北京市2020年高考文科数学模拟试题及答案(一)
2020年北京市顺义区高考数学一模试卷(文科)含答案解析
2020年北京市顺义区高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知i为虚数单位，计算i（1+i）=（）A．1﹣i B．1+i C．﹣1+i D．﹣1﹣i2．已知集合A={x|x2＜1}，B={x|2x＜1}，则A∩B=（）A．（﹣1，0）B．（﹣1，1）C．（﹣∞，0]D．（﹣∞，1）3．下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A．y=2﹣x B．y=x3+x C．y=﹣D．y=lnx4．点P（2，﹣1）为圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程为（）A．x+y﹣1=0 B．2x+y﹣3=0 C．x﹣y﹣3=0 D．2x﹣y﹣5=05．执行如图所示的程序框图，输出的结果是（）A．15 B．21 C．24 D．356．已知a，b∈R，则“ab≥2”是“a2+b2≥4”成立的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件7．在平面直角坐标系中，若不等式组，（a为常数）表示的区域面积等于3，则a的值为（）A．﹣5 B．﹣2 C．2 D．58．如图，矩形ABCD与矩形ADEF所在的平面互相垂直，将△DEF沿FD翻折，翻折后的点E（记为点P）恰好落在BC上，设AB=1，FA=x（x＞1），AD=y，则以下结论正确的是（）A．当x=2时，y有最小值B．当x=2时，有最大值C．当x=时，y有最小值2 D．当x=时，y有最大值2二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．已知向量=（2，1），+=（1，k），若⊥则实数k等于_______．10．抛物线y2=8x的准线与双曲线C：﹣=1的两条渐近线所围成的三角形面积为_______．11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=2bsinA，则B=_______．12．已知某几何体的三视图如图，正（主）视图中的弧线是半圆，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是_______（单位：cm2）．13．国家新能源汽车补贴政策，刺激了电动汽车的销售，据市场调查发现，某地区今年Q 型电动汽车的销售将以每月10%的增长率增长；R型电动汽车的销售将每月递增20辆，已知该地区今年1月份销售Q型和R型车均为50辆，据此推测该地区今年Q型汽车销售量约为_______辆；这两款车的销售总量约为_______辆．（参考数据：1.111≈2.9，1.112≈3.1，1.113≈3.5）14．设集合{+b|1≤a≤b≤2}中的最大和最小元素分别是M、m，则M=_______，m=_______．三、解答题：本大题共6小题，共80分.15．已知函数f（x）=sin2x﹣2cos2x．x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在[0，]上的最大值与最小值．16．某农业科研实验室，对春季昼夜温差大小与某蔬菜种子发芽多少之间的关系进行研究，分别记录了3月1日至3月6日的每天昼夜温差与实验室每天每100粒种子浸泡后的发芽数，得到如表数据：日期3月1日3月2日3月3日3月4日3月5日3月6日昼夜温差（℃）9 11 13 12 8 10发芽数（粒）23 25 30 26 16 24（1）求此种蔬菜种子在这6天的平均发芽率；（2）从3月1日至3月6日这六天中，按照日期从前往后的顺序任选2天记录发芽的种子数分别为m，n，用（m，n）的形式列出所有基本事件，并求满足的事件A的概率．17．已知等差数列{a n}，a2=3，a5=9．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）令b n=c，其中c为常数，且c＞0，求数列{b n}的前n项和S n．18．如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD是等边三角形，AD=DE=2AB=2，F，G分别为AD，DC的中点．（1）求证：CF⊥平面ABED；（2）求四棱锥C﹣ABED的体积；（3）判断直线AG与平面BCE的位置关系，并加以证明．19．已知函数f（x）=xe x+ax2+2x+1在x=﹣1处取得极值．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数y=f（x）﹣m﹣1在[﹣2，2]上恰有两个不同的零点，求实数m的取值范围．20．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的一个焦点F（2，0），点A（2，）为椭圆上一点．（1）求椭圆E的方程；（2）设M、N为椭圆上两点，若直线AM的斜率与直线AN的斜率互为相反数，求证：直线MN的斜率为定值；（3）在（2）的条件下，△AMN的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．2020年北京市顺义区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知i为虚数单位，计算i（1+i）=（）A．1﹣i B．1+i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据复数的运算和i2=﹣1进行化简即可．【解答】解：i（1+i）=i+i2=﹣1+i，故选C．2．已知集合A={x|x2＜1}，B={x|2x＜1}，则A∩B=（）A．（﹣1，0）B．（﹣1，1）C．（﹣∞，0]D．（﹣∞，1）【考点】交集及其运算．【分析】分别求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式解得：﹣1＜x＜1，即A=（﹣1，1），由B中不等式变形得：2x＜1=20，解得：x＜0，即A=（﹣∞，0），则A∩B=（﹣1，0），故选：A．3．下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A．y=2﹣x B．y=x3+x C．y=﹣D．y=lnx【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【分析】根据奇函数图象关于原点对称，一次函数和y=x3在R上的单调性，反比例函数在定义域上的单调性，以及指数函数和对数函数的图象便可判断每个选项的正误，从而找出正确选项．【解答】解：A．y=2﹣x的图象不关于原点对称，不是奇函数，∴该选项错误；B．y=x3+x的定义域为R，且（﹣x）3+（﹣x）=﹣（x3+x）；∴该函数为定义域R上的奇函数；y=x3和y=x在R上都是增函数，∴y=x3+x在R上为增函数，∴该选项正确；C．反比例函数在定义域上没有单调性，∴该选项错误；D．y=lnx的图象不关于原点对称，不是奇函数，∴该选项错误．故选：B．4．点P（2，﹣1）为圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程为（）A．x+y﹣1=0 B．2x+y﹣3=0 C．x﹣y﹣3=0 D．2x﹣y﹣5=0【考点】直线与圆相交的性质．【分析】由垂径定理，得AB中点与圆心C的连线与AB互相垂直，由此算出AB的斜率k=1，结合直线方程的点斜式列式，即可得到直线AB的方程．【解答】解：∵AB是圆（x﹣1）2+y2=25的弦，圆心为C（1，0）∴设AB的中点是P（2，﹣1）满足AB⊥CP因此，PQ的斜率k===1可得直线PQ的方程是y+1=x﹣2，化简得x﹣y﹣3=0故选：C5．执行如图所示的程序框图，输出的结果是（）A．15 B．21 C．24 D．35【考点】程序框图．【分析】根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦满足条件就退出循环，从而到结论．【解答】解：模拟执行程序，可得S=0，i=1T=3，S=3，i=2不满足i＞4，T=5，S=8，i=3不满足i＞4，T=7，S=15，i=4不满足i＞4，T=9，S=24，i=5满足i＞4，退出循环，输出S的值为24．故选：C．6．已知a，b∈R，则“ab≥2”是“a2+b2≥4”成立的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】ab≥2，可得：a2+b2≥2ab≥4．反之不成立，例如取a=，b=2．即可判断出结论．【解答】解：∵ab≥2，∴a2+b2≥2ab≥4，当且仅当a=b=时取等号．反之不成立，例如取a=，b=2．∴“ab≥2”是“a2+b2≥4”成立的充分不必要条件．故选：A．7．在平面直角坐标系中，若不等式组，（a为常数）表示的区域面积等于3，则a的值为（）A．﹣5 B．﹣2 C．2 D．5【考点】简单线性规划．【分析】本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，根据已知条件中，表示的平面区域的面积等于3，构造关于a的方程，解方程即可得到答案．【解答】解：不等式组，（a为常数）围成的区域如图所示．∵由于x，y的不等式组所表示的平面区域的面积等于3，∴×|AC|×|x A﹣x B|=3，解得|AC|=6，∴C的坐标为（1，6），由于点C在直线ax﹣y+1=0上，则a﹣6+1=0，解得a=5．故选：D．8．如图，矩形ABCD与矩形ADEF所在的平面互相垂直，将△DEF沿FD翻折，翻折后的点E（记为点P）恰好落在BC上，设AB=1，FA=x（x＞1），AD=y，则以下结论正确的是（）A．当x=2时，y有最小值B．当x=2时，有最大值C．当x=时，y有最小值2 D．当x=时，y有最大值2【考点】二面角的平面角及求法．【分析】由已知得FE=FP=AD=BC=y，AB=DC=1，FA=DE=DP=x，从而PC=，AP=，BP=，进而得到y2==，由此利用换元法及二次函数性质能求出结果．【解答】解：∵矩形ABCD与矩形ADEF所在的平面互相垂直，AB=1，FA=x（x＞1），AD=y，∴FE=FP=AD=BC=y，AB=DC=1，FA=DE=DP=x在Rt△DCP中，PC=，在Rt△FAP中，AP=，在Rt△ABP中，BP=，∵BC=BP+PC=+=y整理得y2==，令t=则y2=，则当t=，即x=时，y取最小值．故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．已知向量=（2，1），+=（1，k），若⊥则实数k等于3．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】由条件求出的坐标，由⊥可得•=0，解方程求得k 的值．