高等数学A(下)期末复习题
(完整版)高等数学下册期末考试试题及答案,推荐文档
又
1 zx2
z
2 y
a
a2 x2 y2 ，…..………【３】
第3页共2页
高数
故
dS z
Dxy
adxdy a2 x2 y2
a
2 d
0
a2 h2 0
d a2 2
2
a
1 2
ln(a2
2
)0
a2 h2
2 a ln a ..【7】 h
三、【9 分】解：设 M (x, y, z) 为该椭圆上的任一点，则点 M 到原点的距离为 d x2 y2 z2 ……【1】
n1
n
4、设 z f (xy, x ) sin y ，其中 f 具有二阶连续偏导数，求 z ,
2z
．
y
x xy
5、计算曲面积分 dS , 其中 是球面 x2 y2 z2 a2 被平面 z h (0 h a) 截出的顶部．
z
三、（本题满分 9 分） 抛物面 z x2 y2 被平面 x y z 1 截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离
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的最大值与最小值．
高数
（本题满分 10 分）
计算曲线积分 (ex sin y m)dx (ex cos y mx)dy ， L
其中 m 为常数， L 为由点 A(a, 0) 至原点 O(0, 0) 的上半圆周 x2 y2 ax (a 0) ．
四、（本题满分 10 分）
xn
3 , 1 2
3 ,2
3),
1 M2( 2
3 , 1 2
3 ,2
3). …………………【7】
又由题意知，距离的最大值和最小值一定存在，所以距离的最大值与最小值分别在这两点处取得．
[工学]常熟理工学院《高等数学a》下期末复习题
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虞山学院《高等数学(A)》（下）期末复习题一、选择题1．设向量},34,2{},1,2,3{k b a == ，已知b a ⊥，则k ＝（D ）A. 32B. 326C. 32- D. 326-2．设向量(2,3,6)a =-，则与a 同向的单位向量为( D ).A. (2,3,6)-B. 1(2,3,6)7-- C. 1(2,3,6)7±- D.1(2,3,6)7- 3．设32,2a i j k b i j k =--=+-，则a b ⋅= （ B ）.A. 2B. 3C. 4D. 54．当k =（ ）时，向量}{a k , 1, -1 =r与向量 }{b 1 , 2, 3 =r 垂直。
（ B ）A. 0B. 1C. 2D. 35．向量112a {,,}=-在304b {,,}=上的投影为 （ A ）A. 115B. 8C. 72D. 06．设211a {,,}=，001b {,,}=，则(,)a b ∧= ( C )A. 2πB. 3π C. 66arccos D. 66arccos π-7．设向量{4,3,4}a =-，{2,2,1}b =，则(,)a b ∧=（ C ）A.2arcsin41B. 0C.2arccos41D. 4π 8. 在空间直角坐标系中，点(1,3,1)P -关于y 轴对称的点的坐标是（ D ）A. （1，3，1）B. （-1，3，-1）C. （-1，-3，1）D. （-1，3，1）9. 直线⎩⎨⎧=+-=+-082053z y z x 化成点向式方程为（ B ）A. 112135+=+=-z y x B. 12835z y x =+=+ C.112235-=+=-z y x D. 122335+=-=+z y x10. 设向量a 与}2,1,2{-=b 平行，18-=⋅b a ，则a＝（ C ）A.{4,2,4}-- B.{4,2,4}- C. {4,2,4}-- D.{4,2,4}-11. 直线22112z y x =-+=-与平面2342=+-z y x 的位置关系是（ D ）A. 平行B. 重合C. 垂直D. 斜交 12.xoy 平面内抛物线2y x =绕y 轴旋转一周，所得旋转曲面的方程是（ D ） A.22y x z z ⎧=+⎨=⎩ B.20y z x z ⎧+=⎨=⎩ C.222x y z =+ D.22y x z =+13. 平面A xB y C zD +++=0过x 轴，则 ( A ) A.AD ==0B. B C =≠00,C.B C ≠=00, D.BC ==014. 平面032=+y z 是 （ C ）A. 与x 轴平行但无公共点的平面B. 与yOz 平面平行的平面C. 通过x 轴的平面D. 与x 轴垂直的平面15.在空间直角坐标系中，点（1，-2，3）关于原点对称的点的坐标是（ B ）A. （1，-2，-3）B. （-1，2，-3）C. （-1，-2，-3）D. （1，-2，-3）16. 平面3510x z -+= ( B ) A.平行于z o x 平面 B.平行于y 轴 C.垂直于y 轴 D.垂直于x 轴 17.221(,)sin 1f x y xx y=+--的定义域为（ D ） A. {(,)|||1,||1}x y x y << B.{(,)|||1,1}x y x y << C.{(,)|||1}x y x <D.22{(,)|1}x y xy +<18.