历年高考真题(数学文化).doc
近5年高考新课标(文科)数学高考试卷和详解答案
2009-2013年普通高等学校招生全国统一考试试卷2009年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷）一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中 ，中有一项是符合题目要求的．1． 已知集合}{{}1,3,5,7,9,0,3,6,9,12A B ==，则A B =A ．{3，5}B ．{3，6}C ．{3，7}D ．{3，9} 2． 复数3223ii+=- A ．1 B ．1- C ．i (D)i -3．对变量,x y 有观测数据（i x ，i y ）（1,2,,10i =⋅⋅⋅），得散点图1；对变量,u v 有观测数据（i u ，i v ）（i=1，2，…，10），得散点图2. 由这两个散点图可以判断A ．变量x 与y 正相关，u 与v 正相关B ．变量x 与y 正相关，u 与v 负相关C ．变量x 与y 负相关，u 与v 正相关D ．变量x 与y 负相关，u 与v 负相关 4．有四个关于三角函数的命题：1p ：∃x ∈R ， 2sin 2x +2cos 2x =12 2p : ,x y R ∃∈， sin()sin sin x y x y -=- 3p : ∀x ∈[]0,π，1cos 2sin 2x x -= 4p : sin cos 2x y x y π=⇒+= 其中假命题的是A ．1p ，4pB ．2p ，4pC ．1p ，3pD ．2p ，3p5．已知圆1C ：2(1)x ++2(1)y -=1，圆2C 与圆1C 关于直线10x y --=对称，则圆2C 的方程为A ．2(2)x ++2(2)y -=1 B ．2(2)x -+2(2)y +=1 C ．2(2)x ++2(2)y +=1 D ．2(2)x -+2(2)y -=16．设,x y 满足24,1,22,x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩则z x y =+A ．有最小值2，最大值3B ．有最小值2，无最大值C ．有最大值3，无最小值D ．既无最小值，也无最大值 7．已知()()3,2,1,0=-=-a b ，向量λ+a b 与2-a b 垂直，则实数λ的值为A ．17-B ．17C ．16- D ．16 8．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2110m m m a a a -++-=，2138m S -=，则m =A ．38B ．20C ．10D ．99．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱线长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且12EF =，则下列结论中错误的是A ．AC BE ⊥B ．EF ∥平面ABCDC ．三棱锥A BEF -的体积为定值D ．△AEF 的面积与△BEF 的面积相等 10．执行如图所示的程序框图，输入2,0.5x h =-=，那么输出的各个数的和等于 A ．3 B ． 3.5 C ． 4 D ．4.511．一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：2cm ）为A ．48122+B ．48242+C ．36122+D ．36242+12．用min{a ，b ，c}表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设()min{2,2,10}xf x x x =+-(x ≥0)，则()f x 的最大值为A ．4B ．5C ．6D ．7第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．曲线21xy xe x =++在点（0，1）处的切线方程为________________．14．已知抛物线C 的顶点坐标为原点，焦点在x 轴上，直线y=x 与抛物线C 交于A ，B 两点，若(2,2)P 为AB 的中点，则抛物线C 的方程为________________．15．等比数列{}n a 的公比0q >， 已知2a =1，216n n n a a a +++=，则{n a }的前4项和4S =________________．16．已知函数()2sin()f x x ωφ=+的图像如图所示，则712f π⎛⎫=⎪⎝⎭________________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A ，B ，C 三点进行测量，已知50AB m =，120BC m =，于A 处测得水深80AD m =，于B 处测得水深200BE m =，于C 处测得水深110CF m =，求∠DEF 的余弦值． 18．（本小题满分12分）如图，在三棱锥P ABC -中，△P AB 是等边三角形，∠P AC =∠PBC =90 º． （Ⅰ）证明：AB ⊥PC ；（Ⅱ）若4PC =，且平面PAC ⊥平面PBC ，求三棱锥P ABC -体积．19．（本小题满分12分）某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训（称为A 类工人），另外750名工人参加过长期培训（称为B 类工人）.现用分层抽样方法（按A 类，B 类分二层）从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力（生产能力指一天加工的零件数）．（Ⅰ）A 类工人中和B 类工人各抽查多少工人？（Ⅱ）从A 类工人中抽查结果和从B 类工人中的抽查结果分别如下表1和表2． 表1：生产能力分组[)100,110[)110,120[)120,130[)130,140[)140,150人数 48x53表2：生产能力分组[)110,120[)120,130[)130,140[)140,150人数6y3618（i ）先确定,x y ，再在答题纸上完成下列频率分布直方图．就生产能力而言，A 类工人中个体间的差异程度与B 类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）（ii ）分别估计A 类工人和B 类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人和生产能力的平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）．20．(本小题满分12分)已知椭圆C 的中心为直角坐标系xOy 的原点，焦点在x 轴上，它的一个项点到两个焦点的距离分别是7和1． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若P 为椭圆C 的动点，M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点，OP e OM=，（e 为椭圆C 的离心率），求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线． 21．（本小题满分12分）已知函数3223()39f x x ax a x a =--+. （Ⅰ）设1a =，求函数()f x 的极值； （2）若14a >，且当[]1,4x a ∈时，)('x f ≤12a 恒成立，试确定a 的取值范围．22.（本小题满分10分）选修4—1；几何证明选讲如图，已知∆ABC 中的两条角平分线AD 和CE 相交于H ，∠B=60，F 在AC 上，且AE AF =。
近五年高考文科数学试卷及答案解析(1卷)(含全国1卷共5套)
近五年高考文科数学试卷及答案解析(全国1卷)（2016年—2020年）说明：含有2016年—2020年的全国1卷高考文科数学试题以及答案详细解析（客观题也有答案详解）目录2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（I卷）答案详解 (3)2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（I卷） (19)2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学1卷 (29)2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学1卷答案详解 (39)2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学1卷 (50)2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学1卷答案详解 (60)2017年普通高等学校招生全国统一考试文科数学1卷 (71)2017年普通高等学校招生全国统一考试文科数学I卷答案详解 (81)2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学1卷 (93)2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学1卷答案详解 (103)2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（I 卷）答案详解一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.（集合）已知合集{}2340A x x x =--<，{}4,1,3,5B =-，则A B = A.{}4,1- B.{}1,5C.{}3,5 D.{}1,3【解析】∵{}14A x x =-<<，∴{1,3}A B = .【答案】D2.（复数）若312z i i =++，则z =A.0 B.1C. D.2【解析】∵3i i =-，∴1z i =+，∴z 【答案】C3.（立体几何）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A.514- B.512C.514+ D.512【解析】如图A3所示，设正四棱锥底面的边长为a ，则有22221212h am a h m ⎧=⎪⎪⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩整理得22420m am a --=，令mt a=，则有24210t t --=，∴114t +=，214t -=（舍去），即14m a +=.图A3【答案】C4.（概率统计）设O 为正方形ABCD 的中心，在O,A ,B,C,D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为A.15B.25C.12D.45【解析】如图A4所示，从O,A ,B,C,D 中任取3点的所有情况数为35C =10，取到的3点共线的情况有：AOC 、BOD ，共2种情况，所以所求的概率为51102==P.图A4【答案】A5.（概率统计）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：C ）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子的发芽实验，由实验数据,)(i i x y i =（1,2,…,20)得到下面的散点图：由此散点图，在10C 至40C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是A.y a bx=+ B.2y a bx =+ C.xy a be =+ D.ln y a b x=+【解析】根据散点图的趋势和已学函数图象可知，本题的回归方程类型为对数函数，故选D选项.【答案】D6.（解析几何）已知圆2260x y x +-=，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为A.1B.2C.3D.4【解析】222(3)3x y -+=，设直线方程为2(1)y k x -=-，∴20kx y k -+-=，∴圆心(3,0)到该直线的距离为d ==，∴2max 8d =，故弦的长度的最小值为2==.【答案】B7.（三角函数）设函数()cos()6f x x πω=+在[]ππ-，的图像大致如下图，则()f x 的最小正周期为A.109π B.76π C.43π D.32π【解析】∵函数过点4π,09⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴4ππcos()=096x ω-+，∴4πππ=962x ω-+-，解得23=ω，∴()f x 的最小正周期为3π4π2==ωT .【答案】C8.（函数）设3log 42a =，则4a -A.116B.19C.18D.16【解析】∵33log 4log 42a a ==，∴2439a ==，∴11449a a -==.【答案】B9.（算法框图）执行右面的程序框图，则输出的n =A.17B.19C.21D.23【解析】①输入10n S ==，，得1S S n =+=，100S ≤成立，继续；②输入31n S ==，，得4S S n =+=，100S ≤成立，继续；③输入54n S ==，，得9S S n =+=，100S ≤成立，继续；……由上述规律可以看出，S 是一个以a 1=1为首项，d =2为公差的等差数列的前m 项和，且21n m =-，故有21(1)2m m m S ma d m -=+=.当2100m S m =>，即11n >时，程序退出循环，此时2121n m =-=.【答案】C10.（数列）设{}n a 是等比数列，且123+1a a a +=，2342a a a ++=，则678+a a a +=A.12B.24C.30D.32【解析】设{}n a 的公比为q ，∵234123(+)2a a a q a a a ++=+=，∴2q =，∴55678123+(+)232a a a q a a a +=+==．【答案】D11.（解析几何）设1F ，2F 是双曲线22:13y C x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且|OP |=2，则∆12PF F 的面积为A.72B.3C.52D.2【解析】由题可知1,2a b c ===，12(2,0),(2,0)F F -，解法一：设(,)P m n ，∵||2OP =，故有224m n +=，又∵点P 在C 上，故有2213n m -=，联立方程2222413m n n m ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得3||2n =，故∆12PF F 的面积为12113||||43222n F F ⋅=⨯⨯=．解法二：∵||2OP =，故点P 在以F 1、F 2为直径的圆上，故PF 1⊥PF 2，则22212||||(2)16PF PF c +==，又∵12||||22PF PF a -==，即222121212||||||||2||||4PF PF PF PF PF PF -=+-=，∴12||||6PF PF =，∴∆12PF F 的面积为1211||||6322PF PF =⨯=．图A11【答案】B12.（立体几何）已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个点， 1O 为△ABC 的外接圆.若 1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π【解析】由题意可知， 1O 为的半径r =2，由正弦定理可知，2sin =ABr C，则12sin 2sin 6023==== OO AB r C r O 的半径2214R r OO =+=，∴球O 的表面积为24π64πR =．图A12【答案】A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