【解答】解：∵向量=（2，1），+=（1，k），∴=（﹣1，k﹣1）∵⊥，则•=（2，1）•（﹣1，k﹣1）=﹣2+k﹣1=0，∴k=3，故答案为3．10．抛物线y2=8x的准线与双曲线C：﹣=1的两条渐近线所围成的三角形面积为2．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，解得两交点，由三角形的面积公式，计算即可得到所求值．【解答】解：抛物线y2=8x的准线为x=﹣2，双曲线C：﹣=1的两条渐近线为y=±x，可得两交点为（﹣2，），（﹣2，﹣），即有三角形的面积为×2×2=2．故答案为：2．11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=2bsinA，则B=或．【考点】正弦定理．【分析】由已知利用正弦定理可得，sinA=2sinBsinA，从而可求sinB，进而可求B．【解答】解：∵a=2bsinA，由正弦定理可得，sinA=2sinBsinA，∵sinA≠0，∴sinB=，∵0°＜B＜180°．∴B=或．故答案为：或．12．已知某几何体的三视图如图，正（主）视图中的弧线是半圆，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是3π+4（单位：cm2）．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知几何体是半个圆柱，由三视图求出几何元素的长度，由圆柱的表面积公式求出几何体的表面积．【解答】解：根据三视图可知几何体是半个圆柱，且正视图是底面，∴底面圆的半径是1cm，母线长是2cm，∴几何体的表面积S=π×12+π×1×2+2×2=3π+4（cm2），故答案为：3π+4．13．国家新能源汽车补贴政策，刺激了电动汽车的销售，据市场调查发现，某地区今年Q 型电动汽车的销售将以每月10%的增长率增长；R型电动汽车的销售将每月递增20辆，已知该地区今年1月份销售Q型和R型车均为50辆，据此推测该地区今年Q型汽车销售量约为1050辆；这两款车的销售总量约为2970辆．（参考数据：1.111≈2.9，1.112≈3.1，1.113≈3.5）【考点】等差数列与等比数列的综合；对数的运算性质．【分析】由题意可得，今年Q型电动汽车的月销售量与R型电动汽车的月销售量分别构成等比数列和等差数列，然后利用等比数列和等差数列的前n项和求解．【解答】解：由题意可得，今年Q型电动汽车的月销售量构成以50为首项，以1.1为公比的等比数列，则今年Q型电动汽车的销售量为≈1050；R型电动汽车的月销售量构成以50为首项，以20为公差的等差数列，则R型电动汽车的销售量为=1920．∴这两款车的销售总量约为：1050+1920=2970．故答案为：1050；2970．14．设集合{+b|1≤a≤b≤2}中的最大和最小元素分别是M、m，则M=5，m=2．【考点】集合的表示法．【分析】根据级别不等式的性质求出最小值，a取最小值1，b取最大值2时，求出最大值M．【解答】解： +b≥+a≥2，故m=2，a=1，b=2时+b=5，故M=5，故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共80分.15．已知函数f（x）=sin2x﹣2cos2x．x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在[0，]上的最大值与最小值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．【分析】（1）根据两角差的正弦公式得到f（x）=，从而求出f（x）的最小正周期；（2）根据x的范围，求出2x﹣的范围，从而求出f（x）的最大值和最小值即可．【解答】解：（1）由已知f（x）=sin2x﹣2cos2x=，∴f（x）的最小正周期为π；（2）∵，∴，∴当，即x=0时，f min（x）=﹣2，当，即时，．16．某农业科研实验室，对春季昼夜温差大小与某蔬菜种子发芽多少之间的关系进行研究，分别记录了3月1日至3月6日的每天昼夜温差与实验室每天每100粒种子浸泡后的发芽数，得到如表数据：日期3月1日3月2日3月3日3月4日3月5日3月6日昼夜温差（℃）9 11 13 12 8 10发芽数（粒）23 25 30 26 16 24（1）求此种蔬菜种子在这6天的平均发芽率；（2）从3月1日至3月6日这六天中，按照日期从前往后的顺序任选2天记录发芽的种子数分别为m，n，用（m，n）的形式列出所有基本事件，并求满足的事件A的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）根据平均数即可求出，（2）一一列举出所有的基本事件，再找到满足条件的基本事件，根据概率公式计算即可．（1）这6天的平均发芽率为：，【解答】解：∴这6天的平均发芽率为24%，（2）（m，n）的取值情况有事件数为15，设为事件A，则事件A包含的基本事件为（25，30），（25，26）（30，26），∴所求概率．17．已知等差数列{a n}，a2=3，a5=9．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）令b n=c，其中c为常数，且c＞0，求数列{b n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（1）利用等差数列通项公式即可得出．（2）对c分类讨论，利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（1）由已知，解得d=2，a1=1，∴数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣1．（2）由（Ⅰ）知：b n=c=c2n﹣1，当c=1时，b n=1，∴S n=n．当c≠1时，∵，∴{b n}是b1=c，公比为c2的等比数列；∴．18．如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD是等边三角形，AD=DE=2AB=2，F，G分别为AD，DC的中点．（1）求证：CF⊥平面ABED；（2）求四棱锥C﹣ABED的体积；（3）判断直线AG与平面BCE的位置关系，并加以证明．【考点】直线与平面所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）由AB⊥平面ACD得出平面ACD⊥平面ABED，由等边三角形得出CF⊥AD，利用面面垂直的性质得出CF⊥平面ABED；（2）棱锥的底面ABED为直角梯形，高为CF，代入体积公式计算即可；'（3）取CE的中点H，连结GH，BH，则可证明四边形ABHG是平行四边形，于是AG∥BH，得出AG∥平面BCE．【解答】证明：（1）∵F为等腰△ACD的边AD的中点，∴CF⊥AD，∵AB⊥平面ACD，AB⊂平面ABED，∴平面ACD⊥平面ABED，∵平面ACD∩平面ABED=AD，CF⊥AD，．CF⊂平面ACD，∴CF⊥平面ABED．（2）∵△ACD是边长为2的等边三角形，∴CF=．==3，∵S梯形ABED∴．（3）结论：直线AG∥平面BCE．证明：取CE的中点H，连结GH，BH，∵G是CD的中点，∴GH∥DE，且GH==1，∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴GH∥AB，又GH=AB=1，∴四边形ABHG为平行四边形，∴AG∥BH，又AG⊄平面BCE，BH⊂平面BCE，∴AG∥平面BCE．19．已知函数f（x）=xe x+ax2+2x+1在x=﹣1处取得极值．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数y=f（x）﹣m﹣1在[﹣2，2]上恰有两个不同的零点，求实数m的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，得到关于a的方程，求出a，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）问题等价于xe x+x2+2x=m在[﹣2，2]上恰有两个不同的实根．令g（x）=xe x+x2+2x，求出函数的单调性求出g（x）的最小值，从而求出m的范围即可．【解答】解：（1）f'（x）=e x+xe x+2ax+2，∵f（x）在x=1处取得极值，∴f'（﹣1）=0，解得a=1．经检验a=1适合，∴f（x）=xe x+x2+2x+1，f'（x）=（x+1）（e x+2），当x∈（﹣∞，﹣1）时，f'（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，﹣1）递减；当x∈（﹣1+∞）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（﹣1，+∞）递增．（2）函数y=f（x）﹣m﹣1在[﹣2，2]上恰有两个不同的零点，等价于xe x+x2+2x﹣m=0在[﹣2，2]上恰有两个不同的实根，等价于xe x+x2+2x=m在[﹣2，2]上恰有两个不同的实根．令g（x）=xe x+x2+2x，∴g'（x）=（x+1）（e x+2），由（1）知g（x）在（﹣∞，﹣1）递减；在（﹣1，+∞）递增．g（x）在[﹣2，2]上的极小值也是最小值；．又，g（2）=8+2e2＞g（﹣2），∴，即．20．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的一个焦点F（2，0），点A（2，）为椭圆上一点．（1）求椭圆E的方程；（2）设M、N为椭圆上两点，若直线AM的斜率与直线AN的斜率互为相反数，求证：直线MN的斜率为定值；（3）在（2）的条件下，△AMN的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意可得c=2，由A满足椭圆方程，结合a，b，c的关系，可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），直线AM的斜率为k，则直线AN的斜率为﹣k，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，结合两点的斜率公式计算即可得到所求定值；（3）不妨设过M，N的直线方程为：，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及点到直线的距离公式，由点到直线的距离公式，结合二次函数的最值求法，即可得到所求最大值．【解答】解：（1）由已知c=2，∵在椭圆上，∴，又a2=b2+c2，解得b2=4，a2=8，可得椭圆方程为+=1；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），直线AM的斜率为k，则直线AN的斜率为﹣k，∴由，消去y得（1+2k2）x2﹣（8k2﹣4k）x+8k2﹣8k﹣4=0，由曲线E与直线l只有两个公共点，可得△＞0，且x1，2是方程的二根，∴，∴，∴，同理，∴为定值．（3）不妨设过M，N的直线方程为：由，消去y得，由△＞0，解得m2＜8，，，计算得：点到直线MN的距离，∴=∴当m2=4，即m=±2时，．2020年9月8日。
