2014年全国高考文科数学试题及答案-辽宁卷

2014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）

文科数学

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1. 已知全集,{|0},{|1}U R A x x B x x ==≤=≥，则集合()A

B = U e（ ）

A ．{|0}x x ≥

B ．{|1}x x ≤

C ．{|01}x x ≤≤

D ．{|01}x x << 2.设复数z 满足(2)(2)5z i i --=，则z =（ ）

A ．23i +

B ．23i -

C ．32i +

D ．32i - 3.已知13

2

a -=，2

1211

log ,log 33

b c ==，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c b a >> D ． c a b >> 4.已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ）

A ．若//,//,m n αα则//m n

B ．若m α⊥，n α?，则m n ⊥

C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α

D ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥

5. 设,,a b c 是非零向量，已知命题p ：若0a b ?=，0b c ?=，则0a c ?=；命题q ：若//,//a bb c

，

则//a c ，则下列命题中真命题是（ ） A ．p q ∨

B ．p q ∧

C ．()()p q ?∧?

D ．()p q ∨?

6. 若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB 为直径

的半圆内的概率是（ ） A ．

2

π

B ．

4

π C ．

6

π D ．

8

π

7. 某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A ．84π-

B ．82

π

- C ．8π- D ．82π- 8. 已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，记C 的焦点

为F ，则直线AF 的斜率为（ ） A ．43-

B ．-1

C ．34-

D ．12

- 9. 设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n

a a 为递减数列，则

（ ）

A ．0d >

B ．0d <

C ．10a d >

D ． 10a d <

10. 已知()f x 为偶函数，当0x ≥时，1cos ,[0,]2

()121,(,)

2

x x f x x x π?

∈??=??-∈+∞??，则不等式1(1)2f x -≤的解集

为（ ）

A ．1247

[,][,]4334 B ．3112

[,][,]4343-

- C ．1347

[,][,]3434

D ．3113[,][,]4334

--

11. 将函数3sin(2)3

y x π

=+

的图象向右平移

2

π

个单位长度，所得图象对应的函数（ ） A ．在区间7[

,

]1212ππ

上单调递减

B ．在区间7[,]1212

ππ

上单调递增 C ．在区间[,]63

ππ

-上单调递减 D ．在区间[,]63

ππ

-

上单调递增 12. 当[2,1]x ∈-时，不等式3

2

430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）

A ．[5,3]--

B ．9[6,]8

-- C ．[6,2]-- D ．[

4,3]--

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13. 执行右侧的程序框图，若输入3n =，则输出T = .

14.已知x ，y 满足条件220240330x y x y x y +-≥??

-+≥??--≤?

，则目标函数34z x y =+的最大值

为 .

15. 已知椭圆C ：22

194

x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则

||||AN BN += .

16. 对于0c >，当非零实数a ，b 满足2

2

4240a ab b c -+-=，且使|2|

a b +最大时，

345

a b c

-+的最小值为 . 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. （本小题满分12分）

在ABC ?中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC ?=，1

cos 3

B =，3b =，求：

（1）a 和c 的值； （2）cos()B C -的值. 18. （本小题满分12分）

某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：

（1）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有

差异”；

（2）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中

随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率.

附：2

2

112212211212

()n n n n n n n n n χ++++-=，

19. （本小题满分12分）

如图，ABC ?和BCD ?所在平面互相垂直，且

2AB BC BD ===，0120ABC DBC ∠=∠=，E 、F 、G 分别为AC 、

DC 、AD 的中点.

（1）求证：EF ⊥平面BCG ； （2）求三棱锥D-BCG 的体积. 附：椎体的体积公式1

3

V Sh =

，其中S 为底面面积，h 为高. 20. （本小题满分12分）

圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图）.

（1）求点P 的坐标；

（2）焦点在x 轴上的椭圆C 过点P ，

且与直线:l y x =交于A ，B 两点，若PAB ?的面积为2，求C 的标准方程.

21.（本小题满分12分）

已知函数()(cos )2sin 2f x x x x π=---

，2()(1x

g x x ππ

=--.

