所形成的轨迹称为柱面. 这条定曲
定积分的概念
定积分的性质
(a) 当ba时, ;0)(b
dxxf (b) 当ba时, abbadxxfdxxf)()(.
1
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2）)(t在],[(或],[)上具有连续导数,则有
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)()]([)(. (4.1)
(4.1)称为定积分的换元公式.
. 但是,在应用定积分的换元公式时应
1）用)(tx把变量x换成新变量t时, 积分限也要换成相应于新变量t的积分限,且
),(),(lim00000,
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微积分下知识点总结
三一文库（）/总结〔微积分下知识点总结〕引导语：微积分是很多人都掌握不太好的一门课，那么临近考试，有哪些下册的微积分的知识点呢？接下来是小编为你带来收集整理的文微积分下知识点总结，欢迎阅读！▲A．Funin函数（1）函数的定义和性质（定义域值域、单调性、奇偶性和周期性等）（2）幂函数（一次函数、二次函数，多项式函数和有理函数）（3）指数和对数（指数和对数的公式运算以及函数性质）（4）三角函数和反三角函数（运算公式和函数性质）（5）复合函数，反函数*（6）参数函数，极坐标函数，分段函数（7）函数图像平移和变换▲B．Lii and ninuiy极限和连续（1）极限的定义和左右极限第1页共4页（2）极限的运算法则和有理函数求极限（3）两个重要的极限（4）极限的应用-求渐近线（5）连续的定义（6）三类不连续点（移点、跳点和无穷点）（7）最值定理、介值定理和零值定理▲．Derivaive导数（1）导数的定义、几何意义和单侧导数（2）极限、连续和可导的关系（3）导数的求导法则（共21个）（4）复合函数求导（5）高阶导数（6）隐函数求导数和高阶导数（7）反函数求导数*（8）参数函数求导数和极坐标求导数▲D．Appliain f Derivaive导数的应用（1）微分中值定理（D-V）（2）几何应用-切线和法线和相对变化率（3）物理应用-求速度和加速度（一维和二维运动）（4）求极值、最值，函数的增减性和凹凸性*（5）洛比达法则求极限（6）微分和线性估计，四种估计求近似值24。
微积分下考试重点全总结
抓住微积分，它是高数的核心，理解好导数和积分的含义。
题记―――高等数学，是某些自考专业的重要课程。
但对于如何通过考试，如何学好这门课程，许多朋友都是百展莫愁，头痛不已。
而高数及格率又是所有科目中及格率最低的几门之一，成为许多考生能否顺利完成专业课程的主要障碍。
数学，是一门深奥而又有趣的课程。
如果增加对这门课程的自信心，不要畏惧它，你会很容易接受这门课，你也会发觉其实这门课程并不难，这对于学好数学是一个非常必要的条件。
培根说，“数学是科学的大门和钥匙。
”的确，数学是科学技术的基础。
高等数学与应用数学（包括线性代数、概率论与数理统计、复变函数、数学物理方程，等等）是各专业的重要基础理论课。
在会计专业里，比如财务成本管理，审计，评估，管理会计，……等等科目里都有高等数学的影子；在经济学领域里，更是如此。
无论微观经济还是宏观经济的经典理论里都有高等数学的烙印函数、极限与连续(一)基本概念1．函数：常量与变量，函数的定义2．函数的表示方法：解析法，图示法、表格法3．函数的性质：函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性4．初等函数：基本初等函数，复合函数，初等函数，分段表示的函数，建立函数关系5．极限：数列极限、函数极限、左右极限、极限四则运算，无穷小量与无穷大量，无穷小量的性质，无穷小量的比较，两个重要极限6．连续：函数在一点连续，左右连续，连续函数，间断点及其分类，初等函数的连续性，闭区间上连续函数性质的叙述重点：函数概念，基本初等函数，极限的计算难点：建立函数关系，极限概念(二)基本要求·1·1. 理解函数的概念，了解分段函数。
能熟练地求函数的定义域和函数值。
2. 了解函数的主要性质(单调性、奇偶性、周期性和有界性)。
3. 熟练掌握六类基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质和图形。
4. 了解复合函数、初等函数的概念。
5. 会列简单应用问题的函数关系式。
6. 了解极限的概念，知道数极限的描述性定义，会求函数的左、右极限。
微积分下册知识点模板
精品文档微积分下册知识点第一章 空间解析几何与向量代数 （一） 向量及其线性运算1、 向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；2、 线性运算：加减法、数乘；3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；4、 利用坐标做向量的运算：设),,(z y x a a a a =ρ，),,(z y x b b b b =ρ，则),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=±ρρ,),,(z y x a a a a λλλλ=ρ；5、 向量的模、方向角、投影：1） 向量的模：222z y x r ++=ρ；2） 两点间的距离公式：212212212)()()(z z y y x x B A -+-+-=3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角γβα,,4） 方向余弦：r zr y r x ρρρ===γβαcos ,cos ,cos 1cos cos cos 222=++γβα5） 投影：ϕcos Pr a a j u ρρρ=，其中ϕ为向量a ρ与u ρ的夹角。