2020年高考模拟北京市延庆区高考数学第一次模拟测试试卷 含解析
2020年高考数学第一次模拟测试试卷一、选择题1．已知复数z＝a2i﹣2a﹣i是正实数，则实数a的值为（）A．0B．1C．﹣1D．±12．已知向量＝（1，k），＝（k，2），若与方向相同，则k等于（）A．1B．±C．﹣D．3．下列函数中最小正周期为π的函数是（）A．y＝sin x B．y＝cos x C．y＝tan2x D．y＝|sin x|4．下列函数中，是奇函数且在其定义域上是增函数的是（）A．y＝B．y＝tan xC．y＝e x﹣e﹣x D．y＝5．某四棱锥的三视图所示，已知该四棱锥的体积为，则它的表面积为（）A．8B．12C．4+4D．206．（2x2+）5的展开式中，x4的系数是（）A．160B．80C．50D．107．在平面直角坐标系xOy中，将点A（1，2）绕原点O逆时针旋转90°到点B，设直线OB与x轴正半轴所成的最小正角为α，则cosα等于（）A．﹣B．﹣C．D．﹣8．已知直线a，b，平面α，β，α∩β＝b，a∥α，a⊥b，那么“a⊥β”是“α⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．某企业生产A，B两种型号的产品，每年的产量分别为10万支和40万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的A，B两种产品的年产量的增长率分别为50%和20%，那么至少经过多少年后，A产品的年产量会超过B产品的年产量（取lg2＝0.3010）（）A．6年B．7年C．8年D．9年10．已知双曲线C：﹣＝1的右焦点为F，过原点O的直线与双曲线C交于A，B 两点，且∠AFB＝60°，则△BOF的面积为（）A．B．C．D．二、填空题11．已知集合M＝{x|＞﹣1}，且﹣3∈M，则k的取值范围是12．经过点M（﹣2，0）且与圆x2+y2＝1相切的直线l的方程是．13．已知函数f（x）＝sin2x+sin2x﹣cos2x，则f（）＝14．某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有种；②这三天售出的商品最少有种．15．在△ABC中，AB＝10，D是BC边的中点．若AC＝6，∠A＝60°，则AD的长等于；若∠CAD＝45°，AC＝6，则△ABC的面积等于．三、解答题16．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，AB＝4，PD⊥PC，O是CD的中点，PO⊥平面ABCD，E是棱PC上的一点，PA∥平面BDE．（Ⅰ）求证：E是PC的中点；（Ⅱ）求证：PD和BE所成角等于90°．17．已知数列{a n}是等差数列，S n是{a n}的前n项和，a10＝16，．（Ⅰ）判断2024是否是数列{a n}中的项，并说明理由；（Ⅱ）求S n的最值．从①a8＝10，②a8＝8，③a8＝20中任选一个，补充在上面的问题中并作答．18．A，B，C三个班共有120名学生，为调查他们的上网情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的上网时长，数据如表（单位：小时）：A班12 13 13 18 20 21B班11 11.5 12 13 13 17.5 20C班11 13.5 15 16 16.5 19 21（Ⅰ）试估计A班的学生人数；（Ⅱ）从这120名学生中任选1名学生，估计这名学生一周上网时长超过15小时的概率；（Ⅲ）从A班抽出的6名学生中随机选取2人，从B班抽出的7名学生中随机选取1人，求这3人中恰有2人一周上网时长超过15小时的概率．19．已知函数f（x）＝，其中a≠0．（Ⅰ）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在原点处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）在[0，+∞）上存在最大值和最小值，求a的取值范围．20．已知椭圆G：+＝1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣，0），且经过点C（﹣），A，B分别是G的右顶点和上顶点，过原点O的直线l与G交于P，Q两点（点Q在第一象限），且与线段AB交于点M．（Ⅰ）求椭圆G的标准方程；（Ⅱ）若|PQ|＝3，求直线l的方程；（Ⅲ）若△BOP的面积是△BMQ的面积的4倍，求直线l的方程．21．在数列{a n}中，若a n∈N*，且a n+1＝（n＝1，2，3，…），则称{a n}为“J数列”．设{a n}为“J数列”，记{a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）若a1＝10，求S3n的值；（Ⅱ）若S3＝17，求a1的值；（Ⅲ）证明：{a n}中总有一项为1或3．参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知复数z＝a2i﹣2a﹣i是正实数，则实数a的值为（）A．0B．1C．﹣1D．±1【分析】结合已知及复数的概念进行求解即可．解：因为z＝a2i﹣2a﹣i是正实数，所以，解可得a＝﹣1．故选：C．2．已知向量＝（1，k），＝（k，2），若与方向相同，则k等于（）A．1B．±C．﹣D．【分析】根据平面向量的共线定理与坐标表示，列方程求出k的值．解：向量＝（1，k），＝（k，2），若与方向相同，则，解得k＝．故选：D．3．下列函数中最小正周期为π的函数是（）A．y＝sin x B．y＝cos x C．y＝tan2x D．y＝|sin x|【分析】找出选项中的函数解析式中ω的值，代入周期公式，可求出选项中函数的最小正周期．解：A、函数y＝sin x的最小正周期T＝2π，不满足条件；B、函数y＝cos x的最小正周期为T＝＝4π，不满足条件；C、y＝tan2x的最小正周期为T＝，不满足条件；D、y＝|sin x|的周期T＝π，满足条件．故选：D．4．下列函数中，是奇函数且在其定义域上是增函数的是（）A．y＝B．y＝tan xC．y＝e x﹣e﹣x D．y＝【分析】根据函数的图象和性质，判断即可．解：A奇函数，不是增函数；B奇函数，在每个段上时增函数，整个定义域不是增函数；C奇函数，在R上递增；D不是奇函数，f（0）＝2≠0，故选：C．5．某四棱锥的三视图所示，已知该四棱锥的体积为，则它的表面积为（）A．8B．12C．4+4D．20【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的表面积．解：根据几何体的三视图转换为几何体为：如图所示：设四棱锥体的高为h，由于该几何体的体积为，所以该几何体的侧面的高为，所以几何体的表面积为S＝，故选：B．6．（2x2+）5的展开式中，x4的系数是（）A．160B．80C．50D．10【分析】利用通项公式即可得出．解：通项公式T r+1＝＝2r x3r﹣5，令3r﹣5＝4，解得r＝3．∴的展开式中x4的系数＝＝80．故选：B．7．在平面直角坐标系xOy中，将点A（1，2）绕原点O逆时针旋转90°到点B，设直线OB与x轴正半轴所成的最小正角为α，则cosα等于（）A．﹣B．﹣C．D．﹣【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，复数乘法的几何意义，诱导公式，求出cosα的值．解：在平面直角坐标系xOy中，将点A（1，2）绕原点O逆时针旋转90°到点B，设点B（x，y），则x+yi＝（1+2i）•（cos90°+i sin90°），即x+yi＝﹣2+i，∴x＝﹣2，y＝1，即B（﹣2，1）．由题意，sin（α﹣90°）＝＝﹣cosα，∴cosα＝﹣＝﹣，故选：A．8．已知直线a，b，平面α，β，α∩β＝b，a∥α，a⊥b，那么“a⊥β”是“α⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】过直线a作平面γ，交平面α于直线a'，∵a∥α，∴a∥a'，∴a'⊥b，由a⊥β可推出α⊥β，由α⊥β可推出a⊥β，故“a⊥β”是“α⊥β”的充要条件．解：若α⊥β，过直线a作平面γ，交平面α于直线a'，∵a∥α，∴a∥a'，又a⊥β，∴a'⊥β，又∵a'⊆α，∴α⊥β，若α⊥β，过直线a作平面γ，交平面α于直线a'，∵a∥α，∴a∥a'，∵a⊥b，∴a'⊥b，又∵α⊥β，α∩β＝b，∴a'⊥β，∴a⊥β，故“a⊥β”是“α⊥β”的充要条件，故选：C．9．某企业生产A，B两种型号的产品，每年的产量分别为10万支和40万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的A，B两种产品的年产量的增长率分别为50%和20%，那么至少经过多少年后，A产品的年产量会超过B产品的年产量（取lg2＝0.3010）（）A．6年B．7年C．8年D．9年【分析】设至少经过n年后，A产品的年产量会超过B产品的年产量，则10×（1+50%）n＞40×（1+20%）n，化为：＞4，取对数化简即可得出．解：设至少经过n年后，A产品的年产量会超过B产品的年产量，则10×（1+50%）n ＞40×（1+20%）n，化为：＞4，取对数可得：n＞＝＝6．∴至少经过7年后，A产品的年产量会超过B产品的年产量．故选：B．10．已知双曲线C：﹣＝1的右焦点为F，过原点O的直线与双曲线C交于A，B 两点，且∠AFB＝60°，则△BOF的面积为（）A．B．C．D．【分析】根据双曲线的图象和性质，构造平行四边形AFBF1，结合余弦定理以及三角形的面积进行转化求解即可．解：由双曲线的方程知a＝4，b＝3，c＝5，设双曲线的左焦点为F1，连接AF1，BF1，则四边形AFBF1是平行四边形，∵∠AFB＝60°，∴∠F1AF＝120°，则S△BOF＝S△F1BF＝S△F1AF，由余弦定理得100＝AF12+AF2﹣2AF•AF1cos120°＝（AF1﹣AF）2+3AF1•AF＝64+3AF1•AF，则3AF1•AF＝100﹣64＝36，即AF1•AF＝12，则S△F1AF＝AF1•AF sin120°＝＝3，则S△BOF＝S△F1AF＝，故选：A．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知集合M＝{x|＞﹣1}，且﹣3∈M，则k的取值范围是（﹣∞，3）【分析】先转化分式不等式为x（x+k）＞0；再把﹣3代入即可求得k的取值范围．解：因为＞﹣1⇒⇒x（x+k）＞0；∵﹣3∈M，∴（﹣3）（﹣3+k）＞0⇒k＜3；∴k的取值范围是：（﹣∞，3）；故答案为：（﹣∞，3）．