微积分下册主要知识点

微积分下册主要知识点

4.1不定积分 *基本积分表

*基本积分法：利用基本积分表。 4.2换元积分法

一、第一换元积分法(凑微分法)

C x F C u F du u g dx x x g +=+=='??)]([)()()()]([???.

二、常用凑微分公式

三、第二换元法

x u x u x

u x u x u x u a u e u x u x u b ax u x d x f dx x

x f x d x f dx x x f x

d x f xdx x f x d x f xdx x f x

d x f xdx x f x

d x f xdx x f da

a f a dx a a f de e f dx e e f x d x f dx x

x f x d x f dx x x f a b ax d b ax f a dx b ax f x x x

x x x x

x x x arcsin arctan cot tan cos sin ln )

(arcsin )(arcsin 11

)(arcsin .11)

(arctan )(arctan 11

)(arctan .10cot )(cot csc )(cot .9tan )(tan sec )(tan .8cos )(cos sin )(cos .7sin )(sin cos )(sin .6)(ln 1)(.5)()(..4)

(ln )(ln 1

)(ln .3)

0()()(1

)(.2)0()()(1

)(.12

2

221==========+=-=-=+-==-=?=?=?=?=?≠=≠++=

+??????????????????????-μμμμμμμ

法

分

积元换

一第换元公式积分类型

C x F C t F dt t t f dx x f +=+='=??)]([)()()]([)(ψ??,

注: 以上几例所使用的均为三角代换, 三角代换的目的是化掉根式, 其一般规律如下: 当被积函数中含有

a) ,22x a - 可令 ;

sin t a x =

b) ,22a x + 可令 ;

tan t a x =

c)

,

22a x - 可令

.

sec t a x =

当有理分式函数中分母的阶较高时, 常采用倒代换t x 1=. 四、积分表续 4.3分部积分法

分部积分公式：

??-=vdu uv udv (3.1)

??'-='vdx u uv dx v u (3.2)

分部积分法实质上就是求两函数乘积的导数(或微分)的逆运算. 一般地, 下列类型的被积函数常考虑应用分部积分法(其中m , n 都是正整数).

区间],[b a 上连续,则在],[b a 上至少存在一个点ξ, 使

).

(),)(()(b a a b f dx x f b a

≤≤-=?

ξξ

5.3微积分的基本公式

一、引例

二、积分上限的函数及其导数：?=Φx a

dt t f x )()(

定理2 若函数)(x f 在区间],[b a 上连续,则函数

?=Φx a

dt t f x )()(

就是)(x f 在],[b a 上的一个原函数. 三、牛顿—莱布尼兹公式

定理 3 若函数)(x F 是连续函数)(x f 在区间],[b a 上的一个原函数,则

)

()()(a F b F dx x f b a

-=?

.

(3.6)

公式(3.4)称为牛顿—莱布尼茨公式. 5.4定积分的换元法积分法和分部积分法 一、定积分换元积分法

定理1 设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续,函数)(t x ?=满足条件：

（1）,)(,)(b a ==β?α? 且b t a ≤≤)(?；

（2）)(t ?在],[βα(或],[αβ)上具有连续导数,则

有

??

'=

β

α

??dt

t t f dx x f b

a

)()]([)(.

(4.1)

公式(4.1)称为定积分的换元公式.

定积分的换元公式与不定积分的换元公式很类似. 但是,在应用定积分的换元公式时应注意以下两点：

（1）用)(t x ?=把变量x 换成新变量t 时, 积分限也要换成相应于新变量t 的积分限,且上限对应于上限,下限对应于下限；

（2） 求出)()]([t t f ??'的一个原函数)(t Φ后,不必象计算不定积分那样再把)(t Φ变换成原变量x 的函数,而只要把新变量t 的上、下限分别代入)(t Φ然后相减就行了.

二、定积分的分部积分法

?b a

udv ?-=b

a

b a

vdu uv ][ 或 ?'b

a

dx v u ?'-=b a

b a

dx u v uv ][

5.5广义积分

一、无穷限的广义积分

)

()(|)()(a F F x F dx x f a a

-+∞==∞

++∞? )

()(|)()(-∞-==∞-∞

-?

F b F x F dx x f b b

)

()(|)()(-∞-+∞==∞+∞-+∞

∞

-?

F F x F dx x f

二、无界函数的广义积分

?

?

++→=b

a b

a

dx

x f dx x f ε

ε)(lim

)(0

.

)(lim

)(0?

?

-+→=ε

εb a

b

a

dx x f dx x f

5.6定积分的几何应用 一、微元法

定积分的所有应用问题，一般总可按“分割、求和、取极限”三个步骤把所求的量表示为定积分的形式.

