概率论与数理统计第四章自测题

《概率论与数理统计》第四单元自测题

时间：120分钟，卷面分值：100分一、填空题：（每空2分，共12分）得分

1．设随机变量X与Y，方差D(X)=4，D(Y)=9，相关系数ρXY=0.6，则D(3X-2Y)= 。

2．已知随机变量X~N(0, σ2)(σ>0)，Y

在区间]上服从均匀分布，如果D(X-Y)=σ2，

则X与Y的相关系数ρXY= 。

3．二维随机变量(X, Y)服从正态分布，且E(X)=E(Y)=0，D(X)=D(Y)=1，X与Y的相关系数ρXY=-1/2，则当a= 时，随机变量aX+Y与Y相互独立。

4．设随机变量X~N(0, 4)，Y服从指数分布，其概率密度函数为

1

2

1

0 ()2

00

x

e x

f x

x

-

?

>

?

=?

?≤

?

，，

，，

如果Cov(X, Y)=-1，Z=X-aY，Cov(X, Z)=Cov(Y, Z)，则a= ，此时X与Z的相关系数为ρXZ= 。

5．设随机变量X在区间(-1, 2)上服从均匀分布，随机变量

-10

00

10

X

Y X

X

>

?

?

==

?

?<

?

，，

，，

，，

则方差D(Y)= 。

6．设随机变量X服从参数为2的泊松分布，用切比雪夫不等式估计P{∣X-2∣≥4}≤。

二、单选题：（每题2分，共12分）得分

1．随机变量X, Y和X+Y的方差满足D(X+Y)=D(X)+D(Y)，该条件是X与Y( )。

(A)不相关的充分条件，但不是必要条件；

(B)不相关的必要条件，但不是充分条件；

(C)独立的必要条件，但不是充分条件；

(D)独立的充分必要条件。

2．若随机变量X与Y的方差D(X), D(Y)都大于零，且E(XY)=E(X)E(Y)，则有( )。

(A) X与Y一定相互独立；(B) X与Y一定不相关；

(C) D(XY)=D(X)D(Y)；(D) D(X-Y)=D(X)-D(Y)。

3．设随机变量X与Y独立同分布，记随机变量U=X+Y，V=X-Y，且协方差Cov(U.V)存在，则U和V必然( )。

(A) 不相关；(B) 相互独立；(C) 不独立；(D) 无法判断。

4．若随机变量X与Y不相关，则与之等价的条件是( )。

(A) D(XY)=D(X)D(Y)；(B) D(X+Y)=D(X-Y)；(C) D(XY)≠D(X)D(Y)；(D) D(X+Y)≠D(X-Y)。5．现有10张奖券，其中8张为2元，2张为5元，某人从中随机地无放回地抽取3张，则

此人所得奖金的数学期望为( )。

(A) 6元； (B) 12元； (C) 7.8元； (D) 9元。

6. 将长度为1的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为( )。

(A)1； (B)12； (C)12

-； (D)1-。 三、判断题：（每题2分，共12分） 得分

1.( )设随机变量X 和Y 相互独立，且有D(X)=2，D(Y)=3，则有D(5X-2Y)=4。

2.( )设随机变量X ，Y ，且E(X)=5, E(Y)=3, D(X)=2, D(Y)=3, E(XY)=0，则方差

D(2X-3Y)=35。

3. ( )设随机变量X 和Y 的联合分布律为

可知X 与Y 不相互独立，因此X 与Y 不相关。

4. ( )设随机变量X 的概率密度为1,0,2()1,0,2

x x e x f x e x -?>??=??