（二） 数量积，向量积1、 数量积：θcos b a b a ρρρρ=⋅1）2a a a ρρρ=⋅2）⇔⊥b a ρρ0=⋅b a ρρ z z y y x x b a b a b a b a ++=⋅ρρ2、 向量积：b a c ρρρ⨯=精品文档大小：θsin b a ρρ，方向：c b a ρρρ,,符合右手规则1）0ρρρ=⨯a a2）b a ρρ//⇔0ρρρ=⨯b azy x zy x b b b a a a kj i b a ρρρρρ=⨯运算律：反交换律 b a a b ρρρρ⨯-=⨯（三） 曲面及其方程 1、 曲面方程的概念：0),,(:=z y x f S2、 旋转曲面：yoz 面上曲线0),(:=z y f C ，绕y 轴旋转一周：0),(22=+±z x y f 绕z 轴旋转一周：0),(22=+±z y x f3、 柱面：),(=y x F 表示母线平行于z轴，准线为⎪⎩⎪⎨⎧==0),(z y x F 的柱面 4、 二次曲面（不考）1） 椭圆锥面：22222z b y a x =+ 2） 椭球面：1222222=++c z b y a x旋转椭球面：1222222=++cz a y a x3） 单叶双曲面：1222222=-+c z b y a x4） 双叶双曲面：1222222=--czb y a x5） 椭圆抛物面：z by a x =+22226） 双曲抛物面（马鞍面）：z b ya x =-2222 7） 椭圆柱面：12222=+b y a x8） 双曲柱面：12222=-b ya x9） 抛物柱面：ay x =2（四） 空间曲线及其方程1、 一般方程：⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F2、 参数方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ，如螺旋线：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===btz t a y ta x sin cos 3、 空间曲线在坐标面上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F ，消去z ，得到曲线在面xoy 上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==00),(z y x H（五） 平面及其方程 1、 点法式方程：0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A法向量：),,(C B A n =ρ，过点),,(000z y x2、 一般式方程：0=+++D Cz By Ax截距式方程：1=++czb y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111C B A n =ρ，),,(2222C B A n =ρ，222222212121212121cos CB AC B A C C B B A A ++⋅++++=θ⇔∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A ⇔∏∏21// 212121C C B B A A ==4、 点),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离：222000C B A DCz By Ax d +++++=（六） 空间直线及其方程1、 一般式方程：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++022221111D z C y B x A D z C y B x A2、 对称式（点向式）方程：p z z n y y m x x 000-=-=-方向向量：),,(p n m s =ρ，过点),,(000z y x3、 参数式方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+=pt z z nty y mt x x 0004、 两直线的夹角：),,(1111p n m s =ρ，),,(2222p n m s =ρ，222222212121212121cos pn m p n m p p n n m m ++⋅++++=ϕ⇔⊥21L L 0212121=++p p n n m m⇔21//L L212121p p n n m m ==5、 直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，222222sin p n m C B A CpBn Am ++⋅++++=ϕ⇔∏//L 0=++Cp Bn Am精品文档⇔∏⊥L pCn B m A ==第二章 多元函数微分法及其应用 （一） 基本概念1、 距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。
微积分总结(下册)
微积分（B II)总结chapter 8 多元函数微分学8。
1 多元函数的极限先看极限是否存在（一个方向组（y=kx）或两个方向趋近于极限点（给定方向必须当x满足极限过程时,y也满足极限过程））。
如果存在，能先求的先求，能用等价无穷小替换的就替换,最后考虑夹逼准则。
8.2 偏导数点导数定义（多用于分段函数的分界点）例：求，就是求分段函数的点偏导数在连续，但偏导数不一定存在（如:锥)8.3 全微分函数可微，则偏导数必存在(逆否命题可证明函数不可微,证明时，把右边前两项移到左边，看它是不是的高阶无穷小）例:对于某一点处的全微分，也可能要用到点导数.8.4多元复合函数求导8.4。
1链式求导法则链式求导法则要求函数对每个中间变量求偏导，乘以中间变量对自变量求偏导。
而所谓函数对第一中间变量求偏导就是说另外把两个中间变量看做不变.小心：中间变量要带入,例：(在计算z对u的偏导时，相当于把v,t看做不变）这里的u,v要带入（第三行），并且z是具体的函数，所以在对中间变量求偏导数时，偏导数可以求出来8。
4.2隐函数求偏导全微分性质的不变性例：①用全微分形式的不变性两边同时取全微分,相当于（-xy）为中间变量，求出全微分后，直接出偏导②想象z=z(x，y）即z是复合函数，两边对x,y求导也能的出来（较慢）8。
5 隐函数求导公式8。
5.1 一个方程分母上的做函数，分子上的做一个自变量，对分子上的求偏导如：若求偏x，那就把方程看成z=z（x，y）对z求导.注意，x,yy独立，然而z对x，y求导不是08.5。
2 方程组观察方程组，4个变量，两个等式，那么说有两个自由变量。
让求,就是把方程组看成u=u(x，y）,v=v（x,y)，上下对y求导.（把分母上的变量看做函数）8。
6空间曲线的几何应用8。
6。
1空间曲线的切线与法平面特殊地，无论方程如何给出，弄出对x或对t的导数十分关键.注意，在某点处的切线方程在看方向向量时要把那个点带入8。
微积分下册
微积分下册微积分是数学的一个重要分支，研究了函数的变化率和积分。
它是物理学、工程学和计算机科学等其他领域的基础。
本文将介绍微积分下册的内容，包括导数、定积分、不定积分和微分方程等知识点。
导数是微积分中的基本概念，它描述了函数在某一点上的变化率。
导数的计算方法有很多，包括用极限定义、求导法则和微分等。
导数在实际问题中有广泛的应用，例如求速度、加速度、变化率等。
在导数的学习中，我们会遇到常见函数的导数，如幂函数、指数函数、对数函数和三角函数等。
通过掌握这些函数的导数性质，我们可以更好地应用导数来解决实际问题。
第二章定积分定积分是微积分中的另一个重要概念，它描述了函数在一个区间上的累积变化量。
定积分的计算可以通过求和的方法，将区间划分成无限多个微小的小区间，然后将每个小区间上的函数值相乘再求和。
