高数下A
高数A复习题
微分方程 向量代数 多元函数微分学 重积分 曲线积分 无穷级数
第七章 微分方程
1.定义：
一般地 , n 阶常微分方程的形式是
F(x, y, y',, y(n) ) 0
或 y(n) f (x, y, y',, y(n1) ) ( n 阶显式微分方程)
例1： 3y4 y5 6y'xy 0的阶数为：4
一. 数量积 向量积 混合积
a
b
|
a
||
b
|
cos
a
b
|
a
||
b
|
cos
cos
a
b
,
| a || b |
2.
c
向 a b量 sain与 b(其的中向量为积a为与bc的 夹a 角b)
c
的方向既垂直于a
，又垂直于b
，指向符合
右手系. 向量积也称为“叉积”、“外积”.
关于向量积的说明：
(1)
a
a
0.
(2)
a
//b
( 0 sin 0)
a
b
0.
(a
0,
b 0)
向量积还可用三阶行列式表示
i j k a b ax ay az
bx by bz
3.称定向为义量这设三的已个知混向三量合个的积向混量合a 积、b， 、记c 为，[a数bc量].(a
b)
c
设
a
n M0 M = 0 而M0 M ={x x0, y y0, z z0},
z
n
M
0
M
O
x
y
得: A(x x0) +B( y y0) +C( z z0) = 0 (1)
高数下课后题答案
点的坐标为 (x, 0, z) 。
在 x 轴上的点的坐标为 (x, 0, 0) ；在 y 轴上的点的坐标为 (0, y, 0) ；在 z 轴上的点的坐标为
(0, 0, z) 。
A 在 xOy 面上， B 在 yOz 面上， C 在 x 轴上， D 在 y 轴上。
7．求点 (a,b,c) 关于（1）各坐标面；（2）各坐标轴；（3）坐标原点的对称点的坐标。
习题 7.1
1.设 u = 3a + 5b − c ， v = 4a − b − 3c ，ω = 2a − c ，试用 a,b,c 表示向量 2u − v + 3ω .
解 2u − v + 3ω = 2(3a + 5b − c) − (4a − b − 3c) + 3(2a − c) = 8a +11b − 2c
i jk
⎯⎯→
⎯⎯→
n = M1M2× M 2M3 = 2 4 −1 = 6i − 4 j − 4k
0 −2 2
| n |= 36 +16 +16 = 2 17
e = ± 1 (6i − 4 j − 4k ) = ± 1 (3i − 2 j − 2k ) 为所求向量。
2 17
17
3.设 a,b,c 为单位向量，且满足 a + b + c = 0 ，求 a ⋅ b + b ⋅ c + c ⋅ a 。
解 (1) 点 (a,b,c) 关于 xOy 面的对称点为 (a,b, −c) ；关于 yOz 面的对称点为 (−a,b, c) ；关
于 zOx 面的对称点为 (a, −b, c) 。
(2) 点 (a,b,c) 关于 x 轴的对称点为 (a, −b, −c) ；关于 y 轴的对称点为 (−a,b, −c) ；关于
高数考试题A1
A1练习题（1）一、 选择题1、数列有界是数列收敛的（ ）．A 、充分条件B 、必要条件C 、充要条件D 、既非充分又非必要条件2、设函数21sin ,()0,x f x x ⎧⎪=⎨⎪⎩ 00x x ≠=，则()f x 在点0x =处 （ ）． A 、可导且(0)0f '= B 、可导且(0)1f '= C 、不连续 D 、连续但不可导3、函数x y xe -=的单调减少区间是 （ ）．A 、(,)-∞+∞B 、()1,+∞C 、(,1)-∞D 、(0,)+∞4、设函数()f x 连续，且()()f x dx F x C =+⎰ ，则下列各式正确的是（ ）．A 、22()()f x dx F x C =+⎰B 、(21)(21)f x dx F xC +=++⎰C 、222()()f x dx F x C =+⎰D 、(sin )(sin )f x dx F x C =+⎰5、反常积分1k dx x+∞⎰（k 为常数）收敛，则k 满足（ ）． Ａ、1k < B 、1k ≤ C 、1k > D 、1k ≥ 二、填空题1、函数()arcsin 12f x x =-的定义域为 . 2、设()2f a '=，则极限0(2)()lim =h f a h f a h→-- . 3、曲线331y x x =-+的拐点是 ．4、设()sin f x dx x C =+⎰，则2()xf x dx =⎰ ．5、设12()cos x F x t dt =⎰，则()=F x ' ． 三、计算题 1、求极限2351limsin 52x x x x →∞++. 2、求极限x arc x x cot )11ln(lim ++∞→ . 3、求极限011lim()1x x x e →--． 4、设1ln )(2+=x x f ，求)1(f ''．5、设)tan(y x y +=，求dy ．6、设231x t t y t ⎧=-⎨=-⎩，求dy dx .7、求积分dx e e x x ⎰-+1. 8、求积分2sin 2x xdx ⎰. 9、求积分⎰-121221dx x x . 10、21221sin ()1x x x dx x -++⎰. 