0011,0,22()11,0,22x x xe dx x E X xe dx x ∞

--∞

?=>??=??=-

其他，

则数学期望0/2

()sin sin sin E X x x ydx y π==?。

6. ( )若二维随机变量(X, Y)的概率密度函数为

01, 01(,)0,x y x y f x y +<<<

，，其他， 则随机变量X 与Y 不是不相关，因而X 与Y 不相互独立。

四、计算题（共34分）

1．(8分)设随机变量ξ, η是相互独立且服从同一分布，已知ξ的分布律为

P{ξ=i}=1/3，i =1, 2, 3，

又设X=max(ξ, η)，Y=min(ξ, η)，

求(1)随机变量X 的数学期望E(X)，(2) X 与Y 的相关系数ρXY 。 得分

2．(10分)设二维随机变量(X, Y)的概率密度为

201, 01(,)0x y x y f x y --≤≤≤≤?=??，，，

其他， (1)判别X 与Y 是否相互独立？是否相关？(2)求 D(X+Y)。 得分

3．(8分)设二维随机变量(X, Y)的联合概率密度为

1, 0<<1(,)0y x x f x y ?<=??，，

，其他，

求E(X)，E(Y)，D(X)，D(Y)，ρXY 。 得分

4. (8分)设随机变量X 1, X 2, …, X n 相互独立，且都服从数学期望为1的指数分布，

求随机变量Z=min{ X 1, X 2, …, X n }的数学期望与方差。 得分

五、应用题（共16分）

1.(8分)某系某班共有n 名新生，班长从系里领来他们所有的学生证，随机地发给每一同学，

求恰好拿到自己的学生证的人数X 的数学期望与方差。 得分

2. (8分) 设某种商品每周需求量X 是服从区间(10, 30)上均匀分布的随机变量，而经销商

店进货数量为区间[10, 30]中的某一整数，商店每销售一单位商品可获利500元，若供大于

求则削价处理，每处理一单位商品亏损100元，若供不应求，则可从外部调剂供应，此时每

单位商品仅获利300元，求最优进货量。 得分

六、综合题（14分）

设随机变量X 1, X 2, …, X n (n >2)为独立同分布，均服从N (0, 1)，记

n

1

1X=X n i i =∑，Y i =X i -X ，i =1, 2, …, n ， (1)求Y i 的方差D (Y i )，i =1, 2, …, n ；

(2)求Y 1与Y n 的协方差Cov(Y 1, Y n )；

(3)求P {Y 1+Y n ≤0}；

(4)证明Y 1与Y n 的相关系数为111

n Y Y n ρ=-

-。 得分

《概率论与数理统计》第四单元自测题参考答案

一、填空题：

1．28.8；2. 1/4；3. 2；

4. -1, 4；

5. 8/9；

6. 1/8。

二、选择题：

1．C ；2. B ；3. A ；4. B ；5. C ；6. D 。

三、判断题：

1．错；2. 错；3. 错；4. 错；5. 错；6. 对。

四、计算题

1．【答】E(X)=22/9，ρXY =8/19。

【解】X 与Y 的联合分布律为：

E(X)=22/9，E(Y)=14/9，E(X 2)=58/9，E(Y 2)=26/9，

E(XY)=4。

2．【答】(1) 不独立，相关。(2) D(X+Y)=5/36。

【解】 1X 03

,01,

()(,)(2)20,x x f x f x y dy x y dy +∞-∞?-<

=--=?????其他,

， 同理 Y 3

,01,

()(,)20,y y f y f x y dx +∞-∞?-<

在0

1

035E(X)(,)()212xf x y dxdy x x dx +∞+∞-∞-∞=

=-=???，由x 与y 的对称性知E(Y)=512，

111

00021E(XY)(,)(2)()336

x xyf x y dxdy xdx y x y dy x dx +∞+∞-∞-∞==--=-=?????，

1

2222X 031E(X )()()E(Y )24x f x dx x x dx +∞-∞==-==??，

D(X)=E(X 2)-(E(X))2=11/144=D(Y)，Cov(X, Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=-1/144，

XY 1

ρ011==-≠，故X 与Y 相关。

D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X, Y)=5/36。

3．【答】E(X)=2/3，E(Y)=0(由奇偶性及对称性)，D(X)=1/18，D(Y)=1/6，ρXY =0。 方法同上例，略。

4.【答】E(Z)=1/n ，D(Z)=1/n 2。

【解】随机变量X 1, X 2, …, X n 的分布函数为 1,0,

()0,0,

z X e z F z z -?->=?≤?

则1,0,

()1(1())0,0,nz n Z X e z F z F z z -?->=--=?≤?

即Z 服从参数为1/n 的指数分布，故E(Z)=1/n ，D(Z)=1/n 2。

五、应用题

1.【答】E(X)=1，D(X)=1。

【解】设随机变量1,X 1, 2, , 0,i i i i n ?==?? 若第

名学生拿到自己的学生证,

若第名学生没拿到自己的学生证,，

1

E(X )i n =，211

D(X )i n n =-， 1, 2, , i n = ，

又1X=X ++X n ，注意X 1, X 2, …, X n 不相互独立，

1n 1n E(X)=E(X ++X )=E(X )++E(X )=1 ，

又{}{}{}1

1

P X X 1P X 1P X 1X 11i j i j i n n ======?-，

于是 1

E(X X )(1)i j n n =-，21

(X ,X )E(X X )E(X )E(X )(1)i j i j i j Cov n n =-=-，)

(j i ≠

111D(X)=D(X ++X )=D(X )++D(X )2

(X ,X )n n i j i j n

Cov ≤<≤+∑ 2221

11

()21(1)n n C n n n n =-+=-。

2.【答】约23单位商品。

【解】(1)由题设，X 的概率密度为1

,1030,()200,x f x ?

<

设进货量为a ，则利润为

500X (X)100,10X ,

M (X)500(X )300,X 30,a a a g a a a

--?≤≤?==?+-?<≤?

600X 100,10X ,300X 200,X 30,

a a a a -≤≤?=?+<≤?

30101E(M )()20a g x dx =??30

101((600100)(300200))20a a

x a dx x a dx =-+

+?? = -7.5a 2+350a +5250，

求最优进货量，即求使E(M a )达到最大值的a ，E(M a )= -7.5(a -(350/15))2+… ，从而 a =350/15=23.33，即进23单位该种商品为最佳。

六、综合题

【答】(1)1

n n -；(2)1

n -；(3)1/2。

【解】(1)由题设，X 1, X 2, …, X n 相互独立，所以

11111111

Y =X X X X (1X )X X i i i i i n n n n n n -+-=---+---- ，i =1, 2, …, n ,

n n

2i i i j j 2j=1j=1j i j i

1111D(Y )=D(X -X)=D((1-)X -X )=(1-)D(X )D(X )n n n n

i ≠≠+∑∑

22111

=(1-)(1)n n n n n -+-=， i =1, 2, …, n 。

(2)利用协方差的性质

Cov(Y 1, Y n )12121

1

1111

Cov(X -X --X , -X -X --X )n n n n n n n n n n --=

因为X 1, X 2, …, X n 相互独立，

1212221-11-D(X )(D(X )D(X ))D(X )n n n n

n n n -=++++

2221-21-n n

n n n n -=++1n =-。 (3)111n 12222

Y +Y X -X+X -X X X X n n i n i n n n n n

-=--==-+∑。

因为X 1, X 2, …, X n 相互独立，因此Y 1+Y n 服从正态分布，又E(Y 1+Y n )= E(Y 1)+E(Y n )=0， 所以P{Y 1+Y n ≤0}=1/2。

(4)由(1), (2)结论知，Y 1与Y n 的相关系数为

11

1

1n Y Y n ρ-===--。