历年高考数学考试试卷真题附标准答案.doc
4.考试结束后，将本试题和答题卡 并交绝密★启封并使用完毕前试题类型：A2015年普通高等学校招生全国统一考试（新课标1卷）数学注意事项:1 .本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
第I 卷1至3页，第II 卷 3至5页。
2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
一、填空题（本大题共有14题，满分48分.）考生应在答题纸相应编号的空格 内直接填写结果，每个空格埃对4分，否则一律得零分.1. (4 分)(2015-)设全集 U = R.若集合 A ={1, 2, 3, 4}, B ={x|2WxW3}, 则 A nCuB=.2. （4分）（20159若复数Z 满足3z+三二1 + i,其中i 是虚数单位，则Z=2 3 cA『炉33. （4分）（2015）若线性方程组的增广矩阵为 解为 ，则G-0 1 c 2 （ y=5 x. J JC2=•4. （4分）（2015）若正三棱柱的所有棱长均为a,且其体积为16店，则 a=•5. （4分）（20159抛物线y 2=2px （p>0）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1, 则 p=.6. （4分）（2015）若圆锥的侧面积与过轴的裁面面积之比为2n ,则其母线与轴 的夹角的大小为.7. (4 分)(2015)方程 log 2 (9x-1-5) =log 2 (3x-1-2) +2 的解为8. （4分）（2015）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）.9. （20159已知点P和Q的横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和Q 的轨迹分别为双曲线G和C2.若G的渐近线方程为y二±、/^x,则C2的渐近线方程为.10. （4 分）（2015）设 L （x）为千（x）=x e [0, 2]的反函数，贝"y=f2（x） +" （x）的最大值为.11. （4分）（2015）在（l+x+弟岸）”的展开式中，x，项的系数为________ （结2015X果用数值表示）.12. （4分）（2015）赌博有陷阱.某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1, 2,3, 4, 5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的 1.4倍作为其奖金（单位：元）.若随机变量八和& 2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则E&L E&2=（元）.13. （4分）（2015）已知函数千（x）=sinx.若存在x- x2,…，乂…,满足0Wx〔VX2<・・・ VxmW6rt ,且|f （Xi） - f （x2） | + |f （x2） - f （x3） |+・・・+|f （x ra-i） - f （xQ |=12 （m\12, mGN*）,则m 的最小值为.14. （2015）在锐角三角形ABC中，tanA=l, D为边BC上的点，AA BD与AACD2的面积分别为2和4.过D作DE1AB于E,DF±AC于F,则瓦=.二、选择题（本大题共有4题，满分15分.）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15. （5分）（2015）设乙，z2ec,则“乙、Z2中至少有一个数是虚数”是“ZLZ2是虚数"的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件）C. _11 ~2D. 13 ~216. （5分）（20159已知点A的坐标为（4/, 1）,将0A绕坐标原点0逆时针旋转_2£至0B,则点B的纵坐标为（3A. 3V3B.蛛F F17. （2015）记方程①：x2+a lX+1=0,方程②：x2+a2x+2=0,方程③：x2+a3x+4=0,其中印，a2, a’是正实数.当司，a2, a’成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（）A.方程①有实根，且②有实根B.方程①有实根，且②无实根C.方程①无实根，且②有实根D.方程①无实根，且②无实根18. （5 分）（20159 设P n（x n, y n）是直线2x - v二工（nEN*）与圆x2+y2=2 在n+1y _ 1第一象限的交点，则极限lim-n二二（）n—8% 1A・-1 B. _1 C. 1 D. 2三、名师解答题（本大题共有5题，满分74分）名师解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19. （12 分）（2015）如图，在长方体ABCD-ABC0 中，AA户1, AB=AD=2, E、F 分别是AB、BC的中点，证明用、G、F、E四点共面，并求直线CD】与平面A.C.FE 所成的角的大小.BC=4千米.现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B地，经过t小时，他们之间的距离为f (t)(单位：千米).甲的路线是AB,速度为5千米/小时，乙的路线是ACB,速度为8千米/小时.乙到达B地后原地等待.设t二七时乙到达C 地.(1) 求b与千(七)的值；(2) 已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当时，求千(t)的表达式，并判断f (t)在［七，1］上的最大值是否超过3?说明理由.21. (14分)(2015)已知椭圆x2+2y2=1,过原点的两条直线L和I?分别于椭圆交于A、B和C、D,记得到的平行四边形ABCD的面积为S.(1) 设A (Xl, y(, C (x2, y2),用A、C的坐标表示点C到直线L的距离,并证明S=21 Xiy2 - x2yi |:(2) 设L与12的斜率之积为-上求面积S的值.222. (16 分)(2015)已知数列｛aj 与｛b』满足a^-a户2 (b n+1-b n), nEN*.(1) 若b=3n+5,且aB,求数列｛aj的通项公式;(2) 设｛aj的第n°项是最大项，即a . ^a n (nGN*),求证：数列｛bj的第n。
十年高考(2012-2021)高考数学真题详解集合篇
T 专题01 集合【2021 年】1．（2021 年全国高考乙卷数学（文）试题）已知全集U={1,2,3,4,5}，集合M={1,2},N={3,4}，则U(M ⋃N ) =（）A．{5} B．{1, 2} C．{3, 4} D．{1, 2,3, 4}【答案】A 由题意可得：M N ={1, 2,3, 4}，则U (M U N )={5}.故选：A.2．（2021 年全国高考乙卷数学（理）试题）已知集合S={s s=2n+1,n∈Z}，T={t t=4n+1,n∈Z}，则S （）A．∅B．S C．T D．Z【答案】C【分析】任取t ∈T ，则t = 4n +1 = 2⋅(2n)+1，其中n ∈Z ，所以，t ∈S ，故T ⊆S ，因此，S I T =T .故选：C.3．（2021 年全国高考甲卷数学（文）试题）设集合M={1,3,5,7,9},N={x2x>7}，则M I N =（）A．{7,9} B．{5, 7,9} C．{3,5, 7,9} D．{1,3,5, 7,9}【答案】B【分析】N =⎛7, +∞⎫，故M ⋂N ={5, 7,9}，2 ⎪⎝⎭故选：B.（2021 年全国高考甲卷数学（理）试题）设集合M ={x 0 <x < 4}, N =⎧ 1x ≤ 5⎫，则M I N =（）⎬A．⎧x 0 <x ≤1 ⎫⎭B．⎧x1≤x < 4⎫⎨3⎬⎨3⎬⎩⎭C．{x 4 ≤x < 5}⎩⎭D．{x 0 <x ≤ 5}【答案】B【分析】因为 M ={x | 0 <x < 4}, N ={x | 1≤x ≤ 5} ，所以 M ⋂N =⎧x|1≤x < 4⎫, 3⎨3⎬⎩⎭故选：B.5．（2021 年全国新高考Ⅰ卷数学试题）设集合A={x-2<x<4}，B={2,3,4,5}，则AIB =（）A．{2} B．{2,3} C．{3, 4} D．{2,3, 4}【答案】B【分析】由题设有A ⋂B ={2,3}，故选：B .【2012 年——2020 年】1．（2020 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知集合A={x|x2-3x-4<0},B={-4,1,3,5}，则A IB =（）A．{-4,1} B．{1,5}C．{3,5} D．{1,3}【答案】D【分析】由x2 -3x - 4 < 0 解得-1 <x < 4 ，所以A ={x | -1 <x < 4}，又因为B ={-4,1,3,5}，所以A I B ={1,3}，故选：D.2．（2020 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（）A．–4 B．–2 C．2 D．4【答案】B【分析】求解二次不等式x2 - 4 ≤ 0 可得：A ={x | -2 ≤x ≤ 2}，求解一次不等式2x + a ≤ 0 可得： B = ⎧x | x ≤ -a ⎫ . ⎨ 2 ⎬ ⎩⎭由于 A ⋂ B ={x | -2 ≤ x ≤1} ，故： - a= 1，解得： a = -2 . 2故选：B.3．（2020 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））已知集合 A ={x ||x |<3，x ∈Z }，B ={x ||x |>1，x ∈Z }，则 A ∩B =（ ）A ． ∅B ．{–3，–2，2，3）C ．{–2，0，2}D ．{–2，2}【答案】D因为 A = {x x < 3, x ∈ Z} = {-2, -1, 0,1, 2} ，B = {x x > 1, x ∈ Z} = {x x > 1或 x < -1, x ∈ Z }，所以 AI B ={2, -2}.故选：D.4．（2020 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））已知集合U ={−2，−1，0，1，2，3}，A ={−1，0，1}，B ={1，2}，则 = （）A ．{−2，3}B ．{−2，2，3}C ．{−2，−1，0，3}D ．{−2，−1，0，2，3}【答案】A【分析】由题意可得： A ⋃ B ={-1, 0,1, 2}，则U ( A U B ) ={-2,3} .故选：A.5．（2020 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））已知集合A = {1，2，3，5，7，11} ，B = {x | 3 < x < 15} ，则 A ∩B 中元素的个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【分析】由题意， A⋂ B = {5,7,11}，故 A IB 中元素的个数为 3.故选：B6．（2020 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））已知集合 A ={(x , y ) | x , y ∈ N * , y ≥ x }，U ( A ⋃ B )⎩ B = {(x , y ) | x + y = 8}，则 A I B 中元素的个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】C【分析】由题意， A I B 中的元素满足⎧y ≥ x，且 x , y ∈ N * ，由 x + y = 8 ≥ 2x ，得 x ≤ 4 ，⎨x + y = 8所以满足 x + y = 8 的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4) ，故 A I B 中元素的个数为 4.故选：C.7．（2019 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知集合U = {1, 2,3, 4,5, 6, 7}，A ={2,3, 4,5}，B ={2,3, 6, 7} ，则 B I C U AA ．{1, 6}B ．{1, 7}C ．{6, 7}D ．{1, 6, 7}【答案】C【分析】由已知得C U A = {1, 6, 7}，所以 B ⋂ C U A = {6, 7}，故选 C ． 8．（2019 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知集合M = {x -4 < x < 2}，N = {x x 2 - x - 6 < 0} ，则 M ⋂ N =A ．{x -4 < x <3}B ．{x -4 < x <-2}C ．{x -2 < x < 2}D ．{x 2 < x <3}【答案】C【分析】【详解】由题意得， M = {x -4 < x < 2}, N = {x -2 < x < 3} ，则M ⋂ N = {x -2 < x < 2}．故选 C ．9．（2019 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））已知集合 A ={x | x > -1}，B ={x | x < 2}，则 A ∩B = A ．