空间向量典型例题

空间向量典型例题

空间向量与立体几何

一、非坐标系向量法

1．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ ）

A ．13

B ．

23

C ．

3 D ．

23

2．等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C AB D --的余弦值为

3，M N ，分别是AC BC ，的中点，则EM AN ，所成角的余弦值等于 ． 3.已知正四面体ABCD 中，E 、F 分别在AB ，CD 上，且 ， ，则直线DE 和BF 所成角的余弦值为（ ） A 、 B 、

C 、

D 、

4.如图，已知四棱柱ABCD-A 1

B

1

C

1

D

1

的底面ABCD 是菱形且

∠C 1CB=∠C 1CD=∠BCD ， （1）证明：C 1C ⊥ BD ； （2）当

1

CD

CC 的值为多少时，能使 A 1C ⊥ 平面C 1BD ？请给出证明。

13413313

4

-133-AB AE 4

1=CD CF 41=A

D

C

B A

D

C

B

1

1

1

1

二、坐标系向量法

1．如图,在直三棱柱

中,,

, ,点是

的中点

(1)求异面直线与

所成角的余弦值

(2)求平面与

所成二面角的正弦值.

2、如图,直棱柱

中,分别是

的中

点,.

(Ⅰ)证明:平面

;

(Ⅱ)求二面角的正弦值.

3、如图，在三棱锥P -ABC 中，AC =BC =2，∠ACB =90°，AP =BP =AB ，PC ⊥AC .

（Ⅰ）求证：PC ⊥AB ； （Ⅱ）求二面角B -AP -C 的大小.

4．如图，已知点P 在正方体ABC D －A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上，∠PDA=60°。

（1）求DP 与CC 1所成角的大小；（2）求DP 与平面AA 1D 1D 所成角的大小。

B 1

C 1

D 1

A 1

C

D

P

M

A D

C

O

5．如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 四边长为1的 菱形，4

ABC π

∠=

,

OA ABCD ⊥底面, 2OA =,M 为OA 的中点。

（Ⅰ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小； （Ⅱ）求点B 到平面OCD 的距离。

6．如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=o ，AP BP AB ==，

PC AC ⊥．

（Ⅰ）求证：PC AB ⊥；

（Ⅱ）求二面角B AP C --的大小； （Ⅲ）求点C 到平面APB 的距离．

A

C B

D

P

7． 如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 四边长为1的菱形，4

ABC π

∠=

,

OA ABCD ⊥底面, 2OA =,M 为OA 的中点，N 为BC 的中点。

（Ⅰ）证明：直线MN OCD 平面‖； （Ⅱ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小； （Ⅲ）求点B 到平面OCD 的距离。

N

M A B

D

O