函数1412222-++--=y x y x z 的定义域是（ C ）A. }41|),{(22≤+≤y x y x B. }41|),{(22≤+<y x y x C. }41|),{(22<+≤y x y x D. }41|),{(22<+<y x y x19.2(,)ln()1f x y xy x y =+--的定义域是（ D ）.A. {(,)|1}x y x y +≤B. {(,)|01}x y x y <+≤C. {(,)|0,1}x y x x y <+≤D. {(,)|0,0,1}x y x y x y <≠+≤ 20.设)ln(),(22y x x y x f --=，其中0>>y x ，则=-+),(y x y x f （ A ）A. )ln(2y x - B. )ln(y x - C. )ln (ln 21y x - D. )ln(2y x -21.设22),(y xy x xy f +=-，则 (,)f x y = ( B )A.2x y +B. 22x y + C. y x 22+ D. 22x y -22.设函数22(,)xyz f x y x y ==+，则下列各式中正确的是 （ C ）A.(,)(,)y f x f x y x= B.(,)(,)f x y x y f x y +-=C.(,)(,)f y x f x y =D.(,)(,)f x y f x y -= 23. 二元函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(22y x y x y x xyy x f 在点（0,0）处 （ C ）A. 连续，偏导数存在B. 连续，偏导数不存在C. 不连续，偏导数存在D. 不连续，偏导数不存在 24.函数)y ,x (f z =在点(x 0,y 0)处具有偏导数是它在该点连续的( D ).A.必要而非充分条件B.充分而非必要条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件25.201sin limx y x xy →→=（ A ） A.0 B. 1 C. 不存在 D. 存在，既不是0，也不是126.322(,)(0,0)lim x y xy x y →=（ D ） A. 1 B.-1 C. 0 D. 不存在 27.22limx y xy x y→→=+（ A ）.A. 0B. 1C. 21 D. 不存在28.()()2222,0,0lim 1x y x y x y→+==-+（ D ）A. 2- B.2 C.不存在D. 029.设xy )y ,x (f =,则f(x,y)在(0,0)点处一阶偏导数( B ).A.不存在B.存在C.可能存在也可能不存在D. 以上都不对 30. 设22),(y xy x xy f +=-，则 =+),('),('y x f y x f y x( A )A.y 22+B. y 22-C. y x 22+D. y x 22-31.设)32ln(),(xy x y x f += ，则=')0,1(yf （ A ）A.32B.23C.1D.032.设xy e y x z +=2，则=∂∂)2,1(yz（ B ）A. e +1B. 21e + C. 221e + D. e 21+33.设)cos(2y x z =，则=∂∂yz （ B ）.A. )sin(2y x -B.)sin(22y x x- C. )sin(2y x D. )sin(22y x x34. 设2()z f x y =，则 z x∂=∂（ A ）A.()22xyf x y ' B.()2yf x y ' C.()22x f x y ' D.()2xyf x y '35.设22(,)x f x y xy x y =++，则'(0,1)xf=（ A ）A ． 2 B. 2- C. 12D. 12-36.设fxy x yx y x y (,)=+-+-32231，则f x'(,)32=( B )A. 59B. 56C. 58D. 55 37.设xyz e =，则dz =（ B ） A.xyedx B. ()xyeydx xdy + C. ydx xdy + D.()xy e dx dy +38.设yz e sin x=，则2zx y∂=∂∂( D ) A. yecos x- B.y y e e sin x+ C. yesin x- D. ye cos x39.设ln()z xy =，则dz =（ C ） A.11dx dy y x+ B.11xy xy dx dy+ C.11dx dy x y+ D. xdx ydy + 40. 22(,)2f x y xy =--的极值点是（ C ）A.（1，－1）B.（1，1）C.（0，0）D. （0，2） 41.函数222y xz +=在点)1,1(P 处沿方向{2,1}l =的方向导数等于（ C ）A. 5B. 5-C. 52D. 52-42.函数xy z y x u 3422-++=在点)1,1,1(M 处沿}2,2,1{=l方向的方向导数Mlu∂∂为（ A ） A.35 B. 53 C.}2,2,1{31D. }2,4,1{-43.222),,(z y x z y x f ++=，则梯度)3,1,1(grad -f 为（ C ）．A. 111-； B. {}2,2,1-； C. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-113,111,111； D. 044.下列命题错误的是（ B ）A. 偏导数存在是可微的必要条件B. 偏导数存在是连续的充分条件C. 偏导数连续是可微的充分条件D. 连续是可微的必要条件 45. 若0),(00=y x fx，0),(00=y x f y ，则),(y x f 在),(00y x 处有 （ D ）A. 连续；B.可微；C.),(00y x 为极值点；D. ),(0y x 可能是极值点，也可能不是极值点46.设函数),(y x f z =在点),(0y x 处可微，且0(,)0, (,)0xyf x y f x y ''==，0000(,)0, (,)0xx yy f x y f x y ''''>>，则函数),(y x f 在),(00y x 处（ B ）.A. 必有极值，可能是极大，也可能是极小B. 可能有极值，也可能无极值C. 必有极大值D. 必有极小值47.二元函数22)1()1(y x z -+-=的极值点是（ D ） A.)0 , 0( ; B. )1 , 0( ; C. )0 , 1(; D. )1 , 1(48.设),(y x f 是连续函数，交换二次积分⎰⎰>a xa dy y x f dx 0 0 )0(),(的积分次序的结果为（ A ） A. ⎰⎰a a y dx y x f dy 0),( B. ⎰⎰aadxy x f dy 0),(C. ⎰⎰ay dx y x f dy 0),( D. ⎰⎰ay adx y x f dy 0),(49.交换二次积分顺序后，⎰⎰x-1 0 10 y)dy f(x, dx =（ D ） A.⎰⎰11 0y)dx f(x, dy B.⎰⎰x-1 0 1y)dx f(x, dy C.⎰⎰1x-1 0y)dx f(x, dy D.⎰⎰y-1 01y)dx f(x, dy设),(y x f 在0,1:22≥≤+y y x D 连续，则=⎰⎰Dd y x f σ),(（C ）A.⎰⎰πθθθ2 01)sin ,cos (rdr r r f d B. ⎰⎰1x -1 02),(dy y x f dxC. ⎰⎰πθθθ 01 0 )sin ,cos (rdr r r f dD. ⎰⎰----11x 1 1 22),(x dy y x f dx50.设f (x ,y )为连续函数，则积分⎰⎰⎰⎰-+121202),(),(x xdy y x f dx dy y x f dx 可交换积分次序为 ( C ) A. 1y 22y1dy f (x,y)dx dy f (x,y)dx -+⎰⎰⎰⎰B. 21x 22x1dy f (x,y)dx dy f (x,y)dx -+⎰⎰⎰⎰C. 12y 0y dy f (x,y)dx -⎰⎰D. 212xx dy f (x,y)dx -⎰⎰51. 设D 由x y y x ===,1,0围成，则=⎰⎰Ddxdy y x f ),(（ D ）A.⎰⎰11 0 ),(dx y x f dyB.⎰⎰10 0),(x dy y x f dxC.⎰⎰11 ),(y dx y x f dyD.⎰⎰1),(y dx y x f dy52.设22:1,D xy +≤则Dxdxdy ⎰⎰＝（ C ）.A.πB.1C.0D. π2 53.设dxdy e ,1y x:D D)y x(2222⎰⎰+-≤+则＝（ B ）.A. )e 1(-πB. )e11(-π C. )1e (-π D. )e11(+π54. 若区域D 为221xy +≤，则二重积分⎰⎰Ddxdy y x f ),(化为累次积分为（ B ） A. 1 00(,)d F r dr πθθ⎰⎰B. 1 0(,)d F r dr ππθθ-⎰⎰C.122(,)d F r drππθθ-⎰⎰ D.120 02(,)d F r drπθθ⎰⎰ 其中r r r f r F )sin ,cos (),(θθθ=55. 设22:1,D xy +≤f是D 上的连续函数，则22()Df x y dxdy +⎰⎰＝（ A ）.A.⎰π10dr )r (rf 2 B. ⎰π10dr )r (rf 4 C. ⎰π102dr )r(f 2 D. ⎰πr 0dr )r (rf 456.设积分区域}0,0,1|),{(22≥≥≤+=y x y xy x D ，则⎰⎰Dd σ＝( D )。
高等数学A(下册)期末考试试题
高等数学A(下册)期末考试试题大题 一 二 三 四 五 六 七 小题1 234 5得分一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上）1、已知向量a r 、b r满足0a b +=r r r ，2a =r ，2b =r ，则a b ⋅=r r ．2、设ln()z x xy =，则32zx y∂=∂∂ ． 3、曲面229x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 ．4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数 在3x =处收敛于 ，在x π=处收敛于 ．