四、综合题1、 做一个容积为0V 的无盖的圆柱形容器，问底面半径r 和高h 各取多少时，才能使得容器的表面积为最小？2、 求曲线x x e y e y -==,和直线1=x 所围成的平面图形面积及该图形绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积.3、证明方程5510x x -+= 在区间(0,1)内有且仅有一个实根．A1练习题（2）一、填空题1、已知(sin )cos 21f x x =+，则(cos )f x = .2、函数()f x 在点0x 连续是()f x 在点0x 可导的 条件.3、21lim sin x x x →∞= . 4、平面上过点(0,2)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为2x 的切线方程方程是 .5、函数3232y x x =--在区间[0,3]上的最小值是 .二、选择题1、设函数)(x f 可导，则0()(2)lim h f x f x h h→--=（ ）. (A) )(x f ' (B) )(x f '- (C) )(2x f ' (D) -)(2x f '2、设3()xe f x x a⎧=⎨-⎩ 00x x <≥是连续函数，则a =是（ ）.(A) 3 (B) 3- (C) 2 (D) -23、定积分22ππ-=⎰ （ ）. A 、0 B 、1 C 、2 D 、π4、不定积分=⎰（ ）. A 、3221(1)3x -- B 、3221(1)3x - C 、3222(1)3x -- D 、2232(1)3x - 5、极限2020lim sin t x x e dx x -→⎰（ ）.A 、1B 、1-C 、0D 、∞三、计算题1、求极限220(1)lim sin x x x e x→-. 2、求极限2cot 0lim(1sin )x x x →-. 3、设()xf x x = ，求dx . 4、求积分21(ln 1)x dx x+⎰. 5、求积分tan xarc xdx ⎰ . 6、. 7、求定积分a -⎰. 8、求反常积分10⎰. 9、求由曲线2y x =、直线0y =和1x =所围图形的面积及它绕x 旋转所得到旋转体的体积. 四、证明题1、 设()f x 在[]0,1上连续，在(0,1)内可导，且0()1f x ≤≤，证明至少存在一点(0,1)ξ∈，使得()f ξξ=.2、设函数()f x 在[],a a -上连续，证明0()[()()]aaa f x dx f x f x dx -=+-⎰⎰.。
高等数学A复习题第一、二章,高数复习资料
高等数学II-A 复习题集第一章 函数与极限一 、知识点考点精要（一）几个重要概念1．函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性. 2. 初等函数3．数列极限的定义（δ-ε定义，X -ε定义）(1)(2)(3)0lim ()0,,||x x f x A N st n N x a εε→=⇔∀>∃>⇒-< 4．函数极限的定义（δ-ε定义，X -ε定义）00lim ()0,0,0|||()|x x f x A st x x f x A εδδε→=⇔∀>∃><-<⇒-<lim ()0,0,|||()|x f x A X st x X f x A εε→∞=⇔∀>∃>>⇒-<注意 1。
在上述定义中，若特殊地取A=0，则函数)(x f 叫做0x x →或∞→x 时的无穷小，即无穷小是以0为极限的函数。
0是惟一的作为无穷小的数。
2。
在A x f x x =→)(lim 0的定义中，x 是既从x 0的左侧又从x 0的右侧趋于0x 的。
若仅考虑x从0x 的左侧趋于x 0（记做00+→x x 或+→0x x ），此时把δ<-<||00x x 改为δ+<<00x x x ，那么A 就叫做)(x f 当0x x →时的右极限，记做A x f x x =+→)(lim 0或A x f =+)0(03。
研究0x x →时)(x f 的极限，是为了研究在自变量0x x →的变化过程中)(x f 的性态，此时)(x f 有无极限与)(x f 在点x 0有无定义完全无关。
即使f (x )在点x 0有定义，在讨论0x x →时)(x f 的极限的过程中，函数值)(0x f 不起任何作用，因此定义中要求δ<-<||00x x 。
40 在A x f xka =∞)(lim 的定义中，若x >0且无限增大，则只要把定义中的|x|>X 改为x >X即可得A x f x =+∞→)(lim 的定义。
高等数学下考试题库(附答案)