可以抽象出在应用学科中广泛采用的将所求量U （总量）表示为定积分的方法——微元法，这个方法的主要步骤如下：

(1) 由分割写出微元 根据具体问题，选取一个积分变量，例如x 为积分变量，并确定它的变化区间],[b a ，任取],[b a 的一个区间微元],[dx x x +，求出相应于这个区间微元上部分量U ?的近似值，即求出所求总量U 的微元 dx

x f dU )(=；

(2) 由微元写出积分 根据dx x f dU )(=写出表

示总量U 的定积分

??==b

a

b

a

dx

x f dU U )(

微元法在几何学、物理学、经济学、社会学等应用领域中具有广泛的应用，本节和下一节主要介绍微元法在几何学与经济学中的应用. 应用微元法解决实际问题时，应注意如下两

点：

(1) 所求总量U 关于区间],[b a 应具有可加性，即如果把区间],[b a 分成许多部分区间, 则U 相应地分成许多部分量, 而U 等于所有部分量U ?之和. 这一要求是由定积分概念本身所决定的; (2) 使用微元法的关键是正确给出部分量

U

?的近似表达式dx x f )(，即使得U dU dx x f ?≈=)(. 在通

常情况下，要检验dx x f U )(-?是否为dx 的高阶无穷小并非易事，因此，在实际应用要注意dx x f dU )(=的合理性.

二、平面图形的面积

（1）直角坐标系下平面图形的面积 （2）极坐标系下平面图形的面积

曲边扇形的面积微元 θ

θd r dA 2)]([21

= 所求曲边扇形的面积

.)]([2

1

2θθ?β

α

d A ?

=

三、旋转体：由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体称为旋转体. 这条直线称为旋转轴.

旋转体的体积微元 ,)]([2

dx x f dV π= 所求旋转体的体积 .)]([2

?=b

a

dx x f V π

四、平行截面面积为已知的立体的体积：如

果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.

体积微元 ,)(dx x A dV =

所求立体的体积 .)(?=b a

dx x A V

5.7积分在经济分析的应用

6.1空间解析几何简介 一、空间直角坐标系

在平面解析几何中，我们建立了平面直角坐标系，并通过平面直角坐标系，把平面上的点与有序数组(即点的坐标),(y x )对应起来. 同样，为了把空间的任一点与有序数组对应起来，我们来建立空间直角坐标系.

过空间一定点O , 作三条相互垂直的数轴， 依次记为x 轴（横轴）、y 轴（纵轴）、z 轴（竖轴），统称为坐标轴. 它们构成一个空间直角坐标系

Oxyz

（图6-1-1）.

空间直角坐标系有右手系和左手系两种. 我们通常采用右手系.

二、空间两点间的距离

.

)()()(||21221221221z z y y x x M M -+-+-=

三曲面及其方程

定义1在空间直角坐标系中，如果曲面S上任一点坐标都满足方程0

x

F，而不在曲面S上

y

z

,

,

(=

)

的任何点的坐标都不满足该方程，则方程y

x

F称为曲面S的方程, 而曲面S就称为方程z

(=

,

)

,

(=

y

x

F的图形

z

,

)

,

空间曲面研究的两个基本问题是:

(1) 已知曲面上的点所满足的几何条件，建立曲面的方程;

(2) 已知曲面方程，研究曲面的几何形状.

平面

平面是空间中最简单而且最重要的曲面. 可以证明空间中任一平面都可以用三元一次方程

Cz

By

+D

Ax

=

+

+

(1.3)

来表示，反之亦然. 其中A、B、C、D是不全为零常数. 方程(1.3)称为平面的一般方程.

柱面

定义2 平行于某定直线并沿定曲线C移动的直线L所形成的轨迹称为柱面. 这条定曲线C 称为柱面的准线, 动直线L称为柱面的母线.

二次曲面

在空间直角坐标系中，我们采用一系列平行于坐标面的平面去截割曲面，从而得到平面与曲面一系列的交线（即截痕），通过综合分析这些截痕的形状和性质来认识曲面形状的全貌. 这种研究曲面的方法称为平面截割法，简称为截痕法.

椭球面

12

2

2222=++c z b y a x

)

0,0,0(>>>c b a (1.4)

椭圆抛物面 q

y p x z 2222+

=（同号与q p ） 双曲抛物面 z q

y p x =+-2222 ( p 与q 同号) 单叶双曲面 12

2

2222=-+c z b y a x

)

0,0,0(>>>c b a 双叶双曲面

122

2222-=+-c

z b y a x

)

0,0,0(>>>c b a

二次锥面

02

22222=-+c z b y a x

)

0,0,0(>>>c b a

6.2多元函数的基本概念

一、平面区域的概念：内点、外点、边界点、开集、连通集、区域、闭区域 二、二元函数的概念

定义1 设D 是平面上的一个非空点集，

如果对于D 内的任一点),(y x ，按照某种法则f ，都

有唯一确定的实数z 与之对应，则称f 是D 上的二元函数，它在),(y x 处的函数值记为),(y x f ，即),(y x f z =，其中x ，y 称为自变量， z 称为因变量. 点集D 称为该函数的定义域，数集}),(),,(|{D y x y x f z z ∈=称为该函数的值域.