5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则()Lx y ds +=⎰ ．※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级． 二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分）1、求曲线2222222393x y z z x y⎧++=⎪⎨=+⎪⎩在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 2、求由曲面2222z x y =+及226z x y =--所围成的立体体积．3、判定级数11(1)lnn n n n∞=+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,z zx x y∂∂∂∂∂． 5、计算曲面积分,dS z ∑⎰⎰其中∑是球面2222x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部． 三、（本题满分9分） 抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值．（本题满分10分）计算曲线积分(sin )(cos )x x Le y m dx e y mx dy -+-⎰，其中m 为常数，L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周22(0)x y ax a +=>．四、（本题满分10分）求幂级数13nn n x n∞=⋅∑的收敛域及和函数．五、（本题满分10分）计算曲面积分332223(1)I x dydz y dzdx zdxdy ∑=++-⎰⎰，其中∑为曲面221(0)z x y z =--≥的上侧．六、（本题满分6分）设()f x 为连续函数，(0)f a =，222()[()]t F t z f xy z dv Ω=+++⎰⎰⎰，其中t Ω是由曲面z =与z =所围成的闭区域，求 3()lim t F t t +→．-------------------------------------备注：①考试时间为2小时；②考试结束时，请每位考生按卷面→答题纸→草稿纸由表及里依序对折上交； 不得带走试卷。
高等数学A（二）期末复习题
⾼等数学A（⼆）期末复习题⾼等数学A （⼆）期末复习题⼀、填空题1、设(1,2,1),(2,3,1)a b =-=r r ，则a br r .2、过点()3,4,1-且与直线5123--==-z y x 平⾏的直线⽅程为。
3、⽅程b az y x =+-2224，当0=a ，2=b ；4-=a ，2-=b ；0=a ，0=b 时依次表⽰的曲⾯是，，。
4、曲线222212z x y z x y ì?=+?í?=--??在xoy ⾯内的投影曲线的⽅程是。
5、设22y xy x u +-=，()1,10P ，()=0P u grad , du = 。
6、设,3ln sin 2=-z y y x 则=??xz ，=??y z 。
7、交换积分次序 ()1,dxf x y dy -=蝌。
8、=--??≤+dxdy y x y x 122221 。
9、设D 是xoy 平⾯内的⼀块密度为()y x ,µ的薄板，质量M = 。
10、()=++?ydy e dx my y ex L其中L 为沿上半圆周()0222>=+a ax y x 从点()0,2a A 到点()0,0O 的⼀段弧。
⼆、选择题1、直线37423zy x =-+=-+与平⾯3224=--z y x 的关系是（）（A ）平⾏，但直线不在平⾯上（B ）直线在平⾯上（C ）垂直相交（D ）相交但不垂直 2、下列曲⾯中是旋转抛物⾯的是（）（A ）0422=-+z y x（B ）04222=-+z y x （C ）042222=-+z y x（D ）04222=-+z y x3、()xyz f u =，f 可微，则=??xu （）（A ）dx df （B ）()xyz f ' （C ）()xyz f yz ' （D ）dxdf yz 4、设22z xy u -=，u 在点()1,1,2-处的⽅向导数的最⼤值为（）（A ）62 （B ）4 （C ）()1,1,2-u grad （D ）6 5、设4:22≤+y x D ，f 在D 上连续，则()=+??dxdy y x f D22（）（A ）()ρρρπ?d f 22 （B ）()ρρρπ?ρρπd f 2022 （D ）()ρρρπ?d f 146、⽤格林公式计算()dy xy dx y x c22+-?，其中:c 沿圆222R y x =+逆时针⽅向绕⼀周，则得（）（A ）24203R d d R π-=ρρθ-π（B ）??=D dxdy 00 （C ）2)(422R dxdy y x D π=+?? （D ）3232R d d D π=θρρ??7、若级数()nn n x a 20-∑∞=在2-=x 处收敛，则此级数在5=x 处（）（A ）必发散（B ）必条件收敛（C ）必绝对收敛（D ）敛散性不能确定第⼋章：向量代数与空间解析⼏何1、求过点A （0，1，2）且与直线L ：21111zy x =--=-垂直相交的直线⽅程。
高等数学(A)下期末试卷及答案(优选.)