12．经过点M（﹣2，0）且与圆x2+y2＝1相切的直线l的方程是y＝（x+2）．【分析】当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝﹣2，不成立；当直线的斜率存在时，设直线方程为kx﹣y+2k＝0，由题意，得＝1，由此能求出直线方程．解：当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝﹣2，不成立；当直线的斜率存在时，设直线方程为y＝k（x+2），即kx﹣y+2k＝0，由题意，得＝1，解得k＝．∴直线方程为y＝（x+2）．故答案为：y＝（x+2）．13．已知函数f（x）＝sin2x+sin2x﹣cos2x，则f（）＝【分析】推导出函数f（x）＝sin2x+sin2x﹣cos2x＝sin（2x﹣），由此能求出f（）．解：∵函数f（x）＝sin2x+sin2x﹣cos2x＝sin2x﹣cos2x＝sin（2x﹣），∴f（）＝sin（）＝（sin cos﹣cos）＝（﹣）＝．故答案为：．14．某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有16种；②这三天售出的商品最少有29种．【分析】①由题意画出图形得答案；②求出前两天所受商品的种数，由特殊情况得到三天售出的商品最少种数．解：①设第一天售出商品的种类集为A，第二天售出商品的种类集为B，第三天售出商品的种类集为C，如图，则第一天售出但第二天未售出的商品有19﹣3＝16种；②由①知，前两天售出的商品种类为19+13﹣3＝29种，第三天售出但第二天未售出的商品有18﹣4＝14种，当这14种商品第一天售出但第二天未售出的16种商品中时，即第三天没有售出前两天的商品时，这三天售出的商品种类最少为29种．故答案为：①16；②29．15．在△ABC中，AB＝10，D是BC边的中点．若AC＝6，∠A＝60°，则AD的长等于7；若∠CAD＝45°，AC＝6，则△ABC的面积等于4．【分析】由题意可知，，然后结合向量数量积的定义及性质即可求解AD；结合已知及正弦定理可求sin∠BAD，然后结合和角正弦公式及三角形的面积公式可求．解：∵AB＝10，D是BC边的中点．若AC＝6，∠A＝60°，由题意可知，，∴＝＝49，所以AD＝7；∵AB＝10，D是BC边的中点，∠CAD＝45°，AC＝6，设BD＝DC＝x，∠BAD＝α，∠ADB＝β，△ABD中，由正弦定理可得，，△ACD中，由正弦定理可得，，联立可得，sin，cos，所以sin∠BAC＝sin（）＝＝＝42，故答案为：7，42．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，AB＝4，PD⊥PC，O是CD的中点，PO⊥平面ABCD，E是棱PC上的一点，PA∥平面BDE．（Ⅰ）求证：E是PC的中点；（Ⅱ）求证：PD和BE所成角等于90°．【分析】（Ⅰ）连结AC，交BD于F，连结EF，则F是AC中点，由PA∥平面BDE，得EF∥PA，从而E是PC的中点．（Ⅱ）以O为原点，过O作DA的平行线为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明PD和BE所成角等于90°．【解答】证明：（Ⅰ）连结AC，交BD于F，连结EF，∵四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，∴F是AC中点，∵PA∥平面BDE，∴EF∥PA，∴E是PC的中点．（Ⅱ）∵四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，AB＝4，PD⊥PC，O是CD的中点，PO⊥平面ABCD，∴以O为原点，过O作DA的平行线为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，P（0，0，2），D（0，﹣2，0），B（4，2，0），E（0，1，1），＝（0，﹣2，﹣2），＝（﹣4，﹣1，1），∵＝0+2﹣2＝0，∴PD⊥BE，∴PD和BE所成角等于90°．17．已知数列{a n}是等差数列，S n是{a n}的前n项和，a10＝16，①a8＝10．（Ⅰ）判断2024是否是数列{a n}中的项，并说明理由；（Ⅱ）求S n的最值．从①a8＝10，②a8＝8，③a8＝20中任选一个，补充在上面的问题中并作答．【分析】（I）选择①a8＝10．设等差数列{a n}的公差为d，利用通项公式即可得出．（Ⅱ）由3n﹣14≤0，可得n≤4+．即可得出S n有最小值．解：（I）选择①a8＝10．设等差数列{a n}的公差为d，又∵a10＝16，∴d＝＝3．∴a1+7×3＝10，解得a1＝﹣11．∴a n＝﹣11+3（n﹣1）＝3n﹣14，令2024＝3n﹣11，解得n＝678+不是整数，∴2024不是数列{a n}中的项．（Ⅱ）由3n﹣14≤0，可得n≤4+．∴S n有最小值．为S4＝＝﹣26．故选：①a8＝10．18．A，B，C三个班共有120名学生，为调查他们的上网情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的上网时长，数据如表（单位：小时）：A班12 13 13 18 20 21B班11 11.5 12 13 13 17.5 20C班11 13.5 15 16 16.5 19 21（Ⅰ）试估计A班的学生人数；（Ⅱ）从这120名学生中任选1名学生，估计这名学生一周上网时长超过15小时的概率；（Ⅲ）从A班抽出的6名学生中随机选取2人，从B班抽出的7名学生中随机选取1人，求这3人中恰有2人一周上网时长超过15小时的概率．【分析】先根据已知求得A，B，C三个班抽取的人数分别为6，7，7，共有20人；（Ⅰ）直接根据其所占比例求解即可；（Ⅱ）求出表中网时长超过15小时的人数所占比例即可求解结论；（Ⅲ）先求出基本事件的总数，再求出符合条件的个数，相比即可求解．解：由题可得：A，B，C三个班抽取的人数分别为6，7，7，共有20人；（Ⅰ）由题可得：A班的人数估计为：120×＝36人；（Ⅱ）抽取的20人中，网时长超过15小时的有：3+2+4＝9；∴从这120名学生中任选1名学生，这名学生一周上网时长超过15小时的概率为：；（Ⅲ）从A班抽出的6名学生中随机选取2人，从B班抽出的7名学生中随机选取1人，共有抽法：×＝105种；这3人中恰有2人一周上网时长超过15小时的抽法有：①均来自A班，有×＝15种；②一个来自A班，一个来自B班，有××＝18种；故共有：15+18＝33种；∴这3人中恰有2人一周上网时长超过15小时的概率为：＝．19．已知函数f（x）＝，其中a≠0．（Ⅰ）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在原点处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）在[0，+∞）上存在最大值和最小值，求a的取值范围．【分析】（I）把a＝1代入后对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程；（II）结合导数对a进行分类讨论，确定函数的单调性，可求函数取得最值的条件，然后可求a的范围．解：（I）a＝1时，f（x）＝，，由导数的几何意义可知，k＝f′（0）＝2，故曲线y＝f（x）在原点处的切线方程为y＝2x；（II）因为，a≠0①a＞0时，令f′（x）＜0可得，x＞或x＜﹣a，此时函数单调递减，令f′（x）＜0可得，﹣a＜x＜，此时函数单调递增，故函数在[0，）上单调递增，在[）上单调递减，故函数在x＝处取得最大值，又当x→+∞，f（x）＞0，若函数取得最小值，则只有在x＝0处取得，此时f（0）＝a2﹣1≤0，且a＞0，解可得，0＜a≤1，②当a＜0时，同①可得，函数在（0，﹣a）上单调递减，在（﹣a，+∞）上单调递增，此时函数在x＝﹣a处取得最小值，又当x→+∞，f（x）＜0，若使得函数f（x）取得最大值，则f（0）＝a2﹣1≥0且a＜0，解可得，a≤﹣1，综上可得，a的范围{a|a≤﹣1或0＜a≤1}．20．已知椭圆G：+＝1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣，0），且经过点C（﹣），A，B分别是G的右顶点和上顶点，过原点O的直线l与G交于P，Q两点（点Q在第一象限），且与线段AB交于点M．（Ⅰ）求椭圆G的标准方程；（Ⅱ）若|PQ|＝3，求直线l的方程；（Ⅲ）若△BOP的面积是△BMQ的面积的4倍，求直线l的方程．【分析】（Ⅰ）由题意可得c＝，求得椭圆的焦点，运用椭圆的定义可得a，进而得到b，即有椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l的方程为y＝kx，联立椭圆方程求得交点的横坐标，运用弦长公式可得|PQ|，解方程可得k，进而得到所求直线方程；（Ⅲ）由椭圆的性质和条件可得结合三角形的面积公式可得|OQ|＝4|MQ|，即＝4，运用向量共线定理的坐标表示，求得M，Q的坐标间的关系，设直线l的方程为y＝nx，与直线AB：x+y＝2联立求得M的坐标，将Q的坐标代入椭圆方程，解方程可得斜率，进而得到所求直线方程．解：（Ⅰ）由题意可得半焦距c＝，椭圆的焦点坐标为（﹣，0），（，0），由椭圆的定义可得2a＝+1＝4，即a＝2，则b＝＝，即椭圆的方程为+＝1；（Ⅱ）设直线l的方程为y＝kx，联立椭圆方程可得x＝±，则|PQ|＝•＝3，解得k＝±，则直线l的方程为y＝±x；（Ⅲ）由|OP|＝|OQ|，△BOP的面积是△BMQ的面积的4倍，可得S△OBQ＝4S△BMQ，即有|OQ|＝4|MQ|，即＝4，则x Q＝4（x Q﹣x M），y Q＝4（y Q﹣y M），可得x Q＝x M，y Q＝y M，设直线l的方程为y＝nx，与直线AB：x+y＝2，可得M（，），即有Q（，），代入椭圆方程可得+2•＝4，解得n＝，则直线l的方程为y＝x．21．在数列{a n}中，若a n∈N*，且a n+1＝（n＝1，2，3，…），则称{a n}为“J数列”．设{a n}为“J数列”，记{a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）若a1＝10，求S3n的值；（Ⅱ）若S3＝17，求a1的值；（Ⅲ）证明：{a n}中总有一项为1或3．【分析】（Ⅰ）由已知求得数列的前几项，可知数列{a n}自第四项起以3为周期周期出现，分类写出S3n的值；（Ⅱ）由S3＝a1+a2+a3＝17，分a1为偶数和a1为奇数两类列式求解a1的值；（Ⅲ）直接利用数学归纳法（Ⅱ）证明{a n}中总有一项为1或3．【解答】（Ⅰ）解：由a1＝10，a n+1＝（n＝1，2，3，…），得a2＝5，a3＝8，a4＝4，a5＝2，a6＝1，a7＝4，…，由上可知，数列{a n}自第四项起以3为周期周期出现，当n＝1时，S3n＝23；当n≥2时，S3n＝23+3（n﹣1）＝3n+20．∴；（Ⅱ）解：S3＝a1+a2+a3＝17，若a1为偶数，则，若a2为偶数，则，此时，（舍）；若a2为奇数，则，此时S3＝2a1+3＝17，a1＝7（舍）；若a1为奇数，则a2＝a1+3为偶数，则，此时，a1＝5；综上，a1的值为5；（Ⅲ）证明：利用数学归纳法（Ⅱ）证明如下：（1）当a1＝1，2，3时，对应的数列分别为：1，4，2，1，4，2，1，…2，1，4，2，1，4，2，…3，6，3，6，3，6，3，…可知当a1＝1，2，3时，命题为真；（2）假设当a1＜k（k≥4）命题成立，下面证明a1＝k时命题成立．若k为偶数，则＜k，由归纳假设，自a2以后，必然出现1或3，命题为真；若k为奇数，则a2＝k+3，＜k（k≥4），由归纳假设，自a3以后，必然出现1或3，命题为真．综（1）（2）可知，：{a n}中总有一项为1或3．。