在定积分的学习中，我们会遇到一些不可积函数的情况，这时我们需要借助极限的概念，使用黎曼和或达布和的方法来逼近定积分的值。
定积分在物理学中有着广泛的应用，例如计算曲线下的面积、质量、体积等。
第三章不定积分不定积分是定积分的逆运算，它描述了函数的原函数。
不定积分的计算可以通过找到一个函数，它的导数等于给定函数，这个函数就是原函数。
不定积分的计算方法有很多，包括换元法、分部积分法和三角换元法等。
掌握不定积分的技巧对于解决一些复杂函数的积分问题非常重要。
不定积分在求解微分方程、计算曲线长度和求解面积等问题时都有着重要的应用。
第四章微分方程微分方程是微积分中的一个重要内容，它描述了含有未知函数及其导数的关系式。
微分方程的解可以通过积分和求导的操作来得到。
微分方程在自然科学和工程科学中有广泛的应用，例如物理学中的运动方程、电路中的电流方程等。
在微分方程的学习中，我们会遇到一阶和高阶微分方程，它们的解需要根据给定条件来确定。
解微分方程的方法包括分离变量法、变量代换法和特殊的方程形式等。
微积分下册主要介绍了导数、定积分、不定积分和微分方程等知识点。
微积分下册复习要点（共5篇）
微积分下册复习要点（共5篇）第一篇：微积分下册复习要点微积分下册复习要点第七章多元函数微分学1．了解分段函数在分界点连续的判别；2．掌握偏导数的计算（特别是抽象函数的二阶偏导数）必考3．掌握隐函数求导（曲面的切平面和法线），及方程组求导（曲线的切线和法平面方程）必考。
4．方向导数的计算，特别是梯度，散度，旋度的计算公式；必考。
5．可微的定义，分段函数的连续性及可微性，偏导数及偏导数的连续性。
6．多元函数的极值和最值：无条件极值和条件极值（拉格朗日乘数法），实际问题的最值。
必考。
第八章重积分1．二重积分交换积分次序；必考。
2．利用合适的坐标系计算（特别是极坐标）3．三重积分中三种坐标系的合理使用（直角坐标系，柱坐标系，球坐标系）在使用时特别注意“先二后一法”的运用。
必考。
4．重积分的应用中曲面面积、重心、转动惯量、引力的公式，曲面面积为重点。
第九章曲线曲面积分1．第一、二类曲线积分的计算公式（特别是参数方程）；2．第一、二类曲面积分的计算公式（常考第一类曲面积分，第二类曲面积分一般用高斯公式）3．三个公式的正确使用（格林公式、高斯公式、斯托克斯公式）必考。
可以参考期中考试卷中最后三个题。
4．格林公式中有“奇点”的使用条件及积分与路径无关的条件（可能和全微分方程结合）必考。
第10章级数1．数项级数的敛散性的判别：定义，收敛的必要条件，比较判别法及极限形式，比值判别法，根值判别法，莱布尼兹判别法，条件收敛和绝对收敛的概念。
2．幂级数的收敛域及和函数的计算。
（利用逐项求导和逐项积分）必考。
3．将函数展成幂级数。
（一般利用间接法）必考。
4．将函数展成傅里叶级数，系数的计算公式；狄利克雷收敛定理；几个词的理解（周期延拓、奇延拓、偶延拓、变量替换）第11章常微分方程1．各种一阶微分方程的计算：可分离变量、齐次方程、可化为齐次方程的方程、一阶线性微分方程、伯努利方程、全微分方程。
2．可降阶的微分方程三种形式，特别注意不显含x 这种情形。
微积分下册主要知识点汇总
一、第一换元积分法(凑微分法)C x F C u F du u g dx x x g +=+=='⎰⎰)]([)()()()]([ϕϕϕ.二、常用凑微分公式三、第二换元法C x F C t F dt t t f dx x f +=+='=⎰⎰)]([)()()]([)(ψϕϕ,注: 以上几例所使用的均为三角代换, 三角代换的目的是化掉根式, 其一般规律如下:当被积函数中含有a) ,22x a - 可令 ;sin t a x = b) ,22a x + 可令 ;tan t a x = c),22a x - 可令 .sec t a x =当有理分式函数中分母的阶较高时, 常采用倒代换tx 1=.四、积分表续 4.3分部积分法xu x u x u x u x u x u a u e u x u x u b ax u x d x f dx x x f x d x f dx xx f x d x f xdx x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f da a f a dx a a f de e f dx e e f x d x f dx xx f x d x f dx x x f a b ax d b axf a dx b ax f xx xx x x xx x x arcsin arctan cot tan cos sin ln )(arcsin )(arcsin 11)(arcsin .11)(arctan )(arctan 11)(arctan .10cot )(cot csc )(cot .9tan )(tan sec )(tan .8cos )(cos sin )(cos .7sin )(sin cos )(sin .6)(ln 1)(.5)()(..4)(ln )(ln 1)(ln .3)0()()(1)(.2)0()()(1)(.1法分积元换一第换元公式积分类型22221==========+=-=-=+-==-=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅≠=≠++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-μμμμμμμ分部积分公式： ⎰⎰-=vdu uv udv (3.1)⎰⎰'-='vdx u uv dx v u (3.2)分部积分法实质上就是求两函数乘积的导数(或微分)的逆运算. 一般地, 下列类型的被积函数常考虑应用分部积分法(其中m , n 都是正整数)..arctan arccos arcsin )(ln cos sin cos sin 等mx x mxx mxx x x e x mx e mx e mx x mx x n n n n mx n nx nx n n5.1定积分的概念 5.2定积分的性质两点补充规定：(a) 当b a =时, ;0)(=⎰badx x f (b) 当b a >时,⎰⎰-=abbadx x f dx x f )()(.性质1 .)()()]()([⎰⎰⎰±=±bababadx x g dx x f dx x g x f性质2 ,)()(⎰⎰=baba dx x f k dx x kf (k 为常数).性质3⎰⎰⎰+=bccab a dx x f dx x f dx x f )()()(.性质4 .1a b dx dx baba-==⋅⎰⎰性质5 若在区间],[b a 上有),()(x g x f ≤ 则,)()(⎰⎰≤babadx x g dx x f ).(b a <推论1 若在区间],[b a 上,0)(≥x f 则 ,0)(≥⎰badx x f ).