南京邮电大学2010/2011学年第二学期《高等数学A 》(下）期末试卷A 答案及评分标准 一、选择题（本大题分5小题，每题3分，共15分）1、交换二次积分⎰⎰x e dy y x f dx ln 01),(的积分次序为（c ）(A ) ⎰⎰x e dx y x f dy ln 01),( (B )⎰⎰1),(dx y x f dy e e y(C )⎰⎰eeydx y x f dy ),(10(D )⎰⎰ex dx y x f dy 1ln 0),(2、锥面22y x z +=在柱面x y x 222≤+内的那部分面积为 （D ）(A )⎰⎰-θππρρθcos 2022d d (B )⎰⎰-θππρρθcos 20222d d(C )⎰⎰-θππρρθcos 202222d d (D )⎰⎰-θππρρθcos 20222d d3、若级数∑∞=-1)2(n nn x a 在2-=x 处收敛，则级数∑∞=--11)2(n n n x na 在5=x （B ） (A ) 条件收敛 (B ) 绝对收敛 (C ) 发散(D ) 收敛性不确定 4、下列级数中收敛的级数为 （A ）(A ) ∑∞=-1)13(n nn n (B )∑∞=+121n n n (C ) ∑∞=+111sin n n (D )∑∞=13!n n n 5、若函数)()2()(2222x axy y i xy y x z f -+++-=在复平面上处处解析，则实常数a 的值 为 （c ）(A ) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) -2二、填空题（本大题分5小题，每题4分，共20分）1、曲面122-+=y x z 在点)4,1,2(处的切平面方程为624=-+z y x2、已知)0(:222>=+a a y x L ，则=-+⎰Lds xy y x )]sin([22 32 a π 3、Ω是由曲面22y x z +=及平面)0(>=R R z 所围成的闭区域，在柱面坐标下化三重积分⎰⎰⎰+Ωdxdydz y x f )(22为三次积分为⎰⎰⎰RR dz f d d ρπρρρθ)(20204、函数x x f =)()0(π≤≤x 展开成以2π为周期的正弦级数为nx nx n n sin )1(211+∞=-=∑，收敛区间为π<≤x 05、=+-)1(i Ln2,1,0),243(2ln ±±=++k k i ππ=-]0,[Re 2zz e s z1-三、(本题8分）设),()(22xy y xg y x f z ++=，其中函数)(t f 二阶可导，),(v u g 具有二阶连续偏导数，求y x z x z ∂∂∂∂∂2,解：2112yg g y f x x z ++'=∂∂ … 3分=∂∂∂yx z2f xy ''4113122221g y x g y xyg g --++ 5分四、(本题8分）在已知的椭球面134222=++z y x 内一切内接的长方体（各边分别平行坐标轴）中，求最大的内接长方体体积。
12高等数学A(下)期末复习题.docx
高等数学(下)复习试题一、填空题1.已知 a = (1,1-4) , b = (1-2,2),则 PlJ ； = ________________ . (-3)x -f* v 3? 03.它线 7~与平而x + 2y —z + 1二0的夹角为 ___________x-y-z=O5. 求曲面e' -z + xy = 3在点(2,1,0)处的切平血方程 ______________6. 函数u=xy 2+^-xyz 在点((()，一1,2)沿方向Z(1,V2,1)的方向导数—\ =az P°7. 设 f(x 9y,z) = x 2+2y 2+3才 +xy +3x-2y-6z,贝ij gs 力(0,0,0) = _________________8. 求函数《 =兀+ y + z 在点(0,0,1)处沿球面x 2+ + z 2- 1在这点的外法线方向的方向导数= ____________ O 19. 已知场w (x , V z )= £_+21+£_,贝喩沿场的梯度方向的方向导数是 _______________ .CT A L10. 平面2x + 3y-z = 2是曲面z = 2x 2+3y 2在点(处的切平面，则2=—。
" 2 2 4Aa &2ax11. 设/二I dx L --------(Q >0),改变积分次序 __________12. 若曲线积分£(x 4+4xy A)dx + (6x A ~}y 2-5y 4)dy 在XQV 平面内与路径无关，则2= _____________ 。
22 213. 设厶为平面上的椭圆冷+卡=1,边界为正向，则曲线积分«3xdx + cosydy =—。
08 (兀_2卩+1 14.幕级数工(T)"— 的收敛域为 ______________ 0 [1,3] 紅2〃 +1兀一3,—兀 vx<01C，则它的傅里叶级数在点I + 2兀，0<X<7T{2已知向量“的夹角等于环且求 2a-3b =4.设z = 0‘，则餐二 oxdyx y~' (1 +yin 兀) =2,（C）【dx"（兀刃dy；fl rJx-x2(D) [dx] f(x,y)dy5.设R为正常数，则级数£匕孕工是n=\ n~-JnA）发散；B）绝对收敛；C）条件收敛；D）收敛性与k冇关答:A）当P>~时，绝対收敛；C）当0“冷时,绝对收敛; B）当p > —时，条件收敛;D）当0 <p5丄时，发散。
大一下学期高等数学期末考试试题及答案