证明：

（1）存在唯一0(0,)2

x π

∈，使0()0f x =；

（2）存在唯一1(

,)2

x π

π∈，使1()0g x =，且对（1）中的01x x π+<.

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.

22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，EP 交圆于E 、C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG PD =，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F.

（1）求证：AB 为圆的直径； （2）若AC=BD ，求证：AB=ED.

23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C. （1）写出C 的参数方程；

（2）设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标

建立极坐标系，求过线段12PP 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.

24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设函数()2|1|1f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+，记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N.

（1）求M ； （2）当x M

N ∈时，证明：221

()[()]4

x f x x f x +≤

.

参考答案

一、选择题

1.D

2.A

3.D

4.B

5.A

6.B

7.C

8.C

9.D

10.A

11.B

12.C

二、填空题

13. 20 14. 18 15. 12 16. -1

三、解答题 17.解：

（Ⅰ）由2BA BC ?=得cos 2c a B ?=，又1

cos 3

B =

，所以6ac = 由余弦定理，得2

2

2

2cos a c b ac B +=+ 又3b =，所以2

292213a c +=+?= 解2

2

613

ac a c =??

+=?，得2,3a c ==或3,2a c ==

因为a c >，所以3,2a c ==

（Ⅱ）在ABC ?中，sin 3

B ==

由正弦定理，得2sin sin 339

c C B b =

=?=

因为a b c =>，所以C 为锐角，因此7

cos 9

C === 于是

cos()cos cos sin sin B C B C B C -=-

1723

393927

=?+= 18.解：

（Ⅰ）将22?列联表中的数据代入公式计算，得

222

112212211212()100(60102010)100 4.7627030802021

n n n n n n n n n χ++++-??-?===≈???

由于4.762 > 3.841，所以由95%的把握认为南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异。

（Ⅱ）从5名数学系学生中任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间

121122123112123113212223213123{(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}

a a

b a a b a a b a b b a b b a b b a b b a b b a b b b b b Ω=

其中i a 表示喜欢甜品的学生，1,2i =，j b 表示不喜欢甜品的学生，1,2,3j =。

Ω由10个基本事件组成，且这些基本事件的出现是等可能的。

用A 表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这以事件，则

112123113212223213123{(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A a b b a b b a b b a b b a b b a b b b b b =

事件A 是由7个基本事件组成，因而7

()10

P A = 19.（Ⅰ）证明：

由已知得ABC DBC ???，因此AC DC =， 又G 为AD 的中点，所以CG AD ⊥； 同理BG AD ⊥；因此AD ⊥平面BGC 又//EF AD ，所以EF ⊥面BCG

（Ⅱ）在平面ABC 内，作AO CB ⊥，交CB 延长线于O

由平面ABC ⊥平面BCD ，知AO ⊥面BDC

又G 为AD 的中点，因此G 到平面BDC 距离h 是AO 长度的一半 在AOB ?中，sin 603AO AB =?=

11131

sin1203322

D BCG G BCD DBC V V S h BD BC --?=

=??=?????=

20.解：

（Ⅰ）设切点坐标为0000(,)(0,0)x y x y >>，

则切线的斜率为00x y -

，切线方程为0000

()x

y y x x y -=--，即004x x y y += 此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为0000

1448

2S x y x y =

??=

由22000042x y x y +=≥

知，当且仅当00x y ==时，00x y 由最大值，即S 有最小值， 因此点P

的坐标为

（Ⅱ）设C 的标准方程为22

221(0)x y a b a b

+=>>，点1122(,),(,)A x y B x y ，

由点P 在C 上知

2

222

1a b

+=，并由

22

221

x y a

b y x ?+=???=?

得22

2

620b x b ++-=，又12,x x 是方程的根，因此

12212262x x b x x b ?+=???-?=??