(–1，+∞) B ．(–∞，2) C ．(–1，2) D ． ∅【答案】C【分析】本题借助于数轴，根据交集的定义可得．【详解】R A =由题知，A I B = (-1, 2) ，故选C．10．（2019 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））设集合A={x|x2-5x+6>0}，B={ x|x-1<0}，则A∩B= A．(-∞，1) B．(-2，1)C．(-3，-1) D．(3，+∞)【答案】A【分析】由题意得， A ={x x2或x3}, B ={x x < 1}，则A ⋂B ={x x < 1}．故选A．11．（2019 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））已知集合A={-1,0,1,2}，B={x x2 ≤1}，则A I B =A．{-1, 0,1} B．{0,1} C．{-1,1} D．{0,1, 2}【答案】A【分析】Q x2 ≤ 1,∴-1 ≤x ≤ 1，∴B ={x -1 ≤x ≤1}，则A I B ={-1, 0,1}，故选A．12．（2018 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I 卷））已知集合A={0，2}，B={-2，-1，0，1，2}，则A I B=A．{0，2} B．{1，2} C．{0} D．{-2，-1，0，1，2}【答案】A【分析】详解：根据集合交集中元素的特征，可以求得A B ={0, 2}，故选A.13．（2018 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷））已知集合A={x x2 -x-2>0}，则A．{x -1 <x < 2} C．{x |x <-1}⋃{x x 2} B．{x -1 ≤x ≤ 2} D．{x | x ≤-1}⋃{x | x ≥ 2}【答案】B【详解】：解不等式x2 -x - 2 > 0 得x <-1或x > 2 ，所以A ={x | x <-1或x > 2}，所以可以求得C R A ={x | -1≤x ≤ 2}，故选B.14．（2018 年全国普通高等学校招生统一考试文数（全国卷II））已知集合A={1,3,5,7}，B={2,3,4,5}，则 A I B =A．{3} B．{5} C．{3, 5} D．{1, 2,3, 4,5,7}【答案】C【详解】详解：Q A ={1,3,5,7}, B ={2,3, 4,5},∴A⋂B ={3,5},故选C15．（2018 年全国卷Ⅲ文数高考试题）已知集合A={x|x-1≥0}，B={0,1,2}，则A I B=A．{0} B．{1} C．{1, 2} D．{0,1, 2}【答案】C【分析】：由集合 A 得x ≥1,所以A ⋂B ={1, 2}故答案选C.16．（2018 年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II））已知集合A={(x，y)x2 +y2 ≤3，x∈Z，y∈Z}，则A 中元素的个数为（）A．9 B．8 C．5 D．4【答案】A【分析】Q x2 +y2 ≤ 3∴x2≤3,Q x∈Z∴x=-1,0,1当x =-1时，y=-1,0,1；当x=0时，y=-1,0,1；当x = 1 时，y =-1,0,1；所以共有9 个，故选：A.17．（2018 年全国卷Ⅲ理数高考试题）已知集合A={x|x-1≥0}，B={0，1，2}，则A I B=A．{0} B．{1} C．{1，2} D．{0，1，2}【答案】C【解析】详解：由集合A 得x ≥1,所以A ⋂B ={1, 2}故答案选 C.（2017 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1 卷））已知集合A= {x|x<2}，B= {x|3-2x>0}，则A ．A IB = ⎧x |x < 3 ⎫B ．A I B =∅⎨ 2 ⎬⎩ ⎭ C ．A U B = ⎧x |x < 3 ⎫D ．A U B=R⎨ 2 ⎬⎩⎭ 【答案】A【详解】由3 - 2x > 0 得 x < 3 ，所以 A I 2 B ={x | x < 2}I {x | x < 3} ={x | x < 3}，选 A ．2 219．（2017 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标 1 卷））已知集合A ={x |x <1}，B ={x | 3x < 1}，则A. A IB ={x | x < 0}B. A U B = RC. A U B ={x | x >1}D. A I B =∅【答案】A【解析】∵集合 B ={x | 3x< 1}∴ B = {x x < 0}∵集合 A ={x | x <1}∴ A ⋂ B = {x x < 0} ， A ⋃ B ={x | x <1} 故选A20．（2017 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标 2 卷））设集合A ={1, 2,3},B ={2,3, 4}，则 A U B = A ．{1，2，3, 4} B ．{1，2，3} C ．{2，3，4} D ．{1，3，4}【答案】A【详解】由题意 A ⋃ B = {1,2,3,4}，故选 A.21．（2017 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标 2 卷））设集合 A = {1, 2, 4}， B ={x x 2 - 4x + m = 0}．若 A ⋂ B = {1}，则 B =( )A ．{1, -3}B ．{1, 0}C ．{1, 3}D ．{1, 5}【答案】C【详解】∵ 集合 A = {1，2，4}， B = {x | x 2 - 4x + m = 0}， A IB = {1}∴ x = 1 是方程 x 2 - 4x + m = 0 的解，即1- 4 + m = 0 ∴ m = 3∴B = {x | x 2- 4x + m = 0} = {x | x 2- 4x + 3 = 0}= {1，3}，故选 C2 2 2 2 3, ) 22．（2017 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3 卷））已知集合 A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，则 A I B 中元素的个数为 A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【详解】由题意可得 A IB ={2, 4}，故 A IB 中元素的个数为 2，所以选 B. 23．（2017 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学）已知集合A = {(x , y ) x 2 + y 2= 1}， B = {(x , y ) y = x } ，则 A IB 中元素的个数为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B【解析】试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合 A 表示以(0, 0)为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合 B 表示直线 y = x 上所有的点组成的集合，又圆x 2 + y 2 = 1 与直线 y = x⎛ ⎫ ⎛ 相交于两点, ， - , - ⎫ ，则 A I B 中有 2 个元素.故选 B. 2 2 ⎪ 2 2 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭24．（2016 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学）设集合 A = {1,3,5, 7} ， B ={x | 2 ≤ x ≤ 5}，则 A ⋂ B =A ．{1,3}B ．{3,5}C ．{5,7}D ．{1,7}【答案】B【解析】试题分析：集合 与集合 的公共元素有3，5，故，故选B.25．（2016 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学）设集合 A ={x | x 2 - 4x + 3 < 0}，B ={x | 2x -3 > 0}，则 A I B =A ． (-3, - 3) 2B ． (- 32 3． (1, )2 3 ． ( , 3)2【答案】D【详解】：集合A = {x | ( x -1)( x - 3) < 0}= {x |1 < x < 3}，集合 ，所以C DA BA ⋂B =⎧x |3<x <⎫,故选D.⎨2 3⎬⎩⎭．2016 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2 卷）已知集合A={1,2,3},B ={x | x2 < 9}，则A⋂B =A．{-2, -1,0,1, 2,3} B．{-2, -1,0,1, 2}C．{1,2,3} D．{1, 2}【答案】D【解析】试题分析：由x2< 9 得-3<x<3，所以B={x|-3<x<3}，因为A={1,2,3}，所以A⋂B={1,2}，故选D.27．（2016 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学）已知集合A={1,2,3}，B ={x | (x +1)(x - 2) < 0, x ∈Z}，则 A⋃B =A．{1}B．{1，2} C．{0，1，2，3}D．{-1，0，1，2，3}【答案】C【详解】试题分析：集合B ={x | -1 <x < 2, x ∈Z} ={0,1}，而A ={1, 2,3}，所以A⋃B ={0,1, 2,3}，故选C.（2016 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3 卷））设集合A={0,2,4,6,8,10},B={4,8}，则=A．{4,8}B．{0，2,6}C．{0，2，6,10}D．{0，2，4，6，8,10}【答案】C【详解】试题分析：由补集的概念，得A B ={0, 2, 6,10}，故选C．29．（2016 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3））设集合S ={x|(x - 2)(x -3) ≥ 0},T ={x|x > 0} ，则S ⋂T=A．[2,3] B．（−∞,2] ⋃[3,+ ∞）C．[3,+ ∞）D．（0,2] ⋃[3,+ ∞）【答案】D【详解】：由(x - 2)(x -3) ≥ 0 解得x ≥ 3 或x ≤ 2 ，所以S ={x | x ≤ 2或x ≥ 3}，所以S ⋂T ={x | 0 <x ≤ 2或x ≥ 3}，故选D．30．（2015 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））已知集合A ={x | x = 3n + 2, n ∈N},B ={6,8,10,12,14}，则集合A⋂B 中的元素个数为A．5 B．4 C．3 D．2【答案】D【详解】由已知得 A⋂B中的元素均为偶数，∴n应为取偶数，故 A⋂B ={8,14}，故选D.31．（2015 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅱ））已知集合A ={x | -1 <x < 2},B ={x | 0 <x < 3}, 则A U B =（）A．(-1,3) B．(-1, 0) C．(0, 2) D．(2,3)【答案】A【详解】因为A ={x | -1<x < 2}, B ={x | 0 <x < 3},所以A U B={x | -1 <x < 3}. 故选A. 32．（2015 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅱ））已知集合A=｛-2，-1,0，1,2｝，B ={x | (x -1)(x +2) <0},则A I B =（）A．{-1, 0} B．{0,1} C．{-1, 0,1} D．{0,1, 2}【答案】A【详解】已知得B={x|-2<x<1}，因为A=｛-2，-1,0，1,2｝，所以A⋂B={-1,0}，故选A．33．（2014 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））已知集合M ={x | -1<x < 3}, N ={x | -2 <x <1}，则 M ⋂N =A． B． C． D．【答案】B【详解】试题分析：根据集合的运算法则可得：M ⋂N ={x | -1 <x < 1}，即选B．34．（2014 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ卷））已知集合，则A． B． C． D．【答案】A【详解】试题分析：由已知得，A ={x | x ≤-1或x ≥ 3}，故A⋂B ={x | -2 ≤x ≤-1}，选A．35．（2014 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（全国Ⅱ卷））设集合A ={-2, 0, 2},B ={x | x2 -x - 2 = 0} ,则 A⋂B =A．∅B． C．{0}【答案】B【详解】：由已知得，B={2，-1}，故A⋂B={2}，选B．D．{-2}36．（2013 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1 卷））已知集合A=｛1，2，3，4｝，B ={x | x =n2 , n ∈A} ，则A∩B=A．｛1,4｝B．｛2，3｝C．{9，16} D．｛1,2}【答案】A【分析】依题意，，故A⋂B ={1, 4}.37．（2013 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1 卷）已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|—5 ＜x＜5 }，则()．A．A∩B＝B．A∪B＝R C．B ⊆A D．A ⊆B【答案】B【详解】依题意 A ={x | x 0或x2}，又因为B＝{x|－5 ＜x＜5 }，由数轴可知A∪B＝R，故选B.38．（2013 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学）已知集合M=｛x|-3<x<1｝，N=｛-3，-2，-1，0，1｝，则M∩N=A．｛-2，-1，0,1｝B．｛-3，-2，-1，0｝C．{-2，-1，0} D．{-3，-2，-1 }【答案】C【详解】因为集合M=，所以M∩N=｛0，-1，-2｝，故选C.39．（2013 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）已知集合M＝{x|(x－1)2＜4，x∈R}，N＝{－1，0，1，2，3}，则M∩N＝A．{0，1，2} B．{－1，0，1，2} C．{－1，0，2，3} D．{0，1，2，3}【答案】A【详解】：由（x﹣1）2＜4，解得：﹣1＜x＜3，即M={x|﹣1＜x＜3}，∵N={﹣1，0，1，2，3}，∴M∩N={0，1，2}．故选A40．（2012 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学）已知集合A={x|x2－x－2<0}，B={x|－1<x<1}，则A． B．C．A=B D．A∩B=Æ【答案】B【详解】集合，又，所以B 是A 的真子集，选B.41．（2012 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）已知集合A={1,2,3,4,5}, B ={(x, y) x ∈A, y ∈A, x -y ∈A},则B 中所含元素的个数为A．3 B．6 C．8 D．10【答案】D【详解】列举法得出集合B={(2,1)，(3，1)，(4，1)，(5，1)，(3，2)，(4，2)，(5，2)，(4，3)，(5，3)，(5，4)}，共含10 个元素．故答案选D .。