(b a <推论2).(|)(|)(b a dxx f dx x f baba<≤⎰⎰性质6 (估值定理)设M 及m 分别是函数)(x f 在区间],[b a 上的最大值及最小值,则).()()(a b M dx x f a b m ba-≤≤-⎰性质7 (定积分中值定理) 如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续,则在],[b a 上至少存在一个点ξ, 使).(),)(()(b a a b f dx x f ba≤≤-=⎰ξξ5.3微积分的基本公式 一、引例二、积分上限的函数及其导数：⎰=Φxadt t f x )()(定理2 若函数)(x f 在区间],[b a 上连续,则函数⎰=Φxadt t f x )()(就是)(x f 在],[b a 上的一个原函数.三、牛顿—莱布尼兹公式定理3 若函数)(x F 是连续函数)(x f 在区间],[b a 上的一个原函数,则)()()(a F b F dx x f ba-=⎰. (3.6)公式(3.4)称为牛顿—莱布尼茨公式.5.4定积分的换元法积分法和分部积分法 一、定积分换元积分法定理1 设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续,函数)(t x ϕ=满足条件： （1）,)(,)(b a ==βϕαϕ 且b t a ≤≤)(ϕ； （2）)(t ϕ在],[βα(或],[αβ)上具有连续导数,则有⎰⎰'=βαϕϕdt t t f dx x f ba)()]([)(. (4.1)公式(4.1)称为定积分的换元公式.定积分的换元公式与不定积分的换元公式很类似. 但是,在应用定积分的换元公式时应注意以下两点：（1）用)(t x ϕ=把变量x 换成新变量t 时, 积分限也要换成相应于新变量t 的积分限,且上限对应于上限,下限对应于下限；（2） 求出)()]([t t f ϕϕ'的一个原函数)(t Φ后,不必象计算不定积分那样再把)(t Φ变换成原变量x 的函数,而只要把新变量t 的上、下限分别代入)(t Φ然后相减就行了. 二、定积分的分部积分法⎰baudv ⎰-=ba b a vdu uv ][ 或⎰'badx v u ⎰'-=ba b a dx u v uv ][5.5广义积分一、无穷限的广义积分)()(|)()(a F F x F dx x f a a-+∞==∞++∞⎰)()(|)()(-∞-==∞-∞-⎰F b F x F dx x f b b)()(|)()(-∞-+∞==∞+∞-+∞∞-⎰F F x F dx x f二、无界函数的广义积分⎰⎰++→=ba ba dx x f dx x f εε)(lim )(0.)(lim)(0⎰⎰-+→=εεb aba dx x f dx x f5.6定积分的几何应用一、微元法定积分的所有应用问题，一般总可按“分割、求和、取极限”三个步骤把所求的量表示为定积分的形式.可以抽象出在应用学科中广泛采用的将所求量U （总量）表示为定积分的方法——微元法，这个方法的主要步骤如下：(1) 由分割写出微元 根据具体问题，选取一个积分变量，例如x 为积分变量，并确定它的变化区间],[b a ，任取],[b a 的一个区间微元],[dx x x +，求出相应于这个区间微元上部分量U ∆的近似值，即求出所求总量U 的微元 dx x f dU )(=；(2) 由微元写出积分 根据dx x f dU )(=写出表示总量U 的定积分⎰⎰==bab adx x f dU U )(微元法在几何学、物理学、经济学、社会学等应用领域中具有广泛的应用，本节和下一节主要介绍微元法在几何学与经济学中的应用.应用微元法解决实际问题时，应注意如下两点：(1) 所求总量U 关于区间],[b a 应具有可加性，即如果把区间],[b a 分成许多部分区间, 则U 相应地分成许多部分量, 而U 等于所有部分量U ∆之和. 这一要求是由定积分概念本身所决定的;(2) 使用微元法的关键是正确给出部分量U ∆的近似表达式dx x f )(，即使得U dU dx x f ∆≈=)(. 在通常情况下，要检验dx x f U )(-∆是否为dx 的高阶无穷小并非易事，因此，在实际应用要注意dx x f dU )(=的合理性. 二、平面图形的面积（1）直角坐标系下平面图形的面积 （2）极坐标系下平面图形的面积曲边扇形的面积微元 θθd r dA 2)]([21=所求曲边扇形的面积 .)]([212θθϕβαd A ⎰=三、旋转体：由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体称为旋转体. 这条直线称为旋转轴.旋转体的体积微元 ,)]([2dx x f dV π= 所求旋转体的体积 .)]([2⎰=badx x f V π四、平行截面面积为已知的立体的体积：如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.体积微元 ,)(dx x A dV = 所求立体的体积 .)(⎰=badx x A V5.7积分在经济分析的应用6.1空间解析几何简介一、空间直角坐标系在平面解析几何中，我们建立了平面直角坐标系，并通过平面直角坐标系，把平面上的点与有序数组(即点的坐标),(y x )对应起来. 同样，为了把空间的任一点与有序数组对应起来，我们来建立空间直角坐标系.过空间一定点O , 作三条相互垂直的数轴， 依次记为x 轴（横轴）、y 轴（纵轴）、z 轴（竖轴），统称为坐标轴. 它们构成一个空间直角坐标系Oxyz （图6-1-1）. 空间直角坐标系有右手系和左手系两种. 我们通常采用右手系.二、空间两点间的距离.)()()(||21221221221z z y y x x M M -+-+-=三曲面及其方程定义1在空间直角坐标系中，如果曲面S 上任一点坐标都满足方程0),,(=z y x F ，而不在曲面S 上的任何点的坐标都不满足该方程，则方程0),,(=z y x F 称为曲面S 的方程, 而曲面S 就称为方程0),,(=z y x F 的图形空间曲面研究的两个基本问题是:(1) 已知曲面上的点所满足的几何条件，建立曲面的方程; (2) 已知曲面方程，研究曲面的几何形状. 平面平面是空间中最简单而且最重要的曲面. 可以证明空间中任一平面都可以用三元一次方程0=+++D Cz By Ax (1.3)来表示，反之亦然. 其中A 、B 、C 、D 是不全为零常数. 方程(1.3)称为平面的一般方程.柱面定义2 平行于某定直线并沿定曲线C 移动的直线L 所形成的轨迹称为柱面. 这条定曲线C 称为柱面的准线, 动直线L 称为柱面的母线.二次曲面在空间直角坐标系中，我们采用一系列平行于坐标面的平面去截割曲面，从而得到平面与曲面一系列的交线（即截痕），通过综合分析这些截痕的形状和性质来认识曲面形状的全貌. 