《高等数学》试卷1（下）一.选择题（3分⨯10）1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）..4 C2.向量j i b k j i a+=++-=2,2，则有（ ）.A.a ∥bB.a ⊥bC.3,π=b aD.4,π=b a3.函数1122222-++--=y x y x y 的定义域是（ ）.A.(){}21,22≤+≤y x y x B.(){}21,22<+<y x y xC.(){}21,22≤+<y xy x D (){}21,22<+≤y x y x【4.两个向量a 与b垂直的充要条件是（ ）.A.0=⋅b aB.0 =⨯b aC.0 =-b aD.0 =+b a5.函数xy y x z 333-+=的极小值是（ ）. B.2- D.1- 6.设y x z sin =，则⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂4,1πyz ＝（ ）.A.22B.22-C.2D.2-7.若p 级数∑∞=11n p n 收敛，则（ ）. A.p 1< B.1≤p C.1>p D.1≥p8.幂级数∑∞=1n nn x 的收敛域为（ ）.A.[]1,1- B ()1,1- C.[)1,1- D.(]1,1-）9.幂级数nn x ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛02在收敛域内的和函数是（ ）.A.x -11 B.x -22 C.x -12 D.x-21 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）.A.xce y = B.xe y = C.xcxe y = D.cxe y =二.填空题（4分⨯5）1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________.2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________.3.设13323+--=xy xy y x z ，则=∂∂∂yx z2_____________________________. 4.x+21的麦克劳林级数是___________________________. 三.计算题（5分⨯6）.1.设v e z usin =，而y x v xy u +==,，求.,yz x z ∂∂∂∂ 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,yz x z ∂∂∂∂ 3.计算σd y x D⎰⎰+22sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）.四.应用题（10分⨯2）1.要用铁板做一个体积为23m 的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省 .试卷1参考答案一.选择题 CBCAD ACCBD | 二.填空题1.0622=+--z y x .2.()()xdy ydx xy +cos .3.19622--y y x .4.()n n n n x ∑∞=+-0121.5.()xe x C C y 221-+= .三.计算题 1.()()[]y x y x y e xzxy +++=∂∂cos sin ，()()[]y x y x x e y z xy +++=∂∂cos sin . 2.12,12+=∂∂+-=∂∂z yy z z x x z . 3.⎰⎰=⋅πππρρρϕ202sin d d 26π-."4.3316R . 5.x xe ey 23-=.四.应用题1.长、宽、高均为m 32时，用料最省.2..312x y =《高数》试卷2（下）一.选择题（3分⨯10）1.点()1,3,41M ，()2,1,72M 的距离=21M M （ ）.!A.12B.13C.14D.152.设两平面方程分别为0122=++-z y x 和05=++-y x ，则两平面的夹角为（ ）. A.6π B.4π C.3π D.2π 3.函数()22arcsin yx z +=的定义域为（ ）.A.(){}10,22≤+≤y x y x B.(){}10,22<+<y x y xC.()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+≤20,22πy x y x D.()⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+<20,22πy x y x 4.点()1,2,1--P 到平面0522=--+z y x 的距离为（ ）. .4 C5.函数22232y x xy z --=的极大值为（ ）. B.1 C.1- D.21】6.设223y xy x z ++=，则()=∂∂2,1xz （ ）..7 C 7.若几何级数∑∞=0n nar是收敛的，则（ ）.A.1≤rB. 1≥rC.1<rD.1≤r8.幂级数()nn xn ∑∞=+01的收敛域为（ ）.A.[]1,1-B.[)1,1-C.(]1,1-D. ()1,1- 9.级数∑∞=14sin n n na是（ ）. A.条件收敛 B.绝对收敛 C.发散 D.不能确定二.填空题（4分⨯5）1.直线l 过点()1,2,2-A 且与直线⎪⎩⎪⎨⎧-==+=t z t y t x 213平行，则直线l 的方程为__________________________.￥2.函数xye z =的全微分为___________________________.3.曲面2242y x z -=在点()4,1,2处的切平面方程为_____________________________________.三.计算题（5分⨯6）1.设k j b k j i a32,2+=-+=，求.b a ⨯2.