2017年高考全国卷一理科数学试题及答案
绝密★启用前
2017年普通高等学校招生全国统一考试
全国卷一理科数学
本试卷5页,23小题,满分150分。考试用时120分钟。
注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型(B )填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需要改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={x |x <1},B ={x |31x <},则 A .{|0}A B x x =< B .A B =R C .{|1}A B x x =>
D .A
B =?
2.如图,形ABCD 的图形来自中国古代的太极图.形切圆中的黑色部分和白色部分关于形的中心成中心对称.在形随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是
A .
14
B .
π8
C .12
D .
π4
3.设有下面四个命题
1p :若复数z 满足1
z
∈R ,则z ∈R ;
2p :若复数z 满足2z ∈R ,则z ∈R ;
3p :若复数12,z z 满足12z z ∈R ,则12z z =;
4p :若复数z ∈R ,则z ∈R .
其中的真命题为 A .13,p p
B .14,p p
C .23,p p
D .24,p p
4.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若4524a a +=,648S =,则{}n a 的公差为
A .1
B .2
C .4
D .8
5.函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减,且为奇函数.若(11)f =-,则满足21()1x f --≤≤的x 的取值围是 A .[2,2]-
B .[1,1]-
C .[0,4]
D .[1,3]
6.621
(1)(1)x x
+
+展开式中2x 的系数为 A .15
B .20
C .30
D .35
7.某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由形和等腰直角三角形组成,形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为
A .10
B .12
C .14
D .16
8.右面程序框图是为了求出满足321000n n ->的最小偶数n ,那么在和
两个空白
框中,可以分别填入
A .1000A >和1n n =+
B .1000A >和2n n =+
C .1000A ≤和1n n =+
D .1000A ≤和2n n =+
9.已知曲线122:cos ,:sin(2)3
C y x C y x π
==+
,则下面结论正确的是 A .把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6
个单位长度,得到曲线2C
B .把1
C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π
12
个单位长度,得到曲线2C
C .把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6
个单位长度,得到曲线2C
D .把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12
个单位长度,得到曲线2C
10.已知F 为抛物线2
:4C y x =的焦点,过F 作两条互相垂直的直线12,l l ,直线1l 与C 交
于A 、B 两点,直线2l 与C 交于D 、E 两点,则|AB |+|DE |的最小值为 A .16
B .14
C .12
D .10
11.设xyz 为正数,且235x y z ==,则
A .235x y z <<
B .523z x y <<
C .352y z x <<
D .325y x z <<
12.几位大学生响应的创业号召,开发了一款应用软件。为激发大家学习数学的兴趣,他
们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是
02,接下来的两项是012,2,再接下来的三项是0122,2,2,依此类推。求满足如下条件
的最小整数:100N N >且该数列的前N 项和为2的整数幂。那么该款软件的激活码是 A .440
B .330
C .220
D .110
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知向量a ,b 的夹角为60°,|a |=2,|b |=1,则| a +2 b |= .
14.设,x y满足约束条件
21
21
x y
x y
x y
+≤
?
?
+≥-
?
?-≤
?
,则32
z x y
=-的最小值为 .
15.已知双曲线
22
22
:1(0,0)
x y
C a b
a b
-=>>的右顶点为A,以A为圆心,b为半径做圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点。若60
MAN
∠=,则C的离心率为________。
16.如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5 cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O。
D、E、F为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰
三角形。沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D、E、F重合,得到三棱锥。当△ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为_______。
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,
每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共60分。
17.(12分)△ABC的角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为
2
3sin
a
A (1)求sin sin
B C;
(2)若6cos cos1,3
B C a
==,求△ABC的周长.
18.(12分)
如图,在四棱锥P-ABCD中,AB//CD,且90
BAP CDP
∠=∠=.
(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA =PD =AB =DC ,90APD ∠=,求二面角A -PB -C 的余弦值. 19.(12分)
为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm ).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N μσ.
(1)假设生产状态正常,记X 表示一天抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件数,求(1)P X ≥及X 的数学期望;
(2)一天抽检零件中,如果出现了尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.
(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性; (ⅱ)下面是检验员在一天抽取的16个零件的尺寸:
经计算得16119.9716i i x x ===∑,0.212s ==≈,其中i x 为抽取的第
i 个零件的尺寸,1,2,,16i =???.
用样本平均数x 作为μ的估计值?μ,用样本标准差s 作为σ的估计值?σ,利用估计值
判断是否需对当天的生产过程进行检查?剔除????(3,3)μ
σμσ-+之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).
附:若随机变量Z 服从正态分布2
(,)N μσ,则(33)0.997 4P Z μσ
μσ-<<+=,
160.997 40.959 2=0.09≈.
20.(12分)
已知椭圆C :22
22=1x y a b +(a >b >0),四点P 1(1,1),P 2(0,1),P 3(–12),P 4(1,
C 上. (1)求C 的方程;
(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ,B 两点。若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1,证明:l 过定点. 21.(12分)
已知函数2()(2)x x f x ae a e x =+--
(1)讨论()f x 的单调性;
(2)若()f x 有两个零点,求a 的取值围.
(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。
22.[选修4―4:坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为3cos ,
sin ,x y θθ=??=?(θ为参数),直线l 的参数方
程为4,
1,x a t t y t =+??=-?
(为参数).
(1)若a =?1,求C 与l 的交点坐标;
(2)若C 上的点到l a . 23.[选修4—5:不等式选讲](10分)
已知函数2
()4,()|1||1|f x x ax g x x x =-++=++- (1)当1a =时,求不等式f (x )≥g (x )的解集;
(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[–1,1],求a 的取值围.