这种研究曲面的方法称为平面截割法，简称为截痕法.椭球面 1222222=++c z b y a x )0,0,0(>>>c b a (1.4)椭圆抛物面 q y p x z 2222+=（同号与q p ） 双曲抛物面 z qy p x =+-2222 ( p 与q 同号)单叶双曲面 1222222=-+c z b y a x )0,0,0(>>>c b a双叶双曲面 1222222-=+-cz b y a x )0,0,0(>>>c b a二次锥面 0222222=-+cz b y a x )0,0,0(>>>c b a6.2多元函数的基本概念一、平面区域的概念：内点、外点、边界点、开集、连通集、区域、闭区域 二、二元函数的概念定义1 设D 是平面上的一个非空点集，如果对于D 内的任一点),(y x ，按照某种法则f ，都有唯一确定的实数z 与之对应，则称f 是D 上的二元函数，它在),(y x 处的函数值记为),(y x f ，即),(y x f z =，其中x ，y 称为自变量， z 称为因变量. 点集D 称为该函数的定义域，数集}),(),,(|{D y x y x f z z ∈=称为该函数的值域.类似地，可定义三元及三元以上函数. 当2≥n 时, n 元函数统称为多元函数. 二元函数的几何意义三、二元函数的极限定义2 设函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某一去心邻域内有定义，如果当点),(y x P 无限趋于点),(000y x P 时，函数),(y x f 无限趋于一个常数A ，则称A 为函数),(y x f z =当),(y x ),(00y x →时的极限. 记为A y x f y y x x =→→),(lim 00.或 A y x f →),( （),(),(00y x y x →） 也记作A P f P P =→)(lim 0或 A P f →)( )(0P P →二元函数的极限与一元函数的极限具有相同的性质和运算法则，在此不再详述. 为了区别于一元函数的极限，我们称二元函数的极限为二重极限.四、二元函数的连续性定义3 设二元函数),(y x f z =在点),(00y x 的某一邻域内有定义，如果),(),(lim 0000y x f y x f y y x x =→→,则称),(y x f z =在点),(00y x 处连续. 如果函数),(y x f z =在点),(00y x 处不连续，则称函数),(y x f z =在),(00y x 处间断.与一元函数类似，二元连续函数经过四则运算和复合运算后仍为二元连续函数. 由x 和y 的基本初等函数经过有限次的四则运算和复合所构成的可用一个式子表示的二元函数称为二元初等函数. 一切二元初等函数在其定义区域内是连续的. 这里定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域. 利用这个结论，当要求某个二元初等函数在其定义区域内一点的极限时，只要算出函数在该点的函数值即可.特别地，在有界闭区域D 上连续的二元函数也有类似于一元连续函数在闭区间上所满足的定理. 下面我们不加证明地列出这些定理.定理1（最大值和最小值定理） 在有界闭区域D 上的二元连续函数, 在D 上至少取得它的最大值和最小值各一次.定理2（有界性定理）在有界闭区域D 上的二元连续函数在D 上一定有界. 定理3（介值定理）在有界闭区域D 上的二元连续函数, 若在D 上取得两个不同的函数值, 则它在D 上取得介于这两值之间的任何值至少一次. 6.3偏导数一、偏导数的定义及其计算法定义1 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某一邻域内有定义, 当y 固定在0y 而x 在0x 处有增量x ∆时, 相应地函数有增量),,(),(0000y x f y x x f -∆+如果xy x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim00000存在, 则称此极限为函数),(y x f z =在点),(00y x 处对x 的偏导数, 记为).,(,,00000000y x f z xf xz x y y x x xy y x x y y x x 或======∂∂∂∂例如，有),(00y x f x xy x f y x x f x ∆-∆+=→∆),(),(lim00000.类似地，函数),(y x f z =在点),(00y x 处对y 的偏导数为yy x f y y x f y ∆-∆+→∆),(),(lim00000,记为).,(,,00000000y x f z yfy z y y y x x yy y x x y y x x 或======∂∂∂∂上述定义表明，在求多元函数对某个自变量的偏导数时, 只需把其余自变量看作常数，然后直接利用一元函数的求导公式及复合函数求导法则来计算之. 二、关于多元函数的偏导数，补充以下几点说明：（1）对一元函数而言，导数dxdy可看作函数的微分dy 与自变量的微分dx 的商. 但偏导数的记号xu∂∂是一个整体. （2）与一元函数类似，对于分段函数在分段点的偏导数要利用偏导数的定义来求.（3）在一元函数微分学中，我们知道，如果函数在某点存在导数，则它在该点必定连续. 但对多元函数而言，即使函数的各个偏导数存在，也不能保证函数在该点连续.例如，二元函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(22y x y x yx xyy x f 在点)0,0(的偏导数为,00lim )0,0()0,0(lim)0,0(00=∆=∆-∆+=→∆→∆xx f x f f x x x .00lim )0,0()0,0(lim)0,0(00=∆=∆-∆+=→∆→∆y yf y f f x y y 但从上节例5已经知道这函数在点)0,0(处不连续.三、偏导数的几何意义设曲面的方程为),(y x f z =，)),(,,(00000y x f y x M 是该曲面上一点，过点0M 作平面0y y =，截此曲面得一条曲线，其方程为⎩⎨⎧==00),(y y y x f z 则偏导数),(00y x f x 表示上述曲线在点0M 处的切线x T M 0对x 轴正向的斜率（图6-3-1）. 同理，偏导数),(00y x f y 就是曲面被平面0x x =所截得的曲线在点0M 处的切线y T M 0对y 轴正向的斜率.四、偏导数的经济意义设某产品的需求量),,(y p Q Q = 其中p 为该产品的价格, y 为消费者收入. 记需求量Q 对于价格p 、消费者收入y 的偏改变量分别为),,(),(y p Q y p p Q Q p -∆+=∆和 ).,(),(y p Q y y p Q Q y -∆+=∆易见，pQ p ∆∆表示Q 对价格p 由p 变到p p ∆+的平均变化率. 而pQ p Qp p ∆∆=∂∂→∆0lim 表示当价格为p 、消费者收入为y 时, Q 对于p 的变化率. 称Qp p Q pp Q Q E p p p ⋅∂∂-=∆∆=→∆//lim为需求Q 对价格p 的偏弹性. 同理，yQ y ∆∆表示Q 对收入y 由y 变到y y ∆+的平均变化率. 而yQ y Q y y ∆∆=∂∂→∆0lim 表示当价格p 、消费者收入为y 时, Q 对于y 的变化率. 称 Qy y Q yy Q Q E y y y ⋅∂∂-=∆∆=→∆//lim为需求Q 对收入y 的偏弹性.五、科布-道格拉斯生产函数在商业与经济中经常考虑的一个生产模型是科布-道格拉斯生产函数100,),(1<<>=-a c ycx y x p aa且，其中p 是由x 个人力单位和y 个资本单位生产处的产品数量（资本是机器、场地、生产工具和其它用品的成本）。