设22uv v u z -=，而y x v y x u sin ,cos ==，求.,yz x z ∂∂∂∂3.已知隐函数()y x z z ,=由233=+xyz x 确定，求.,yz x z ∂∂∂∂ 4.如图，求球面22224a z y x =++与圆柱面ax y x 222=+（0>a ）所围的几何体的体积.四.应用题（10分⨯2） 1.试用二重积分计算由x y x y 2,==和4=x 所围图形的面积.%试卷2参考答案一.选择题 CBABA CCDBA. 二.填空题 1.211212+=-=-z y x . 2.()xdy ydx exy+.3.488=--z y x .4.()∑∞=-021n n nx .5.3x y =. 三.计算题1.k j i238+-.!2.()()()y y x y y y y x yz y y y y x x z 3333223cos sin cos sin cos sin ,sin cos cos sin +++-=∂∂-=∂∂ .3.22,z xy xz y z z xy yz x z +-=∂∂+-=∂∂.4.⎪⎭⎫ ⎝⎛-3223323πa . 5.x xe C eC y --+=221.四.应用题 1.316. 2. 00221x t v gt x ++-=.￥《高等数学》试卷3（下）一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分） 2、设a=i+2j-k,b=2j+3k ，则a 与b 的向量积为（ ） A 、i-j+2k B 、8i-j+2k C 、8i-3j+2k D 、8i-3i+k 3、点P （-1、-2、1）到平面x+2y-2z-5=0的距离为（ ） A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 4、函数z=xsiny 在点（1，4π）处的两个偏导数分别为（ ） A 、,22 ,22 B 、,2222- C 、22- 22- D 、22-,225、设x 2+y 2+z 2=2Rx ，则yzx z ∂∂∂∂,分别为（ ） A 、z y z R x --, B 、z y z R x ---, C 、z yz R x ,-- D 、zyz R x ,- 》6、设圆心在原点，半径为R ，面密度为22y x +=μ的薄板的质量为（ ）（面积A=2R π）A 、R 2AB 、2R 2AC 、3R 2AD 、A R 221 7、级数∑∞=-1)1(n nnn x 的收敛半径为（ ）A 、2B 、21C 、1D 、38、cosx 的麦克劳林级数为（ ）A 、∑∞=-0)1(n n)!2(2n x n B 、∑∞=-1)1(n n )!2(2n x n C 、∑∞=-0)1(n n )!2(2n x n D 、∑∞=-0)1(n n)!12(12--n x n二、填空题（本题共5小题，每题4分，共20分）1、直线L 1：x=y=z 与直线L 2：的夹角为z y x =-+=-1321___________。
高等数学a有什么教材
高等数学a有什么教材高等数学A教材是大学理工类专业中必修的一门课程，用于培养学生的数学思维和推理能力。
在教学过程中，选择一本合适的教材对于学生的学习效果至关重要。
下面是几本常见的高等数学A教材，供您选择和参考。
一、《高等数学》（第七版）张宇主编《高等数学》（第七版）是近年来非常受欢迎的一本高等数学教材。
该教材在内容上系统完整、知识点准确，涵盖了大学高等数学A课程中的重要知识点。
与此同时，配套的习题册设计了大量的练习题，可以帮助学生巩固所学内容并提高解题能力。
此外，教材中还附有详细的解答和答案解析，方便学生自我检查。
二、《高等数学》（第八版）同济大学数学系主编《高等数学》（第八版）是同济大学数学系编写的一本教材。
该教材内容全面，理论严谨，注重把数学理论与实际问题相结合。
书中的案例分析和实际应用部分有助于学生更好地理解数学的应用价值。
除了课后习题外，教材还提供了扩展阅读材料和习题答案，帮助学生进一步拓宽知识面和思维广度。
三、《高等数学》（第三版）吴赣清主编《高等数学》（第三版）是一本较为经典的高等数学教材。
该教材语言简明、易于理解，结构合理，各章节之间的关联性强，知识点的难度逐渐递增。
同时，教材还提供了丰富的例题和习题，方便学生进行巩固和扩展训练。
此外，教材还附带有习题解析和习题答案，为学生提供自学和检查的便利。
四、《高等数学》（第五版）王道考研辅导主编《高等数学》（第五版）是专为考研学生编写的一本教材。
该教材内容严谨，重点突出，覆盖了高等数学A课程中的重要内容，并配备了大量的经典习题和考研真题，可帮助学生提升解题和应试能力。
此外，教材还提供了习题答案和详细的解题步骤，方便学生进行自我评测和错题复习。
以上是几本常见的高等数学A教材，每本教材都有其自身的特点和优势。
在选择教材时，建议您结合自身的学习习惯和学校的教学要求，综合考虑教材的内容、布局、练习题等方面的因素，选择符合您个人需求的教材，以便更好地学习和掌握高等数学知识。
大学高等数学下考试题库(附答案)