高等数学A (下册)期末考试试题【A 卷】院（系）别 班级学号姓名成绩一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上）1、已知向量a r 、b r满足0a b +=r r r ，2a =r ，2b =r ，则a b ⋅=r r．2、设ln()z x xy =，则32zx y∂=∂∂ ． 3、曲面229x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为．4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数在3x =处收敛于 ，在x π=处收敛于．5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则()Lx y ds +=⎰ ．※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级．二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分）1、求曲线2222222393x y z z x y⎧++=⎪⎨=+⎪⎩在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程．2、求由曲面2222z x y =+及226z x y =--所围成的立体体积．3、判定级数11(1)lnn n n n∞=+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,z zx x y∂∂∂∂∂．5、计算曲面积分,dSz∑⎰⎰其中∑是球面2222x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部．三、（本题满分9分）抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值．四、 （本题满分10分）计算曲线积分(sin )(cos )x x Le y m dx e y mx dy -+-⎰，其中m 为常数，L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周22(0)x y ax a +=>．五、（本题满分10分）求幂级数13nn n x n∞=⋅∑的收敛域及和函数．六、（本题满分10分）计算曲面积分332223(1)I x dydz y dzdx z dxdy ∑=++-⎰⎰，其中∑为曲面221(0)z x y z =--≥的上侧．七、（本题满分6分）设()f x 为连续函数，(0)f a =，222()[()]tF t z f x y z dv Ω=+++⎰⎰⎰，其中t Ω是由曲面z =与z =所围成的闭区域，求3()lim t F t t +→． -------------------------------------备注：①考试时间为2小时；②考试结束时，请每位考生按卷面→答题纸→草稿纸由表及里依序对折上交；不得带走试卷。
《高等数学》期末考试A卷(附答案)
《高等数学》期末考试A卷（附答案）【编号】ZSWD2023B0089一、填空题（每小题2分，共20分）1．设 是正整数， 为非零实数，若20001lim ()x x x x，则 _________________，______________________。
【答案】120012001,2．设)(x f 的定义域是]1,0[，且102a ，则()()f x a f x a 的定义域是____________________________ .【答案】1[,]a a3．2211sin()lim x x x x ______________________。
【答案】04．设1111010,(),x x x x e e x f x e e x，0 x 是)(x f 的___________间断点. 【答案】跳跃5．设24cos y x ，则dy ________________________. 【答案】3448sin cos x x x dx6．203sin limxx t dt x _________________________________.【答案】137． 函数2412()()x f x x的渐近线有______________________________.【答案】20,x y8．函数()x f x x e 的单调递增区间为____________________________.【答案】(,0)9．若 C x dx xx f sin )(ln '，则 )(x f .【答案】C e x )sin( 10.[()()]aaf x f x dx ______________________________________.【答案】0二、单项选择题（每小题2分，共10分） 1．若下列极限存在，则成立的是( ) .A. 0()()lim '()x f a x f a f a x B. 0000()()lim '() x f x f x x f x xC. 0(12)(1)lim '(1)t f t f f tD. 4(8)(4)lim '(4)4x f x f f x【答案】B2．当0 x 时，与x 等价的无穷小量是( )A. x x 1sinsin B. xx sin C. x x 22 D. )1ln(x【答案】D3． 当0x x 时，0'()f x ，当0x x 时，0'()f x ，则0x 必定是函数()f x 的（ ）A. 驻点B. 最大值点C.极小值点D. 以上都不对 【答案】D4．设'()f x 存在且连续，则()'df x （ ）A. ()f xB. '()f xC. '()f x cD. ()f x c 【答案】B 5．设4()2xx f t dt，则40 f dx （ ）A. 16B. 8C. 4D. 2【答案】A三、计算下列各题（每小题5分，共35分）1. 求极限)sin 11(cot lim 0xx x x解: )sin 11(cot lim 0x x x x xx x xx x tan sin sin lim 030sin lim x xx x （0 x 时x sin ～x ，x tan ～x ）2031cos lim x x x 616sin lim 0 x x x2. 设3sin 2,0()9arctan 2(1),0xx ae x f x x b x x ，确定,a b 的值，使函数在0 x 处可导。