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微积分下册知识点第一章 空间解析几何与向量代数（一） 向量及其线性运算1、 向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；2、 线性运算：加减法、数乘；3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；4、 利用坐标做向量的运算：设),,(z y x a a a a = ，),,(z y x b b b b = ，则 ),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=±, ),,(z y x a a a a λλλλ= ；5、 向量的模、方向角、投影：1） 向量的模：222z y x r ++= ；2） 两点间的距离公式：212212212)()()(z z y y x x B A -+-+-=3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角γβα,,4） 方向余弦：rz r y r x ===γβαcos ,cos ,cos 1cos cos cos 222=++γβα 5） 投影：ϕcos Pr a a j u=，其中ϕ为向量a 与u 的夹角。
（二） 数量积，向量积1、 数量积：θcos b a b a=⋅1）2a a a =⋅2）⇔⊥b a 0=⋅b az z y y x x b a b a b a b a ++=⋅2、 向量积：b a c⨯= 大小：θsin b a ，方向：c b a ,,符合右手规则1）0=⨯a a 2）b a //⇔0=⨯b a zy x z y x b b b a a a k j i b a =⨯ 运算律：反交换律 b a a b⨯-=⨯（三） 曲面及其方程1、 曲面方程的概念：0),,(:=z y x f S2、 旋转曲面： yoz 面上曲线0),(:=z y f C ，绕y 轴旋转一周：0),(22=+±z x y f 绕z 轴旋转一周：0),(22=+±z y x f3、 柱面：0),(=y x F 表示母线平行于z 轴，准线为⎪⎩⎪⎨⎧==00),(z y x F 的柱面 4、 二次曲面（不考）1） 椭圆锥面：22222z b y a x =+ 2） 椭球面：1222222=++cz b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3） 单叶双曲面：1222222=-+cz b y a x 4） 双叶双曲面：1222222=--cz b y a x 5） 椭圆抛物面：z b y a x =+2222 6） 双曲抛物面（马鞍面）：z by a x =-2222 7） 椭圆柱面：12222=+by a x 8） 双曲柱面：12222=-by a x 9） 抛物柱面：ay x =2（四） 空间曲线及其方程 1、 一般方程：⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F2、 参数方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ，如螺旋线：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===btz t a y t a x sin cos 3、 空间曲线在坐标面上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F ，消去z ，得到曲线在面xoy 上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==00),(z y x H（五） 平面及其方程1、 点法式方程：0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A法向量：),,(C B A n = ，过点),,(000z y x2、 一般式方程：0=+++D Cz By Ax 截距式方程：1=++cz b y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111C B A n = ，),,(2222C B A n = ，222222212121212121cos C B A C B A C C B B A A ++⋅++++=θ⇔∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A⇔∏∏21// 212121C C B B A A ==4、 点),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离：222000C B A DCz By Ax d +++++=（六） 空间直线及其方程1、 一般式方程：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++022221111D z C y B x A D z C y B x A 2、 对称式（点向式）方程：p z z n y y m x x 000-=-=-方向向量：),,(p n m s = ，过点),,(000z y x3、 参数式方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+=ptz z nt y y mt x x 000 4、 两直线的夹角：),,(1111p n m s = ，),,(2222p n m s = ，222222212121212121cos p n m p n m p p n n m m ++⋅++++=ϕ⇔⊥21L L 0212121=++p p n n m m⇔21//L L 212121p p n n m m ==5、 直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，222222sin p n m C B A CpBn Am ++⋅++++=ϕ⇔∏//L 0=++Cp Bn Am⇔∏⊥L pC n B m A ==第二章 多元函数微分法及其应用（一） 基本概念1、 距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。