《高等数学》试卷1（下）一.选择题（3分⨯10）1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）.A.3B.4C.5D.62.向量j i b k j i a+=++-=2,2，则有（ ）.A.a ∥bB.a ⊥bC.3,π=b aD.4,π=b a3.函数1122222-++--=y x y x y 的定义域是（ ）.A.(){}21,22≤+≤y x y x B.(){}21,22<+<y x y xC.(){}21,22≤+<y xy x D (){}21,22<+≤y x y x4.两个向量a 与b垂直的充要条件是（ ）.A.0=⋅b aB.0 =⨯b aC.0 =-b aD.0 =+b a5.函数xy y x z 333-+=的极小值是（ ）. A.2 B.2- C.1 D.1- 6.设y x z sin =，则⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂4,1πyz ＝（ ）.A.22 B.22- C.2 D.2- 7.若p 级数∑∞=11n p n 收敛，则（ ）. A.p 1< B.1≤p C.1>p D.1≥p8.幂级数∑∞=1n nnx 的收敛域为（ ）.A.[]1,1- B ()1,1- C.[)1,1- D.(]1,1-9.幂级数nn x ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛02在收敛域内的和函数是（ ）.A.x -11 B.x -22 C.x -12 D.x-21 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）.A.xce y = B.xe y = C.xcxe y = D.cxe y =二.填空题（4分⨯5）1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________.2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________.3.设13323+--=xy xy y x z ，则=∂∂∂yx z2_____________________________. 4.x+21的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________. 三.计算题（5分⨯6）1.设v e z usin =，而y x v xy u +==,，求.,yz x z ∂∂∂∂ 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,yz x z ∂∂∂∂ 3.计算σd y x D⎰⎰+22sin，其中22224:ππ≤+≤y x D .4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）.5.求微分方程xey y 23=-'在00==x y条件下的特解.四.应用题（10分⨯2）1.要用铁板做一个体积为23m 的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？ 2..曲线()x f y =上任何一点的切线斜率等于自原点到该切点的连线斜率的2倍，且曲线过点⎪⎭⎫ ⎝⎛31,1，求此曲线方程 .试卷1参考答案一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题1.0622=+--z y x .2.()()xdy ydx xy +cos .3.19622--y y x .4.()n n n n x ∑∞=+-0121.5.()xe x C C y 221-+= .三.计算题 1.()()[]y x y x y e xzxy +++=∂∂cos sin ，()()[]y x y x x e y z xy +++=∂∂cos sin . 2.12,12+=∂∂+-=∂∂z yy z z x x z . 3.⎰⎰=⋅πππρρρϕ202sin d d 26π-.4.3316R . 5.x xe ey 23-=.四.应用题1.长、宽、高均为m 32时，用料最省.2..312x y =《高数》试卷2（下）一.选择题（3分⨯10）1.点()1,3,41M ，()2,1,72M 的距离=21M M （ ）. A.12 B.13 C.14 D.152.设两平面方程分别为0122=++-z y x 和05=++-y x ，则两平面的夹角为（ ）. A.6π B.4π C.3π D.2π 3.函数()22arcsin yx z +=的定义域为（ ）.A.(){}10,22≤+≤y x y xB.(){}10,22<+<y x y x C.()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+≤20,22πy x y x D.()⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+<20,22πy x y x 4.点()1,2,1--P 到平面0522=--+z y x 的距离为（ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 5.