2020年北京市高考文科科数学仿真模拟试题(附答案)
5
在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为
( t 为参数 ) ，以该直角坐标系的
原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C的极坐标方程为 （ 1）求直线 l 的普通方程和曲线 C的直角坐标方程； （ 2）求直线 l 被曲线 C截得的弦长是多少 ?
23． [选修 4— 5：不等式选讲 ]（ 10 分）
a＝ 6，
或 b＝ 7， b＝ 2 7，
又因为△ ABC是锐角三角形， 所以 a2<c2＋ b2，所以 a＝ 3，
1
1
3 33
所以 S△ ＝ ABC 2acsin ∠ ABC＝ 2× 2× 3× 2 ＝ 2 .
18. （ 1）证明：∵
分别为
的中点，
则 ∥ . 又∵
平面 ，
平面 ，
∴ ∥平面 .
在
中，
所以由正弦定理得 (2sin C－ sin A)cos B－sin Bcos A＝ 0， 所以 2sin Ccos B－ sin( A＋ B) ＝ 0，
因为 A＋ B＝ π－ C且 sin C≠ 0，
1 所以 2sin Ccos B－ sin C＝ 0，即 cos B＝2.
π 因为 B∈ (0 ， π) ，所以 B＝ 3 .
已知函数
．
（ 1）当
时，求不等式
解集；
（ 2）设不等式
的解集为 ，若
，求 的取值范围．
6
参考答案
一、选择题
1.D 2.C 3.A 4.C 5.D 6.B 7.B 8.C 9.A 10.D 11.A 12.A
二、填空题
13. 11 14. 4 15. 6 16. 三、解答题
①②
17. 解： (1) 因为 (2 c－ a)cos B－ bcos A＝ 0，
【精校】2020年北京市朝阳区高考一模试卷数学文
2020年北京市朝阳区高考一模试卷数学文一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知全集为实数集R ，集合A={x|x 2-3x ＜0}，B={x|log 2x ＞0}，则(C R A)∩B=( ) A.(-∞，0]∪(1，+∞) B.(0，1] C.[3，+∞) D.∅解析：A={x|x 2-3x ＜0}={x|x(x-3)＜0}={x|0＜x ＜3}， B={x|log 2x ＞0}={x|log 2x ＞log 21}={x|x ＞1}； ∴C R A={x|x ≤0，或x ≥3}；∴(C R A)∩B={x|x ≥3}=[3，+∞). 答案：C2.在复平面内，复数z=1ii+所对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限解析：∵复数()()()1111111222i i i i i i i i -+===+++-，∴复数对应的点的坐标是(12，12)，∴复数1ii+在复平面内对应的点位于第一象限. 答案：A3.已知平面向量()121()a x b x ==-r r ，，，，且a b r rP ，则实数x 的值是( )A.-1B.1C.2D.-1或2解析：根据题意，向量()121()a x b x ==-r r ，，，，若a b r rP ，则有x(x-1)=2，即x 2-x-2=0，所以x=-1或x=2. 答案：D4.已知直线m⊥平面α，则“直线n⊥m”是“n∥α”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：当m⊥α时，若m⊥n，则n∥α或n 平面α，则充分性不成立，若n∥α，则m⊥n成立，即必要性成立，则“m⊥n”是“n∥α”的必要不充分条件.答案：B5.已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，若|AB|=8，则线段AB的中点M到直线x+1=0的距离为( )A.2B.4C.8D.16解析：如图，抛物线y2=4x的焦点为F(1，0)，准线为x=-1，即x+1=0.分别过A，B作准线的垂线，垂足为C，D，则有|AB|=|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=8.过AB的中点M作准线的垂线，垂足为N，则MN为直角梯形ABDC中位线，则|MN|=12(|AC|+|BD|)=4，即M到准线x=-1的距离为4.答案：B6.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于( )A.4 3B.23 C.12 D.13解析：抠点法：在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中抠点， 1)由正视图可知：C 1D 1上没有点； 2)由侧视图可知：B 1C 1上没有点； 3)由俯视图可知：CC 1上没有点；4)由正(俯)视图可知：D ，E 处有点，由虚线可知B ，F 处有点，A 点排除. 由上述可还原出四棱锥A 1-BEDF ，如图所示，S 四边形BEDF =1×1=1，1111133A BEDF V -=⨯⨯=.答案：D7.函数f(x)=2sin1212xx xπ-+的零点个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.4解析：f(x)=()222sin1221x x x x x π--+，定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，令f(x)=0可得2xsin2πx=x 2+1，设f 1(x)=2xsin 2πx ，f 2(x)=x 2+1， 画出f 1(x)，f 2(x)在(0，+∞)上的大致图象如下：显然f 1(1)=f 2(1)=2，即f 1(x)与f 2(x)交于点A(1，2)， 又∵f ′1(x)=πx ·cos2πx+2sin 2πx ，f ′2(x)=2x ， ∴f ′1(1)=f ′2(1)=2，即点A 为公切点，∴点A 为(0，+∞)内唯一交点，又∵f 1(x)，f 2(x)均为偶函数，∴点B(-1，2)也为公切点， ∴f 1(x)，f 2(x)有两个公共点，即f(x)有两个零点. 答案：C8.某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比赛，该项目只设置一个一等奖.在评奖揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下： 小张说：“甲或乙团队获得一等奖”； 小王说：“丁团队获得一等奖”； 小李说：“乙、丙两个团队均未获得一等奖”； 小赵说：“甲团队获得一等奖”.若这四位同学中只有两位预测结果是对的，则获得一等奖的团队是( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁解析：(1)若甲获得一等奖，则小张、小李、小赵的预测都正确，与题意不符； (2)若乙获得一等奖，则只有小张的预测正确，与题意不符； (3)若丙获得一等奖，则四人的预测都错误，与题意不符；(4)若丁获得一等奖，则小王、小李的预测正确，小张、小赵的预测错误，符合题意. 答案：D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9.执行如图所示的程序框图，若输入m=5，则输出k 的值为 .解析：模拟程序的运行，可得：第四次时，65＞50，满足判断框内的条件，退出循环，输出k的值为4. 答案：410.双曲线24x-y2=1的焦距为；渐近线方程为 .解析：由题知，a2=4，b2=1，故c2=a2+b2=5，∴双曲线的焦距为：渐近线方程为：12by x xa=±=±．答案：；y=±12x11.已知圆C ：x 2+y 2-2x-4y+1=0内有一点P(2，1)，经过点P 的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，当弦AB 恰被点P 平分时，直线l 的方程为 .解析：根据直线与圆的位置关系.圆C ：(x-1)2+(y-2)2=4， 弦AB 被P 平分，故PC ⊥AB ，由P(2，1)，C(1，2)，得k pc ·k l =-1，即：k l =1，所以直线方程为y=x-1. 答案：y=x-112.已知实数x ，y 满足10101x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩，，，若z=mx+y(m ＞0)取得最小值的最优解有无数多个，则m 的值为 .解析：作出不等式组对应的平面区域如图：(阴影部分).由z=mx+y(m ＞0)得y=-mx+z ，∵m ＞0，∴目标函数的斜率k=-m ＜0. 平移直线y=-mx+z ，由图象可知当直线y=-mx+z 和直线x+y+1=0平行时，此时目标函数取得最小值时最优解有无数多个，∴m=1. 答案：113.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜2π)的部分图象如图所示，则φ= ；ω= .解析：由图可知，A=2，根据f(x)的图象经过点(0，-1)，可得2sin φ=-1，sin φ=-12，∴φ=-6π. 根据五点法作图可得4.262(3)πππωω⨯+-=∴=， 答案：463π-；14.许多建筑物的地板是用正多边形的砖板铺成的(可以是多种正多边形).如果要求用这些正多边形的砖板铺满地面，在地面某一点(不在边界上)有k 块砖板拼在一起，则k 的所有可能取值为 .解析：由题意知只需这k 块砖板的角度之和为360°即可. 显然k ≥3，因为任意正多边形内角小于180°； 且k ≤6，因为角度最小的正多边形为正三角形，36060︒︒=6. 当k=3时，3个正六边形满足题意； 当k=4时，4个正方形满足题意；当k=5时，3个正三角形与2个正方形满足题意； 当k=6时，6个正三角形满足题意. 综上，所以k 可能为3，4，5，6. 