2、 多元函数：),(y x f z =，图形：3、 极限：A y x f y xy x =→),(lim ),(),(00 4、 连续：),(),(lim 00),(),(00y x f y x f y xy x =→ 5、 偏导数： xy x f y x x f y x f x x ∆-∆+=→∆), (), (lim ),(0000000 yy x f y y x f y x f y y ∆-∆+=→∆),(),(lim ),(0000000 6、 方向导数：βαcos cos y f x f l f ∂∂+∂∂=∂∂其中βα,为l 的方向角。
7、 梯度：),(y x f z =，则j y x f i y x f y x gradf y x ),(),(),(000000+=。
8、 全微分：设),(y x f z =，则d d d z z z x y x y∂∂=+∂∂ （二） 性质1、 函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：偏导数存在函数可微 函数连续偏导数连续充分条件 必要条件定义1 22 342、 闭区域上连续函数的性质（有界性定理，最大最小值定理，介值定理）3、 微分法1） 定义： ux 2） 复合函数求导：链式法则z 若(,),(,),(,)z f u v u u x y v v x y ===，则 v y z z u z v x u x v x ∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂，z z u z v y u y v y∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂ 3） 隐函数求导：两边求偏导，然后解方程（组）（三） 应用1、 极值1） 无条件极值：求函数),(y x f z =的极值解方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧==0y x f f 求出所有驻点，对于每一个驻点),(00y x ，令 ),(00y x f A xx =，),(00y x f B xy =，),(00y x f C yy =，① 若02>-B AC ，0>A ，函数有极小值，若02>-B AC ，0<A ，函数有极大值；② 若02<-B AC ，函数没有极值；③ 若02=-B AC ，不定。
2） 条件极值：求函数),(y x f z =在条件0),(=y x ϕ下的极值令：),(),(),(y x y x f y x L λϕ+= ——— Lagrange 函数解方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===0),(00y x L L y x ϕ2、 几何应用1） 曲线的切线与法平面曲线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===Γ)()()(:t z z t y y t x x ，则Γ上一点),,(000z y x M （对应参数为0t ）处的 切线方程为：)()()(000000t z z z t y y y t x x x '-='-='- 法平面方程为：0))(())(())((000000=-'+-'+-'z z t z y y t y x x t x 2） 曲面的切平面与法线曲面0),,(:=∑z y x F ，则∑上一点),,(000z y x M 处的切平面方程为： 0))(,,())(,,())(,,(000000000000=-+-+-z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x法线方程为：),,(),,(),,(000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=-第三章 重积分（一） 二重积分（一般换元法不考）1、 定义：∑⎰⎰=→∆=n k k k k D f y x f 10),(lim d ),(σηξσλ2、 性质：（6条）3、 几何意义：曲顶柱体的体积。
4、 计算：1） 直角坐标⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=b x a x y x y x D )()(),(21ϕϕ， 21()()(,)d d d (,)d b x a x D f x y x y x f x y y φφ=⎰⎰⎰⎰⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=d y c y x y y x D )()(),(21φφ， 21()()(,)d d d (,)d d y c y D f x y x y y f x y x ϕϕ=⎰⎰⎰⎰2） 极坐标⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=βθαθρρθρθρ)()(),(21D 21()()(,)d d (cos ,sin )d D f x y x y d f βρθαρθθρθρθρρ=⎰⎰⎰⎰（二） 三重积分1、 定义：∑⎰⎰⎰=→Ω∆=n k k k k k v f v z y x f 10),,(lim d ),,(ζηξλ2、 性质：3、 计算：1） 直角坐标 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=ΩD y x z y x z z z y x f y x v z y x f ),(),(21d ),,(d d d ),,( -------------“先一后二” ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=ΩZ D b a y x z y x f z v z y x f d d ),,(d d ),,( -------------“先二后一”2） 柱面坐标⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===zz y x θρθρsin cos ，(,,)d (cos ,sin ,)d d d f x y z v f