锐角三角函数及其应用

的角（一般指锐角），通常表达成北（南）偏东（西）多少度，如图,A点位于O点的北偏
东30°方向,B点位于O点的南偏东⑦ 60°方向,C点位于O点的北偏西⑧ 45°
方
向（或西北方向）
【温馨提示】直角三角形的实际应用中，计算结果经常会要求取近似数精确 到哪一位.如:3.1465保留整数是⑨ 3 ，精确到0.1为⑩ 3.1 ，精确到0.01 为⑪3.15 .
1.由
sin A a c
→求∠A;
2. b
c2 a2
1.由
tan
A
a b
→a=b.tanA;
2. cos
A
b c
→
c
b cos
A
1.由
tan A
a →求∠A;
b
2.
sin A a c
→
c a sin A
b,∠A
1.由
sin
A
a c
→a=c.sinA;
2.
cos
A
b c
→
b
c cos A
有斜用弦（条件或求解中有斜边时，用正弦sin或余弦cos） 无斜用切（条件或求解中没有斜边时，用正切tan） 取原避中（尽量用原始数据，避免中间近似，否则会增大最后答案的误差） 宁乘勿除（能用乘法的尽量用乘法，可以提高计算的准确度）
∴∠ABD=30°,∠CBD=75°-30°=45°，在Rt△ABD中，
∴BD=AB·sin∠CAB=20×sin60°=20× 3 = 10 3 ，在Rt△BCD中，
∠CBD=45°，∴BC=2BD= 10
3
2 2 =10
6 (海里).
练习2题解图
练习3 如图，一楼房AB后有一假山，其坡度为i=1∶3 ，山坡坡面上E点处有一 休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC=25米，与亭子距离CE=20米，小 丽从楼房顶测得E点的俯角为45°， 求楼房AB的高.(注:坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)
例题图
如解图，作PC⊥AB于点C,则PC=50米,
∵在Rt△APC中，tan∠PAC=PCAC,∠PAC=30°， P∴同CA理=C5，0=米BPCC，t=aPnC∠taPnA∠CP= B53A0=P≈8C6=.65，0， ∴AB=AC+BC≈136.6， ∵60千米/时= 50 米/秒，
3
∴136.6÷503≈8.2（秒）, ∴车辆通过AB段的时间在8.2秒以内时，可认定为超速.
BC
练习2 如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向上，轮船从A处以每
小时20海里的速度沿南偏西50°方向匀速航行，1小时后到达码头B处，此时，
观测灯塔C位于北偏西25°方向上，则灯塔C与码头B的距离是
海里.
练习2题图
【解析】由题意得AB=20,如解图，过点B作BD⊥AC于点D,
∵∠CBA=25°+50°=75°，∠CAB=(90°-70°)+(90°-50°)=20°+40°=60°，
提分必练
1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA 5 ，则tanB的值为( D )
13
12 A.
13
5 B.
12
13 C.
12
12 D.
5
2. 在Rt△ABC中，sin A=450，AC=6，则BC的长为 8或2 . 3. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,BC=3,AB=5. (1)求∠A的正弦sinA; 3 (2)求∠B的正弦sinB. 4 5
5. 如图，甲、乙两楼相距60 m，甲楼高80 m，自甲楼楼顶看乙楼楼顶，仰 角为30°，乙楼的高是 115m .(结果精确到1 m)
第5题图
第6题图
6. 已知斜坡AB的铅直高度为6 m.
(1)若水平宽度为8 m，则坡面的坡比为
(2)若坡比为3∶4，则坡面长为 10
3
4
;
m.
类型
重难点精讲优练
解直角三角形的实际应用
例某条道路上通行车辆限速为60千米/时，在离道路50米的点P处建一个监测点，
道路AB段为检测区（如图）.在△ABP中，已知∠PAB=30°，∠PBA=45°，那
么车辆通过AB段的时间在多少秒以内时，可认定为超速？（结果精确到0.1秒，
参考数据:
2≈1.41，
3≈1.73,60千米/时=
50米/秒）
3
30° 45° 60°
sinα cosα tanα
1
2 ④3
2
2
3
3
2
1
2
2
2
3
⑤1
3
3
3.直角三角形的边角关系
解法
类型
计算边的口诀: 有斜求对乘正弦, 有斜求邻乘余弦, 无斜求对乘正切, 无斜求邻除正切.
已知
条件
解法步骤ห้องสมุดไป่ตู้
a,b a,c b,∠A a,∠A
1.由
tan
A
a b
→求∠A;
2.
c
a2 b2
∴AH＝HE＝(25+ 10 3 )米， ∴AB＝AH+HB=(35+10 3 )米. 答:楼房AB的高为(35+ 10 3)米.
练习3题解图
【方法指导】解决此类试题的关键是构造直角三角形， 常用的方法有两类: (1)三角形作高法: 若三角形内角(或外角)中有已知角时，一般作三角形的 高，构造出含已知角的直角三角形.
(2)梯形作高法: 在梯形中，一般过较短的底作梯形的高， 可构造出含已知角的直角三角形和矩形.
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例题解图
练习1 (2017绥化)某楼梯的侧面如图所示，已测得BC的长约为3.5米，
∠ACB约为29°，则该楼梯的高度AB可表示为( )
A. 3.5sin29° 米
B. 3.5cos29° 米
C. 3.5tan29° 米 D. 3.5 米
cos 290 练习1题图
【解析】在Rt△ABC中， ∵sin∠ACB= AB ,∠ACB=29°∴AB=BC·sin∠ACB=3.5sin29°.
提分必练
相似三角形中对应关系混乱
4. 如图，某飞机在空中A处探测到它的正下方地平面上目标C，此时飞第4题
图行高度AC=1200 m,从飞机上看地面指挥台B的俯角α=30°，则飞机A与指
挥台的距离为( D )
A. 1200 m
B.1200 2m
C. 1200 3 m D. 2400 m
第4题图
提分必练
5
第3题图
基础点 3 解直角三角形的实际应用
仰角、 俯角
在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的 角叫俯角
坡度
坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫坡度（坡比），用字母i表示，
（坡比）、 坡角
坡面与水平线的夹角α叫角.i=tanα=
⑥
h l
方向角
一般指以观察者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标方向线所成
练习3题图
解:如解图，过点E作EF⊥BC的延长线于点F，EH⊥AB于点H，
在Rt△CEF中，
∵i=
EF = CF
1= 3
3 3
=tan∠ECF,
∴∠ECF＝30°,
∴EF＝12CE＝10米，CF= 10 3 米，
∴BH＝EF＝10米，HE＝BF＝BC+CF＝(25+ 10 3 )米，
在Rt△AHE中，∵∠HAE＝45°,
三角形
锐角三角函数及其应用
基础点巧练妙记
基础点 1 锐角三角函数
1. 定义:如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A为△ABC中的一个锐
角，则有:
∠A的正弦: sinA= ∠A的余弦: cosA=
A斜的边对边=① A斜的边邻边=②
a
c;
b
c;
∠A的正切: tanA= A邻的边对边=③
a b
.
2.性质与 判定