(完整版)历年高考数学真题(全国卷整理版)
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(大纲全国卷)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013大纲全国，理1)设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，则M 中元素的个数为( )．A ．3B ．4C ．5D ．6 2．(2013大纲全国，理2)3＝( )．A ．－8B ．8C ．－8iD ．8i3．(2013大纲全国，理3)已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( )．A ．－4B ．－3C ．－2D ．－14．(2013大纲全国，理4)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( )．A ．(－1,1)B ．11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C ．(－1,0) D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ 5．(2013大纲全国，理5)函数f (x )＝21log 1x ⎛⎫+⎪⎝⎭(x ＞0)的反函数f －1(x )＝( )． A ．121x -(x ＞0) B ．121x-(x≠0) C ．2x －1(x ∈R) D ．2x －1(x ＞0)6．(2013大纲全国，理6)已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝43-，则{a n }的前10项和等于( )．A ．－6(1－3－10)B ．19(1－310) C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)7．(2013大纲全国，理7)(1＋x )8(1＋y )4的展开式中x 2y 2的系数是( )．A ．56B ．84C ．112D ．1688．(2013大纲全国，理8)椭圆C ：22=143x y +的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P 在C 上且直线PA 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA 1斜率的取值范围是( )．A ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．33,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 9．(2013大纲全国，理9)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭是增函数，则a 的取值范围是( )．A ．[－1,0]B ．[－1，＋∞)C ．[0,3]D ．[3，＋∞)10．(2013大纲全国，理10)已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于( )．A ．23 B．3 C．3 D ．1311．(2013大纲全国，理11)已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若0MA MB ⋅=，则k ＝( )．A ．12 B． CD ．212．(2013大纲全国，理12)已知函数f(x)＝cos x sin 2x，下列结论中错误的是( )．A．y＝f(x)的图像关于点(π，0)中心对称 B．y＝f(x)的图像关于直线π=2x对称C．f(x)的最大值为 D．f(x)既是奇函数，又是周期函数二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．(2013大纲全国，理13)已知α是第三象限角，sin α＝13-，则cot α＝__________.14．(2013大纲全国，理14)6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有__________种．(用数字作答)15．(2013大纲全国，理15)记不等式组0,34,34xx yx y≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域为D.若直线y＝a(x＋1)与D有公共点，则a的取值范围是__________．16．(2013大纲全国，理16)已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，OK＝32，且圆O与圆K所在的平面所成的一个二面角为60°，则球O的表面积等于__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(2013大纲全国，理17)(本小题满分10分)等差数列{a n}的前n项和为S n.已知S3＝22a，且S1，S2，S4成等比数列，求{a n}的通项公式．18．(2013大纲全国，理18)(本小题满分12分)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac.(1)求B；(2)若sin A sin C，求C19．(2013大纲全国，理19)(本小题满分12分)如图，四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△PAB和△PAD都是等边三角形．(1)证明：PB⊥CD；(2)求二面角A－PD－C的大小．20．(2013大纲全国，理20)(本小题满分12分)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为12，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．(1)求第4局甲当裁判的概率；(2)X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望．21．(2013大纲全国，理21)(本小题满分12分)已知双曲线C：2222=1x ya b-(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y＝2与C.(1)求a，b；(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，且|AF1|＝|BF1|，证明：|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列．22．(2013大纲全国，理22)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝1ln(1+)1x xxxλ(+)-+.(1)若x≥0时，f(x)≤0，求λ的最小值；(2)设数列{a n}的通项111=1+23nan+++，证明：a2n－a n＋14n＞ln 2.2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(大纲全国卷)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． 答案：B解析：由题意知x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B ，则x 的可能取值为5,6,7,8.因此集合M 共有4个元素．故选B. 2． 答案：A解析：323=13=8-.故选A. 3． 答案：B解析：由(m ＋n )⊥(m －n )⇒|m |2－|n |2＝0⇒(λ＋1)2＋1－[(λ＋2)2＋4]＝0⇒λ＝－3.故选B. 4． 答案：B解析：由题意知－1＜2x ＋1＜0，则－1＜x ＜12-.故选B. 5． 答案：A解析：由题意知11+x＝2y⇒x ＝121y -(y ＞0)，因此f －1(x )＝121x-(x ＞0)．故选A. 6． 答案：C解析：∵3a n ＋1＋a n ＝0，∴a n ＋1＝13n a -.∴数列{a n }是以13-为公比的等比数列．∵a 2＝43-，∴a 1＝4.∴S 10＝101413113⎡⎤⎛⎫--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+＝3(1－3－10)．故选C.7． 答案：D解析：因为(1＋x )8的展开式中x 2的系数为28C ，(1＋y )4的展开式中y 2的系数为24C ，所以x 2y 2的系数为2284C C 168=.故选D. 8．答案：B解析：设P 点坐标为(x 0，y 0)，则2200=143x y +， 2002PA y k x =-，1002PA y k x =+，于是12220222003334244PA PA x y k k x x -⋅===---.故12314PA PA k k ＝－. ∵2PA k ∈[－2，－1]， ∴133,84PA k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故选B.9． 答案：D解析：由条件知f ′(x )＝2x ＋a －21x ≥0在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上恒成立，即212a x x ≥-在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上恒成立．∵函数212y x x =-在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为减函数，∴max 211<23212y -⨯=⎛⎫⎪⎝⎭.∴a ≥3.故选D. 10． 答案：A解析：如下图，连结AC 交BD 于点O ，连结C 1O ，过C 作CH ⊥C 1O 于点H .∵11BD ACBD AA AC AA A ⊥⎫⎪⊥⎬⎪=⎭1111BD ACC A CH ACC A ⊥⎫⎬⊂⎭平面平面11=CH BD CH C O BD C O O ⊥⎫⎪⊥⎬⎪⎭CH ⊥平面C 1BD ， ∴∠HDC 为CD 与平面BDC 1所成的角． 设AA 1＝2AB ＝2，则2==22AC OC，2222112932=2222C O OC CC ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭由等面积法，得C 1O ·CH ＝OC ·CC 1，即322222CH ⋅＝， ∴2=3CH . ∴sin ∠HDC ＝223==13HC DC .故选A.11． 答案：D解析：由题意知抛物线C 的焦点坐标为(2,0)，则直线AB 的方程为y ＝k (x －2)，将其代入y 2＝8x ，得k 2x 2－4(k 2＋2)x ＋4k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2242k k (+)，x 1x 2＝4.①由112222y k x y k x =(-)⎧⎨=(-)⎩121221212124,[24].y y k x x k y y k x x x x +=(+)-⎧⎨=-(+)+⎩①②∵0MA MB ⋅=，∴(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2)＝0. ∴(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0，即x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4＝0.④ 由①②③④解得k ＝2.故选D. 12． 答案：C解析：由题意知f (x )＝2cos 2x ·sin x ＝2(1－sin 2x )sin x . 令t ＝sin x ，t ∈[－1,1]，则g (t )＝2(1－t 2)t ＝2t －2t 3. 令g ′(t )＝2－6t 2＝0，得3=t . 当t ＝±1时，函数值为0；当3t =43；当33t =时，函数值为439.∴g (t )max ＝39，即f (x )43.故选C.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．答案：22解析：由题意知cos α＝2121sin 193α--=-=-. 故cot α＝cos =22sin αα14．答案：480解析：先排除甲、乙外的4人，方法有44A 种，再将甲、乙插入这4人形成的5个间隔中，有25A 种排法，因此甲、乙不相邻的不同排法有4245A A 480⋅=(种)．15．答案：1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦解析：作出题中不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．∵直线y ＝a (x ＋1)过定点C (－1,0)，由图并结合题意可知12BC k =，k AC ＝4，∴要使直线y ＝a (x ＋1)与平面区域D 有公共点，则12≤a ≤4. 