函数22232y x xy z --=的极大值为（ ）. A.0 B.1 C.1- D.21 6.设223y xy x z ++=，则()=∂∂2,1xz （ ）.A.6B.7C.8D.9 7.若几何级数∑∞=0n nar是收敛的，则（ ）.A.1≤rB. 1≥rC.1<rD.1≤r8.幂级数()nn xn ∑∞=+01的收敛域为（ ）.A.[]1,1-B.[)1,1-C.(]1,1-D. ()1,1- 9.级数∑∞=14sin n n na是（ ）. A.条件收敛 B.绝对收敛 C.发散 D.不能确定 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）.A.cx e y =B.xce y = C.x e y = D.xcxe y =二.填空题（4分⨯5）1.直线l 过点()1,2,2-A 且与直线⎪⎩⎪⎨⎧-==+=t z t y t x 213平行，则直线l 的方程为__________________________.2.函数xye z =的全微分为___________________________.3.曲面2242y x z -=在点()4,1,2处的切平面方程为_____________________________________.4.211x+的麦克劳林级数是______________________. 5.微分方程03=-ydx xdy 在11==x y 条件下的特解为______________________________.三.计算题（5分⨯6）1.设k j b k j i a32,2+=-+=，求.b a ⨯2.设22uv v u z -=，而y x v y x u sin ,cos ==，求.,y z x z ∂∂∂∂ 3.已知隐函数()y x z z ,=由233=+xyz x 确定，求.,yz x z ∂∂∂∂ 4.如图，求球面22224a z y x =++与圆柱面ax y x 222=+（0>a ）所围的几何体的体积.5.求微分方程023=+'+''y y y 的通解. 四.应用题（10分⨯2） 1.试用二重积分计算由x y x y 2,==和4=x 所围图形的面积.2.如图，以初速度0v 将质点铅直上抛，不计阻力，求质点的运动规律().t x x =（提示：g dtxd -=22.当0=t时，有0x x =，0v dtdx=）试卷2参考答案一.选择题 CBABA CCDBA. 二.填空题 1.211212+=-=-z y x . 2.()xdy ydx exy+.3.488=--z y x .4.()∑∞=-021n n n x . 5.3x y =. 三.计算题1.k j i238+-.2.()()()y y x y y y y x yz y y y y x x z 3333223cos sin cos sin cos sin ,sin cos cos sin +++-=∂∂-=∂∂ . 3.22,z xy xz y z z xy yz x z +-=∂∂+-=∂∂. 4.⎪⎭⎫ ⎝⎛-3223323πa . 5.x xe C eC y --+=221.四.应用题 1.316. 2. 00221x t v gt x ++-=.《高等数学》试卷3（下）一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分） 1、二阶行列式 2 -3 的值为（ ）4 5A 、10B 、20C 、24D 、222、设a=i+2j-k,b=2j+3k ，则a 与b 的向量积为（ ） A 、i-j+2k B 、8i-j+2k C 、8i-3j+2k D 、8i-3i+k3、点P （-1、-2、1）到平面x+2y-2z-5=0的距离为（ ） A 、2 B 、3 C 、4 D 、54、函数z=xsiny 在点（1，4π）处的两个偏导数分别为（ ） A 、,22 ,22 B 、,2222- C 、22- 22- D 、22- ,22 5、设x 2+y 2+z 2=2Rx ，则yzx z ∂∂∂∂,分别为（ ） A 、z y z R x --, B 、z y z R x ---, C 、zyz R x ,-- D 、zyz R x ,- 6、设圆心在原点，半径为R ，面密度为22y x +=μ的薄板的质量为（ ）（面积A=2R π）A 、R 2AB 、2R 2AC 、3R 2AD 、A R 221 7、级数∑∞=-1)1(n nnn x 的收敛半径为（ ）A 、2B 、21C 、1D 、3 8、cosx 的麦克劳林级数为（ ）A 、∑∞=-0)1(n n)!2(2n x n B 、∑∞=-1)1(n n )!2(2n x n C 、∑∞=-0)1(n n )!2(2n x n D 、∑∞=-0)1(n n)!12(12--n x n9、微分方程(y``)4+(y`)5+y`+2=0的阶数是（ ） A 、一阶 B 、二阶 C 、三阶 D 、四阶 10、微分方程y``+3y`+2y=0的特征根为（ ） A 、-2，-1 B 、2，1 C 、-2，1 D 、1，-2 二、填空题（本题共5小题，每题4分，共20分） 1、直线L 1：x=y=z 与直线L 2：的夹角为z y x =-+=-1321___________。
高等数学下册期末考试试题及答案 (1).