答案：3，4，5，6 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n =2a n -1(n ∈N *). (Ⅰ)求a 1，a 2，a 3的值；(Ⅱ)若数列{b n }满足b 1=2，b n+1=a n +b n ，求数列{b n }的通项公式. 解析：(Ⅰ)直接利用递推关系式求出数列的项.(Ⅱ)利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步求出数列的和. 答案：(Ⅰ)由题知S 1=a 1=2a 1-1，得a 1=1，S 2=2a 2-1=a 1+a 2， 得a 2=a 1+1=2，S 3=2a 3-1=a 1+a 2+a 3，得a 3=a 1+a 2+1=4， (Ⅱ)当n ≥2时，S n -1=2a n-1-1，S n =2a n-1，所以a n =S n -S n -1=2a n -1-(2a n-1-1)，得a n =2a n -2a n -1，即a n =2a n -1，{a n }是以a 1=1为首项，2为公比的等比数列，则an=2n-1. 当n ≥2时，b n =b 1+(b 2-b 1)+…+(b n -b n-1)=2+a 1+a 2+…+a n-1=()1112212n a --+-=2n-1+1，经验证：b 1=2=21-1+1，综上：b n =2n-1+1.16.在△ABC 中，已知sinA=5，b=2acosA. (Ⅰ)若ac=5，求△ABC 的面积；(Ⅱ)若B为锐角，求sinC的值.解析：(Ⅰ)根据题意，由正弦定理分析可得sinB=2sinAcosA，计算可得sinB的值，由三角形面积公式计算可得答案；(Ⅱ)根据题意，sinC=sin(π-A-B)=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，代入数据计算可得答案.答案：(Ⅰ)根据题意，若b=2acosA，由正弦定理得sinsina Ab B=，则sinB=2sinAcosA，cosA=b2a＞0，因为，所以sinB=425=，所以S△ABC=114sin52 225ac B=⨯⨯=.(Ⅱ)由(Ⅰ)知sinB=45，因为B为锐角，所以cosB=35.所以sinC=sin(π34 55 +=17.某地区高考实行新方案，规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还须从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目.若一名学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定.例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案.某学校为了了解高一年级420名学生选考科目的意向，随机选取30名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如表：(Ⅰ)试估计该学校高一年级确定选考生物的学生有多少人？(Ⅱ)写出选考方案确定的男生中选择“物理、化学和地理”的人数.(直接写出结果) (Ⅲ)从选考方案确定的男生中任选2名，试求出这2名学生选考科目完全相同的概率.解析：(Ⅰ)设该学校选考方案确定的学生中选考生物的学生为x，在选考方案确定的学生的人中，求出选择生物的概率约为310，由此能求出选择生物的人数.(Ⅱ)由题意能求出选考方案确定的男生中选择“物理、化学和地理”的人数2人.(Ⅲ)设选择物理、生物、化学的学生分别为A1，A2，A3，选择物理、化学、历史的学生为B1，选择物理、化学、地理的学生分别为C1，C2，由此利用列举法能求出任取2名男生，这2名学生选考科目完全相同的概率.答案：(Ⅰ)设该学校选考方案确定的学生中选考生物的学生为x，因为在选考方案确定的学生的人中，选生物的频率为3638610610+=+++，所以选择生物的概率约为310，所以选择生物的人数约为x=420×310=126人.(Ⅱ)2人.(Ⅲ)设选择物理、生物、化学的学生分别为A1，A2，A3，选择物理、化学、历史的学生为B1，选择物理、化学、地理的学生分别为C1，C2，所以任取2名男生的基本事件有：(A1，A2)，(A2，A3)，(A3，B1)，(B1，C1)，(C1，C2)(A1，A3)，(A2，B1)，(A3，C2)，(B1，C2)(A1，B1)，(A2，C1)，(A3，C1)(A1，C1)，(A2，C2)(A1，C2)，所以两名男生所学科目相同的基本事件共有四个，分别为(A1，A2)，(A2，A3)，(C1，C2)，(A1，A3)，∴这2名学生选考科目完全相同的概率为p=4 15.18.如图1，在梯形ABCD中，BC∥AD，BC=1，AD=3，BE⊥AD于E，BE=AE=1.将△ABE沿BE 折起至△A′BE，使得平面A′BE⊥平面BCDE(如图2)，M为线段A′D上一点.(Ⅰ)求证：A′E⊥CD；(Ⅱ)若M为线段A′D中点，求多面体A′BCME与多面体MCDE的体积之比；(Ⅲ)是否存在一点M，使得A′B∥平面MCE？若存在，求A′M的长.若不存在，请说明理由. 解析：(Ⅰ)推导出A′E⊥BE，从而A′E⊥平面BCDE，由此能证明A′E⊥CD.(Ⅱ)M到底面BCDE的距离为12A′E，推导出V M-DCE=1132⋅A′E·S△DCE=16，V A′-BCE=13·A′E·S△BCE=16，S△A′EM=12，平面A′DE⊥平面BCDE，C到平面A′DE的距离为BE=1.从而V C-A′EM=1 3·BE·S△A′EM=16，V多面体A′BCME=V多面体CA′EM+V多面体A′BCE=13.由此能求出多面体A′BCME与多面体MCDE的体积之比.(Ⅲ)连结BD交CE于O，连结OM，推导出A′B∥OM，由此能求出存在一点M，使得A′B∥平面MCE，并能求出A′M的长.答案：(Ⅰ)在梯形ABCD中，∵BE⊥AE，∴A′E⊥BE，∵平面A ′BE ⊥平面BCDE ，BE=平面A ′BE ∩平面BCDE ，A ′E ⊂平面A ′BE ，∴A ′E ⊥平面BCDE ，∵CD ⊂平面BCDE ，∴A ′E ⊥CD.(Ⅱ)∵M 为A ′D 中点，∴M 到底面BCDE 的距离为12A ′E ， 在梯形ABCD 中，S △DCE =1122DE BE ⋅=×2×1=1， V M-DCE =1132⋅A ′E ·S △DCE =16，V A ′-BCE =13·A ′E ·S △BCE =16.∵A ′E ⊥DE ，∴在Rt △A ′DE 中，S △A ′EM =12，∵A ′E ⊥平面BCDE ，A ′E ⊂平面A ′DE ，∴平面A ′DE ⊥平面BCDE ，∵BE ⊥ED ，平面A ′DE ∩平面BCDE=ED ， ∵BC ∥AD ，∴C 到平面A ′DE 的距离为BE=1. ∴VC-A ′EM=13·BE ·S △A ′EM =16，V 多面体A ′BCME =V 多面体CA ′EM +V 多面体A ′BCE =13. ∴V 多面体A ′BCME ：V 多面体MCDE =2：1.(Ⅲ)连结BD 交CE 于O ，连结OM ，在四边形BCDE 中，∵BC ∥DE ，∴△BOC ∽△DOE ，∴23OD BD =， ∵A ′B ∥平面CME ，平面A ′BD ∩平面CEM=OM ，∴A ′B ∥OM ， 在△A ′BD 中，OM ∥A ′B ，∴13A M BO A D BD '=='，∵A ′E=1，DE=2，A ′E ⊥ED ，∴在Rt △A ′ED 中，3A D A M '=∴'=19.已知椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)，且过点(1).(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)过椭圆C 的左焦点的直线l 1与椭圆C 交于A ，B 两点，直线l 2过坐标原点且直线l 1与l 2的斜率互为相反数，直线l 2与椭圆交于E ，F 两点且均不与点A ，B 重合，设直线AE 的斜率为k 1，直线BF 的斜率为k 2，证明：k 1+k 2为定值.解析：(Ⅰ)根据题意，由椭圆的几何性质可得2222222211c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪⎪⎨⎪+=⎪⎪=+⎛ ⎝⎭⎪⎪⎩⎫，，解可得a 、b 、c 的值，代入椭圆的方程即可得答案；(Ⅱ)根据题意，设l 1：y=k(x+1)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立直线l 1与椭圆的方程，可得(1+2k 2)x 2+4k 2x+2k 2-2=0，设l 2：y=-kx ，E(x 3，y 3)，F(-x 3，-y 3)，联立直线l 2与椭圆的方程，可得(1+2k 2)x 2-2=0，结合2个方程，由根与系数的关系用k 表示k 1+k 2，即可得答案.答案：(Ⅰ)由题可得2222222211c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪⎪⎨⎪+=⎪⎪=+⎛ ⎝⎭⎪⎩，，解得211a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，，．所以椭圆C 的方程为22x +y 2=1. (Ⅱ)由题知直线l 1斜率存在，设l 1：y=k(x+1)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2). 联立()22122y k x x y ⎧=+⎨+=⎩，，消去y 得(1+2k 2)x 2+4k 2x+2k 2-2=0，由题易知△＞0恒成立，由韦达定理得221212224221212k k x x x x k k-+=-=++，， 因为l 2与l 1斜率相反且过原点，设l 2：y=-kx ，E(x 3，y 3)，F(-x 3，-y 3)， 联立2222y kx x y ⎨=-+=⎧⎩，，消去y 得(1+2k 2)x 2-2=0， 由题易知△＞0恒成立，由韦达定理得232212x k --=+，则()()13231323121323132311k x kx k x kx y y y y k k x x x x x x x x +++--++=+=+-+-+ ()()()()()()13232313132311k x x x x x x x x x x x x ⋅++++-+-=-+()()()()()2222221231213231323222224221212120k k k x x x x x k k k k x x x x x x x x -⨯-⋅++++++++=⋅==-+-+， 所以k 1+k 2为定值0.20.已知函数f(x)=ln 1x ax x--(a ∈R). (Ⅰ)若a=0，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (Ⅱ)若a ＜-1，求函数f(x)的单调区间； (Ⅲ)若1＜a ＜2，求证：f(x)＜-1.