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高等数学A(下)期末复习题一、 选择题1. 设函数22(,)xyz f x y x y==+，则下列各式中正确的是 （ ） A.(,)(,)yf x f x y x= B.(,)(,)f x y x y f x y +-= C.(,)(,)f y x f x y = D.(,)(,)f x y f x y -= 2．设)ln(),(22y x x y x f --=，其中0>>y x ，则=-+),(y x y x f （ ）。
A. )ln(2y x -B. )ln(y x -C.)ln (ln 21y x - D. )ln(2y x - 3. 若=--=+)2 , 1( , ) , (22f y x xy y x f 则 （ ）。
A.31 B. 31- C. 3 D. 3- 4．设22),(y x x y x f +=，则=)1,1(y x f （ ） A.222y x xy + B. 222y x y x + C. 22y x xy + D. 2222yx y x + 5. 2(,)(0,0)(1)x y xy Limx→+=（ ）. A. 0 B. 1 C. ∞ D. 不存在 6．极限11lim22220++-+→→y x y x y x ＝（ ）。
A. -2B. 2C. 不存在D. 07.二重极限442200lim y x y x y x +→→的值（ ）.A.0B.1C.21D.不存在8.2(,)ln()f x y xy =的定义域是（ ）.A. {(,)|1}x y x y +≤B. {(,)|01}x y x y <+≤C. {(,)|0,1}x y x x y <+≤D. {(,)|0,0,1}x y x y x y <≠+≤ 9．函数1412222-++--=y x y x z 的定义域是（ ）A. }41|),{(22≤+≤y x y x B. }41|),{(22≤+<y x y x C. }41|),{(22<+≤y x y x D. }41|),{(22<+<y x y x10. 设132),(23-+-+=y x xy y x y x f ，则=') 2 3, (y f （ ）A.39B.40C.41D.42 11．设xye y x z +=2，则=∂∂)2,1(yz （ ）A. e +1B. 21e + C. 221e + D. e 21+ 12.设2x yz e=，则(1,2)|zx∂=∂（ ） A. 24e B. 4e C. 2e D. 22e 13. 222),,(z y x z y x f ++=，则梯度)3,1,1(grad -f 的值为（ ）． A. 111-； B. {}2,2,1-； C. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-113,111,111； D. 0 14．22(,)2f x y x y =--的极值点是（ ） A.（1，－1） B. （1，1） C.（0，0） D. （0，2）15．函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的 ( )。
A. 必要而非充分条件 B. 充分而非必要条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件16、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处连续是它在该点偏导数存在的： A.必要而非充分条件； B.充分而非必要条件； C.充分必要条件； D.既非充分又非必要条件。
17．设函数),(y x f z =在点),(00y x 处可微，且0000(,)0, (,)0x y f x y f x y ''==，0000(,)0, (,)0xx yy f x y f x y ''''>>，则函数),(y x f 在),(00y x 处（ ）.A. 必有极值，可能是极大，也可能是极小B. 可能有极值，也可能无极值C. 必有极大值D. 必有极小值 18．设xy )y ,x (f =,则f(x,y)在(0,0)点处( ).A. 连续但偏导数不存在B. 不连续也不存在偏导数C. 连续且偏导数存在D. 不连续但偏导数存在19. 二元函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(22y x y x y x xyy x f 在点（0,0）处 （ ）A. 连续，偏导数存在B. 连续，偏导数不存在C. 不连续，偏导数存在D. 不连续，偏导数不存在20. 设2(,)cos()z f x y x y ==，则''(1,)2xx f π=（ ）A.2πB.2π-C.πD.π-21．设xye z =，则dz ＝ ( )。
A. dx e xyB. )(xdy ydx e xy+ C. xdy ydx + D. )(dy dx e xy+22． 设二元函数cos xz e y =，则2zx y∂=∂∂（ ） A. sin x e y B. sin x x e e y + C. cos x e y - D. sin xe y -23.设)cos(2y x z =，则22yz∂∂＝（ ）A.)sin(22y x xB.)sin(22y x x -C.)cos(24y x xD.)cos(24y x x - 24．下列说法正确的是 ( ) A.偏导数存在是该点连续的充分条件 B.偏导数存在是该点可微的充要条件 C.偏导数存在是该点可微的必要条件D.偏导数连续是该点可微的充要条件25．函数z x y y x u 642822++-=在原点沿向量=a {2，3，1}方向的方向导数为（ ）。