高数高等数学A(下册)期末考试试题一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上）1、已知向量a、b满足a b0，a2，b2，则a b．3z2、设z xln(xy)，则．x y23、曲面x2y2z9在点(1,2,4)处的切平面方程为．4、设f(x)是周期为2的周期函数，它在[,)上的表达式为f(x)x，则f(x)的傅里叶级数在x3处收敛于，在x处收敛于．5、设L为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则(x y)ds L※以下各题在答题纸上作答并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级．二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分）2222x3y z91、求曲线2在点M0(1,1,2)处的切线及法平面方程．22z3x y2、求由曲面z2x2y及z6x y所围成的立体体积．3、判定级数2222(1)nlnn1n1是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ nz2zx,4、设z f(xy,)siny，其中f具有二阶连续偏导数，求．x x yy 5、计算曲面积分dS2222,x y z a其中是球面被平面z h(0h a)截出的顶部．z三、（本题满分9分）抛物面z x2y2被平面x y z1截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值．第 1 页共 2 页高数（本题满分10分）计算曲线积分⎰L(exsiny-m)dx+(excosy-mx)dy，其中m为常数，L为由点A(a,0)至原点O(0,0)的上半圆周x2+y2=ax(a>0)．四、（本题满分10分） xn求幂级数∑n的收敛域及和函数．n=13⋅n∞五、（本题满分10分）计算曲面积分I=⎰⎰2xdydz+2ydzdx+3(z∑332-1)dxdy，其中∑为曲面z=1-x2-y2(z≥0)的上侧．六、（本题满分6分）设f(x)为连续函数，f(0)=a，F(t)=222z=Ω，其中是由曲面[z+f(x+y+z)]dvt⎰⎰⎰Ωt与z=lim+t→0F(t)． t3-------------------------------------备注：①考试时间为2小时；②考试结束时，请每位考生按卷面→答题纸→草稿纸由表及里依序对折上交；不得带走试卷。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
个X型 域D1、、Dn， 边 界 分 别 为L1、、Ln， 则
P
n
dxdy
P dxdy n
Pdx Pdx;
D y
i1 Di y
i1 Li
L
Q
同理得
D
x
dxdy
Qdy;
L
D
(
Q x
P y
)dxdy
L
Pdx
在 D 上， Pdx Qdy与路径无关； AB
10/23
3（) 在 D 上， Pdx Qdy与路径无关） AB
4（ ) Pdx Qdy 是某个函数的全微分）
令u( x, y) ( x,y) Pdx Qdy
则
( x0 , y0 )
u( x x, y) u( x,
第三节 格林公式及其应用
1. 格林（Green）公式 2. 四个等价结论 3. 小结、作业
1/23
一、格林公式
格林公式 设闭区域 D 由分段光滑曲线 L 围
成， P(x, y)、Q(x, y)C1D,则
D( Q xP y)dxdy
L
Pdx
Qdy
L1
D
其中 L 是 D 的边界正向,
P
C
1 D
，
u y
Q
C
1 D
，则
P y
2u xy
连续
2u yx
Q . x
证毕。
12/23
例4.求 xdy ydx , AB 为星形线 x a cos 3 t,
AB x 2 y 2
y a sin3 t 上 t 从 0 到 的弧段。