解析：(Ⅰ)根据题意，由a 的值求出函数的解析式，计算可得切点的坐标，结合函数导数的几何意义分析切线的斜率，由直线的点斜式方程即可得答案；(Ⅱ)根据题意，由函数的解析式求出函数的导数，则f ′(x)=2222ln 2ln x ax xa x x ----=，令g(x)=2-ax 2-lnx ，求出g(x)的导数，分析g(x)在(0，+∞)的最小值，分析可得g(x)＞0，由函数的单调性与函数导数的关系，分析可得答案；(Ⅲ)根据题意，原问题可以转化为ax 2-x+1-lnx ＞0，设h(x)=ax 2-x+1-lnx ，分析可得只须证h(x)＞0成立，求出函数h(x)的导数，结合函数的导数与函数单调性的关系，分析可得h(x)的最小值，证明其最小值大于0即可得答案. 答案：(Ⅰ)函数f(x)=ln 1x ax x--(a ∈R)， 若a=0，f(x)=lnx-1x ，则f(1)=-1，切点坐标为(1，-1)，()22ln xf x x-'=，f ′(1)=2，切线斜率k=2， 所以f(x)在点(1，-1)处的切线方程为2x-y-3=0.(Ⅱ)根据题意，f(x)=ln 1x ax x--，则f ′(x)=2222ln 2ln x ax x a x x ----=，(x ＞0) 令g(x)=2-ax 2-lnx ，则g ′(x)=221ax x--.令g ′(x)=0，得x=依题意12a-＞0) 由g ′(x)＞0，得xg ′(x)＜0，得0＜x所以，g(x)在区间(0上单调递减，在区间+∞)上单调递增，所以，g(x)min 52g ==-.因为a ＜-1，所以1012ln 02a -＜＜，．所以g(x)＞0，即f ′(x)＞0. 所以函数f(x)的单调递增区间为(0，+∞). (Ⅲ)由x ＞0，f(x)＜-1，即ln 1x ax x--＜-1，等价于ax 2-x+1-lnx ＞0. 设h(x)=ax 2-x+1-lnx ，只须证h(x)＞0成立.因为h ′(x)=2ax-1-2121ax x x x--=，1＜a ＜2，由h ′(x)=0，得2ax 2-x-1=0有异号两根. 令其正根为x 0，则2ax 02-x 0-1=0.在(0，x 0)上h ′(x)＜0，在(x 0，+∞)上h ′(x)＞0，则h(x)的最小值为h(x 0)， 且h(x 0)=ax 02-x 0+1-lnx 0=012x +-x 0+1-lnx 0=032x --lnx 0， 又h ′(1)=2a-2＞0，2132322h a a '=-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭=⎝-⎭＜0， 所以12＜x 0＜1.则032x -＞0，-lnx 0＞0. 因此032x --lnx 0＞0，即h(x 0)＞0.所以h(x)＞0.所以f(x)＜-1.考试高分秘诀是什么？试试这四个方法，特别是中考和高考生谁都想在考试中取得优异的成绩，但要想取得优异的成绩，除了要掌握好相关的知识定理和方法技巧之外，更要学会一些考试技巧。
2020年北京高考模拟试题(一卷)数学试卷答案
高考模拟试卷参考答案 第 7 页 共 7 页
高考模拟试卷参考答案 第 3 页 共 7 页
EX 0 7 1 31 2 6 11 --------------------------------------------11 分
50 50 25 10
（Ⅲ）
DY1
1 2
1 2
1 4
；
DY2
3 20
17 20
51 400
；
DY3
3 4
若 ,则前 4 项中有 2 项大于 3,因此
,矛盾.
即
且
,因此
.--(12 分)
假设当
时命题成立,则当
时,
构造数列 ,满足
,
可知
,
,同理
,
即
满足题设条件,由归纳假设可知
, ------(13 分)
因此
,
,
,
高考模拟试卷参考答案 第 6 页 共 7 页
即当
时命题成立,证毕.
-------(14 分)
连接 GH
GH AD, AD 2GH
…………1 分
底面 ABCD 是正方形，
AD BC, AD BC
…………2 分
BC=2EF ，BC EF
AD EF,AD=2EF EF HG,EF=HG
EFGH 是平行四边形 FG EH
…………4 分
FG 面ABE, EH 面ABE
40 40 50
PX 1 12 8 28 32 31
40 40 40 40 50
PX 2 12 32 6 --------------------------------------------9 分
北京专家2020届高考模拟试卷(一)数学试卷解析(文科)
满足条件
x
+
y
≥
1,
则 2x + 3y 的最小值为
y ≥ 0,
(A) 2
(B) 8 3
(C) 4
(D) 5
解析：选 A，作出可行域如图，设=z 2x + 3y ，
即 y = − 2 x + 1 z ，当直线 y = − 2 x + 1 z 经过点 A(1,0)时，
33
33
截距最小，此时 2x + 3y = 2 .
(B) (－1,2)
(C) (−1,1)
(D) (−∞, 2)
解析：选 C，易知 B = (−1, 2) ，故 A B = (−1,1) 2．设 i 为虚数单位，复数 z 满足 (2 − i)z = 5 ，则 z =
(A) 2 + i
(B) 2 − i
(C) −2 + i
(D) −2 − i
解析：选 A，易知 z= 5 = 2 + i . 2−i
值点，则 ω 的取值范围是
(A) (0, 5) 6
(B) (0,11] 6
(C) [5 ,11] 66
(D) (5 ,11] 66
解析： 选 D， 注意= 到 f (x) 2sin(2ωx − π ) ，由 0 < x < π 得，− π < 2ωx − π < ωπ − π ，根据32333
题意， π < ωπ − π ≤ 3π ，即 5 < ω ≤ 11 ．
2
4
9．《九章算术》是我国的数学名著，书中有如下问题：今有蒲（水生植物名）生长一日，长
为三尺；莞（植物名）生长一日，长为一尺.蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加一倍.问
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学试题 文(北京卷,含答案)
绝密★启封并使用完毕前2020年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知U =R ，集合{|22}A x x x =<->或，则（A ）(2,2)- （B ）(,2)(2,)-∞-+∞U （C ）[2,2]- （D ）(,2][2,)-∞-+∞U （2）若复数(1i)(i)a -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（A ）(,1)-∞ （B ）(,1)-∞- （C ）(1,)+∞ （D ）(1,)-+∞ （3）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（A ）2 （B ）32（C ）53 （D ）85（4）若,x y 满足3,2,,x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则2x y +的最大值为（A ）1 （B ）3 （C ）5（D ）9（5）已知函数1()3()3x xf x =-，则()f x（A ）是偶函数，且在R 上是增函数 （B ）是奇函数，且在R 上是增函数 （C ）是偶函数，且在R 上是减函数 （D ）是奇函数，且在R 上是增函数（6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A ）60 （B ）30 （C ）20 （D ）10（7）设m , n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m =λn ”是“m ·n <0”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080．则下列各数中与MN最接近的是 （参考数据：lg3≈0.48）（A ）1033 （B ）1053 （C ）1073 （D ）1093第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2020届北京市高考文科数学模拟试卷有答案(Word版)(精品)
普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知U=R，集合A{x|x＜或x＞2}，则C U A=(A)(-2,2)(B)(-∞,-2)(2,+∞)(C)[-2,2](D)(-∞,-2][2,+∞)（2）若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是(A)(-∞,1)(B)(-∞,-1)(C)(1，+∞)(D) (-1，+∞)（3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为(A)2(B)(C)(D)（4）若x,y满足，则x+2y的最大值为（A）1 （B）3（C）5 （D）9（5）已知函数=3x+()x,则=3x+()x（A ）是偶函数，且在R 上是增函数（B ）是奇函数，且在R 上是增函数（C ）是偶函数，且在R 上是减函数（D ）是奇函数，且在R 上是增函数（6） 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A ）60 （B ）30（C ）20 （D ）10（7）设m , n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m =λn ”是“m •n ＜0”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的学&科网上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080. 则下列各数中与M N最接近的是 （参考数据：lg3≈0.48）(A) 1033 (B) 1053 (C) 1073 (D)1093 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若sin α=13，则sin β=__________.（10）若双曲线221y x m -=m =_______________. （11）已知0x ≥，0y ≥，且x +y =1，则22x y +的取值范围是 。
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整理得 a2＋ b2－ c2＝－ ab,
a2＋ b2－ c2 － ab
1
所以 cos C＝ 2ab ＝ 2ab ＝－ 2，
2π 又 0<C<π ， 所以 C＝ 3 ，
2π 即角 C的大小为 3 .