z z ρθρθρρθΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 3） 球面坐标⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===ϕθϕθϕcos sin sin cos sin r z r y r x 2(,,)d (sin cos ,sin sin ,cos )sin d d d f x y z v f r r r r r φθφθφφφθΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （三） 应用曲面D y x y x f z S ∈=),(,),(:的面积：y x y z x z A Dd d )()(122⎰⎰∂∂+∂∂+= 第五章 曲线积分与曲面积分（一） 对弧长的曲线积分1、 定义：01(,)d lim (,)n i i i L i f x y s f s λξη→==⋅∆∑⎰ 2、 性质：1）[(,)(,)]d (,)d (,)d .L L L f x y x y s f x y s g x y s αβαβ+=+⎰⎰⎰ 2）12(,)d (,)d (,)d .L L L f x y s f x y s f x y s =+⎰⎰⎰ ).(21L L L += 3）在L 上，若),(),(y x g y x f ≤，则(,)d (,)d .L L f x y s g x y s ≤⎰⎰4）l s L=⎰d ( l 为曲线弧 L 的长度)3、 计算：设),(y x f 在曲线弧L 上有定义且连续，L 的参数方程为)(),(),(βαψϕ≤≤⎪⎩⎪⎨⎧==t t y t x ，其中)(),(t t ψϕ在],[βα上具有一阶连续导数，且0)()(22≠'+'t t ψϕ，则22(,)d [(),()]()()d ,()Lf x y s f t t t t t βαφψφψαβ''=+<⎰⎰（二） 对坐标的曲线积分 1、 定义：设 L 为xoy 面内从 A 到B 的一条有向光滑弧，函数),(y x P ，),(y x Q 在 L 上有界，定义∑⎰=→∆=nk kk k L x P x y x P 1),(lim d ),(ηξλ，∑⎰=→∆=nk k k kLy Q y y x Q 1),(lim d ),(ηξλ.向量形式：⎰⎰+=⋅LLy y x Q x y x P r F d ),(d ),(d2、 性质：用-L 表示L 的反向弧 , 则⎰⎰⋅-=⋅-LLr y x F r y x F d ),(d ),(3、 计算：设),(,),(y x Q y x P 在有向光滑弧L 上有定义且连续,L 的参数方程为):(),(),(βαψϕ→⎪⎩⎪⎨⎧==t t y t x ，其中)(),(t t ψϕ在],[βα上具有一阶连续导数，且0)()(22≠'+'t t ψϕ，则(,)d (,)d {[(),()]()[(),()]()}d LP x y x Q x y y P t t t Q t t t t βαφψφφψψ''+=+⎰⎰4、 两类曲线积分之间的关系：设平面有向曲线弧为⎪⎩⎪⎨⎧==)()( t y t x L ψϕ：，L 上点),(y x 处的切向量的方向角为：βα,，)()()(cos 22t t t ψϕϕα'+''=，)()()(cos 22t t t ψϕψβ'+''=， 则d d (cos cos )d LLP x Q y P Q s αβ+=+⎰⎰.（三） 格林公式1、格林公式：设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成，函数),(,),(y x Q y x P 在D 上具有连续一阶偏导数, 则有⎰⎰⎰+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂LD y Q x P y x y P x Q d d d d2、G 为一个单连通区域，函数),(,),(y x Q y x P 在G 上具有连续一阶偏导数，则y Px Q ∂∂=∂∂ ⇔曲线积分 d d LP x Q y +⎰在G 内与路径无关 ⇔曲线积分d d 0LP x Q y +=⎰⇔ y y x Q x y x P d ),(d ),(+在G 内为某一个函数),(y x u 的全微分（四） 对面积的曲面积分 1、 定义：设∑为光滑曲面，函数),,(z y x f 是定义在∑上的一个有界函数， 定义i i i i ni S f S z y x f ∆=∑⎰⎰=→∑),,(lim d ),,(1ζηξλ2、 计算：———“一投二换三代入”),(:y x z z =∑，xy D y x ∈),(，则y x y x z y x z y x z y x f S z y x f y x D yx d d ),(),(1)],(,,[d ),,(22++=⎰⎰⎰⎰∑（五） 对坐标的曲面积分1、 预备知识：曲面的侧，曲面在平面上的投影，流量2、 定义：设∑为有向光滑曲面，函数),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 是定义在∑上的有界函数，定义 01(,,)d d lim (,,)()ni i i i xy i R x y z x y R S λξηζ∑→==∆∑⎰⎰同理，1(,,)d d lim (,,)()ni i i i yz i P x y z y z P S λξηζ∑→==∆∑⎰⎰1(,,)d d lim (,,)()ni i i i zx i Q x y z z x R S λξηζ∑→==∆∑⎰⎰3、 性质： 1）21∑+∑=∑，则12d d d d d d d d d d d d d d d d d d P y z Q z x R x yP y z Q z x R x y P y z Q z x R x y∑∑∑++=+++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰2）-∑表示与∑取相反侧的有向曲面 , 则d d d d R x y R x y -∑∑=-⎰⎰⎰⎰4、 计算：——“一投二代三定号”),(:y x z z =∑，xy D y x ∈),(，),(y x z z =在xy D 上具有一阶连续偏导数，),,(z y x R 在∑上连续，则(,,)d d [,,(,)]d d x yD R x y z x y R x y z x y x y ∑=±⎰⎰⎰⎰,∑为上侧取“ + ”， ∑为下侧取“ - ”. 5、 两类曲面积分之间的关系：()S R Q P y x R x z Q z y P d cos cos cos d d d d d d ⎰⎰⎰⎰∑∑++=++γβα其中γβα,,为有向曲面∑在点),,(z y x 处的法向量的方向角。