解1 用 参 数 法 。
D
D
2 D
6/23
二、四个等价结论
1、平面区域连通性的分类
如果平面区域D内任一闭曲线所围成的部分都于 D， 则称D为单连通区域； 否则称为复连通区域。
D D
单连通区域
复连通区域
7/23
2、用格林公式导出的四个等价结论
推论
设
D
为单连通区
域
，P(
x,
y)、Q(
x,
y)
C
1 D
，
那么，下面四条等价：
a
b
b P( x,2 ( x))dx a P( x,1( x))dx
P( x, y)dx P( x, y)dx
L上
L下
y 2(x) D
L P( x, y)dx
y 1(x)
a
b
3/23
若D非X型 ， 用 与x轴 垂 直 的 直 线 将D分 割 为 若 干
时针方向。
解 用格林公式记。相应三角域为D。
(3,2)
原 式
D
D
4dxdy 4
(
|
Q x
D|
P y
12
)dxdy
O(0,0)
D
(3,0)
D
例3 用格林公式易证：xOy面上有界闭区域D的面积
| D | xdy ydx 1 xdy ydx.
ux
(
x,
y)
lim
x0
P(
x
x,
y)
P(
x,
y)
C
1 D
同理, uy
Q
C
1 D
du Pdx Qdy;
11/23
4（ ) 在D上，Pdx Qdy是某个函数的全微分）
1（) 在 D 上，Q P ）
x y
记
du
Pdx
Qdy
,
则
u x
L2
边界曲线L的正向: 当
L
观察者沿边界行走时 D
，区域D总在左边。
L由L1与L2组成
2/23
*证明 若 D 是 X 型，则
P dxdy
b
dx
2 ( x )P dy
D y
a
1 ( x ) y
b
a [P( x,2 ( x)) P( x,1( x))]dx
y)
N ( x x, y) M ( x, y)
(xx,y) ( x0 , y0 )
(x,y) ( x0 , y0 )
( xx, y) ( x, y)
M0( x0 , y0 )
MN
D
x x
中值定理
x P( x, y)dx P( x x, y) x
2
原式
2 0
a cos 3
td(a sin3 t ) a sin3 td(a cos 3 (a cos 3 t )2 (a sin3 t )2
t)
3
2 0
sin3 t cos 3 t cos 6 t sin6
8/23
*证 1（) 在 D 上，Q P ） x y
2（) 对闭路L D，有 L Pdx Qdy 0）
L Pdx Qdy
格 林 公 式
0；
( Q P )dxdy y L所 围 有 界 闭 区 域 x
9/23
2（) 对闭路L D，有 L Pdx Qdy 0）
原式
(
Q
P
A
)dxdy
L
D
OA
D x y
D
3dxdy
D
OA
OA:x 0 O
3 | D |
2 sin
ydy
3
cos 2
1.
0
2
5/23
例2. 求 (2x y 4)dx (3x 5 y 6)dy, L : L (0,0)、(3,0)、(3,2) 为顶点的三角形的边界，顺
Qdy .
格林公式的实质: 建立了二重积分与边界曲线
积分之间的联系.
4/23
例1.求 ( x2 e x cos y)dx (e x sin y 3x)dy, L 为
L
沿右半圆周 x2 ( y 1)2 1 从 A(0,2) 到 O(0,0)。
解 用格林公式。 记右半圆域为D。
3) (在 D 上， Pdx Qdy与路径无关) AB
设L1、L2是 D中起点为A、终点为B的路径，
L L1 (L2 )，
L1
B
由2)，0 L Pdx Qdy
A L2
L1 ( L2 ) L1 L2
L1 L2
L1 L2
1) 在 D 上，Q P ； x y
2) 对闭路L D，有 L Pdx Qdy 0； 3) 在 D 上， Pdx Qdy与路径无关；
AB
4) 在 D 上，Pdx Qdy 是某个函数的全微分，
即有原函数（ (x,y) Pdx Qdy 是一个原函数.） (x0 , y0 )