类似地，可定义三元及三元以上函数. 当2

≥n 时, n 元函数统称为多元函数. 二元函数的几何意义

三、二元函数的极限

定义 2 设函数),(y x f z =在点),(0

y x P 的某一去

心邻域内有定义，如果当点),(y x P 无限趋于点)

,(0

y x P 时，函数),(y x f 无限趋于一个常数A ，则称A 为函数),(y x f z =当),(y x

)

,(00y x →时的极限. 记为

A

y x f y y x x =→→),(lim 0

.

或 A

y x f →),( （),(),(0

y x y x →）

也记作

A

P f P P =→)(lim 0

或

A

P f →)(

)(0

P P →

二元函数的极限与一元函数的极限具有相同的性质和运算法则，在此不再详述. 为了区别于一元函数的极限，我们称二元函数的极限为二重极限.

四、二元函数的连续性

定义 3 设二元函数),(y x f z =在点),(0

y x 的某一

邻域内有定义，如果

)

,(),(lim 000

0y x f y x f y y x x =→→,

则称),(y x f z =在点),(0

y x 处连续. 如果函数),(y x f z =在

点),(0

y x 处不连续，则称函数),(y x f z =在),(0

y x 处间断.

与一元函数类似，二元连续函数经过四则运算和复合运算后仍为二元连续函数. 由x 和y 的基本初等函数经过有限次的四则运算和复合所构成的可用一个式子表示的二元函数称为二元初等函数. 一切二元初等函数在其定义区域内是连续的. 这里定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域. 利用这个结论，当要求某个二元初等函数在其定义区域内一点的极限时，只要算出函数在该点的函数值即可.

特别地，在有界闭区域D 上连续的二元函数也有类似于一元连续函数在闭区间上所满足的定理. 下面我们不加证明地列出这些定理.

定理1（最大值和最小值定理） 在有界闭区域D 上的二元连续函数, 在D 上至少取得它的最大值和最小值各一次.

定理2（有界性定理）在有界闭区域D 上的二元连续函数在D 上一定有界.

定理3（介值定理）在有界闭区域D 上的二元连续函数, 若在D 上取得两个不同的函数值, 则它在D 上取得介于这两值之间的任何值至少一次. 6.3偏导数

一、偏导数的定义及其计算法

定义 1 设函数),(y x f z =在点),(0

y x 的某一邻域

内有定义, 当y 固定在0

y 而x 在0

x 处有增量x ?时,

相应地函数有增量

),

,(),(0000

y x f y x x f -?+

如果x

y x f y x x f x ?-?+→?)

,(),(lim

00000

存在, 则称此极限为函数

)

,(y x f z =在点),(0

y x 处对x 的偏导数, 记为

).

,(,,

000

00

00

0y x f z x

f x

z x y y x x x

y y x x y y x x 或

======????

例如，有

),(00y x f x x

y x f y x x f x ?-?+=→?)

,(),(lim

00000

.

类似地，函数),(y x f z =在点),(0

y x 处对y 的偏导

数为

y

y x f y y x f y ?-?+→?)

,(),(lim

00000

,

记为

).

,(,,000

00

00

0y x f z y

f

y z y y y x x y

y y x x y y x x 或

======????

上述定义表明，在求多元函数对某个自变量的偏导数时, 只需把其余自变量看作常数，然后直接利用一元函数的求导公式及复合函数求导法则来计算之.

二、关于多元函数的偏导数，补充以下几点说明：

（1）对一元函数而言，导数dx

dy 可看作函数的微分dy 与自变量的微分dx 的商. 但偏导数的记

号x

u

??是一个整体. （2）与一元函数类似，对于分段函数在分段点的偏导数要利用偏导数的定义来求. （3）在一元函数微分学中，我们知道，如果函数在某点存在导数，则它在该点必定连续. 但对多元函数而言，即使函数的各个偏导数存在，也不能保证函数在该点连续. 例如，二元函数

??

?

??=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(2

2y x y x y x xy

y x f

在点)0,0(的偏导数为

,00

lim )0,0()0,0(lim

)0,0(00

=?=?-?+=→?→?x

x f x f f x x x .00lim )0,0()0,0(lim

)0,0(00

=?=?-?+=→?→?y y

f y f f x y y

但从上节例5已经知道这函数在点)0,0(处不连续.