2π (2) 由 (1) 知 C＝ 3 ，依题意画出图形．
在△ ADC中， AC＝ b＝ 2 ，AD＝ 3，
故 BAC 60 , BC 3, BO ,CO
,
2
2
7
则 S BCD
1 BD CO
1 3 33 2
93
2
2
22
4
2
21
2 1 93
VM PBD
VP BCD
S BCD PA
23
3
33
33 4
2
20. （ 1）由题设 PF1
所以 a
PF1 PF2 2
2
1
PF2 4 ， PF1‖ PF2 1 ，
2
2
PF1
5
参考答案
一、选择题 1.A 2.A 3.B 4.A 5.C 6.D 7. B 8.B 9. D 10.C 11.B 12.A
二、填空题
13.
x
R， x2
1 x
0 14.
4
1
15.
15 3
16.
23
2
4
3
三、解答题
a2＋ c2－ b2 17. 解： (1) 由已知及余弦定理得 2c× 2ac ＝ 2a＋ b,
MC
3
VM PBD
2 VC PBD 3
2 VP BCD 3
又 PA 平面 ABCD ， 点 P 到平面 BCD 的距离为 PA ，由 (1) 得 PA 2 .
在四边形 ABCD 中， BAD 120 , AB BC , 及 (1) O 为 BD 中点， AO BD , 得 ABD 为等腰
三角形，
3
33
R ，使得
x
2 0
-
x0
1
0 ”的否定是 _________ .
4
14. 在区间（ 0， 4）内任取一实数 t ，则 log 2(t 1） 1 的概率是 _____.
15. 已知 △ABC 中， AB
5 ， AC
7，
ABC
2 ，则该三角形的面积是
________.
3
2
16.
已知双曲线
x2 C : a2
y2 b2
1 (a
0,b
0) 的右顶点为 A ，以 A 为圆心， b 为半径作圆 A ，圆 A
与双曲线 C 的一条渐近线交于 M ， N 两点 . 若 | MN | b ，则 C 的离心率为 ________.
三、解答题（共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第
17～ 21 题为必考题，每个
1
2π 1
33
S＝ BC· AC·sin
＝ × 2 × 2× ＝ .
2
32
22
6
18. （ 1）估计本市一个 18 岁以上青年人每月骑车的平均次数为
（Ⅱ）根据题意，得出如下
列联表
骑行爱好者
青年人
700
非青年人
800
总计
1500
非骑行爱好者 100 200 300
.
总计 800 1000 1800
根据这些数据，能在犯错误的概率不超过
C．若命题“非 p ”与命题“ p 或 q ”都是真命题，那么命题 q 一定是真命题
D．命题“若 a2 b2 0 ，则 ab 0 ”的逆命题是真命题
6. 三个数 60.7 ,0.76 , log 0. 7 6 的大小顺序是
A. 0.7 6 log 0.7 6 6 0.7
B.
0.7 6 6 0.7 log 0.7 6
PM
一点，且满足
2 ，求三棱锥 M PBD 的体积
MC
20. （本试题满分 12 分）
已知椭圆 C ： x2 a2
y2 b2
1(a b 0) 的左右焦点分别为 F1， F2 ，点 P 是椭圆 C 上的一点，若
PF1 PF2 ， F1F2 2 ， F1PF2 的面积为 1. （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）过 F2 的直线 l 与 C 交于 A ，B 两点， 设 O 为坐标原点， 若 OE OA OB ，求四边形 AOBE
1
∴ x1
， x2 2
2
15
1
∴ f ( x2 ) f (x1) (4 10 2ln 2) (
2ln )
42
2
15 4ln 2
4
8
（ 2） f ( x) 的两个极值点 x1 ， x2 是 f ( x) 2 x2 ax 2 0 即方程 2 x2 ax 2 0 的两个根， x
∴ x1 x2
a ， x1x2 1 2
A． {4 ， 5} B
． {1 ，4， 5} C6，7}
－3＋ 2i
2. 设复数 z 满足 z＝ i
(i 是虚数单位 ) ，则复数 z 对应的点位于复平面内
A．第一象限
B
．第二象限
C ．第三象限
D
．第四象限
3．已知 a⊥ b，| a| ＝ 2， | b| ＝ 3 且向量 3a＋ 2b 与 ka－ b 互相垂直，则 k 的值为
AC× sin C 2 3 2
由正弦定理得 sin ∠ CDA＝
AD
＝
× 3
2
＝
2
，
2π 又△ ADC中， C＝ 3 ，
所以∠
CDA＝
π 4
，
故∠
CAD＝
π
2π －－
3
π 4
＝π. 12
因为 AD是角∠ CAB的平分线，
所以∠ CAB＝ π6 ，
所以△ ABC为等腰三角形，且 BC＝ AC＝ 2. 所以△ ABC的面积
3
3
A．－
B.
2
2
3 C ．±
2
π
1
5π
4．若 cos 12－ θ ＝ 3，则 sin 12 ＋θ ＝
D． 1
1
22
A.
B.
3
3
5. 下列说法中，正确的是
1 C．－ 3
22 D ．－ 3
A．命题“若 a b ，则 2a 2b 1”的否命题为“若 a b ，则 2a 2b 1 ”
B．命题“存在 x R ，使得 x2 x 1 0 ”的否定是：“任意 x R ，都有 x2 x 1 0 ”
北京市 2020 年高考文科数学模拟试题及答案 （一）
（满分 150 分，考试时间 120 分钟）
一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。）
1. 已知集合 U＝ {1 ， 2， 3， 4， 5， 6， 7} ， A＝ {2 ，3， 4， 5} ， B＝ {2 ，3， 6， 7} ，则 A∩?UB＝
面积的最大值 . 21. （本试题满分 12 分）
已知函数 f ( x) x2 ax 2ln x(a R) 两个极值 x1, x2 x1 x2 点 .
（ 1）当 a 5 时，求 f x2 f x1 ；
（ 2）当 a 2 e
2 时，求 f x2
e
f x1 的最大值 .
（二）选考题（共 10 分。请考生在第 22、 23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计
C. log 0.7 6 6 0. 7 0.7 6
D.
log 0. 7 6 0.7 6 6 0.7
7. 某学校美术室收藏有 6 幅国画，分别为人物、山水、花鸟各 2 幅，现从中随机抽取 2 幅进行展览，
则恰好抽到 2 幅不同种类的概率为
5
A.
6
4
B.
5
3
C.
4
2
D.
3
8. 下图虚线网格的最小正方形边长为 1，实线是某几何体的三视图，这个几何体的体积为（
18. （本试题满分 12 分） 为了响应厦门市政府“低碳生活，绿色出行”的号召，思明区委文明办率先全市发起“少开一
天车，呵护厦门蓝”绿色出行活动 . “从今天开始，从我做起，力争每周至少一天不开车，上下班或 公务活动带头选择步行、骑车或乘坐公交车，鼓励拼车……”铿锵有力的话语，传递了绿色出行、
低碳生活的理念 .
）
1
A. 4
B. 2
4
C.
D.
3
9. 函数 y= 2 x sin2 x 的图象可能是
A.
B.
C.
D.
10. 已知双曲线
x2 C : a2
y2 b2
1（ a
0,b
0 ）的焦距为 4，其与抛物线 E : y2
点， O 为坐标原点，若 OAB 为正三角形，则 C 的离心率为
3 x 交于 A, B 两 3
0.001 的前提下认为“骑行爱好者”与“青年人”有关
.
19．证明：设 AC BD O ，连接 PO .
BC CD , AC BD , O 为 BD 的中点 . 又 PB PD, PO BD .
平面 PAC 平面 PBD , 平面 PAC 平面 PBD PO , BD 平面 PAC . 又 PA 平面 PAC , PA BD .
某机构随机调查了本市部分成年市民某月骑车次数，统计如下：
联合国世界卫生组织于 2013 年确定新的年龄分段： 44 岁及以下为青年人， 45 岁至 59 岁为中年 人， 60 岁及以上为老年人 . 用样本估计总体的思想，解决如下问题：
（ 1）估计本市一个 18 岁以上青年人每月骑车的平均次数；