16．答案：16π解析：如下图，设MN 为两圆的公共弦，E 为MN 的中点，则OE ⊥MN ，KE ⊥MN ，结合题意可知∠OEK ＝60°.又MN ＝R ，∴△OMN 为正三角形．∴OE ＝2R .又OK ⊥EK ，∴32＝OE R ∴R ＝2.∴S ＝4πR 2＝16π.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：设{a n }的公差为d .由S 3＝22a 得3a 2＝22a ，故a 2＝0或a 2＝3. 由S 1，S 2，S 4成等比数列得22S ＝S 1S 4.又S 1＝a 2－d ，S 2＝2a 2－d ，S 4＝4a 2＋2d ，故(2a 2－d )2＝(a 2－d )(4a 2＋2d )．若a 2＝0，则d 2＝－2d 2，所以d ＝0，此时S n ＝0，不合题意；若a 2＝3，则(6－d )2＝(3－d )(12＋2d )，解得d ＝0或d ＝2. 因此{a n }的通项公式为a n ＝3或a n ＝2n －1. 18．解：(1)因为(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac ，所以a 2＋c 2－b 2＝－ac .由余弦定理得cos B ＝222122a cb ac +-=-， 因此B ＝120°.(2)由(1)知A ＋C ＝60°，所以cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ＝cos A cos C －sin A sin C ＋2sin A sin C ＝cos(A＋C )＋2sin A sin C ＝1+22=， 故A －C ＝30°或A －C ＝－30°，因此C ＝15°或C ＝45°. 19．(1)证明：取BC 的中点E ，连结DE ，则ABED 为正方形．过P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O .连结OA ，OB ，OD ，OE .由△PAB 和△PAD 都是等边三角形知PA ＝PB ＝PD ，所以OA ＝OB ＝OD ，即点O 为正方形ABED 对角线的交点， 故OE ⊥BD ，从而PB ⊥OE .因为O 是BD 的中点，E 是BC 的中点， 所以OE ∥CD .因此PB ⊥CD .(2)解法一：由(1)知CD ⊥PB ，CD ⊥PO ，PB ∩PO ＝P ， 故CD ⊥平面PBD .又PD ⊂平面PBD ，所以CD ⊥PD .取PD 的中点F ，PC 的中点G ，连结FG ， 则FG ∥CD ，FG ⊥PD .连结AF，由△APD为等边三角形可得AF⊥PD. 所以∠AFG为二面角A－PD－C的平面角．连结AG，EG，则EG∥PB.又PB⊥AE，所以EG⊥AE.设AB＝2，则AE＝EG＝12PB＝1，故AG3.在△AFG中，FG＝12CD=，AF=，AG＝3，所以cos∠AFG＝2222FG AF AGFG AF+-=⨯⨯因此二面角A－PD－C的大小为πarccos3-.解法二：由(1)知，OE，OB，OP两两垂直．以O为坐标原点，OE的方向为x轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz.设|AB|＝2，则A(，0,0)，D(0，-，0)，C(，，0)，P(0,0)．PC＝(2，，2-)，PD＝(0，，)．AP＝，0)，AD＝，，0)．设平面PCD的法向量为n1＝(x，y，z)，则n1·PC＝(x，y，z)·(2，2-)＝0，n1·PD＝(x，y，z)·(0，，)＝0，可得2x－y－z＝0，y＋z＝0.取y＝－1，得x＝0，z＝1，故n1＝(0，－1,1)．设平面PAD的法向量为n2＝(m，p，q)，则n2·AP＝(m，p，q，0)＝0，n2·AD＝(m，p，q，，0)＝0，可得m＋q＝0，m－p＝0.取m＝1，得p＝1，q＝－1，故n2＝(1,1，－1)．于是cos〈n1，n2〉＝1212||||=·n nn n.由于〈n1，n2〉等于二面角A－PD－C的平面角，所以二面角A－PD－C的大小为π-20．解：(1)记A1表示事件“第2局结果为甲胜”，A2表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，A表示事件“第4局甲当裁判”．则A＝A1·A2.P(A)＝P(A1·A2)＝P(A1)P(A2)＝14.(2)X的可能取值为0,1,2.记A3表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，B1表示事件“第1局结果为乙胜丙”，B2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，B3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”．则P(X＝0)＝P(B1·B2·A3)＝P(B1)P(B2)·P(A3)＝18，P(X＝2)＝P(1B·B3)＝P(1B)P(B3)＝1 4，P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝1151848--=，EX＝0·P(X＝0)＋1·P(X＝1)＋2·P(X＝2)＝98.21．(1)解：由题设知ca＝3，即222a ba+＝9，故b2＝8a2.所以C的方程为8x2－y2＝8a2.将y＝2代入上式，求得x=由题设知，=a2＝1.所以a＝1，b＝(2)证明：由(1)知，F1(－3,0)，F2(3,0)，C的方程为8x2－y2＝8.①由题意可设l的方程为y＝k(x－3)，k(k2－8)x2－6k2x＋9k2＋8＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1≤－1，x2≥1，x1＋x2＝2268kk-，x1·x2＝22988kk+-.于是|AF1|(3x1＋1)，|BF1|3x2＋1.由|AF1|＝|BF1|得－(3x1＋1)＝3x2＋1，即x1＋x2＝23 -.故226283kk=--，解得k2＝45，从而x1·x2＝199-.由于|AF2|1－3x1，|BF2|3x2－1，故|AB|＝|AF2|－|BF2|＝2－3(x1＋x2)＝4，|AF2|·|BF2|＝3(x1＋x2)－9x1x2－1＝16. 因而|AF2|·|BF2|＝|AB|2，所以|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列．22．(1)解：由已知f(0)＝0，f′(x)＝22121x xxλλ(-)-(+)，f′(0)＝0.若12λ<，则当0＜x＜2(1－2λ)时，f′(x)＞0，所以f(x)＞0.若12λ≥，则当x＞0时，f′(x)＜0，所以当x＞0时，f(x)＜0.综上，λ的最小值是12.(2)证明：令12λ=.由(1)知，当x＞0时，f(x)＜0，即2ln(1) 22x xxx(+)>++．取1xk=，则211>ln21k kk k k++(+).于是212111422(1)nn nk na an k k-=⎡⎤-+=+⎢⎥+⎣⎦∑＝2121211ln21n nk n k nk kk k k --==++>(+)∑∑＝ln 2n－ln n＝ln 2.所以21ln24n na an-+>.2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷I)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013课标全国Ⅰ，理1)已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |－5＜x ＜5}，则( )．A ．A ∩B ＝ B ．A ∪B ＝RC ．B ⊆AD ．A ⊆B2．(2013课标全国Ⅰ，理2)若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( )．A ．－4B ．45-C ．4D ．453．(2013课标全国Ⅰ，理3)为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )．A ．简单随机抽样B ．按性别分层抽样C ．按学段分层抽样D ．系统抽样4．(2013课标全国Ⅰ，理4)已知双曲线C ：2222=1x y a b-(a ＞0，b ＞0)5则C 的渐近线方程为( )．A ．y ＝14x ±B ．y ＝13x ±C ．y ＝12x± D ．y ＝±x5．(2013课标全国Ⅰ，理5)执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出的s 属于( )．A ．[－3,4]B ．[－5,2]C ．[－4,3]D ．[－2,5] 6．(2013课标全国Ⅰ，理6)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )．A ．500π3cm3B ．866π3cm3C ．1372π3cm3D ．2048π3cm37．(2013课标全国Ⅰ，理7)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )．A ．3B ．4C ．5D ．68．(2013课标全国Ⅰ，理8)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()．A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π9．(2013课标全国Ⅰ，理9)设m 为正整数，(x ＋y )2m展开式的二项式系数的最大值为a ，(x＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝( )．A ．5B ．6C ．7D ．810．(2013课标全国Ⅰ，理10)已知椭圆E ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )．A ．22=14536x y +B ．22=13627x y +C ．22=12718x y +D ．22=1189x y +11．(2013课标全国Ⅰ，理11)已知函数f (x )＝220ln(1)0.x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩，，，若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )．A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]12．(2013课标全国Ⅰ，理12)设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n ＝1,2,3，….若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝2n n c a +，c n ＋1＝2n nb a +，则( )． A ．{Sn}为递减数列 B ．{Sn}为递增数列C ．{S2n －1}为递增数列，{S2n}为递减数列D ．{S2n －1}为递减数列，{S2n}为递增数列第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．(2013课标全国Ⅰ，理13)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝ta ＋(1－t )b .若b ·c ＝0，则t ＝__________.14．(2013课标全国Ⅰ，理14)若数列{an}的前n 项和2133n n S a =+，则{an}的通项公式是an ＝_______.15．(2013课标全国Ⅰ，理15)设当x ＝θ时，函数f(x)＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝__________.16．(2013课标全国Ⅰ，理16)若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax ＋b)的图像关于直线x ＝－2对称，则f(x)的最大值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(2013课标全国Ⅰ，理17)(本小题满分12分)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB，BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°. (1)若PB ＝12，求PA ； (2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA .18．(2013课标全国Ⅰ，理18)(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°. (1)证明：AB ⊥A 1C ；(2)若平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，AB ＝CB ，求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值．19．(2013课标全国Ⅰ，理19)(本小题满分12分)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n .如果n ＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n ＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验． 假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为12，且各件产品是否为优质品相互独立．(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X (单位：元)，求X 的分布列及数学期望．20．(2013课标全国Ⅰ，理20)(本小题满分12分)已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C . (1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |.21．(2013课标全国Ⅰ，理21)(本小题满分12分)设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ，g (x )＝e x(cx ＋d )．