A.148-B.148 C.143 D. 143-26．函数xy z y x u 3422-++=在点)1,1,1(M 处沿}2,2,1{=l ρ方向的方向导数Mlu ∂∂为（ ） A.35 B. 53 C. }2,2,1{31D. }2,4,1{-27．函数z x y y x u 642822++-=在原点沿向量{2,3,1}a =r方向的方向导数为（ ）A.148-B.148 C.143 D.143-28．函数222y x z +=在点)1,1(P 处的梯度方向的方向导数等于（ ） A.5 B. 5- C. 52 D. 52-29.设32,sin ,t y t x e z yx ===-，则=dtdz（ ）。
A. )6(cos 22sin 3t t et t -- B. )3(cos 22sin 3t t ez t t -=-C. )6cos (22sin 3t t e t t ---；D. )3(cos 22sin 3t t e z t t +=-。
30．设22),(y x y x xy f +=-，则 =+),('),('y x f y x f y x ( )A. y 22+B. y 22-C. y x 22+D. y x 22- 31． 设(,,),x z f x y f y =可微，则()z y∂=∂A. 2f 'B. 32x f y '-C. 232x f f y ''-D. 232x f f y ''+ 32. 设xye z =，则yx z∂∂∂2＝（ ）。
A. )1(xy e xy +B. )1(y e xy+ C. )1(x e xy + D. xy exy⋅33．设f r ()具有二阶连续导函数，而r x y u f r =+=22,()，则∂∂∂∂2222u x uy+=（ ）。
A. ''f r ()B. ''-'f r r f r ()()1 C. ''+'f r rf r ()()1D. r f r 2''() 34. 设)32ln(),(xyx y x f += ，则=')0,1(y f （ ） A.32 B.23C.1D.0 35. 设22:1,D x y +≤则Dxdxdy ⎰⎰＝（ ）.A.πB.1C.0D. π2 36．设域D ：x 2+y 2≤1,f 是域D 上的连续函数，则=+⎰⎰Ddxdy y x f )(22( )A.⎰10)(2dr r rf πB. ⎰10)(4dr r rf π C. ⎰12)(2dr r f π D. ⎰rdr r rf 0)(4π37．设积分区域}0,0,1|),{(22≥≥≤+=y x y x y x D ，则⎰⎰Dd σ＝( )。
A. π2B. πC. 2πD. 4π 38．设D 是矩形域 4π0≤≤x ，11≤≤-y ，则Dx cos(2xy)dxdy ⎰⎰的值为( ). A. 0 B. -12 C. 41 D. 21 39、设积分区域D 是圆环4122≤+≤y x ，则二重积分=+⎰⎰dxdy y x D22（ ）A.⎰⎰πθ2 0 4 12r dr d B.⎰⎰πθ2 0 41r dr dC.⎰⎰πθ2 0212r dr d D.⎰⎰πθ2 021r dr d40．设⎰⎰⎰⎰+=+=DDd y x I d y x I σσ3221)(,)(，其中}1)1()2(|),{(22≤-+-=y x y x D ，则（ ）A.21I I =B.21I I >C. 21I I <D. 无法比较 41． 设dxdy x e ,1y x :D Dy222⎰⎰-≤+则＝（ ）. A. )e 1(-π B. )e 11(-π C. 0 D. )e11(+π 42．设D 由x y y x ===,1,0围成，则=⎰⎰Ddxdy y x f ),(（ ）A.⎰⎰10 10 ),(dx y x f dy B.⎰⎰10 0 ),(xdy y x f dx C.⎰⎰1 01 ),(ydx y x f dy D.⎰⎰1 0 0 ),(ydx y x f dy43． 交换二次积分顺序后，⎰⎰-xdy y x f dx 1 01),( =（ ）。
A.⎰⎰11y)dx f(x , dy B.⎰⎰-xdx y x f dy 1 0 10 ),( C.⎰⎰1x-1 0y)dx f(x , dy D.⎰⎰-ydx y x f dy 1 01),(44. 设Ω是平面1=z 与旋转抛物面z y x =+22所围区域，则⎰⎰⎰Ω++122y x dxdydz化为三次积分等于（ ）A.⎰⎰⎰+1 2 0 10 221r dz r d r r d πθ B.⎰⎰⎰+1 02 0 1 221dz r d r r d r πθ C.⎰⎰⎰+1 0 1 0 221r dz r d r r d πθ D.⎰⎰⎰-+1 0 1 221dz r d r rd r ππθ45．设),(y x f 连续，且 ⎰⎰+=Ddudv v u f xy y x f ),(),(，其中D 是由1,,02===x x y y 所围区域，则),(y x f ＝ ( )A. xyB. xy 2C. 81+xy D. 1+xy 46．设),(y x f 在0,1:22≥≤+y y x D 连续，则=⎰⎰Dd y x f σ),(（ ）A.⎰⎰πθθθ2 01)sin ,cos (rdr r r f d B.⎰⎰10 x -1 0 2),(dy y x f dx C.⎰⎰πθθθ 01)sin ,cos (rdr r r f d D.⎰⎰----11x 1 1 22),(x dy y x f dx47.若区域D 为{}1，1|),(≤≤y x y x ,则⎰⎰D xy dxdy xy xe)sin()cos(＝（ ）。