三、偏导数的几何意义 设曲面的方程为),(y x f z =，))

,(,,(00000

y x f y x M

是该曲

面上一点，过点0

M 作平面0

y y =，截此曲面得一条曲线，其方程为

??

?==0

0)

,(y y y x f z

则偏导数),(0

y x f x

表示上述曲线在点0

M 处的切线

x

T M 0对x 轴正向的斜率（图6-3-1）. 同理，偏导数)

,(00y x f y 就是曲面被平面0

x x =所截得的曲线在点0

M

处的切线y

T M 0对y 轴正向的斜率. 四、偏导数的经济意义

设某产品的需求量),,(y p Q Q = 其中p 为该产品的价格, y 为消费者收入.

记需求量Q 对于价格p 、消费者收入y 的偏改变量分别为

),

,(),(y p Q y p p Q Q p -?+=?

和

).

,(),(y p Q y y p Q Q y -?+=?

易见，p Q

p

??表示Q 对价格p 由p 变到p p ?+的平均

变化率. 而

p

Q p Q

p p ??=??→?0lim

表示当价格为p 、消费者收入为y 时, Q 对于p 的变化率. 称

Q

p

p Q p

p Q Q E p p p ???-

=??=→?//lim

为需求Q 对价格p 的偏弹性.

同理，y Q y

??表示Q 对收入y 由y 变到y y ?+的平均

变化率. 而

y

Q y Q

y y ??=??→?0lim

表示当价格p 、消费者收入为y 时, Q 对于y 的变化率. 称

Q

y

y Q y

y Q Q E y y y ???-

=??=→?//lim

为需求Q 对收入y 的偏弹性.

五、科布-道格拉斯生产函数

在商业与经济中经常考虑的一个生产模型是科布-道格拉斯生产函数

1

00,),(1<<>=-a c y cx y x p a a 且，

其中p 是由x 个人力单位和y 个资本单位生产

处的产品数量（资本是机器、场地、生产工具和其它用品的成本）。偏导数

y

p

????和x p

分别称为人力的边际生产力和资本的边际生产力。

六、高阶偏导数

设函数),(y x f z =在区域D 内具有偏导数 ),,(y x f x

z

x =??

),,(y x f y

z

y =??

则在D 内),(y x f x

和)

,(y x f

y

都是x 、y 的函数. 如果这两

个函数的偏导数存在，则称它们是函数),(y x f z =的二阶偏导数. 按照对变量求导次序的不同，共有下列四个二阶偏导数：

),,(),,(22

2y x f y

x z

x z y y x f x z

x z x xy xx =???=

??? ??????=??=

??? ?????? ),,(),,(222y x f y

z y z y y x f x y z y z x yy yx =??=???? ??????=???=???? ??????

其中第二、第三两个偏导称为混合偏导数. 类似地，可以定义三阶、四阶、n 以及 阶偏导数. 我们把二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.

定理 1 如果函数),(y x f z =的两个二阶混合偏导数

x

y z

???2及

y

x z ???2在区域D 内连续, 则在该区域内有

y

x z

x y z ???=

???22.

6.4全微分 一、微分的定义

定义1 如果函数),(y x f z =在点),(y x 的全增量

),(),(y x f y y x x f z -?+?+=? 可以表示为

),

(ρo y B x A z +?+?=?

(4.2)

其中A ,B 不依赖于y

x ??,而仅与x , y 有

关,,

)()(22y x ?+?=

ρ则称函数),(y x f z =在点),(y x 可微分,

y B x A ?+?称为函数),(y x f z =在点),(y x 的全微分, 记为

,

dz 即

y

B x A dz ?+?=.

(4.3)

若函数在区域D 内各点处可微分，则称这函数在D 内可微分.

二、函数可微的条件

定理1 (必要条件) 如果函数),(y x f z =在点)

,(y x 处可微分, 则该函数在点),(y x 的偏导数y

z x z ????,必存在, 且),(y x f z =在点),(y x 处的全微分

y y

z x x z dz ???+???=

.

(4.4)

我们知道，一元函数在某点可导是在该点可微的充分必要条件. 但对于多元函数则不然. 定理 1 的结论表明，二元函数的各偏导数存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件. 由此可见，对于多元函数而言，偏导数存在并不一定可微.因为函数的偏导数仅描述了函数在一点处沿坐标轴的变化率，而全微分描述了函数沿各个方向的变化情况. 但如果对偏导数再加些条件，就可以保证函数的可微性. 一般地，我们有：

定理 2 (充分条件) 如果函数),(y x f z =的偏导

数y

z

x z ????,在点),(y x 连续, 则函数在该点处可微分. 三、微分的计算

习惯上，常将自变量的增量x ?、y ?分别记为

dx

、dy ，并分别称为自变量的微分. 这样，函数

)

,(y x f z =的全微分就表为

.dy y

z dx x z dz ??+??=

(4.5)