若曲线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )都过点P (0,2)，且在点P 处有相同的切线y ＝4x ＋2. (1)求a ，b ，c ，d 的值；(2)若x ≥－2时，f (x )≤kg (x )，求k 的取值范围．请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22．(2013课标全国Ⅰ，理22)(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于点D . (1)证明：DB ＝DC ；(2)设圆的半径为1，BC ，延长CE 交AB 于点F ，求△BCF 外接圆的半径．23．(2013课标全国Ⅰ，理23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程为45cos ,55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．24．(2013课标全国Ⅰ，理24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲：已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3.(1)当a ＝－2时，求不等式f (x )＜g (x )的解集； (2)设a ＞－1，且当x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围．2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国卷I 新课标)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． 答案：B解析：∵x (x －2)＞0，∴x ＜0或x ＞2.∴集合A 与B 可用图象表示为：由图象可以看出A ∪B ＝R ，故选B. 2． 答案：D解析：∵(3－4i)z ＝|4＋3i|，∴55(34i)34i 34i (34i)(34i)55z +===+--+. 故z 的虚部为45，选D.3． 答案：C解析：因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样． 4． 答案：C解析：∵c e a ==，∴22222254c a b e a a +===. ∴a 2＝4b 2，1=2b a ±.∴渐近线方程为12b y x x a =±±.5．答案：A解析：若t ∈[－1,1)，则执行s ＝3t ，故s ∈[－3,3)．若t ∈[1,3]，则执行s ＝4t －t 2，其对称轴为t ＝2.故当t ＝2时，s 取得最大值4.当t ＝1或3时，s 取得最小值3，则s ∈[3,4]． 综上可知，输出的s ∈[－3,4]．故选A. 6． 答案：A解析：设球半径为R ，由题可知R ，R －2，正方体棱长一半可构成直角三角形，即△OBA 为直角三角形，如图．BC ＝2，BA ＝4，OB ＝R －2，OA ＝R ，由R 2＝(R －2)2＋42，得R ＝5， 所以球的体积为34500π5π33=(cm 3)，故选A. 7．答案：C解析：∵S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，∴a m ＝S m －S m －1＝0－(－2)＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3－0＝3. ∴d ＝a m ＋1－a m ＝3－2＝1.∵S m ＝ma 1＋12m m (-)×1＝0，∴112m a -=-. 又∵a m ＋1＝a 1＋m ×1＝3，∴132m m --+=.∴m ＝5.故选C. 8． 答案：A解析：由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体，由图中数据可知圆柱底面半径r ＝2，长为4，在长方体中，长为4，宽为2，高为2，所以几何体的体积为πr 2×4×12＋4×2×2＝8π＋16.故选A. 9． 答案：B解析：由题意可知，a ＝2C mm ，b ＝21C mm +， 又∵13a ＝7b ，∴2!21!13=7!!!1!m m m m m m ()(+)⋅⋅(+)， 即132171m m +=+.解得m ＝6.故选B. 10． 答案：D解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵A ，B 在椭圆上，∴2211222222221,1,x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②①－②，得1212121222=0x x x x y y y y a b (+)(-)(+)(-)+， 即2121221212=y y y y b a x x x x (+)(-)-(+)(-)， ∵AB 的中点为(1，－1)，∴y 1＋y 2＝－2，x 1＋x 2＝2，而1212y y x x --＝k AB ＝011=312-(-)-，∴221=2b a . 又∵a 2－b 2＝9，∴a 2＝18，b 2＝9.∴椭圆E 的方程为22=1189x y +.故选D. 11． 答案：D解析：由y ＝|f (x )|的图象知：①当x ＞0时，y ＝ax 只有a ≤0时，才能满足|f (x )|≥ax ，可排除B ，C.②当x ≤0时，y ＝|f (x )|＝|－x 2＋2x |＝x 2－2x .故由|f (x )|≥ax 得x 2－2x ≥ax . 当x ＝0时，不等式为0≥0成立．当x ＜0时，不等式等价于x －2≤a . ∵x －2＜－2，∴a ≥－2. 综上可知：a ∈[－2,0]． 12． 答案：B第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．答案：2解析：∵c ＝t a ＋(1－t )b ，∴b ·c ＝t a ·b ＋(1－t )|b |2.又∵|a |＝|b |＝1，且a 与b 夹角为60°，b ⊥c ， ∴0＝t |a ||b |cos 60°＋(1－t )， 0＝12t ＋1－t . ∴t ＝2.14．答案：(－2)n －1解析：∵2133n n S a =+，① ∴当n ≥2时，112133n n S a --=+.②①－②，得12233n n n a a a -=-，即1n n aa -＝－2. ∵a 1＝S 1＝12133a +，∴a 1＝1.∴{a n }是以1为首项，－2为公比的等比数列，a n ＝(－2)n －1. 15．答案： 解析：f (x )＝sin x －2cos xx x ⎫⎪⎭，令cos αsin α＝-则f (x )α＋x )，当x ＝2k π＋π2－α(k ∈Z )时，sin(α＋x )有最大值1，f (x )即θ＝2k π＋π2－α(k ∈Z )，所以cos θ＝πcos 2π+2k α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝πcos 2α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝sin α＝=. 16．答案：16解析：∵函数f (x )的图像关于直线x ＝－2对称，∴f (x )满足f (0)＝f (－4)，f (－1)＝f (－3)，即15164,0893,b a b a b =-(-+)⎧⎨=-(-+)⎩解得8,15.a b =⎧⎨=⎩∴f (x )＝－x 4－8x 3－14x 2＋8x ＋15.由f ′(x )＝－4x 3－24x 2－28x ＋8＝0，得x 1＝－2x 2＝－2，x 3＝－2易知，f (x )在(－∞，－2上为增函数，在(－22)上为减函数，在(－2，－2上为增函数，在(－2∴f (－2＝[1－(－22][(－22＋8(－2)＋15]＝(－8－－＝80－64＝16.f (－2)＝[1－(－2)2][(－2)2＋8×(－2)＋15] ＝－3(4－16＋15) ＝－9.f (－2)＝[1－(－22][(－22＋8(－2＋15]＝(－8＋＋＝80－64＝16.故f (x )的最大值为16.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．解：(1)由已知得∠PBC ＝60°，所以∠PBA ＝30°.在△PBA 中，由余弦定理得PA 2＝11732cos 30424+-︒=.故PA . (2)设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α.在△PBA sin sin(30)αα=︒-，cos α＝4sin α.所以tan α＝4，即tan ∠PBA ＝4. 18．(1)证明：取AB 的中点O ，连结OC ，OA 1，A 1B . 因为CA ＝CB ，所以OC ⊥AB .由于AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°， 故△AA 1B 为等边三角形， 所以OA 1⊥AB .因为OC ∩OA 1＝O ，所以AB ⊥平面OA 1C . 又A 1C ⊂平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C . (2)解：由(1)知OC ⊥AB ，OA 1⊥AB . 又平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，交线为AB ， 所以OC ⊥平面AA 1B 1B ，故OA ，OA 1，OC 两两相互垂直．以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴的正方向，|OA |为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .由题设知A (1,0,0)，A 1(0，3，0)，C (0,0，B (－1,0,0)．则BC ＝(1,0，1BB ＝1AA ＝(－1，0)，1AC ＝(0，． 设n ＝(x ，y ，z )是平面BB 1C 1C 的法向量，则10,0,BC BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,30.x x y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩可取n ＝1，－1)．故cos 〈n ，1AC 〉＝11A C A C⋅n n ＝5-. 所以A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为5. 19．解：(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A 1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A 2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B 1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B 2，这批产品通过检验为事件A ，依题意有A ＝(A 1B 1)∪(A 2B 2)，且A 1B 1与A 2B 2互斥，所以P (A )＝P (A 1B 1)＋P (A 2B 2)＝P (A 1)P (B 1|A 1)＋P (A 2)P (B 2|A 2) ＝41113161616264⨯+⨯=. (2)X 可能的取值为400,500,800，并且P (X ＝400)＝41111161616--=，P (X ＝500)＝116，P (X ＝800)＝14. 所以X 的分布列为EX ＝111400+500+80016164⨯⨯⨯＝506.25. 20．解：由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3. 设圆P 的圆心为P(x ，y )，半径为R .(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2(左顶点除外)，其方程为22=143x y +(x ≠－2)． (2)对于曲线C 上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2.所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4. 若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则1||||QP RQM r =，可求得Q (－4,0)，所以可设l ：y ＝k (x ＋4)． 由l 与圆M，解得k ＝4±.当k ＝4时，将4y x =代入22=143x y +， 并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x 1,2＝47-±.所以|AB |2118|7x x -=.当k =|AB |＝187.综上，|AB |＝|AB |＝187.21．解：(1)由已知得f (0)＝2，g (0)＝2，f ′(0)＝4，g ′(0)＝4.而f ′(x )＝2x ＋a ，g ′(x )＝e x(cx ＋d ＋c )， 故b ＝2，d ＝2，a ＝4，d ＋c ＝4. 从而a ＝4，b ＝2，c ＝2，d ＝2.(2)由(1)知，f (x )＝x 2＋4x ＋2，g (x )＝2e x(x ＋1)．设函数F (x )＝kg (x )－f (x )＝2k e x (x ＋1)－x 2－4x －2，则F ′(x )＝2k e x (x ＋2)－2x －4＝2(x ＋2)(k e x－1)． 由题设可得F (0)≥0，即k ≥1.令F ′(x )＝0得x 1＝－ln k ，x 2＝－2.①若1≤k ＜e 2，则－2＜x 1≤0.从而当x ∈(－2，x 1)时，F ′(x )＜0；当x ∈(x 1，＋∞)时，F ′(x )＞0.即F (x )在(－2，x 1)单调递减，在(x 1，＋∞)单调递增．故F (x )在[－2，＋∞)的最小值为F (x 1)．而F (x 1)＝2x 1＋2－21x －4x 1－2＝－x 1(x 1＋2)≥0.故当x ≥－2时，F (x )≥0，即f (x )≤kg (x )恒成立．②若k ＝e 2，则F ′(x )＝2e 2(x ＋2)(e x －e －2)．从而当x ＞－2时，F ′(x )＞0，即F (x )在(－2，＋∞)单调递增． 而F (－2)＝0，故当x ≥－2时，F (x )≥0，即f (x )≤kg (x )恒成立．③若k ＞e 2，则F (－2)＝－2k e －2＋2＝－2e －2(k －e 2)＜0. 从而当x ≥－2时，f (x )≤kg (x )不可能恒成立．