由1122y x y x ==

122

|||AB x x b =-= 由点P 到直线l

及||2PAB S AB ?==

得42

9180b b -+=，

解得2

6b =或3，因此2

6b =，2

3a =（舍去）或2

3b =，2

6a =，

从而所求C 的方程为22

163

x y += 21.证明：

（Ⅰ）当(0,

)2x π

∈时，()sin 2cos 0f x x x ππ'=+->，所以()f x 在(0,)2

π

上为增函数， 又2

(0)20,()402

2

f f πππ=--<=

->，

所以存在唯一0(0,)2

x π

∈，使0()0f x =

（Ⅱ）当[

,]2x π

π∈时，化简得cos 2()()11sin x x

g x x x ππ

=-?

+-+

令t x π=-，记cos 2()()1,[0,]1sin 2

t t u t g t t t t π

ππ=-=-

-+∈+， 则()

()(1sin )

f t u t t π'=

+

由（Ⅰ）得，当0(0,)t x ∈时，()0u t '<，当0(,)2

t x π

∈时，()0u t '>

在0(,

)2

x π

上()u t 为增函数，

由()02

u π=知，当0[,

)2t x π

∈时，()0u t <，所以()u t 在0[,)2

x π

上无零点 在0(0,)x 上()u t 为减函数，由(0)1u =及0()0u x <知，存在唯一00(0,)t x ∈，使0()0u t = 于是存在唯一0(0,)2

t π

∈，使0()0u t =

设10(

,)2x t π

ππ=-∈，则100()()()0g x g t u t π=-==，因此存在唯一的1(,)2

x π

π∈，使

1()0g x =

由于1000,x t t x π=-<，所以01x x π+> 22.证明：

（Ⅰ）因为PD PG =，所以PGD PDG ∠=∠

由于PD 为切线，故PDA DBA ∠=∠， 又由于PGD EGA ∠=∠，故DBA EGA ∠=∠

所以DBA BAD EGA BAD ∠+∠=∠+∠，从而BDA PFA ∠=∠ 由于AF EP ⊥，所以90PFA ∠=，于是90BDA ∠=，故AB 是直径。 （Ⅱ）连接BC,DC

由于AB 是直径，故90BDA ACB ∠=∠= 在Rt BDA ?与Rt ACB ?中，AB=BA ，AC=BD ，从而

Rt BDA Rt ACB ???，于是DAB CBA ∠=∠

又因为DCB DAB ∠=∠，所以DCB CBA ∠=∠，故

//DC AB

由于AB EP ⊥，所以DC EP ⊥，DCE ∠为直角 于是ED 为直径，由（Ⅰ）得ED AB = 23.解：

（Ⅰ）设11(,)x y 为圆上的点，经变换为C 上点(,)x y ，依题意，得1

1

2x x y y =??

=?

由2

21

1

1x y +=得2

2()12y x +=，即曲线C 的方程为22

14

y x +

= 故C 的参数方程为cos 2sin x t

y t

=??

=?（t 为参数）

（Ⅱ）由2

214220

y x x y ?+

=???+-=?

解得：10x y =??=?，或02x y =??

=? 不妨设12(1,0),(0,2)P P ，则线段12PP 的中点坐标为1

(,1)2，所求直线斜率为1

2

k =，于是所求直线方程为111()22

y x -=

-， 化为极坐标方程，并整理得

2cos 4sin 3ρθρθ-=-，即3

4sin 2cos ρθθ

=

-

24.解： （Ⅰ）33,[1,)

()1,(,1)x x f x x x -∈+∞?=?

-∈-∞?

，

当1x ≥时，由()331f x x =-≤得43x ≤

，故4

13

x ≤≤； 当1x <时，由()11f x x =-≤得0x ≥，故01x ≤<

所以()1f x ≤的解集为4{|0}3

M x x =≤≤

（Ⅱ）由2()16814g x x x =-+≤得2

116()44x -≤，解得1344

x -

≤≤ 因此13{|}44N x x =-

≤≤，故3

{|0}4

M N x x ?=≤≤ 当x M N ∈?时，()1f x x =-，于是

22()[()]()[()]x f x x f x xf x x f x +?=+

2111

()(1)()424

x f x x x x =?=-=

--≤