综上，k 的取值范围是[1，e 2]． 请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22．(1)证明：连结DE ，交BC 于点G . 由弦切角定理得，∠ABE ＝∠BCE .而∠ABE ＝∠CBE ，故∠CBE ＝∠BCE ，BE ＝CE .又因为DB ⊥BE ，所以DE 为直径，∠DCE ＝90°， 由勾股定理可得DB ＝DC .(2)解：由(1)知，∠CDE ＝∠BDE ，DB ＝DC ， 故DG 是BC 的中垂线，所以BG设DE 的中点为O ，连结BO ，则∠BOG ＝60°. 从而∠ABE ＝∠BCE ＝∠CBE ＝30°， 所以CF ⊥BF ，故Rt△BCF. 23． 解：(1)将45cos ,55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0. 将cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. 所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.(2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由2222810160,20x y x y x y y ⎧+--+=⎨+-=⎩ 解得1,1x y =⎧⎨=⎩或0,2.x y =⎧⎨=⎩所以C 1与C 2交点的极坐标分别为π4⎫⎪⎭，π2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.24．解：(1)当a ＝－2时，不等式f (x )＜g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝15,,212,1,236, 1.x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y ＜0. 所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．(2)当x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f (x )＝1＋a . 不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3.所以x ≥a －2对x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭都成立． 故2a -≥a －2，即43a ≤.从而a 的取值范围是41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦.2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷II)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013课标全国Ⅱ，理1)已知集合M ＝{x |(x －1)2＜4，x ∈R }，N ＝{－1,0,1,2,3}，则M ∩N ＝( )．A ．{0,1,2}B ．{－1,0,1,2}C ．{－1,0,2,3}D ．{0,1,2,3} 2．(2013课标全国Ⅱ，理2)设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝( )．A ．－1＋iB ．－1－IC ．1＋iD ．1－i3．(2013课标全国Ⅱ，理3)等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )．A ．13B ．13-C ．19D ．19-4．(2013课标全国Ⅱ，理4)已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l α，l β，则( )．A ．α∥β且l ∥αB ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l5．(2013课标全国Ⅱ，理5)已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝( )．A ．－4B ．－3C ．－2D ．－16．(2013课标全国Ⅱ，理6)执行下面的程序框图，如果输入的N ＝10，那么输出的S ＝( )．A ．1111+2310+++B ．1111+2!3!10!+++C ．1111+2311+++D ．1111+2!3!11!+++7．(2013课标全国Ⅱ，理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为( )．8．(2013课标全国Ⅱ，理8)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( )．A ．c ＞b ＞aB ．b ＞c ＞aC ．a ＞c ＞b D ．a ＞b ＞c9．(2013课标全国Ⅱ，理9)已知a ＞0，x ，y 满足约束条件1,3,3.x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥(-)⎩若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a＝( )．A．14 B．12 C．1 D．210．(2013课标全国Ⅱ，理10)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是( )．A．∃x0∈R，f(x0)＝0B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝011．(2013课标全国Ⅱ，理11)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为( )．A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x12．(2013课标全国Ⅱ，理12)已知点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝ax＋b(a＞0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是( )．A．(0,1) B．11,22⎛⎫-⎪⎪⎝⎭ C．1123⎛⎤-⎥⎝⎦ D．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。
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参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式()()()P AB P A P B 24S R如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么334VRn 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(0,1,2,)kkn kn n P k C p p k n …普通高等学校招生全国统一考试一、选择题1、复数131i i=A 2+IB 2-IC 1+2iD 1- 2i2、已知集合A ＝{1.3. m }，B ＝{1，m} ,AB ＝A, 则m=A0或3B 0或3C 1或3D 1或33 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为A216x+212y=1 B212x+28y=1C28x+24y=1 D212x+24y=14 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中，AB=2，CC 1=22E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为A 2B3C2D 1（5）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列的前100项和为(A)100101(B)99101(C)99100(D)101100（6）△ABC 中，AB 边的高为CD ，若a ·b=0，|a|=1，|b|=2，则(A)（B ）(C)(D)（7）已知α为第二象限角，sinα＋sinβ=33，则cos2α=(A)5-3（B）5-9(C)59(D)53（8）已知F1、F2为双曲线C：x2-y2=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=|2PF2|，则cos ∠F1PF2=(A)14（B）35(C)34(D)45（9）已知x=lnπ，y=log52，12z=e，则(A)x＜y＜z （B）z＜x＜y (C)z＜y＜x (D)y＜z＜x(10) 已知函数y＝x2-3x+c的图像与x恰有两个公共点，则c＝（A）-2或2 （B）-9或3 （C）-1或1 （D）-3或1（11）将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，梅列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（A）12种（B）18种（C）24种（D）36种（12）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝73。
2011-2019高考文科数学全国卷真题分类汇编(含详细答案)专题：第13章 平面解析几何初步
第13章 平面解析几何初步1.（2011全国文20）在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆上．（1）求圆的方程；（2）若圆与直线交于，两点，且，求的值．2.（2013全国I 文21）已知圆，圆，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线.（1）求的方程；（2）是与圆，圆都相切的一条直线，与曲线交于两点，当圆的半径最长时，求.3.（2013全国II 文20）在平面直角坐标系中，已知圆在轴上截得线段长为，在轴上截得线段长为1）求圆心的轨迹方程；（2）若点到直线的距离为，求圆的方程.4.（2014新课标Ⅰ文20）（本小题满分12分）已知点，圆：，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点.（1）求的轨迹方程；（2）当时，求的方程及的面积.5.（2014新课标Ⅱ文12）设点，若在圆上存在点，使得，则的取值范围是（）A. B. C. D. 6. (2016全国I 文20)已知过点且斜率为k 的直线l 与圆C：交于M ，两点.（1）求k 的取值范围；（2）若，其中O 为坐标原点，求.7.（2016新课标Ⅰ文15）（15）设直线y=x +2a 与圆C ：x 2+y 2-2ay -2=0相交于A ,B 两点,若 ,则圆C 的面积为xOy 261y x x =-+CC C 0x y a -+=A B OA OB ⊥a ()22:11M x y ++=()22:19N x y -+=P M N P C C l P M l C A B ，P AB xOy P x y P P y x =2P ()2,2P C 2280x y y +-=P l C ,A B AB M O M OP OM =l POM △()0,1M x 22:1O x y +=N °45OMN ∠=0x []1,1-1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，⎡⎣22⎡-⎢⎣⎦，()0,1A ()()22231x y -+-=N 12OM ON ⋅=MN8.（2014新课标Ⅰ文15）15．直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ，两点，则AB =________．高考真题详解1.解析：（1）曲线与轴的交点为，与轴的交点为．故可设的圆心为，则有，解得．则圆的半径为，所以圆的方程为．（2）设，，其坐标满足方程组 消去，得方程．由已知可得，判别式，因此，从而，．①由于，可得．又，所以．② 由①②得，满足，故．2.分析（1）结合圆的几何性质和椭圆的定义求解；（2）利用直线与圆相切的性质求解，要注意直线的斜率是不是存在.解析：由已知得圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径. 设圆的圆心为，半径为.（1）因为圆与圆外切并且与圆内切，所以.由椭圆的定义可知，曲线是以为左，右焦点，长半轴长为2的椭圆（左顶点除外），其方程为.（2）对于曲线上任意一点，由于，所以，当且仅当圆的圆心为时，，所以当圆的半径最长时，其方程为.若的倾斜角为，则与轴重合，可得.261y x x =-+y (0,1)x ()3,+()3-C ()3,t ()(222231t t +-=+1t =C 3=C ()()22319x y -+-=()11,A x y ()22,B x y ()()220,319.x y a x y -+=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩y ()22228210x a x a a +-+-+=2561640a a ∆=-->()1,2824a x -=124x x a +=-212212a a x x -+=OA OB ⊥12120x x y y +=11y x a =+22y x a =+212122()0x x a x x a +++=1a =-0∆>1a =-M ()1,0M -11r =N ()1,0N 23r =P (),P x y R P M N ()()12124PM PN R r r R r r +=++-=+=C ,M N ()221243x y x +=≠-C (),P x y 222PM PN R -=-≤2R ≤P ()2,0=2R P ()2224x y -+=l 90︒l y AB若的倾斜角为，由知不平行于轴，设与轴的交点为，则，可求得，所以可设.由与圆相切得，解得. 当时，将，并整理得，解得，所以.当时，由图形的对称性可知.综上，或. 3.分析（1）先设出点的坐标，根据已知条件和勾股定理求出的轨迹方程；（2）根据点到直线的距离公式列出方程，然后结合（1）得出方程组进行求解.解析：（1）设，圆的半径为.由题设，从而 故点的轨迹方程为.（2）设.又点在双曲线上，从而得由得此时，圆的半径 由得此时，圆的半径 故圆的方程为或4.解析 （I ）圆的方程可化为，所以圆心为，半径为.设，则，.由题设知， 故，即由于点在圆的内部，所以的轨迹方程是.(II)由(I)可知的轨迹是以点为圆心，为半径的圆.由于， 故在线段的垂直平分线上，又在圆上，从而.因为的斜率为，l 90︒1r R ≠l x l x Q 1QP RQMr =()40Q -，():4l y k x =+l M 1=4k =±k =y x =+22143x y +=27880x x +-=1,2x =21187AB x =-=k =187AB =AB =187AB =P P (),P xy P r 22222,3y r x r +=+=222 3.y x +=+P 221y x -=()00,P x y 2=P 221y x -=0022001,1.x y y x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩0022001,1x y y x -=⎧⎪⎨-=⎪⎩000,1.x y =⎧⎨=-⎩P r =0022001,1x y y x -=-⎧⎪⎨-=⎪⎩000,1x y =⎧⎨=⎩P r =P ()2213x y ++=()221 3.x y +-=C ()22416x y +-=()0,4C 4(),M x y (),4CM x y =-()2,2MP x y =--0CM MP ⋅=()()()2420x x y y -+--=()()22132x y -+-=P C M ()()22132x y -+-=M ()1,3N OP OM =O PM P N ON PM ⊥ON 3所以得斜率为，故的方程为.又，到的距离为，，所以的面积为. 评注本题考查轨迹方程的求法，直线与圆的位置关系，在解决直线与圆的相关问题时，利用图形的几何性质可简化运算.5.解析解法一：过作圆的两条切线，切点分别为，若在圆上存在点，使，则，所以，所以，故选A.解法二：过作于，则，所以，即，故选A.评注本题考查直线与圆的位置关系，体现了数形结合的思想方法. 6.解析（1）由与圆交于两点，所以直线的斜率必存在.设直线的斜率为，则直线的方程为.由圆的方程，可得圆心为， 则，即，解得. （2）设，，则，，.把直线代入到中，得.由韦达定理得，. 则，解得.所以直线的方程为. 又圆心到直线的距离，即直线过圆心.所以.l 13-l 1833y x =-+OM OP ==O l 5PM =POM △165M O ,MA MB ,A B O N 45OMN ∠=45OMB OMN ∠∠=...90AMB ∠ 011x -剟O OP MN ⊥P sin 451OP OM =...OM (2)01x 011x -剟l ,M N l k l 1y kx =+C ()2,3C (),1d C l <1<4433k <<()11,M x y ()22,N x y ()11,OM x y =()22,ON x y =121212OM ON xx y y =+=1y kx =+()()22231x y -+-=()()2214470k x k x +-++=12271x x k =+122441kx x k ++=+()()21212121224117111121k k x x y y x x kx kx k++⋅+⋅=⋅+++=+=+1k =l 1y x =+()2,3C l (),0d C l ==l C 2MN =6. (2016全国I 文20)已知过点且斜率为k 的直线l 与圆C ：交于M ，两点.（1）求k 的取值范围；（2）若，其中O 为坐标原点，求.7.（2016新课标Ⅰ文15）（15）设直线y=x +2a 与圆C ：x 2+y 2-2ay -2=0相交于A ,B 两点,若 ,则圆C 的面积为 【答案】4π8.（2014新课标Ⅰ文15）15．直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ，两点，则AB =________．()0,1A ()()22231x y -+-=N 12OM ON ⋅=MN。
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实用文档参考公式：如果事件 A、B互斥，那么P( A B) P( A)P( B)如果事件 A、B相互独立，那么P(AgB)P( A)gP( B)如果事件 A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率P n (k ) C n k p k (1 p)n k (k 0,1,2,⋯n) 球的表面积公式S 4R2其中 R 表示球的半径球的体积公式V 3 R34其中 R表示球的半径普通高等学校招生全国统一考试一、选择题1、复数 1 3i =1 iA 2+IB 2-IC 1+2iD 1- 2i2、已知集合 A＝ {1.3. m }，B＝{1，m} ,A U B＝A, 则 m=A 0 或3B 0 或 3C 1或3D 1 或 33 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为 x=-4 ，则该椭圆的方程为A x2 + y2 =1B x2 + y2 =116 12 12 8C x2 + y2 =1D x2 + y2 =18 4 12 44 已知正四棱柱ABCD- A1B1C1D1中， AB=2， CC= 2 2 E 为 CC的中点，则直线AC与平面1 1 1 BED的距离为A 2B 3C 2D 1（5）已知等差数列{a n} 的前 n 项和为 S n，a5=5， S5=15，则数列的前100项和为(A) 100(B)99(C)99(D)101 101101100100（6）△ ABC中， AB边的高为 CD，若a· b=0， |a|=1 ， |b|=2 ，则(A)（ B）(C)(D)3（7）已知α为第二象限角， sin α＋ sin β =3，则 cos2α =555 5--9(D) 3(A) 3 （B ） 9 (C)（8）已知 F1、 F2 为双曲线 C ： x2 -y 2 =2 的左、右焦点，点 P 在 C 上， |PF1|=|2PF2| ，则 cos ∠ F1PF2=1 334(A) 4（ B ） 5(C)4(D)51（ 9）已知 x=ln π， y=log52 ， z=e 2，则 (A)x ＜ y ＜ z （ B ） z ＜ x ＜y (C)z ＜ y ＜ x (D)y＜ z ＜ x(10) 已知函数 y ＝ x2 -3x+c 的图像与 x 恰有两个公共点，则 c ＝（A ） -2 或 2 （ B ） -9 或 3 （C ） -1 或 1 （ D ）-3 或 1（ 11）将字母 a,a,b,b,c,c, 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，梅列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（ A ） 12 种（ B ） 18 种（ C ） 24 种（ D ） 36 种7（12）正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 在边 AB 上，点 F 在边 BC 上， AE ＝ BF ＝ 3。
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历年高考真题（数学文化）
1. （2009 湖北· 理）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状研究数，如他们研究过图 1 中的 1， 3， 6， 10，，由于这些数能表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图 2 中的 1， 4，9，16这样的数为正方形数，下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）
2. （ 2011 湖北·文）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9 节的竹子，自上而下各节
的容积成等差数列，上面 4 节的容积共 3 升，下面 3 节的容积共 4 升，则第 5 节的容积为
A．1升B ．67
升C ．
47
升D ．
37
升
66 44 33
3. （ 2011 湖北·理）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9 节的竹子，自上而下各节
的容积成等差数列，上面 4 节的容积共 3 升，下面 3 节的容积共4 升，则第 5 节的容积为升.
4.（ 2012? 湖北）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘
之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求
其直径 d 的一个近似公式 d 3 16 = .. 判断，
V .人们还用过一些类似的近似公式．根据π
9
下列近似公式中最精确的一个是（）
A. d 3 16
d 3 2V C. d 3
300
d 3
21 V B. V D. V 9 157 11
5. （ 2013? 湖北）在平面直角坐标系中，若点P（x， y）的坐标 x，y 均为整数，则称点P 为格点．若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记
为 S，其内部的格点数记为 N，边界上的格点数记为 L．例如图中△ ABC是格点三角形，对应的
S=1， N=0， L=4．
（Ⅰ）图中格点四边形 DEFG对应的 S，N， L 分别是 ________；
（Ⅱ）已知格点多边形的面积可表示为S aN bL c 其中a，b，c为常数．若某格点多
边形对应的N=71， L=18，则 S=________（用数值作答）．
6.（ 2014? 湖北）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国
现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高
乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高 h，计算其体积 V 的近似公
式 V
1 L
2
h
，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式2
36
V L2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（）
75
A. 22
B. 25
C. 157
D. 355
7 8 50 113
7.(2015湖北)我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送
来米 1534 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 254 粒内夹谷28 粒，则这批米内夹谷约
为
P
A． 134 石B． 169 石C． 338
石D． 1365 石
F E
8. （ 2015 湖北）《九章算术》中，将底面为长方形且有一
D C
A B
第19题图
条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．
如图，在阳马 P ABCD 中，侧棱 PD
底面 ABCD ，
且 PD CD ，过棱 PC 的中点 E ，作 EF
PB 交 PB 于
点 F ，连接 DE, DF, BD, BE.
（Ⅰ）证明： PB
平面 DEF ．试判断四面体 DBEF 是
否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写
出结论）；若不是，说明理由；
（Ⅱ）若面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为
π
，
3
求 DC
的值． BC
9. （ 2004 上海春季卷）如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第
_____行中从左至
右第 14 与第 15 个数的比为
2 : 3.
10. （ 2013 上海）在 xOy 平面上，将两个半圆弧 ( x － 1) 2＋ y 2＝ 1( x ≥ 1) 和( x － 3) 2＋ y 2＝1( x ≥ 3) 、两条直线 y ＝ 1 和 y ＝－ 1 围成的封闭图形记为
，如图中阴影部分．记 D 绕 y 轴旋转一
D
周而成的几何体为 Ω. 过 (0 ， y )(| y | ≤ 1) 作 Ω的水平截面，所得截面面积为 4 1 y 2 ＋ 8
π. 试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出
Ω的体积值为 ______．
11. （ 2009 福建） . 五位同学围成一圈依序循环报数，规定：
①第一位同学首次报出的数为
1，第二位同学首次报出的数也为 1，之后每位同学所报出的
数都是前两位同学所报出的数之和；
②若报出的数为 3 的倍数，则报该数的同学需拍手一次
已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第100 个数时，甲同学拍手的总次数为
________.
12. （ 2003 全国卷·理）如图，一个地区分为 5 个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区
不得使用同一颜色，现有 4 种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种（以数字作答）
13. （ 2015 全国Ⅰ卷）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何“其意思为：在屋内墙角处堆
放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少已知 1 斛米的体积约为立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（）
A．14 斛B． 22 斛C．36 斛D．66 斛14.（2015 全国Ⅱ卷）下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入a,b 分别为14，18，则输出的 a =（）
A． 0B．2C． 4D．14
15.（2016 全国Ⅱ卷）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序
框图. 执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的 a 为 2， 2， 5，则输出的s=
（A）7（B）12（C）17（D）34。